موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم، فإنا من المرة الماضية من
موضوع الـ power series، بنذكر بما قلناه لأنه بناء
عليه بنبدأ نأخذ أمثلة، فقلنا الـ power series عبارة
عن summation على a على c في x ناقص الـ a to the
power n، السيريز هذه قد تكون converge وقد تكون
diverge، تفاصيلات كتيرة، أي power series لها أحد
ثلاثة احتمالات، الاحتمال الأول أن السيريز تكون
converge عند نقطة واحدة و diverge على باقي الـ real
line كله، إن حدث ذلك يبقى الـ radius of convergence
نصف قطر تقارب r يساوي zero، ممكن تبقى الـ series
converge absolutely على كل الـ real line بلا استثناء،
يبقى في هذه الحالة بقول الـ interval of convergence
هي من سالب infinity إلى infinity والـ radius of
convergence R بده يساوي infinity، الاحتمال الثالث
والأخير أن الـ series تبقى converge على فترة و
diverge خارج هذه الفترة، لما تبقى converge على
الفترة هذه و diverge خارجها بيظلوا طرفي الـ
interval، طرفي الـ interval ممكن عند الطرفين تبقى الـ
series converge عند الطرفين أو ممكن تبقى diverge
عند الطرفين، أو ممكن تبقى الـ convergence عند أحد
الأطراف و diverge عند الطرف الثاني، يبقى هذا
الحديث، طول نصف القطر اللي يساوي طول نصف الفترة
بتبع التقارب تبعت الـ series، تبعت التقارب تبعت الـ
series، تبعت التقارب تبعت الـ series، تبعت التقارب
تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت
التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب
تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت
التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب
تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت
التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب
تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت التقارب تبعت
التقارب تبعت، نأخذ الـ absolute value للـ series
لكي نستطيع أن نطبق أي اختبار من الاختبارات السابقة،
يبقى السؤال بيجيك حتى في الامتحان النهائي بيقول لي
هات الـ interval of convergence and the radius of
convergence للـ power series، وبيعطيني أي power
series مثل الـ power series اللي قدامنا، باجي بطلع
أنا من الاختبار المناسب لهذه الـ power series، بطلع
لطبيعتها، إذا سهل أخذ الجذر النوني باخد الجذر
النوني، مش سهل أوتوماتيك بروح على طول على الـ ratio
يبقى لما نطلع في المثال هذه سهل إنه نأخذ من الجذر
النوني، إذا بروح بقوله الـ root تساوي الـ limit لما الـ
N تنسبي في دي للـ absolute value، الـ absolute قد لك
بسبب وجود الـ X اللي أنا مش عارف هل هي سالب أو
موجبة، لمن؟ للجذر النوني للحد النوني N على 2 أس N
في X ناقص ثلاثة to the power N وهي الـ absolute
value، يبقى هذا الكلام بدي يساوي الـ limit لما الـ N
tends to infinity لمين؟ للـ N على 2 في الـ X ناقص 3،
هو إيه الـ absolute value طلع لي كويس في المثال، الـ
X ناقص 3 تعتبر constant بالنسبة لمين؟ للـ M، إذا
أنا دي فيش فيه N، ما علينا دعوة بطلعها برة المثال
اللي عندنا، يبقى يادة absolute value للـ X ناقص
تلاتة، limit
للـ X ناقص تلاتة في مين؟ في limit لما الـ N tends to
infinity للـ N على اتنين،
هذا الـ Limit ممكن يتساوي 0 وممكن يتساوي مقدار
نهائي،
في الـ Limit يبقى بيعطينا Zero على طول الخط ما خل
