1
00:00:04,910 --> 00:00:11,030
بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة الرابعة بعد حالة

2
00:00:11,030 --> 00:00:19,410
الطوارئفي مادة او مساق تحليل لرياضي 2 او تحليل

3
00:00:19,410 --> 00:00:23,970
حقيقي 2 لطلبة و طالبات الجامعة الإسلامية كلية

4
00:00:23,970 --> 00:00:30,110
العلوم قسم الرياضيات وهي المحاضرة رقم 14 في المادة

5
00:00:30,110 --> 00:00:35,970
او في المساق عنوان المحاضرة اليوم اللي هو

6
00:00:35,970 --> 00:00:43,260
fundamental theorem ofof calculus بشقيها شق تفاضل

7
00:00:43,260 --> 00:00:50,640
التكامل وشق تكامل التفاضل roughly نبدأ اللي هو في

8
00:00:50,640 --> 00:00:54,960
النظرية الأولة أو الجزء الأول من النظرية اللي هي

9
00:00:54,960 --> 00:00:58,760
ال first form ال fundamental theorem of calculus

10
00:00:58,760 --> 00:01:04,870
اللي هي الجزء الأول بتقول ما يليlet f from a و b

11
00:01:04,870 --> 00:01:08,430
لعند R be an integrable function on a و b يعني

12
00:01:08,430 --> 00:01:12,070
فرضنا أن الـ function f عبارة عن دالة قابلة

13
00:01:12,070 --> 00:01:17,190
للتكامل على الفترة المغلقة a و b and let f capital

14
00:01:17,190 --> 00:01:22,190
من a و b لعند R تحقق الشروط التاليةتحقق أول شيء

15
00:01:22,190 --> 00:01:25,110
أنها تكون الاف كابتنال هادي continuous على الفترة

16
00:01:25,110 --> 00:01:30,530
a و b الشرط الثاني f prime exists and f prime of x

17
00:01:30,530 --> 00:01:34,130
بساوي الاف small اللي بدأنا فيها دي الفرض منها

18
00:01:34,130 --> 00:01:39,880
integrable لكل x element in a و bبنقول الـ

19
00:01:39,880 --> 00:01:44,900
integration من A لB للـ F بساوي F of B ناقص F of A

20
00:01:44,900 --> 00:01:50,400
إذا الآن و كإني بقول نفترض أنه الـ F small

21
00:01:50,400 --> 00:01:56,100
integrable و نفترض F continuous على closed bounded

22
00:01:56,100 --> 00:02:01,160
interval A و B و F نفسها differentiable على الـ

23
00:02:01,160 --> 00:02:05,260
open اللي هو interval A و B بشرط أنه الـ F prime

24
00:02:05,260 --> 00:02:07,940
ال derivative لها الـ F capital طبعا بساوي الـ F

25
00:02:07,940 --> 00:02:13,240
small of Xوبناء على كل المعطيات اللي حكيناها بيكون

26
00:02:13,240 --> 00:02:17,120
ال integration من a لb لل f small هو عبارة عن fb

27
00:02:17,120 --> 00:02:21,760
ناقص f of a او اختصارا واسهلك للحفظ ال integration

28
00:02:21,760 --> 00:02:29,670
من a لb لل f prime of x dx هي عبارة عنوكأنه

29
00:02:29,670 --> 00:02:36,250
التكامل بلغ التفاضل بيصير اللي هي f of b ناقص f of

30
00:02:36,250 --> 00:02:40,610
a هذا فضوء mean يعني هاي هادة باختصار هيك فضوء

31
00:02:40,610 --> 00:02:44,710
mean أن f prime of x تكون موجودة على الفترة من a و

32
00:02:44,710 --> 00:02:51,370
b و أيضا بتكون انهاش integrable نفسها integrable و

33
00:02:51,370 --> 00:02:56,110
تكون ال f نفسها continuous على close من a ل عند b

34
00:02:56,390 --> 00:03:00,270
هذه هي النظرية إذا اللي بدنا نثبته الآن أنه قيمة

35
00:03:00,270 --> 00:03:04,470
ال integration هذا بساوي اللي هو اللي أمامنا اللي

36
00:03:04,470 --> 00:03:09,590
هي f of b ناقص من ناقص f of a خلينا نشوف إيش

37
00:03:09,590 --> 00:03:15,030
البكاء في البحران يا جماعةالان اللي واضح انه انا

38
00:03:15,030 --> 00:03:18,530
بده اثبت انه ال integration هو عبارة عن f of b

39
00:03:18,530 --> 00:03:24,990
ناقص f of a شوف انا كيف بده اوصلك اللي هو ال

40
00:03:24,990 --> 00:03:28,670
integration لمنقلة ال b لل f بساوي f of b ناقص f

41
00:03:28,670 --> 00:03:32,010
of a انا بعرف اول حاجة هو معطيلي ال f small هذه

42
00:03:32,010 --> 00:03:35,290
اللي هي ال f prime اللي هي ال f small سميتها هذه

43
00:03:35,290 --> 00:03:39,240
معطينيها integrallyMadame Integrable إذن بواسطة

44
00:03:39,240 --> 00:03:44,160
اللي هي .. إذا بتتذكروا Integrable criterion وهي

45
00:03:44,160 --> 00:03:46,900
اللي بنستخدمها كثير احنا لإنها .. يعني خلّيني أقول

46
00:03:46,900 --> 00:03:51,400
صيغة مهمة في إثبات النظريات اللي هي بما إنه أف

47
00:03:51,400 --> 00:03:56,380
Integrable إذن لكل Y أكبر من 0 يوجد there exists a

48
00:03:56,380 --> 00:04:00,600
partition B اللي هو X0 X1 عند X ل .. عند ..

49
00:04:00,600 --> 00:04:03,280
partition لمين طبعاً للفترة اللي أنتوا عارفينها

50
00:04:03,280 --> 00:04:06,800
اللي احنا بنشتغل عليها الفترة من A لعند مين لعند B

51
00:04:06,960 --> 00:04:12,920
There exists a partition B X0 X1 XN of A و B such

52
00:04:12,920 --> 00:04:20,280
that ال other sum B F'-LB F' أصغر من إبسلون F' من

53
00:04:20,280 --> 00:04:24,000
هنا من هي يا جماعة؟ هي ال F لأننا مفترضين ال F

54
00:04:24,000 --> 00:04:29,940
small أو ال F' is integrable إذا بواسطة الرماء ال

55
00:04:29,940 --> 00:04:34,760
integrable criterion حصلنا على واحد اللي عنده

56
00:04:34,760 --> 00:04:40,880
إلحاةأحكي عنها الآن أو أستخدمها للوصول لهدفي طيب

57
00:04:40,880 --> 00:04:44,040
because طبعا F prime اللي هي meme زي ما قلنا F of

58
00:04:44,040 --> 00:04:48,820
X is integrable on A أو B الآن في شغلة تانية احنا

59
00:04:48,820 --> 00:04:55,880
بدأ الآن أستخدم اللي هو أمر آخر خلينا نكتب الآن

60
00:04:55,880 --> 00:05:00,920
أول شغلة حصلناها عشان تعرف أين أنا رايح اللي هي

61
00:05:00,920 --> 00:05:06,550
قلنا F is integrableF التي بيسمى F' Integrable أيش

62
00:05:06,550 --> 00:05:12,270
أعطتنا يا جماعة؟ أعطتنا أن هناك بارتيشن B هناك B

63
00:05:12,270 --> 00:05:15,830
طبعا for every epsilon أكبر من سفر هناك بارتيشن B

64
00:05:15,830 --> 00:05:23,390
such that U, B و F اللي هي الـ F' طبعا الـ F يمين

65
00:05:23,390 --> 00:05:29,530
الـ F' ناقص الـ B و F هي أصغر من Y وهذا سمناها

66
00:05:29,530 --> 00:05:34,710
إيش؟ سمناها 1لأن من جهة أخرى يا جماعة بدي أستغل

67
00:05:34,710 --> 00:05:37,810
اللي هو اللي معطينيه أن الأفكار بتلقوا continuous

68
00:05:37,810 --> 00:05:41,490
أنا الآن زي ما قلنا جزاقنا اللي هي الفترة A و B

69
00:05:41,490 --> 00:05:52,230
إلىاللي هي X0 X1 X2 فترة نموذجية Xk-1 لعند Xk لعند

70
00:05:52,230 --> 00:05:56,010
مين لعند Xn اللي هي مين الـ B هذا ال partition

71
00:05:56,010 --> 00:05:59,930
اللي لجيته أنا الآن أنا بعرف أن ال F capital

72
00:05:59,930 --> 00:06:03,330
continuous على ال closed interval كلها من A لعند B

73
00:06:03,330 --> 00:06:06,870
إذا الأكيد continuous على كل sub interval موجودة

74
00:06:06,870 --> 00:06:12,540
يعني صارت اللي عندي ال F capital continuouson a

75
00:06:12,540 --> 00:06:18,560
التي هي xk-1 وعند xk هذه هي ال sub interval اللي

76
00:06:18,560 --> 00:06:24,080
ال function f continuous عليها وإحنا مفترضين أيضا

77
00:06:24,080 --> 00:06:29,220
أن ال f prime exist على ال open interval كلها إذا

78
00:06:29,220 --> 00:06:33,860
أكيد ال fis differentiable لأن f' exist على ال

79
00:06:33,860 --> 00:06:37,360
open interval من a لعند b إذا أكيد f is

80
00:06:37,360 --> 00:06:41,980
differentiable على الفترة xk minus واحد لعند مين

81
00:06:41,980 --> 00:06:45,140
لعند ال xk يعني يا جماعة شروط ال mean value

82
00:06:45,140 --> 00:06:50,020
theorem محققة إذا أكيد there existthere exist بما

83
00:06:50,020 --> 00:06:54,540
انه اللي هي شروط ال mean value محققة اذا there

84
00:06:54,540 --> 00:06:59,620
exist بسميها اللي هو bk او tk there exist tk في

85
00:06:59,620 --> 00:07:06,440
الفترة xk minus واحد عند ال xk such that اللي هو F

86
00:07:06,440 --> 00:07:11,520
هي الدلل اللي بطبق عليها ال mean value theorem يا

87
00:07:11,520 --> 00:07:19,320
جماعة F of xk ناقص F of xk minus واحداللي هو

88
00:07:19,320 --> 00:07:24,560
بتساوي اللي هو xk ناقص xk مايلوس واحد طبعا احنا

89
00:07:24,560 --> 00:07:29,280
بنكسب عليها اللي هي ايش بتساوي اللي هي ال F prime

90
00:07:30,370 --> 00:07:35,630
of الهي main TK هذه اللي هي الـ Main Value Theorem

91
00:07:35,630 --> 00:07:39,710
نتجتها مطبق على مين يا جماعة على الفترة اللي هي XK

92
00:07:39,710 --> 00:07:43,770
minus واحد لعند XK طبعا هذا الكلام لكل K لأنه لكل

93
00:07:43,770 --> 00:07:48,170
مين لكل ال sub intervals بتتحقق نفس الشروط بناء

94
00:07:48,170 --> 00:07:55,010
عليه احنا بنعرف قبل هيك خليني أبدأ أشتغلها عند ال

95
00:07:55,010 --> 00:08:04,450
MK إبراهيماللي هي أكيد أصغر أو يساوي الـ Fاللي هي

96
00:08:04,450 --> 00:08:11,370
ال F عندك ال mk' ايش نذاكركم فيها ايش هي ال mk' ال

97
00:08:11,370 --> 00:08:15,190
mk' هي مكتوبة لنكتبها كمان مرة ال mk' هي مين ال

98
00:08:15,190 --> 00:08:19,610
infimum لل F' F of X X element of X K minus واحد X

99
00:08:19,610 --> 00:08:24,950
K ال F' مين هذه ال F small ماشي الحال طيب ال F او

100
00:08:24,950 --> 00:08:30,590
ال mk' هي عبارة عن ال infimum لمين لل F' على ال

101
00:08:30,590 --> 00:08:37,110
sub interval هذه اذا اكيدأصغر أو يساوي الـ F of أي

102
00:08:37,110 --> 00:08:41,630
مقطوين موجودة في الـ sub-interval والـ TK هدوين

103
00:08:41,630 --> 00:08:46,410
موجودة في هذا الـ sub-interval إذن أكيد F of TK

104
00:08:46,410 --> 00:08:50,670
أصغر من الـ MK' لأن الـ MK' هي عبارة عن الـ

105
00:08:50,670 --> 00:08:57,290
infimum لقيمة الدالة F' of TK عالمياً على الفترة

