1
00:00:05,740 --> 00:00:08,920
بسم الله الرحمن الرحيم الجزء الثاني من المحاضرة

2
00:00:08,920 --> 00:00:14,780
التاسعة هيكون اللي هو عبارة عن discussion أو مناقشة

3
00:00:14,780 --> 00:00:22,060
لـ Section 6.2 و 6.3 اللي هو مناقشة لـ Main Value 

4
00:00:22,060 --> 00:00:25,220
Theorem and its Applications ومناقشة أيضًا لـ

5
00:00:25,220 --> 00:00:30,560
L'Hopital's Rule نيجي الآن لـ 6.2 الأسئلة المطلوبة

6
00:00:30,560 --> 00:00:35,720
هي كما يلي نبدأ في سؤال 6.2  ادخلنا على الكتاب 

7
00:00:35,720 --> 00:00:39,160
خلينا نشوف الـ الـ الـ المثال الـ السؤال من

8
00:00:39,160 --> 00:00:45,790
الكتاب نبدأ الآن بسؤال 5 السؤال الخامس هو كما يلي

9
00:00:45,790 --> 00:00:49,550
Let a أكبر من صفر و b أكبر من صفر و a strictly

10
00:00:49,550 --> 00:00:55,570
أكبر من b طبعًا كل العلاقة strictly وبنفترض أن n

11
00:00:55,570 --> 00:01:00,290
أكبر أو يساوي 2 prove that a أس واحد على n ناقص b

12
00:01:00,290 --> 00:01:05,290
أس واحد على n أصغر من a - b أس واحد على n 

13
00:01:05,290 --> 00:01:10,490
لو جينا لاحظنا على اللي هو المطلوب عند خمسة بيقول لي

14
00:01:10,490 --> 00:01:16,710
أن a أكبر من b أكبر من 0 أو n أكبر أو يساوي 2

15
00:01:16,710 --> 00:01:23,070
بيقول لي prove that أن a أس واحد على n ناقص b أس واحد

16
00:01:23,070 --> 00:01:30,710
على n أصغر من a - b الكل أس واحد على n نيجي

17
00:01:30,710 --> 00:01:36,890
للبرهان لو جينا لاحظنا إنه عندي الـ نيجي للسؤال 

18
00:01:36,890 --> 00:01:40,770
بس كيف نفكر في السؤال هو ما أعطيني hint في الكتاب 

19
00:01:40,770 --> 00:01:45,190
لكن خلينا نشوف كيف كيف حصل على الـ hint لو أدينا

20
00:01:45,190 --> 00:01:50,490
جسمنا الجهتين هذا مش من ضمن الحل طبعًا عندي a / b

21
00:01:51,290 --> 00:01:55,270
الكل أس واحد على n ناقص جسمة على اللي هو b أس

22
00:01:55,270 --> 00:01:59,510
واحد على n للجهتين طبعًا والـ b طبعًا موجبة ففيش شيء

23
00:01:59,510 --> 00:02:05,290
بتغير بيصير a / b - 1 الكل أس واحد على n

24
00:02:05,290 --> 00:02:10,710
لو نجلنا هذه a / b أس واحد على n ناقص الـ a /

25
00:02:10,710 --> 00:02:16,150
b - 1 أس واحد على n أصغر من مين؟ من 1 الآن

26
00:02:16,700 --> 00:02:21,940
عندي هذا الآن كله على بعضه هو نفسه الـ F ممكن

27
00:02:21,940 --> 00:02:27,680
نستقل الدالة من خلاله أنه ناخد الـ F of X لـ F of X

28
00:02:27,680 --> 00:02:35,690
وهتوصلنا بيساوي x أس واحد على n - x - 1 

29
00:02:35,690 --> 00:02:42,810
أس واحد على n وطبعًا هو الآن معطيني في السؤال a

30
00:02:42,810 --> 00:02:47,790
أكبر من b أكبر من 0 لو طلعنا نلاقي الدالة هذه

31
00:02:47,790 --> 00:02:56,610
ولاحظنا أوجدنا الـ f prime لها f prime of x خلينا 

32
00:02:56,610 --> 00:03:02,130
ناخد الـ x عنده الـ x أكبر أو يساوي 1 وهنشوف

33
00:03:02,130 --> 00:03:05,730
اللي هو ليش عنده الـ x أكبر أو يساوي 1 برضه

34
00:03:05,730 --> 00:03:09,070
بتظبط في حالتنا لأن اللي بنينا على أساسها اللي هي

35
00:03:09,070 --> 00:03:13,290
الـ a / b نفسها أكبر strictly من مين؟ من 1

36
00:03:13,290 --> 00:03:17,150
فالأمور متناسقة مع بعض ولو بدنا نطبق حللها جي جي

37
00:03:17,150 --> 00:03:20,670
اللي هو تطبيق معقول اللي هنقف الـ prime of x بيساوي

38
00:03:20,670 --> 00:03:26,200
1 / n في x أس 1 / n - 1 ناقص اللي

39
00:03:26,200 --> 00:03:30,720
هو 1 / n في x - 1 أس 1 / n -

40
00:03:30,720 --> 00:03:36,520
1 ويساوي 1 / n في x أس 1 / n - 1

41
00:03:36,520 --> 00:03:44,840
ناقص اللي هو x - 1 اللي هو على 1 / n

42
00:03:44,840 --> 00:03:50,460
ناقص 1 الآن لو طلعنا للي عندي هذا

43
00:03:53,450 --> 00:03:56,930
لو طلعنا للمقدار اللي عندي الـ x أكبر أو يساوي إيش؟

44
00:03:56,930 --> 00:04:02,450
1 يعني الآن الـ x أكبر يساوي 1 لذا لما عندي

45
00:04:02,450 --> 00:04:06,950
الأس اللي هنا أس إيش؟ ماله بالسالب أو صفر على سوء

46
00:04:06,950 --> 00:04:10,130
الظروف اللي هو بالسالب معناته اللي هو بده يصير

47
00:04:10,130 --> 00:04:16,070
1 / x الـ 1 / x عبارة عن كسر، مظبوط؟ الآن

48
00:04:16,070 --> 00:04:20,430
بيصير عندي المقدار اللي عندي العلاقة بين هذا وهذا

49
00:04:20,940 --> 00:04:26,360
x أكيد أكبر من x - 1 صح ولا لأ؟ لكن لأن

50
00:04:26,360 --> 00:04:31,240
مقلوبها هيصير إيش ماله؟ هيصير أصغر فهيصير المقدار

51
00:04:31,240 --> 00:04:35,440
هذا أصغر من هذا المقدار ماشي فبيصير عندي المقدار

52
00:04:35,440 --> 00:04:40,180
هذا كله على بعضه أصغر من مين؟ من صفر فالآن صارت عندي

53
00:04:40,180 --> 00:04:45,720
f' أصغر strictly من مين؟ من صفر إذا صار عندي إذا f

54
00:04:45,720 --> 00:04:47,160
is strictly

55
00:04:50,230 --> 00:04:54,310
decreasing بدي استخدم الخاصية هذه مدام strictly

56
00:04:54,310 --> 00:04:59,390
decreasing وأنا عندي a أكبر من b هسينا عندي a على

57
00:04:59,390 --> 00:05:06,110
b أكبر من 1 والـ b طبعًا لا تساوي صفر إذا بما أن