ذلك، يبقى هذا لا يمكن أن يساوي Zero وهذا مقدار
نهاية على طول الخط، يبقى بده يساوي قداش مقدار نهاية،
يبقى هذا بده يساوي مرة واحدة في التاريخ صفر لما الـ
X بده يساوي قداش تلاتة وغيرها بده تكون Infinity،
يبقى هذا الكلام بده يساوي Zero أو X ناقص تلاتة في
Zero اللي هو بده يساوي Zero، أقل من الواحد only
when اللي هو الـ X يساوي تلاتة، يبقى فقط لغير أبعد عن
التلاتة يمين أو شمال بصير النتيجة infinity،
وبالتالي الـ series مالها diverged لحظة الكلام اللي
مكتوب عندك والنظر المرة اللي فات هو اللي أشرت إليه
قبل قليل، أول نقطة بيقول الـ series converge only at
x يساوي a و diverge على يمين الـ A وعلى شمال الـ A،
يعني لو كان عندنا real number وقلنا هذه النقطة
اللي هي تلاتة عند تلاتة النتيجة تساوي Zero،
وبالتالي Series Converted عند النقطة هذه بتكون
Converted لكن غيرها على يمينها Diverged وعلى
شمالها مالها Diverged، طبعًا الـ Zero أقل من الواحد،
مدام أقل من واحد يبقى الـ Series لأن هذه مالها
Converted، فبروح بقوله The Series converge only at x
يساوي تلاتة and diverge elsewhere في أي مكان آخر،
وفي هذه الحالة the radius
of convergence is R تساوي كده؟ تساوي Zero أيوة،
تمام،
استنى
شوية، هذا الكلام بده يساوي هذا بده يساوي،
وأنت لما توصل تلاتة لما الـ X توصل تلاتة بتكون N
وصلت، لما لنهاية، مين اللي بوصل في الأول؟ تعرفش؟ يعني
واحد، اتنين، تلاتة، التلاتة بتيجي بعد ما لنهاية
ولا قبلها؟ طيب خلاصنا،
يبقى في مثل هذه الحالة بقول إن الـ limit ساوي zero
only فقط إذا كانت x يساوي تلتة، ما خلال ذلك كله بـ
infinity عن الـ series by values على يمين التلاتة
وعلى مين؟ على شمال التلاتة، يعني الأسئلة كلها سهلة
وبسيطة بالشكل هذا، طبعًا لأ مثال اتنين هذا من أبسط
أنواع الأمثلة، summation من M equal one to infinity
للـ N factorial X to the power N على اتنين N
factorial، واضح
إن عنده إياها فكتوريا يبقى بدي آخذ اختبار الـ ratio،
بدي أقوله هنا الـ root تساوي الـ limit لما الـ int
tends to infinity للـ absolute value للحد النوني
زائد واحد على الحد النوني، يبقى هذا الكلام بده يساوي
الـ limit لما الـ N tends to infinity، هو هذا الـ
absolute value، الحد النوني زائد واحد اللي هو الـ N
زائد واحد factorial X أس N زائد واحد على اتنين في
N زائد واحد كله factorial تقسيم فاكتوريال X to
the power of N على اتنين N فاكتوريال وهي الـ
absolute value، نبدأ نحلل ونختصر، يبقى root تساوي
limit لما الـ N tends to infinity وهي الـ absolute
value N زائد واحد في N factorial في الـ X في X to
the power N، المقام هذا اتنين في N زائد واحد يعني
اتنين N زائد اتنين، يبقى اتنين زائد اتنين، اتنين in
زائد واحد، اتنين in factorial، القسم هأحوله إلى ضرب
ونشقلب المقام اللي عندنا، هيصير bust و الـ bust
هيصير مقام بالشكل إن هذا هو الـ absolute value، نختصر
الاختصارات N factorial مع N factorial، X to the
power N مع X to the power N، 2 N factorial مع 2 N
factorial، هذا الجزء هو عبارة عن 2 في N زائد 1، ن
زائد واحد مع N زائد واحد، الله يسهل عليها، يبقى هيك
بيصير عندي absolute value لـ X على اتنين، هذا ما لوش
دعوة بالـ M وهذا الـ limit لما الـ N tends to
infinity، نجي الـ bust، الـ bust كله مش ضايق فيه إلا
واحد صحيح، المقام ضايق لنا من اتنين N زائد واحد، طيب
