Okay إذا اليوم إن شاء الله هنكمل موضوع ال limit
theorems أو نظريات النهايات ومن النظريات المهمة
هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence xn و
ال sequence هذي convergent لـ x فالـ sequence of
absolute values بتطلع convergent والـ limit تبعتها
تطلع absolute ... absolute limit تبعت الـ sequence
x فالبرهان
بيعتمد على ال triangle inequality
أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه
|a| - |b| وأخد ال absolute value
هذا أصغر من أو يساوي |a - b| فلو أخدت هنا
a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل
الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x
فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given
وأنـا xn converge لـ x، إذا هذا بيدّي أنه
يوجد
N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث أنه لو
كان n أكبر من أو يساوي N فهذا بيدّي ان
|xn - x| أصغر من epsilon
وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon
لكل
n أكبر من أو يساوي N إذا
أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من صفر
يوجد N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث
لكل n أكبر من أو يساوي N القيمة المطلقة لـ
|xn| - |x| أصغر من epsilon إذا
حسب تعريف epsilon N for limits هذا معناه
بالظبط أن limit |xn| as n tends to infinity
بساوي |x| وهو المطلوب Okay تمام إذا هذا
بيكمل برهان نظرية 12 تمام واضح النظرية
اللي بعدها نظرية 13 بتقول لو أنا في عندي
sequence حدودها كلها غير سالبة حدود الـ sequence xn
كلها غير سالبة أعداد غير سالبة والـ sequence لو
كانت الـ sequence xn convergent to some x فالـ
limit للـ sequence of square roots لـ xn تطلع
convergent والـ limit تبعتها بساوي square root للـ
limit للـ sequence xn
والبرهان تبع النظرية دي سهل أنا أول شيء عندي احنا
فرضين أن الـ limit لـ xn بساوي x في نظرية 8
قلنا أن لو كانت حدود الـ sequence xn كلها غير سالبة
فـ limit لـ sequence xn اللي هي x أيضا تطلع غير
سالبة إذا x أكبر من أو يساوي 0 الآن في عندي حالتين
الـ x هنا أكبر من أو يساوي صفر ففي عندي احتمالين اما
x بساوي صفر أو x أكبر من الصفر تمام وفي كل حالة
مطلوب مني أن أثبت أن limit الـ square root لـ xn
بساوي الـ square root of x تمام؟ نشوف في الحالة
الأولى لو كانت الـ x بساوي صفر وأنا عندي من الفرض
xn converges to x اللي هي صفر إذا لو أخدت أي epsilon
أكبر من الصفر من كون الـ sequence هذه converge
للسفر إذا لأي epsilon يوجد N يعتمد على
epsilon بحيث المسافة بين xn والصفر أصغر من epsilon
تربيع لكل n أكبر من أو يساوي N هذا من
تعريف الـ convergence ممكن أحط هنا epsilon أو epsilon
تربيع مافي مشكلة طيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn
كلهم أكبر من أو يساوي صفر وبالتالي القيمة المطلقة
لـ xn بساوي نفسها ناخد
الجذر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي الـ square
root of xn بساوي الـ absolute value لـ square root لـ
xn - صفر وهذا أصغر من epsilon square root
لـ epsilon تربيع بيطلع epsilon هذا الكلام صحيح for
every n bigger than or equal N طب هذا
معناه بما أن epsilon was arbitrarily بما أن احنا
أثبتنا هذا الكلام لكل epsilon عدد موجب هذا من تعريف
epsilon N for limits للنهايات هذا معناه
limit الـ square root لـ xn بساوي الصفر لما n تؤول لـ
N وهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب الصفر هنا احنا
ماخدين x بالساوي صفر فالصفر هذا هو square root لـ
x إذا هيك اثبتت أن limit square root لـ xn
بالساوي square root لـ x في حالة لما x بالساوي
صفر تمام باقي نثبت النتيجة نفسها في حالة لما x أكبر
من 0 تفضلي قالت جيت حكيت أنه ممكن أخد epsilon مش
epsilon تربيع لما أكمل خطوة بعد تطلع جذر الـ epsilon
يعني أقل من جذر الـ epsilon جذر الـ epsilon قلت أن احنا
خلينا epsilon تربيع عشان لما أخد الجذر يطلع epsilon
مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي الـ epsilon مش الـ epsilon
أكبر عدد أكبر من 0 given إذا epsilon تربيع برضه عدد
موجب بقى تقريبا هو الـ given وبالتالي يوجد N تعتمد
على epsilon تربيع بدل epsilon طب epsilon تربيع تعتمد
على epsilon إذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على
epsilon وإعتبر الـ epsilon تربيع بدل epsilon في الـ
definition فمافي مشكلة بس خدناها الـ epsilon تربيع
عشان لما ناخد جذر التربيع يطلع عندي أصغر من epsilon
وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جذر xn بساوي
6 تمام اللي هي جذر x في أي سؤال ثاني؟ طيب، نشوف
الحالة الثانية، لو كانت الـ x هذه أكبر من صفر، إذا
جذر الـ x بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جذر xn
زي جذر x أكبر من أو يساوي جذر الـ x، لأن هذا أكبر من
أو يساوي صفر، وهذا موجب، لأن الـ x موجبة طيب، الآن
هذا المقدار أكبر من أو يساوي هذا واتنين موجبين، إذا
المقلوب الكبير أصغر من أو يساوي المقلوب الصغير هذه
الخاصية أخذناها في chapter one وبناء عليه
