1
00:00:04,890 --> 00:00:10,370
بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة رقم 12 في مساق

2
00:00:10,370 --> 00:00:14,870
تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية

3
00:00:14,870 --> 00:00:20,710
كلية العلوم قسم رياضيات وهي المحاضرة الثانية بعد 

4
00:00:20,710 --> 00:00:25,150
الطوارئ لمواجهة فيروس كورونا

5
00:00:27,610 --> 00:00:31,150
السيكشن اليوم إن شاء الله اللي هنبدأ فيه اللي هو

6
00:00:31,150 --> 00:00:35,050
سيكشن سبعة اثنين اللي هو عبارة عن الـ Properties of

7
00:00:35,050 --> 00:00:38,290
the Riemann Integral أو اللي هو خواص الـ

8
00:00:38,290 --> 00:00:43,310
ريمان انتيجرول هنبنيها على عدد من الأسئلة اليوم أنه

9
00:00:43,310 --> 00:00:47,190
لو كانت عندي في عندي اللي هو two functions f و g

10
00:00:47,190 --> 00:00:51,650
اللي هو عبارة عن integrable functions على some

11
00:00:51,650 --> 00:00:56,070
bounded closed interval I هل مجموعهما هيكون

12
00:00:56,070 --> 00:01:01,440
integrable ولا لأ؟ هل حاصل ضرب ثابت في الـ

13
00:01:01,440 --> 00:01:03,620
F اللي هي الـ integrable function هيطلع الـ 

14
00:01:03,620 --> 00:01:09,340
KF is integrable؟ هل حاصل ضرب دالتين F و G is

15
00:01:09,340 --> 00:01:13,700
integrable؟ هل لو أجينا كان في عندي two functions

16
00:01:13,700 --> 00:01:17,720
F و G integrable؟ وكان اللي هو معرفة على أساس الـ

17
00:01:17,720 --> 00:01:20,900
composition بينهما يكون معرف؟ وكان التنتين 

18
00:01:20,900 --> 00:01:24,560
integrable؟ هل الـ F composite G integrable

19
00:01:24,560 --> 00:01:29,020
ولا لأ؟ أيضًا لو مش integrable طب إيش نحط condition

20
00:01:29,020 --> 00:01:32,640
على واحدة منه عشان يصير integrable؟ هتجاوب عليه

21
00:01:32,640 --> 00:01:37,280
نظرية اللي هو هنحكي عنها أنه لو كانت إحداهما اللي

22
00:01:37,280 --> 00:01:41,600
هي continuous فهيكون عندي اللي هو أو إذا كانت الـ F

23
00:01:41,600 --> 00:01:45,200
is continuous يكون F composite G is integrable

24
00:01:45,200 --> 00:01:49,800
وهنشوف هذا الكلام إن شاء الله خلال الـ

25
00:01:49,800 --> 00:01:54,180
section وهنوظف الـ نظرية الـ composition هذه في

26
00:01:54,180 --> 00:01:58,210
إثبات اللي هو بعض الدوال كيف هتكون الـ 

27
00:01:58,210 --> 00:02:02,410
integrable نبدأ الآن في الـ النظرية الأولى

28
00:02:02,410 --> 00:02:06,650
اللي هتجاوب لنا على اللي سألناه السؤال الأول أنه لو 

29
00:02:06,650 --> 00:02:11,090
كانت عندي الـ theorem 711 لو كانت I عبارة عن 

30
00:02:11,090 --> 00:02:14,960
closed bounded interval A وB  الـ F والـ G عبارة

31
00:02:14,960 --> 00:02:18,760
عن two functions من I لعند R وفرضنا إن الـ two functions

32
00:02:18,760 --> 00:02:21,600
إيه شمال هنا؟ Are integrable يعني 

33
00:02:21,600 --> 00:02:25,740
نفترض let F and G be two integrable functions on I

34
00:02:25,740 --> 00:02:29,960
الآن if K element in R عبارة عن .. عبارة عن ثابت

35
00:02:29,960 --> 00:02:35,380
then the functions اللي هو الإجابة الآن K في F و K

36
00:02:35,380 --> 00:02:39,220
في G يعني حاصل ضرب الثابت في الـ F هيطلع عند عبارة

37
00:02:39,220 --> 00:02:43,300
عن integrable function وهيطلع f زائد g integrable

38
00:02:43,300 --> 00:02:47,700
function يعني هيكون اللي هو اللي هي بدر دول f زائد 

39
00:02:47,700 --> 00:02:50,860
g is integrable وطبعًا لو أثبتنا هذا integrable

40
00:02:50,860 --> 00:02:54,000
وهذا integrable على طول ال f ناقص g is integrable

41
00:02:54,000 --> 00:02:59,640
ليش؟ لأن f is integrable و g is integrable هيعطيني 

42
00:02:59,640 --> 00:03:05,720
اللي هو f زائد f و K في g برضه integrable حسب اللي

43
00:03:05,720 --> 00:03:12,610
هو مين اللي حاكيناها هذا في حالة إثباتهم دام اتكافى

44
00:03:12,610 --> 00:03:16,070
g is integrable لكل K طبعًا element are من ضمنها

45
00:03:16,070 --> 00:03:19,790
ناقص واحد يعني هيصير عندي اف وناقص g integrable

46
00:03:19,790 --> 00:03:24,890
يعني هيصير عندي حسب الـ F زائد g بصير F زائد

47
00:03:24,890 --> 00:03:29,210
ناقص g is integrable يعني F ناقص g برضه هيطلع إيه

48
00:03:29,210 --> 00:03:33,790
شماله is integrable هذه ملاحظات سريعة أيضًا هيطلع

49
00:03:33,790 --> 00:03:39,890
عندي حسب الـ نظرية هذه أنه in general F زائد K 

50
00:03:39,890 --> 00:03:43,330
في g هيكون integrable و لو كان في عندي constant

51
00:03:43,330 --> 00:03:47,130
ثاني K prime هيطلع الـ linear combination بينهم K

52
00:03:47,130 --> 00:03:52,630
prime f زائد g برضه is integrable هذا كله في حال

53
00:03:52,630 --> 00:03:56,810
أثبتنا إن الـ KF والـ F زائد g is integrable عندما

54
00:03:56,810 --> 00:04:00,330
تكون F و d is integrable خلينا نبدأ الآن اللي هو 

55
00:04:00,330 --> 00:04:05,330
نثبت الـ KF is integrable قبل ما نثبت خليني أذكركم

56
00:04:05,330 --> 00:04:10,700
ببعض اللي هي الـ قوانين أو الـ 

57
00:04:10,700 --> 00:04:14,180
definitions اللي احنا حكيناها سابقًا عشان هستخدمها 

58
00:04:14,180 --> 00:04:20,420
اليوم اللي هو lower sum للـ partition P و G الـ

59
00:04:20,420 --> 00:04:22,880
partition P هو عبارة عن الـ partition للـ interval I

60
00:04:22,880 --> 00:04:26,700
اللي معرف عليها G هو عبارة عن summation MK في XK 

61
00:04:26,700 --> 00:04:30,440
ناقص XK ناقص 1 والـ MK زي ما أنتم عارفين هي عبارة

62
00:04:30,440 --> 00:04:34,050
عن الـ infimum لقيمة الدالة على اللي هي الـ

63
00:04:34,050 --> 00:04:39,430
Subinterval اللي بنحكي عنها XK-1 و XK والـ L of G 

64
00:04:39,430 --> 00:04:43,890
اللي هو الـ Lower Integral اللي هو عبارة عن الـ 

65
00:04:43,890 --> 00:04:49,330
Supremum لكل الـ P و G لكل P element in the set of 

66
00:04:49,330 --> 00:04:54,720
all partition P of I  وأيضًا الـ UPG هي عبارة عن 

67
00:04:54,720 --> 00:04:57,380
summation نفس اللي فوق بس بدل اللي هي الـ infimum

68
00:04:57,380 --> 00:05:01,340
بنحط M كابيتال K اللي هي عبارة عن اللي هي الـ

69
00:05:01,340 --> 00:05:04,180
supremum لقيمة الدوال زي ما أنتم عارفين أو

70
00:05:04,180 --> 00:05:07,320
زي ما شرحناها سابقًا و الـ U of G في هذه الحالة

71
00:05:07,320 --> 00:05:11,740
اللي هو عبارة عن الـ upper integral هو عبارة عن الـ

72
00:05:11,740 --> 00:05:17,180
infimum للّي هي كل الـ upper sums للـ partitions 

73
00:05:17,180 --> 00:05:20,160
بيه element in P of I هذا خليه على أساس أنه بدأ

74
00:05:20,160 --> 00:05:26,510
نستخدمه بعد شوية في هذا البرهان للنظرية الآن بدأ

75
00:05:26,510 --> 00:05:30,510
أبرهن الـ KF is integrable بالواحد وبعد هيك بدأ

76
00:05:30,510 --> 00:05:33,530
أثبت لكم إن الـ integration لـ KFF بيساوي كيف الـ 

77
00:05:33,530 --> 00:05:38,750
integration لمين لـ LF الآن بدأ أخذ ثلاث حالات بدأ 

78
00:05:38,750 --> 00:05:42,290
أخذ طبعًا هذا كل K أملتنا ألهار بدأ أخذ حالة K بتساوي

79
00:05:42,290 --> 00:05:47,050
صفر وحالة K أصغر من صفر وحالة K أكبر من إياش من

80
00:05:47,050 --> 00:05:51,740
صفر كل حالة فيها بروحانها الحالة الأولى K بساوي

81
00:05:51,740 --> 00:05:56,240
صفر حالة سهلة وحالة trivial لماذا؟ لأن إذا كانت KF

82
00:05:56,240 --> 00:06:01,340
بساوي صفر هيصير الـ KF عبارة عن الـ zero function

83
00:06:01,340 --> 00:06:04,720
والـ zero function is continuous يعني constant ما

84
00:06:04,720 --> 00:06:08,220
دام continuous حسب النظرية المرة الماضية هتكون 

85
00:06:08,220 --> 00:06:11,900
اللي هو إيه شمالها is integrable إذا في حالة الـ K 

86
00:06:11,900 --> 00:06:15,700
بيساوي صفر trivial KF is integrable ومش هيك كمان 

87
00:06:15,700 --> 00:06:19,540
و K في الـ integration لل F هذا عبارة عن integrable

88
00:06:19,540 --> 00:06:23,760
يعني قيمة عددية وهذا Zero بيصير بيساوي Zero والـ 

89
00:06:23,760 --> 00:06:26,860
integration للـ Zero function على الفترة A B اللي 

90
00:06:26,860 --> 00:06:29,900
هو عبارة عن الـ K في الـ F في هذه الحالة هيساوي صفر

91
00:06:29,900 --> 00:06:33,880
إذا صار عندي من اللي هو الجهتين هذه لـ K في الـ

92
00:06:33,880 --> 00:06:38,220
integration لل F بيساوي الـ integration للـ KF من A

93
00:06:38,220 --> 00:06:42,780
لـ B من A لـ B بيساوي 0 in the case of ك بتساوي إياش

94
00:06:42,780 --> 00:06:47,380
0 إذا زي ما قلنا فعلاً لحالة ك بتساوي صفر حالة سهلة 

95
00:06:47,380 --> 00:06:52,120
و trivial case نيجي الآن بدنا نحكي عن مين يا جماعة

96
00:06:52,120 --> 00:06:58,000
عن الحالة الثانية اللي هو إذا كانت ك أصغر من 0 في 

97
00:06:58,000 --> 00:07:02,620
حالة الـ K أصغر من 0 إذا شغلنا الآن على الـ K أصغر 

98
00:07:02,620 --> 00:07:07,760
من 0 طيب لحظة

99
00:07:07,760 --> 00:07:13,480
ما هي ليه؟ خلينا نركز على الحالة اللي هو K أصغر

100
00:07:13,480 --> 00:07:21,380
من 0 عندي K أصغر من 0 عندي

101
00:07:21,380 --> 00:07:32,980
بدي أوجد الـ L بي و K F الـ LBQF الـ B أشماله Any

102
00:07:32,980 --> 00:07:36,820
Partition أخذت الـ B أشماله Any Partition بسوء X

103
00:07:36,820 --> 00:07:41,400
نوت X1 لعند XN Any Partition of مين؟ Of the

104
00:07:41,400 --> 00:07:46,000
interval I اللي بنحكي عنها إذا الـ BKF حسب التعريف

105
00:07:46,000 --> 00:07:51,000
اللي كاتبه فوق إيش بيساوي الـ summation للـ M 

106
00:07:51,000 --> 00:07:54,700
لمين؟ للـ M للـ function الجديدة اللي هي اسمها 

107
00:07:54,700 --> 00:08:00,520
إيش؟ KF اللي هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum هذه

108
00:08:00,520 --> 00:08:04,280
الـ K اللي هي إيش؟ الـ MK small اللي هي الـ

109
00:08:04,280 --> 00:08:11,850
infimum لأ اللي هي الدالة تبعتنا KF of X لكل X وين

110
00:08:11,850 --> 00:08:16,350
موجودة في الـ sub interval هذه بس بلاش عشان ما يصيرش 

111
00:08:16,350 --> 00:08:19,090
conflict بين الـ K اللي هنا والـ K اللي هنا خليني 

112
00:08:19,090 --> 00:08:23,990
أسميها بعد إذنكم اسمها اللي هي Ii اللي هي الـ sub

113
00:08:23,990 --> 00:08:28,410
interval اللي هو Xi ناقص واحد لعند مين لعند Xi 

114
00:08:28,410 --> 00:08:33,350
هذه i من عند واحد لعند N مضروبة في مين؟ في طول

115
00:08:33,350 --> 00:08:38,810
الفترة هذه اللي هي Xi ناقص Xi ناقص واحد هذه

116
00:08:38,810 --> 00:08:45,710
اللي هي الـ LBK و F ياساوينك إيش يا جماعة احنا 

117
00:08:45,710 --> 00:08:50,850
بنشتغل ك أصغر من صفر بنشتغل على الحالة ك أشماله 

118
00:08:50,850 --> 00:08:55,470
أصغر من صفر إذا حيساوي الـ summation الـ K لما تطلع

119
00:08:55,470 --> 00:08:59,650
برا الـ infimum وهي سالبة على طول بتجلب الـ infimum 

120
00:08:59,650 --> 00:09:04,650
إلى إيش؟ إلى supremum إذا بيصير ك في الـ supremum للـ 

121
00:09:04,650 --> 00:09:11,490
F of X such that X element in Ii من عند 1 لعند N

122
00:09:11,490 --> 00:09:18,530
ومضروب هذا في Xi ناقص Xi ناقص 1 ويساوي الآن

123
00:09:18,530 --> 00:09:22,030
خلينا نطلع الـ K هذه برا الـ summation بالمرة لأن 

124
00:09:22,030 --> 00:09:25,530
الـ K عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن K عبارة عن ثابت

125
00:09:25,530 --> 00:09:28,510
وبيطلع برا الـ summation عادي وكأنه عامل مشترك

126
00:09:28,510 --> 00:09:33,690
بيصير K في الـ summation الآن لمين؟ للـ supremum للـ F

127
00:09:33,690 --> 00:09:39,590
of X والـ x element in Ii في مضروب في مين؟ في الـ

128
00:09:39,590 --> 00:09:43,070
Xi ناقص Xi ناقص واحد اللي هو طول الـ interval 

129
00:09:43,070 --> 00:09:47,190
و هذا الكلام I من عند واحد لعند N إلى إن هذا يا

130
00:09:47,190 --> 00:09:55,220
شباب كله عبارة عن إيش؟ عبارة عن بالظبط تعريف الـ UP