106
00:08:57,290 --> 00:09:01,440
اللي هي ال sub-interval اللي بنحكي عنها ككلوهذه

107
00:09:01,440 --> 00:09:06,040
أكيد أصغر أو يساوي من الـ MK Ibrahim مين الـ MK

108
00:09:06,040 --> 00:09:11,060
Ibrahim هذه؟ هي عبارة عن الـ Supremum لمين؟ لقيمة

109
00:09:11,060 --> 00:09:16,990
اللي هي الدالة هذه على الفترة اللي عندهماشي الحال

110
00:09:16,990 --> 00:09:23,110
إذا هذه دائما صحيحة طب لو ضربت جهتي كل الأطراف في

111
00:09:23,110 --> 00:09:27,650
طول الفترة اللي هي xk minus xk minus واحد طبعا

112
00:09:27,650 --> 00:09:31,510
أكيد هذه xk ناقص xk minus واحد كمية موجبة إذا لما

113
00:09:31,510 --> 00:09:35,010
أضربها في الأطراف كلها بتظلها ال inequality صحيحة

114
00:09:35,010 --> 00:09:40,610
وزي ما هي في xk ناقص xk minus واحد وهنا في xk ناقص

115
00:09:40,610 --> 00:09:46,280
xk minus واحد مظبوط هذا الكلام أكيد صحطيب لكن هذا

116
00:09:46,280 --> 00:09:52,220
المقدار هو هذا إذا باجي بحط هذه هان معايا جماعة

117
00:09:52,220 --> 00:09:57,000
بحط هذه في المنطقة هذه المكان القيمة هذه اللي هي

118
00:09:57,000 --> 00:10:05,190
هذه إذا صار عندي الأن Fof xk ناقص f of xk minus 1

119
00:10:05,190 --> 00:10:12,070
أكبر أو يساوي ال Mk' في ال xk minus xk minus 1

120
00:10:12,070 --> 00:10:18,490
وهذا أصغر أو يساوي ال Mk' في ال xk minus xk minus

121
00:10:18,490 --> 00:10:24,290
1إذا واضح إن أنا حصلت على هذه وهذه صحيحة لكل مين

122
00:10:24,290 --> 00:10:28,150
لكل كيه لإنه أخدت أنا هذه فترة عشوائية يعني لكي

123
00:10:28,150 --> 00:10:33,790
بتساوي اللي هو واحد واتنين لعند مين لعند الان بناء

124
00:10:33,790 --> 00:10:38,250
عليه أنا وصلت الآن إلى ما يليه وصلت إلى هذه

125
00:10:38,250 --> 00:10:43,670
النتيجة شايفين يا جماعة وصلت إلى هذه النتيجة اللي

126
00:10:43,670 --> 00:10:48,860
أنا وضحتلكم إياها كيف إجتالان و ال mk prime زي ما

127
00:10:48,860 --> 00:10:55,280
قلنا ايش هي و ال mk capital prime هيها امامكم نيجي

128
00:10:55,280 --> 00:10:59,720
الان ايش اللي بده حصله شوف ال K ايش بده حصل انا

129
00:10:59,720 --> 00:11:03,020
عمال بقول انه صحيح على كل K اذا لو أخدت ال

130
00:11:03,020 --> 00:11:05,900
summation هنا و أخدت ال summation هنا و أخدت ال

131
00:11:05,900 --> 00:11:10,440
summation هنا بظل اللي هي ال inequality صحيحة خد

132
00:11:10,440 --> 00:11:16,050
الآن ال summationعلى الفترة الـ summation على

133
00:11:16,050 --> 00:11:19,530
الinquality اللي حكينا عنها هيها بيصير ال

134
00:11:19,530 --> 00:11:23,630
summation لل M K برايم في X K X K minus واحد K من

135
00:11:23,630 --> 00:11:26,630
عند واحد لعند M وهنا هيكون أصغر أو ساوى ال

136
00:11:26,630 --> 00:11:31,090
summation لل F of X K ناقص F of X K minus واحد

137
00:11:31,090 --> 00:11:36,190
اللي هي احنا هنا حصلناها هان وهذه ال summation

138
00:11:36,190 --> 00:11:39,490
عليها وهذه ال summation عليها هي ال summation هذا

139
00:11:39,850 --> 00:11:43,210
طيب يا جماعة أكيد أنتم اذكرين هذا ال summation هو

140
00:11:43,210 --> 00:11:47,770
عبارة عن مين يا جماعة هو عبارة عن ال lower sum لل

141
00:11:47,770 --> 00:11:52,370
partition بي على مين على الدالة اللي بنعمل عليها

142
00:11:52,370 --> 00:11:56,330
اللي هي ال F' اللي اشتغلنا عليها اللي أخدنا ال F'

143
00:11:57,150 --> 00:12:01,270
ال MK' هي ال infimum لل F' على ال sub interval

144
00:12:02,160 --> 00:12:07,220
والان هذه يشبه يا جماعة هي ال upper sum يعني بمعنى

145
00:12:07,220 --> 00:12:12,960
آخر صار عندى الآن المقدار هذا هي المقدار هذا اللى

146
00:12:12,960 --> 00:12:17,680
محاط بالأزرق هذا المقدار و بالأحمر صار بين اللى هو

147
00:12:17,680 --> 00:12:22,120
ال lower sum و بين ال upper sum لكن هذا المقدار

148
00:12:22,120 --> 00:12:25,860
الصمشي اللى احنا عملناه قبل ذلك كتير لو فرضناه

149
00:12:25,860 --> 00:12:33,860
هيكون عبارة عن F of X واحدناقص F of X Note زائد F

150
00:12:33,860 --> 00:12:40,360
of X 2 ناقص F of X 1 زائد F of X 3 ناقص F of X 2

151
00:12:40,360 --> 00:12:45,460
زائد لما أصل لآخر إشي F of X N ناقص F of X N ناقص

152
00:12:45,460 --> 00:12:50,520
1 حلاجي كله بروح و بظل عندك كل هذا بروح و بظل عندك

153
00:12:50,520 --> 00:12:54,860
بس F of X ناقص F of X N ناقص مين F of X Note كل

154
00:12:54,860 --> 00:13:00,340
term ب cancel اللي قبله و يساويF of Xn اللي هي

155
00:13:00,340 --> 00:13:07,420
مين؟ F of B F of Xnot اللي هي مين؟ F of A إذا صار

156
00:13:07,420 --> 00:13:10,920
عندي الآن الـSummation هذا اللي هو بيسوي F of B

157
00:13:10,920 --> 00:13:16,440
نقص مين؟ نقص F of A يعني بمعنى آخر بنشيل هذا و

158
00:13:16,440 --> 00:13:20,580
بنحط مكانه قيمته اللي هو F of B نقص F of A بيصير F

159
00:13:20,580 --> 00:13:25,320
of B minus F of A بين اللي هو L of B و F' و بين

160
00:13:25,320 --> 00:13:34,230
الأبقى الـU of B و F'طيب اطلع على فوق شوية خليني

161
00:13:34,230 --> 00:13:39,830
اوضحلك هذه النقطة اللي هتوصلي للي بديها انا ايش

162
00:13:39,830 --> 00:13:44,170
بدي اثبت انا بدي اثبت ان ال integration خليني بس

163
00:13:44,170 --> 00:13:51,710
اشيل هذا بعد اذنكم انا

164
00:13:51,710 --> 00:13:58,260
بدي اثبت ان ال integration لل F prime of x dxأو

165
00:13:58,260 --> 00:14:06,320
الـ F of X DX بساوي F of B ناقص F of A من A لعند

166
00:14:06,320 --> 00:14:12,870
مين؟ لعند B، هيا، بدي أسهلشوف الان كيف انا في

167
00:14:12,870 --> 00:14:17,590
الواقع بتوصلكم هذا نقص هذا يكون اكبر او يساوي سفر

168
00:14:17,590 --> 00:14:20,990
و اصغر من epsilon لأي اصغر يساوي epsilon لكل

169
00:14:20,990 --> 00:14:24,110
epsilon في الدنيا و من ثم هيساوي سفر يعني هتحدث

170
00:14:24,110 --> 00:14:29,090
مين المساواة اللي مافهمش عليها هي الان نجلة تفصيل

171
00:14:29,090 --> 00:14:39,060
اتفجنا احنا انه احنا حصلنا على اللي هوالـ F of D –

172
00:14:39,060 --> 00:14:44,520
F of A بين الـ U و بين الـ L لكن احنا بنقول الـ F

173
00:14:44,520 --> 00:14:49,420
نفسها يا جماعة الـ F' هذه is integrable مزام

174
00:14:49,420 --> 00:14:55,380
Integrable من A لعند Bأذن الـ U of F و الـ L of F

175
00:14:55,380 --> 00:14:58,560
اللي هو الـ Upper Integral و الـ Lower Integral

176
00:14:58,560 --> 00:15:01,960
اللي هو هيساوي قيمة الـ Integration عارفينوا هذا

177
00:15:01,960 --> 00:15:05,760
الكلام احنا بنتعرف شو معناته Integrable الـ U of F

178
00:15:05,760 --> 00:15:11,640
هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum لمين؟ للكبار اللي

179
00:15:11,640 --> 00:15:19,640
هي U L أو U P و Fوهذا عبارة عن الـ Supremum لنية

180
00:15:19,640 --> 00:15:28,200
للـ L, B و F يعني بيصير عندي اللي هو هذا عبارة عن

181
00:15:28,200 --> 00:15:32,420
ال U of F من جهة وهذا عبارة عن ال L of F من جهة

182
00:15:32,420 --> 00:15:35,900
أخرى هذا ال integration نقلة بيه ال F' ليش؟ لأن ال

183
00:15:35,900 --> 00:15:40,630
F' is integrable زي ما قلناهطيب، إيش علاقة الـ L و

184
00:15:40,630 --> 00:15:44,130
F بهذه؟ L و F عبارة عن الـ Supremum لكل هذول، إذا

185
00:15:44,130 --> 00:15:47,450
أكيد الـ L و F أكبر أو يساوي هذه، إذا صار ال

186
00:15:47,450 --> 00:15:51,610
integration هذا اللي عندى أكبر أو يساوي الـ L و F،

187
00:15:51,610 --> 00:15:56,070
خلصنا من هذه، لأن من جهة ثانية ال integration لل F

188
00:15:56,070 --> 00:15:58,510
براين هو الـ U of F، لأن الـ F is integrable زي ما

189
00:15:58,510 --> 00:16:04,770
قلنا، و الـ U of F مين هو؟هو عبارة عن الـ infimum

190
00:16:04,770 --> 00:16:08,810
لها دول إذا الـ U of F أصغر أو يشويها مزام أصغر أو

191
00:16:08,810 --> 00:16:12,210
يشويها يعني صار ال integration أصغر أو يشويها يعني

192
00:16:12,210 --> 00:16:18,050
بمعنى آخر احنا وصلنا ان ال integration تبعناالـ

193
00:16:18,050 --> 00:16:23,450
integration اللي هو من A لعند A بي لل F برايم بين

194
00:16:23,450 --> 00:16:29,530
ال L و بين مين و بين ال U ماشي الحالة الآن و هذا

195
00:16:29,530 --> 00:16:35,390
برضه بين ال L و بين مين ال U اضربلي الآن اللي تحت

196
00:16:35,390 --> 00:16:41,820
اللي هو بسالببتنعكس ال inequality وبعدين اجمعل

197
00:16:41,820 --> 00:16:46,320
الجهتين ماشي الحال هذي بيصير سالب وهذي بيصير أكبر

198
00:16:46,320 --> 00:16:51,220
أو يساوي سالب وهذي بيصير أكبر أو يساوي سالب اجمعل

199
00:16:51,220 --> 00:16:56,980
الجهتين بيصير عند ال integrationأو العكس اضرب اللي

200
00:16:56,980 --> 00:16:59,720
فوق بالسالب عساس ان اعمل زي ما عامل هو هان اضرب

201
00:16:59,720 --> 00:17:02,000
اسف اللي هو اضرب مين اللي فوق بالسالب يصير هذا

202
00:17:02,000 --> 00:17:07,640
ناقص وهذا كله ناقص وهذا عبارة عن ناقص وهذا اكبر او

203
00:17:07,640 --> 00:17:12,760
يساوي وهذا اكبر او يساوي واجمح لبعض او بلغة اخرى