58
00:05:06,110 --> 00:05:11,930
f is strictly decreasing إذا f of a / b أكبر من

59
00:05:11,930 --> 00:05:18,440
f of 1 f of a / b دلتنا بيجيب العوض فوق بيصير

60
00:05:18,440 --> 00:05:26,380
عندي اللي هو آسف أصغر عندي f of a / b إيش

61
00:05:26,380 --> 00:05:30,920
هتساويك؟ قولوا معايا اللي هو a / b أس 1 / n

62
00:05:30,920 --> 00:05:40,360
ناقص a / b - 1 كل أس 1 / n هذا إيش

63
00:05:40,360 --> 00:05:45,310
ماله؟ أصغر من مين؟ من f of 1 f of 1 حسب لي f

64
00:05:45,310 --> 00:05:50,290
of 1 هذه 1 وهذه 0 فبيصير عبارة عن أصغر من

65
00:05:50,290 --> 00:05:53,350
1 طبعًا هذه اللي هو بنعمل عملية عكسية للي

66
00:05:53,350 --> 00:05:57,530
عملناها فوق فبيصير عندي اضرب الجهتين في b أس 1

67
00:05:57,530 --> 00:06:04,260
على n فبيصير a أس 1 على n ناقص a - b أس 1 على

68
00:06:04,260 --> 00:06:10,940
n أصغر من مين؟ من b أس 1 على n ضربت كله في مين؟

69
00:06:10,940 --> 00:06:14,980
في b أس 1 على n إن جلّي الآن بيصير عندي a أس

70
00:06:14,980 --> 00:06:20,320
1 على n ناقص b أس 1 على n أصغر من a - b

71
00:06:20,320 --> 00:06:26,530
الكل أس 1 على n وهو المطلوب وهذا اللي هو بده إياه

72
00:06:26,530 --> 00:06:32,150
يلا إيه بعده؟ خلينا نيجي للسؤال اللي المطلوب الآخر

73
00:06:32,150 --> 00:06:38,570
اللي هو use the mean value theorem سؤال 6 use the

74
00:06:38,570 --> 00:06:42,830
mean value theorem to prove that sin x - sin y

75
00:06:42,830 --> 00:06:47,070
أصغر أو يساوي x - y for all x, y in R هذا

76
00:06:47,070 --> 00:06:50,610
السؤال حلينا زيه بالظبط اللي هو mean اللي هو الـ

77
00:06:50,610 --> 00:06:52,070
cosine مظبوط؟

78
00:06:57,300 --> 00:07:03,320
الآن ما أعرفش فيه داعي نحله ولا إن هو نفسه أو مصور

79
00:07:03,320 --> 00:07:06,740
عملناه

80
00:07:06,740 --> 00:07:12,000
ولا لأ؟ اللي هي الـ cosine عملناها بنفس الأسلوب ومش

81
00:07:12,000 --> 00:07:14,340
هيختلف اللي هو الحل

82
00:07:22,460 --> 00:07:27,840
أحله ولا خلصت؟ الآن عندي اللي هو سبعة use the mean

83
00:07:27,840 --> 00:07:32,580
value theorem to prove that x - 1 / x أصغر من x

84
00:07:32,580 --> 00:07:39,160
أصغر من x - 1 for x أكبر من 1 اللي هو عند 

85
00:07:39,160 --> 00:07:45,440
احنا حلينا واحد زائد x هذه الآن اللي هي عبارة عن

86
00:07:45,440 --> 00:07:51,040
مين؟ عن اللي هو ln lx الدالة اللي هي f of x بيساوي ln

87
00:07:51,040 --> 00:07:56,440
lx وبنستخدم الـ mean value theorem وبنفس الأسلوب فيه

88
00:07:56,440 --> 00:08:00,540
داعي نحله؟ خلينا نحله خلينا نحله عشان بنصور

89
00:08:00,540 --> 00:08:12,360
الآن سؤال سبعة الآن عندي بدأ أثبت أن ln lx أصغر من 

90
00:08:12,360 --> 00:08:20,000
x - 1 وأكبر من x - 1 عالميًا على x 

91
00:08:20,000 --> 00:08:26,400
solution العالمين value theorem العالمين value

92
00:08:26,400 --> 00:08:29,960
theorem نحله العالمين value theorem لأنه لسه ما

93
00:08:29,960 --> 00:08:35,980
خدناش اللي هو Taylor's theorem مش 

94
00:08:35,980 --> 00:08:39,340
فاهم

95
00:08:39,340 --> 00:08:42,110
عليك بينفع نحلها باستخدام Taylor and x not

96
00:08:42,110 --> 00:08:44,690
بيساويها يعني الـ mainly طيب آه احنا احنا عشان

97
00:08:44,690 --> 00:08:48,850
لسه ما خدناش Taylor's theorem بدنا نحلها على مين؟

98
00:08:48,850 --> 00:08:51,970
على الـ mean value theorem ليش؟ لأنه احنا لسه

99
00:08:51,970 --> 00:09:00,070
ما خدناش Taylor's theorem طيب الآن let f of x

100
00:09:00,070 --> 00:09:07,330
بتساوي ln الـ x وعندي الـ x أكبر من مين؟ أكبر أو

101
00:09:07,330 --> 00:09:11,800
تساوي الـ 1 ولا لأ؟ عندي الـ x أكبر من 100 من 0

102
00:09:11,800 --> 00:09:14,940
for

103
00:09:14,940 --> 00:09:23,100
x أكبر من 0 مش عايز إنّي ماشي الحين نيجي اللي هو أن

104
00:09:23,100 --> 00:09:26,540
نستخدم الـ mean value theorem continuous و closed و

105
00:09:26,540 --> 00:09:31,300
differentiable وكل الأمور هذه شاملة متحققة إذا

106
00:09:31,300 --> 00:09:38,150
there exist c element in a و b c عندي اللي هو

107
00:09:38,150 --> 00:09:42,290
element معايا؟

108
00:09:42,290 --> 00:09:52,610
طيب لأن let f of x بيساوي ln x و x أكبر من 0 وعندي

109
00:09:52,610 --> 00:09:57,430
المطلوب في الـ inequality اللي هي x أكبر من 1 يعني

110
00:09:57,430 --> 00:10:02,870
x سنتمي إلى الـ 1 وما لا نهاية معايا؟ إذا there

111
00:10:02,870 --> 00:10:11,590
exists c لذًا بدي أطبق الآن we apply mean value

112
00:10:11,590 --> 00:10:18,570
theorem on وين قول معايا on 1 و x there exists

113
00:10:18,570 --> 00:10:25,090
c element 1 و x such that معايا such that اللي

114
00:10:25,090 --> 00:10:36,890
هو f prime of c يساوي f of x ناقص f 1 على x ناقص

115
00:10:36,890 --> 00:10:48,110
إيش ناقص 1 آه فالآن عندي f of x قد إيش؟ ويساوي ln

116
00:10:48,110 --> 00:10:56,450
الـ x ناقص ln الـ 1 قد إيش؟ 0 على x - 1 وهذا

117
00:10:56,450 --> 00:11:02,050
مين؟ هو f prime of c عبارة عن ln الـ 1 على c مظبوط

118
00:11:02,870 --> 00:11:06,570
إذا صار عندي الآن بدأ أجيب لإن الـ x أصغر من مين؟ من

119
00:11:06,570 --> 00:11:12,270
x - 1 صار عندي إذا ln الـ x بيساوي 1 على

120
00:11:12,270 --> 00:11:18,390
c في x - 1 واللي عند c إيش ماله؟ بأخذه أنا

121
00:11:18,390 --> 00:11:23,050
أكبر من 1 مدام أكبر من 1 إذا 1 / c اللي

122
00:11:23,050 --> 00:11:28,390
هو أصغر من 1 مظبوط إذا هذا أكيد هذا أصغر من x

123
00:11:28,390 --> 00:11:35,440
- 1 مظبوط؟ لأن الـ 1 / c إيش ماله؟ عبارة

124
00:11:35,440 --> 00:11:43,990
عن كسر الآن من جهة أخرى عندي اللي هو ln الـ x بيساوي

