1
00:00:05,060 --> 00:00:11,580
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 28 مساق

2
00:00:11,580 --> 00:00:16,020
تحليل الحقيقة 2 طلاب طالبات الجامعة الإسلامية كلية

3
00:00:16,020 --> 00:00:20,360
العلوم قسم الرياضيات الآن هنبدأ في ال section 9-3

4
00:00:20,360 --> 00:00:24,990
اللي هو tests for noneabsolute convergence tests

5
00:00:24,990 --> 00:00:29,770
for non-absolute convergence الآن لو لاحظنا اللي

6
00:00:29,770 --> 00:00:33,570
هو حديثنا في السابق كان على اللي هو tests for

7
00:00:33,570 --> 00:00:36,490
absolute convergence كل اللي هي ال series اللي

8
00:00:36,490 --> 00:00:41,510
فحصناها اللي هي بواسطة اللي هي series of positive

9
00:00:41,510 --> 00:00:45,670
terms أو اللي هي absolute convergence للي هي ال

10
00:00:45,670 --> 00:00:49,150
series الآن لو كانت عندي ال series مش اللي هي

11
00:00:49,860 --> 00:00:53,660
positive terms لو كانت اللي هي series متغيرة

12
00:00:53,660 --> 00:00:57,160
الإشارة زي عندنا لو جينا summation ناقص واحد ثم

13
00:00:57,160 --> 00:01:00,560
نزيد واحد على n وsummation ناقص واحد ثم نزيد واحد

14
00:01:00,560 --> 00:01:04,000
على جدر ال n الان بدنا اللي هو نعمل testing for

15
00:01:04,000 --> 00:01:08,980
absolute convergence او for convergence test for

16
00:01:08,980 --> 00:01:12,420
convergence لهذه ال series مش في .. بدنا نحكي الآن

17
00:01:12,420 --> 00:01:14,700
عن test for convergence لأن absolute convergence

18
00:01:14,700 --> 00:01:19,700
بنعرفهمن اللي هو خلال السابق الآن بلزمنا إذا

19
00:01:19,700 --> 00:01:23,320
الحديث عن حاجة اسمها alternating series إيش ال

20
00:01:23,320 --> 00:01:26,720
alternating series لو كانت عندي X بالساوية XN of

21
00:01:26,720 --> 00:01:29,940
non-zero real numbers يعني هدولة عبارة عن real

22
00:01:29,940 --> 00:01:33,500
numbers مش صفار اللي هو ممكن تاخد مودب أو سالب

23
00:01:33,500 --> 00:01:36,840
ولكن ال set to be alternating الآن لما بنقول عنه

24
00:01:36,840 --> 00:01:41,660
ال alternating بدنا نيجي أنه انقيدهم بمعنى أخر it

25
00:01:41,660 --> 00:01:45,780
is set to be alternating if the termsنقص واحد

26
00:01:45,780 --> 00:01:49,760
أسنان زائد واحد XN are all positive or all

27
00:01:49,760 --> 00:01:53,620
negative يعني يا كلنا دولة أيش مجبات يا كلنا أيش

28
00:01:53,620 --> 00:01:59,200
سالبات if the sequence X بيسوي XN اللي هي is

29
00:01:59,200 --> 00:02:04,400
alternating we say that the series summation اللي

30
00:02:04,400 --> 00:02:09,180
هي it generates is an alternating أيش ما لها

31
00:02:09,180 --> 00:02:12,400
seriesمدام هذه كلها positive أو كلها negative صارت

32
00:02:12,400 --> 00:02:15,360
على بعض و هذه تنساش أنه مرة بتاخد positive و مرة

33
00:02:15,360 --> 00:02:19,300
بتاخد negative إذا ال series ال Xn أو ال Xn الأصلي

34
00:02:19,300 --> 00:02:22,720
هذه هتكون مرة بتاخد موجب و مرة بتاخد سالب أو مرة

35
00:02:22,720 --> 00:02:26,200
بتاخد سالب و مرة بتاخد موجب فعشان هيك بدل ما

36
00:02:26,200 --> 00:02:29,660
نكتبها زيك و نقول هذه دايما كلها موجبة بنيجي

37
00:02:29,660 --> 00:02:33,900
بنكتبها بصورة ثانية بنقول خلينا نكتب ال series Xn

38
00:02:33,900 --> 00:02:39,760
تساوي ناقص واحد زائد واحد في مين في Znو بتصير الان

39
00:02:39,760 --> 00:02:44,280
Zn هي اللي دايما positive و هذه هي اللي بتحدد

40
00:02:44,280 --> 00:02:47,920
الإشارة عشان هيك اللي لما نحكي عن ال alternating

41
00:02:47,920 --> 00:02:52,520
series هنصير نكتبها على الصورة هذه ناقص واحد أس أن

42
00:02:52,520 --> 00:02:58,140
زائد واحد أو ناقص واحد أس أن في Zn و Zn دايما تكون

43
00:02:58,140 --> 00:03:02,040
موجبة و الناقص واحد أس أن زائد واحد أو ناقص واحد

44
00:03:02,040 --> 00:03:07,650
أس أن هتتحدد لي هياللي هو إنها مرة موجبة و مرة

45
00:03:07,650 --> 00:03:12,390
سالبة هل هتحدد اللي هو في الأول موجب وبعدين سالب

46
00:03:12,390 --> 00:03:18,010
حسب اللي هو الأسئن زائد واحد أو الهاشئن الان نيجي

47
00:03:18,010 --> 00:03:22,830
اللي هو بدنا نفحص ال series اللي منها النوع هل هذه

48
00:03:22,830 --> 00:03:26,770
ال seriesاللي هي converge ولا diverge وهذا اللي هو

49
00:03:26,770 --> 00:03:31,270
الشيء الجديد عن اللي هو ال section السادق الآن

50
00:03:31,270 --> 00:03:35,830
اللي بنقوله alternating series test let Z بتساوي

51
00:03:35,830 --> 00:03:40,090
ZN be a decreasing sequence of strictly positive

52
00:03:40,090 --> 00:03:46,050
numbers with limit ZN بساوي سفر إذا في عندي شروط

53
00:03:46,050 --> 00:03:50,020
الآن لل series اللي أنا بده أفحصهاأول حاجة بدي

54
00:03:50,020 --> 00:03:54,520
أكون عندي Zn عبارة عن decreasing sequence وكل

55
00:03:54,520 --> 00:03:57,500
واحدة of strictly positive numbers وكل واحدة إيه