204
00:17:13,150 --> 00:17:16,790
قول اللي .. اللي .. اللي .. اللي تحت ناقص اللي فوق

205
00:17:16,790 --> 00:17:20,130
بطلع عندى ال integration لل F prime من A ل عند B

206
00:17:20,130 --> 00:17:24,730
ناقص اللي هي F of B minus F of A أصغر يساوي ال U

207
00:17:24,730 --> 00:17:30,770
ناقص ال L و أكبر أوي يساوي ال L ناقص ال U واضح أنه

208
00:17:30,770 --> 00:17:36,480
هذهعبارة عن ناقص هذه وهذه كمية موجبة إذا صار عند

209
00:17:36,480 --> 00:17:41,000
ال absolute value للقيمة هذه أصغر أو يساوي ال U

210
00:17:41,000 --> 00:17:49,300
ناقص مين ال L كمان مرة هذه سالب هذهوهذه موجبة إذاً

211
00:17:49,300 --> 00:17:53,540
هذه الـ Inquality صارت هي عبارة عن مفكوك الـ

212
00:17:53,540 --> 00:17:57,440
absolute value للـ F prime ال integration ناقص

213
00:17:57,440 --> 00:18:01,840
المقدار هذا أصغر أو يساوي هذا القيمة وهذا القيمة

214
00:18:01,840 --> 00:18:05,700
لسه ما سحنهاش احنا إيش قلنا عنها أصغر من من إبسلان

215
00:18:05,700 --> 00:18:09,280
وانا قاعد باشتغل على ال partition اللي لجيته أعلى

216
00:18:09,280 --> 00:18:15,390
إذا صار عندى الآن اللي وصلتلهعبارة عن اللي هو ال

217
00:18:15,390 --> 00:18:20,150
absolute value هذا أصغر من إبسلون وطبعا أكبر أوي

218
00:18:20,150 --> 00:18:24,790
ساوي سفر والإبسلون واز إيه شمالها arbitrary يعني

219
00:18:24,790 --> 00:18:29,430
المقدار هذا لأي إبسلون في الدنيا لأي إبسلون في

220
00:18:29,430 --> 00:18:33,770
الدنيا هذا أصغر من مين من الإبسلون هو أكبر أوي سفر

221
00:18:33,970 --> 00:18:38,510
إذاً لازم يكون هذا المقدار اللي هو عبارة عن سفر

222
00:18:38,510 --> 00:18:42,530
يعني بمعنى آخر ال integration بساوي اللي هو F of B

223
00:18:42,530 --> 00:18:47,050
نقص F of A و هيك و نكون حصلنا على المطلوب و أثبتنا

224
00:18:47,050 --> 00:18:51,470
النظرية طيب

225
00:18:51,470 --> 00:18:57,850
الجماعة الان هذا اللي هو الجزء الأولالجزء الأول من

226
00:18:57,850 --> 00:19:00,890
اللي هو الـ Fundamental Theorem of Calculus اللي

227
00:19:00,890 --> 00:19:05,750
هو عبارة عن تكامل التفاضل اللي هي عملية التكامل

228
00:19:05,750 --> 00:19:10,470
هتلغى عملية التفاضل زي ما شفنا اللي هو قبل بشوية

229
00:19:10,470 --> 00:19:15,130
وشفنا إيه اللي جالته الـ Fundamental Theorem طبعا

230
00:19:15,130 --> 00:19:20,270
هذا الكلام تحت الشروط المذكورةالآن بقول لي .. يمكن

231
00:19:20,270 --> 00:19:24,810
حكيت هادى حتى بقول لي corollary بقول انا أحيانا

232
00:19:24,810 --> 00:19:29,530
بحب أريح حالي و نقول خلينا ناخد .. عشان نستذكر ال

233
00:19:29,530 --> 00:19:32,790
.. ال .. ال .. ال fundamental theorem الجزء الأول

234
00:19:32,790 --> 00:19:37,950
بشكل سريع بس شويه عندنا نعمل .. في الشروط ان هو قف

235
00:19:37,950 --> 00:19:41,630
من a ل b لعند R satisfy the conditionsاللي هو F'

236
00:19:42,150 --> 00:19:45,790
exists on A وB، مابتدش أجيب سيرة مين الـ F Small؟

237
00:19:45,790 --> 00:19:49,250
مابتدش أشغل مين؟ على الـ F Capital لو فرضنا إن الـ

238
00:19:49,250 --> 00:19:54,010
F هذه من A وB لعند R إنها الـ F' اللي هي الشمالها

239
00:19:54,010 --> 00:19:57,890
exist على الـ A وB يعني فرض إنها، بس هنا زاد شوية

240
00:19:57,890 --> 00:20:01,130
على الشروط اللي جابل بشوية إن F is differentiable

241
00:20:01,130 --> 00:20:03,790
على الـ closed interval كنا فرضينها إنها F

242
00:20:03,790 --> 00:20:06,740
differentiable على الـ Openوفرضين إنها continuous

243
00:20:06,740 --> 00:20:10,760
على اللي هي الـ Closed مدام الآن إذا فيها دي سنة

244
00:20:10,760 --> 00:20:16,680
زيادة من ال .. من اللي هي الشروط F' exists على الـ

245
00:20:16,680 --> 00:20:19,820
A و الـ B يعني continuous و differentiable على الـ

246
00:20:19,820 --> 00:20:24,350
closed open .. على ال closed interval A و Bالان هي

247
00:20:24,350 --> 00:20:29,550
الشرط والشرط الثاني فرض ان ال F' مش موجودة و بس ال

248
00:20:29,550 --> 00:20:33,030
F' انتجر بالعلى ال A و ال B إذا انتجقت شروط ال

249
00:20:33,030 --> 00:20:36,210
fundamental theorem إذا حسب ال fundamental theorem

250
00:20:36,210 --> 00:20:39,410
اللي قبله شوية بكون عنده ال integration من A لB

251
00:20:39,410 --> 00:20:44,190
لمين الآنللـ f prime اللي كنا نسميه في الجبل f

252
00:20:44,190 --> 00:20:49,310
small بتساوي f of b ناقص f of a إذا فعلا هي

253
00:20:49,310 --> 00:20:53,130
automatic حققت شروط ال fundamental theorem وزيادة

254
00:20:53,130 --> 00:20:59,850
سنة إذا أكيد النتيجة بتكون صحيحة يعنيتكامل الدالة

255
00:20:59,850 --> 00:21:05,210
المتفاضلة بساوء أصل الدالة اللي هو أصل الدالة عنده

256
00:21:05,210 --> 00:21:09,070
النقطة الأولى نقص النقطة مين بنحكي النقطة الثانية

257
00:21:09,070 --> 00:21:13,950
اللي هو عبارة عن integration F of B نقص مين F of A

258
00:21:13,950 --> 00:21:19,210
طب لو كانت X متغير يعني لو أخذنا أي X بين الفترتين

259
00:21:19,210 --> 00:21:23,550
وطبّجنا نظرية على الـA اللي عند الـXفبصير ال

260
00:21:23,550 --> 00:21:27,130
integration من إلي إلى عند ال X أف براين بساوي أف

261
00:21:27,130 --> 00:21:32,490
of X ناقص أف of A X هذه هتصبح متغيرة والأف of A

262
00:21:32,490 --> 00:21:39,190
ثابتة وهذا بيذكرنا انه احنا قيمة التكامل لدالة

263
00:21:39,190 --> 00:21:43,790
بساوي اللي هو عبارة عن اللي هي الإجابة اللي هي

264
00:21:43,790 --> 00:21:47,630
الدالة اللي بتطلع زائد some constant C اللي هو ال

265
00:21:47,630 --> 00:21:53,660
constant طبعا لاللي هيطبيعة الديالي لقداش بيطلعلنا

266
00:21:53,660 --> 00:21:56,420
اللي هو ال initial conditions بيسفرلنا إياه ال

267
00:21:56,420 --> 00:21:59,620
constant أو بيعطينا إياه خمسة أربعة ستة أو بيظلوا

268
00:21:59,620 --> 00:22:03,720
بصورة عامة Constancy طيب شوفوا صلوا على النبي عليه

269
00:22:03,720 --> 00:22:08,090
الصلاة والسلامالآن بدنا نيجي للجزء الثاني من الـ

270
00:22:08,090 --> 00:22:11,470
Fundamental theorem خلصنا جزء اللي هو تكامل

271
00:22:11,470 --> 00:22:16,870
التفاضل، الآن بنتوقع إنه انفاضل التكامل، انفاضل

272
00:22:16,870 --> 00:22:20,530
التكامل، تحت شروط، بنشوف اللي هي ال Fundamental

273
00:22:20,530 --> 00:22:24,650
theorem of calculus second form أو اللي هو الجزء

274
00:22:24,650 --> 00:22:27,850
الثاني من ال Fundamental theorem، إيش اللي بيقوله؟

275
00:22:27,850 --> 00:22:33,540
اللي بيقول معايا ليه، نفترض إن F smallمن a و b

276
00:22:33,540 --> 00:22:38,060
لعند r اللي هو is integrable in a و b إذا انفرضناه

277
00:22:38,060 --> 00:22:41,460
انه integrable ونفرض أن f of x هو بيساوي ال

278
00:22:41,460 --> 00:22:46,160
integration من a ل x f for all x element in a و b

279
00:22:46,160 --> 00:22:52,200
بس لان نيجي للنتيجة thenهيطلع هذا عبارة عن

280
00:22:52,200 --> 00:22:55,360
continuous function في ال .. في ال .. اللي هي main

281
00:22:55,360 --> 00:23:02,700
في اللي هي على الفترة a أو b ومش هي كمان ولو كان

282
00:23:02,700 --> 00:23:09,830
ال Fsmall continuous عند نقطة C في الفترة من A

283
00:23:09,830 --> 00:23:14,050
لعند B أو من A لعند X هتكون ال F هذه نفسها

284
00:23:14,050 --> 00:23:16,950
differentiable و ال derivative اللي هي إيش بساوي

285
00:23:16,950 --> 00:23:22,590
بساوي قيمة اللي هو ال F اللي جوا يعني باختصار يا

286
00:23:22,590 --> 00:23:29,450
جماعة بتتكررها سهل بقولك مفترض FIntegrable ماشي

287
00:23:29,450 --> 00:23:34,690
الحال هاي بس الان بقول لو جيت اخدت من A ل X on

288
00:23:34,690 --> 00:23:44,670
طبعا A و B لو اخدت الان A و X F small of T DT هاي

289
00:23:44,670 --> 00:23:51,510
ده طبعا الان صارت كلها تعتمد على مين على X بقولك

290
00:23:51,510 --> 00:23:55,370
هذههذه اللي طلع اللي هو الـ integration للـ

291
00:23:55,370 --> 00:24:01,130
integrable function من A ل X F of T DT هتطلع لي

292
00:24:01,130 --> 00:24:05,210
continuous function لو سميتها F capital زي ما هو

293
00:24:05,210 --> 00:24:08,730
مسميها F of X بتكون الـ F عندها شمالها is

294
00:24:08,730 --> 00:24:16,430
continuous الآن بقولك لو اجيت و قلت ان Fis

295
00:24:16,430 --> 00:24:21,390
continuous الـ F اللي جوا هذه at C element in A وB

296
00:24:21,390 --> 00:24:25,650
لو كانت F is continuous at C element in A وB

297
00:24:25,650 --> 00:24:31,730
هيطلعلك بقولك إذا الـ F capital هذه F prime of C

298
00:24:31,730 --> 00:24:39,870
existsو مش exist بس و ال F prime of C هتساوي ال F

299
00:24:39,870 --> 00:24:46,030
small of إيش؟ of C يعني و كأنه بقولك لما نتفاضل

300
00:24:46,030 --> 00:24:50,210
هذه F prime of C اللي هي من إيه اللي عند C يعني

301
00:24:50,210 --> 00:24:57,370
تقول F prime of C بساوي تفاضل رفلة by DXعنده

302
00:24:57,370 --> 00:25:02,630
النقطة C لل integration من A ل X F of T DT

303
00:25:27,580 --> 00:25:33,180
C مثلاً بتساوي F of C اللي هي F small of C هو كون

304
00:25:33,180 --> 00:25:36,540
ال F اللي جوا continuous عنده النقطة اللي بنحكي

305
00:25:36,540 --> 00:25:39,940
عنها طب لو كانت F اللي جوا هادى continuous وين

306
00:25:39,940 --> 00:25:43,620
ماكان على الفترة هادى بصير خلاص وانت مغمض عناك

307
00:25:43,620 --> 00:25:47,980
بتيجي بتقول تفاضل هادي بتشيل التكامل و بتحطه اللي