131
00:09:55,220 --> 00:09:58,580
ومين؟ والـ function اللي عندي هنا إيش هي اللي

132
00:09:58,580 --> 00:10:06,360
بشتغل عليها هنا F إذا حيساوي K في الـ U لـ P ومين؟

133
00:10:06,360 --> 00:10:13,360
و F إذا اللي وصلت له يا جماعة إن عندي الـ

134
00:10:14,150 --> 00:10:21,110
L of K و P و F بيساوي K في الـ UP و F Similarly

135
00:10:21,110 --> 00:10:29,990
وبنفس الطريقة بقدر أحصل على الـ U بنفس الطريقة الـ U

136
00:10:29,990 --> 00:10:44,090
لأ الـ P و KF اللي هو هتساوي K في الـ LP و F هتساوي

137
00:10:44,090 --> 00:10:53,090
بنفس الطريقة K في الـ L, P و F خلي 

138
00:10:53,090 --> 00:10:58,450
هذا في الذاكرة إن اللي حصلنا عليه اللي قلته هاي 

139
00:10:58,450 --> 00:11:03,030
هذا الكلام خليني أسجلها اللي حصلت عليها لإني بدي 

140
00:11:03,030 --> 00:11:07,510
أستخدمها بعد شوية اللي هو بيساوي K 

141
00:11:08,960 --> 00:11:15,580
في الـ U,B والـ F وزي ما قلنا similarly الـ U الـ U,B

142
00:11:15,580 --> 00:11:24,670
والـ K والـ F بساوي K في الـ L,B والـ F ماشي الحال طبعا هذه لو

143
00:11:24,670 --> 00:11:29,250
لو حد حابب يعرف التفاصيل التفاصيل سهلة خليني بس على

144
00:11:29,250 --> 00:11:35,050
السريع أحكيها شفويا الـ U P Q F إيش هيصير هنا بيصير

145
00:11:35,050 --> 00:11:39,190
الـ summation لأن الـ supremum بدل الـ M K capital

146
00:11:39,190 --> 00:11:44,090
هذه بيصير اللي هي supremum لمين بدل الـ G K F فلما

147
00:11:44,090 --> 00:11:48,730
... لما أطلع الـ K برة عامل مشترك بيصير الـ supremum

148
00:11:48,730 --> 00:11:54,160
infimum بيصير اللي هو الـ K برة وهنا الـ infimum مع

149
00:11:54,160 --> 00:11:59,480
هذه اللي هي بالضبط تعريف مين الـ L of B أو F ماشي

150
00:11:59,480 --> 00:12:05,060
الحال؟ طيب، الآن بكون إحنا أثبتنا الجهتين أنا وين

151
00:12:05,060 --> 00:12:09,930
رايح؟ أنا بدي أثبت إن الـ K في الـ F is integrable

152
00:12:09,930 --> 00:12:13,410
in the case K أصغر من 100 من 0 طيب احسبولي يا

153
00:12:13,410 --> 00:12:19,030
جماعة احسبولي الـ L of K F إيش بتساوي حسب تعريفنا

154
00:12:19,030 --> 00:12:27,730
اللي فوق عبارة عن الـ supremum لمين للـ L of B و K F

155
00:12:27,730 --> 00:12:34,210
حيث B element in the set of partitions B of I ماشي

156
00:12:34,210 --> 00:12:37,090
الحال يا جماعة ويساوي الآن

157
00:12:39,190 --> 00:12:45,190
الـ LBKF أنا حضرتله أصلا بيساوي K في الـ U ويساوي

158
00:12:45,190 --> 00:12:50,790
بطلع الـ K برة هذه بيصير الـ supremum لـ K الـ U, B

159
00:12:50,790 --> 00:12:59,930
والـ F such that B element in B of I ويساوي بطلع الـ K

160
00:12:59,930 --> 00:13:05,370
برة بيصير K لأن K سالب يا شباب بيصير K في مين؟ في

161
00:13:05,370 --> 00:13:12,730
الـ infimum للـ U بي والـ F واضح أه؟ such that B

162
00:13:12,730 --> 00:13:22,080
element in B of I الآن الـ infimum للـ U للـ B والـ F

163
00:13:22,080 --> 00:13:25,960
على الشغل عمين الآن عن الـ function F ديروا بالكم

164
00:13:25,960 --> 00:13:31,800
إذاً هيساوي ك... في مين هذه تعريف؟ تعريف بالضبط

165
00:13:31,800 --> 00:13:39,240
الـ infimum لهذه اللي هو عبارة عن الـ U of F الـ U

166
00:13:39,240 --> 00:13:46,800
of F هاي واحد اثنين من جهة أخرى نعتمد على هذه اللي

167
00:13:46,800 --> 00:13:57,360
هو الـ U of ب ... آسف الـ U of K F بدورها الـ U of K

168
00:13:57,360 --> 00:14:05,400
والـ F إيش حييساوي؟ حييساوي الـ infimum له اللي هي الـ L

169
00:14:05,400 --> 00:14:14,160
الـ U of B و K F such that B element in B of I

170
00:14:14,730 --> 00:14:19,750
هتلاقوها بتشبه اللي فوق ويساوي هذه أثبتناها إيش

171
00:14:19,750 --> 00:14:26,610
بتساوي K في الـ L ويساوي الـ infimum لأ بدل الـ U إيش

172
00:14:26,610 --> 00:14:34,510
بده يصير عنده ك الـ B والـ F الآن such that B element

173
00:14:34,510 --> 00:14:40,810
in B of I ويساوي الآن الـ K بضطلحها برة الـ M في

174
00:14:40,810 --> 00:14:44,430
مامي الجماعة الـ K سالبة إذا إيش هتصير عبارة عن

175
00:14:44,430 --> 00:14:49,470
إيش؟ عن K في الـ supremum إذا ويساوي K في الـ

176
00:14:49,470 --> 00:14:56,430
supremum للـ L بي والـ F such that B element in B of I

177
00:14:56,940 --> 00:15:03,060
الآن هذه الـ supremum هذه هي بالضبط تعريف من الـ L

178
00:15:03,060 --> 00:15:13,180
of F إذا بيصير ويساوي K في L of F K في L of F إذا

179
00:15:13,180 --> 00:15:19,980
صارت الآن بتصور الصورة جربت أوضح هاي عندي L of K

180
00:15:19,980 --> 00:15:28,570
of F أثبتناها بتساوي K of U of F والـ U K of F

181
00:15:28,570 --> 00:15:34,990
بتساوي K L of F خليني ألخصها يا شباب فوق ونقارن

182
00:15:34,990 --> 00:15:40,950
بينها ونصل لنتيجة اللي بدنا إياها طيب صار عندي

183
00:15:40,950 --> 00:15:51,130
يا جماعة اللي هي L of K F بتساوي K U of F وفي نفس

184
00:15:51,130 --> 00:16:01,230
الجهة U of K F بتساوي اللي هو K L of F طيب ما إحنا

185
00:16:01,230 --> 00:16:07,430
بنقول إيش إحنا مفترضين ما إحنا مفترضين إن F is

186
00:16:07,430 --> 00:16:12,130
integrable ما دام F is integrable إذا إيش هيكون

187
00:16:12,130 --> 00:16:19,770
عندي L of F هي نفس الـ U of F إذا الآن من هذه ومن

188
00:16:19,770 --> 00:16:26,710
اللي فوق بيصير عندي Lof K F التي بتساوي K في U of

189
00:16:26,710 --> 00:16:31,910
F التي بتساوي K 

190
00:16:31,910 --> 00:16:38,470
في U

191
00:16:38,470 --> 00:16:46,360
of F إذن بين الجهتين طلع عندي L of K of F بيساوي U

192
00:16:46,360 --> 00:16:58,180
K F وهذا يعني إذن K F is integrable إذن صار عندي

193
00:16:58,180 --> 00:17:05,040
الـ K F is integrable طيب الآن اللي بعده سهل نشوف

194
00:17:05,040 --> 00:17:11,870
إيش اللي بعده ضل إيش أثبت إنه ال integration الـ

195
00:17:11,870 --> 00:17:16,350
integration للـ KF بيساوي KF ال integration لل F

196
00:17:16,350 --> 00:17:19,550
اللي في الأول اللي هو اللي حكيناه في الأول يا شباب

197
00:17:19,550 --> 00:17:28,970
تشوفوه حاضر أيوة

198
00:17:28,970 --> 00:17:33,930
يا جماعة بدنا نثبت إنه ال جيت أثبتنا إن KF is

199
00:17:33,930 --> 00:17:38,060
integrable دلوقتي أثبت هذه بتساوي هذه سهل الأمر طيب

200
00:17:38,060 --> 00:17:42,920
إحنا الآن ما دام اللي هو KF is integrable إذا ال

201
00:17:42,920 --> 00:17:47,140
integration من A لـ B للـ KF اللي هي صارت integrable

202
00:17:47,140 --> 00:17:52,080
بيساوى اللي هو الـ L of K of F والـ U of K of F

203
00:17:52,080 --> 00:17:56,680
بيساوى U of K F مثلا ويساوي الـ U K of F إيش هتساوي

204
00:17:56,680 --> 00:18:01,900
من هنا اللي هتبتنعها ده K في الـ L of F أو الـ U of

205
00:18:01,900 --> 00:18:05,600
F مش مشكلة كتير ويساوي ما هي الـ F is integrable

206
00:18:05,600 --> 00:18:09,660
إذا الـ L of F هو عبارة عن إيش؟ عن ال integration من

207
00:18:09,660 --> 00:18:15,330
A لـ B للـ F والـ K برة لأن الـ F هو من ال

208
00:18:15,330 --> 00:18:19,150
integration من A لـ B لـ F لأن الـ F is integrable

209
00:18:19,150 --> 00:18:22,610
إذا صار عند الآن ال integration من A لـ B ك F سواء

210
00:18:22,610 --> 00:18:27,070
كيف ال integration من A لـ B لـ F الآن ظلت الحالة

211
00:18:27,070 --> 00:18:32,990
الأخيرة يا شباب اللي هي حالة إن K اللي هو أكبر من

212
00:18:32,990 --> 00:18:38,170
صفر K أكبر من صفر Similarly تماما زي الحالة اللي

213
00:18:38,170 --> 00:18:42,690
هي مين هي اللي قبل بشوية K أصغر من صفر بس لما نطلع

214
00:18:42,690 --> 00:18:46,250
الـ K برة الـ supremum بتظل الـ supremum supremum و

215
00:18:46,250 --> 00:18:49,690
لما نطلع الـ K برة الـ infimum بتظل الـ infimum 

216
00:18:49,690 --> 00:18:54,950
infimum ما دام كله بظل زي بعضه بناء عليه اللي توه

217
00:18:54,950 --> 00:19:04,090
قبل بشوية إحنا أثبتنا بيصير عندي الـ L الـ L الـ L of

218
00:19:04,090 --> 00:19:11,270
F أو الـ L of B و KF حيصير عبارة عن K في الـ L، B

219
00:19:11,270 --> 00:19:15,170
والـ F لأن كل الدنيا هتظلها ماشية طبيعية لأن الـ K

220
00:19:15,170 --> 00:19:17,910
أكبر من 0 لما تطلع من ال Infant Mom بتظلها زي ما

221
00:19:17,910 --> 00:19:21,090
هي Infant Mom ولما تطلع من الـ Supremum بتظلها زي

222
00:19:21,090 --> 00:19:27,980
ما هي Supremum والـ U of K,B و K,F هتطلع بتساوي K في

223
00:19:27,980 --> 00:19:35,060
الـ U,B والـ F وبناء عليه حيصير عندي الـ U of K,F

224
00:19:35,060 --> 00:19:43,680
هيساوي K في U of F و Lof K F هي ساوي K في الـ L of

225
00:19:43,680 --> 00:19:49,860
F ومن الجهتين بنحصل بما إنه زي اللي فوق بالضبط إنه

226
00:19:49,860 --> 00:19:53,740
الـ F is integrable بيصير U of F بيساوي L of F وعلى

227
00:19:53,740 --> 00:19:57,080
طول بتطلع هذه بتساوي هذه وبنكمل زي ما كملنا هنا

228
00:19:57,080 --> 00:20:01,420
بالضبط إذا اللي تركينه إحنا exercise K أكبر من 0 هي

229
00:20:01,420 --> 00:20:05,420
الحالة الأسهل وهي شرحت اللي هو الـ hint على كيف

230
00:20:05,420 --> 00:20:10,000
تكون اللي هو نثبت ال integration للـ K F بيساوي كيف

231
00:20:10,000 --> 00:20:14,620
ال integration لل F وبذلك بكون إن هنا هذا الجزء من

232
00:20:14,620 --> 00:20:22,760
النظرية لكل K element in R طيب نيجي الآن يا شباب

233
00:20:25,560 --> 00:20:29,360
نثبت اللي هو الجزء الثاني من النظرية اللي هو الـ

234
00:20:29,360 --> 00:20:34,300
integration إنه لو كانت F و G are integrable هيطلع

235
00:20:34,300 --> 00:20:40,660
عندي برضه F زائد G is integrable خلينا نشوف يا

236
00:20:40,660 --> 00:20:49,460
جماعة مع بعض نفترض إنه F و G F و G من I لعند R are

237
00:20:49,460 --> 00:20:54,820
integrable functions بدنا نثبت إنه اللي هو الـ F

238
00:20:54,820 --> 00:20:58,960
زائد G is integrable وكأني بدي أثبت إن الـ L of F

239
00:20:58,960 --> 00:21:05,860
زائد G بيساوي الـ U لمين للـ F زائد G ماشي يا جماعة

240
00:21:05,860 --> 00:21:13,300
طيب بدي أثبت الآن زي ما قلنا إنه F زائد G is

241
00:21:13,300 --> 00:21:14,540
integrable

242
00:21:17,640 --> 00:21:22,580
بس في شغلتين هيك يعني ب... ب... بذكركم فيه إن اللي

243
00:21:22,580 --> 00:21:27,840
هو من... من الـ real واحد هنستخدمهم بعد شوية عندي

244
00:21:27,840 --> 00:21:34,320
الآن لو

245
00:21:34,320 --> 00:21:38,160
كان عندي two functions وبده أشوف اللي هو ال

246
00:21:38,160 --> 00:21:44,080
supremum للـ F of X زائد G of X such that X element

247
00:21:44,080 --> 00:21:47,200
in some interval اللي بدكم إياها اسمها I I زي ما

248
00:21:47,200 --> 00:21:53,740
هم سميها هيكون أصغر أو يساوي الـ supremum للـ F of X

249
00:21:53,740 --> 00:21:59,870
such that X element in I I زائد الـ supremum لـ g of

250
00:21:59,870 --> 00:22:04,690
x such that x element in I I هذه معلومة سابقة من

251
00:22:04,690 --> 00:22:10,090
اللي هو تحليل واحد نذكركم فيها الـ infimum برضه

252
00:22:10,090 --> 00:22:14,310
شيء مشابه بس بعكس اللي موجود زائد g of x طبعا كله

253
00:22:14,310 --> 00:22:17,570
... كله... هذا إيه الإثبات وكله أسباب أخذناها في

254
00:22:17,570 --> 00:22:23,010
تحليل واحد x element in I I أكبر أو يساوي اللي هو

255
00:22:23,010 --> 00:22:29,660
الـ infimum ل اللي هو f of x such that x element in

256
00:22:29,660 --> 00:22:35,700
I I زائد الـ infimum ل g of x such that x element

257
00:22:35,700 --> 00:22:40,880
in I I هدول الآن بدي اللي هي استخدمهم عشان اللي

258
00:22:40,880 --> 00:22:48,140
هو أصل اللي بدي إياه الآن لو أجينا حسبنا اللي هو

259
00:22:48,140 --> 00:22:59,910
الـ U لـ L of B of F زائد G عشان نصل لـ L F زي الـ G