125
00:11:43,990 --> 00:11:49,410
1 / c في x - 1 لكن الـ x أنا c إيش

126
00:11:49,410 --> 00:11:54,190
معناها بين الـ 1 والـ x يعني c أصغر من مين؟ c أصغر

127
00:11:54,190 --> 00:11:59,430
من x يعني الـ 1 / x اللي هو أصغر من مين الآن؟ c

128
00:11:59,430 --> 00:12:05,890
أصغر من x إذا 1 / c أكبر من 1 / x فبيصير

129
00:12:05,890 --> 00:12:13,190
عند هذا أكبر من 1 / x في x - 1 يعني بمعنى آخر

130
00:12:13,190 --> 00:12:18,230
صار عند ln الـ x اللي هو أكبر من x - 1 على الـ x

131
00:12:18,230 --> 00:12:21,550
هي عند الـ inequality الثانية وهي عند الـ

132
00:12:21,550 --> 00:12:26,690
inequality الأولى من التنتين إذا ln الـ x إيش ماله؟

133
00:12:26,690 --> 00:12:32,790
أصغر من x - 1 مظبوط اللي بعمله وأكبر من x

134
00:12:32,790 --> 00:12:41,190
- 1 عالميًا على x وهو المطلوب إيش السؤال اللي

135
00:12:41,190 --> 00:12:49,550
بعده؟ الآن سؤال ثمانية let f من a لعند b

136
00:13:11,390 --> 00:13:17,630
سؤال ثمانية let

137
00:13:17,630 --> 00:13:30,470
f من a و b لعند r إيش ماله؟ continuous أو 

138
00:13:30,470 --> 00:13:37,190
differentiable on

139
00:13:37,190 --> 00:13:45,370
mean on open interval a و b show

140
00:13:45,370 --> 00:13:51,730
that if limit f prime of x عندي limit f prime of x

141
00:13:51,730 --> 00:14:01,630
لما x تروح للـ a بساوي a capital then اللي هي f

142
00:14:01,630 --> 00:14:11,990
prime of a  F prime of A exists and equals A

143
00:14:11,990 --> 00:14:21,750
solution أو proof ما أعطيني

144
00:14:21,750 --> 00:14:28,650
F is differentiable على اللي هي الفترة من A وB أو

145
00:14:28,650 --> 00:14:33,350
continuous طبعًا open أو continuous على closed من A

146
00:14:34,120 --> 00:14:39,860
و عندي limit f prime of x معطينيها لما x تروح إلى

147
00:14:39,860 --> 00:14:50,180
الـ a إيش بساوي؟ بساوي اللي هو a capital اطلع 

148
00:14:50,180 --> 00:14:58,560
لفوق الآن عندي الآن الـ f prime of a تعريفها اللي هي

149
00:14:58,560 --> 00:15:04,600
limit F of X ناقص F of A على X minus A لما X تروح

150
00:15:04,600 --> 00:15:09,940
للـA ماشي الحال هذا اللي هو إذا كان الـ limit هذا

151
00:15:09,940 --> 00:15:13,500
exist إذا أثبتنا إن الـ limit هذا exist بتكون الـ F 

152
00:15:13,500 --> 00:15:18,440
prime of A أشمالها اللي هي exist ماشي الحال الآن

153
00:15:18,440 --> 00:15:21,200
هو ما أعطيني limit F prime of X لما X تروح لـA

154
00:15:21,200 --> 00:15:28,290
أشمالها هي الـ exist واضح أه؟ لأن بدي أطبق الـ Mean

155
00:15:28,290 --> 00:15:33,290
Value Theorem لأن في البداية على أي X وين في

156
00:15:33,290 --> 00:15:39,170
الفترة A وB في الفترة A وB لو أخدنا X في الـ A وB

157
00:15:39,170 --> 00:15:44,380
بالـ Mean Value Theorem بين على الـ A والـ X على 

158
00:15:44,380 --> 00:15:47,920
الفترة الـ A والـ X there exists CX ما لها

159
00:15:47,920 --> 00:15:52,340
between X and A such that F of X ناقص F of A بساوي

160
00:15:52,340 --> 00:15:57,240
F prime C of X في X minus A هذه اللي هي تطبيق الـ

161
00:15:57,240 --> 00:16:02,860
Mean Value Theorem على الفترة A و B and so و منه

162
00:16:02,860 --> 00:16:07,700
اللي هي بنقول F prime C of X بساوي اللي هو F of X

163
00:16:07,700 --> 00:16:15,920
ناقص F of A على X minus A الآن عندي

164
00:16:15,920 --> 00:16:22,520
.. خلّينا نيجي ناخد هذه المنطقة أه عشان لسه بدأت

165
00:16:22,520 --> 00:16:26,600
بين F prime of A أشمالها موجودة بساوي limit الـ F

166
00:16:26,600 --> 00:16:31,180
prime CX لما X تروح لمين؟ للـ A، ماشي الحال، هذه

167
00:16:31,180 --> 00:16:36,610
الآن لو exist بتكون F prime of A أشمالها exist الآن

168
00:16:36,610 --> 00:16:40,510
لاحظ احنا طبقنا اللي هي الـ mean value theorem على

169
00:16:40,510 --> 00:16:46,910
مين؟ على الفترة من a لعند مين؟ لعند x لجينا الـ cx

170
00:16:46,910 --> 00:16:53,290
وين موجودة؟ بين الـ a والـ x الآن لما cx تروح للـ a

171
00:16:53,290 --> 00:17:00,050
أكيد الـ x هتروح لمين؟ للـ a ماشي الحال طيب الآن

172
00:17:00,050 --> 00:17:05,700
بيصير عندي هو ما أعطيني أصلا limit f prime of x لما x 

173
00:17:05,700 --> 00:17:10,600
تروح للـ a exist ماشي فبيصير عندي لأن limit f prime

174
00:17:11,520 --> 00:17:17,760
of CX لما الـ X تروح للـ A هي نفسها as X goes to A

175
00:17:17,760 --> 00:17:21,700
CX وين هتروح لما X تروح للـ A أتوماتيك CX هتروح للـ

176
00:17:21,700 --> 00:17:26,480
A فبيصير عندي لقى limit F prime of CX لما X تروح للـ

177
00:17:26,480 --> 00:17:29,880
A هو نفس limit F prime of CX لما A CX تروح للـ A

178
00:17:29,880 --> 00:17:34,580
وهذا هو ما أعطيني إيش اسمه إن existence هو إيه، إذا

179
00:17:34,580 --> 00:17:39,500
صار هذا الـ limit exist يعني هذا اللي هو اللي مساوي

180
00:17:39,500 --> 00:17:42,620
للـ limit هذا اللي بنين عليه إذا حيكون الـ F prime

181
00:17:42,620 --> 00:17:46,920
of A exist وبرضه حيساوي مين؟ حيساوي إيه؟ اطلع على

182
00:17:46,920 --> 00:17:53,100
لدك اللي بالك نخلص نعم لا اطلع على اللي بعده أيوة

183
00:17:53,100 --> 00:17:55,420
السؤال اللي بعده

184
00:18:06,430 --> 00:18:13,030
كبر هذا السؤال اللي سألتني عنه يا محمد

185
00:18:13,030 --> 00:18:18,450
قبل هيك اطلع لي .. خليه بس اطلع لي على الكتاب على

186
00:18:18,450 --> 00:18:28,770
628 النظرية 628 انزل انزل 628 اطلع لي عليها النظرية

187
00:18:28,770 --> 00:18:36,630
عشان نقول لك إيش هو السؤال عليه لأنه مهم نعرف عن إيش،