308
00:25:47,980 --> 00:25:53,540
جوا بدلالة اللي هي ال X المتغيرواضح المفروض طيب

309
00:25:53,540 --> 00:25:59,660
نيجي الآن نثبت اللي هي النظرية نثبت شغلتين أن ال F

310
00:25:59,660 --> 00:26:02,580
كابتنال continuous عشان أثبتلك continuous هثبتلك

311
00:26:02,580 --> 00:26:05,940
أكثر من continuous هثبتلك uniform ل continuous لأ

312
00:26:05,940 --> 00:26:09,780
أقولك هثبتلك أكثر من uniform ل continuous هثبتلك

313
00:26:09,780 --> 00:26:12,920
أن ال F is Lipschitz function مثلا من Lipschitz

314
00:26:12,920 --> 00:26:15,400
function إذا على طول uniform ل continuous ومن ثم

315
00:26:15,400 --> 00:26:18,460
على طول إيش ما لها continuous إيش Lipschitz

316
00:26:18,460 --> 00:26:25,240
function يعني هثبتلك أن Fof x-f of y absolute

317
00:26:25,240 --> 00:26:30,720
value أصغر أو ساوي k في x-y had there exist k بحيث

318
00:26:30,720 --> 00:26:35,260
أن f of x-f of y أصغر من k في xy لكل x و y element

319
00:26:35,260 --> 00:26:40,020
in a و b هثبت لك f بتحقق هذا الشرط هثبتها ما ده

320
00:26:40,020 --> 00:26:42,540
هثبتها ما ده هتحقق هذا الشرط إذا ما على طول اللي

321
00:26:42,540 --> 00:26:45,680
هي هتكون lipschitz يعني بمعنى آخر هتكون is

322
00:26:45,680 --> 00:26:49,480
continuous هذا الجزء الأول الجزء الثاني يا شباب و

323
00:26:49,480 --> 00:26:55,760
يا بناتلأن if F is continuous at C هنثبت أن F is

324
00:26:55,760 --> 00:26:59,320
differentiable عند C يعني بدأ أثبتلك F is

325
00:26:59,320 --> 00:27:03,460
differentiable عند C يعني ايش F is differentiable

326
00:27:03,460 --> 00:27:14,660
يعني بدأ أثبتلك أن limit F of X زي داتش مثلا او F

327
00:27:14,660 --> 00:27:21,440
of C زي داتش ناقص F of Cعلى H اذا H بتروح للصفر

328
00:27:21,440 --> 00:27:27,380
بتثبت لك ايه ايش بيساوي F capital طبعا بيساوي F

329
00:27:27,380 --> 00:27:33,660
small of Cبدي أثبتلك يعني أو بمعنى آخر هأثبتلك لكل

330
00:27:33,660 --> 00:27:37,000
Y أكبر من 0 داريكزيز ديلتا بحيث أنه absolute value

331
00:27:37,000 --> 00:27:41,320
أصغر من Delta L على H أصغر من Delta يؤدي إلى F of

332
00:27:41,320 --> 00:27:48,260
C زائد H ناقص F of C على H ناقص F of C بدي أثبتلك

333
00:27:48,260 --> 00:27:53,180
يه أصغر من 200 من Epsilonبكون اثبتت فعلا انه هذه

334
00:27:53,180 --> 00:27:56,540
ال limit بالساوية هذه معناته هذه ال limit طبعا ايش

335
00:27:56,540 --> 00:28:01,000
بتعني ان F prime F capital prime of C exist و

336
00:28:01,000 --> 00:28:06,480
بتساوية F of C اللي هو اللي هو طالبه انه لما تكون

337
00:28:06,480 --> 00:28:09,280
F continuous عند ال C بتكون F capital

338
00:28:09,280 --> 00:28:12,040
differentiable عند ال C و ال derivative لل F

339
00:28:12,040 --> 00:28:15,700
capital بتساوية ال F اسمه فنشوف

340
00:28:17,960 --> 00:28:21,380
Media نثبت الـ Continuity أو نثبت الـ Lipschitz

341
00:28:21,380 --> 00:28:27,450
function يعني الأمر سهلأحنا مفترضين يا جماعة أن

342
00:28:27,450 --> 00:28:31,490
الـF small هذي is integrable مزام is integrable

343
00:28:31,490 --> 00:28:37,650
إذا is bounded S يعني أنه لكل .. نقدر نلاقي K أكبر

344
00:28:37,650 --> 00:28:41,830
من 0 بحيث أن ال absolute value ل F of X small أصغر

345
00:28:41,830 --> 00:28:48,070
سوى K لكل X موجودة ال A و ال B سبب هذه أن F نفسها

346
00:28:48,070 --> 00:28:52,350
is integrable طيب، بدأ اعتمد على هذه للوصول إنها

347
00:28:52,350 --> 00:28:58,620
لبشتالان خد اي x و y في ال a و ال b واسمحولي اخد x

348
00:28:58,620 --> 00:29:01,760
اقل من y without loss of generality مش عاد باخد y

349
00:29:01,760 --> 00:29:06,100
اكبر من .. اصغر من x الان حالة ال x بتساوي

350
00:29:06,100 --> 00:29:09,660
هتلاقوها automatic بتتحقق للي بديها نشوف ايش اللي

351
00:29:09,660 --> 00:29:13,790
بديهاالان خد x و y في ال a و ال b و نفترض ان x

352
00:29:13,790 --> 00:29:16,610
أزرار من y without most of generality زي ما قلنا

353
00:29:16,610 --> 00:29:22,890
الان احسبلي f of x f of y نقص مين f of x الكبيرة y

354
00:29:22,890 --> 00:29:26,630
و الكبيرة x احسب f of y نقص f of x ايش هيساوي ال

355
00:29:26,630 --> 00:29:29,470
integration حسب التعريف f of x بتساوي ال

356
00:29:29,470 --> 00:29:33,390
integration من ال x ل ال f smallالأن f of y هي

357
00:29:33,390 --> 00:29:36,930
عبارة عن ال integration من a ل y، f small، ناقص، f

358
00:29:36,930 --> 00:29:40,210
of x إيش بتساوي؟ ال integration من a ل x ل مين؟ لل

359
00:29:40,210 --> 00:29:47,290
F، إذا هذا ناقص هذا، الآن بدي أحول هذه، أجلبها،

360
00:29:47,290 --> 00:29:52,670
بيصير زائد ال integration من x لعند مين، لعند ال

361
00:29:52,670 --> 00:29:57,640
a، لل Fصار عندى الآن ال integration من X لعند ال A

362
00:29:57,640 --> 00:30:00,520
و من A لعند ال Y إذا حيصير هذا عبارة عن ال

363
00:30:00,520 --> 00:30:05,940
integration من X لمين من X لعند ال Y عارفين هذه

364
00:30:05,940 --> 00:30:09,960
الخاصية إذا صار عند ال F of X F of Y ناقص F of X

365
00:30:09,960 --> 00:30:15,760
بسوء ال integration من X ل Y لمين لل F شوف الآن

366
00:30:15,760 --> 00:30:20,100
إيش بده أصل؟ بده أصل إنه absolute value F of Y

367
00:30:20,100 --> 00:30:24,830
ناقص F of Xأصغر أو سوى K في الـ absolute value X

368
00:30:24,830 --> 00:30:31,450
مانس Y يعني صارت لبشت لنشوف كيف نصلها وأكيد بعضكم

369
00:30:31,450 --> 00:30:36,450
فهم او اتوقع كيف بتسوي لأن صار ال absolute value

370
00:30:36,450 --> 00:30:40,250
لهذه بسوى ال absolute value لهذه هيها لأن ال

371
00:30:40,250 --> 00:30:43,010
absolute value ال integration بخاصية احنا عارفينها

372
00:30:43,010 --> 00:30:46,770
أصغر أو سوى ال integration لل absolute valueوالـ

373
00:30:46,770 --> 00:30:50,990
absolute value للـ F في الفترة X وY أشملها .. هي

374
00:30:50,990 --> 00:30:53,570
مش في الفترة X وY بس الـ absolute value للـ F الـ

375
00:30:53,570 --> 00:30:56,170
absolute value للـ F أصغر أو سوى K على كل الفترة

376
00:30:56,170 --> 00:31:01,030
الكبيرة اللي هي A وB فأكيد برضه هتكون أصغر أو سوى

377
00:31:01,030 --> 00:31:05,670
K على الفترة الصغيرة فصار عندي أصغر أو سوى K في

378
00:31:05,670 --> 00:31:07,890
مين؟ في ال integration من X لعند Y ال integration

379
00:31:07,890 --> 00:31:13,080
من X لعند Y هو إيش بساوي؟ اللي هو Y minus Xالـ

380
00:31:13,080 --> 00:31:19,400
integration يعني ال integration لـ DT من X لـ DT

381
00:31:19,400 --> 00:31:28,660
ال integration لـ DT من X عند Y ايش بيساوي Y minus

382
00:31:28,660 --> 00:31:36,240
X Y minus X فهذا صار Y minus X و اللي جوا أصغر

383
00:31:36,240 --> 00:31:40,790
بيساوي Kالان هذا على خطوتين سهلات بتصور ان انتوا

384
00:31:40,790 --> 00:31:44,370
فاهمينش بحكي من X لعند Y ال integration لل F فده

385
00:31:44,370 --> 00:31:47,850
أصغر أو ساوي اللي هو ال integration من X لعند Y

386
00:31:47,850 --> 00:31:55,370
هذه بدلة K لكل DT وهذا بساوي K برة في Y minus X

387
00:31:55,370 --> 00:31:59,230
اللي هو أكيد حيصير عند ال absolute value هذه أصغر

388
00:31:59,230 --> 00:32:03,770
أو ساوي K في ال absolute value Y minus Xالان هذه

389
00:32:03,770 --> 00:32:07,570
ال Xات الأصغر من مين؟ من Y لكن زي ما انتوا عارفين

390
00:32:07,570 --> 00:32:11,150
حالة ال X بتساوي Y is trivial لأن لما تكون X

391
00:32:11,150 --> 00:32:14,450
بتساوي Y هذا سفر و لما تكون X بتساوي Y هذا سفر إذا

392
00:32:14,450 --> 00:32:18,610
ال inequality هذه صحيحة دائما إذا الأن صار عندى

393
00:32:18,610 --> 00:32:25,590
هذه ال inequality staris true for all x و y

394
00:32:25,590 --> 00:32:30,390
limiting a و b لأنه قلنا ال x أصغر من y ال y أصغر

395
00:32:30,390 --> 00:32:33,990
من x أكيد similarly و بنفس الأسلوب أو حتى without

396
00:32:33,990 --> 00:32:38,170
loss of generality يعني بدون ما نفقد أي إشي من

397
00:32:38,170 --> 00:32:44,530
التعميم بنفترض أن x أصغر من y صار

398
00:32:44,530 --> 00:32:53,230
عندي يا جماعةالان F مستمر على A وB لأن F بيصبح

399
00:32:53,230 --> 00:33:02,750
عملية Lipschitz اللي هي الآن ضال علي أثبت أن الـ F

400
00:33:02,750 --> 00:33:11,100
مستخدم وزي ما قلت بدأ أثبت أن الـ Limitللـ F of C

401
00:33:11,100 --> 00:33:17,800
زائد H نقص F of C على H لما H تروح للصفر بساوة F

402
00:33:17,800 --> 00:33:23,480
small of C أو أثبت لكم الفرق بين هذولتين أصغر من

403
00:33:23,480 --> 00:33:28,880
إبسلون وهذا زي ما قلنا هو اللي هيمثل F' of C ده

404
00:33:28,880 --> 00:33:34,160
نشوف كيف طيب الصلاة على النبي صلاة والسلام عليك

405
00:33:37,390 --> 00:33:42,130
خلّينا نجف عند .. أيوة نيجي الآن البرهان هتلاقوه

406
00:33:42,130 --> 00:33:49,730
برضه سهل وفكرته سهلة شوفوا كيف عندي نفترض الآن

407
00:33:49,730 --> 00:33:53,550
suppose that f is continuous at c limiting a وb

408
00:33:53,550 --> 00:33:58,790
مدام continuous إذن limit

409
00:34:01,700 --> 00:34:08,460
F of X as X بتروح للـ C بساوي F of C مظبوط ولا لأ؟