260
00:22:59,910 --> 00:23:03,590
بسوء الـ U F زي الـ G اعتمادا على إن الـ F والـ G

261
00:23:03,590 --> 00:23:07,030
انتجربل يعني اعتماده على إن القلة الـ F هي الـ U

262
00:23:07,030 --> 00:23:11,050
الـ F والقلة الـ G هي الـ U G شوفوا معايا تبقوا

263
00:23:11,050 --> 00:23:14,470
معايا هذا حسب التعريف أشهر سبب هو يسوي الـ

264
00:23:14,470 --> 00:23:18,850
summation الآن ال... ال... ال... ال... ال... M

265
00:23:18,850 --> 00:23:27,350
small K بس لمين هذه لمين للـ F زائد G هذه لمين يا

266
00:23:27,350 --> 00:23:32,770
جماعة للـ F زائد G مضروبة في XI minus XI minus 1 أو

267
00:23:32,770 --> 00:23:36,470
XK زي ما هو نسميها زي ما بدكم نسميها سميناها فوق I

268
00:23:36,470 --> 00:23:44,020
خلينا نسميها I I minus 1 I من عند 1 لعند N الـ M I

269
00:23:44,020 --> 00:23:46,980
هذه إيه يا شباب؟ الـ F زائد G هي عبارة على جهة

270
00:23:46,980 --> 00:23:54,040
عشان منها هننطلق الـ M I F زائد G يعني الـ M I هذه

271
00:23:54,040 --> 00:23:56,740
لمين؟ للـ function الجديدة اللي اسمها F زائد G

272
00:23:56,740 --> 00:24:05,270
بيساوى الـ infimum للـ F زائد G of X such that X

273
00:24:05,270 --> 00:24:10,310
element in I, I وهذه من اللي كتبته الآن هنا اللي

274
00:24:10,310 --> 00:24:14,510
قدمته لكم يا جماعة الانفمام اللي هنا أكبر يساوي

275
00:24:14,510 --> 00:24:18,990
الانفمام لهذه زائد الانفمام لهذه الـ infimum لهذه

276
00:24:18,990 --> 00:24:24,350
اللي هو اللي إحنا بنسميها M K Small للـ function F

277
00:24:24,350 --> 00:24:29,530
وهذه اللي بنسميها مين الـ M K Small للـ function

278
00:24:29,530 --> 00:24:34,230
مين؟ للـ function G معلش الرموز لكن واضح إنه

279
00:24:34,230 --> 00:24:38,030
اللي هو إحنا بنحكي عن إيش عشان نميز بين الـ M K

280
00:24:38,030 --> 00:24:43,830
أو الـ M I سنة مسمينها I الـ M I هنا والـ M I للـ 

281
00:24:43,830 --> 00:24:49,310
فـ للـ J و للـ F زائد J للـ F زائد J هيها وهي من

282
00:24:49,310 --> 00:24:53,850
اللي فوق هذه أكبر أو يساوي الـ infimum على الأولى

283
00:24:53,850 --> 00:24:57,830
للـ F زائد الـ infimum على الـ M على الـ J يعني

284
00:24:57,830 --> 00:25:02,590
هذا بمعنى آخر لأن هذا قيمة موجبة بقى صار أكبر أو

285
00:25:02,590 --> 00:25:10,260
يساوي الـ summation اللي هو لمين؟ للـ MI F زائد M I

286
00:25:10,260 --> 00:25:15,760
J هذا أكبر أو يساوي من ال equality اللي فوق في X I

287
00:25:15,760 --> 00:25:21,660
ناقص X I ناقص واحد I من عند واحد لعند N نوزع ال N

288
00:25:21,660 --> 00:25:30,680
هذا بالظبط بيساوي summation للـ M I F في xi-xi-1 i من

289
00:25:30,680 --> 00:25:34,980
عند 1 لعند n زائد ال summation نفسه على مين الآن؟

290
00:25:34,980 --> 00:25:44,080
mij في xi-xi-1 i من 1 لعند n واضح يا شباب؟ اه

291
00:25:44,080 --> 00:25:48,980
المفروض أن الكلام واضح، صرنا عيدنا الفكرة عدة مرات

292
00:25:48,980 --> 00:25:52,940
وكلنا... كله بندور حول اللي هو فعلاً التعريف للـ

293
00:25:52,940 --> 00:25:55,580
upper thumb وال lower thumb وال upper integral

294
00:25:55,580 --> 00:25:58,960
وال lower integral بس الواحد يستذكر التعريف هيلاقي

295
00:25:58,960 --> 00:26:04,020
الأمور سهلة بإذن الله هذه بتساوي... هذه مين هي؟

296
00:26:04,020 --> 00:26:10,060
بالظبط يا شباب؟ هي عبارة عن الللـ Partition B اللي 

297
00:26:10,060 --> 00:26:13,820
بدأنا فيه الـ Arbitrary بالنسبة لمين الآن؟ للـ 

298
00:26:13,820 --> 00:26:20,340
Function F زائد هذا بين هذا الـ L of B وبالنسبة 

299
00:26:20,340 --> 00:26:28,510
لمين؟ لـ G صار عند الـ LB و F زائد G أصغر أو يساوي

300
00:26:28,510 --> 00:26:33,630
آسف، أكبر يساوي ال B و F زائد مين؟ ال B of G خلينا

301
00:26:33,630 --> 00:26:37,090
نخزن هذه المعلومة يا شباب، وخلّيني أكتبها بعد

302
00:26:37,090 --> 00:26:42,930
إذنكم، هان أخزن المعلومة لأن بعد بشوية هاجي

303
00:26:42,930 --> 00:26:49,890
أستعملها أنا وصلت لل L B F زائد G هيكون أكبر أو 

304
00:26:49,890 --> 00:26:59,790
يساوي ال LP و F زائد ال L D و G هذه المعلومة

305
00:26:59,790 --> 00:27:06,750
حصلناها، هأحصلك على إيش؟ مشابه جداً لل U هتصير ال U P

306
00:27:06,750 --> 00:27:11,430
و F زائد G أصغر أو يساوي تبعاً للخاصية هذه اللي 

307
00:27:11,430 --> 00:27:15,550
اعتمدنا عليها في البرهان، هنعتمد عليها الآن برهان في

308
00:27:15,550 --> 00:27:21,070
ال U إيش اللي بقوله؟ بقول ما يليه، عارفين؟ بدي اشتغل 

309
00:27:21,070 --> 00:27:25,750
على هذه أو أرجوكم جدّاً الأمور سهلة، شيل هذه و احكي

310
00:27:25,750 --> 00:27:30,170
عن مين؟ عن ال U لأن مدام حكيت عن ال U إذا بدي يصير

311
00:27:30,170 --> 00:27:33,630
بدل ما هي M small مين بحكي؟ بدل ال infinite بدي

312
00:27:33,630 --> 00:27:37,390
يصير مين؟ M I اللي هي ال supremum اللي هي الـ

313
00:27:37,390 --> 00:27:40,930
supremum إذا M I هذه لل F زائد G هي عبارة عن الـ

314
00:27:40,930 --> 00:27:45,110
supremum لل F of X زائد G of X X element in I لأن

315
00:27:45,110 --> 00:27:50,000
ال supremum للمجموع اللي هو هذه للـ F زائد G بدل ما

316
00:27:50,000 --> 00:27:54,220
هيكون أكبر، إيش هيساوي يا شباب؟ أصغر أو يساوي الـ

317
00:27:54,220 --> 00:28:00,140
supremum هذا اللي هو عبارة عن M I F وهذا مين هو يا 

318
00:28:00,140 --> 00:28:06,900
شباب؟ ال M I G إذا صار الموضوع واضح هيصير أصغر أو 

319
00:28:06,900 --> 00:28:15,770
يساوي اللي هو MI F و M I J ونفسه بظله زي ما هو، و

320
00:28:15,770 --> 00:28:22,590
هنا مساواة حقيقية M I بغير M I وزعت زي ما وزعت قبل

321
00:28:22,590 --> 00:28:27,090
هذا عبارة عن مين صار يا شباب؟ مدام ال M I capital

322
00:28:27,090 --> 00:28:33,490
إذا صار U B F وهذا صار مين؟ عبارة عن U B J إذا

323
00:28:33,490 --> 00:28:42,790
اللي حصلنا الآن ال U B F زائد G أصغر أو يساوي UBF

324
00:28:42,790 --> 00:28:48,110
زائد UBJ وهي كما نكون حصلنا أو بدنا نخزن المعلومة

325
00:28:48,110 --> 00:29:00,980
الثانية UBF زائد G أصغر أو يساوي UBF زائد UBG هذا

326
00:29:00,980 --> 00:29:05,760
الآن بيكون احنا حصلنا اللي هي الـ ال two

327
00:29:05,760 --> 00:29:09,120
inequalities هدولة اللي هم هم هم هم هم هم هم هم هم

328
00:29:09,120 --> 00:29:10,140
هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم

329
00:29:10,140 --> 00:29:10,980
هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم

330
00:29:10,980 --> 00:29:11,100
هم هم هم هم هم هم هم هم هم

331
00:29:19,180 --> 00:29:23,620
عبارة عن على كل Partition بيه، لكل Partition بيه في

332
00:29:23,620 --> 00:29:28,960
الدنيا الآن أنا عشان أصل لل Integrability ياما

333
00:29:28,960 --> 00:29:35,700
بأثبت ال U of اف زائد جي بيساوي الال بيقل اف زائد

334
00:29:35,700 --> 00:29:41,640
جي وهذه يمكن شوية سنة بتغلب أو أن أستخدم اللي هو

335
00:29:41,640 --> 00:29:49,020
Integrability criteria ان اوصل انه لكل أبسلون أكبر من

336
00:29:49,020 --> 00:29:53,510
صفر there exist a partition بإبسلون بحيث أن U

337
00:29:53,510 --> 00:29:57,670
بإبسلون و F زائد G ناقص ال L بإبسلون و F زائد G يكون

338
00:29:57,670 --> 00:30:01,610
أصغر من إبسلون، إذا حصلت هيك بكون على طول أثبتت أن

339
00:30:01,610 --> 00:30:07,010
ال F زائد G is integrable واضح؟ طيب، وحروح بهذا

340
00:30:07,010 --> 00:30:14,350
الاتجاه، طيب، شوفوا معايا الآن إحنا فرضين أن F is

341
00:30:14,350 --> 00:30:19,150
integrable إذن، مدام F is integrable إذن، by

342
00:30:19,760 --> 00:30:25,000
Integrability criterion there exist لكل إبسلون

343
00:30:25,000 --> 00:30:31,120
طبعاً أخدت الآن إبسلون أكبر من صفر given أنا إبسلون

344
00:30:31,120 --> 00:30:34,680
ماشي، مدام F is integrable فانحارس بالـ

345
00:30:34,680 --> 00:30:39,860
Integrability criterion there exist B F و إبسلون

346
00:30:39,860 --> 00:30:47,500
partition B F و إبسلون such that U B F و إبسلون

347
00:30:48,590 --> 00:30:54,970
والـ Function F ناقص... ناقص ال... معايا شباب؟

348
00:30:54,970 --> 00:31:00,890
تذكرتوا هالنظرية؟ F و Epsilon و F أصغر من مين؟

349
00:31:00,890 --> 00:31:03,550
أصغر من Epsilon على 2 للحسابات الـ Epsilon على 2

350
00:31:03,550 --> 00:31:08,270
ماشي... الآن خليني بس عشان أسهل عملية الحسابات

351
00:31:08,270 --> 00:31:12,070
إليه، بتنقل هذه هنا بعد إذنكم، وأقول هذا الكلام

352
00:31:12,070 --> 00:31:17,130
أصغر من اللي هو هذا زائد هذا، واضح إيش اللي بعمله؟

353
00:31:17,130 --> 00:31:20,590
اللي صار عندي الآن بما أنه F is integrable إذا 

354
00:31:20,590 --> 00:31:24,230
بلاقي partition F إبسلون بحيث أنه هذا أصغر من هذا 

355
00:31:24,230 --> 00:31:33,030
زائد هذا، واضح؟ Similarly for G G is integrable

356
00:31:33,030 --> 00:31:41,770
Similarly for G G is integrable بيعطيني

357
00:31:42,670 --> 00:31:47,530
for every ε أكبر من 0 there exists بي ابسلون خاص 

358
00:31:47,530 --> 00:31:51,610
بال G خليني أسميه بعد ذلك بي جي ابسلون such that

359
00:31:51,610 --> 00:31:54,290
طبعاً partition of نفس ال interval اللي بنشتغل عليها 

360
00:31:54,290 --> 00:31:56,350
لإن ال F وال G دير بالكم معرفة على نفس الـ

361
00:31:56,350 --> 00:32:05,530
interval such that اللي هو ال U بي G و ابسلون و G

362
00:32:05,530 --> 00:32:12,270
الآن ال function اللي بحكي عنها أصغر من L بجي 

363
00:32:12,270 --> 00:32:17,250
وإبسلون أو الـ function ash جي زائد برضه مين؟

364
00:32:17,250 --> 00:32:21,690
إبسلون على اتنين، واضح يا جماعة؟ إذا من الـ 

365
00:32:21,690 --> 00:32:25,430
integrability للـ F لجي تلها partition ومن الـ

366
00:32:25,430 --> 00:32:29,190
integrability للـ G لجي تلها partition الآن زي ما 

367
00:32:29,190 --> 00:32:33,030
عملنا المرة الفاتة بدي أخد partition عشان أستخدم

368
00:32:33,030 --> 00:32:38,370
هذه وأستخدم هذه فبقول let بإبسلون وهذا بقول اللي 

369
00:32:38,370 --> 00:32:42,570
بتدعي ان اللي حلقيه اللي يثبت الـ Integrability أو 

370
00:32:42,570 --> 00:32:45,970
اللي هي criterion Integrability خدوا مين هو؟ أكيد

371
00:32:45,970 --> 00:32:53,150
كلكم حتقوله خد F و E اتحاد B G و E عشان يصير 

372
00:32:53,150 --> 00:32:57,710
بإبسلون refinement لهذه للأولى و refinement للثانية 

373
00:32:57,710 --> 00:33:03,150
وتظبط معانا أن ال refinement تحسين بيصير ال lower

374
00:33:03,150 --> 00:33:09,830
للتحسين يكبر عشان يروح للاش... لنساحة تحت المنحنى

375
00:33:09,830 --> 00:33:15,430
بالظبط في حالة الموجبة بقى، والتحسين اللي يصير ال U

376
00:33:15,430 --> 00:33:20,390
يصغر فبلتجن مع بعض فبعملنا بعملنا الـ الـ

377
00:33:20,390 --> 00:33:23,990
integrability ماشي الحال سيانا عادينا كثير هذا

378
00:33:23,990 --> 00:33:27,920
الكلام، طيب صلى على النبي عليه الصلاة والسلام، صلى

379
00:33:27,920 --> 00:33:32,720
عليه الصلاة والسلام، الآن عندي صار هذا عندي موجود 

380
00:33:32,720 --> 00:33:38,280
وهذا عندي إيش موجود؟ أنا غرض مين؟ غرض هيه لهذه، اه 

381
00:33:38,280 --> 00:33:44,520
عندي U الآن، بدأ، أبدأ أجهز أن أصل U بإبسلون وافذائت

382
00:33:44,520 --> 00:33:50,860
G اللي هو ناقص الـ P Y و F زائد G أصغر من إبسلون

383
00:33:50,860 --> 00:33:54,440
بيكون خلصت بيصير عندي ال F زائد G is integrable

384
00:33:54,440 --> 00:34:02,640
إذا خلينا نقول U بي إبسلون و F زائد G ماشي شباب؟ 