56
00:03:57,500 --> 00:04:01,720
شمالها عبارة عن positive number يعني أكبر من 0

57
00:04:01,720 --> 00:04:07,400
strictly و اللي هو لكل N فصار عندى اللي هو شرطين

58
00:04:07,400 --> 00:04:12,120
إنها تكون decreasing و limit و الـ Zn أكبر من 0

59
00:04:12,120 --> 00:04:17,250
strictly لكل N و الشرط الثالثاللي هو limit الـ ZN

60
00:04:17,250 --> 00:04:22,550
يساوي سفر إذا صارت الـ sequence اللي بده أكوّن

61
00:04:22,550 --> 00:04:26,230
منها ال alternating series تحقق ثلاث شروط ZN

62
00:04:26,230 --> 00:04:29,890
decreasing sequence strictly positive numbers الـ

63
00:04:29,890 --> 00:04:34,030
ZN و limit الـ ZN بساوي سفر اللي أنا بقول لذن الان

64
00:04:34,030 --> 00:04:38,790
النتيجة ال alternating series الصممش ناقص واحد وزن

65
00:04:38,790 --> 00:04:44,630
زاد واحد ZN إشمالها is convergentإيش مالها؟ هتكون

66
00:04:44,630 --> 00:04:49,050
Convergent وانت مغمض يعني لو جينا على اللي هو ال

67
00:04:49,050 --> 00:04:53,790
series اللي فوق عندي اللي هي اللي تعرضناها في

68
00:04:53,790 --> 00:04:59,270
الأول اللي هي ال 1 على n اللي هو نص اللي هو أكبر

69
00:04:59,270 --> 00:05:02,350
من تلت أكبر من ربع أكبر يعني decreasing و limitها

70
00:05:02,350 --> 00:05:06,990
بساوة سفر وهي alternating وكل واحد ما هو positive

71
00:05:06,990 --> 00:05:13,130
ده هذه ال series إيش مالها؟ Converges حسب نظرية

72
00:05:13,430 --> 00:05:16,990
طبعا it's not absolutely convergent لأن لو في

73
00:05:16,990 --> 00:05:20,110
absolute convergence بترجعلنا للواحد على n series

74
00:05:20,110 --> 00:05:27,890
ماشي الحال الآن عندي نشوف اللي عندنا اللي هو برهان

75
00:05:27,890 --> 00:05:30,330
النظرية let z بالساوية zn be decreasing of

76
00:05:30,330 --> 00:05:33,490
strictly positive numbers with limit zn بساوية 0

77
00:05:33,490 --> 00:05:37,490
then the series summation نقص واحد zn is

78
00:05:37,490 --> 00:05:39,410
convergent خلينا نشوف يا جماعة

79
00:05:42,290 --> 00:05:48,990
عندي الآن خلّينا نطلّع وين بدنا نروح احنا بدنا

80
00:05:48,990 --> 00:05:54,530
نثبت انه ال .. اللي هو ال series ناقص واحد أس ان

81
00:05:54,530 --> 00:06:02,810
زائد واحد زد ان ان من واحدالى ما لا نهاية converts

82
00:06:02,810 --> 00:06:06,390
هذا اللى بدنا نثبته ماشي الحال خلّينى نشوف ايش

83
00:06:06,390 --> 00:06:09,370
اللى عندى summation هذا الان من واحد الى ما لا

84
00:06:09,370 --> 00:06:13,590
نهاية converts نشوف احسب الاول ايش ايه اللى هو ال

85
00:06:13,590 --> 00:06:18,390
partial sum S اتنين ان S اتنين ان ايش هيساوي عبارة

86
00:06:18,390 --> 00:06:25,700
عن Z واحدنقص Z2 زي Z3 نقص Z4 بفك في ال series هذه

87
00:06:25,700 --> 00:06:29,640
من ال N بتساوي واحد عندي N بتساوي واحد بيصير ناقص

88
00:06:29,640 --> 00:06:35,220
واحد وزي N زي واحد زي ZN ماشي الحال الان صار عندي

89
00:06:35,220 --> 00:06:41,160
ال Sالان من هاي ال series هاي ال series عندي ماشي

90
00:06:41,160 --> 00:06:45,360
الان عندي أس اتنين ان زد واحد ناقص زد اتنين زائد

91
00:06:45,360 --> 00:06:48,160
زد تلاتة ناقص زد أربعة زائد زد خمسة ناقص زد ستة

92
00:06:48,160 --> 00:06:53,680
لما أصل لآخر two two زد اتنين ان ناقص واحد ناقص زد

93
00:06:53,680 --> 00:06:58,860
اتنين ان هد مين هي الأس اتنين ان الان ال sequence

94
00:06:58,860 --> 00:07:04,360
الاصلية زد k decreasingما دام decreasing إذا zk

95
00:07:04,360 --> 00:07:08,320
نقص zk زائد واحد أكبر أو يساوي سفر يعني z واحد

96
00:07:08,320 --> 00:07:13,620
ناقص z اتنين أكبر أو يساوي سفر و z اتنين نقص z

97
00:07:13,620 --> 00:07:17,660
تلاتة نقص z أربعة برضه أكبر أو يساوي سفر وهذه أكبر

98
00:07:17,660 --> 00:07:21,680
أو يساوي سفر يعني وكأنه أس اتنين اللي هي is

99
00:07:21,680 --> 00:07:26,890
increasing sequence of partial sums ليش؟الأن it

100
00:07:26,890 --> 00:07:29,730
follows that the subsequence S2 of partial sums is

101
00:07:29,730 --> 00:07:34,510
increasing ليش increasing؟ خلّينا نشوف عندي لاحظ

102
00:07:34,510 --> 00:07:42,250
الآنالأن لو أخدت S2 وS4 وS6 هتلاقي كل مرة إيش مالك

103
00:07:42,250 --> 00:07:45,830
بتضيف term هذا ال term اللي بنضاف اللي هو positive

104
00:07:45,830 --> 00:07:49,710
إذا حيكون الـS2 as a sequence of partial sums إيش

105
00:07:49,710 --> 00:07:54,970
مالها عبارة عن اللي هو increasing sequence ليش؟ خد