188
00:18:36,630 --> 00:18:40,410
الآن إذا بتتذكروا أخذنا اللي هو الـ first

189
00:18:40,410 --> 00:18:45,390
derivative test for extrema بتقول إذا كان لجينا

190
00:18:45,390 --> 00:18:47,870
neighborhood Hannah subset من I such that F double

191
00:18:47,870 --> 00:18:51,950
prime أكبر ساعة وسفر وX ال .. ال .. ال .. لو F 

192
00:18:51,950 --> 00:18:54,350
double prime أكبر ساعة وسفر مرة ع اليمين ومرة ع

193
00:18:54,350 --> 00:18:59,350
اليسار إذا F has إيش مالها relative إيش مالها

194
00:18:59,350 --> 00:19:05,280
maximum اللي هو اللي بتغير شرطها من موجب إلى سالب

195
00:19:05,280 --> 00:19:09,260
فبتكون عندي relative maximum، الآن هل العكس صحيح؟

196
00:19:09,260 --> 00:19:12,440
يعني لو كان في عندنا relative maximum، هل شرط إنها

197
00:19:12,440 --> 00:19:17,950
تغير إشارتها في اللي دا؟ اطلع لفوق شوية عشان أورجيك

198
00:19:17,950 --> 00:19:21,170
السؤال وين كان موجود هان remark the converse of

199
00:19:21,170 --> 00:19:25,410
the first derivative test is not true مهم الكلام

200
00:19:25,410 --> 00:19:28,610
هذا for example there exists a differentiable

201
00:19:28,610 --> 00:19:31,610
function f من R لـR with absolute minimum at x

202
00:19:31,610 --> 00:19:35,210
بالساوية صفر but such that f prime takes on both

203
00:19:35,210 --> 00:19:39,110
positive and negative values on both sides of اللي

204
00:19:39,110 --> 00:19:45,000
هي x بتساوي عياش بساوي صفر ماشي الحال إذا هذا الآن

205
00:19:45,000 --> 00:19:49,920
هذا الحديث هو سؤالنا اللي عندنا اللي بدنا نحكي فيه

206
00:19:49,920 --> 00:19:52,880
اللي هو exercise قداش؟ تسعة ارجع لي على exercise

207
00:19:52,880 --> 00:19:56,560
تسعة إذا الـ exercise تسعة هو عبارة عن إيش؟ بيقول ليه

208
00:19:56,560 --> 00:20:00,280
إن الـ converts of this theorem need not to be true

209
00:20:00,280 --> 00:20:04,930
in general بالظبط إيش بيقول؟ بيقول لـ F من R لـ R بي

210
00:20:04,930 --> 00:20:08,910
define by F of X بيساوي 2 X plus 4 زائد X plus 4

211
00:20:08,910 --> 00:20:12,770
Sine 1 على X For X لا تساوي صفر عند F of 0 إيش

212
00:20:12,770 --> 00:20:16,450
بيساوي Zero إذا أنا معرفت دالة الـ F بهذه الطريقة

213
00:20:16,450 --> 00:20:20,450
بهذه لما X لا تساوي صفر وعند X بيساوي صفر عرفها F 

214
00:20:20,450 --> 00:20:25,120
of 0 بيساوي أيش؟ Zero بيقول لشهدات أول شيء F has an

215
00:20:25,120 --> 00:20:30,440
absolute minimum when عند الـ 0 but that its

216
00:20:30,440 --> 00:20:34,820
derivative has both positive and negative values

217
00:20:34,820 --> 00:20:40,280
everywhere اللي هو إيش؟ في neighborhood حوالين مين؟

218
00:20:40,280 --> 00:20:49,380
حوالين الصفر واضح طيب، نشوف الآن، عملية فيه

219
00:20:49,380 --> 00:20:54,280
absolute minimum مش صعبة، اللي هي بس خلينا نتطلع

220
00:20:54,280 --> 00:20:58,140
على الحسابات، لأن الحسابات بتاخد وجه، فخلينا نتطلع

221
00:20:58,140 --> 00:21:02,900
على اللي عندنا محسوبة وخلاص لأن لأي x الـ ينتن ار

222
00:21:02,900 --> 00:21:07,360
أكيد الـ x الاربعة إيه أشمالها أكبر أو يساوي صفر والـ

223
00:21:07,360 --> 00:21:11,900
sign الواحد على x أكبر اكيد أكبر أو يساوي مين؟ ناقص

224
00:21:11,900 --> 00:21:16,300
واحد اضرب الجهتين في x الاربعة فبيصير x الاربعة في

225
00:21:16,300 --> 00:21:20,680
هذا أكبر أو يساوي ناقص إيش؟ x الاربعة أضيف للجهتين

226
00:21:20,680 --> 00:21:26,110
اتنين x الاربعة فبيصير 2x أس 4 زائد هذا أكبر أو

227
00:21:26,110 --> 00:21:30,470
يساوي اللي ضفت 2x أس 4 زائد اللي هو يا عاش ناقص اللي

228
00:21:30,470 --> 00:21:34,930
هي x أس 4 اللي هو بيطلع قداش x أس 4 اللي هو أكيد

229
00:21:34,930 --> 00:21:39,270
أكبر أو يساوي 0 صارت عند قيمة الـ function f of x

230
00:21:39,270 --> 00:21:44,770
اللي احنا بنحكي عنها دائما أكبر أو يساوي 0 اللي هو

231
00:21:44,770 --> 00:21:49,650
مين؟ بيساوي اللي عرفناه F0 إذا صار في عندي F has

232
00:21:49,650 --> 00:21:58,450
absolute minimum at mean at zero لكن عندي لطبيعة

233
00:21:58,450 --> 00:22:02,590
الـ sine وطبيعة الـ cosine لو جيت الآن أخدت أي

234
00:22:02,590 --> 00:22:06,990
neighborhood حوالين ناقص delta وdelta بدي أثبت لك

235
00:22:06,990 --> 00:22:12,410
إن F prime مرة ممكن تسوي لي أصغر من صفر ومرة تكون

236
00:22:12,410 --> 00:22:21,190
أشمالها أكبر من صفر واضح؟ إذا تعال شوف عندي خد لأي

237
00:22:21,190 --> 00:22:25,370
neighborhood حوالين اللي هو الـ Zero خده من ناقص

238
00:22:25,370 --> 00:22:29,850
Delta وDelta لأي Delta في الدنيا أو لأي مثلون في

239
00:22:29,850 --> 00:22:34,450
الدنيا عندي هي الـ neighborhood اللي بحكي فيه

240
00:22:40,490 --> 00:22:45,390
النقطة الداخلية اللي احنا مستهدفين فيها اللي هي الصفر

241
00:22:45,390 --> 00:22:51,500
خد أي neighbor حواليه ناقص دلتا أو دلتا تقدر تلاقي

242
00:22:51,500 --> 00:22:58,220
n أكبر أو يساوي اتنين very large اللي

243
00:22:58,220 --> 00:23:04,540
بيكون n أشمالها very close to zero ماشي يعني مهما

244
00:23:04,540 --> 00:23:09,300
زغرت لي الـ delta براجيلك n كبيرة كفاية إنها تضلها

245
00:23:09,300 --> 00:23:18,320
في هذا الجوار وتحقق ما يلي إيش أخذتها؟ أخدت النقطة

246
00:23:18,320 --> 00:23:22,460
واحد على اتنين and by طبعا الآن هذا بزغرها جدًا ما

247
00:23:22,460 --> 00:23:28,120
بده بتكبير الآن ونفس الشيء 2 على 4 n زائد واحد في

248
00:23:28,120 --> 00:23:30,780
باقي طبعا ليش أخدت هيك؟ عشان واحدة تخلي لي الـ sign