410
00:34:08,460 --> 00:34:12,300
أكيد مظبوط فبقى من جهة أخرى خلينا نكتبها بصورة

411
00:34:12,300 --> 00:34:18,660
ثانية X ناقص C بتروح للسفر if and only if اللي هو

412
00:34:18,660 --> 00:34:23,960
X بتروح لمين للـ C سمولي هذه X minus C إيش اسمها H

413
00:34:23,960 --> 00:34:31,410
بصير هذه اللي فوق مين هي limitF of الـ X minus C

414
00:34:31,410 --> 00:34:36,490
بتساوي الـ H يعني الـ X بتساوي H زائد C أو C زائد

415
00:34:36,490 --> 00:34:41,190
Hلأن x بتروح للـ c تكافئ أنه .. اللي هو x minus c

416
00:34:41,190 --> 00:34:44,610
تروح للصفر، يعني بتكافئ H تروح لمين للصفر، إيش حيث

417
00:34:44,610 --> 00:34:49,650
هو هذا؟ F of C، إذا هذه هي تعبير آخر عن ال

418
00:34:49,650 --> 00:34:56,250
continuity لل F لما اللي هو اللي هي ال F عند مين،

419
00:34:56,250 --> 00:34:59,210
عند ال C، يعني هذه تعبير آخر، ال continuity لل

420
00:34:59,210 --> 00:35:05,900
function لما عند النقطة اللي هي Cهذه الآن شو بدي

421
00:35:05,900 --> 00:35:09,520
استخدمها للوصول اللي بديها لأن مادام F is

422
00:35:09,520 --> 00:35:12,600
continuous ده هذي متحققة هيها مادام F is

423
00:35:12,600 --> 00:35:15,480
continuous عن C ده هذي متحققة فمادام هذي متحققة

424
00:35:15,480 --> 00:35:18,720
اذا by epsilon delta definition for every epsilon

425
00:35:18,720 --> 00:35:22,880
أكبر من 0 there exists delta أكبر من 0 such that

426
00:35:22,880 --> 00:35:28,950
لما يكون ال absolute value لل H أصغر من Deltaو

427
00:35:28,950 --> 00:35:32,230
طبعا انا وين بشتغل في المنطقة انها تكون C زائد H

428
00:35:32,230 --> 00:35:36,370
وين ما لأ في الفترة تبعت من A لعند مين لعند B يعني

429
00:35:36,370 --> 00:35:41,230
اخترت ال H صغيرة كفاية بحيث انه C زائد H اضلي وين

430
00:35:41,230 --> 00:35:45,090
جاعد في الفترة من A و B لعنده لإن هاي الفترة A وهي

431
00:35:45,090 --> 00:35:49,330
Bوالفترة هذه اللي هي I C عندي مثلا في داخلها اللي

432
00:35:49,330 --> 00:35:55,690
هي بتختار H دلتتها صغيرة كفاية أنه ضال C زائد H

433
00:35:55,690 --> 00:36:01,050
موجودة في الفترة من A لعند B عشان تصير معرفة لإن

434
00:36:01,050 --> 00:36:05,330
دالتي أنا عشان تكون معرفة عند C زائد H لازم تكون C

435
00:36:05,330 --> 00:36:08,490
زائد H في داخل المنطقة هذه لإن دالتي معرفة على

436
00:36:08,490 --> 00:36:11,770
الفترة من A لعند B عشان هيك أقولنا C زائد H لازم

437
00:36:11,770 --> 00:36:16,630
تكون في الفترة زائد Bإذن اختيار الـ Delta يعتمد

438
00:36:16,630 --> 00:36:20,210
على ال limit ويعتمد على انه أضمن ال C زي داشر ضال

439
00:36:20,210 --> 00:36:24,510
هوين في الفترة A وB إذا تعريف ال continuity بيقول

440
00:36:25,950 --> 00:36:27,530
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم

441
00:36:27,530 --> 00:36:28,970
باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر

442
00:36:28,970 --> 00:36:29,950
يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y

443
00:36:29,950 --> 00:36:30,650
أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام

444
00:36:30,650 --> 00:36:32,710
صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا

445
00:36:32,710 --> 00:36:35,050
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم

446
00:36:35,050 --> 00:36:41,110
باستخدام صفر يوجد دلتا

447
00:36:41,110 --> 00:36:49,400
لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أطيب، الآن

448
00:36:49,400 --> 00:36:54,020
وين أنا بدأ أروح؟ بدأ أثبت لكم إنه هذا ناقص هذا

449
00:36:54,020 --> 00:36:58,240
أصغر من epsilon عشان ذلك دعنا نحسب F of C زاد H

450
00:36:58,240 --> 00:37:03,060
ناقص F of C على H ناقص مين يا جماعة؟ F of C ويساوي

451
00:37:03,060 --> 00:37:13,170
الآن F of C زاد H ناقص F of Cخد الآن اللي هي الـ H

452
00:37:13,170 --> 00:37:16,850
هدعم المشترك بالـ C الواحدة للـ H ماشي F of C زي

453
00:37:16,850 --> 00:37:21,910
دتش تعريفها من A لعند C زي دتش لل F of X DX قلناها

454
00:37:21,910 --> 00:37:26,090
هذه اللي ماعطيناها من رأس الدور ناقص ماشي تعريف F

455
00:37:26,090 --> 00:37:30,230
of C Capital of C هو ال integration من A لعند C زي

456
00:37:30,230 --> 00:37:35,630
دتش الآن دي مش C زي دتش من A لعند مين لعند الـ C

457
00:37:35,630 --> 00:37:40,110
واحدة للـ H من A لعند الـ C اللي هي F of C زي دتش

458
00:37:40,110 --> 00:37:46,360
هيهاوهي الواحدة الـ H اللي برا ال F of C هيها من A

459
00:37:46,360 --> 00:37:51,780
ل C واحدة الـ H ناقص مين F of C هذا من التعريف

460
00:37:51,780 --> 00:37:55,460
مباشرة لإنه احنا عرفنا ال F capital of X هي عبارة

461
00:37:55,460 --> 00:38:01,820
عن integration من A لعند X F of T DT لأن لما نكون

462
00:38:01,820 --> 00:38:06,120
F of C زي دتش بنحطها دي C زي دتش C بنحطها دي عياش

463
00:38:06,120 --> 00:38:13,460
C وهي C زي دتش وهي الـ C وهي ساويةالان هذه من ..

464
00:38:13,460 --> 00:38:18,780
من .. من عند A لـ C زي ده اتش وهذه من A لعند B

465
00:38:18,780 --> 00:38:23,980
لعند C هدولة مع بعض هاي هدولة التنتين بده احسبها

466
00:38:23,980 --> 00:38:28,120
مع بعض حسبنا زيين قبل و شوية هو عبارة عن واحد على

467
00:38:28,120 --> 00:38:32,400
اتش خدوا عامل مشترك خدوا واحد على اتش عامل مشترك

468
00:38:32,400 --> 00:38:37,340
بين الجهتين تصبح واحد على اتش افتح جوس ال

469
00:38:37,340 --> 00:38:41,660
integration من A لعند C زي ده اتشلأن بدل الناقص

470
00:38:41,660 --> 00:38:46,020
بيصير H اكتب زائد بدل هذا الناقص بيكتب زائد لأن

471
00:38:46,020 --> 00:38:52,460
هتنقلب مين الآن من C لعند ال A نظبط اللي هو لنفسها

472
00:38:52,460 --> 00:38:58,020
F F هذه الآن من C لعند ال A ومن A لعند ال C زاد H

473
00:38:58,020 --> 00:39:02,000
إذا أكيد هذه كلها على بعض يصير ال integration من C

474
00:39:02,000 --> 00:39:08,930
ل C زاد H لل F في واحد على H إذا هذه كلهابس

475
00:39:08,930 --> 00:39:11,350
ابدلتها بقيمتها اللي قلنا عنها اللي هو ال

476
00:39:11,350 --> 00:39:15,810
integration من C ل C زي H اللي اوجدته بدل هذا كله

477
00:39:15,810 --> 00:39:23,190
من واحد ال H ل F of X DX ناقص الان هذا هذا اللي هي

478
00:39:23,190 --> 00:39:28,090
F of C شوف كيف بده اعملها على جهة تعالي احسب ال

479
00:39:28,090 --> 00:39:33,660
integrationالـ integration من C لـ C زائد H للـ

480
00:39:33,660 --> 00:39:38,180
constant واحد بعد أذنكم DX إيش هيساوي ال

481
00:39:38,180 --> 00:39:44,140
integration هدا عبارة عن C زائد H ناقص C وهيساوي

482
00:39:44,140 --> 00:39:48,760
قداش H يعني بمعنى آخر لو جيتها الجد تعرفوا ليش

483
00:39:48,760 --> 00:39:52,640
بعمل هيك واحد على H في ال integration من C لـ C

484
00:39:52,640 --> 00:39:58,720
زايد H اللي هو الواحد هيساوي إيش؟ واحد، مظبوط ولا

485
00:39:58,720 --> 00:40:03,450
لأ؟أكيد مظبوط ماشي هايمل هادي كسمت الديوا تاني

486
00:40:03,450 --> 00:40:10,570
علشان تطلع حد واحد الان صار عندى لو ضربت هادي

487
00:40:11,920 --> 00:40:18,320
الجهتين في F of C هي F of C بيساوي ايش؟ F of C صار

488
00:40:18,320 --> 00:40:21,260
الان F of C بيساوي هذه بدي أشيل F of C تبعتي و أحط

489
00:40:21,260 --> 00:40:25,360
مكانها هذه الصورة ليش حطيتها؟ عشان هذه أقدر أتحمل

490
00:40:25,360 --> 00:40:30,380
محا محا دي اللي موجودة من الأصل شوف كيف الان شيلت

491
00:40:30,380 --> 00:40:33,320
ال F of C و حطيت قيمتها اللي أوجدناها اللي هي

492
00:40:33,320 --> 00:40:37,660
عبارة عن F of C على H في ال integration من C لC زي

493
00:40:37,660 --> 00:40:42,480
H لمن؟ للواحدماشي لان صار هذا ال integration و هذا

494
00:40:42,480 --> 00:40:45,920
ال integration نفس الاشي واحد ل F of X و واحد ل

495
00:40:45,920 --> 00:40:50,380
واحد يعني بقدر اشتغل فيهم بيصير عندى خد ال واحد ال

496
00:40:50,380 --> 00:40:53,960
H برا عن المشترك خالص بيظل عندى ال integration من

497
00:40:53,960 --> 00:40:58,720
C ل C زاد H هذا مين ايش اسمه F of X و هذا F of C

498
00:40:58,720 --> 00:41:01,580
دخلتها جوا و مضربتها بالواحد صارت مين بقدر اعلن و

499
00:41:01,580 --> 00:41:06,520
ثابت اللي هي ناقص F of C لكل اش ماله DX هذا الكلام

500
00:41:06,520 --> 00:41:14,340
كله من C ل C زاد Hصار عندى الآن الصورة هذه هيها اه

501
00:41:14,340 --> 00:41:20,840
و هذه الصورة اصلا انا بدياها الان واحد على H أزرع

502
00:41:20,840 --> 00:41:23,760
أو ساوي قولنا absolute value of integration أزرع

503
00:41:23,760 --> 00:41:28,740
أو ساوي ال integration لل absolute value DX الان

504
00:41:28,740 --> 00:41:35,320
هذا المقدار F of X ناقص F of Cقلنا عنها من راس

505
00:41:35,320 --> 00:41:40,420
الدور أن F of X ناقص F of C اللي هو أصغر من

506
00:41:40,420 --> 00:41:44,420
Epsilon لأن limit F of X لما X تروح للـC أشهر

507
00:41:44,420 --> 00:41:50,240
مساوي F of C لأن X الـN هذه في الفترة من C لـC

508
00:41:50,240 --> 00:41:56,100
زائداتش يعني بتسمح لي أن أقول limit F of X as X

509
00:41:56,100 --> 00:42:01,220
بتروح للـC بتساوي F of C لما X بتروح للـC اللي هي

510
00:42:01,220 --> 00:42:05,980
أدش بتروح لمينللسفر مضل في نفس المنطقة لأن قلنا

511
00:42:05,980 --> 00:42:10,300
قبل شوية x minus c بتروح للسفر إذا وفقط إذا اللي

512
00:42:10,300 --> 00:42:13,880
هي ال H اللي بتروح للسفر اللي هي عبارة عن x minus