106
00:07:54,970 --> 00:08:01,110
بشكل أوضح من اللي حكيته فوق خد S2 خد Z1 ناقص Z2

107
00:08:01,110 --> 00:08:12,870
ناقص Z3نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

108
00:08:12,870 --> 00:08:13,170
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

109
00:08:13,170 --> 00:08:13,170
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

110
00:08:13,170 --> 00:08:15,710
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

111
00:08:15,710 --> 00:08:16,350
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

112
00:08:16,350 --> 00:08:16,350
نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص نقص

113
00:08:16,350 --> 00:08:29,550
نقص نقص نقص نق

114
00:08:30,430 --> 00:08:34,770
is decreasing يعني هيكون الـ Z أس اتنين ان هذا لما

115
00:08:34,770 --> 00:08:39,090
انضفنا له هذولة ال terms الآن هيكون أصغر أو يساوي

116
00:08:39,090 --> 00:08:43,290
أسف هذولة negative terms بيصير ال negative الان

117
00:08:43,290 --> 00:08:47,690
لإن هذا negative بيصير ناقص اللي هو هنا Z اتنين

118
00:08:47,690 --> 00:08:54,070
ناقص Z تلاتة أصغر اللي هو أكبر أو يساوي سفر وهذا

119
00:08:54,070 --> 00:08:56,750
أكبر أو يساوي سفر وهذا أكبر أو يساوي سفريعني

120
00:08:56,750 --> 00:09:03,750
مضيوفات له صارن سوالب لما نشيلهن هيكبر الـ Z1 لأنه

121
00:09:03,750 --> 00:09:06,690
نكون اتخلصنا من كل السوالب هدولة بيصير أس اتنين

122
00:09:06,690 --> 00:09:10,170
أصغر و سوء اللي هي ميانة Z1 إذا صارت اللي عند ال

123
00:09:10,170 --> 00:09:12,690
sub sequence هذا ال partial sums اللي هو

124
00:09:12,690 --> 00:09:19,090
increasing بتتزايدومش هيك was bounded above مدام

125
00:09:19,090 --> 00:09:23,330
increasing و bounded إذا it follows by monotone

126
00:09:23,330 --> 00:09:27,790
convergence theorem that S اتنين N convert to some

127
00:09:27,790 --> 00:09:34,110
number S يعني الآن S اتنين N لو حسبناها هتطلع لك

128
00:09:34,110 --> 00:09:40,510
increasing زائد bounded اللي هنقولنا S اتنين N

129
00:09:40,510 --> 00:09:45,800
أصغر أو يساوي زيد واحد بدون حتى absolute valueالان

130
00:09:45,800 --> 00:09:50,000
ومش هيك كمان و لو حسبت الاس اتنين ان ناقص اس اتنين

131
00:09:50,000 --> 00:09:54,780
في ان ناقص واحد يعني عبارة عن اس اتنين ان ناقص اس

132
00:09:54,780 --> 00:09:59,680
اتنين ان ناقص اتنين هتلاقيها بتساوي عبارة عن اللي

133
00:09:59,680 --> 00:10:06,860
هي ال term اللي بطلع اللي هو عبارة عن زد واحد اللي

134
00:10:06,860 --> 00:10:11,420
هو ناقص زد اتنين زائد

135
00:10:14,090 --> 00:10:24,970
z2n-1-z2n ناقص اللي هو s2n-2 s2n-2 هذا كله لما

136
00:10:24,970 --> 00:10:31,070
أشيله و أشيل هذا مع هذا بيظل z2n-1-z2n و هذا أكبر

137
00:10:31,070 --> 00:10:33,950
أو سوى 0 لأن ال sequence الأصليه decreasing إذا

138
00:10:33,950 --> 00:10:38,990
صار s2nناقص S2 فان ناقص واحد أكبر وسوء سفر يعني

139
00:10:38,990 --> 00:10:43,270
صار عند الـ S2 أن هذه الـ sequence of partial sums

140
00:10:43,270 --> 00:10:47,710
عبارة عن increasing sequence وهي bounded إذا بتكون

141
00:10:47,710 --> 00:10:51,870
monotone الـ monotone اللي هو bounded sequence إذا

142
00:10:51,870 --> 00:10:55,010
حسب الـ monotone convergence theorem هتكون ليها

143
00:10:55,010 --> 00:11:00,350
هذا الـ subاللي هي sequence of partial sums is

144
00:11:00,350 --> 00:11:04,350
convergent خلّينا نقول converged to some S element

145
00:11:04,350 --> 00:11:09,070
of R الآن من هذه الـ subsequence اللي هي بدي

146
00:11:09,070 --> 00:11:14,570
أثبتلك إن الـ sequence الـ S and نفسها converged

147
00:11:14,570 --> 00:11:19,200
للـ S شوف كيفخُد أي إبسلون أكبر من صفر، there

148
00:11:19,200 --> 00:11:23,500
exists K، such that إذا كانت N أكبر وسوء K، بما أن

149
00:11:23,500 --> 00:11:27,880
هذا الـ sequence S2 N converge، إذا سيكون S2 N

150
00:11:27,880 --> 00:11:31,500
ناقص S أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون

151
00:11:31,500 --> 00:11:37,970
على 2لكن أنا بعرف إنه limit zn بساوة 0 مش جالين إن

152
00:11:37,970 --> 00:11:40,310
هو الـ zn الـ sequence الأصلية بساوة .. limitها

153
00:11:40,310 --> 00:11:45,110
بساوة 0 إذن أكيد limit الـ z2n زائد 1 البقى اللي

154
00:11:45,110 --> 00:11:48,570
هي ال .. ال sub sequence منها برضه بساوة 0 مزام

155
00:11:48,570 --> 00:11:52,790
بساوة 0 إذن من عند K معينة و نازل بيكون اللي هو

156
00:11:52,790 --> 00:11:56,350
قيمتها أصغر من أي إبسلون في الدنيا و ليكن إبسلون

157
00:11:56,350 --> 00:11:59,580
على 2عند اللي هي هذه إلها K واحد و هذه إلها K

158
00:11:59,580 --> 00:12:02,900
اتنين أخدت الـ K maximum للتانين و سميتها K إذا

159
00:12:02,900 --> 00:12:05,940
صارت هذه أصغر من نص إبسلون و هذه أصغر من نص إبسلون