قداش الـ limit لهذا المقدار؟ Zero، تمام، فالـ absolute
value لـ X على 2، يبقى هذا absolute value لـ X على 2
في Zero اللي هو بده يساوي Zero، أقل من الواحد for
all X، ماذا يعني for all x؟ يعني هل يمكن لـ x إنه لو
أخذت قيمة محددة من سالب infinity إلى infinity تغير
هذه النتيجة؟ لأ، إذن النتيجة تساوي zero for all x
يعني النتيجة تساوي Zero على كل real line من سالب
infinity إلى infinity طبعا ال Zero ما لها أقل من
الواحد و أنا استخدمت ال ratio test يبقى معنا هذا
الكلام من ال series ما لها converge يبقى باقي
بقوله by the ratio test the series converge
for all x ترجمة
بتقول لي the interval of convergence is من سالب
infinity إلى infinity بدنا ال radius of
convergence فبروح بقوله the radius of convergence
is R تساوي كدهش infinity سؤال الاتنين هدول من عندما
حسبنا ال limit تجب المثال خلصت دائماً المثال هيك؟
لا مش دائماً هيك تعال ناخذ المثال رقم تلاتة ونشوف
هل هي دائماً بهذا الشكل؟ والله ما هياش بهذا الشكل
سؤال التالت بيقول summation من n equal zero to
infinity لل NX to the power M على 4 to the power M
في M تربيع زائد واحد بهذا الشكل
سهل ناخد الجذر النوني؟ سهل، سهل، بس الـ GOS يبقى
أفضل اختباره اختبار مين؟ اختبار الـ Ratio Test
فبروح بقوله solution Ratio Test يساوي، limit لما ال N
tends to infinity وهي absolute value بنشيل كل N
ونحط مكانها N زائد واحد على أربع أس N زائد واحد N
زائد واحد لكل تربيع زائد واحد تقسيم N X أس N على
أربع أس N N تربيع زائد واحد وهي ال absolute value
هذه الترتيبة يبقى limit لما ال in tends to
infinity in زائد واحد هو يد x في x to the power in
هو يد أربع في 4 to the power in هذه الشباب اللي
ان تربيع زيدي اتنين ان زيدي واحد وزيدي واحد يبقى
زيدي اتنين يبقى ان تربيع زيدي اتنين ان زيدي اتنين
هذه أربعة to the power of n في ال ان تربيع plus one
على ان في x to the power of n وهي ال absolute
value نبدأ عملية الاختصارات ونشوف هذه بدأ تصف معنا
لحد وين يبقى هذا الكلام بده يساوي ال limit لما ال
N tends to infinity خلي بالك هنا أربعة to the
power N مع أربعة to the power N X to the power N
مع X to the power N في كمان ولا حاجة خلصنا يبقى هذا
الكلام بدو يساوي ال limit لل absolute value لمن؟
لل N زائد واحد N زائد واحد على M8 في N تربيع زائد
واحد على N تربيع زائد اثنين N زائد اثنين وضعي اللي
عندنا هنا قداش ربع يبقى يساوي الربع في ال limit
اللي عندنا تمام؟ وهذه ال absolute
يبقى absolute value للـ X على 4
أبسلوت فالي لل X على أربعة في limit لما ال N turns
to infinity و هذا كله ما لوش دعوة في ال absolute
value لأن كله موجب. يبقى النتيجة هذا الـ limit له
بقداش؟ واحد. وهذا بقداش؟ واحد. واحد زيه؟ لأن درجة
البسط درجة المقام والمعامل هنا واحد والمعامل هنا
واحد. يبقى هذه ال limit كلها مرة واحدة بتقنى قداش؟
واحد. يبقى النتيجة absolute value لل X على أربع. لو
طلعل إلى النتيجة هنا اختلفت عن النتيجة في كل من
السؤالين السابقين يبقى هذه تمثل رو لو كانت هذه أقل
من الواحد ال series و إذا كانت أكبر من واحد، وإذا
كانت تساوي من واحد، فهو يفشل الاختبار، أنه ال ratio
test. مظبوط؟ فبروح بقوله ماتي من حد ما توصل
للنتيجة التي بتقول ماتي. The series converge.
