1 00:00:00,000 --> 00:00:02,700 موسيقى 2 00:00:10,120 --> 00:00:15,060 بسم الله الرحمن الرحيم، فإنا من المرة الماضية من 3 00:00:15,060 --> 00:00:19,740 موضوع الـ power series، بنذكر بما قلناه لأنه بناء 4 00:00:19,740 --> 00:00:24,440 عليه بنبدأ نأخذ أمثلة، فقلنا الـ power series عبارة 5 00:00:24,440 --> 00:00:30,020 عن summation على a على c في x ناقص الـ a to the 6 00:00:30,020 --> 00:00:35,460 power n، السيريز هذه قد تكون converge وقد تكون 7 00:00:35,460 --> 00:00:41,620 diverge، تفاصيلات كتيرة، أي power series لها أحد 8 00:00:41,620 --> 00:00:46,760 ثلاثة احتمالات، الاحتمال الأول أن السيريز تكون 9 00:00:46,760 --> 00:00:51,160 converge عند نقطة واحدة و diverge على باقي الـ real 10 00:00:51,160 --> 00:00:56,120 line كله، إن حدث ذلك يبقى الـ radius of convergence 11 00:00:56,120 --> 00:01:00,910 نصف قطر تقارب r يساوي zero، ممكن تبقى الـ series 12 00:01:00,910 --> 00:01:05,990 converge absolutely على كل الـ real line بلا استثناء، 13 00:01:05,990 --> 00:01:10,150 يبقى في هذه الحالة بقول الـ interval of convergence 14 00:01:10,150 --> 00:01:14,930 هي من سالب infinity إلى infinity والـ radius of 15 00:01:14,930 --> 00:01:20,230 convergence R بده يساوي infinity، الاحتمال الثالث 16 00:01:20,230 --> 00:01:24,330 والأخير أن الـ series تبقى converge على فترة و 17 00:01:24,330 --> 00:01:29,820 diverge خارج هذه الفترة، لما تبقى converge على 18 00:01:29,820 --> 00:01:33,520 الفترة هذه و diverge خارجها بيظلوا طرفي الـ 19 00:01:33,520 --> 00:01:38,320 interval، طرفي الـ interval ممكن عند الطرفين تبقى الـ 20 00:01:38,320 --> 00:01:42,500 series converge عند الطرفين أو ممكن تبقى diverge 21 00:01:42,500 --> 00:01:45,660 عند الطرفين، أو ممكن تبقى الـ convergence عند أحد 22 00:01:45,660 --> 00:01:51,580 الأطراف و diverge عند الطرف الثاني، يبقى هذا 23 00:01:51,580 --> 00:01:56,580 الحديث، طول نصف القطر اللي يساوي طول نصف الفترة 24 00:01:56,740 --> 00:01:59,720 بتبع التقارب تبعت الـ series، تبعت التقارب تبعت الـ 25 00:01:59,720 --> 00:02:02,140 series، تبعت التقارب تبعت الـ series، تبعت التقارب 26 00:02:02,140 --> 00:02:02,600 تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت 27 00:02:02,600 --> 00:02:04,100 التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب 28 00:02:04,100 --> 00:02:08,040 تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت 29 00:02:08,040 --> 00:02:14,140 التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب 30 00:02:14,140 --> 00:02:16,180 تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت 31 00:02:16,180 --> 00:02:16,740 التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب 32 00:02:16,740 --> 00:02:20,520 تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت 33 00:02:20,520 --> 00:02:25,480 التقارب تبعت، نأخذ الـ absolute value للـ series 34 00:02:25,480 --> 00:02:31,820 لكي نستطيع أن نطبق أي اختبار من الاختبارات السابقة، 35 00:02:31,820 --> 00:02:35,580 يبقى السؤال بيجيك حتى في الامتحان النهائي بيقول لي 36 00:02:35,580 --> 00:02:40,180 هات الـ interval of convergence and the radius of 37 00:02:40,180 --> 00:02:44,680 convergence للـ power series، وبيعطيني أي power 38 00:02:44,680 --> 00:02:48,540 series مثل الـ power series اللي قدامنا، باجي بطلع 39 00:02:48,540 --> 00:02:54,140 أنا من الاختبار المناسب لهذه الـ power series، بطلع 40 00:02:54,140 --> 00:02:58,280 لطبيعتها، إذا سهل أخذ الجذر النوني باخد الجذر 41 00:02:58,280 --> 00:03:02,520 النوني، مش سهل أوتوماتيك بروح على طول على الـ ratio 42 00:03:02,520 --> 00:03:07,260 يبقى لما نطلع في المثال هذه سهل إنه نأخذ من الجذر 43 00:03:07,260 --> 00:03:13,330 النوني، إذا بروح بقوله الـ root تساوي الـ limit لما الـ 44 00:03:13,330 --> 00:03:17,750 N تنسبي في دي للـ absolute value، الـ absolute قد لك 45 00:03:17,750 --> 00:03:21,950 بسبب وجود الـ X اللي أنا مش عارف هل هي سالب أو 46 00:03:21,950 --> 00:03:29,870 موجبة، لمن؟ للجذر النوني للحد النوني N على 2 أس N 47 00:03:29,870 --> 00:03:34,150 في X ناقص ثلاثة to the power N وهي الـ absolute 48 00:03:34,150 --> 00:03:39,040 value، يبقى هذا الكلام بدي يساوي الـ limit لما الـ N 49 00:03:39,040 --> 00:03:46,320 tends to infinity لمين؟ للـ N على 2 في الـ X ناقص 3، 50 00:03:46,320 --> 00:03:52,100 هو إيه الـ absolute value طلع لي كويس في المثال، الـ 51 00:03:52,100 --> 00:03:58,140 X ناقص 3 تعتبر constant بالنسبة لمين؟ للـ M، إذا 52 00:03:58,140 --> 00:04:02,840 أنا دي فيش فيه N، ما علينا دعوة بطلعها برة المثال 53 00:04:02,840 --> 00:04:07,640 اللي عندنا، يبقى يادة absolute value للـ X ناقص 54 00:04:07,640 --> 00:04:14,880 تلاتة، limit 55 00:04:14,880 --> 00:04:20,960 للـ X ناقص تلاتة في مين؟ في limit لما الـ N tends to 56 00:04:20,960 --> 00:04:25,000 infinity للـ N على اتنين، 57 00:04:27,210 --> 00:04:33,690 هذا الـ Limit ممكن يتساوي 0 وممكن يتساوي مقدار 58 00:04:33,690 --> 00:04:34,170 نهائي، 59 00:04:43,240 --> 00:04:48,520 في الـ Limit يبقى بيعطينا Zero على طول الخط ما خل 60 00:04:48,520 --> 00:04:53,240 ذلك، يبقى هذا لا يمكن أن يساوي Zero وهذا مقدار 61 00:04:53,240 --> 00:04:57,820 نهاية على طول الخط، يبقى بده يساوي قداش مقدار نهاية، 62 00:04:57,820 --> 00:05:03,360 يبقى هذا بده يساوي مرة واحدة في التاريخ صفر لما الـ 63 00:05:03,360 --> 00:05:07,960 X بده يساوي قداش تلاتة وغيرها بده تكون Infinity، 64 00:05:08,470 --> 00:05:19,490 يبقى هذا الكلام بده يساوي Zero أو X ناقص تلاتة في 65 00:05:19,490 --> 00:05:25,130 Zero اللي هو بده يساوي Zero، أقل من الواحد only 66 00:05:25,130 --> 00:05:32,950 when اللي هو الـ X يساوي تلاتة، يبقى فقط لغير أبعد عن 67 00:05:32,950 --> 00:05:37,250 التلاتة يمين أو شمال بصير النتيجة infinity، 68 00:05:37,250 --> 00:05:41,590 وبالتالي الـ series مالها diverged لحظة الكلام اللي 69 00:05:41,590 --> 00:05:44,730 مكتوب عندك والنظر المرة اللي فات هو اللي أشرت إليه 70 00:05:44,730 --> 00:05:50,790 قبل قليل، أول نقطة بيقول الـ series converge only at 71 00:05:50,790 --> 00:05:56,630 x يساوي a و diverge على يمين الـ A وعلى شمال الـ A، 72 00:05:56,630 --> 00:06:01,550 يعني لو كان عندنا real number وقلنا هذه النقطة 73 00:06:01,550 --> 00:06:06,210 اللي هي تلاتة عند تلاتة النتيجة تساوي Zero، 74 00:06:06,210 --> 00:06:10,840 وبالتالي Series Converted عند النقطة هذه بتكون 75 00:06:10,840 --> 00:06:16,180 Converted لكن غيرها على يمينها Diverged وعلى 76 00:06:16,180 --> 00:06:22,080 شمالها مالها Diverged، طبعًا الـ Zero أقل من الواحد، 77 00:06:22,080 --> 00:06:25,680 مدام أقل من واحد يبقى الـ Series لأن هذه مالها 78 00:06:25,680 --> 00:06:36,270 Converted، فبروح بقوله The Series converge only at x 79 00:06:36,270 --> 00:06:45,410 يساوي تلاتة and diverge elsewhere في أي مكان آخر، 80 00:06:45,410 --> 00:06:49,850 وفي هذه الحالة the radius 81 00:06:51,850 --> 00:07:02,250 of convergence is R تساوي كده؟ تساوي Zero أيوة، 82 00:07:02,250 --> 00:07:06,630 تمام، 83 00:07:06,630 --> 00:07:11,490 استنى 84 00:07:11,490 --> 00:07:18,850 شوية، هذا الكلام بده يساوي هذا بده يساوي، 85 00:07:36,680 --> 00:07:41,480 وأنت لما توصل تلاتة لما الـ X توصل تلاتة بتكون N 86 00:07:41,480 --> 00:07:48,780 وصلت، لما لنهاية، مين اللي بوصل في الأول؟ تعرفش؟ يعني 87 00:07:48,780 --> 00:07:51,340 واحد، اتنين، تلاتة، التلاتة بتيجي بعد ما لنهاية 88 00:07:51,340 --> 00:07:53,960 ولا قبلها؟ طيب خلاصنا، 89 00:07:57,970 --> 00:08:02,530 يبقى في مثل هذه الحالة بقول إن الـ limit ساوي zero 90 00:08:02,530 --> 00:08:07,890 only فقط إذا كانت x يساوي تلتة، ما خلال ذلك كله بـ 91 00:08:07,890 --> 00:08:11,130 infinity عن الـ series by values على يمين التلاتة 92 00:08:11,130 --> 00:08:16,110 وعلى مين؟ على شمال التلاتة، يعني الأسئلة كلها سهلة 93 00:08:16,110 --> 00:08:21,890 وبسيطة بالشكل هذا، طبعًا لأ مثال اتنين هذا من أبسط 94 00:08:21,890 --> 00:08:27,810 أنواع الأمثلة، summation من M equal one to infinity 95 00:08:27,810 --> 00:08:35,710 للـ N factorial X to the power N على اتنين N 96 00:08:35,710 --> 00:08:41,330 factorial، واضح 97 00:08:41,330 --> 00:08:47,720 إن عنده إياها فكتوريا يبقى بدي آخذ اختبار الـ ratio، 98 00:08:47,720 --> 00:08:52,800 بدي أقوله هنا الـ root تساوي الـ limit لما الـ int 99 00:08:52,800 --> 00:08:58,660 tends to infinity للـ absolute value للحد النوني 100 00:08:58,660 --> 00:09:04,320 زائد واحد على الحد النوني، يبقى هذا الكلام بده يساوي 101 00:09:04,320 --> 00:09:08,520 الـ limit لما الـ N tends to infinity، هو هذا الـ 102 00:09:08,520 --> 00:09:13,360 absolute value، الحد النوني زائد واحد اللي هو الـ N 103 00:09:13,360 --> 00:09:22,540 زائد واحد factorial X أس N زائد واحد على اتنين في 104 00:09:22,540 --> 00:09:30,490 N زائد واحد كله factorial تقسيم فاكتوريال X to 105 00:09:30,490 --> 00:09:35,330 the power of N على اتنين N فاكتوريال وهي الـ 106 00:09:35,330 --> 00:09:42,330 absolute value، نبدأ نحلل ونختصر، يبقى root تساوي 107 00:09:42,330 --> 00:09:49,050 limit لما الـ N tends to infinity وهي الـ absolute 108 00:09:49,050 --> 00:09:57,980 value N زائد واحد في N factorial في الـ X في X to 109 00:09:57,980 --> 00:10:03,220 the power N، المقام هذا اتنين في N زائد واحد يعني 110 00:10:03,220 --> 00:10:11,850 اتنين N زائد اتنين، يبقى اتنين زائد اتنين، اتنين in 111 00:10:11,850 --> 00:10:18,930 زائد واحد، اتنين in factorial، القسم هأحوله إلى ضرب 112 00:10:18,930 --> 00:10:24,050 ونشقلب المقام اللي عندنا، هيصير bust و الـ bust 113 00:10:24,050 --> 00:10:30,980 هيصير مقام بالشكل إن هذا هو الـ absolute value، نختصر 114 00:10:30,980 --> 00:10:36,660 الاختصارات N factorial مع N factorial، X to the 115 00:10:36,660 --> 00:10:42,900 power N مع X to the power N، 2 N factorial مع 2 N 116 00:10:42,900 --> 00:10:51,610 factorial، هذا الجزء هو عبارة عن 2 في N زائد 1، ن 117 00:10:51,610 --> 00:10:57,030 زائد واحد مع N زائد واحد، الله يسهل عليها، يبقى هيك 118 00:10:57,030 --> 00:11:01,270 بيصير عندي absolute value لـ X على اتنين، هذا ما لوش 119 00:11:01,270 --> 00:11:06,430 دعوة بالـ M وهذا الـ limit لما الـ N tends to 120 00:11:06,430 --> 00:11:10,310 infinity، نجي الـ bust، الـ bust كله مش ضايق فيه إلا 121 00:11:10,310 --> 00:11:20,700 واحد صحيح، المقام ضايق لنا من اتنين N زائد واحد، طيب 122 00:11:20,700 --> 00:11:27,480 قداش الـ limit لهذا المقدار؟ Zero، تمام، فالـ absolute 123 00:11:27,480 --> 00:11:33,180 value لـ X على 2، يبقى هذا absolute value لـ X على 2 124 00:11:33,180 --> 00:11:39,100 في Zero اللي هو بده يساوي Zero، أقل من الواحد for 125 00:11:39,100 --> 00:11:47,680 all X، ماذا يعني for all x؟ يعني هل يمكن لـ x إنه لو 126 00:11:47,680 --> 00:11:52,700 أخذت قيمة محددة من سالب infinity إلى infinity تغير 127 00:11:52,700 --> 00:11:58,000 هذه النتيجة؟ لأ، إذن النتيجة تساوي zero for all x 128 00:11:58,450 --> 00:12:03,090 يعني النتيجة تساوي Zero على كل real line من سالب 129 00:12:03,090 --> 00:12:07,990 infinity إلى infinity طبعا ال Zero ما لها أقل من 130 00:12:07,990 --> 00:12:12,410 الواحد و أنا استخدمت ال ratio test يبقى معنا هذا 131 00:12:12,410 --> 00:12:16,430 الكلام من ال series ما لها converge يبقى باقي 132 00:12:16,430 --> 00:12:26,950 بقوله by the ratio test the series converge 133 00:12:28,050 --> 00:12:35,030 for all x ترجمة 134 00:12:35,030 --> 00:12:46,460 بتقول لي the interval of convergence is من سالب 135 00:12:46,460 --> 00:12:50,920 infinity إلى infinity بدنا ال radius of 136 00:12:50,920 --> 00:12:58,640 convergence فبروح بقوله the radius of convergence 137 00:12:58,640 --> 00:13:09,450 is R تساوي كدهش infinity سؤال الاتنين هدول من عندما 138 00:13:09,450 --> 00:13:15,590 حسبنا ال limit تجب المثال خلصت دائماً المثال هيك؟ 139 00:13:15,590 --> 00:13:20,870 لا مش دائماً هيك تعال ناخذ المثال رقم تلاتة ونشوف 140 00:13:20,870 --> 00:13:26,090 هل هي دائماً بهذا الشكل؟ والله ما هياش بهذا الشكل 141 00:13:26,090 --> 00:13:32,930 سؤال التالت بيقول summation من n equal zero to 142 00:13:32,930 --> 00:13:41,810 infinity لل NX to the power M على 4 to the power M 143 00:13:41,810 --> 00:13:46,670 في M تربيع زائد واحد بهذا الشكل 144 00:13:51,670 --> 00:13:56,430 سهل ناخد الجذر النوني؟ سهل، سهل، بس الـ GOS يبقى 145 00:13:56,430 --> 00:14:01,930 أفضل اختباره اختبار مين؟ اختبار الـ Ratio Test 146 00:14:01,930 --> 00:14:10,390 فبروح بقوله solution Ratio Test يساوي، limit لما ال N 147 00:14:10,390 --> 00:14:15,820 tends to infinity وهي absolute value بنشيل كل N 148 00:14:15,820 --> 00:14:26,060 ونحط مكانها N زائد واحد على أربع أس N زائد واحد N 149 00:14:26,060 --> 00:14:35,220 زائد واحد لكل تربيع زائد واحد تقسيم N X أس N على 150 00:14:35,220 --> 00:14:41,440 أربع أس N N تربيع زائد واحد وهي ال absolute value 151 00:14:43,400 --> 00:14:47,880 هذه الترتيبة يبقى limit لما ال in tends to 152 00:14:47,880 --> 00:14:55,100 infinity in زائد واحد هو يد x في x to the power in 153 00:14:55,100 --> 00:15:01,490 هو يد أربع في 4 to the power in هذه الشباب اللي 154 00:15:01,490 --> 00:15:06,130 ان تربيع زيدي اتنين ان زيدي واحد وزيدي واحد يبقى 155 00:15:06,130 --> 00:15:14,070 زيدي اتنين يبقى ان تربيع زيدي اتنين ان زيدي اتنين 156 00:15:14,070 --> 00:15:20,390 هذه أربعة to the power of n في ال ان تربيع plus one 157 00:15:20,390 --> 00:15:25,310 على ان في x to the power of n وهي ال absolute 158 00:15:25,310 --> 00:15:31,290 value نبدأ عملية الاختصارات ونشوف هذه بدأ تصف معنا 159 00:15:31,290 --> 00:15:36,850 لحد وين يبقى هذا الكلام بده يساوي ال limit لما ال 160 00:15:36,850 --> 00:15:41,410 N tends to infinity خلي بالك هنا أربعة to the 161 00:15:41,410 --> 00:15:46,470 power N مع أربعة to the power N X to the power N 162 00:15:46,470 --> 00:15:55,780 مع X to the power N في كمان ولا حاجة خلصنا يبقى هذا 163 00:15:55,780 --> 00:16:00,520 الكلام بدو يساوي ال limit لل absolute value لمن؟ 164 00:16:00,520 --> 00:16:11,270 لل N زائد واحد N زائد واحد على M8 في N تربيع زائد 165 00:16:11,270 --> 00:16:19,690 واحد على N تربيع زائد اثنين N زائد اثنين وضعي اللي 166 00:16:19,690 --> 00:16:26,410 عندنا هنا قداش ربع يبقى يساوي الربع في ال limit 167 00:16:26,410 --> 00:16:30,270 اللي عندنا تمام؟ وهذه ال absolute 168 00:16:34,920 --> 00:16:38,940 يبقى absolute value للـ X على 4 169 00:16:48,210 --> 00:16:54,670 أبسلوت فالي لل X على أربعة في limit لما ال N turns 170 00:16:54,670 --> 00:16:59,970 to infinity و هذا كله ما لوش دعوة في ال absolute 171 00:16:59,970 --> 00:17:06,720 value لأن كله موجب. يبقى النتيجة هذا الـ limit له 172 00:17:06,720 --> 00:17:11,980 بقداش؟ واحد. وهذا بقداش؟ واحد. واحد زيه؟ لأن درجة 173 00:17:11,980 --> 00:17:15,940 البسط درجة المقام والمعامل هنا واحد والمعامل هنا 174 00:17:15,940 --> 00:17:21,520 واحد. يبقى هذه ال limit كلها مرة واحدة بتقنى قداش؟ 175 00:17:21,520 --> 00:17:27,630 واحد. يبقى النتيجة absolute value لل X على أربع. لو 176 00:17:27,630 --> 00:17:31,530 طلعل إلى النتيجة هنا اختلفت عن النتيجة في كل من 177 00:17:31,530 --> 00:17:40,170 السؤالين السابقين يبقى هذه تمثل رو لو كانت هذه أقل 178 00:17:40,170 --> 00:17:46,120 من الواحد ال series و إذا كانت أكبر من واحد، وإذا 179 00:17:46,120 --> 00:17:49,800 كانت تساوي من واحد، فهو يفشل الاختبار، أنه ال ratio 180 00:17:49,800 --> 00:17:53,860 test. مظبوط؟ فبروح بقوله ماتي من حد ما توصل 181 00:17:53,860 --> 00:17:59,260 للنتيجة التي بتقول ماتي. The series converge. 