160
00:12:05,940 --> 00:12:10,840
لكل N أكبر أو يساوي K لماذا؟ لإن ال limit هذه

161
00:12:10,840 --> 00:12:14,800
بيساوي هذه و لإن ال limit هذه بيساوي سفر إذا الآن

162
00:12:14,800 --> 00:12:20,260
بدي أصل اللي بدي أن أثبت اللي هو ال subsequence

163
00:12:20,260 --> 00:12:25,060
التانية اللي هي ال S2 N زائد واحد ناقص S برضه

164
00:12:25,060 --> 00:12:28,410
هتكون أصغر من إبسلون زي اللي فاتتيعني الان اس

165
00:12:28,410 --> 00:12:32,930
اتنين ان زائد واحد ناقص اس اش حساوياللي هو عبارة

166
00:12:32,930 --> 00:12:38,250
عن هذه عبارة عن أس 2n مضيوفة إليها من مين ال term

167
00:12:38,250 --> 00:12:43,730
اللي هو z2n زائد 1 z2n زائد 1 إشارته موجبة لإنه

168
00:12:43,730 --> 00:12:47,870
الأصل في ال sequence ناقص 1 و أس n زائد 1 ف2n زائد

169
00:12:47,870 --> 00:12:52,130
1 زائد 1 بيصير 2n زائد 2 يعني موجبة يعني فعلاً

170
00:12:52,130 --> 00:12:56,470
بتكون هذه عبارة عن ال أس 2n زائد 1 بيساوي أس 2n

171
00:12:56,470 --> 00:13:07,840
زائد z2n زائد 1ناقص الـ S الان هذا أصغر من نص

172
00:13:07,840 --> 00:13:10,660
إبسلون و هذا أصغر من إبسلون و هذا المقدار أصغر من

173
00:13:10,660 --> 00:13:17,080
إبسلون إذا صار عندي لأي إبسلون أكبر من سفر there

174
00:13:17,080 --> 00:13:23,790
exist such thatدائما بغض النظر S2 N زائد 1 ولا S2

175
00:13:23,790 --> 00:13:29,410
سيكون الـ S N لأن الفردي والسودي إله ناقص الـ S

176
00:13:29,410 --> 00:13:33,450
هيطلع أصغر من إبسلون وهذا يعني أنه limit الـ S N

177
00:13:33,450 --> 00:13:38,050
اللي هو exist ويساوي S يعني بمعنى أخر ال summation

178
00:13:38,050 --> 00:13:46,270
هذا converge وهو المطلوب طيب الـ Nبكون هيك احنا

179
00:13:46,270 --> 00:13:50,250
اثبتنا اللي هو مين اللي هو ال ال alternating

180
00:13:50,250 --> 00:13:54,350
series انها converts اذا حققت الشروط اللي حكيناها

181
00:13:55,010 --> 00:13:59,530
الان it is an exercise to show that if S is the

182
00:13:59,530 --> 00:14:04,810
sum of the alternating series and if S N is its

183
00:14:04,810 --> 00:14:09,170
Nth partial sum اثبتلي انه ال absolute value دايما

184
00:14:09,170 --> 00:14:17,810
S نقص S N أصغر أو ساوي مين Z N زائد واحد الان

185
00:14:17,810 --> 00:14:23,220
بدنا ناخد اللي هواللي هي نحكي عن test اسمه

186
00:14:23,220 --> 00:14:29,100
differential test والقبل test لكن جابل هنا بدنا

187
00:14:29,100 --> 00:14:34,100
ناخد هاللمة اللي هي قبل اللمة نشوف كيف اللي هو

188
00:14:34,100 --> 00:14:40,600
نحاول ان هوانبرن هذه اللمة وبعتقد برهانة سهل لان

189
00:14:40,600 --> 00:14:45,780
شكلها بالظبط زي كما كنا نعمل ال integration by

190
00:14:45,780 --> 00:14:50,960
parts في calculus با خلينا نشوف ايش اللي هو اللمة

191
00:14:50,960 --> 00:14:55,040
بتقول وكيف هذه اللمة بتفيدنا في اثبات النظريات

192
00:14:55,040 --> 00:15:00,770
المتبقية في هذا ال sectionقبل الذلمة لت X بيساوي

193
00:15:00,770 --> 00:15:06,330
XN و Y بيساوي YN بـSequences in R ماشي؟ نفترض أن X

194
00:15:06,330 --> 00:15:11,410
و YN عبارة .. و Y Sequences in R and let the

195
00:15:11,410 --> 00:15:17,350
partial sums of summation YN be denoted by Snالأن

196
00:15:17,350 --> 00:15:19,990
الـ sequence of partial sums للـ yn سميناها Sn

197
00:15:19,990 --> 00:15:24,750
ونفترض تسموه للأس نوت بساوي صفر عشان هيلزمنا لأن

198
00:15:24,750 --> 00:15:28,750
بيقوللي if M أكبر من N then إذا كانت M أكبر من N

199
00:15:28,750 --> 00:15:34,350
بيساوي إذا بيساوي ال summation Xk Yk K من N زياد

200
00:15:34,350 --> 00:15:42,990
واحد عند M بيساوي Xm Sm ناقص Xn زياد واحد Sm Xm Xm

201
00:15:43,670 --> 00:15:51,250
ناقص xn زائد واحد sn زائد الصماشن xk ناقص xk زائد

202
00:15:51,250 --> 00:15:55,710
واحد sk k من n زائد واحد عند m minus واحد اتخيل

203
00:15:55,710 --> 00:15:58,170
هذا ال integration وهذا ال integration هتلاقي اللي

204
00:15:58,170 --> 00:16:02,510
هو مشابه ل اللي هو ال integration by parts اللي

205
00:16:02,510 --> 00:16:06,620
كنا نعمله زمانالان هذه اللمهات .. ليش هي اللمهات؟

206
00:16:06,620 --> 00:16:08,860
اللمهات عشان تستخدمها في برهان نظرية بعد شوية بس

207
00:16:08,860 --> 00:16:14,640
مش أكتر الان خلينا نشوف ايش البرهان ويقول لي since

208
00:16:14,640 --> 00:16:18,640
yk بيساوي sk نقص sk minus واحد عارفينها اللي هي sk

209
00:16:18,640 --> 00:16:22,920
نقص sk minus واحد ايش هيسويلك ال yk عارفين ليش

210
00:16:22,920 --> 00:16:26,480
four k بيساوي واحد واثنين الاخرين الان the left