385
00:34:02,640 --> 00:34:10,050
طيب هذه الآن أكيد أصغر أو يساوي من اللي أثبت هذا

386
00:34:10,050 --> 00:34:12,650
أثبتنا لمين يا جماعة؟ في الأول اللي حضرناه وقلنا

387
00:34:12,650 --> 00:34:16,690
اتعبنا عليه هذا قلنا صحيح لكل Partition في الدنيا

388
00:34:16,690 --> 00:34:21,570
من ضمنه مين؟ الـ BY اللي جاته إذن هذا بيصير أصغر أو

389
00:34:21,570 --> 00:34:30,620
يساوي U BY و F زائد U BY و G ماشي يا أبو حسن؟ منيح

390
00:34:30,620 --> 00:34:34,600
هيك بيكون أصغر أو يساوي هذه، زي أن أصغر أو يساوي

391
00:34:34,600 --> 00:34:41,060
اللي هي الثانية، طيب الآن ال... ال U P Y الآن ال P

392
00:34:41,060 --> 00:34:47,060
Y refinement لمين؟ لل P F Y و refinement لمين برضه

393
00:34:47,060 --> 00:34:52,740
يا جماعة؟ ل P G Y مدام refinement إذن اللي هو

394
00:34:54,270 --> 00:34:59,450
التحسين... التحسين للـ U بصغر، إذا هيصير عندي هذا 

395
00:34:59,450 --> 00:35:05,270
التحسين أكيد أصغر أو يساوي من الـ U بـ F وإبسلون 

396
00:35:05,270 --> 00:35:11,310
اللي هو هذا تحسين لهذا و F زائد برضه التحسين هذا

397
00:35:11,310 --> 00:35:17,250
هيكون أصغر من اللي اتحسنله اللي هو الـ U بـ G

398
00:35:17,250 --> 00:35:26,010
وإبسلون أو G ماشي الحال، طيب نفس الأشياء عندنا احنا

399
00:35:26,010 --> 00:35:36,130
بنعرف أن هذا المقدار U بإبسلون و F F و إبسلون

400
00:35:36,130 --> 00:35:39,830
طلعوا على هنا هيو، أصغر يساوي هذه زائد إبسلون على

401
00:35:39,830 --> 00:35:43,730
اتنين وهذه هيها أصلاً بالعمد أن احنا عملنا الأسرع

402
00:35:43,730 --> 00:35:52,370
عشان نعوض بيصير من هذه ومن هذه بيصير أصغر من ال of

403
00:35:52,370 --> 00:35:59,850
B F و Epsilon مع ال F زائد Epsilon على 2 زائد بدل

404
00:35:59,850 --> 00:36:08,170
هذه اللي هي هيها منها نقل L B G و Epsilon و G زائد

405
00:36:08,170 --> 00:36:12,510
Epsilon على 2 إن شاء الله ما خرب، 12 لأ، ما خرب 12 الآن

406
00:36:12,510 --> 00:36:19,590
صار عندي هذي y على اتنين و y على اتنين واتنين

407
00:36:19,590 --> 00:36:20,810
واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و

408
00:36:20,810 --> 00:36:21,390
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و

409
00:36:21,390 --> 00:36:24,390
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و

410
00:36:24,390 --> 00:36:24,410
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و

411
00:36:24,410 --> 00:36:25,230
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين و

412
00:36:25,230 --> 00:36:33,730
اتنين واتنين واتنين واتنين واتنين واتنين 

413
00:36:33,730 --> 00:36:44,290
واتنين واتنين واتنين وامن أو يساوي الـ

414
00:36:44,290 --> 00:36:55,010
refinement للـ L of B ε و F زائد اللي هو L أو B ε

415
00:36:55,010 --> 00:36:59,910
OG سبحان الله، كل الأمور متناسقة عشان في الآخر برضه

416
00:36:59,910 --> 00:37:06,150
هذه الخاصية نستخدم اللي فوق وهذا تناسق في الخلق

417
00:37:06,150 --> 00:37:10,690
ما بين ما ينتجه العقل وما تنتجه الطبيعة اللي هو

418
00:37:10,690 --> 00:37:16,190
هذا الآن المقدار ال بيبسلون، ال بيبسلون هي هذا

419
00:37:16,190 --> 00:37:21,890
المقدار تطلع عليه من هنا، أصغر أو يساوي ال بي أف 

420
00:37:21,890 --> 00:37:26,990
زائد إيش؟ جي، فبيصير هذا أصغر أو يساوي، عوضت من هنا يا 

421
00:37:26,990 --> 00:37:35,150
شباب الـ  B و F زائد G يعني إبسلون طبعاً لأن هذا

422
00:37:35,150 --> 00:37:38,550
الكلام صحيح لكل partition زي ما قلنا من ضمن إن الـ

423
00:37:38,550 --> 00:37:45,880
B إبسلون زائد إيش إبسلون؟ صار عندي الآن اللي بديها

424
00:37:45,880 --> 00:37:50,540
الـ U بيبسلون F زائد G أصغر أو يساوي L بيبسلون F

425
00:37:50,540 --> 00:37:54,260
زائد G زائد Y يعني عشان اللي وصلت له أخدت Y

426
00:37:54,260 --> 00:37:59,320
arbitrary لجهة partition بيبسلون بحيث أن الـ U

427
00:37:59,320 --> 00:38:06,210
بيبسلون F زائد G ناقص القلبي Y F زائد G أصغر من Y

428
00:38:06,210 --> 00:38:10,950
وهذا يعني أنه احنا حققنا الـ Integrable criterion

429
00:38:10,950 --> 00:38:18,070
بمعنى أنه صارت الـ F زائد G is integrable إذن الآن

430
00:38:18,070 --> 00:38:26,510
أثبتنا أن الـ F زائد G is integrable نيجي الآن

431
00:38:26,510 --> 00:38:31,450
نحاول نخلي بس هدول اللي هستخدمهن بعد شوية هنخليه 

432
00:38:31,450 --> 00:38:35,610
الموجودات وده يعني مسحناها نضطرنا مسحناها نرجع

433
00:38:35,610 --> 00:38:39,770
للتلخيص ركزوا معايا إيش اللي بقوله إيش اللي بحكيه

434
00:38:39,770 --> 00:38:41,150
عندي

435
00:38:47,360 --> 00:38:49,720
الآن بدي أثبت أن ال integration لل F زي ال G يا

436
00:38:49,720 --> 00:38:52,460
شباب سواء ال integration لل F زي ال integration لل

437
00:38:52,460 --> 00:38:54,280
G يعني الخطوة الأولى احنا أثبتنا أن F زي ال G 

438
00:38:54,280 --> 00:38:56,820
integrable الآن بدي أثبت أن ال integration لل F زي

439
00:38:56,820 --> 00:39:00,280
ال G سواء ال integration لل F زي ال integration لل

440
00:39:00,280 --> 00:39:06,320
G شوفوا عليها نيجي الآن ال integration من A ل B لل

441
00:39:06,320 --> 00:39:11,600
F زي ال G ماهي الحالة ال integration لل F زي ال G

442
00:39:12,860 --> 00:39:16,920
بتساوي الـ U of F زائد G صح ولا لأ؟ آه لأن الـ

443
00:39:16,920 --> 00:39:20,760
Sort of زائد G is integrable إذا بتساوي الـ U of F

444
00:39:20,760 --> 00:39:25,060
زائد G الـ U of F زائد G هي عبارة عن إيش يا جماعة؟

445
00:39:25,060 --> 00:39:30,620
هي عبارة عن الـ infimum لكل الـ U of زائد G مع

446
00:39:30,620 --> 00:39:35,570
الpartition B إذن أي واحدة من اللي بموجود عليهم الـ

447
00:39:35,570 --> 00:39:40,490
infimum هتكون هذا أصغر منها، هيصير عندي هذه أصغر

448
00:39:40,490 --> 00:39:47,990
أو يساوي الـ U بيبسلون الـ F زائد D، آه أكيد،

449
00:39:47,990 --> 00:39:52,790
عارفين ليش؟ لأن هذه الـ infimum لكل الـ U زلة زي

450
00:39:52,790 --> 00:39:57,850
هيك حيث الـ PY عبارة عن الـ partition وين موجودة في

451
00:39:57,850 --> 00:40:02,410
P of I هذه الـ U عبارة عن الـ infimum إلهم إذا

452
00:40:02,410 --> 00:40:05,890
الواحد منهم أكبر أو يساوي اللي هو هذا الـ infimum

453
00:40:05,890 --> 00:40:10,790
اللي هو الرابع .. ال grades اللي هو الرابع طيب هذا

454
00:40:10,790 --> 00:40:17,650
U PY F زائد G U PY F زائد G لجناه أصغر أو يساوي

455
00:40:18,450 --> 00:40:23,430
اللي هو ال بي أبسلون و F و بي أبسلون جي زائد

456
00:40:23,430 --> 00:40:26,010
إبسلون شايفين هو من هنا يا شباب هاي اللي بدأ

457
00:40:26,010 --> 00:40:30,390
استخدمه الآن هاي اللي بدأ تلزمني هنا هاي هذه هاي

458
00:40:30,390 --> 00:40:37,570
هذه أثبتناها أصغر أو يساوي هذه خليني الآن أستخدمها

459
00:40:37,570 --> 00:40:41,570
فوق فده ننجلها فوق هذه أصغر أو يساوي اللي بالأزرق

460
00:40:41,570 --> 00:40:46,510
هذه أصغر أو يساوي الجيت بتعرفي أشي بتسوي ال بي

461
00:40:46,510 --> 00:40:47,650
أبسلون و F

462
00:40:55,470 --> 00:41:02,070
معايا شباب طيب ما هو ال F is integrable إذا ال

463
00:41:02,070 --> 00:41:10,870
integration لل F بيساوي L و F أكيد بيساوي U و F لأن هذه

464
00:41:10,870 --> 00:41:15,650
الـ L of F هي عبارة عن الـ Supremum لهذه كلها إذن

465
00:41:15,650 --> 00:41:23,090
أكيد هذا أصغر أو يساوي الـ L of F زائد و L of G

466
00:41:23,090 --> 00:41:26,350
برضه أكبر أو يساوي هذه لأن هذه عبارة عن الـ

467
00:41:26,350 --> 00:41:29,610
Supremum لكل الأشكال اللي زي هذه و L of F هي عبارة

468
00:41:29,610 --> 00:41:34,230
عن الـ Supremum لكل الـ B's و F لكل اللي هو ال

469
00:41:34,230 --> 00:41:36,190
partitions اللي في set of all partitions

470
00:41:36,190 --> 00:41:42,590
partitions B of I زائد مين؟ زائد أبسلون ولأن F is

471
00:41:42,590 --> 00:41:45,490
integrable إذا هذا بيساوي بالظبط ال integration من

472
00:41:45,490 --> 00:41:49,330
A ل B لل F زائد ال integration لأن G is integrable

473
00:41:49,330 --> 00:41:55,810
ماعطينايها أصلاً G من A ل B زائد H زائد أبسلون صار

474
00:41:55,810 --> 00:42:00,250
عندي الآن ال integration اللي حصلته يا شباب اللي

475
00:42:00,250 --> 00:42:06,510
حصلته مالي اللي حصلته أنه صار عندي ال integration

476
00:42:06,510 --> 00:42:14,970
لل F زائد G من a ل b أشماله أصغر أو يساوي ال

477
00:42:14,970 --> 00:42:18,250
integration لل F من a ل عند b زائد ال integration

478
00:42:18,250 --> 00:42:23,710
لل g من a ل b زائد ابسلون هذا لكل ابسلون في الدنيا

479
00:42:23,710 --> 00:42:28,920
لكل ابسلون في الدنيا هذا صحيح إذا المدام صحيح لكل

480
00:42:28,920 --> 00:42:33,380
إبسلون إذا أكيد هيطلع لل integration لل F زائد G

481
00:42:33,380 --> 00:42:37,200
من A ل B أصغر أو يساوي ال integration لل F زائد ال

482
00:42:37,200 --> 00:42:41,580
integration لل G من A ل B من A ل B لأن اللي فوق

483
00:42:41,580 --> 00:42:46,880
صحيح لمين؟ لأي إبسلون في الدنيا اللي بتستشكل عليه

484
00:42:46,880 --> 00:42:51,060
الاب أنه يفهمها عن طريق أنه since إبسلون was

485
00:42:51,060 --> 00:42:55,540
arbitrary then هذا أصغر أو يساوي هذا يأخذ الحالة

486
00:42:55,540 --> 00:42:59,540
الخاصة للإبسلونات لأن لكل إبسلون هذا صحيح من ضمنها

487
00:42:59,540 --> 00:43:04,280
الإبسلونات اللي بيساوي 1 على N لكل N بيظل هذا ال

488
00:43:04,280 --> 00:43:07,940
integration لل F زائد G أصغر إذا كان ال

489
00:43:07,940 --> 00:43:11,380
integration لل F زائد ال integration لل G زائد 1

490
00:43:11,380 --> 00:43:14,720
على N لكل N في الدنيا لأن هذا صحيح على كل إبسلون

491
00:43:14,720 --> 00:43:19,600
من ضمنها ال 1 على N مات ال N every N يعني الآن مدام

492
00:43:19,600 --> 00:43:23,640
هذه صحيحة بناء على هذه صحيحة خد ال limit للجهتين

493
00:43:23,640 --> 00:43:28,240
as n goes to infinity ال limit للجهتين as n goes

494
00:43:28,240 --> 00:43:31,280
to infinity هذا independent of n وهذا independent

495
00:43:31,280 --> 00:43:34,920
of n وهذا as n goes to infinity بتروح للصفر بيصير

496
00:43:34,920 --> 00:43:39,220
عنده اللي هو ال integration لل F زائد G هيكون أصغر

497
00:43:39,220 --> 00:43:42,420
السهولة integration لل F زائد integration لمن؟ لل

498
00:43:42,420 --> 00:43:46,740
G هذا فهم آخر اللي بشوية بتغلب من قصة since Y هو

499
00:43:46,740 --> 00:43:52,090
الواضع الاربتردن كذا كده طيب إذا صار عندي الآن

500
00:43:52,090 --> 00:43:57,250
إثباتة ال integration ل F زي ال G ظهر سواء ال

501
00:43:57,250 --> 00:44:03,230
integration ل F زي ال integration ل G اللي هان بده

502
00:44:03,230 --> 00:44:05,970
يأثبت المساواة بده يثبت العكس بده ياخد الـ

503
00:44:05,970 --> 00:44:09,390
integration للـ F زي الـ integration للـ G و أصل

504
00:44:09,390 --> 00:44:14,350
للي بديه شوف كيف اتفجنا الآن إيش أثبتنا يا شباب

505
00:44:14,350 --> 00:44:19,210
خليني أسجلها هان أخزنها ال integration للـ F زي

506
00:44:19,210 --> 00:44:24,490
الـ G من A ل B أصغر أو يساوي ال integration للـ F من A

507
00:44:24,490 --> 00:44:29,570
ل B زي ال integration للـ G من A ل B وهذا أثبتناه

508
00:44:29,570 --> 00:44:32,970
بالدفت بت اللي هو conversely برضه اعتمادا على

509
00:44:32,970 --> 00:44:44,310
الحديث الأولاني خليني 

510
00:44:44,310 --> 00:44:48,850
اكتب بالأسود هنا عشان أتميز بين الجهتين عند الآن

511
00:44:48,850 --> 00:44:53,330
ال integration لل F من A ل B زائد ال integration لل

512
00:44:53,330 --> 00:45:02,420
G من A ل B ماشي الحال هذا اللي هو أصغر أو يساوي

513
00:45:02,420 --> 00:45:07,360
اللي هو نفس المنطق الأولاني هذا اللي هو عبارة عن