بناء على ذلك أنا ممكن أحسب جذر xn - جذر الـ x
بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقامه، هاي
المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في
واحد، إذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه،
تمام؟ الآن الـ numerator تحليل الفرق بين المربعين فبطلع
مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو xn - x و
بيبقى الـ denominator في المقام المقدار هذا الآن ناخد
القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة
للطرف اليمين القيمة المطلقة للـ numerator على القيمة
المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له
نفسه إذا الآن أنا في عندي sequence اللي هي الحد
العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square
root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من
أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي 1 على square
root of xn + square root of x والكسر هذا من
المتباينة 9 هذا الكل أصغر من أو يساوي 1 على
square root of x ضرب |xn - x| الآن
ارجعوا لنظرية 2.4 with
c عدد موجب يساوي 1 على جذر الـ x هذا عدد موجب و an
بساوي xn - x إذن
هي يوجد c عدد موجب اللي هو 1 على جذر الـ x وهي
في عندي sequence an الحد العام تبعها xn - x و
الـ sequence هذه تؤول إلى صفر as n tends to
infinity لأن أنا من المعطيات عندي xn تؤول لـ x أو
limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي صفر، لذلك
حسب نظرية 2.4، كل شروطها متحققة، وبالتالي، لذلك حسب
النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit
square root لـ xn بساوي square root لـ x وهو المطلوب
إثباته إذا هاي اثبتنا أن limit الـ square root لـ x
n بساوي الـ square root لـ x في حالة لما x تكون
موجبة والحالة الأولى في حالة لما x صفر برضه
اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية
تمام؟ في حد عنده أي سؤال أو استفسار واضح البرهان؟
في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار
الكسور أو النسبة أو ايش
الـ ratio test ماذا هذا الـ ratio test بيقول هذا الـ
ratio test بتعلق بـ sequences of positive numbers
يعني عشان أنا أطبق الـ ratio test لازم الـ sequence
تبعتي تكون حدودها كلها موجبة بقى فلو في عندي
sequence of positive real numbers such that limit
الـ ratio لـ xn+1 على xn exists موجود أو
بتساوي عدد حقيقي L ولو كان هذا العدد L أصغر من
واحد فـ limit الـ sequence xn بتساوي صفر هذا هو الـ
ratio test برهان الـ test أو النظرية هذه موجود في
الكتاب نظرية 3.2.11 فحاسبكم تقرأوا
البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي
أخذناها فعايزينكم
تفتحوا الكتاب وتقرأوا برهان وتفهموا لحالكم بعد
ما أخذنا كل هالبرهين بدنا إياكم تعتمدوا عن أنفسكم
شوية تمام؟ واللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان
يرجع له إذا هسا كم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار
.. الآن الكتاب للأسف مش فيه أمثلة في الـ section هذا
تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال
من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل
فأول مثال هو exercise ثمانية عشر الفرع c في section
تلاتة اتنين أو صفحة ثمانية وستين في الكتاب المقرر
السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the
sequence xn اللي لحد العام الـ nth term تبعها b to
n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد
Discuss the Convergence يعني بين هل الـ sequence
هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent
عايزين نجيب الـ limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا
طبعا هنطبق الـ ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم
منها الـ ratio test لتطبيق الـ ratio test بلزمني
أتأكد ان الـ sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لأن
الـ b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n
factorial عدد موجب لأن هذه sequence of positive
real numbers الآن الـ ratio لـ xn زيادة واحد و xn هي
عندي xn زيادة واحد عوض عنها بدل n بـ n زيادة واحد
وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين
ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n
factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial
بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b
بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع ب على n
زيادة واحد الآن لما انت تقول لـ infinity ان زيادة واحد
بتقول لـ infinity مقلوبة بتروح لصفر ضرب ب عدد موجب
بتروح لصفر إذا limit ب على ان زيادة واحد بساوي ب
في limit واحد على ان زيادة واحد اللي هي صفر ب في
صفر بساوي صفر تمام؟ إذا أنا عندي L اللي هو بمثل
limit الـ ratio هذا طلع بساوي صفر عدد حقيقي أصغر من
واحد إذا حسب الـ ratio test limit للـ sequence xn
بساوي صفر إذا هنا أثبتنا إن الـ sequence convergent
ونهيتها بتطلع بالساوي صفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق
مباشر على الـ ratio test