211
00:16:26,480 --> 00:16:32,440
side of تلاتة هذا ال left side of تلاتة is seen to

212
00:16:32,440 --> 00:16:40,620
be obtainedto be equal to summation اللي هو XK في

213
00:16:40,620 --> 00:16:51,080
SK minus K minus واحد الان هذا هو هذا بنفكه

214
00:16:51,080 --> 00:16:54,800
بطلع هذا بتنشوف كيف انتبهوا عليها احسباتي انا

215
00:16:54,800 --> 00:17:00,700
متأكد انكم هتجيبوها لحالكم الان summationXK YK K

216
00:17:00,700 --> 00:17:05,920
من عند واحد N زائد واحد لعند مين لعند M بساوي

217
00:17:05,920 --> 00:17:11,260
انتبه عليها بساوي بدي اعوض مكان ال YK اللي هو SK

218
00:17:11,260 --> 00:17:17,720
minus SK minus واحد بساوي ال summation XK في YK

219
00:17:17,720 --> 00:17:25,140
اللي هي قولنا SK-SK-1 K من عند N زائد واحد لعند

220
00:17:25,140 --> 00:17:30,300
مين لعندها Y ساوي نفرطه هذا خلّينا نفكه بيصير

221
00:17:30,300 --> 00:17:37,260
عبارة عن KN زائد واحد يعني XN زائد واحد في SN زائد

222
00:17:37,260 --> 00:17:45,360
واحد ناقص SN زائد اللي بعدها XN زائد اتنين في SN

223
00:17:46,180 --> 00:17:52,140
زائد اتنين ناقص SM زائد واحد ويكون خربط زائد اللي

224
00:17:52,140 --> 00:17:59,300
بعدها لما اصل لآخر واحد اللي هو عبارة عن XM في SM

225
00:17:59,300 --> 00:18:07,280
ناقص SM ناقص واحد ويساوي الان بدي اخد اللي هو اضرب

226
00:18:07,280 --> 00:18:13,350
هذا جوا بيصير XN زائد واحداللي هو في ناقص في ..

227
00:18:13,350 --> 00:18:20,690
بيصير xn اسمحولي اكتب هادي xn زائد واحد في Sn زائد

228
00:18:20,690 --> 00:18:27,950
واحد ماشي ناقص عندي xn زائد واحد في Sn ناقص خليني

229
00:18:27,950 --> 00:18:34,130
اكتبها دي لإن xn زائد واحد في Sn ضربت هادي هيها

230
00:18:34,130 --> 00:18:39,130
وضربت هادي في هادي هيها زائد خلصت من الأولىلأن هذي

231
00:18:39,130 --> 00:18:46,750
بتضييها هنا بعد شوية زائد اللي بعدها xn زائد خلينك

232
00:18:46,750 --> 00:18:52,130
تبقى ضربها تصبح ضناقص اضرب هذه قبلها xn زائد اتنين

233
00:18:52,130 --> 00:18:59,710
sn زائد اتنين زائد واحد ضربت هذه في هذه زائد اللي

234
00:18:59,710 --> 00:19:06,100
هو xn زائد اتنين sn زائد اتنينزائد خدوا الفكرة

235
00:19:06,100 --> 00:19:09,520
أنتوا بتحسبوا لحالكم آخر إشي اللي هو عبارة عن XM

236
00:19:09,520 --> 00:19:19,720
في SM أين أكتبها ال XM في SM هذه ناقص اللي هو XM

237
00:19:19,720 --> 00:19:27,620
SM ناقص واحد ويساوي عبارة

238
00:19:27,620 --> 00:19:34,360
عن هذه اللي هي اللي بدنا إياها ال XMأسأم ناقص xn

239
00:19:34,360 --> 00:19:44,820
زائد واحد أسأن الآن زائد الآن خدولي اللي هو xn

240
00:19:44,820 --> 00:19:57,940
زائد واحد ناقص xn هذا يعني xn زائد واحد xn زائد

241
00:19:57,940 --> 00:20:04,760
واحدوهنا S N زائد واحد ناقص X N زائد اتنين هدول

242
00:20:04,760 --> 00:20:08,720
التنتين مع بعض التنتين المضروبات في مين؟ في S N

243
00:20:08,720 --> 00:20:13,940
زائد واحد اللي بعيد ده نفس الاشي هلاقي عبارة عن

244
00:20:13,940 --> 00:20:22,420
اللي هو S N زائد اتنين مضروبة في X N زائد اتنين

245
00:20:22,420 --> 00:20:24,600
ناقص

246
00:20:25,460 --> 00:20:30,200
xn زائد تلاتة و أضرب لما أخر الأصل لآخر إشي

247
00:20:30,200 --> 00:20:34,220
هلاجيها عبارة عن هذا راح بيظل اللي جابله اللي هو

248
00:20:34,220 --> 00:20:41,560
هلاجي اللي هو xm ناقص واحد ناقص xm مضروبة في 100

249
00:20:41,560 --> 00:20:52,840
في Sn الآن هذه هي الأولى هذه وهذا ال summation

250
00:20:54,060 --> 00:20:58,800
Summation هذا هو الـ Summation هذا و لو فرضتلك

251
00:20:58,800 --> 00:21:02,740
كمان اتنين تلاتة هيكون تتأكد من هذا الكلام تماماً

252
00:21:02,740 --> 00:21:06,460
هاي عندي اللي هو في حالة K بصي و N زائد واحد بيصير

253
00:21:06,460 --> 00:21:11,400
X N زائد واحد ناقص X N زائد اتنين هاي ها X N زائد

254
00:21:11,400 --> 00:21:14,940
واحد ناقص X N زائد اتنين مضروبة في S N زائد واحد و

255
00:21:14,940 --> 00:21:19,800
لما اصل عند اخر واحدإذن اللي بيكون هيك إحنا أثبتنا

256
00:21:19,800 --> 00:21:23,800
اللي هو هذه اللي هو اللمّة و الآن بدي أستخدم هذه

257
00:21:23,800 --> 00:21:29,660
اللمّة في إثبات اللي هو النظريات اللي بعد هيك طيب،

258
00:21:29,660 --> 00:21:38,820
الآن مادريش ال test بيقولّي بدنا عرض علينا إنه

259
00:21:38,820 --> 00:21:43,100
نعرف اللي هو summation لحاصل ضرب اللي هو XN في YN