249
00:23:30,780 --> 00:23:34,620
صفر وواحدة تخلي لي الـ cosine إيه؟ عشان صفر واضح وفي

250
00:23:34,620 --> 00:23:37,580
نفس الوجه بتخلي لي الـ sign واحد والـ cosine واحد

251
00:23:37,580 --> 00:23:44,380
بشكل معاكس ده فنشوف الشيء اللي بقوله الآن هذه الآن وهذه

252
00:23:44,380 --> 00:23:47,380
الآن اخترت الآن اللي تخليني إياها موجودة في

253
00:23:47,380 --> 00:23:51,060
ناقص delta وdelta هذول النقطتين في وين؟ في الجوار

254
00:23:51,060 --> 00:23:56,880
اللي أعطيتني إياه أي جوار بتعطيني يا بدأ جيلك الآن

255
00:23:56,880 --> 00:24:01,300
المناسبة إليه احسب لي الآن F prime F prime of X

256
00:24:01,300 --> 00:24:04,040
بتعرف .. نعرف نحسبها خلينا نحسب F prime of X على

257
00:24:04,040 --> 00:24:08,580
جهتها لأنه مش هحسبها عشان تكون قدامكم F prime of X

258
00:24:10,740 --> 00:24:18,560
أف برايم of x إيش بتساوي؟ تمانية x تكعيب زائد أربعة 

259
00:24:18,560 --> 00:24:28,300
x تكعيب sign واحد على x ناقص اللي هو ليش

260
00:24:28,300 --> 00:24:34,800
زائد ناقص x أصبح أربعة بيصير x تربيع sign واحد على

261
00:24:34,800 --> 00:24:41,650
x صحيح؟ هذه اليومين f prime of x بدي الآن نعوض على 

262
00:24:41,650 --> 00:24:47,310
f عند النقطة أول شيء النقطة الأولى عبارة عن واحد

263
00:24:47,310 --> 00:24:52,450
على اتنين and by عوضنا عنها في تمانية x سكعيب هي 

264
00:24:52,450 --> 00:24:57,210
ثمانية في x سكعيب زائد أربعة هي x سكعيب وهي sin

265
00:24:57,210 --> 00:25:01,820
واحد على x بيصير sin اتنين and by عشان هيك الاختيار

266
00:25:01,820 --> 00:25:05,020
زائد واحد على اتنين and by أس أربعة اللي هي ..

267
00:25:05,020 --> 00:25:11,580
اللي هي .. بحها دي بيصير أس اتنين أه وهاي الناقص

268
00:25:11,580 --> 00:25:16,900
فاهمين؟ x تربيع ها دي محادي اللي هي بيصير x تربيع

269
00:25:16,900 --> 00:25:23,800
بالسالب واضح هه في cosine من اللي هو 2 unbi الآن

270
00:25:23,800 --> 00:25:27,580
هذا المقدار اللي في النص كله إيش حباله؟ هيصير صفر

271
00:25:27,580 --> 00:25:32,160
لأنه sin 2 unbi صفر هذا المقدار عبارة عن اللي هو

272
00:25:32,160 --> 00:25:34,860
ثمانية بتروح مع ثمانية اللي هم يصير واحد على unbi

273
00:25:34,860 --> 00:25:39,880
كل تكعيب هذا الـ cosine إيش بيساوي؟ واحد إذا بيظل من

274
00:25:39,880 --> 00:25:47,480
عنده اللي هو هذا سالب تربيع إيه الآن ناخد 1 على

275
00:25:47,480 --> 00:25:52,120
unbi عام المشترك تربيع بيظل عندي اللي هنا عبارة عن

276
00:25:52,120 --> 00:25:59,560
اللي هي 4 unbi لأنه ماخد هنا اللي هي 1 على 2 unbi

277
00:25:59,560 --> 00:26:03,720
لكل تربيع اللي هو عام المشترك بيظل 4 على unbi ناقص

278
00:26:03,720 --> 00:26:08,840
إيه؟ اش واحد واضح الـ 4 على n by للـ n أكبر أو يساوي

279
00:26:08,840 --> 00:26:14,660
2 إن هذا المقدار بيصير يصغر لدرجة أنه أصغر من

280
00:26:14,660 --> 00:26:18,320
الواحد للـ n أكبر يساوي 2 إذا صار هذا المقدار عبارة 

281
00:26:18,320 --> 00:26:22,460
عن سالب في موجة بيطلع أصغر من 0 إذا F برايم طلعت

282
00:26:22,460 --> 00:26:29,390
أصغر من 0 في نفس الوقت أف برايم ل 2 على كذا على 4n 

283
00:26:29,390 --> 00:26:34,130
زائد 1 في π  أضربها أحسبها بيصير تمانية وعوض وعوض

284
00:26:34,130 --> 00:26:38,150
وعوض الآن مش ال sign اللي هتت cancel هتت cancel

285
00:26:38,150 --> 00:26:43,110
مين ال cosine فهيطلع عندي هذا المقدار هي وهيه هذا

286
00:26:43,110 --> 00:26:48,390
المقدارين، المقدارين موجبات، إذا هيكون أكبر من

287
00:26:48,390 --> 00:26:53,510
مين؟ من صفر، إذا في كل المنطقة، في كل المنطقة،

288
00:26:53,510 --> 00:26:58,050
هتلاقي اللي هو جانب بعض، جانب بعض، مرة أكبر من

289
00:26:58,050 --> 00:27:00,530
صفر، مرة أصغر من صفر، مرة أكبر من صفر، مرة أصغر من

290
00:27:00,530 --> 00:27:05,070
صفر، ففيش عندك اللي هو تغير إشارتها من موجب إلى 

291
00:27:05,070 --> 00:27:09,750
سالب، لا، هم جانب بعض، هذول تنفج يا واحدة تنساش في

292
00:27:09,750 --> 00:27:14,570
جهة واحدة من الـ neighborhood مش على الجهتين هو ال

293
00:27:14,570 --> 00:27:18,270
test اللي بنعرفه أشمل بيقول لك لو اتغير من قبل ال ..

294
00:27:18,270 --> 00:27:21,690
قبل .. في ال neighborhood قبل النقطة ال X note من

295
00:27:21,690 --> 00:27:26,990
موجب إلى سالب بيصير maximum من سالب إلى موجب بيصير

296
00:27:26,990 --> 00:27:34,400
موجب بيصير minimum الآن نحن لجينا relative minimum

297
00:27:34,400 --> 00:27:38,800
أو absolute minimum لكن في النقاط من ناقص ذلت

298
00:27:38,800 --> 00:27:44,180
العين دلت هاين اختارت لك هنا وهنا جان بعض وجرب

299
00:27:44,180 --> 00:27:48,650
كمان بلا جيلك كمان اللي هو بحيث أن تكون موجبة و

300
00:27:48,650 --> 00:27:53,050
سالبة وموجبة وسالبة يعني فش derivative هنا تكون

301
00:27:53,050 --> 00:27:57,690
موجبة كلها وهنا سالبة كلها عشان تحكم max .. تقول

302
00:27:57,690 --> 00:28:01,190
اللي هو .. اللي هي ال .. و .. و .. و فقط اللي هي

303
00:28:01,190 --> 00:28:04,750
the converse in and the converse need not to 

304
00:28:04,750 --> 00:28:09,990
be true in general واضح؟ في الجوارين

305
00:28:09,990 --> 00:28:14,830
.. هذا .. هذا من هنا .. من هنا لعين دلها فش إشارة