مثال تاني مثال
تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة
اتنين بنشوف ايه الـ exercise هذا بيقول give
an example of two divergent sequences two
divergent sequences
such that there are some مجموعهم there
are some converges نعطي
مثال لـ two divergent sequences تنتهي from two
divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل
هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب
واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ما نهاية طبعا الـ
sequence هذه لو بينا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا
أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد،
الرابع واحد، وهكذا وناخد الـ sequence yn الحد العام
تبعها سالب واحد قص ان زيادة واحد وان طبعا تبدأ من
واحد فهذه الـ sequence حدودها هتكون أول حد واحد،
التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و
هكذا
تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان الـ sequence xn هذي
divergent by contradiction فرضنا انها convergent
وصلنا الى تناقض صح؟ طب ما هذي هي هذي هي الـ
sequence الـ sequence yn هي سالب الـ sequence xn و Xn
is divergent و Yn is divergent أو بنفس البرهان
ممكن نعمل نفس البرهان إذا هي عندي مثال على two
sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي
نجمعهم لو أخدت الـ sequence جديدة الـ nth term تبعها
أو الحد العام تبعها هو مجموع الـ nth term زي Xn
وYn هذه sequence تالتة جديدة ما هو الحد العام لهذه
الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع صفر،
التاني على التاني صفر، إذا هذه عبارة عن الـ
sequence constant zero ثابت صفر أو الـ sequence
الحد العام تبعها ثابت صفر وطبعا أي sequence ثابتة
بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت
نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت صفر إذا هذا
مثال على two divergent sequences their sum is
convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن
ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain
مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات
زي هيك وهكذا في الكتاب في تمارين على هذا السياق
هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال
رقم تلاتة هذا
عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين
بيقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power
one over n where a و b are positive numbers and a
less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟
لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n
positive وكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus
b to n الآن ناخد الـ nth root لطرفي المتباينة هذه
فبيطلع b أصغر من الـ nth root للمجموعة ده اللي احنا
سمناه zn إذا الآن أنا عندي zn بساوي a n زائد b n to
the power one over n والآن أنا عندي بما انه a أصغر
من b a أصغر من b من الفرض هي فهذا بالتأكيد بيقودى
انه a to n أصغر من b to n إذا
هشيل الـ a to n هذه و أضع خليها أصغر من b to n زائد
b to n الكل to one over n طب هذا بيطلع two ضرب b to
n الكل to power one over n وزع الـ power فبيطلع two
to one over n ضرب b صح؟ الآن الـ sequence إذا
أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحد عشر مع
بعض فبيطلع عندي b من المتباينة عشرة الـ B هذا هي
أصغر من الـ ZN ومن المتباينة أحد عشر الـ ZN أصغر من
two to one over N times B for every N natural
number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل N أنا
لأن عندي الـ sequence ZN هذه اللي أنا عايز أثبت ان
الـ limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between
two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي
متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام
تبعها ثابت بيه وبالتالي الـ limit تبعت ب لما ب
تقول لـ infinity بتساوي ب و limit الـ sequence هذي
two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي
واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف
limit c to 1 على n as n tends to infinity بساوي
واحد صح فان دي c هنا بساوي اتنين لان الـ limit لـ two
to one over n as n tends to infinity بساوي واحد
وبالتالي limit two to one over n times constant b
بساوي واحد في b أو b في واحد ف limit الـ sequence
هذه ايضا تطلع b لما تنتقل لـ infinity، إذا by
squeeze theorem بيطلع عندي limit الـ sequence zm
المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ إذا هاي هنا
استخدامنا الـ sandwich أو الـ squeeze، تمام؟ واضح؟
Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،
حالها مش صعب إما تطبيق على الـ sandwich theorem أو
على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخذناها في الـ
section هذا أو في الـ succession السابق أو بالتالي
مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدعي ان احنا نستخدم حاجة
مش موجودة في المناهج إذا ما يكون إلا من شطارتكم
تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في الـ section هذا
طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد
التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان
النصف الأول
تمام فإذا هنا الـ section جديد أو عنوان جديد الـ
monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها
الواتيرية المتتاليات الواتيرية الـ monotone
sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو
متناقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real
numbers سنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا
كان Xn less
than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل
حد أصغر من أو يساوي اللي بعده فالسيكوينس في الحالة دي
بنسميها increasing و بنسميها decreasing إذا كان كل
حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟
طيب بنسمي الـ sequence monotone الـ sequence بنسميها
monotone أو واتيرية if it is either increasing or
decreasing
إن المتتالية الوطرية هي متتالية إما increasing أو
decreasing معنى
Every increasing sequence is a monotone sequence
and every decreasing sequence is a monotone sequence
طب هاي أمثلة على monotone sequences فندّي هنا
The sequence of natural numbers is increasing واضح أن
xn = n أصغر من أو يساوي xn+1 اللي هو n+1
زاد واحد لأن هذا increasing وهذا increasing ال
sequence اللي ال nth term تبعها 2 to the power n اللي هي
هذه is increasing بينما
ال sequence 1 over n decreasing هي كل حد أكبر من
أو يساوي للبعده وكذلك ال sequence 1 over 2 to the power n
طيب، في سؤال هنا بطرح نفسه، هل كل sequence لازم
تكون monotone sequence؟ لا، مو لا، مش شرط، مش شرط،
مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
شرط، مش شرط، مش شرط The following sequence is
a sequence the nth term of which is (-1) to the power n
or n+1 which is the alternating sequence
ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني
المتدبدبة في الإشارة 1، -1، 1، -1
هذه ليست convergent ليست monotone is not
increasing and it is not decreasing نفس الشيء ال
sequence اللي حدها nth تبعها (-1) to the power n اللي
هي -1، 2، -3، وهكذا ال
sequence هذه is not monotone لا increasing ولا
decreasing تمام واضح إذا ال sequence .. أي .. لو
أخذنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،
ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither
increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون
odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟
طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق
بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها
monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات
MCT (monotone convergence theorem) النظرية
هذه بتقول خذي let x be a monotone
sequence خلينا نأخذ monotone sequence الآن هذه الـ
monotone sequence بتكون convergent if and only if
it is bounded تمام؟
Moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x
هذه bounded and increasing فأكيد طبعًا convergent و
ال limit تبعتها يساوي ال supremum لها ك set كذلك
لو كانت ال sequence x bounded و decreasing
فبتكون طبعًا convergent و ال limit بتبعتها يساوي ال
infimum لها ك set طيب
أنا عندي هنا two statements أو ثلاثة
statements أنا عندي العبارة هذه أنا
عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدول فكيف
البرهان بيتم؟ أوّل شيء العبارة الأولى اللي في البرواز
هذه if and only if statement صح ففي two parts واحد
هذا ال part only if part و ال if part نشوف ال
only if part يعني لو كانت x convergent بينا نثبت
إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة
أثبتنا إن كل sequence convergent is bounded اختبار
الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved
earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقة لو كانت
السيكونس تبقى convergent ضروري تكون bounded سواء
كانت السيكونس monotone ولا حتى مش monotone okay؟
تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة
باقي نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت
السيكونس bounded السيكونس لو كانت bounded و
monotone
طبعًا احنا فرضنا انها monotone اه من البداية x
is monotone فالآن عشان نكمل برهان العبارة هذه ال
if and only if او ال bi-conditional statement هذا
فبدنا نثبت أن لو كانت ال sequence bounded و
monotone فبتطلع convergent طيب
monotone مونوتون لما ال sequence تكون مونوتون
معناها إما increasing أو decreasing أو decreasing
إذا
عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا
لبرهانه بده برهين a و b لأن جزء A بيقول لو كانت ال
sequence bounded و increasing فبتثبت أنها
convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و
increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit
تبعتها هي ال supremum لها كمجموعة و الجزء B
بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing
فبتطلع convergent وإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي
ال infimum لها كسب إذا إكمال برهان الاتجاه هذا و
برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن
احنا نثبت a و b يكفي إن اثبتنا العبارة من
بروزة هذه و a و b يعني برهاننا للنظرية كاملة تمام؟
نثبت الآن باقي إثبات a و b نثبت الجزء a فخلينا
نفرض أن ال sequence x is bounded قلنا bounded
و increasing طيب من تعريف الـ bounded sequence
مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M
بحيث أن |Xn| أصغر من أو يساوي M لكل n طيب
معروف أن أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو يساوي القيمة
المطلقة له، مظبوط؟ إذا من ال boundedness من فرض أن
ال sequence bounded في عدد موجود بحيث أن xn أصغر
من أو يساوي M لكل n تمام واضح طيب الآن إذا ال
sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال
property ال supremum تبعها exist سميّه x*
الآن بيدّثبت الادعاء هذا ال claim الادعاء بيدّثبت
أن limit ال sequence xn يساوي ال x* اللي هو
ال supremum لـ {xn} فلو أثبتت هذا الادعاء معناته
أثبتت أنا أن ال sequence xn is convergent و ال
limit تبعتها يساوي ال supremum لها كست تعالوا نشوف
كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim أنا
ايش بتثبت؟ بتثبت أن ال sequence xn convergent و
ال limit تبعتها يساوي العدد x* فهستخدم تعريف
epsilon N لل limit فلازم ابدأ let epsilon
أكبر من الصفر be given الآن ال x* هذاهو ال
supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد
موجب بيصبح ليس upper bound بيصبح ليس upper bound لأن ال x
* هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيصبح ليس
upper bound إذا هذا العدد x* - y is not an
upper bound معناته في عنصر في ال set هذه اللي هو xn
برقم N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هو
upper bound وطبعًا العدد هذا المؤشر أو ال index
N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال
epsilon اللي بنيت فيه طبعًا أنا فرضت أن ال sequence
xn increasing وبالتالي xn أصغر من أو يساوي xn
لكل n أكبر من أو يساوي N من تعريف ال
increasing sequence إذا أنا في عندي هنا هي عندي x
N هي xn أصغر من أو يساوي xn لكل n أكبر من أو
يساوي N طيب و x* هو ال supremum of ال sequence xn و
xn هذا عنصر في ال sequence و x* upper bound لل
sequence إذن xn أصغر من أو يساوي x* طيب و x* أصغر
من x* + y هذا مافي شك من هنا .. أيوه
.. من المتباينة هذه هي عندي xn أكبر من x
* - y إذا أنا طلع عندي الآن x* أكبر من
.. أو xn
أكبر من x* - y أصغر من x* + y لكل n
أكبر من أو يساوي N فظبطت صح؟ طيب مهاد
المتباينة هي نفسها xn - x* أصغر من y أكبر
من -y لكل n أكبر من أو يساوي N طب
المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن |xn
- x*| أصغر من epsilon لكل n أكبر من أو
يساوي N الآن since epsilon was arbitrary هذا
بالضبط تعريف epsilon N لل limit أه؟ بأن هذا
الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من صفر إذن هذا معناه
حسب التعريف أن limit xn يساوي x*
إذا هذا بيثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا
الجزء A من النظرية فالجزء
الثاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B
ففي الجزء B الآن أنا عندي ال sequence تبعتي
bounded و decreasing إذا I assume xn is bounded
and decreasing فأيش
عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد
العام تبعها negative x in تمام؟ الآن بما أن x in
decreasing إذا الـ sequence سالب x in تطلع
increasing وطبعا بما أن الـ sequence x in bounded
إذا الـ sequence سالب x in أيضا bounded إذا الآن
أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn
bounded و in crazy إذا حسب الجزء a by part a limit
الـ sequence yn تطلع exist و بتساوي الـ supremum لكل
الـ y in الـ supremum لعناصر الـ sequence اللي هي y
in تمام؟
إنها ده من إيه؟ من الجزء إيه من النظرية؟ طيب الـ
supremum لـ سالب xn هيفوق العدد الطبيعي احنا خدنا قبل
هيك exercise بيقول supremum أو infimum سالب حاجة
بساوي سالب الـ infimum فهنا بصير هذا سالب الـ
infimum تمام؟ إذا أنا عندي بيطلع عندي limit xn
بساوي سالب limit سالب xn تمام؟ أضربوا هنا هيندي
limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد
فبطلع سالب limit سالب xn بيساوي سالب سالب موجب اللي
هو الـ infimum لـ xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي
أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني الـ sequence
xn convergent والـ limit تبعتها بتساوي الـ infimum
بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا
الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ
monotone convergence theorem فأرجو أنكم تحاولوا
تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ
monotone convergence theorem في