513
00:42:13,880 --> 00:42:18,260
c يعني هذا المقدار بال continuity لل F عند ال C

514
00:42:18,260 --> 00:42:21,980
برضه بكون أصغر من إبسلون على ال absolute value

515
00:42:21,980 --> 00:42:25,160
لمين لل H في ال integration من C لC زاد H

516
00:42:27,990 --> 00:42:33,050
واضحة اه؟ اكيد هذا الان ايش قيمته؟ C زي داش ناقص C

517
00:42:33,050 --> 00:42:36,050
اللي هي عبارة عن H فبصير Y عبارة عن absolute value

518
00:42:36,050 --> 00:42:42,430
of H في mean فيه اللي هو الـH الـH اللي هو الـH

519
00:42:42,430 --> 00:42:42,470
اللي هو الـH اللي هو الـH الـH اللي هو الـH اللي

520
00:42:42,470 --> 00:42:42,490
هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH

521
00:42:42,490 --> 00:42:42,570
الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي

522
00:42:42,570 --> 00:42:42,710
هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH

523
00:42:42,710 --> 00:42:46,490
الـH اللي هو الـH اللي هو الـH

524
00:42:46,490 --> 00:42:52,450
اللي هو الـطيب .. بيصير عندها .. بيصير أكبر من 0

525
00:42:52,450 --> 00:42:55,790
أسف هذه بحاجة دي بتطلع أيش بتساوي .. بيساوي بساوي

526
00:42:55,790 --> 00:42:58,150
.. بقدر أختار H positive؟ أه بقدر أختار H positive

527
00:42:58,150 --> 00:43:03,130
طيب و لو حتى ال H negative بتكون similarly بس

528
00:43:03,130 --> 00:43:06,950
بتكون .. كل البرهام بيصير .. بترتب على أنه اللي هي

529
00:43:06,950 --> 00:43:12,890
ال .. ال C زائد H أصغر من مين من ال C without loss

530
00:43:12,890 --> 00:43:17,250
of generality ال H أكبر من 0بصير عندى لان هذا

531
00:43:17,250 --> 00:43:24,750
المقدار أصغر من مين من إبسلون إيش يعني اللى عملنا

532
00:43:24,750 --> 00:43:28,290
اللى عملنا لكل إبسلون أكبر من Zero لاجئنا Delta

533
00:43:28,290 --> 00:43:33,350
بحيث أنه لما H absolute value أصغر من Deltaيعطيني

534
00:43:33,350 --> 00:43:39,330
أن هذا المقدار أصغر من مين؟ من إبسلون يعني صار

535
00:43:39,330 --> 00:43:43,450
عندي limit هذا المقدار بسوء f of c و هذا المقدار

536
00:43:43,450 --> 00:43:46,290
اللي هو f prime of c يعني اعتبتنا f prime of c

537
00:43:46,290 --> 00:43:56,410
بسوء f small of c وهو المطلوب طيب نيجي الآن لاللي

538
00:43:56,410 --> 00:44:02,210
هي ال corollaryبرضه الى النظرية اللى جاملة بشوية

539
00:44:02,210 --> 00:44:10,790
او خلّيني نقول تلخيصها سريع واستذكرها سريعها اللى

540
00:44:10,790 --> 00:44:17,830
هو الأولى كانت تكامل والتفاضل هذه تفاضل التكامل

541
00:44:17,830 --> 00:44:23,470
طبعا كل واحدة تحت شروطها المذكورة في نظريتها

542
00:44:25,860 --> 00:44:30,340
نجي نشوف يا جماعة ال corollary let f من a و b لعند

543
00:44:30,340 --> 00:44:34,940
r بي continuous on a و b and let f of x بي سوى ال

544
00:44:34,940 --> 00:44:37,720
integration من ال a ل ال x ل ال f إذا فرض f

545
00:44:37,720 --> 00:44:40,160
continuous ال f اسمه ال continuous على كل الفترة

546
00:44:40,160 --> 00:44:44,980
ريح حاله طبعا أعطى إشي أكبر من النظرية اللي فاتت

547
00:44:44,980 --> 00:44:47,640
يعني فرض ال continuity على ال a و ال b ما زم

548
00:44:47,640 --> 00:44:49,840
continuous إذا ما بتزمش تقول integrable لإن و أنا

549
00:44:49,840 --> 00:44:52,340
continuous function زي ما قلنا إيش ما لها is

550
00:44:52,340 --> 00:44:58,190
integrable إذا مدامة f continuousالان بيصير هذه ال

551
00:44:58,190 --> 00:45:01,810
integration اللي هي من a لعند ال x نفسها

552
00:45:01,810 --> 00:45:06,030
continuous لأ مش continuous بس is differentiable

553
00:45:06,030 --> 00:45:09,270
يعني أجم ال continuous يعني هتكون عندي ال f is

554
00:45:09,270 --> 00:45:13,670
differentiable و ال f برامي يمين هي ال f then f is

555
00:45:13,670 --> 00:45:17,730
differentiable من a و b عند f برامي بيساوي كده إذن

556
00:45:17,730 --> 00:45:25,000
باختصار من a ل x اللي هو fof t dt لو فرضنا هذه

557
00:45:25,000 --> 00:45:33,060
continuous على ال a و ال b إذا لكل x element in a

558
00:45:33,060 --> 00:45:38,080
و ال b بيصير f of x بالساوي هذا is differentiable

559
00:45:38,080 --> 00:45:45,500
و ال f prime of x هتساوي f of اللي هي x يعني بمعنى

560
00:45:45,500 --> 00:45:52,590
آخر اللي هوانفضل هذا التكامل و نزيل التفاضل و نحط

561
00:45:52,590 --> 00:46:00,830
الـ L جوا يعني بمعنى آخر D by DX للـ integration

562
00:46:00,830 --> 00:46:08,530
من A لعند X F of D DT لما تكون F continuous هذا

563
00:46:08,530 --> 00:46:14,610
بكون ب cancel هذا أو عملية عكسية لهوبتظللنا F of X

564
00:46:14,610 --> 00:46:19,070
يعدى الأحقالها أو F of T والـ T هي المتغير أو الـ

565
00:46:19,070 --> 00:46:23,370
X هي المتغير هذه اللي هي الكلرية الآن بدوا يلمّوا

566
00:46:23,370 --> 00:46:26,610
النظريتين اللي قبل بشوية في نظرية واحدة يلخصن في

567
00:46:26,610 --> 00:46:30,910
نظرية واحدة نشوف كيف بدوا يلخصن في نظرية واحدة

568
00:46:30,910 --> 00:46:40,630
يعني بدوا يعيد بس اللي هو صياغة النظريتين صلوا

569
00:46:40,630 --> 00:46:44,540
على النبي عليه الصلاة والسلامالان fundamental

570
00:46:44,540 --> 00:46:48,580
theorem of calculus combined form يعني التنتين

571
00:46:48,580 --> 00:46:53,790
الان موجودات في نفس النظرية شوف ايش بقولكlet

572
00:46:53,790 --> 00:46:57,610
Fcapital and Fsmall be continuous on a and b فرض

573
00:46:57,610 --> 00:47:00,710
أن Fcapital و Fsmall أشمالهم إتن تان continuous

574
00:47:00,710 --> 00:47:04,670
على الفترة a و b و فرضك أن F of a بساوة سفر يعني

575
00:47:04,670 --> 00:47:07,610
بدي أحط ال initial condition F of a بساوة سفر عسى

576
00:47:07,610 --> 00:47:11,070
أن يجمّل الصورة ماحطه عشان سفر بتطلع F of a في

577
00:47:11,070 --> 00:47:14,290
الجواب then the following statements are

578
00:47:14,290 --> 00:47:18,380
equivalentيعني لما تكون هذا صحيحة هذا صحيحة و لما

579
00:47:18,380 --> 00:47:22,640
تكون هذا صحيحة هذا صحيحة نيجي للجزء الأول لو فرضنا

580
00:47:22,640 --> 00:47:29,160
أن F prime of X بيساوي F of X إذا حيصير عندي ال F

581
00:47:29,160 --> 00:47:33,460
هذه is differential الماشي هيك مفترض أن F prime of

582
00:47:33,460 --> 00:47:38,620
X بيساوي F of X بقول إذاإذاً هذه صحيحة، إيش يعني

583
00:47:38,620 --> 00:47:43,260
هذه صحيحة؟ يعني ال integration من ال AX لل F of

584
00:47:43,260 --> 00:47:48,400
التي هي T DT، هذه DT يا جماعة، بس .. بس نخلف عن

585
00:47:48,400 --> 00:47:58,200
هذه، F of T DT، هذا هيساوي مين؟ هيساوي F of X،

586
00:47:58,200 --> 00:48:03,070
ناشي؟الان then the following statements are

587
00:48:03,070 --> 00:48:06,950
equivalent يعني لما تكون هذه صحيحة بتعطيها دي اه

588
00:48:06,950 --> 00:48:11,350
فرضنا ان f prime of x بيساوي f of x اذا حيكون عند

589
00:48:11,350 --> 00:48:14,290
ال integration من a ل x f of t dt بيساوي ايش

590
00:48:14,290 --> 00:48:20,630
بالظبط؟ f of x كيف ده تبتها؟ الان فرضنا هذا صحيح

591
00:48:20,630 --> 00:48:24,710
اذا ال integration من a ل عند ال x f of t اللي هي

592
00:48:24,710 --> 00:48:33,010
مين هتصير؟ f prime of tDT هذه قبل بشوية من نظرية

593
00:48:33,010 --> 00:48:36,470
الأولى قلنا كامل التفاوض و ليش بتطلع عندك جواب F

594
00:48:36,470 --> 00:48:42,210
of X ناقص مين F of A لإن كل الشروط متحققة ماشي

595
00:48:42,210 --> 00:48:48,110
الآن هاي كمان مرة يا جماعة فرضنا إن هذا متحقق بدي

596
00:48:48,110 --> 00:48:51,250
أحسب هذه أتبتها بالساوية هذه خد ال integration من

597
00:48:51,250 --> 00:48:55,510
X F of T DTهو ماعطيني الـ F small هد مين هي الـ F

598
00:48:55,510 --> 00:48:58,830
براهن شفت .. شيلت الـ F small إيش حطيت مكانها؟ F

599
00:48:58,830 --> 00:49:03,510
براهن الآن هذه قبل بشوية في الـ Corollary فظلنا ..

600
00:49:03,510 --> 00:49:07,490
كملنا التفاضل كيف كملنا التفاضل؟ إنه قولنا شيل

601
00:49:07,490 --> 00:49:11,230
التفاضل .. شيل التكامل .. شيل التفاضل بتصير عبارة

602
00:49:11,230 --> 00:49:15,270
عن F اللي فوق اللي كانت B ناقص F اللي تحت اللي هي

603
00:49:15,270 --> 00:49:19,390
A ويساويأف of X نقص أف of A أف of A ماعطينيها من

604
00:49:19,390 --> 00:49:24,350
رأس الدوار صفر إذا إيش هتساوي أف of X إذا هذه اللي

605
00:49:24,350 --> 00:49:28,290
بدّينا حساباتها بتساوي هذه طلعت إيش بتساوي أف of X

606
00:49:28,290 --> 00:49:32,830
يعني أف of X بتساوي هذا المقدار وهو المطلوب طيب

607
00:49:32,830 --> 00:49:36,730
هذا الجزء الأول من النظرية اللي هو نيجي للجزء

608
00:49:36,730 --> 00:49:42,240
الثاني نفترض الآن إن هذه صحيحة وده تعطيهاالان برضه

609
00:49:42,240 --> 00:49:44,760
الشروط كلها متحققة لأن الـ F في اسمه ليش مالها

610
00:49:44,760 --> 00:49:47,340
continuous لسه ان انا ما .. ما .. ما ملاحتوش انا

611
00:49:47,340 --> 00:49:52,080
هذا ايه عندي F continuous مدام F continuous ال

612
00:49:52,080 --> 00:49:57,720
integration من اعلى عند ال X هذا كلهاللي هو اسمه F

613
00:49:57,720 --> 00:50:01,320
of X هيكون differentiable حسب النظرية مزام

614
00:50:01,320 --> 00:50:04,780
differentiable حسب هذه النظرية إذا F prime of X

615
00:50:04,780 --> 00:50:11,100
إيش هتساوي؟ F of X يعني حققنا مين؟ اللي هي I يعني