260
00:21:43,100 --> 00:21:49,230
is convergent ولا مش convergentطيب لو عرفت معلومات

261
00:21:49,230 --> 00:21:54,210
عن هذه XN ومعلومات عن هذه YN هل بعرف اللي هو ال

262
00:21:54,210 --> 00:21:58,170
convergence الآن هذه ال .. ال .. ال .. ال .. ال

263
00:21:58,170 --> 00:22:02,670
theory معاه ال test ال D test هذا هذا ال D test

264
00:22:02,670 --> 00:22:08,910
الآن هو اللي هيعمللي testing لل summation XN في YN

265
00:22:08,910 --> 00:22:14,530
converge اللي عندنا .. نشوف كيفبقول لي let X

266
00:22:14,530 --> 00:22:18,410
بيساوي Xn is a decreasing sequence إذا أول حاجة

267
00:22:18,410 --> 00:22:22,430
مفترض لإن Xn decreasing و limit Xn هيش بيساوي سفر

268
00:22:22,430 --> 00:22:27,810
and if the partial sums Sn of Yn are bounded then

269
00:22:27,810 --> 00:22:32,150
Xn is Y of Yn is convergent يعني بتنعرض علينا ال

270
00:22:32,150 --> 00:22:36,390
series بالشكل هذابعدي بفحص إذا نجيت ال limit لل Xn

271
00:22:36,390 --> 00:22:39,930
بساوة سفر وهي decreasing وكانت ال sequence of

272
00:22:39,930 --> 00:22:44,470
partial sums Yn bounded على طول بقول هذه ال series

273
00:22:44,470 --> 00:22:48,630
إيش ما لها is convergent إذا بتفحصلي ال

274
00:22:48,630 --> 00:22:55,380
convergence لهذه ال series ده نشوف الآنSummation

275
00:22:55,380 --> 00:23:01,180
XN YN convergence إذا كانت اللي هي limit XN بيساوي

276
00:23:01,180 --> 00:23:04,320
سفر و decreasing و ال sequence of partial sums

277
00:23:04,320 --> 00:23:09,320
اللي هي لل YN هذه اللي هو عبارة عن boundedماشي إيش

278
00:23:09,320 --> 00:23:12,720
معناه bounded؟ يعني اللي هو عند ال absolute value

279
00:23:12,720 --> 00:23:17,020
ل S N أصغر أو سوى B for all N and for some B إذا

280
00:23:17,020 --> 00:23:21,380
بما أن S N is bounded إذا there exist B أكبر من 0

281
00:23:21,380 --> 00:23:25,200
such that اللي هو ال absolute value ل S N أصغر أو

282
00:23:25,200 --> 00:23:27,060
سوى B for all N element ن

283
00:23:30,240 --> 00:23:38,820
بما أنه .. بما أنه اللي هو عند .. ال .. ال .. ال

284
00:23:38,820 --> 00:23:39,680
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

285
00:23:39,680 --> 00:23:39,720
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

286
00:23:39,720 --> 00:23:39,820
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

287
00:23:39,820 --> 00:23:40,260
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

288
00:23:40,260 --> 00:23:40,260
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

289
00:23:40,260 --> 00:23:41,380
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

290
00:23:41,380 --> 00:23:41,560
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

291
00:23:41,560 --> 00:23:41,840
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

292
00:23:41,840 --> 00:23:42,760
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

293
00:23:42,760 --> 00:23:42,880
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

294
00:23:42,880 --> 00:23:43,720
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

295
00:23:43,720 --> 00:23:50,980
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

296
00:23:50,980 --> 00:23:57,480
ال .. ال ..ومفترضين إنها decreasing يعني ال XK نقص

297
00:23:57,480 --> 00:24:00,920
XK زياد واحد أكبر ويساوي سفر إذا الشروط اللي قبل

298
00:24:00,920 --> 00:24:07,420
لمّة متحققة أنه ال absolute summation ل XK YK K من

299
00:24:07,420 --> 00:24:10,660
N زياد واحد لعند ال M اللي هي حتساوي لما أخد ال

300
00:24:10,660 --> 00:24:14,200
absolute value حتساوي بالظبط بتاخد ال absolute

301
00:24:14,200 --> 00:24:20,300
value يصير أصغر أو يساوي اللي هو ال SN في ال XM

302
00:24:20,300 --> 00:24:26,100
زياد ال XN زياد واحد ماشي؟متذكرين الابل زمة؟ هي

303
00:24:26,100 --> 00:24:27,200
الابل زمة

304
00:24:33,240 --> 00:24:38,140
الآن ال absolute value

305
00:24:38,140 --> 00:24:41,540
لهادي أصغر أو ساوي ال absolute value لهدي مضروبة

306
00:24:41,540 --> 00:24:47,320
في مين اللي هو ال absolute value لهدي اللي هي أسأم

307
00:24:47,320 --> 00:24:51,600
وأسئن طبعا absolute value لهن زي ال absolute value

308
00:24:51,600 --> 00:24:56,510
لهدي ال absolute value لهدياللي هي أصغر أو يساوي

309
00:24:56,510 --> 00:25:00,870
الـ absolute هذه زايد هذه في مين في اللي هي الـB

310
00:25:00,870 --> 00:25:04,550
الـB أش هي الـbound للـSM والـSN لأن مفترضين

311
00:25:04,550 --> 00:25:07,330
الـsequence of partial sums is bound إذن يعني

312
00:25:07,330 --> 00:25:10,970
بيصير عندي الكلام هذا صحيح يعني هذا أصغر أو يساوي

313
00:25:10,970 --> 00:25:15,410
الـXM زايد الـXN زايد واحد في مين في أش في الـB

314
00:25:15,410 --> 00:25:19,030
لإن هدولة positive terms فبصير ال absolute value

315
00:25:19,030 --> 00:25:24,610
نفس الشيءزائد الـ summation لـ xk-xk-xk-xk-xk-xk

316
00:25:24,610 --> 00:25:24,610
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk

317
00:25:24,610 --> 00:25:37,290
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk

318
00:25:37,290 --> 00:25:42,010
-xk

319
00:25:42,010 --> 00:25:47,090
-xk-xk

320
00:25:47,090 --> 00:25:47,950
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk

321
00:25:47,950 --> 00:25:49,100
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-لو