514
00:45:07,360 --> 00:45:13,760
اللي بالظبط بيساوي ال U of F زائد ال U of G و ال U

515
00:45:13,760 --> 00:45:17,380
of F هذه عبارة عن ال infimum على كل ال U's اللي هي

516
00:45:17,380 --> 00:45:20,000
ال lower ال upper sums اللي هي أصغر أو يساوي ال U

517
00:45:20,000 --> 00:45:27,620
لل بي إبسلون و F زائد ال U لل بي إبسلون و جي مظبوط

518
00:45:27,620 --> 00:45:31,540
ولا لأ؟ أكيد مظبوط لأن هذا عبارة عن الام في مملكة

519
00:45:31,540 --> 00:45:35,060
كل هذول وهذه عبارة عن ال supreme مملكة لكل هذول

520
00:45:35,060 --> 00:45:46,120
ماشي الآن عندي هذا نفسه ال U بي إبسلن و أف و ال U

521
00:45:46,120 --> 00:45:51,880
بي أل إبسلن و أف أثبتناها نتطلع عليها نستخدم حاجة

522
00:45:51,880 --> 00:45:56,220
هنا يو بي إبسل و أف و يو بي إبسل و أف أصغر يساوي

523
00:45:56,220 --> 00:46:05,420
مين؟ هايها ال بي إبسلون و أف زائد جي صحيح؟ واضح

524
00:46:05,420 --> 00:46:11,180
عشان بابا يعني بدت أستخدم الآن هاي هذي يو بي

525
00:46:11,180 --> 00:46:16,550
إبسلون شايفينها؟ هي اللي بحكي بشويش عشان تتركزوا

526
00:46:16,550 --> 00:46:19,890
معايا اللي بالأزرق هذا اللي بالأصفر آسف معها دي

527
00:46:19,890 --> 00:46:23,970
هذا كله أثبتناه إذا مين ده؟ استخدمه إذا هذا أصفر

528
00:46:23,970 --> 00:46:31,650
أو يساوي اللي هي L بي أبسلون و F زائد G زائد 100

529
00:46:31,650 --> 00:46:38,270
زائد أبسلون معايا يا شباب أكيد اللي هو وضحت إيش

530
00:46:38,270 --> 00:46:44,690
بدي أسوي هذا نفسه اللي هو أصغر أو يساوي L of F زي

531
00:46:44,690 --> 00:46:48,430
الـ G زي الـ Epsilon لأن L of F مين زي الـ G

532
00:46:48,430 --> 00:46:51,070
يقولونها كتير إيش هي دي؟ عبارة عن الـ Supremum لكل

533
00:46:51,070 --> 00:46:56,860
دولة آه على كل ال partitions إذا أكيد ال L of F هو

534
00:46:56,860 --> 00:47:00,580
أكبر أو يساوي هذا المقدر ال L of F زائد G عبارة عن

535
00:47:00,580 --> 00:47:05,680
ال sobremom لكل اللي هي lower sums اللي إنصار عندي

536
00:47:05,680 --> 00:47:09,940
و هذا لأن F زائد G أثبتناها inintegrable بيساوي ال

537
00:47:09,940 --> 00:47:15,860
integration من A ل B لل F زائد G لكل أشماله زائد Y

538
00:47:16,670 --> 00:47:20,990
إذا حصلنا الـ F زائد الـ integration للـ A للـ F

539
00:47:20,990 --> 00:47:23,470
من A إلى B زائد الـ integration للـ G من A إلى B

540
00:47:23,470 --> 00:47:26,930
أصغر أو يساوي ال integration من A إلى B للـ F زائد

541
00:47:26,930 --> 00:47:32,510
G زائد مين؟ زائد إبسنون مظبوط يا شباب الآن نفس

542
00:47:32,510 --> 00:47:38,580
القصة الأولى بما أن إبسلون كان مخصصًا وبنفس المنطق

543
00:47:38,580 --> 00:47:43,320
اللي حكيته قبل بشوية إذا ال integration لل F من A

544
00:47:43,320 --> 00:47:47,800
لعند B زائد ال integration لل G من A لعند B هيكون

545
00:47:47,800 --> 00:47:53,720
أصغر أو يساوي ال integration لل F زائد G هذه الآن

546
00:47:53,720 --> 00:47:58,520
اللي بالأصفر مع هذه اللي بالأحمر يعطينا أن ال

547
00:47:58,520 --> 00:48:06,520
integration للـ F زائد G من A لعند B يساوي بالظبط

548
00:48:06,520 --> 00:48:10,340
integration من A لB للF زائد integration من A لB

549
00:48:10,340 --> 00:48:13,360
للG وهو المطلوب

550
00:48:15,210 --> 00:48:20,010
و بكون احنا هي كأثبتنا الجزء الثاني من النظرية

551
00:48:20,010 --> 00:48:23,770
اللي هي الأولى اللي هو ال integration لل F زي ال G

552
00:48:23,770 --> 00:48:28,990
بسبب ال integration لل F زائد ال integration لمين؟

553
00:48:28,990 --> 00:48:34,370
لل G فيكم تصلوا علينا بيه؟ عليه الصلاة والسلام وصلى

554
00:48:34,370 --> 00:48:38,310
الله عليه وسلم يا حمد طيب يا شباب شوفوا النظرية

555
00:48:38,310 --> 00:48:44,610
اللي عندي كما يلي نظريتنا بقول لو كانت F من الـ

556
00:48:44,610 --> 00:48:48,270
closed bounded interval A وB لعند الـ R بـ

557
00:48:48,270 --> 00:48:52,310
Integrable function On I اللي هي دالة قابلة

558
00:48:52,310 --> 00:48:57,210
للتكامل بالنسبة للرمان وكانت الدالة F of X أكبر أو

559
00:48:57,210 --> 00:49:01,530
يساوي صفر يعني المنحنى وين؟ فوق اللي هو محور

560
00:49:01,530 --> 00:49:06,090
السينات إذا حيكون ال integration للـ F نفسه برضه 

561
00:49:06,090 --> 00:49:12,370
أشماله أكبر أو يساوي صفر يعني الآن بقولي F of X

562
00:49:13,950 --> 00:49:17,850
أكبر أو يساوي صفر on I اللي بيعطيني ال integration

563
00:49:17,850 --> 00:49:23,490
على ال I من A ل B لل F أكبر أو يساوي أيش برضه صفر

564
00:49:23,490 --> 00:49:29,250
و proof سهل الأمر و ما أعطيك F integrable كمان

565
00:49:29,250 --> 00:49:34,990
ما أعطيك F أشماله is integrable معايا مدام ال F is

566
00:49:34,990 --> 00:49:40,690
integrable إذا أكيد ال integrationللـ F من عند A ل

567
00:49:40,690 --> 00:49:45,750
B بساوي L of F مثلا أو بساوي U of F زي ما بدك

568
00:49:45,750 --> 00:49:53,410
بساوي L of F الـ L of F أكيد أكبر أو يساوي لإنه الـ L of

569
00:49:53,410 --> 00:49:57,270
F عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن طبعا الـ L of F هنا

570
00:49:57,270 --> 00:50:02,670
بتظبط معنا الـ L of F عبارة عن إيش عبارة عن الـ

571
00:50:02,670 --> 00:50:09,210
Supremumلمين؟ لكل ال partitions إذا أكيد هي أكبر

572
00:50:09,210 --> 00:50:18,650
أو يساوي الـ L of P أو P أو F إيش الـ L of P أو F؟

573
00:50:18,650 --> 00:50:23,790
some partition أنا بديها Partition مين؟ للفترة A و B

574
00:50:23,790 --> 00:50:28,590
اللي هي الفترة مين؟ I اللي هي A و B هذا فترة نهار

575
00:50:28,590 --> 00:50:33,090
الآن أنا بقول الـ L of F اللي هو الـ supremum على كل

576
00:50:33,090 --> 00:50:37,650
ال partitions دولة للـ L على كل ال partitions دولة

577
00:50:37,650 --> 00:50:41,350
أكيد هيكون أكبر أو يساوي طيب هذا إيش معنى هذا

578
00:50:41,350 --> 00:50:44,590
اخترته هل جيت بتشوفوا إيش معنى اخترته؟ إيش ال

579
00:50:44,590 --> 00:50:48,290
partition هذا B A و B؟ هذا ال partition هو B A و B

580
00:50:48,290 --> 00:50:52,310
هو بس ال partition اللي في نقطتين أول نقطة و آخر

581
00:50:52,310 --> 00:50:55,670
نقطة يعني ما .. ما جزأت الـ interval إلا لحالها هي

582
00:50:55,670 --> 00:50:58,510
.. هي التجزئة هي الـ interval a و b بصحيح اللي هو

583
00:50:58,510 --> 00:51:02,930
طبعا I partition للـ a و الـ b طيب إيش تعريفه هذا ..

584
00:51:02,930 --> 00:51:07,550
هذا .. هذا .. إيش تعريفه هذا بساوي اللي هو الـ

585
00:51:07,550 --> 00:51:11,910
summation مش هنحتاج الـ summation لأنه بس إيش مالها

586
00:51:11,910 --> 00:51:15,750
ما فيش تغير صفر الـ interval واحدة إذا بساوي اللي هو

587
00:51:15,750 --> 00:51:25,230
الـ M summation للـ M Kأه في إيش في xk-xk-1 لكن أصلا

588
00:51:25,230 --> 00:51:28,690
أنا باخد بس اللي هو ما فيش غير sub interval واحدة

589
00:51:28,690 --> 00:51:33,530
اللي هي الـ a و الـ b يعني هذه بمعنى آخر b minus

590
00:51:33,530 --> 00:51:37,910
a minus a و ال mk هنا واحدة بس مين هي ال

591
00:51:37,910 --> 00:51:43,790
maximum اللي هي خلينا نسميها m a و b هذه MAP ماذا

592
00:51:43,790 --> 00:51:49,290
بتساوي حسب التعريف الـ infimum للـ F of X حيث الـ X

593
00:51:49,290 --> 00:51:54,220
موجودة في الـ sub interval هذه اللي هي I نفسه الآن

594
00:51:54,220 --> 00:51:57,680
هيك باخد الـ .. الـ .. الـ .. ال partition صار عندي

595
00:51:57,680 --> 00:52:01,900
الآن هذا أكبر يساوي m of P في مين؟ ف أنا هذه

596
00:52:01,900 --> 00:52:05,460
infimum من الـ F of X و أحنا فرضين إن الـ F of X أكبر

597
00:52:05,460 --> 00:52:09,040
يساوي صفر يعني الـ infimum غصب بين عنا هيطلع F أكبر

598
00:52:09,040 --> 00:52:13,060
يساوي صفر إذا هذه أكبر أو يساوي صفر و هذه أكبر أو

599
00:52:13,060 --> 00:52:16,760
يساوي صفر إذا مع بعض التنتين إيش شماله؟ أكبر أو

600
00:52:16,760 --> 00:52:20,460
يساوي صفر إذا ال integration من A ل B لل F أكبر أو

601
00:52:20,460 --> 00:52:21,720
يساوي صفر

602
00:52:24,180 --> 00:52:31,620
هذه هي النظرية 722 نجي الآن للـ remark اللي بعدها و

603
00:52:31,620 --> 00:52:36,860
الـ remark اللي بعدها يعني على اللي هي النظرية

604
00:52:36,860 --> 00:52:42,800
الفهم النظرية هذه على طول بنستوعبها إن شاء الله و

605
00:52:42,800 --> 00:52:43,360
بنفهمها

606
00:52:48,870 --> 00:52:52,690
ما هي النظرية اللي تريد أن تقولها؟ إذا كانت f من I

607
00:52:52,690 --> 00:52:56,850
a و b لعند R is integrable لكل x element in I

608
00:52:56,850 --> 00:53:00,590
لجينا أن f of x بين مين؟ بين قيمتين بين M و بين

609
00:53:00,590 --> 00:53:04,330
مين؟ بين M capital دائما الـ f of x يعني كأنه

610
00:53:04,330 --> 00:53:10,190
دلتنا دلتنا هي ها هي عنا ال function أي إن كانت

611
00:53:10,190 --> 00:53:16,380
و هي الفترة a و b عندنا من هنا a و b و B و هاي اللي

612
00:53:16,380 --> 00:53:20,720
هو M small و هاي M capital يعني الدالة بين ..

613
00:53:20,720 --> 00:53:25,340
دايما و اجعة بين هدول النغطين اللي هو بين M small و

614
00:53:25,340 --> 00:53:30,260
بين M capital إذا ال integration تبعها من A ل B لل

615
00:53:30,260 --> 00:53:35,260
F أكبر يساوي M في B minus A و أصغر من M في B minus

616
00:53:35,260 --> 00:53:42,380
A capital واضح؟ طيب شوف

617
00:53:42,380 --> 00:53:50,950
الآن أول حاجة مدام F is integrable إذا بدك تلاحظ أن

618
00:53:50,950 --> 00:53:56,830
الـ L of F بساوي الـ U of F بساوي قيمة ال

619
00:53:56,830 --> 00:54:02,430
integration من A ل B لل F of X DX، مظبوط؟ هذا من

620
00:54:02,430 --> 00:54:07,770
تعريف أن الـ F أشماله F is integrable تعالي الـ L

621
00:54:07,770 --> 00:54:12,180
of F زي ما عملنا قبل بشوية L of F اللي هي أشماله

622
00:54:12,180 --> 00:54:16,560
أكبر أو يساوي لإن الـ supremum على كل مين على ال

623
00:54:16,560 --> 00:54:21,160
partitions اللي لها إذا أكبر أو يساوي اللي هو ال

624
00:54:21,160 --> 00:54:28,960
الـ L of P أو P و F اللي قبل شوية عملته ماشي اللي

625
00:54:28,960 --> 00:54:34,780
هو L أو P و F بساوي اللي هو الـ infimum للـ F of X

626
00:54:34,780 --> 00:54:41,000
such that X element in the interval A و B هذا الـ

627
00:54:41,000 --> 00:54:44,220
sub interval في الشغل هي واحدة اللي هو مضروب في

628
00:54:44,220 --> 00:54:46,380
مين؟ في طول الـ interval اللي هي مين طول ال

629
00:54:46,380 --> 00:54:49,700
interval في هذه الحالة؟ أو الـ sub interval B minus

630
00:54:49,700 --> 00:54:52,940
A هي سماشي لكن أنا أصلا ما عنديش غير sub interval

631
00:54:52,940 --> 00:54:57,780
واحدة هيك مجزقة أنا الفترة إلى جزء واحد بس الآن ال

632
00:54:57,780 --> 00:55:01,240
infimum هذا عمالي بقول أنا الـ F of X أكبر يساوي

633
00:55:01,240 --> 00:55:07,050
مين؟ M إذاً، حيكون عند الـ infimum له أكيد هيكون

634
00:55:07,050 --> 00:55:12,830
أكبر أو يساوي الـ M هذه في مين؟ في الـ B minus A

635
00:55:12,830 --> 00:55:18,090
كمان مرة الـ F of X أكبر أو يساوي M إذاً، الـ

636
00:55:18,090 --> 00:55:22,390
infimum تبعه أكيد هيظل أكبر أو يساوي مين؟ أكبر أو

637
00:55:22,390 --> 00:55:30,080
يساوي M هذه من جهة الآن، صار عندي الآن اللي عملته

638
00:55:30,080 --> 00:55:36,600
L of F هذا أتبعته أكبر أو يساوي M في B minus A

639
00:55:36,600 --> 00:55:40,520
Similarly الآن بدي أشتغل على مين يا شباب بدي أشتغل

640
00:55:40,520 --> 00:55:44,460
على الـ U عشان أسيب أجيب اللي هي أصغر أو يساوي شوف

641
00:55:44,460 --> 00:55:50,730
كيف بدي أعملها الـ U of F إيش بيساوي؟ طبعا الـ U في