616
00:50:11,100 --> 00:50:20,070
هذا يؤدي إلى هذانجي الآن بعض التعريفات اللي

617
00:50:20,070 --> 00:50:26,890
هنتكرها لكم وانتوا هتكونوا اللي هو اتابعوا الأمثلة

618
00:50:26,890 --> 00:50:32,130
من خلال ال homework اللي معاكم هنعطي اللي هي تعريف

619
00:50:32,130 --> 00:50:36,830
ممكن انتوا حتى مر عليكم في ال calculus ومن ثم اللي

620
00:50:36,830 --> 00:50:41,710
هونعطي بعض ال counter examples اللي هي هنرجعكم

621
00:50:41,710 --> 00:50:47,370
فيها للي هي الأسئلة اللي في الكتاب تشوفوا نصوصها

622
00:50:47,370 --> 00:50:53,530
على الأقل و اللي مطلوب تحلوها ايه تحلوها و اللي ما

623
00:50:53,530 --> 00:50:56,910
بتحلوه يعرفش تحلوهافي عندنا اللي هو في ال homework

624
00:50:56,910 --> 00:51:01,230
الحلول الموجودة بتدرسوها لحالكم مادرستوها برضه

625
00:51:01,230 --> 00:51:04,310
مافهمتوهاش احنا بنعمل فيها discussion ولو عملناها

626
00:51:04,310 --> 00:51:07,930
حتى بشكل صوتي على أساس اللي هو احنا يمكن مانقدرش

627
00:51:07,930 --> 00:51:12,110
نصور بشكل كامل اللي هي ال discussions عبر اللي هو

628
00:51:12,110 --> 00:51:16,270
التصوير اللي احنا الحالي بنصوره عبر ال power point

629
00:51:16,270 --> 00:51:22,710
من البيت ان شاء الله طيب definitionlet I بتساوي A

630
00:51:22,710 --> 00:51:27,630
وB subset من مين؟ من R إذا كانت F small من I لR

631
00:51:30,720 --> 00:51:35,400
then فرضنا أنه في دالة اسم F من I لعند R then the

632
00:51:35,400 --> 00:51:42,280
antiderivative of F يعني وكأنها عكس عملية عكس

633
00:51:42,280 --> 00:51:45,920
الدالة اللي بنفضلها roughly antiderivative of F on

634
00:51:45,920 --> 00:51:50,620
I is a function F من I لعند R such that F prime of

635
00:51:50,620 --> 00:51:59,830
X سوى F of X يعني عندنا دالة Fمن عند I لعند R لو

636
00:51:59,830 --> 00:52:05,310
جينا لجينا F تانية من عند I لعند R و لجينا F prime

637
00:52:05,310 --> 00:52:10,450
of X للي اللي في الـ I بتساوي mean لـ F small of X

638
00:52:11,290 --> 00:52:15,490
في هذه الحالة بنسمي ال F capital هذه عبارة عن

639
00:52:15,490 --> 00:52:19,850
antiderivative لل F يعني بمعنى أخر لو فضلناها هذه

640
00:52:19,850 --> 00:52:25,130
ال antiderivative هتطلع مين؟ ال F الأصلية يعني

641
00:52:25,130 --> 00:52:30,890
بتكون عندي اللي هي ال F capital هي ال

642
00:52:30,890 --> 00:52:35,210
antiderivative لل F وال F small هي ال derivative

643
00:52:35,210 --> 00:52:41,910
لل F واضح أخدته في ال calculus حتى نيجي الآنلأ

644
00:52:41,910 --> 00:52:45,650
اللي هو برضه مفهوم اخدته في الكاركولاس if f من I

645
00:52:45,650 --> 00:52:49,750
لعند R small is integrable لو فرضنا هذي integrable

646
00:52:49,750 --> 00:52:53,950
و جينا عرفنا

647
00:52:53,950 --> 00:52:56,910
ادالة من A لعند X F of X DX قبل شوية قولنا هذا

648
00:52:56,910 --> 00:53:00,290
أكيد معرفة مثلا في integrable ومش معرفة ال

649
00:53:00,290 --> 00:53:04,110
function F of X هتطلع continuous هذه اللي هي ال

650
00:53:04,110 --> 00:53:09,930
function أو هذا هو اللي بنسميه التكامل المحدودهذه

651
00:53:09,930 --> 00:53:15,110
بنسميها الـ Indefinite Integral of F يعني هذا

652
00:53:15,110 --> 00:53:17,790
بنسميه Indefinite Integral of F أو هذه الدلة

653
00:53:17,790 --> 00:53:23,030
بنسميها اللي هي The Indefinite Integral of F on I

654
00:53:23,030 --> 00:53:28,230
برضه هذا برضه شغلات اللي هو أخدتوها سابقا في اللي

655
00:53:28,230 --> 00:53:33,780
هو ال calculus نيجي بعض الملاحظات بسعلى اللي هو

656
00:53:33,780 --> 00:53:42,820
اللي بتعلق بهذه اللي هي المفاهيم نشوفها وهي طبعا

657
00:53:42,820 --> 00:53:48,760
هذه المفاهيم في عليها counter examples التمييز

658
00:53:48,760 --> 00:53:56,400
بينها نشوف المحبة هذه يا شباب طيب أصلي على النبي

659
00:53:56,400 --> 00:54:03,640
عليه الصلاة والسلامالان عندي سؤال سبعة تلاتة اتنين

660
00:54:03,640 --> 00:54:06,400
يعني في سبعة تلاتة سؤال اتنين او سبعة تلاتة سؤال

661
00:54:06,400 --> 00:54:10,660
خمسة طبعا كله في الطبع التاني هذا اللي هو عندي an

662
00:54:10,660 --> 00:54:13,540
integrable function may not have an antiderivative

663
00:54:13,540 --> 00:54:17,220
يعني هنلاقي في السؤال هذا integrable function

664
00:54:17,220 --> 00:54:24,080
ومالهاش .. ومالهاش antiderivative يعني هنلاقي

665
00:54:24,080 --> 00:54:30,660
function Fإنها تكون integrable لكن مالناجيش

666
00:54:30,660 --> 00:54:34,540
function F اللي ال derivative تبعي تاش بتساوي

667
00:54:34,540 --> 00:54:39,860
بتساوي F هذا اللي هو بتشوفوه في الـ 7 3 2 و 7 3 5

668
00:54:39,860 --> 00:54:43,340
الأمثلة أو ال counter examples اللي وجودة هنا طيب

669
00:54:43,340 --> 00:54:47,710
الملاحظة التانيةالـ function may have an

670
00:54:47,710 --> 00:54:52,830
antiderivative يعني عندي F و بتحقق F و في عندي F

671
00:54:52,830 --> 00:54:57,310
كابتال كمان و F برايم إيش بتساوي بسوء F but اللي

672
00:54:57,310 --> 00:55:02,210
هي ال integration لل F إيش ماله does not exist لكن

673
00:55:02,210 --> 00:55:07,370
but not integrable وهذا بتجاوب عليه برضه سبعة

674
00:55:07,370 --> 00:55:12,580
تلاتة خمسة يعني في function Fفي إلها F' بساوة F

675
00:55:12,580 --> 00:55:17,640
لكن ال integration للـ F إشماله does not exist

676
00:55:17,640 --> 00:55:24,900
تلاتة عندي الملاحظة الثالثة a continuous function

677
00:55:24,900 --> 00:55:27,800
always have antiderivative طبعا ال continuous

678
00:55:27,800 --> 00:55:35,290
function أصلا من القوة بمكان إنهاتخلّي عندها يكون

679
00:55:35,290 --> 00:55:39,490
لها الـ mean antiderivative الان a continuous

680
00:55:39,490 --> 00:55:44,190
function always have antiderivative وهذا اللي هو

681
00:55:44,190 --> 00:55:51,910
مباشرة من ال corollary 7 3 4 اللي كانت F

682
00:55:51,910 --> 00:55:56,770
continuous مدام F continuous إذا ال integration من

683
00:55:56,770 --> 00:56:07,120
ال X من A لعند ال XA of T DT بساوة F of X اللي هي

684
00:56:07,120 --> 00:56:10,900
is differentiable ومش differentiable كمان و F

685
00:56:10,900 --> 00:56:14,860
prime of X بتساوي F small of X يعني مدام أف

686
00:56:14,860 --> 00:56:17,880
continuous إذا صار لها antiderivative صارت ال F

687
00:56:17,880 --> 00:56:20,580
اللي هي ال derivative لها بساوة F of X إذا صارت

688
00:56:20,580 --> 00:56:24,620
إيش antiderivativeهد مين هذا اللي هو عبارة عن الـ

689
00:56:24,620 --> 00:56:28,980
Corollary 7 3 4 مدام أن F continuous إذا هذه

690
00:56:28,980 --> 00:56:33,360
الدالة اللي سميتها F of X is differentiable ومش هي

691
00:56:33,360 --> 00:56:35,540
كمان هذا الجزء الثاني من ال fundamental theorem of

692
00:56:35,540 --> 00:56:39,200
calculus و ال F prime of X إيش بيساوي F of X يعني

693
00:56:39,200 --> 00:56:44,280
ال F capital is an antiderivative of the F small

694
00:56:44,280 --> 00:56:50,760
اللي هو النقطة الرابعة the indefinite integralmay

695
00:56:50,760 --> 00:56:57,520
not be an antiderivative of mean of F الآن الـ

696
00:56:57,520 --> 00:57:02,400
indefinite integral اللي

697
00:57:02,400 --> 00:57:12,000
هو من A لعند X F of T DT لو سميناه F of X هذاهذا

698
00:57:12,000 --> 00:57:15,480
the indefinite integral هذا ممكن يكون هذا يعني إيش

699
00:57:15,480 --> 00:57:18,480
بمعنى آخر؟ يعني بدنا نفترض إن ال integration من A

700
00:57:18,480 --> 00:57:22,580
ل X F of T DT موجود طبعا اللي بقول عنه موجود بس

701
00:57:22,580 --> 00:57:25,040
تكون F of T is integrable ماحاجيناش على control U

702
00:57:25,040 --> 00:57:29,000
of T ال F of T is integrable إذا ال A لعندي ال X F

703
00:57:29,000 --> 00:57:35,100
of T DT لو ممكن يكون هذا موجود و بنسمي F of X

704
00:57:35,100 --> 00:57:39,830
بقوللي the indefinite integral هذاmay not have

705
00:57:39,830 --> 00:57:44,490
antiderivative of F يعني ممكن مايكونش هذا بالرغم

706
00:57:44,490 --> 00:57:48,610
انه هذا موجود مايكونش ال F capital اللي هو هذا

707
00:57:48,610 --> 00:57:53,530
مايكونش antiderivative لمين لل F small يعني رغم

708
00:57:53,530 --> 00:57:58,670
انه هذا موجود ليس شرطا انه يكون يتفاضل ولمّا

709
00:57:58,670 --> 00:58:03,290
يتفاضل يطلع اللي جوا يعني مش شرط انها تكون ال F

710
00:58:03,890 --> 00:58:07,170
اللي هي antiderivative اللي هي مين هو الـ

711
00:58:07,170 --> 00:58:10,110
indefinite integral هيك بتقول المواحدة طب إيش

712
00:58:10,110 --> 00:58:14,150
دليلكم دليلنا هاي في counter examples هاي سبعة

713
00:58:14,150 --> 00:58:19,390
تلاتة أربعة وهذا ناتب ناجم ناجم عدم تحقق هذه أو

714
00:58:19,390 --> 00:58:23,910
عدم تحقق ال antiderivative أنه it may fail to be

715
00:58:23,910 --> 00:58:28,050
differentiable at points at the interval ممكن أصلا

716
00:58:28,050 --> 00:58:35,440
أن ال F prime تكونش موجودة بالمرةعند نقطة اللي هو

717
00:58:35,440 --> 00:58:39,620
في داخل الـ interval من a إلى x مزام هذي is not

718
00:58:39,620 --> 00:58:42,720
differentiable كيف بدنا نلاقي f prime بتساوي f

719
00:58:42,720 --> 00:58:48,640
small إذا قد ينشأ عدم وجود الـ antiderivative منه

720
00:58:48,640 --> 00:58:52,640
إنه هذي ما تكونش differentiable عند نقطة بين ال a

721
00:58:52,640 --> 00:58:59,090
و ال x هاي أولاللي هو سبب ممكن يؤدي إلى عدم تحقق

722
00:58:59,090 --> 00:59:03,150
إنه يكون الـ Indefinite Integral ليس Anti

723
00:59:03,150 --> 00:59:09,650
-derivative للدالة اللي إحنا بنكملها Or الـ

724
00:59:09,650 --> 00:59:12,850
Derivative of Indefinite Integral ممكن يكون موجود