306
00:28:14,830 --> 00:28:19,040
واحدة ومن هنا لعين دلها فش إشارة واحدة إذا the

307
00:28:19,040 --> 00:28:22,320
converse need not to be true in general واضح و

308
00:28:22,320 --> 00:28:30,400
الله واضح وأعيد واضح يا محمد اه طيب اللي بعده

309
00:28:30,400 --> 00:28:34,120
برضه في ال .. في ال .. في ال .. في المثال ارجع لي

310
00:28:34,120 --> 00:28:38,700
للكتاب عشان أقول لك هذا برضه بخدمين السؤال قبلها

311
00:28:38,700 --> 00:28:42,160
انزل اطلع قبل النظرية قبل النظرية قبل النظرية في

312
00:28:42,160 --> 00:28:45,520
عندي مثال هيو أو لا .. ايوه ال remark ال remark

313
00:28:45,520 --> 00:28:52,760
أيوه اطلع ال remark هذه الآن إذا بتتذكروا سؤال عشر

314
00:28:52,760 --> 00:28:55,260
اللي بناحكيها الجد حكيها أن احنا قولنا it is

315
00:28:55,260 --> 00:28:59,420
reasonable to define a function to be increasing

316
00:28:59,420 --> 00:29:04,170
at a point إذا كانت هناك مقارنة للمقارنة في

317
00:29:04,170 --> 00:29:13,750
المقارنة اللي حوالها، إذا 

318
00:29:13,750 --> 00:29:18,810
كانت هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها، إذا كانت

319
00:29:18,810 --> 00:29:19,510
هناك مقارنة في المقارنة اللي حوالها،

320
00:29:22,640 --> 00:29:27,460
من الممكن أن يكون الـ derivative صحيح بشكل صحيح في

321
00:29:27,460 --> 00:29:35,840
نقطة فالعمل يزيد في هذه النقطة ولكن هذا الوضع غير 

322
00:29:35,840 --> 00:29:40,960
صحيح يعني هذا الكلام إيش ماله ليس شرط أن يكون صحيح أن

323
00:29:40,960 --> 00:29:44,500
عندي اللي هنلاقي اللي هو الـ derivative صحيح بشكل

324
00:29:44,500 --> 00:29:49,220
صحيح لكن مافيش .. ما نقدرش نقول عنها إيش مالها is

325
00:29:49,220 --> 00:29:53,460
increasing at this point هذا في الـ Interval صحيح

326
00:29:53,460 --> 00:29:57,020
لكن في الـ Point إيش ماله need not to be true in

327
00:29:57,020 --> 00:30:01,860
general وهي مثال G of X هي اللي هو بحيث أن G'

328
00:30:02,240 --> 00:30:07,940
للـ 0 بساوي 1 لكن الـ G is not increasing in any

329
00:30:07,940 --> 00:30:14,260
neighbourhood حوالين مين الصفر، هذا مثال على G' of

330
00:30:14,260 --> 00:30:20,200
0 بساوي 1 اللي هو strictly أكبر من 0 but اللي هو في

331
00:30:20,200 --> 00:30:24,940
هذا ال .. عند هذه النقطة اللي هو في الجوار تبعها

332
00:30:24,940 --> 00:30:30,260
لا يمكن أن تكون اللي هي increasing في أي جوار

333
00:30:30,260 --> 00:30:35,610
حواليها هذا مثلنا يلّا خلّيني نحل السؤال الآن هاي

334
00:30:35,610 --> 00:30:40,090
سؤالنا let g من R لR be defined by g of X بيساوي X

335
00:30:40,090 --> 00:30:44,410
زي 2 X ثانوية صين واحدة ل X for X تتساوي صفر and g

336
00:30:44,410 --> 00:30:47,550
of 0 بيساوي 0 show that g prime of 0 إيش بيساوي

337
00:30:47,550 --> 00:30:53,030
واحد but in every neighborhood of zero, the

338
00:30:53,030 --> 00:30:57,430
derivative g prime takes on both positive and

339
00:30:57,430 --> 00:31:01,710
negative values. Thus, g is not monotonic in any

340
00:31:01,710 --> 00:31:05,830
neighborhood. هنلاقي في المنطقة هذه، وين ما كان،

341
00:31:05,830 --> 00:31:13,210
هنلاقي الـ g prime اللي هي أكبر من صفر وأصغر من صفر

342
00:31:13,210 --> 00:31:18,410
يعني مش هنلاقي في أي neighborhood أن الـ G' أكبر

343
00:31:18,410 --> 00:31:25,410
من صفر لحالها أو الـ G' للـ X هي أكبر من حالها أو

344
00:31:25,410 --> 00:31:33,910
أصغر من حالها في كل .. من صفر في كل الجوار G' مش

345
00:31:33,910 --> 00:31:38,930
هتكون أصغر من صفر في كل الجوار ولا أكبر من صفر في

346
00:31:38,930 --> 00:31:46,630
كل الجوار هنلاقي إلها متذبذبة في الإشارة كيف؟

347
00:31:48,510 --> 00:31:54,930
الحل شبهه صحيح الحل شبهه بس هذا الآن موظف لمين؟ لا

348
00:31:54,930 --> 00:31:58,990
اللي هي اللي هو counter example على اللي هي ال

349
00:31:58,990 --> 00:32:02,630
remark اللي عندنا وده counter example على اللي هي

350
00:32:02,630 --> 00:32:08,010
النظرية هذك بوضح أن ال theorem need not to be true

351
00:32:08,010 --> 00:32:12,170
in general وهنا اللي هو بوضح أنه اللي هو ال

352
00:32:12,170 --> 00:32:18,000
strictly increasing عند نقطة لا .. لا .. لا .. لا

353
00:32:18,000 --> 00:32:18,380
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا ..

354
00:32:18,380 --> 00:32:18,540
لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

355
00:32:18,540 --> 00:32:19,120
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

356
00:32:19,120 --> 00:32:19,800
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

357
00:32:19,800 --> 00:32:26,540
.. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

358
00:32:26,540 --> 00:32:29,660
..

359
00:32:29,660 --> 00:32:31,300
لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

360
00:32:31,300 --> 00:32:32,100
لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا .. لا

361
00:32:32,100 --> 00:32:39,020
.. لا .. لا

362
00:32:39,020 --> 00:32:46,020
.. لا إيش بعمل قاعد بدي أحاول أثبت أن g prime of 0

363
00:32:46,020 --> 00:32:51,600
اللي هو بيساوي واحد هاي التعريف هاي عنده y ساوي

364
00:32:51,600 --> 00:32:55,180
جسمنا عليه بيصير واحد زائد اثنين limit x sin واحد

365
00:32:55,180 --> 00:33:00,380
على x اللي هو هذا ايه شماله؟ بساوي صفر لأن الـ

366
00:33:00,380 --> 00:33:03,720
absolute value للـ X sin واحد على X أكبر بساوي صفر

367
00:33:03,720 --> 00:33:07,740
وأصغر أو يساوي الـ absolute value للـ X اللي هو

368
00:33:07,740 --> 00:33:11,020
by Sandwich theorem اللي هو ال limit هذا إيش بساوي

369
00:33:11,020 --> 00:33:15,040
صفر إذا ال limit على بعض وكله إيش بساوي واحد إذا

370
00:33:15,040 --> 00:33:17,740
D prime of zero بساوي واحد اطلع لفوق

371
00:33:20,460 --> 00:33:26,260
عندي for x تتساوي 0 الـ g prime سهل أن أنا أجدها

372
00:33:26,260 --> 00:33:30,300
عبارة عن واحد زائد تفاضل قاعد أربع x sin واحد على

373
00:33:30,300 --> 00:33:34,080
x ناقص اثنين cosine واحد على x لأن بالظبط as above

374
00:33:34,080 --> 00:33:37,520
for any neighborhood زي اللي حكينا قبل شوية for