642
00:55:50,730 --> 00:55:54,250
F إيش ماله؟ هو الـ infimum على كل ال other sums

643
00:55:54,250 --> 00:56:01,890
إذن هيكون أصغر أو يساوي الـ U على الـ B .. الـ B A و

644
00:56:01,890 --> 00:56:06,970
B نفس ال partition بتاخده و مين و الـ F الـ U of F هو

645
00:56:06,970 --> 00:56:12,890
عبارة عن الـ infimum على كل ال other sums هذا الأن

646
00:56:12,890 --> 00:56:16,610
إيش بيساوي؟ بيساوي اللي هو بس الـ sub interval

647
00:56:16,610 --> 00:56:19,290
واحدة مين هي؟ أنا باخدها اللي بردش إن أنا بس

648
00:56:19,290 --> 00:56:22,570
نقطتين إذا الـ sub interval واحدة اللي هي B minus

649
00:56:22,570 --> 00:56:29,250
A بيصير عند الـ supremum لم K Capital لأ الـ F of X

650
00:56:29,250 --> 00:56:35,080
such that X element in A و B هو مضروب في مين في طول

651
00:56:35,080 --> 00:56:38,780
الفترة اللي هي الـ sub interval عند بي minus ايه

652
00:56:38,780 --> 00:56:44,150
الآن و يساوي هذا الـ supremum معلقها يا شباب أكيد

653
00:56:44,150 --> 00:56:49,290
مدامة الـ F of X أصغر أو يساوي M إذاً هيكون الـ

654
00:56:49,290 --> 00:56:53,070
Supremum لأن هذا الـ Supremum إيش شماله؟ الـ Least

655
00:56:53,070 --> 00:56:58,550
Upper Bound مدامة الـ M عبارة عن Upper Bound للـ F

656
00:56:58,550 --> 00:57:01,810
of X لأنها أكبر يساوي F of X إذاً هيكون عند الـ

657
00:57:01,810 --> 00:57:05,090
Least Upper Bound اللي هو الـ Supremum أصغر أو

658
00:57:05,090 --> 00:57:10,310
يساوي الـ Upper Bound M في الـ B minus A إذاً صار

659
00:57:10,310 --> 00:57:15,540
Luv F أصغر أو يساوي B M في B minus A هذا صار عندي

660
00:57:15,540 --> 00:57:19,400
اللي هو أصغر أو يساوي الـ M في B minus A اللي هو

661
00:57:19,400 --> 00:57:23,860
بيساوي هذا طبعا معطى بيصير أصغر أو يساوي M في B

662
00:57:23,860 --> 00:57:29,340
minus A فبيصير فعلا ال integration تبعها بين M في B

663
00:57:29,340 --> 00:57:35,120
minus A و بين M في B minus A capital M اللي

664
00:57:35,120 --> 00:57:39,320
ما أوضحت لهوش هذه بنفس الطريقة اللي هنا عند الـ M صارت

665
00:57:39,320 --> 00:57:42,780
lower bound لهذه و الـ infimum هذه عبارة عن

666
00:57:42,780 --> 00:57:45,480
greatest lower bound مدام greatest lower bound ده

667
00:57:45,480 --> 00:57:48,180
الأكبر أو يساوي واحد من الـ lower bound اللي هو مين

668
00:57:48,180 --> 00:57:52,720
اللي هو الـ M ماشي الحالة و الباقي زي ما هو هيك

669
00:57:52,720 --> 00:57:56,040
بيكون أثبتنا اللي هي الـ remark اللي عندي

670
00:58:06,640 --> 00:58:12,280
إن ييجي إلى الـ Corollary للنظرية اللي قبل بشوية

671
00:58:12,280 --> 00:58:19,460
برضه

672
00:58:19,460 --> 00:58:33,220
الإثبات إن شاء الله سهل شوفوا

673
00:58:33,220 --> 00:58:38,690
يا شباب عندي الآن الـ Corollary بتقول ما يلي F F و

674
00:58:38,690 --> 00:58:43,730
G من I لعند R ر انتيجرابل on I فعندي F و G

675
00:58:43,730 --> 00:58:47,870
انتيجرابل و F of X أصغر يساوي G of X لكل X element

676
00:58:47,870 --> 00:58:51,050
on I ده ال integration من A لB للF أصغر ال

677
00:58:51,050 --> 00:58:56,890
integration من A لB لمن لل G ماشي الحال فبيصير عندي

678
00:58:56,890 --> 00:59:03,230
الآن ال integration أنه لو كانت الـ F of X أصغر

679
00:59:03,230 --> 00:59:08,820
يساوي G of X on I بيعطيني ال integration للـ F على

680
00:59:08,820 --> 00:59:11,380
الـ I اللي هو من A و لا B نظرها لتعرف ال

681
00:59:11,380 --> 00:59:21,080
integration من A لB لمن لـ G طيب عندي F و G

682
00:59:21,080 --> 00:59:25,860
integrable صح ولا لأ إذا أكيد زي ما حكيت في أول

683
00:59:25,860 --> 00:59:30,900
المحاضرة حسب اللي هو إنه F integrable و G

684
00:59:30,900 --> 00:59:35,230
integrable إذا مجموعهم انتجرابل أو حاصل طرح الـ

685
00:59:35,230 --> 00:59:38,910
Integrable بناء على إنه K في F انتجرابل أو K في G

686
00:59:38,910 --> 00:59:41,910
انتجرابل أو بناء على إنه بيصير ناقص G is

687
00:59:41,910 --> 00:59:46,970
integrable بيطلع عندي الـ F ناقص G أشماله is

688
00:59:46,970 --> 00:59:55,830
integrable مش الحال طيب و مش هيك كمان و قلنا ال

689
00:59:55,830 --> 01:00:02,270
integration للـ F ناقص G أو الـ G - F تلزمني أنا الـ

690
01:00:02,270 --> 01:00:08,830
G - F فهن الـ G - F is integrable مدام G - F is

691
01:00:08,830 --> 01:00:14,150
integrable إذا الـ G - F حسب اللي .. النظرية قبل

692
01:00:14,150 --> 01:00:20,770
بشوية الـ G minus F من هنا بصير G ناقص F of X أكبر

693
01:00:20,770 --> 01:00:24,670
أو يساوي صفر من I إذا حيكون الـ G minus F على من A

694
01:00:24,670 --> 01:00:27,390
ل B أكبر أو يساوي صفر حسب النظرية اللي هاد

695
01:00:27,390 --> 01:00:32,170
الـ Corollary إلها طيب و من جهة أخرى بالنظرية اللي

696
01:00:32,170 --> 01:00:35,870
حكيناها في الأول اللي هو مجموع دالتين أو حاصل طرحين

697
01:00:35,870 --> 01:00:42,110
بساوي ال integration إن الـ G من A لB زائد ال

698
01:00:42,110 --> 01:00:51,410
integration من A إلى B للـ

699
01:00:51,410 --> 01:00:58,230
G ناقص ال integration من A إلى B للـ F اعتمدت هنا

700
01:00:58,230 --> 01:01:02,430
في التوزيع و في إخراج النقص على الـ K F Integrable

701
01:01:02,430 --> 01:01:04,710
و الـ K في ال integration بيساوي ال integration

702
01:01:04,710 --> 01:01:09,190
للـ K و اللي هو اعتمادا على ال integration للـ F زي

703
01:01:09,190 --> 01:01:11,190
الـ G بيساوي ال integration للـ F زي ال integration

704
01:01:11,190 --> 01:01:15,250
للـ G من هنا صار عندي أنقل هذا بس على الجهة الثانية

705
01:01:15,250 --> 01:01:18,930
بيصير ال integration للـ G من A لـ B لما انقل هذا

706
01:01:18,930 --> 01:01:23,130
على الجهة الثانية أكبر أو يساوي ال integration للـ

707
01:01:23,130 --> 01:01:30,850
F من A لـ B وهو المطلوب. طيب يا شباب نيجي للنظرية

708
01:01:30,850 --> 01:01:36,970
اللي بعدها. خلونا نركز شوية لأنه البرهان يعني طويل 

709
01:01:36,970 --> 01:01:45,850
شوية لكن إن شاء الله بتستوعبوه. نشوف إيش النظرية 

710
01:01:45,850 --> 01:01:54,690
بتقول النظرية

711
01:01:54,690 --> 01:02:02,260
تقول ما يلي: let I عبارة عن فترة من A لعند B، هاي 

712
01:02:02,260 --> 01:02:09,460
الفترة اللي عندي. هاي الفترة من A لعند B، وعندي ماخد

713
01:02:09,460 --> 01:02:15,220
أنا C نقطة في داخل الفترة A و B. طبعا النظرية

714
01:02:15,220 --> 01:02:17,900
هتلاقوها مش غريبة عليكم. مرة تلاقوكم الكلكولات ولكن

715
01:02:17,900 --> 01:02:22,330
البرهان اللي بده شغل. let I بيساوي من A لعند B and

716
01:02:22,330 --> 01:02:25,830
let C be an element in A و B and let F من كل I 

717
01:02:25,830 --> 01:02:29,210
لعند R be a bounded function. يعني ال function اللي

718
01:02:29,210 --> 01:02:32,830
بنشتغل عليها bounded جاهزة يعني. and then النتيجة 

719
01:02:32,830 --> 01:02:36,970
بقولي F is integrable on I. هتكون الـ F integrable 

720
01:02:36,970 --> 01:02:42,990
على كل الفترة اللي هي I من A و B إذا و فقط إذا F

721
01:02:42,990 --> 01:02:51,480
is integrable على مين؟ على on both I واحد من A لـ C و

722
01:02:51,480 --> 01:03:00,520
I2 من C لعند B. ومش هيك بقولك وكمان هيكون عند الـ

723
01:03:00,520 --> 01:03:03,080
integration من A لـ B لـ F سوى ال integration من A لـ

724
01:03:03,080 --> 01:03:05,820
C لـ F زائد ال integration من C لـ عند B لـ F اللي هي

725
01:03:05,820 --> 01:03:09,460
الشيء المعود عندنا. إذا الأن بقولي الإعلان اللي

726
01:03:09,460 --> 01:03:12,560
بقوله مالي إذا كانت F is a bounded function on the

727
01:03:12,560 --> 01:03:18,080
interval كلها I اللي سمينها من A لـ عند B، I. أه إذا 

728
01:03:18,080 --> 01:03:22,800
كانت F is bounded function عليها إذا F is 

729
01:03:22,800 --> 01:03:32,220
integrable on I if and only if F is integrable on

730
01:03:32,220 --> 01:03:42,140
I1 and F is integrable on I2. وفي هذه الحالة سيكون

731
01:03:42,140 --> 01:03:46,500
عنده ال integration من A لعند B سوى ال integration 

732
01:03:46,500 --> 01:03:52,470
من A لـ C زائد ال integration من C لعند B. بدنا نفترض 

733
01:03:52,470 --> 01:03:58,550
في الأول أن F is integrable على I1 و I2 ونصل أنه

734
01:03:58,550 --> 01:04:01,450
اللي هو إيه شماله؟ اللي هو ال function is

735
01:04:01,450 --> 01:04:07,430
integrable عالميا على كل الفترة اللي هي I. إذا الأن

736
01:04:07,430 --> 01:04:15,030
أول حاجة بدنا نفترضها انتبهوا عندي إيش بنسوي، صبوز

737
01:04:17,840 --> 01:04:32,080
that F is integrable on I1 and I2. ستجدون أننا

738
01:04:32,080 --> 01:04:37,580
نعتمد كثير على الـ Integrable criterion. ستجدون كم 

739
01:04:37,580 --> 01:04:42,820
هي مهمة في إثبات هذه النظريات. مادام F is 

740
01:04:42,820 --> 01:04:48,300
integrable على I1 خلّينا ناخد Y أكبر من صفر 

741
01:04:48,300 --> 01:04:52,260
arbitrary. for every Y أكبر من صفر بما أن F is 

742
01:04:52,260 --> 01:05:00,440
integrable on I1 then there exists B1Y. هذا 

743
01:05:00,440 --> 01:05:06,260
partition عالميا على I1 such that لأن F is 

744
01:05:06,260 --> 01:05:14,210
integrable على I1 such that الـ UB1 و Epsilon و

745
01:05:14,210 --> 01:05:20,490
الـ function F ناقص الـ LB1 و Epsilon و الـ

746
01:05:20,490 --> 01:05:25,250
function F أصغر من مين؟ من Epsilon على 2 للحسابات

747
01:05:25,250 --> 01:05:30,770
ماشي الحال. هذا

748
01:05:30,770 --> 01:05:36,590
استخداما للـ integrability للـ function F عالمين

749
01:05:36,590 --> 01:05:44,720
على الـ I1. Similarly, There exist B2

750
01:05:44,720 --> 01:05:48,920
و Epsilon بما أن F Integra بالعالم I2 إذاً there 

751
01:05:48,920 --> 01:05:58,140
exist B2 و Epsilon such that U B2 و Epsilon هذا

752
01:05:58,140 --> 01:06:02,160
partition لمين؟ للفترة التانية I2 اللي هي من C

753
01:06:02,160 --> 01:06:10,740
لعند B و F ناقص الـ LB2 و Epsilon و F أصغر من مين

754
01:06:10,740 --> 01:06:15,180
يا جماعة أصغر برضه من Epsilon على اتنين. ماشي الحال

755
01:06:15,180 --> 01:06:21,100
الآن أنا غرضي أن أثبت أن F is Integra بالعالمين

756
01:06:21,100 --> 01:06:30,050
على كل الفترة I من A لعند مين؟ لعند B. الان let ما

757
01:06:30,050 --> 01:06:34,130
دام بده .. بده اللي هو أثبت الـ Integrability للـ 

758
01:06:34,130 --> 01:06:38,270
F يا شباب على كل الـ I. إذا بدي partition على كل

759
01:06:38,270 --> 01:06:43,070
الـ I، ال partition المؤهل ليكون الـ I الـ B1 و Y

760
01:06:43,070 --> 01:06:48,530
جزء هذه و الـ B2 و Y جزء هذه. إذا حاكيد عند let B

761
01:06:48,530 --> 01:06:55,170
اللي هو بيساوي أو بي اللي هو .. امسميه بي إبسلون 

762
01:06:55,170 --> 01:07:04,240
بيساوي B1 و Epsilon اتحاد B2 و Epsilon. واضحة؟

763
01:07:04,240 --> 01:07:10,000
وهذا هيكون إشمال و partition. partition لمين؟ لكل

764
01:07:10,000 --> 01:07:17,140
الـ I معايا يا شباب، اه؟ إذا صار عندي الآن اخترت أنا

765
01:07:17,140 --> 01:07:22,900
الـ بي إبسلون عبارة عن B1 إبسلون اتحاد B2 

766
01:07:22,900 --> 01:07:26,760
إبسلون وبدأ أصل للـ UB إبسلون نال أقل الـ LB

767
01:07:26,760 --> 01:07:32,300
إبسلون أصغر من إبسلون. واضح اه؟ عشان أثبت أنه الـ

768
01:07:32,300 --> 01:07:36,180
function F is integrable على كل الـ I. هذا إيش ماله؟

769
01:07:36,180 --> 01:07:44,020
صار let BY بسوا كده which هذا المهم is a partition

770
01:07:44,020 --> 01:07:50,640
of I كلها لأن الأولان جزء هذا العندلهان والتاني

771
01:07:50,640 --> 01:07:54,960
جزء هذا العندلهان إذا إتحادا هيجزء كل المنطقة

772
01:07:54,960 --> 01:08:06,000
المطلوبة. طيب شوف الآن احسبلي الآن U,B,Y,F-L,B,Y,F

773
01:08:06,000 --> 01:08:10,360
ويساوي الـ

774
01:08:10,360 --> 01:08:15,700
U,B,Y,F عبارة عن إيش يا جماعة؟ الـ U,B,Y,F خلينا 

775
01:08:15,700 --> 01:08:20,320
نقول U,B,Y,F اللي هو عبارة عن some U بتحت عشان

776
01:08:20,320 --> 01:08:27,020
تشوفوا إيش اللي بعمله. U,B,Y,F عبارة

777
01:08:27,020 --> 01:08:38,620
عن summation لأ الـ MK الـ N و Xk minus Xk minus

778
01:08:38,620 --> 01:08:43,580
واحد. K مثلا من واحد لعند مين؟ لعند N. هذه اللي

779
01:08:43,580 --> 01:08:52,700
بتجزئلي من عند A لعند مين؟ لعند B. و أكيد هتمر في C

780
01:08:52,700 --> 01:08:58,570
ليش؟ أكيد C هتكون نقطة من النقاط، ليش هتكون نقطة من

781
01:08:58,570 --> 01:09:03,230
النقاط؟ لأنه أنا أخدت بي إبسلون هي اتحاد هذه مع

782
01:09:03,230 --> 01:09:08,210
هذه. و آخر نقطة في هذه هي الـ C و أول نقطة في هذه

783
01:09:08,210 --> 01:09:11,210
هي الـ C. كيف هذه partition لهذه و هذه partition

784
01:09:11,210 --> 01:09:14,470
لهذه؟ مش لما نعمل partition لكل الفترة بيكون أول 

785
01:09:14,470 --> 01:09:18,390
نقطة و أخر نقطة من ضمن ال partition؟ أكيد. و إذن الـ

786
01:09:18,390 --> 01:09:22,230
partition للفترة الصغيرة هتكون اللي هي من عند A

787
01:09:22,230 --> 01:09:26,430
لعند C إذا الـ C هنا و الـ C هنا. إذا مضمون الـ C

788
01:09:26,430 --> 01:09:32,570
واحدة من هدول. ماشي الحال. إذا هذا الآن باجي الـ Mk 

789
01:09:32,570 --> 01:09:37,600
هي عبارة عن نفترض أنه من عند X Note لعند XN وهنا

790
01:09:37,600 --> 01:09:42,040
الـ XL اللي هي الـ C واحدة من عناصر اللي هي ال ..