725
00:59:13,450 --> 00:59:18,310
لكن يختلف عن مين but different from the value of F

726
00:59:18,310 --> 00:59:22,410
at any point of the interval وهذا بيجيبوا سبعة

727
00:59:22,410 --> 00:59:26,990
تلاتة تمانية يعني بقولك ممكن تكون يا محلاها و تجيب

728
00:59:26,990 --> 00:59:32,990
اللي هو ال F prime of X لكن ما تطلع شاشة تساوي F

729
00:59:32,990 --> 00:59:38,780
of Xففي هذه الحالة بيكون الـ Indefinite Integral

730
00:59:38,780 --> 00:59:46,320
ليس اللي هو إيه شماله له Antiderivative عارفش

731
00:59:46,320 --> 00:59:55,080
لحاله و هاي في مثال طبعا نأتي

732
00:59:55,080 --> 01:00:01,300
الآن و نبدأ حديثعن الهو evaluation of integrals

733
01:00:01,300 --> 01:00:07,780
evaluation of integrals هناخد اللي هو اللي هي اللي

734
01:00:07,780 --> 01:00:12,660
كنا نقول عنها اللي هو integration by parts اللي

735
01:00:12,660 --> 01:00:17,380
كنا نقول عنه integration by parts نشوف كيف اللي هو

736
01:00:17,380 --> 01:00:21,360
البرهن الأول واحدة يعني هناخد اللي هو النظرية

737
01:00:21,360 --> 01:00:28,430
الأولى اللي هي في من ضمن اللي هيكيف يمكن أن نجد

738
01:00:28,430 --> 01:00:33,770
طرق لإيجاد التكامل؟ evaluation of integrals أول

739
01:00:33,770 --> 01:00:39,730
شيء نحكي عنه هو integral by parts التكامل بالتجزيم

740
01:00:41,640 --> 01:00:48,040
نضع الأسس النظرية للتكامل بالتجزئة أو نشرع التكامل

741
01:00:48,040 --> 01:00:50,920
بالتجزئة من خلال النظرية اللي أمامنا، أيش بتقول

742
01:00:50,920 --> 01:00:54,720
ليه؟ إذا كانت f و g من a و b، f small و g small

743
01:00:54,720 --> 01:00:58,520
طبعا، لعند R، R integrable on a و b، نفترض إن

744
01:00:58,520 --> 01:01:02,040
التنتين إما اللي هين integrable وبدنا نفترض إنه

745
01:01:02,040 --> 01:01:06,510
لهين antiderivativesالان بدأ افرض ان F لها

746
01:01:06,510 --> 01:01:09,430
antiderivative اسمها F capital و G لها

747
01:01:09,430 --> 01:01:13,910
antiderivative اسمها G capital on A و B اذا الان

748
01:01:13,910 --> 01:01:22,050
نظريتنا ترتكز في معطياتها على ان ال F small ل F و

749
01:01:22,050 --> 01:01:24,210
G integrable هي واحد

750
01:01:36,840 --> 01:01:45,420
ثم عرض علينا الآن نعمل integration ثم بنيجي بقول

751
01:01:45,420 --> 01:01:52,610
ليهالـ Integration لحاصل ضرب دالتين F of X في G of

752
01:01:52,610 --> 01:01:58,890
X DX من A لعين Bلأن طيب هذه Integrable عارفين طب F

753
01:01:58,890 --> 01:02:01,090
capital Integrable اه Integrable لإنها

754
01:02:01,090 --> 01:02:03,930
differentiable لإنها differentiable يعني

755
01:02:03,930 --> 01:02:07,370
continuous أكتر من continuous يعني يعني أكيد إيش

756
01:02:07,370 --> 01:02:11,250
ما لها Integrable إذا معقول كلامه من A لعند B F of

757
01:02:11,250 --> 01:02:15,590
X G of X DX إيش بتساوي؟ بقولي عبارة عن F capital

758
01:02:15,590 --> 01:02:21,750
of B G capital of B نقص F capital of A G capital

759
01:02:21,750 --> 01:02:31,040
of A هذاناقص الـ integration F small of X G

760
01:02:31,040 --> 01:02:37,520
capital of X dx من A لعندي هذي اللي هي ال

761
01:02:37,520 --> 01:02:41,240
integration by parts اللي عامة اللي بتدخلته أو

762
01:02:41,240 --> 01:02:45,960
اللي هي اللي بتقول عنه النظريةإذا if f و g من a

763
01:02:45,960 --> 01:02:49,260
لعن بي are integrable on a و b and have

764
01:02:49,260 --> 01:02:52,140
antiderivatives f capital and g capital on a و b

765
01:02:52,140 --> 01:02:56,580
then ال integration من a لعن بي f of x g x dx

766
01:02:56,580 --> 01:03:00,080
بيسوّل f of b g of b نقص f of a g of a طبعاً

767
01:03:00,080 --> 01:03:06,360
للcapitals نقص ال integration من a لb f small g

768
01:03:06,360 --> 01:03:12,200
capital dx ماشي الحال بدنا الآن اللي هو البرهن

769
01:03:12,200 --> 01:03:17,750
النظري البرهن أسهل يا جماعةهو برهانة يعتمد على

770
01:03:17,750 --> 01:03:22,970
تفاضل اللي هو حاصل ضرب دلتين ويمكن احنا كنا اصلا

771
01:03:22,970 --> 01:03:27,110
في اتناء اول ما بنبدأ في ال integration by bars

772
01:03:27,110 --> 01:03:31,870
سنة عارفه للطلاب في ال calculus في الواقع في كل

773
01:03:31,870 --> 01:03:36,490
سؤال في الأول يعني و كأننا بنبرهن النظرية و بعد

774
01:03:36,490 --> 01:03:40,170
ذلك بنسير اللي هو حافظنا الطريقة و نعملها بشكل

775
01:03:40,170 --> 01:03:48,220
سريع طيب نشوف كيفسمّيلي اللي هو F capital of X G

776
01:03:48,220 --> 01:03:52,060
of capital of X ايش بتساوي H of X طبعاً F is

777
01:03:52,060 --> 01:03:53,840
differentiable و G is differentiable زي ما كنا

778
01:03:53,840 --> 01:03:56,600
كاتبين هذه لإنه F antiderivative و G

779
01:03:56,600 --> 01:03:59,860
antiderivative يعني F prime لها F small و G prime

780
01:03:59,860 --> 01:04:03,700
لها G small يعني إذا صارت الـH عبارة عن

781
01:04:03,700 --> 01:04:07,160
differentiable و مدام differentiable إذا أكيد الـH

782
01:04:07,160 --> 01:04:12,340
شمالها continuous على الفترة A و B ماشي الحال و مش

783
01:04:12,340 --> 01:04:18,630
هيك كمانوبنقدر نفضلها شوفوا كيف

784
01:04:22,920 --> 01:04:26,280
واضحة كلها .. اه واضحة كلها .. ماشي زي ما قلنا يا

785
01:04:26,280 --> 01:04:29,440
جماعة سمينا F capital of X في G capital of X

786
01:04:29,440 --> 01:04:32,240
بالساوية H of X F differentiable و G

787
01:04:32,240 --> 01:04:35,440
differentiable ثم H differentiable ومن ثم اكيد

788
01:04:35,440 --> 01:04:39,780
continuous فضولي H prime of X لو حاصل ضرب دالتين

789
01:04:39,780 --> 01:04:44,740
التفاضل الأول في التاني زي اللي هو التاني الأول في

790
01:04:44,740 --> 01:04:49,840
التفاضل التاني ويساويتفاضل الـ F' اللي هي F small

791
01:04:49,840 --> 01:04:54,440
وهذه تنزل زي ما هي وتفاضل هذه اللي هي G small لذا

792
01:04:54,440 --> 01:04:59,020
صارت الـ H' بالساوية هنا يعني وكأنه صار عنده اللي

793
01:04:59,020 --> 01:05:04,360
هي الـH هذه بدون الـPrime antiderivative لمن؟ لهذه

794
01:05:04,360 --> 01:05:09,520
صارت يعني الـH capital is an antiderivative of FG

795
01:05:09,520 --> 01:05:17,320
زي مين زي FGالان كل شيء نيح F وG Integrable و F

796
01:05:17,320 --> 01:05:21,560
capital وG continuous اذا اللي هي اكيد F capital

797
01:05:21,560 --> 01:05:25,520
وG capital Integrable ومن ثم هيطلع كل هذا اشماله

798
01:05:25,520 --> 01:05:31,920
is integrable ماشي كمان مرة F

799
01:05:33,190 --> 01:05:36,910
Integrable و G-Integrable و G-Capital و F-Capital

800
01:05:36,910 --> 01:05:40,450
continuous إذا صار الـ Integrable إذا هذا كله على

801
01:05:40,450 --> 01:05:44,830
بعض إيش ماله صار Integrable إذا صار عندي الآن اللي

802
01:05:44,830 --> 01:05:49,550
هي كل الشروط متحققة إذا من سبعة تلاتة مدامة ال H

803
01:05:50,390 --> 01:05:53,570
الـ H وينها الـ H ؟ هي الـ Antiderivative لهذه

804
01:05:53,570 --> 01:05:57,470
وهذه Integrable فبصير عندى الان ال integration من

805
01:05:57,470 --> 01:06:01,770
هنا ب F في G زايد F capital في G DX بتساوي H of B

806
01:06:01,770 --> 01:06:11,650
ناقص مين ناقص H of A طيب صار عندى الان الأمور وضحت

807
01:06:11,650 --> 01:06:20,490
وطلعت النتيجة H of B اتطلع عليها وين H of B؟ هيهاH

808
01:06:20,490 --> 01:06:26,610
of B بيساوي F capital of B في G

809
01:06:26,610 --> 01:06:30,930
of B هايها ماشي F of B في G of B عادلة لو انتوا

810
01:06:30,930 --> 01:06:36,070
موجودين لأ على طول قلتولي هايها الان H of A بيساوي

811
01:06:36,070 --> 01:06:41,980
F of A في G of A هايها G of A ماشي إذا إيديناهذا

812
01:06:41,980 --> 01:06:46,060
المقدار أعوضنا عن H of B هيها وعوضنا عن H دي ها

813
01:06:46,060 --> 01:06:49,960
ويها وإيش جينا وهذه فصلناها لإنه Integrable إذا

814
01:06:49,960 --> 01:06:52,940
فصلناها بنجيب واحدة على الجهة دي وواحدة على الجهة

815
01:06:52,940 --> 01:06:57,940
دي وهو المطلوب اعملكم إياها طيب ال integration من

816
01:06:57,940 --> 01:07:01,780
A ل B integration

817
01:07:01,780 --> 01:07:10,680
من A ل B FG capital زائد F capital في G بساوي

818
01:07:11,790 --> 01:07:24,730
H of B هي H of B H of B سوى F of B G of B نقص H of

819
01:07:24,730 --> 01:07:31,770
A هي F of AG of A من الجهة الثانية بيسوي ال

820
01:07:31,770 --> 01:07:35,890
integration F في G capital زاد ال integration F

821
01:07:35,890 --> 01:07:41,070
capital في G small من A لعند B من A لعند B لأن إن

822
01:07:41,070 --> 01:07:44,490
قلولي هذا على الجهة هذه بيصير عند ال integration

823
01:07:44,490 --> 01:07:51,350
المطلوب هذاأكيد فهمتم الأصل من a لعن بيه بساوي ال

824
01:07:51,350 --> 01:07:55,570
integration f في g capital زي f capital في g small

825
01:07:55,570 --> 01:08:06,170
لأ خلصنا منه بساوي f of b في f of a في g of a في b

826
01:08:06,170 --> 01:08:16,030
نقص f of a في g of a كل هذاهذا المقدار integration

827
01:08:16,030 --> 01:08:27,230
of capital في G من A لـ B وهو المطلوب و هيك احنا

828
01:08:28,050 --> 01:08:32,490
بنكون اليوم ان شاء الله وصلنا لعند ال first

829
01:08:32,490 --> 01:08:36,250
substitution theorem المرة القادمة ان شاء الله

830
01:08:36,250 --> 01:08:45,010
بنكمل المحاضرة او بنكمل المادة و بنكمل هذا ال

831
01:08:45,010 --> 01:08:49,330
section في محاضرة قادمة ان شاء الله و إلى لقائنا