375
00:33:37,520 --> 00:33:43,340
any neighborhood ناقص دلتا ودلتا حول الصفر بقدر

376
00:33:43,340 --> 00:33:49,200
ألاقي اد أكبر سواء واحد بحيث أن هذا وهذا يكون في

377
00:33:49,200 --> 00:33:54,160
الجوار لكن جي برايم عند الأولى أصغر من صفر وجي

378
00:33:54,160 --> 00:33:58,480
برايم عند الثانية شماله أكبر من صفر بحسابات

379
00:33:58,480 --> 00:34:01,580
مشابهة أي سؤال؟

380
00:34:05,050 --> 00:34:09,570
طيب نيجي لسؤال 12 سؤال 12 بيقول إذا كانت h of x

381
00:34:09,570 --> 00:34:13,590
بيساوي 0 إذا كانت x أصغر من 0 و1 إذا كانت x أكبر

382
00:34:13,590 --> 00:34:16,650
بيساوي 0 prove that there does not exist a

383
00:34:16,650 --> 00:34:21,310
function f من R لR such that f prime of x شماله

384
00:34:21,310 --> 00:34:26,190
بيساوي h of x هذا حلنا زيه برضه اللي هو درابوكس

385
00:34:26,190 --> 00:34:29,270
theorem using إيش درابوكس theorem إيش بنقول

386
00:34:29,270 --> 00:34:37,360
suppose not مظبوط طبق الآن هي عند H of X هيابقول

387
00:34:37,360 --> 00:34:42,920
لأثبت أنه فيش ولا function F لو فضلناها بتطلع مين؟

388
00:34:42,920 --> 00:34:46,540
H of X بدنا نفترض العكس، نفترض أنه في function

389
00:34:46,540 --> 00:34:51,260
اسمها F بحيث أن F' إيش بتساوي H صارت H نفسها

390
00:34:51,260 --> 00:34:54,400
differentiable، ماشي آسف، F إيش ما لا؟

391
00:34:54,400 --> 00:34:57,880
differentiable، مظبوط؟ مدام F differentiable، إذا

392
00:34:57,880 --> 00:35:03,120
by مين؟ By Daraboux's theorem اللي هو there exist و

393
00:35:03,120 --> 00:35:07,640
طبعا وإحنا عارفين النص بين مين؟ بين الـ 0 والـ 1

394
00:35:07,640 --> 00:35:12,880
إذا by Daraboux's theorem there exist اللي هو ..

395
00:35:12,880 --> 00:35:19,840
اللي هي C بين الـ X1 و X2 بحيث أن G of C بسوء أفه

396
00:35:19,840 --> 00:35:24,940
prime of C ويساوي نص which is impossible أسرعت

397
00:35:24,940 --> 00:35:32,940
عليكم، مظبوط؟ الآن يا جماعة بدي أفترض أن العكس صحيح

398
00:35:32,940 --> 00:35:37,880
يعني بدي أفترض أن F من R ل R بحيث أن F prime of X

399
00:35:37,880 --> 00:35:42,740
إيش بتساوي؟ X لكل X element in R ماشي الحال اتفجن

400
00:35:42,740 --> 00:35:47,840
الهن إذا F نفسها بناء على هذا الحديث F is

401
00:35:47,840 --> 00:35:52,340
differentiable على R من جهة أخرى أخرى لاحظ إن النص

402
00:35:52,340 --> 00:35:55,160
بين الـ 0 والـ 1، مين هو الـ 0 والـ 1؟ الـ 0 والـ

403
00:35:55,160 --> 00:35:58,060
1 هي قيم الـ function هذه اللي بحكي عنها، يعني الـ

404
00:35:58,060 --> 00:36:03,840
0 والـ 1 هتكون الـ 0 عبارة عن أشوف X1 والـ A1

405
00:36:03,840 --> 00:36:09,390
أشوف X2، مين X1 و X2؟ اخترت الـ X1 أصغر من 0؟ و X2

406
00:36:09,390 --> 00:36:13,690
أكبر من 0 صار عند نقطتين X1 و X2 واحد أصغر من 0

407
00:36:13,690 --> 00:36:18,030
واحد أكبر من 0 يعني التمتين عاملين لفترة إذا صار

408
00:36:18,030 --> 00:36:24,870
عند نص في الفترة بين 0 و 1 اللي هو عبارة عن بين H

409
00:36:24,870 --> 00:36:31,520
of X1 و H of X2 لكن H of X1 و H of X2 من هم؟ F' of

410
00:36:31,520 --> 00:36:36,900
X1 و F' of X2 إذا صارت اللي هي درابوكس theorem

411
00:36:36,900 --> 00:36:41,260
محققة F is differentiable ونص تنتمي للفترة بيه

412
00:36:41,260 --> 00:36:47,340
اللي هي F' of X1 و F' of X2 of X2 إذا حسب اللي هي

413
00:36:47,340 --> 00:36:51,340
درابوكس theorem أي حاجة بينهم لازم يكون لها أصل

414
00:36:51,340 --> 00:36:57,190
إذا there exists C بين الـ x1 والـ x2 بحيث أنه

415
00:36:57,190 --> 00:37:02,450
اللي هو f prime للـ c هذه اللي اللي جاتها بين x1 و

416
00:37:02,450 --> 00:37:08,770
x2 هي مين النص يعني زي بمسح كل القيم اللي بين f of

417
00:37:08,770 --> 00:37:13,080
x1 و f of x2 مش هيك تدربت في تستيرون بتقول إذا صارت

418
00:37:13,080 --> 00:37:17,460
عندي في c بين هذه وهذه بحيث أن f prime of c بساوي

419
00:37:17,460 --> 00:37:21,480
نص يعني g of c بساوي نص طب هذا مستحيل لأن أصلا g

420
00:37:21,480 --> 00:37:25,100
.. h طبعا هذا مش g .. h of c .. هذا مستحيل ليش 

421
00:37:25,100 --> 00:37:28,760
مستحيل؟ لأن h أصلا ما تأخذ رقم ثاني، يا صفر يا

422
00:37:28,760 --> 00:37:32,020
واحد إذا contradiction، مدام contradiction إذا 

423
00:37:32,020 --> 00:37:37,940
there is no function f من R لR بحيث أن f prime of 

424
00:37:37,940 --> 00:37:41,080
x يساوي f of x for every x

425
00:37:45,230 --> 00:38:01,830
في ضياع سؤالين خلنا نمر عليهم هذا

426
00:38:01,830 --> 00:38:06,130
حلنا زيها اللي هو let I be an interval and let F

427
00:38:06,130 --> 00:38:11,110
من I لR be differentiable on I مفترضين أن F عبارة 

428
00:38:11,110 --> 00:38:16,000
عن اللي هو differentiable function على an interval

429
00:38:16,000 --> 00:38:19,820
I وقول لي show that إذا كانت F prime is positive

430
00:38:19,820 --> 00:38:25,000
on I لو F prime أكبر من 0 على I هتكون الـ F  أشمالها

431
00:38:25,000 --> 00:38:29,800
strictly increasing on I طبعا اللي هو على السريع

432
00:38:29,800 --> 00:38:34,940
لنفترض F prime أكبر من 0 لكل X element on I ماشي

433
00:38:34,940 --> 00:38:41,240
هو نفسه؟ خلاص اللي بده السؤال موجود في الشريحة اللي

434
00:38:41,240 --> 00:38:44,300
هو الـ main value theorem  اتكل الله خليني أقوله

435
00:38:44,300 --> 00:38:50,490
عنه الآن let I be an interval and let F من I لعند R

436
00:38:50,490 --> 00:38:55,050
سواء الـ 14 بيه differentiable on I show that if

437
00:38:55,050 --> 00:38:59,210
the derivative F' is never zero on I يعني إذا كانت