791
01:09:42,040 --> 01:09:46,020
ال .. ال .. ال partition. إذن الآن بقدر أجزء هذا

792
01:09:46,020 --> 01:09:55,690
لجزئين. Mk في Xk minus Xk minus 1 من كام؟ من عند 1 لعند

793
01:09:55,690 --> 01:10:00,710
اللي هي النقطة الـ K اللي خلّيني أسميها M حيث الـ

794
01:10:00,710 --> 01:10:08,330
XM هي الـ C زائد الـ summation للـ MK الـ Xk minus

795
01:10:08,330 --> 01:10:13,110
Xk minus 1 كام؟ من

796
01:10:13,110 --> 01:10:19,210
عند واحد، آسف، كام؟ من عند مين؟ اللي بعدها اللي هي الـ M

797
01:10:19,210 --> 01:10:26,820
اللي عند الـ M عند الـ N. هذه اللي هي مين؟ XM بيساوي

798
01:10:26,820 --> 01:10:32,720
الـ C. إذا في الحالتين هنا عند هذا زائد هذا الـ

799
01:10:32,720 --> 01:10:36,520
summation هو الـ summation هذا على ال intervals

800
01:10:36,520 --> 01:10:41,000
بضلي أجزء أجزء لمن أصل عند هذه بكون اللي هو

801
01:10:41,000 --> 01:10:45,980
التجزئة الأولى وبعدين التجزئة الثانية بكمل من هنا

802
01:10:45,980 --> 01:10:51,810
و بضلي طالعة و بوجد الـ MK للنهانة و الـ MK للنهانة

803
01:10:51,810 --> 01:11:00,010
المجموع النهانة هو عبارة عن هيعمله اللي هو الـ UB

804
01:11:00,010 --> 01:11:04,910
إبسلون طبعا MK capital، آسف، هذه و هذا MK capital

805
01:11:04,910 --> 01:11:09,190
لأنه بحكي عن الـ other اللي مهم الفكرة الـ UB

806
01:11:09,190 --> 01:11:16,730
إبسلون واحد F اللي هي الـ partition الأول اللي بنيت

807
01:11:16,730 --> 01:11:21,140
عليه مين؟ اللي هو partition بي إبسلون سميته واحد و

808
01:11:21,140 --> 01:11:28,180
إبسلون زائد اللي هو mean المتبقي اللي هو U بي تنين

809
01:11:28,180 --> 01:11:33,400
و إبسلون و F. هذا كله mean الـ UB إبسلون و F

810
01:11:33,400 --> 01:11:37,140
similarly mean الآن 

811
01:11:40,410 --> 01:11:45,370
Similarly mean الـ L of B, Epsilon و F برضه هذا 

812
01:11:45,370 --> 01:11:49,970
بجزء المنطقة ككل وهو مبني على أساس تجزئة اللي هو

813
01:11:49,970 --> 01:11:54,450
B1 و Epsilon اتحاد B2 و Epsilon. إذا بالظبط هذا

814
01:11:54,450 --> 01:12:04,030
برضه بيساوي ناقص اللي هو الـ LB1 و Epsilon و F

815
01:12:04,030 --> 01:12:16,290
زائد L الجزء الثاني B2 Epsilon و F و يساوي الان

816
01:12:16,290 --> 01:12:26,530
هذا ناقص هذا U B1 Epsilon و F ناقص الـ LB1 Epsilon و

817
01:12:26,530 --> 01:12:34,990
F. أخدت هذا يا جماعة مع هذا خلصنا منه زائد اللي هو

818
01:12:34,990 --> 01:12:43,780
اللي متبقي اللي هو هذا ناقص هذا اللي هو U B2 و 

819
01:12:43,780 --> 01:12:51,520
Epsilon و F ناقص L B2 و Epsilon و F. هذا الآن

820
01:12:51,520 --> 01:12:59,880
هيه من فوق اللي حضرناله أصغر من Epsilon على اتنين و

821
01:12:59,880 --> 01:13:04,320
هذا حضرناله برضه أصغر من Epsilon على اتنين. إذا صار

822
01:13:04,320 --> 01:13:10,240
هذا الطرح بينهم أصغر من مين؟ من Epsilon. صرنا مثل تين 

823
01:13:10,240 --> 01:13:13,980
لكل Epsilon أكبر من صفر there exist B2, there exist

824
01:13:13,980 --> 01:13:18,180
بإبسلون such that U بإبسلون و F ناقصها L إبسلون و F

825
01:13:18,180 --> 01:13:23,180
أصغر من مين؟ من إبسلون. إذا صارت عندي F is 

826
01:13:23,180 --> 01:13:30,890
integrable on I اللي لجينا ال partition لها هذا

827
01:13:30,890 --> 01:13:34,470
الجزء الأول من النظرية. الآن بدنا نثبت اللي هو

828
01:13:34,470 --> 01:13:40,710
conversely. بدنا نفترض أنه F is integrable على كل

829
01:13:40,710 --> 01:13:46,810
الفترة ومن ثم نثبت أنه integrable على كل

830
01:13:46,810 --> 01:13:54,570
subinterval من التنتين اللي موجودة. إذا الآن الجزء

831
01:13:54,570 --> 01:13:57,550
الثاني بنقول suppose

832
01:14:00,050 --> 01:14:14,710
that F is integrable on I لها بتساوي A و B و بدنا

833
01:14:14,710 --> 01:14:20,470
نثبت أنها integrable عالميا على الفترة الأولى A و 

834
01:14:20,470 --> 01:14:26,560
C و الفترة الثانية C. طيب خلّينا نكمل اللي هو نقول

835
01:14:26,560 --> 01:14:27,600
conversely.

836
01:14:34,910 --> 01:14:37,530
مادام اللي هي F is integrable إذا بالـ Cauchy 

837
01:14:37,530 --> 01:14:41,810
criterion لكل ي أكبر من صفر there exists B اللي هو

838
01:14:41,810 --> 01:14:44,950
partition اللي هو مسميه B ممكن نسميه احنا بي

839
01:14:44,950 --> 01:14:48,170
إبسلون element in B of I. هذا طبعا ال partition 

840
01:14:48,170 --> 01:14:52,570
بيعتمد على مين؟ على إبسلون such that U, B و F ناقص
L, B و F أصغر من مين؟ من إبسلون.

841
01:14:52,570 --> 01:14:56,370
الـ U of F أصغر من مين من إبسلون هذا لأن F is

842
01:14:56,370 --> 01:15:00,630
integrable اللي هي by Cauchy .. by .. by 

843
01:15:00,630 --> 01:15:06,140
integrability criterion حصلنا على هذه الآن لمين

844
01:15:06,140 --> 01:15:11,400
رايح بدي أثبت الـ Integrability لعالفترة A وC و

845
01:15:11,400 --> 01:15:15,040
Integrability لفترة B وC فانا بدي في الـ partition

846
01:15:15,040 --> 01:15:22,140
اللي أصل له بدي أصل للـ U لل partition B مثلا معينة

847
01:15:22,140 --> 01:15:30,020
B' و F- L B' و F بدي أصل أصغر من مين أصل أصغر من

848
01:15:30,020 --> 01:15:34,080
إبسلون وهذه تكون الـ B' partition لمين للفترة

849
01:15:34,080 --> 01:15:38,000
الأولى فعشان تكون للفترة الأولى لازم تكون الـ C

850
01:15:38,000 --> 01:15:42,620
موجودة فيها فبناء عليه أنا مش عارف الـ B' الـ B اللي

851
01:15:42,620 --> 01:15:46,560
لجيت فيه الـ C ولا لأ إذا بتاخدوا بعين الاعتبار

852
01:15:46,560 --> 01:15:51,760
عشان أصل لمين للـ B' اللي تكون فيها الـ C عشان هيك

853
01:15:51,760 --> 01:15:58,130
أنا إيش جيت قلنا لما لجينا الـ B هذه وفقا للـ F is

854
01:15:58,130 --> 01:16:02,690
integrable وبتحقق هذه جيت خليني وقلت خليني ناخد

855
01:16:02,690 --> 01:16:07,730
B' إيش بتساوي يا شباب بتساوي B اتحاد الـ C يعني

856
01:16:07,730 --> 01:16:13,390
ضفت للـ partition اللي لجيت من الـ C وهو هذا الـ

857
01:16:13,390 --> 01:16:19,070
B' برضه هيحقق للي بدي اه اللي هو A شماله صار B'

858
01:16:19,510 --> 01:16:24,420
refinement للـ B ما دام الـ Refinement للـ B إذا

859
01:16:24,420 --> 01:16:29,960
UB' و F أكيد الـ Refinement هذا هيصغر عن الأصل

860
01:16:29,960 --> 01:16:36,960
اللي هو الـ UBF بينما الـ B' of F هيكبر عن مين؟ عن

861
01:16:36,960 --> 01:16:41,980
الأصل فلمّا أضربه في سالب هيصغر إذا حيصير عند U B'

862
01:16:42,300 --> 01:16:48,080
F ناقص الـ B' F أصغر يساوي U B و F ناقص الـ B و F

863
01:16:48,080 --> 01:16:52,900
وهذا أصلا أصغر من مين؟ من Epsilon إذا طلع عند ال

864
01:16:52,900 --> 01:16:58,390
B' اللي أنا احتجته اللي في الأصل هو الـ B الأصلية

865
01:16:58,390 --> 01:17:03,550
اللي لجيت اتحاد الـ C طلع برضه الـ U B' F ناقص

866
01:17:03,550 --> 01:17:08,590
الـ B' F أصغر من إبسلون اللي أنا بعد شوية هحتاجه

867
01:17:08,590 --> 01:17:13,850
في عملية إثبات أنه اللي هو الـ F is integrable على

868
01:17:13,850 --> 01:17:17,710
الجزء الأول اللي هو I1 و F is integrable على الجزء

869
01:17:17,710 --> 01:17:22,410
الثاني اللي هو I2 طب كيف بده يحصل هنا؟ شوف كيف بده

870
01:17:22,410 --> 01:17:28,890
يحصل الـ Partition الأولاني B1 براين مثلا B1 براين

871
01:17:28,890 --> 01:17:33,070
اللي بيخللي هذا أصغر من إبسلون وهذا partition

872
01:17:33,070 --> 01:17:38,670
للجزء الأول مما يؤدي لو وجدته هذا أن الـ F is

873
01:17:38,670 --> 01:17:42,150
integrable على الفترة الأولى و similarly حلاجة على

874
01:17:42,150 --> 01:17:47,180
الفترة الثانية وبكون خلصت النظرية هيك نشوف كيف الآن

875
01:17:47,180 --> 01:17:52,660
وجدنا الـ B' أو اللي هو B اتحاد الـ C يحقق هذه

876
01:17:52,660 --> 01:17:57,800
اللي هي المعادلة أو هذه المتباينة أصغر من مين من

877
01:17:57,800 --> 01:18:02,160
Epsilon شوف الآن كيف دي بارتشني للجزء الأول من A

878
01:18:02,160 --> 01:18:07,760
لعين C بكل بساطة قطع للـ B' هذا مع مين؟ مع A و C

879
01:18:07,760 --> 01:18:12,580
أكيد هذا في C أكيد وفي A إذا النقطة الأولى موجودة

880
01:18:12,580 --> 01:18:16,680
والنقطة C موجودة إذا هو فعلا partition لمين؟ هيكون

881
01:18:16,680 --> 01:18:21,200
B' partition للـ A والـ C وبنفس الطريقة and let B

882
01:18:21,200 --> 01:18:27,880
T2' بيساوي B' تقاطع الـC والـB إذا الـC موجودة هنا

883
01:18:27,880 --> 01:18:32,280
والـB موجودة هنا إذا صار هذا بحتوي الـ partition

884
01:18:32,280 --> 01:18:36,080
على الـC وعلى الـB إذا فعلا هو partition لمين

885
01:18:36,080 --> 01:18:42,640
للفترة الثانية is a partition of C وB so that إذا

886
01:18:42,640 --> 01:18:49,380
الآن بحضر إن لجيت اللي هو B1' وB2' واحد partition

887
01:18:49,380 --> 01:18:54,540
للـA والـC والتاني للـC والـB وبدّعي إن هما ال

888
01:18:54,540 --> 01:18:59,540
partitions اللي هوصلني على هذه و similarly زيها

889
01:18:59,540 --> 01:19:03,020
للتانية اللي بتعطيني ال integrability للـF على

890
01:19:03,020 --> 01:19:08,780
الأولى و integrability للـF على الثانية نشوف إيش

891
01:19:08,780 --> 01:19:14,720
اللي بيقوله يلا صلوا علينا يا شباب صلاة والسلام عندي

892
01:19:15,170 --> 01:19:20,550
أحسبني الآن بس خليني بس عشان تكون واضحة قدامك اللي

893
01:19:20,550 --> 01:19:26,010
هي واحد اللي بدي أستخدمها بعد شوية طيب شوفوا يا

894
01:19:26,010 --> 01:19:38,970
جماعة أحسبني الآن U بي برايم و F اللي هو بتساوي U

895
01:19:38,970 --> 01:19:44,740
بي برايم واحد و F زي U بي اتنين برايم و F اللي قبل

896
01:19:44,740 --> 01:19:48,660
بشوية عملناها هو الـ partition هذا بي برايم هو

897
01:19:48,660 --> 01:19:55,790
عبارة عن اتحاد هذا اتحاد هذا ماشي الحال ماشي الآن و

898
01:19:55,790 --> 01:19:59,610
نفس الشيء عملتها قبل هيك الـ b prime of f سواء الـ b

899
01:19:59,610 --> 01:20:03,470
prime واحد أو الـ b2 prime حيث بي اتنين برايم بي

900
01:20:03,470 --> 01:20:08,050
واحد برايم بيساوي اتحاد هنا شماله هو بي برايم إذا

901
01:20:08,050 --> 01:20:12,370
زي ما عملنا قبل بشوية هذه اللي هي ال equality

902
01:20:12,370 --> 01:20:17,190
الثانية الآن من واحد ومن اتنين بدي أصل للي بدي اه

903
01:20:17,190 --> 01:20:25,950
إيش اللي بدي اه احسب لي الآن UB1' F زي UB2' F ناقص ال

904
01:20:25,950 --> 01:20:34,350
B1' F زي ال B2' of F اللي هو من وين هذا جبت اللي

905
01:20:34,350 --> 01:20:41,050
هو عند هي من واحد هي هذه اتقوط عنها بالقيمة هذه من

906
01:20:41,050 --> 01:20:47,720
وين هذه من الآن من هنا شيلت اللي هو .. هاي من هذول

907
01:20:47,720 --> 01:20:50,780
يا جماعة من اللي حاطط عليهم أحمر أنا ثلاثة ..