322
00:25:49,100 --> 00:25:50,780
جينا فكّينا هذا المقدار

323
00:25:54,980 --> 00:25:59,820
اللي عندى هذا xk نقص xk زائد واحد كله بروح بظل عند

324
00:25:59,820 --> 00:26:04,020
ال N زائد واحد و ال M ماي .. اللي هى ال M أخر term

325
00:26:04,020 --> 00:26:07,780
M نقص واحد زائد واحد اللى هى ال M فبصير عندى ال B

326
00:26:07,780 --> 00:26:11,400
طبعا متاخدة عامل مشترك كلها و بظل هذا زى ما هو و

327
00:26:11,400 --> 00:26:15,220
هذا اللى هو ال telescoping او اللى هو بما أخر as

328
00:26:15,220 --> 00:26:18,480
if اللى هو هذا اللى هو كل شي .. كل term بضيع اللى

329
00:26:18,480 --> 00:26:22,320
بعدهبظل أول واحد و آخر واحد Xm زائد واحد ناقص Xm

330
00:26:22,320 --> 00:26:26,300
هذه صارت حركة معروفة عندكم الان هذه بتروح مع هذه

331
00:26:26,300 --> 00:26:30,800
بيصير بيظل هذه و هذه تنتين بيصير اتنين Xm زائد بي

332
00:26:30,800 --> 00:26:36,100
في مين في بي الان قلنا limit ال Xn as n goes to

333
00:26:36,100 --> 00:26:40,760
infinity ايش معطينيها بساوة سفر بدأ بساوة سفر اذا

334
00:26:40,760 --> 00:26:46,320
الان بقدر ازغرها لأصغر من اي ي في الدنيا من ضمنها

335
00:26:46,320 --> 00:26:50,650
اللي هي اي شمالهااللي هي إبسلون بالساوية إبسلون

336
00:26:50,650 --> 00:26:55,930
على اتنين بيه يعني بمعنى آخر as N goes to infinity

337
00:26:55,930 --> 00:26:59,630
as N goes to infinity طبعاً M أكيد هتروح ل

338
00:26:59,630 --> 00:27:06,310
infinity يعني بمعنى آخر هيكون اللي هو الـ SM لهذه

339
00:27:06,800 --> 00:27:12,820
هذه S M ناقص لـ S N هيكون أصغر من أي Y في الدنيا

340
00:27:12,820 --> 00:27:19,120
for very large N و M لأن الـ N و الـ M لما N تروح

341
00:27:19,120 --> 00:27:23,000
لما النهاية دي بتروح لـ 0 و الـ M هتكبر برضه بمعنى

342
00:27:23,000 --> 00:27:26,800
آخر for very large N هذا هزغيرها جد ما بده يعني

343
00:27:26,800 --> 00:27:30,100
هذا المقدار أصغر ما يمكن و هذا المقدار هو عبارة عن

344
00:27:30,100 --> 00:27:34,260
مين يا جماعة عبارة عن الـ S M لهذه الـ sequence X

345
00:27:34,260 --> 00:27:38,310
Mهذه الأسماء هي Sequence of Partial Sums لمين؟ لأن

346
00:27:38,310 --> 00:27:42,010
هذه كلها على بعض وهذه نفس الشيء فسأقرص Sequence of

347
00:27:42,010 --> 00:27:45,890
Partial Sums هذه اللي هو الـ Cauchy Criterion

348
00:27:45,890 --> 00:27:50,070
تبعتها متحققة مدام الـ Cauchy Criterion متحققة إذن

349
00:27:50,070 --> 00:27:53,650
صارت السيريزي الأصلية Converts إذن هذه summation

350
00:27:53,650 --> 00:27:57,810
XKYK follows from Cauchy Convergence الـ Criterion

351
00:27:57,810 --> 00:28:03,820
اللي هو is convergent طيبالان نجي لا اللي هو ال

352
00:28:03,820 --> 00:28:08,420
test اللي بعده اللي هو ال apples test الان اللي هو

353
00:28:08,420 --> 00:28:12,960
ال test الأخير عندنا في هذا ال sectionبنشوف كيف

354
00:28:12,960 --> 00:28:17,900
بدنا .. اللي هو برضه نحكم على الصممشي للـ XN YN is

355
00:28:17,900 --> 00:28:24,280
convergent كيف؟ بقول لي لو كانت عندك الـ XN is a

356
00:28:24,280 --> 00:28:27,860
convergent monotone sequence convergent monotone

357
00:28:27,860 --> 00:28:31,580
بغض النظر إنه هذه الـ sequence decreasing ولا

358
00:28:31,580 --> 00:28:37,560
increasingأو حتى Converge لـ 0 أو غير 0 المهم تكون

359
00:28:37,560 --> 00:28:42,480
الـ Xn عبارة عن مونوتون Convergent Sequence

360
00:28:42,480 --> 00:28:49,020
والسيريز Yn بديها بس شوية الأن مش bounded بديها

361
00:28:49,020 --> 00:28:52,980
تكون Convergent إذا بقولي لو كانت الـ Yn

362
00:28:52,980 --> 00:28:59,410
Convergentوالـ Xn مش convergent بس convergence to

363
00:28:59,410 --> 00:29:03,750
monotone يعني يا increasing يا decreasing يعني

364
00:29:03,750 --> 00:29:06,110
ماحدش يجي يقول الـ Xn هو convergent و Yn

365
00:29:06,110 --> 00:29:08,710
convergent إذا التلتين الـ summation convergent

366
00:29:08,710 --> 00:29:12,910
ليس شرطا الان اللي بقوله أنه لو كانت الواحدة

367
00:29:12,910 --> 00:29:17,190
convergent والتانية convergent to نتفة يعني

368
00:29:17,190 --> 00:29:20,330
convergent النتفة هذه اللي هي تكون increasing أو

369
00:29:20,330 --> 00:29:23,560
decreasing يعني monotoneخلّينا نشوف كيف اللي هو

370
00:29:23,560 --> 00:29:27,560
البرهن النظري البرهان سهل و بعتمد على اللي جابلها

371
00:29:27,560 --> 00:29:42,030
مباشرةإذا Xn كانت تتخلص من نقطة X إذا Xn

372
00:29:42,030 --> 00:29:47,250
كانت تتخلص من نقطة X إذا Xn كانت تتخلص من نقطة X