438
00:38:59,210 --> 00:39:04,230
F' أكبر من صفر اللي هي تساوي صفر on I then either

439
00:39:04,230 --> 00:39:08,430
F' أكبر من صفر for all X limited on I أو F' أصغر 

440
00:39:08,430 --> 00:39:13,480
من صفر لكل X جمالهايعني بيقول لي إذا كانت الـ F

441
00:39:13,480 --> 00:39:17,760
differentiable على ال interval I وكانت الـ F'

442
00:39:18,160 --> 00:39:23,240
بتساويش 0 في هذه الحالة الـ F' يا هتكون كلها موجبة

443
00:39:23,240 --> 00:39:28,940
على ال I يا كلها سالبة عالميا على ال I مدامت ما غيرتش

444
00:39:28,940 --> 00:39:32,760
شرطها بالمرة يعني بمعنى آخر يعني مش هتغير شرطها

445
00:39:32,760 --> 00:39:38,260
بالمرة مدامت الـ F' مش 0 على الفترة إذا إشارتها

446
00:39:38,260 --> 00:39:43,650
واحدة يا F أكبر من 0، يا F أكبر من .. أصغر من 0،

447
00:39:43,650 --> 00:39:47,070
هذا في ضوء أن F is differentiable، بدنا نفترض

448
00:39:47,070 --> 00:39:51,170
العكس ونصل لـ contradiction، suppose on the contrary

449
00:39:51,170 --> 00:39:56,290
نفترض أن F prime of X أكبر من 0 لنقاط ... لبعض

450
00:39:56,290 --> 00:40:00,390
النقط في I، و F prime of X أكبر من .. أصغر من 0

451
00:40:00,390 --> 00:40:04,660
لبعض النقاط في I، يعني مخلوطة و بدنا نصلّ لمين لـ

452
00:40:04,660 --> 00:40:08,640
contradiction طيب then there exist a و b element

453
00:40:08,640 --> 00:40:12,220
in I such that أف برايم of a أشمالها أكبر من صفر و

454
00:40:12,220 --> 00:40:15,520
أف برايم b أصغر من صفر لإن أنا مفترض الآن افترضت

455
00:40:15,520 --> 00:40:18,200
أنه في نقاط اللي هي أكبر من صفر عندها ال

456
00:40:18,200 --> 00:40:20,940
derivative وفي نقاط أصغر من صفر عندها ال

457
00:40:20,940 --> 00:40:25,040
derivative ماشي الحال إذا بنلاقي a و b بالحقق هذه

458
00:40:25,490 --> 00:40:28,710
الآن أكيد مدام هذا أكبر من صفر وهذا أصغر من صفر،

459
00:40:28,710 --> 00:40:32,910
إذا الصفر بين الـ F'A و الـ F'B لأنها واحدة موجبة

460
00:40:32,910 --> 00:40:36,850
بواحدة مين، مدام الصفر بينهم، إذا حسب Darabowski's

461
00:40:36,850 --> 00:40:40,990
theorem، هي بتمسح كل المنطقة اللي بين الصور، لازم 

462
00:40:40,990 --> 00:40:45,570
كلها يكون اللي هي أصولها إذن by Daraboux's theorem

463
00:40:45,570 --> 00:40:49,430
there exists c element in I such that f prime of c

464
00:40:49,430 --> 00:40:52,970
يساوي صفر وهذا اللي هو بناقض الفرضية اللي احنا

465
00:40:52,970 --> 00:40:57,570
فرضناها أن f prime لا تساوي صفر على كل ال I إذن f

466
00:40:57,570 --> 00:41:01,730
prime لا تساوي صفر على كل ال I معناته و

467
00:41:01,730 --> 00:41:05,670
differentiable طبعا معناته يا إما كلهن ال f prime 

468
00:41:05,670 --> 00:41:11,950
موجبات يا إما كلهن إيه أشمالها سالبة يعني يا 

469
00:41:11,950 --> 00:41:15,710
increasing strictly increasing يا strictly يا

470
00:41:15,710 --> 00:41:23,230
أشمالها decreasing مافيش أي تغيير للرسم والشكل طيب

471
00:41:23,230 --> 00:41:28,820
نيجي لآخر السؤال let I Be An Interval Prove That If

472
00:41:28,820 --> 00:41:32,980
F Is Differentiable On I And The Derivative Of F'

473
00:41:33,300 --> 00:41:37,820
Is Bounded On I، Then F Satisfies Lipschitz

474
00:41:37,820 --> 00:41:43,920
Condition On I، ماشي الحل، بتقول لي، بتقول لي

475
00:41:43,920 --> 00:41:48,460
السؤال ما يعني، Lipschitz Condition

476
00:41:53,580 --> 00:41:58,020
خلينا نشوف إيش اللي بنقوله إذا كانت F

477
00:41:58,020 --> 00:42:10,320
differentiable on I و F' bounded on I اثبت إن F 

478
00:42:10,320 --> 00:42:15,680
satisfies Lipschitz conditions ماشي؟ إيش Lipschitz

479
00:42:15,680 --> 00:42:23,450
condition؟ إنه there exists K أكبر من 0 such that F

480
00:42:23,450 --> 00:42:30,130
of X ناقص F of Y أصغر أو يساوي لبس اليود فيها ل X 

481
00:42:30,130 --> 00:42:34,330
minus Y في مين؟ في K اللي كنا نقول عنها على طول

482
00:42:34,330 --> 00:42:40,630
هذي بتعطي إيش ما لها uniformly continuous لكل X و 

483
00:42:40,630 --> 00:42:44,190
Y لكل X و Y في الفترة اللي بنحكي عنها اللي بشت

484
00:42:44,190 --> 00:42:48,790
غل condition إيش ما لها متحققة إذا الـ Absolute هذا 

485
00:42:48,790 --> 00:42:54,670
معناه اللي بش تسكندشه نيجي نحققها هذه نيجي نحقق

486
00:42:54,670 --> 00:42:55,710
اللي هو 

487
00:42:58,230 --> 00:43:02,930
الـ Lipschitz condition لت x و y element in I بيه 

488
00:43:02,930 --> 00:43:06,130
such that x strictly أصغر من 100 من y

489
00:43:27,180 --> 00:43:30,960
إذا منها ناخذ الـ absolute value للجهتين بتطلع عندي

490
00:43:30,960 --> 00:43:36,260
اللي أماني واضح لكن F' is bounded مدام bounded F'

491
00:43:36,740 --> 00:43:41,940
إذا there exist K بحيث أن F' of C أصغر يساوي K لكل C

492
00:43:41,940 --> 00:43:47,550
إيه أشمالها من ضمن الـ C اللي فوقها لأن أف برايم is

493
00:43:47,550 --> 00:43:51,870
bounded على كل ال I و هذه الـ K بتنفع لكل مين لكل

494
00:43:51,870 --> 00:43:54,570
الـ C's اللي في ال I إذا صارت أف برايم في C أصغر أو

495
00:43:54,570 --> 00:43:58,270
شويه K بنعود فوق بيصير أف of X ناقص أف of Y أصغر

496
00:43:58,270 --> 00:44:02,150
أو شويه K في X minus Y و ال X و ال Y كانت نقش

497
00:44:02,150 --> 00:44:06,870
مالهين arbitrary إذا صار هذه أصغر أو شويه K في X

498
00:44:06,870 --> 00:44:11,790
minus Y ودخلت المتساوية لأن في حالة ال X بتساوي Y 

499
00:44:11,790 --> 00:44:21,600
اللي هو it is trivial therefore I satisfy اللي هو

500
00:44:21,600 --> 00:44:25,820
Lipschitz condition و الله يعطيكوا العافية