182 00:18:01,400 --> 00:18:08,660 absolutely إذا كان absolute value لل X على 4 أقل 183 00:18:08,660 --> 00:18:16,340 من 1 and diverge إذا كان ال absolute value لل X 184 00:18:16,340 --> 00:18:20,240 على 4 أكبر من 1 185 00:18:40,730 --> 00:18:45,210 مرة ثانية استخدمنا ال ratio test ووصلنا إلى 186 00:18:45,210 --> 00:18:49,450 absolute value ل X على 4 هي قيمة ال limit فبعدين 187 00:18:49,450 --> 00:18:52,630 بقول إن ال series converge absolutely إذا كان 188 00:18:52,630 --> 00:18:56,690 absolute value ل X على 4 أقل من 1 و diverge إذا 189 00:18:56,690 --> 00:19:02,400 أكبر من 1 لو حلنا ال inequality هذه يكون حلنا 190 00:19:02,400 --> 00:19:05,900 لنقلة الثانية واحنا مش دارين عن أنفسنا. إذا جيبنا 191 00:19:05,900 --> 00:19:09,340 فترة التقارب، يبقى اللي بضل هو فترة مين؟ فترة 192 00:19:09,340 --> 00:19:14,000 التابعة، تابعة المتسلسلة. يبقى باجي بقوله The 193 00:19:14,000 --> 00:19:22,660 Series Converge إذا كان ال absolute value ل X أقل 194 00:19:22,660 --> 00:19:29,340 من 4 يعني إيش عمل ضربت الطرفين في أربع يعني هذا 195 00:19:29,340 --> 00:19:35,780 معناه إن ال X أقل من أربع و أكبر من مين؟ من سالب 196 00:19:35,780 --> 00:19:41,320 أربع بناخد القيمتين الاثنين اللي عندنا هدول فبجي 197 00:19:41,320 --> 00:19:46,440 بقوله لو كانت ال X على سبيل المثال تساوي سالب 198 00:19:46,440 --> 00:19:54,300 أربعة the series becomes يعني إيش بدك تسوي بالظبط؟ 199 00:19:54,300 --> 00:19:59,260 أه بدي أقول إن ده طرفي ال interval تبعد التقارب له 200 00:19:59,260 --> 00:20:03,040 سالب أربعة و أربعة هل ال series converge؟ والله 201 00:20:03,040 --> 00:20:07,330 diverge إذا diverge بكتب له open interval و إذا كنت 202 00:20:07,330 --> 00:20:10,290 فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره 203 00:20:10,290 --> 00:20:10,450 بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره 204 00:20:10,450 --> 00:20:12,010 بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear 205 00:20:12,010 --> 00:20:13,790 وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت 206 00:20:13,790 --> 00:20:14,010 فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره 207 00:20:14,010 --> 00:20:14,530 بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close 208 00:20:14,530 --> 00:20:16,410 and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear 209 00:20:16,410 --> 00:20:21,550 وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت 210 00:20:21,550 --> 00:20:26,210 فارغ فأخبره 211 00:20:26,210 --> 00:20:34,130 بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ 212 00:20:35,250 --> 00:20:41,990 لمن؟ لل N سالب أربعة to the power N على أربعة to 213 00:20:41,990 --> 00:20:47,130 the power N N تربيع زائد واحد اللي هي ال summation 214 00:20:47,130 --> 00:20:51,310 من N equal zero to infinity هذا يا شباب اللي هو 215 00:20:51,310 --> 00:20:56,550 سالب واحد في أربعة يعني كأنه سالب واحد to the 216 00:20:56,550 --> 00:21:03,230 power N في ال N في الأربعة to the power N على 217 00:21:03,230 --> 00:21:09,070 أربعة to the power N في ال N تربيع زائد واحد أربعة 218 00:21:09,070 --> 00:21:14,230 to the power N مع أربعة to the power N يبقى صارت 219 00:21:14,230 --> 00:21:19,410 summation من N equal zero to infinity لسالب واحد 220 00:21:19,410 --> 00:21:28,550 to the power N لل N على N تربيع زائد واحد. إذن لما 221 00:21:28,550 --> 00:21:34,270 كانت ال X ساوية سالب أربعة تحولت المسألة من power 222 00:21:34,270 --> 00:21:39,600 series إلى السيريز المتعاملين يبقى بدنا نروح كأن 223 00:21:39,600 --> 00:21:44,440 هذه مسألة جديدة تمام؟ نروح نبحث السيريز هذه هل هي 224 00:21:44,440 --> 00:21:49,700 converged أو diverged فقوله والله كويس تعال نشوف 225 00:21:49,700 --> 00:21:53,920 يبقى بدي أخذ السيريز of absolute value زي ما كنا 226 00:21:53,920 --> 00:22:00,940 بنعمل في ال section السابق فبروح بقوله إيش هنا؟ of 227 00:22:00,940 --> 00:22:08,280 absolute values as summation من N equal zero to 228 00:22:08,280 --> 00:22:14,960 infinity لل N على N تربيع زائد واحد شفوياً لو بدو 229 00:22:14,960 --> 00:22:19,840 يستخدم الحد النوني قداش ال limit؟ صفر يبقى بفشل 230 00:22:19,840 --> 00:22:24,940 الاختبار الحد النوني تكامل بتيجي ان البسط فضل مقام 231 00:22:24,940 --> 00:22:30,140 بس بده قداش اتنين بس بتروح تدور على مين على الشروط 232 00:22:30,140 --> 00:22:33,420 تلاقي وفه دي قصة بتطول إذا بتروح تدور على الشروط 233 00:22:33,420 --> 00:22:37,480 تلاقي وبعدين هو هيكامل لأ شوف لك اختبار ثاني بقوله 234 00:22:37,480 --> 00:22:41,280 اه لو بدو اجي لل comparison بقولش اللي واحد بيضل 235 00:22:41,280 --> 00:22:46,510 ال N على N تربيع يعني قداش عن طريق بيوجي هارمونيك 236 00:22:46,510 --> 00:22:51,850 يبقى بدنا نمشي من أكبر والله أقل أكبر من فاجي 237 00:22:51,850 --> 00:22:58,570 بقوله الحد إنه نقول N على N تربيع زائد واحد أكبر 238 00:22:58,570 --> 00:23:07,640 من N على N تربيع صحيحة غلط هذا أجل طيب إذا بدي أكتب 239 00:23:07,640 --> 00:23:13,720 الواحد بدلالة N تربيع مشان نجمعه نختصر يبقى زائد N 240 00:23:13,720 --> 00:23:20,400 تربيع التساوي هذا ممكن ينفع بالشكل اللي عندنا هذا 241 00:23:20,400 --> 00:23:27,560 طبعاً عندي ال zero غير معرفة يبقى سيب الحد رقم zero 242 00:23:27,560 --> 00:23:33,940 عند الواحد بيحدث التساوي يبقى من هنا كتبنا يبقى 243 00:23:33,940 --> 00:23:39,720 هذا أكبر من هذا لو بده يساوي ال N على 2 N تربيع 244 00:23:39,720 --> 00:23:45,720 يعني 1 على 2 N لكل ال N اللي أكبر من أو تساوي من 245 00:23:46,090 --> 00:23:51,090 واحد يعني أهملنا أول حد من ال series وهذا لا يؤثر 246 00:23:51,090 --> 00:23:55,670 لا على ال convergence ولا على ال divergence بقوله 247 00:23:55,670 --> 00:24:04,590 but ولكن مص summation لواحد على n اللي هو diverge 248 00:24:04,590 --> 00:24:07,850 harmonic series 249 00:24:09,700 --> 00:24:19,860 by the comparison test, the series of absolute 250 00:24:19,860 --> 00:24:28,140 values ل summation لإن على إن تربيع زائد واحد ما لها، 251 00:24:28,140 --> 00:24:35,730 بيكفيش؟ بيكفيش، بدك تروح على الشروط الثلاثة يبقى 252 00:24:35,730 --> 00:24:42,550 باجي بقوله الشرط الأولاني الـ AN اللي هو بتساوى N على N 253 00:24:42,550 --> 00:24:50,630 تربيع زائد واحد أكبر من ال zero لكل ال N اللي أكبر 254 00:24:50,630 --> 00:24:57,890 من أو تساوى واحد هذا إيش معناه؟ معناه إن كل ال AN's 255 00:24:57,890 --> 00:24:59,130 are positive 256 00:25:02,010 --> 00:25:04,830 مظبوط؟ ال condition الأول اتحقق، بدا يجي لل 257 00:25:04,830 --> 00:25:10,110 condition الثاني الـ condition كان البسط متغير 258 00:25:10,110 --> 00:25:16,210 والمقام متغير يبقى مافي إمكانية إلا الاشتقاق يبقى 259 00:25:16,210 --> 00:25:22,050 باجي بقوله ال F of X بدي يساوي ال X على X تربيع 260 00:25:22,050 --> 00:25:27,430 زائد واحد هذا بدي يطيلك ان F prime of X يساوي 261 00:25:27,430 --> 00:25:35,210 المقام في مشتقة البسط اللي بواحد ناقص البسط اللي هو 262 00:25:35,210 --> 00:25:42,070 ال X في مشتقة المقام اللي هو ب 2X كله على مربع 263 00:25:42,070 --> 00:25:47,190 المقام الأصلي تربيع بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا 264 00:25:47,190 --> 00:25:53,490 يبدو السبب هذي ناقص 2X تربيع وعندي X تربيع يبقى 265 00:25:53,490 --> 00:26:00,870 بتضل X تربيع واحدة على X تربيع زائد واحد الكل تربيع 266 00:26:00,870 --> 00:26:06,020 على الأقل كده اللي هو لما أطلع للنتيجة المقام دائما 267 00:26:06,020 --> 00:26:10,720 وأبدا موجب ماعناه مشكلة فيه يبقى اللي بده يحدد 268 00:26:10,720 --> 00:26:15,100 الإشارة لهذا المقدار هو أمام الـBus عند الواحد 269 00:26:15,100 --> 00:26:20,080 بيصير الناتج بـ0 لكن عند اتنين، تلاتة، أربعة، 270 00:26:20,080 --> 00:26:26,080 خمسة، أي فما فوق يقوله بيصير سالب يبقى هذا أقل من 271 00:26:26,080 --> 00:26:32,300 الـ0 لكل الـX اللي أكبر من أو تساوى من اتنين 272 00:26:32,300 --> 00:26:38,100 وبالتالي كأنه إحنا أهملنا مين حدين وليس حد واحدة، 273 00:26:38,100 --> 00:26:43,560 بأثرش هندي، مدام طلع أقل من ال zero يبقى ال series 274 00:26:43,560 --> 00:26:50,300 اللي عندها دماغها decreasing يبقى سواء ال F is 275 00:26:50,300 --> 00:27:00,440 decreasing for all x أكبر من أو تساوى من اتنين تمام 276 00:27:00,440 --> 00:27:07,280 تمام يبقى بالداخلة الشرق التالف بتروح آخد limit 277 00:27:07,280 --> 00:27:09,840 لما ال X tends to infinity 278 00:27:13,500 --> 00:27:20,160 يبقى لل N على N تربيع زائد واحد طبعا في صمم أمن 279 00:27:20,160 --> 00:27:23,800 للمثلة تتطلع في ال polynomial في ال Bus و ال 280 00:27:23,800 --> 00:27:27,460 polynomial اللي في المقام إذا درجة ال Bus أقل من 281 00:27:27,460 --> 00:27:31,580 درجة المقام فإن الناتج يساوي زيرو لكن احنا مش حالة 282 00:27:31,580 --> 00:27:36,320 ملهات بنقول infinity على infinity يا إما بتجسم 283 00:27:36,320 --> 00:27:40,360 البسط والمقام على أن المرفوع اللي أكبر قصف المقام 284 00:27:40,360 --> 00:27:44,920 يا بتشتق البسط على مشتقة المقام إذا لو اشتقنا 285 00:27:44,920 --> 00:27:49,860 البسط واحد على اتنين N واحد على ما لا نهاية بزيرو 286 00:27:49,860 --> 00:27:58,740 يبقى تحقق الشروط الثلاثة so the series converge 287 00:28:03,520 --> 00:28:09,280 Conditionally at x يساوي أربعة 288 00:28:16,620 --> 00:28:21,140 إذا الـ X تساوي أربعة، إيش بدي يكون شكل الـ 289 00:28:21,140 --> 00:28:28,020 Series؟ The Series becomes تصبح على الشكل التالي 290 00:28:28,020 --> 00:28:32,820 summation من N equal zero to infinity بالدرجة على 291 00:28:32,820 --> 00:28:38,640 رأس المثال اللي موجود عندنا يبقى بيصير N أربعة to 292 00:28:38,640 --> 00:28:45,040 the power N على أربعة to the power N تربيع زائد 293 00:28:45,040 --> 00:28:50,800 واحد نختصر يبقى صارت summation من N equal zero to 294 00:28:50,800 --> 00:28:57,160 infinity لل N على N تربيع زائد واحد أظن هي هذه 295 00:28:57,160 --> 00:29:03,140 التي كنا بنشتغل عليها هنا تمام؟ ليش كانت؟ بروحش 296 00:29:03,140 --> 00:29:09,300 أعيد الكلام تاني بقول له هذا diverged from above 297 00:29:09,300 --> 00:29:16,780 أثبتنا أعلاه يبقى خلاص ماروحش بكرره يبقى أصبح بناء 298 00:29:16,780 --> 00:29:20,520 عليه the interval 299 00:29:21,380 --> 00:29:30,760 of convergence is سالب أربعة وأربعة من عند الأربعة 300 00:29:30,760 --> 00:29:37,680 بيبقى open من عند سالب أربعة بيبقى closed 301 00:29:44,600 --> 00:29:53,060 of convergence is R تساوي نصف الفترة هذه من سالب 302 00:29:53,060 --> 00:29:58,460 أربعة على أربعة كده إيش؟ ثمانية نصها أربعة على طول 303 00:29:58,460 --> 00:30:04,100 الخط يبقى هذا النتيجة الآن حد يلو يتساول هنا عاد 304 00:30:04,100 --> 00:30:09,380 يبقى هذا هلما نقول لك very important هذا الموضوع 305 00:30:09,380 --> 00:30:14,940 لأنه عبارة عن ثلاثة أسئلة وليس سؤال واحد، بتستخدم 306 00:30:14,940 --> 00:30:18,660 فيه ال ratio test أو ال entrope وبعد هيك ممكن 307 00:30:18,660 --> 00:30:26,200 أستخدم اختبار أو اثنين لحال بقية المثلة، 308 00:30:26,200 --> 00:30:29,460 قالي كويس، احنا طلعنا 309 00:30:31,990 --> 00:30:37,030 طلعنا الـRow تساوي القيمة اللي عندنا هذه بدي أقول 310 00:30:37,030 --> 00:30:40,630 هذه قيمة روب تبقى ال series converge إذا كان هذا 311 00:30:40,630 --> 00:30:46,230 الكلام أقل من الواحد الصحيح و by vary لو كان أكبر 312 00:30:46,230 --> 00:30:51,950 من وين؟ من الواحد الصحيح تمام؟ جينا مسكنا المعادلة 313 00:30:51,950 --> 00:30:56,150 هذه وجينا نحلها ضربنا كله في أربعة ووصلنا لمين؟ 314 00:30:56,150 --> 00:31:01,250 للمعادلة اللي عندنا بروح أفحص لو كانت ال X تساوي 315 00:31:01,250 --> 00:31:06,950 سالب أربعة يبقى كأنه احنا بدأنا سيريز جديدة زي 316 00:31:06,950 --> 00:31:11,890 اللي جابه هذا ال section Alternating, Ratio 317 00:31:11,890 --> 00:31:16,150 Tester, Intrude, Comparison, Limit Comparison, 318 00:31:16,550 --> 00:31:21,450 Integral, Interval أي واحد فيهم يبقى صورة السيريز 319 00:31:21,450 --> 00:31:25,190 على الشكل اللي عندنا هذا لما شيلنا ال X هذه و 320 00:31:25,190 --> 00:31:31,530 حطينا مكانها سالب أربعة أيها اختصرنا فوصلنا إلى 321 00:31:31,530 --> 00:31:35,250 الشكل اللي عندنا هذا روحنا صارت هذه alternating 322 00:31:35,250 --> 00:31:38,670 series فروحت أخدت ال series of absolute values 323 00:31:38,670 --> 00:31:42,530 بالشكل هذا ابحث عن ال series هذه وجدتها by virg 324 00:31:42,820 --> 00:31:48,140 يبقى بدي أروح على مين؟ على الشروط الثلاثة، لإن ال 325 00:31:48,140 --> 00:31:51,340 series of absolute values diverged من ال section 326 00:31:51,340 --> 00:31:55,340 الماضي، قولنا بتروح على ثلاثة شروط، روحنا على 327 00:31:55,340 --> 00:31:59,860 ثلاثة شروط ونجيناهم محققات، مدام تحققت الشروط 328 00:31:59,860 --> 00:32:02,280 الثلاثة، إذن عند ال X يساوي 329 00:32:08,020 --> 00:32:11,320 خلصنا إذا عند النقطة x يساوي سالب أربعة بدنا نروح 330 00:32:11,320 --> 00:32:17,520 لمين؟ للنقطة الثانية لل x يساوي أربعة شيلت ال x و 331 00:32:17,520 --> 00:32:22,250 حطيت مكانها أربعة سرعت على الشكل هذا، اختصرنا طلعت 332 00:32:22,250 --> 00:32:25,890 بالشكل هذا، من الجزء الأول في الحل هذا الـserious 333 00:32:25,890 --> 00:32:30,390 -divergent بخلصناه يبقى فترة التقارب الفترة هذه و 334 00:32:30,390 --> 00:32:33,750 radius of convergence نصف الفترة اللي هو الجزء 335 00:32:33,750 --> 00:32:39,250 اللي عندنا هذا حد الويتس أو الآخر؟ كمان سؤال على 336 00:32:39,250 --> 00:32:40,170 هذا الموضوع 337 00:33:12,350 --> 00:33:20,640 سؤال الرابع بقول الـ summation لـ -1 to the power n 338 00:33:20,640 --> 00:33:34,120 2x-3 to the power n على 2n-1 بعد بطلع في المثلة 339 00:33:34,120 --> 00:33:43,120 برضه ال ratio و لا ال input الـ Ratio برضه لأن 340 00:33:43,120 --> 00:33:46,580 المشكلة في المقام وليس في الـ Bus يبقى بجي بقوله 341 00:33:46,580 --> 00:33:51,960 هنا ال summation من عند ال N تساوي واحد لغاية 342 00:33:51,960 --> 00:33:57,400 Infinity من عند ال N تساوي واحد لغاية Infinity 343 00:33:57,400 --> 00:34:03,950 يبقى بجي بقوله رو تساوي ال limit لما انت تستخدم الـ 344 00:34:03,950 --> 00:34:04,990 absolute value لإنفانيتي للإنفانيتي للإنفانيتي 345 00:34:04,990 --> 00:34:05,590 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 346 00:34:05,590 --> 00:34:07,590 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 347 00:34:07,590 --> 00:34:12,110 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 348 00:34:12,110 --> 00:34:16,090 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 349 00:34:16,090 --> 00:34:16,690 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 350 00:34:16,690 --> 00:34:17,970 للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي 351 00:34:17,970 --> 00:34:27,120 للإفانيتي للإفاني 2 في N زائد 1 ناقص 1 تقسيم 2X 352 00:34:27,120 --> 00:34:34,660 ناقص 3 كله to the power N 2N ناقص 1 بهذا الشكل 353 00:34:39,000 --> 00:34:48,220 N زائد واحد يبقى هذا الكلام يبدو يساوي limit لما 354 00:34:48,220 --> 00:34:52,760 ال N tends to infinity ل absolute value 2X 355 00:34:52,760 --> 00:34:58,700 ناقص 3 2X ناقص 3 كله to the power N 356 00:34:58,700 --> 00:35:05,340 هذا عبارة عن 2N زائد 1 2N ناقص 1 357 00:35:05,340 --> 00:35:12,220 2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1 358 00:35:12,220 --> 00:35:14,260 2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1 359 00:35:14,260 --> 00:35:14,540 2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1 360 00:35:14,540 --> 00:35:15,400 2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1 361 00:35:15,400 --> 00:35:17,040 2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1 362 00:35:17,040 --> 00:35:21,000 2N ن ناقص 1 2N ن ناقص 1 2N ن 363 00:35:21,000 --> 00:35:27,450 ناقص 1 تيبقى هذا الكلام بدرساوي absolute value 364 00:35:27,450 --> 00:35:31,870 للـ 2x ناقص ثلاثة بطلعها برا لإنها مالهاش علاقة 365 00:35:31,870 --> 00:35:37,110 بال N في ال limit لما ال N tends to infinity 366 00:35:37,110 --> 00:35:43,830 للـ 2N ناقص واحد على الـ 2N زائد واحد ال 367 00:35:43,830 --> 00:35:50,610 limit هذه كلها مقداش يبقى النتيجة تساوي absolute 368 00:35:50,610 --> 00:35:57,830 value لـ 2X ناقص ثلاثة بروح بقول له the series 369 00:35:57,830 --> 00:36:01,230 converge 370 00:36:01,230 --> 00:36:09,880 absolutely لو كانت 2x ناقص 3 ك absolute value أقل 371 00:36:09,880 --> 00:36:16,980 من واحد, and diverge إذا كان absolute value لل 2x 372 00:36:16,980 --> 00:36:24,090 ناقص 3 greater than 1 الآن الـ Series Convey 373 00:36:24,090 --> 00:36:29,330 Absolutely إذا كام بده وهحل ال Inquality لأن هذا 374 00:36:29,330 --> 00:36:35,090 يبقى شبه سيرة أن 2X ناقص ثلاثة أقل من واحد و 375 00:36:35,090 --> 00:36:41,450 أكبر من مين؟ من سالب واحد ضيف ثلاثة للثلاثة أطراف 376 00:36:41,450 --> 00:36:49,190 بصير اثنين أقل من اثنين X أقل من مين؟ من أربعة هالي 377 00:36:49,190 --> 00:36:55,210 شو بتديلك؟ لو قسمت على اثنين بصير واحد أقل من X 378 00:36:55,210 --> 00:37:02,470 أقل من الاثنين كويس يبقى بدنا نروح نبحث عن كل نقطة 379 00:37:02,470 --> 00:37:07,790 من هذه النقاط هالي ال series بتبقى converge والله 380 00:37:07,790 --> 00:37:08,410 diverse 381 00:37:18,690 --> 00:37:24,150 بعدين بقوله لو كانت ال X تساوي واحد the series 382 00:37:24,150 --> 00:37:27,410 becomes 383 00:37:27,410 --> 00:37:37,330 تصبح على الشكل التالي equal one to infinity يبقى 384 00:37:37,330 --> 00:37:44,170 هنا ناقص واحد to the power n يبقى 385 00:37:44,170 --> 00:37:52,790 هنا ناقص واحد 386 00:37:52,790 --> 00:37:58,600 to the power n على الاثنين N ناقص واحد يبقى 387 00:37:58,600 --> 00:38:03,700 summation من N equal one to infinity إلى ناقص واحد 388 00:38:03,700 --> 00:38:10,780 to the power two N على two N ناقص واحد يبقى هذه ال 389 00:38:10,780 --> 00:38:13,080 series أظن alternating series 390 00:38:19,250 --> 00:38:24,750 ما هيش alternating هذه series with positive terms 391 00:38:24,750 --> 00:38:29,570 لإن الأس اللي عندي أس زوجي وبالتالي كل الحدود 392 00:38:29,570 --> 00:38:35,390 موجبة بالاستثناء يبقى هذه هي ليست alternating 393 00:38:35,390 --> 00:38:41,710 وإنما بتصبح واحد على اثنين إن ناقص واحد مباشرة 394 00:38:41,710 --> 00:38:43,570 تمام؟ 395 00:38:45,680 --> 00:38:50,670 السالب واحد في السالب واحد ولا تجيبوه؟ سالب واحد 396 00:38:50,670 --> 00:38:56,510 لكل تربيع كل اس ان جداش بصير واحد واس ان يعني 397 00:38:56,510 --> 00:39:01,010 بواحد على المقام ماشي كتبت هالك جملة مش اول مرة 398 00:39:01,010 --> 00:39:06,630 يعني كتبت لك سالب واحد اس اثنين ان يساوي موجب على 399 00:39:06,630 --> 00:39:11,290 طول الخط وكتبت لك سالب واحد اس اثنين ان ناقص واحد 400 00:39:11,290 --> 00:39:16,310 أو زائد واحد وهذه سالبة كل الحدود على طول الخط بلا 401 00:39:16,310 --> 00:39:20,010 استثناء كتبت لك النقطة الثانية دول راجع ما هو مكتوب 402 00:39:20,010 --> 00:39:23,290 معاك طيب بدي اجي ال series الان هذي اشوفها 403 00:39:23,290 --> 00:39:31,350 converge ولا diverse شو نستخدمها؟ مين؟ comparison 404 00:39:31,350 --> 00:39:37,810 وال limit comparison بنفع؟ بنفع بدي اخد summation 405 00:39:37,810 --> 00:39:41,740 المعادلة ان diverse و اجلب عليها تطلع n fold وتحت 406 00:39:41,740 --> 00:39:44,560 اثنين الناقص واحدة باكسم كل الوصفة المقارنة لها 407 00:39:44,560 --> 00:39:48,380 تطلع نص تطلع ال comparative يعني ال comparison وال 408 00:39:48,380 --> 00:39:53,040 limit comparison والتكامل كمعنى بيجيبها كل ما على 409 00:39:53,040 --> 00:39:57,380 الحد النوني هذا بيجيبهاش الـ ratio بيجيبها بس بيفشل 410 00:39:57,380 --> 00:40:01,240 ال in through يبقى انتقل لإيش ان ال limit لما 411 00:40:01,240 --> 00:40:04,680 تقوله تطلع واحد صحيح بيقول بس بيفشل يبقى عندك 412 00:40:04,680 --> 00:40:09,140 ثلاثة اختبارات أي واحد تستخدم منها بيجيبك الإجابة 413 00:40:09,140 --> 00:40:12,060 ال integral test لسه بكتب حد الشروط الثلاثة 414 00:40:12,060 --> 00:40:15,160 positive and continuous equation بتطول الجثة هذه 415 00:40:15,160 --> 00:40:18,580 لكن احنا بال comparison او ال limit comparison 416 00:40:18,580 --> 00:40:23,640 بجيبها على طول الخط فلو جيت قلت له اثنين ان ناقص 417 00:40:23,640 --> 00:40:26,620 واحد اكبر من واحد على اثنين in 418 00:40:30,020 --> 00:40:34,940 مش صحيح؟ تأكد منها صحيح والله ما هو مش صحيح صحيح 419 00:40:34,940 --> 00:40:40,900 مائة بالمائة وهذه اكبر من اثنين ان لكل الان اللي 420 00:40:40,900 --> 00:40:47,340 أكبر من أو تساوي جداش واحد صحيح تمام؟ يبقى هذا 421 00:40:47,340 --> 00:40:54,660 معناه بطء ولكن summation أو نص summation واحد على 422 00:40:54,660 --> 00:40:58,520 ان diverse harmonic 423 00:41:00,510 --> 00:41:13,650 بروح بقوله by the comparison test the series ال 424 00:41:13,650 --> 00:41:19,440 summation واحد على اثنين N نقص واحد من n equal one 425 00:41:19,440 --> 00:41:24,660 to infinity مالها ضعيفة ضعيفة يجب أن انتهينا منها 426 00:41:24,660 --> 00:41:30,060 بدأ أروح اخذ لو كانت ال X تساوي اثنين للنقطة 427 00:41:30,060 --> 00:41:35,880 الثانية the series becomes 428 00:41:35,880 --> 00:41:41,840 تصبح على الشكل التالي summation من n equal one to 429 00:41:41,840 --> 00:41:45,640 infinity فاللي عليه كويس بدي أشيل X واحط ما كان 430 00:41:45,640 --> 00:41:52,020 اثنين اثنين في اثنين ناقص ثلاثة بظل واحد اقص ان يبقى 431 00:41:52,020 --> 00:41:57,980 في عندي برة سالب واحد to the power in واحد على 432 00:41:57,980 --> 00:42:03,840 اثنين in ناقص واحديبقى هذه فعلا alternating مش زي 433 00:42:03,840 --> 00:42:08,500 اللي قبلها يبقى مادام alternating بدنا نبدأ شغل ال 434 00:42:08,500 --> 00:42:17,960 alternating بقول له the series of absolute values 435 00:42:17,960 --> 00:42:25,090 as summation من n equal one ناقص واحد لواحد على 436 00:42:25,090 --> 00:42:31,050 اثنين ان ناقص واحد طبعا لتحت بظل بتبينش ال 437 00:42:31,050 --> 00:42:34,950 absolute ليش؟ لما عند الواحد فم فوق لا تأخذ إلا 438 00:42:34,950 --> 00:42:38,810 قيما موجبة بيبقى مكتوبش اللي ال absolute value 439 00:42:38,810 --> 00:42:44,010 والسينازان ال diverge هي بينها فوق يبقى هذه 440 00:42:44,010 --> 00:42:48,410 diverge from above 441 00:42:50,630 --> 00:42:55,690 طبعا يبقى الشرف 442 00:42:55,690 --> 00:43:05,310 الأول يعني كل الحدود are positive الشرف الثاني الحد 443 00:43:05,310 --> 00:43:12,030 النوني اللي هو واحد على اثنين N ناقص واحد اكبر من 444 00:43:12,030 --> 00:43:20,170 الحد النوني زائد واحد اللي هو واحد على اثنين في N 445 00:43:20,170 --> 00:43:27,130 زائد واحد ناقص واحد يعني واحد على اثنين N زائد 446 00:43:27,130 --> 00:43:30,410 واحد يبقى هنا decreasing 447 00:43:32,430 --> 00:43:39,750 for all n أكبر من أو تساوي واحد الشرط الثالث بدأ 448 00:43:39,750 --> 00:43:46,450 يأخذ limit لأن لما ال N tends to infinity يبقى 449 00:43:46,450 --> 00:43:54,390 limit لما ال N tends to infinity لمن؟ لواحد على 450 00:43:54,390 --> 00:44:00,870 اثنين N ناقص واحد ويساوي Zero يبقى بناء عليه تحقق 451 00:44:00,870 --> 00:44:05,310 الشروط الثلاثة يبقى بروح بقوله the series converge 452 00:44:05,310 --> 00:44:11,490 conditionally هذا بدي يعطيلك انه the series 453 00:44:11,490 --> 00:44:17,670 summation من n equal one to infinity لواحد على 454 00:44:17,670 --> 00:44:24,650 اثنين ان ناقص واحد converge conditionally 455 00:44:28,310 --> 00:44:38,250 أصبحت the interval of convergence 456 00:44:38,250 --> 00:44:47,580 is من عند الواحد لغاية اثنين عند الواحد في الأول 457 00:44:47,580 --> 00:44:53,000 فلهت ال series عندنا نعلها diverge harmonic series 458 00:44:53,000 --> 00:44:57,100 يبقى diverge مفتوحة مين عندي اثنين converge 459 00:44:57,100 --> 00:45:03,000 conditionally يبقى هيقفلناها بهذا الشكل الان the 460 00:45:03,000 --> 00:45:09,700 radius of convergence 461 00:45:09,700 --> 00:45:19,360 is R تساوي نص الفترة هذه اثنين ناقص واحد على اثنين 462 00:45:19,360 --> 00:45:26,300 يبقى ال R تساوي نص حتى الآن يا شباب احنا انتهينا من 463 00:45:26,300 --> 00:45:38,080 نصف هذا section وباقية نصف الآخر الآن 464 00:45:38,080 --> 00:45:47,120 بدنا نيجي للنصف الآخر لهذا section ايوه اه 465 00:45:47,120 --> 00:45:55,110 هذه مش كاتبينها هاي سالب واحد هاي سالب واحد كله to 466 00:45:55,110 --> 00:45:57,970 the power n، very conditional صحيح 467 00:46:01,490 --> 00:46:05,610 يبقى بناء عليه حددنا فترة التقارب من الواحد 468 00:46:05,610 --> 00:46:10,010 للاثنين وحددنا ال radius of convergence اللي هو R 469 00:46:10,010 --> 00:46:17,070 يساوي كده ايش يساوي نص الان يا شباب في عندنا نقطتين 470 00:46:17,070 --> 00:46:19,930 ضايلات في هذا ال section اللي هو الجزء الثاني من 471 00:46:19,930 --> 00:46:23,470 هذا ال section حاجة بنسميها اللي هو 472 00:46:23,470 --> 00:46:28,640 differentiation term by term يعني ايش؟ يعني ال 473 00:46:28,640 --> 00:46:32,420 power series لما نكون كاتبينها بتروح اشتقها 474 00:46:32,420 --> 00:46:38,300 وبالتالي بيده اشتق كل term من هذه ال terms والنقطة 475 00:46:38,300 --> 00:46:43,130 الثانية اسمها integration terms by terms يعني 476 00:46:43,130 --> 00:46:49,790 اكتكامل كمان كل حد من الحدود اللي عندنا لو رجعنا 477 00:46:49,790 --> 00:46:54,210 لليه اشتقاق لو قلنا series تبدأ منها summation من 478 00:46:54,210 --> 00:46:59,250 n equal zero to infinity لو كان الحد الأول 479 00:46:59,250 --> 00:47:04,490 constant واشتقت يبقى الحد الأول اللي بده يطير لأن 480 00:47:04,490 --> 00:47:08,280 مشتقة المقدمة ثابتة تبقى دائرة وبالتالي ال series 481 00:47:08,280 --> 00:47:13,220 الأصلية هي ال series الجديدة بس ال summation بدل 482 00:47:13,220 --> 00:47:17,140 من كان عند zero بده يصير من وين؟ من عند ال واحد 483 00:47:17,140 --> 00:47:21,160 إذا ال series الأصلية converge على فترة يبقى ال 484 00:47:21,160 --> 00:47:26,680 series المشتقة converge على نفس الفترة لو جينا 485 00:47:26,680 --> 00:47:30,500 تكامل term by term هل ال index اللي تحت ال 486 00:47:30,500 --> 00:47:36,140 summation بتغير؟ الاندكس تحت ال summation بتغير فان 487 00:47:36,140 --> 00:47:40,580 هو ولا حد ولا term بطير بصير الاولاني بدل ما بصير 488 00:47:40,580 --> 00:47:44,440 constant fixed والثاني كان constant fixed بصير 489 00:47:44,440 --> 00:47:49,240 constant fixed تربيعه على اثنين وهكذا يعني ولا حد 490 00:47:49,240 --> 00:47:53,760 بينشطب من من من ال series وبالتالي ال summation 491 00:47:53,760 --> 00:47:56,340 يبقى كما هو من صفر لغاية 492 00:48:12,110 --> 00:48:15,090 النقطة الأولى يسمى differentiation term by term 493 00:48:15,090 --> 00:48:18,370 النقطة الثانية يسمى integration term by term