373
00:29:47,250 --> 00:29:52,130
إذا Xn

374
00:29:52,130 --> 00:29:59,650
ناقص Xصارت الأن الـ xn ناقص x مدام الـ xn

375
00:29:59,650 --> 00:30:02,630
decreasing وده راحنا منها إيش ثابت حتظلها

376
00:30:02,630 --> 00:30:06,250
decreasing إذا صارت الـ yn decreasing ومش

377
00:30:06,250 --> 00:30:10,270
decreasing كمان و limit الـ yn الـ un بساوي limit

378
00:30:10,270 --> 00:30:14,170
الـ xn ناقص الـ x هذه ما هي ثابت يعني limit xn x

379
00:30:14,170 --> 00:30:18,870
ناقص x صفر يعني limit الـ un صفر يعني حولت ال

380
00:30:18,870 --> 00:30:23,430
sequence اللي عند الـ xn إلى sequence yn تكون

381
00:30:23,430 --> 00:30:28,830
decreasing و limitها بساوي صفرI saw that UN

382
00:30:28,830 --> 00:30:35,130
decreases to zero then XN بيساوي X زائد UN ومنه

383
00:30:35,130 --> 00:30:40,310
once ال XN في ال YN صارت عندي ال sequence XN في YN

384
00:30:40,310 --> 00:30:49,630
بيساوي X في YN زائد UN في YN ماشي الان عندي

385
00:30:50,650 --> 00:30:55,130
الـ Sequence اللي هي الـ y .. from Dirichlet Test

386
00:30:55,130 --> 00:30:59,990
الدنيا اللي هي صارت منيحة، ليش؟ لأنه بما أنه اللي

387
00:30:59,990 --> 00:31:03,650
هو الـ u .. هذه طبعا ال .. ال .. ال y unconverts

388
00:31:03,650 --> 00:31:06,810
إذا ال .. هي ال .. ال series summation x في y

389
00:31:06,810 --> 00:31:15,380
unconverts، مظبوط؟ و هذه ..UNYN بما أنها تتخلص أو

390
00:31:15,380 --> 00:31:21,460
تتخلص وفي نفس الوقت ليمتها بساوة سفر وهذه ال YN

391
00:31:21,460 --> 00:31:26,200
التي هي is convergent إذا صارت اللي هو حسب اللي هو

392
00:31:26,200 --> 00:31:32,330
قبل اللي هي ال threshold theoremهيها حققت الشروط

393
00:31:32,330 --> 00:31:37,250
بس على ال U N الان الان عندي Y N bounded احنا قلنا

394
00:31:37,250 --> 00:31:40,550
Y N نفسها convergent مادام convergent اذا ال

395
00:31:40,550 --> 00:31:42,870
sequence of partial sums اشماله is bounded لأن

396
00:31:42,870 --> 00:31:45,650
convergence is then bounded any sequence is

397
00:31:45,650 --> 00:31:48,890
convergent must be bounded اذا صارت هذه bounded

398
00:31:48,890 --> 00:31:52,110
ماشي او بمعنى اخر sequence of partial sums bounded

399
00:31:52,540 --> 00:31:56,140
وعندها دي كثرة الـ UN اللي قبل بشوية Decreasing

400
00:31:56,140 --> 00:31:59,800
وLimited بساوية 0 إذا اللي هي دي test is

401
00:31:59,800 --> 00:32:04,400
applicable لنشوف كيف الآن صارت عندي ال XYN

402
00:32:04,400 --> 00:32:10,950
converts و ال UN YN اللي هو هذي convertsهذه تتقل

403
00:32:10,950 --> 00:32:16,590
إلى 0 وهذه مجموعة إذا صار عند الـ summation X UN

404
00:32:16,590 --> 00:32:21,970
في XN تتقل لأن الـ summation XN تتقل بسبب الـ

405
00:32:21,970 --> 00:32:24,490
assumption of convergence of the series summation

406
00:32:24,490 --> 00:32:27,750
YN لأن هذه السيريز مفترضة أنها تتقل وهذا ثابت

407
00:32:27,750 --> 00:32:32,010
بالنسبالهاصارت هذا converge وهذا converge من D

408
00:32:32,010 --> 00:32:35,890
test إذا صار مجموح على بعض اللي هو summation xn yn

409
00:32:35,890 --> 00:32:39,650
is convergent الان في حالة ال increasing إشي مش

410
00:32:39,650 --> 00:32:44,410
شابه الان نفترض اللي xn is increasing with limit x

411
00:32:44,410 --> 00:32:51,120
الان خد ال vn بدل ما هي xn ناقص x خد x ناقص xnصارت

412
00:32:51,120 --> 00:32:55,120
اللي هي الـ sequence اللي increasing اللي هي الـ

413
00:32:55,120 --> 00:32:58,900
XN لما ضربت بناقص صارت decreasing وضفت لها limitها

414
00:32:58,900 --> 00:33:03,340
صار عندك اللي هو limit H بساوة سفر صارت VN

415
00:33:03,340 --> 00:33:09,040
decreases to zero ماشي؟ إذا صارت الـ XNبساوة x

416
00:33:09,040 --> 00:33:13,200
ناقص vn وضرب زي قبل بشوية في xn في yn بساوة هذه

417
00:33:13,200 --> 00:33:18,100
ناقص هذه هذه نفس الأسباب اللي قبل بشوية متحققة بال

418
00:33:18,100 --> 00:33:23,420
test إذا صارت اللي هي converts وهذه converts اللي

419
00:33:23,420 --> 00:33:25,380
هو صبعا ال summation بحكي عن ال summation series

420
00:33:25,380 --> 00:33:28,440
إذا صار ال series converts وهذا converts إذا صار

421
00:33:28,440 --> 00:33:33,240
ال xn yn converts وكل هيك واحنا اللي هو أنهينا

422
00:33:33,240 --> 00:33:37,650
اللي هو الليالـ tests اللي في هذا ال .. ال section

423
00:33:37,650 --> 00:33:41,230
بظل اللي هو exampleين هدولة انتوا بتحاولوا تطلعوا

424
00:33:41,230 --> 00:33:47,210
لحالكم فيه و بكون هيك انه احنا بكون انهينا section

425
00:33:47,210 --> 00:33:51,910
اللي هو تسعة تلاتة و إلى لقاء اخر والسلام عليكم