908
01:20:50,780 --> 01:20:56,140
التنتين هذول عند شيلت هذول .. هذه وحطيت هذه

909
01:20:56,140 --> 01:21:04,180
مكانها طلعت هذه .. هيها .. رايحة؟ وشيلت هذه وحطيت هذه 

910
01:21:04,180 --> 01:21:05,500
مكانها

911
01:21:08,330 --> 01:21:13,550
صارت هذه مكانها إذا هذه ناقص هذه اللي هي هذه ناقص

912
01:21:13,550 --> 01:21:17,290
هذه اللي كانت أصغر من إبسلون هتصير أصغر من إبسلون

913
01:21:17,290 --> 01:21:24,150
إذا صار عندي هذا اللي هو الـ U أوضح لكي أنا U بواحد

914
01:21:24,150 --> 01:21:36,350
برايم و F زائد U بيتنين برايم و F ناقص الـ of بواحد

915
01:21:36,350 --> 01:21:46,170
برايم و F زائد الـ B2 prime و F هذا كله أصغر من

916
01:21:46,170 --> 01:21:50,810
إبسلون لأن هذا أصلا كله .. ليش هذا صح؟ لأن هذا

917
01:21:50,810 --> 01:22:00,330
أصلا هو عبارة عن U B prime و F وهذا الـ B prime و

918
01:22:00,330 --> 01:22:06,440
F اللي هو في الأصل هذا من عندي من هنا أصغر من إيش

919
01:22:06,440 --> 01:22:09,860
من إبسلون إذاً هذا صار أصغر من إبسلون خلّي هذا

920
01:22:09,860 --> 01:22:13,160
الكلام في الذاكرة أصغر من إبسلون لأنه هيفيدني بعد

921
01:22:13,160 --> 01:22:19,900
بشوية شوف الآن فوزع خلّيني بس أمسح اللي على اللوح

922
01:22:19,900 --> 01:22:29,960
ووزع الآن عندي هذا بيصير إيش هو هذا بيصير U ب U

923
01:22:31,310 --> 01:22:36,370
ب1 برايم و F ناقص

924
01:22:36,370 --> 01:22:47,190
الـ ب واحد برايم و F كل هذا مع بعضه زائد U ب اتنين

925
01:22:47,190 --> 01:22:55,930
برايم و F ناقص الـ ب اتنين برايم و F هذا كله أصغر

926
01:22:55,930 --> 01:23:01,160
من مين يا جماعة من إبسلون هذول الكميتين هذه زائد

927
01:23:01,160 --> 01:23:06,080
هذه أصغر من إبسلون وهذه موجبة وهذه موجبة إذا

928
01:23:06,080 --> 01:23:12,140
الكمية هذه أكيد لحالها أصغر من إبسلون والكمية هذه

929
01:23:12,140 --> 01:23:17,900
لحالها إيش أصغر من إبسلون هذه أصغر من إبسلون تعني

930
01:23:17,900 --> 01:23:22,520
أن لكل إبسلون لجينا partition بي واحد برايم بحيث

931
01:23:22,520 --> 01:23:26,620
أن هذا ناقص هذا أصغر من إبسلون يعني F is

932
01:23:26,620 --> 01:23:38,540
integrable on I واحد اللي هي من A لـ C لجينا

933
01:23:38,540 --> 01:23:45,180
partition B2' بحيث أنه هذا ناقص B2' لمين لـ I2 هيكون

934
01:23:45,180 --> 01:23:49,500
هذا ناقص هذا أصغر من إبسلون وهذا يعني أن F is

935
01:23:49,500 --> 01:24:00,780
integrable on I2 كده نكون هي كإحنا وصلنا للي

936
01:24:00,780 --> 01:24:08,840
بدي من ناحية إثبات أن F is integrable on I if and

937
01:24:08,840 --> 01:24:15,760
only if F is integrable on I واحد and on I اتنين

938
01:24:15,760 --> 01:24:23,380
دل على الجزء الأخير اللي أثبته أن عندي اللي هو الـ

939
01:24:23,380 --> 01:24:28,900
integration من A إلى B أصغر أو يساوي بالبساوي ال

940
01:24:28,900 --> 01:24:32,780
integration من A إلى C زائد ال integration من C

941
01:24:32,780 --> 01:24:39,840
لعند B ركزوا معايا عشان نختصر الوقت شبيه باللي

942
01:24:39,840 --> 01:24:42,780
شرحته قبل بشوية في النظرية اللي قبلها ال

943
01:24:42,780 --> 01:24:45,860
integration من A لـ B للـ F مدام إن F is Integra

944
01:24:45,860 --> 01:24:50,400
بالفرض إحنا إذا هذا بيساوي عبارة عن الـ U of F و

945
01:24:50,400 --> 01:24:53,600
الـ U of F أكيد اللي هي M في مملة كل هذول إذا أظهر

946
01:24:53,600 --> 01:24:58,320
يساوي U B prime و F B prime partition من A لعند مين

947
01:24:58,320 --> 01:25:03,280
لعند B وهذا قبل بشوية إيش قلنا عنه بيساوي UB1 of F

948
01:25:03,280 --> 01:25:10,760
زائد UB2 of F هذا أكيد أصغر يساوي الأل تبعه وهذا

949
01:25:10,760 --> 01:25:16,420
أكيد أصغر يساوي الأل اللي إله زائد 2 إبسلون من وين

950
01:25:16,420 --> 01:25:22,960
جبته هذا قلنا بما أن F is integrable إذا U ناقص

951
01:25:22,960 --> 01:25:29,840
هذا أصغر من إبسلون و U ناقص هذا أصغر من إبسلون إذا

952
01:25:29,840 --> 01:25:34,220
صار عندي U زائد هذا أصغر من هذا زائد هذا زائد مين

953
01:25:34,220 --> 01:25:38,620
2 إبسلون من وين جبت هذا يا جماعة من اللي هي

954
01:25:38,620 --> 01:25:45,660
الـ integrability criterion for مين for F on the

955
01:25:45,660 --> 01:25:50,520
interval I واحد حيكون الـ U بواحد برايم و F ناقص الـ

956
01:25:50,520 --> 01:25:54,400
بواحد برايم و F أصغر من إبسلون أو بمعنى آخر الـ U

957
01:25:54,400 --> 01:25:55,580
بواحد

958
01:25:57,750 --> 01:26:03,830
أصغر من L بي واحد إبراهيم و F زائد إبسلون هذا جبته

959
01:26:03,830 --> 01:26:09,610
من سببه أن الـ F is integrable on I واحد كلها

960
01:26:09,610 --> 01:26:15,580
Similarly since F is integrable on I واحد كلها I2

961
01:26:15,580 --> 01:26:19,360
كلها إذا بيلاقي بي اتنين برايم بحيث إن U بي اتنين

962
01:26:19,360 --> 01:26:23,940
برايم و F أصغر من L بي اتنين برايم و F زائد إبسلون

963
01:26:23,940 --> 01:26:30,900
مع بعض صار هذا زائد هذا زائد إيش 2 إبسلون بنفس

964
01:26:30,900 --> 01:26:34,380
الطريقة اللي حكيتها قبل بشوية F is Integrable وهذا

965
01:26:34,380 --> 01:26:36,960
أقله في F فالأقل في F هو ال supremum لها دول إذا

966
01:26:36,960 --> 01:26:40,500
هذا أكبر وشوية هذا وهذا أكبر وشوية هذا إذا صار

967
01:26:40,500 --> 01:26:45,060
عندي هذا المقدار أكبر أصغر وشوية هذا زائد هذا زائد

968
01:26:45,060 --> 01:26:49,270
إيه شماله 2 إبسلون وزي ما حكينا قبل بشوية since

969
01:26:49,270 --> 01:26:53,290
إبسلون was arbitrary وبنفس التوضيح الأولاني بطلع

970
01:26:53,290 --> 01:26:55,470
عند ال integration من LB لـ LF آخر شهر ال

971
01:26:55,470 --> 01:26:59,110
integration للأول زائد ال integration للتاني بدون

972
01:26:59,110 --> 01:27:03,250
الإبسلون وقلنا ليش هذا الكلام صحيح الآن الاتجاه

973
01:27:03,250 --> 01:27:06,230
الثاني similarly برضه هتلاقي اللي هو البرهان

974
01:27:06,230 --> 01:27:12,370
متشابه الآن بنفس المنطق وبنفس الطريقة و similarly

975
01:27:19,820 --> 01:27:22,620
طبعا عارفين إيه رايح أنا؟ أنا راح أثبت إن هذا

976
01:27:22,620 --> 01:27:25,540
المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار عند ال

977
01:27:25,540 --> 01:27:28,700
integration هذا زائد ال integration هذا F is

978
01:27:28,700 --> 01:27:33,240
integrable إذا هي بساوي الـ U الـ U of F الـ U of F

979
01:27:33,240 --> 01:27:36,860
هي ال infimum إذا أكيد أصغر أو يساوي الـ U واحدة

980
01:27:36,860 --> 01:27:40,580
منهم وهذه برضه الـ U of F على الفترة هذه برضه أصغر

981
01:27:40,580 --> 01:27:43,280
أو  ساويّة واحدة منها إذا أصغر أو ساويّة الـ U هذه

982
01:27:43,280 --> 01:27:47,820
زائد الـ U هذه في مقابله قبل قليل أثبتنا أنه .. قلنا

983
01:27:47,820 --> 01:27:51,440
أنه مدام تفز integrable إذا بالـ .. integrability

984
01:27:51,440 --> 01:27:55,980
criterion الفرق بين هذه وهذه أصغر من إبسلون إذا

985
01:27:55,980 --> 01:28:00,260
صار هذه أصغر من هذه زائد إبسلون وهذه نفس الشيء

986
01:28:00,260 --> 01:28:03,740
للأفز integrable على الفترة التانية نفس اللي قلته

987
01:28:03,740 --> 01:28:07,760
أصغر من هذه زائد إبسلون إذا صار المقدار هذا كله

988
01:28:07,760 --> 01:28:10,560
على بعضه أصغر من هذه زائد هذه زائد اثنين إبسلون

989
01:28:10,560 --> 01:28:17,430
لكن هذولا الثنتين اللي هنابساوين اللي هو LB'F في

990
01:28:17,430 --> 01:28:22,530
هنا إيش مالها مساواة بساوين هذا المقدار لأن الـ LB

991
01:28:22,530 --> 01:28:26,450
'F إيش مالها عبارة عن هذه اتحاد هذه عملناها قبل 

992
01:28:26,450 --> 01:28:31,150
شويّة و هذا المقدار عندي اللي هو أصغر أو ساوي هذا

993
01:28:31,150 --> 01:28:36,290
لأن هذا عبارة عن LF و LF على هذه الفترة اللي هو 

994
01:28:36,290 --> 01:28:39,210
عبارة عن الـ supreme أو أكبر أو ساوي هذه إذا صار

995
01:28:39,210 --> 01:28:43,120
فيه عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي الـ integration

996
01:28:43,120 --> 01:28:47,360
زائد اثنين إبسلون إذا حصلنا على هذا المقدار أكبر أو

997
01:28:47,360 --> 01:28:50,800
يساوي هذا for every إبسلون بنفس المنطق since

998
01:28:50,800 --> 01:28:54,160
إبسلون was arbitrary إذا الـ integration هذا زائد

999
01:28:54,160 --> 01:28:58,460
الـ integration هذا أصغر أو يساوي من هذه ومن اللي

1000
01:28:58,460 --> 01:29:03,660
جابلها هذه بيطلع عندي المساواة وهو المطلوب وهيك

1001
01:29:03,660 --> 01:29:09,860
بنكون احنا برهنا هذه النظرية أيضا بشكل كامل في

1002
01:29:09,860 --> 01:29:17,330
ملاحظة أخيرة على النظرية النظرية بتقول إنه عندي لو

1003
01:29:17,330 --> 01:29:21,990
كانت c1 أصغر من c2 أصغر من cn حيث و c1 و c2 و cn 

1004
01:29:21,990 --> 01:29:26,050
في الفترة a و b اللي هو هيكون اللي هو بنقدر اللي

1005
01:29:26,050 --> 01:29:32,470
هي نطبق النظرية هذه عدة مرات فعندي هي a و هي b و

1006
01:29:32,470 --> 01:29:38,320
هي c1 هذه C2 وهذه C3 لعند Cn مثلا بيصير أو خلّيني

1007
01:29:38,320 --> 01:29:41,720
أقول C1 من هنا وهنا Cn من هنا بيصير الـ integration

1008
01:29:41,720 --> 01:29:46,500
من A لـ B بيساوي الـ integration من A لـ C1 زيادة الـ

1009
01:29:46,500 --> 01:29:49,520
integration من C1 لـ C2 زيادة المقصر اللي عند أخر

1010
01:29:49,520 --> 01:29:55,980
واحدة الـ integration من Cn لعند B للـ function وهذه

1011
01:29:55,980 --> 01:30:04,230
اللي هو الملاحظة معهودة الآن في عندي اللي هي

1012
01:30:04,230 --> 01:30:08,930
النظرية اللي .. ال .. ال .. ال .. المشهورة اللي هي 

1013
01:30:08,930 --> 01:30:16,510
composition theorem إن لو كان عندي F is a function

1014
01:30:16,510 --> 01:30:24,630
من I لعند R وفي function من اللي هو domain الـ I من

1015
01:30:24,630 --> 01:30:28,690
range الـ I .. الـ F كاسف لعند الـ .. لعند الـ R

1016
01:30:32,310 --> 01:30:36,870
و كانت had integrable و كانت had integrable هل الـ

1017
01:30:36,870 --> 01:30:40,430
composition بينهم integrable طبعا هذا الكلام need

1018
01:30:40,430 --> 01:30:44,570
not to be true in general هنشوف مثال بعد شويّة لكن 

1019
01:30:44,570 --> 01:30:48,790
لو كانت الـ Phi continuous يعني قوّينا الشرط الآن 

1020
01:30:48,790 --> 01:30:54,290
شويّة هيصير عندي الـ Phi composite ف F is integrable

1021
01:30:54,290 --> 01:30:58,410
يعني بمعنى آخر لو كانت F is integrable الـ Phi is

1022
01:30:58,410 --> 01:31:01,510
continuous حيكون الـ Phi composition أفضل لما يكون

1023
01:31:01,510 --> 01:31:05,730
الـ composition معرف عبارة عن integrable function

1024
01:31:05,730 --> 01:31:13,350
و احنا إن شاء الله المرة القادمة بنكمل وإلى لقاء