absolutely إذا كان absolute value لل X على 4 أقل
من 1 and diverge إذا كان ال absolute value لل X
على 4 أكبر من 1
مرة ثانية استخدمنا ال ratio test ووصلنا إلى
absolute value ل X على 4 هي قيمة ال limit فبعدين
بقول إن ال series converge absolutely إذا كان
absolute value ل X على 4 أقل من 1 و diverge إذا
أكبر من 1 لو حلنا ال inequality هذه يكون حلنا
لنقلة الثانية واحنا مش دارين عن أنفسنا. إذا جيبنا
فترة التقارب، يبقى اللي بضل هو فترة مين؟ فترة
التابعة، تابعة المتسلسلة. يبقى باجي بقوله The
Series Converge إذا كان ال absolute value ل X أقل
من 4 يعني إيش عمل ضربت الطرفين في أربع يعني هذا
معناه إن ال X أقل من أربع و أكبر من مين؟ من سالب
أربع بناخد القيمتين الاثنين اللي عندنا هدول فبجي
بقوله لو كانت ال X على سبيل المثال تساوي سالب
أربعة the series becomes يعني إيش بدك تسوي بالظبط؟
أه بدي أقول إن ده طرفي ال interval تبعد التقارب له
سالب أربعة و أربعة هل ال series converge؟ والله
diverge إذا diverge بكتب له open interval و إذا كنت
فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره
بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره
بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear
وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت
فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره
بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close
and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear
وإذا كنت فارغ فأخبره بـ Close and Tear وإذا كنت
فارغ فأخبره
بـ Close and Tear وإذا كنت فارغ فأخبره بـ
لمن؟ لل N سالب أربعة to the power N على أربعة to
the power N N تربيع زائد واحد اللي هي ال summation
من N equal zero to infinity هذا يا شباب اللي هو
سالب واحد في أربعة يعني كأنه سالب واحد to the
power N في ال N في الأربعة to the power N على
أربعة to the power N في ال N تربيع زائد واحد أربعة
to the power N مع أربعة to the power N يبقى صارت
summation من N equal zero to infinity لسالب واحد
to the power N لل N على N تربيع زائد واحد. إذن لما
كانت ال X ساوية سالب أربعة تحولت المسألة من power
series إلى السيريز المتعاملين يبقى بدنا نروح كأن
هذه مسألة جديدة تمام؟ نروح نبحث السيريز هذه هل هي
converged أو diverged فقوله والله كويس تعال نشوف
يبقى بدي أخذ السيريز of absolute value زي ما كنا
بنعمل في ال section السابق فبروح بقوله إيش هنا؟ of
absolute values as summation من N equal zero to
infinity لل N على N تربيع زائد واحد شفوياً لو بدو
يستخدم الحد النوني قداش ال limit؟ صفر يبقى بفشل
الاختبار الحد النوني تكامل بتيجي ان البسط فضل مقام
بس بده قداش اتنين بس بتروح تدور على مين على الشروط
تلاقي وفه دي قصة بتطول إذا بتروح تدور على الشروط
تلاقي وبعدين هو هيكامل لأ شوف لك اختبار ثاني بقوله
اه لو بدو اجي لل comparison بقولش اللي واحد بيضل
ال N على N تربيع يعني قداش عن طريق بيوجي هارمونيك
يبقى بدنا نمشي من أكبر والله أقل أكبر من فاجي
بقوله الحد إنه نقول N على N تربيع زائد واحد أكبر
من N على N تربيع صحيحة غلط هذا أجل طيب إذا بدي أكتب
الواحد بدلالة N تربيع مشان نجمعه نختصر يبقى زائد N
تربيع التساوي هذا ممكن ينفع بالشكل اللي عندنا هذا
طبعاً عندي ال zero غير معرفة يبقى سيب الحد رقم zero
عند الواحد بيحدث التساوي يبقى من هنا كتبنا يبقى
هذا أكبر من هذا لو بده يساوي ال N على 2 N تربيع
يعني 1 على 2 N لكل ال N اللي أكبر من أو تساوي من
واحد يعني أهملنا أول حد من ال series وهذا لا يؤثر
لا على ال convergence ولا على ال divergence بقوله
but ولكن مص summation لواحد على n اللي هو diverge
harmonic series
by the comparison test, the series of absolute
values ل summation لإن على إن تربيع زائد واحد ما لها،
بيكفيش؟ بيكفيش، بدك تروح على الشروط الثلاثة يبقى
باجي بقوله الشرط الأولاني الـ AN اللي هو بتساوى N على N
تربيع زائد واحد أكبر من ال zero لكل ال N اللي أكبر
من أو تساوى واحد هذا إيش معناه؟ معناه إن كل ال AN's
are positive
مظبوط؟ ال condition الأول اتحقق، بدا يجي لل
condition الثاني الـ condition كان البسط متغير
والمقام متغير يبقى مافي إمكانية إلا الاشتقاق يبقى
باجي بقوله ال F of X بدي يساوي ال X على X تربيع
زائد واحد هذا بدي يطيلك ان F prime of X يساوي
المقام في مشتقة البسط اللي بواحد ناقص البسط اللي هو
ال X في مشتقة المقام اللي هو ب 2X كله على مربع
المقام الأصلي تربيع بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا
يبدو السبب هذي ناقص 2X تربيع وعندي X تربيع يبقى
بتضل X تربيع واحدة على X تربيع زائد واحد الكل تربيع
على الأقل كده اللي هو لما أطلع للنتيجة المقام دائما
وأبدا موجب ماعناه مشكلة فيه يبقى اللي بده يحدد
الإشارة لهذا المقدار هو أمام الـBus عند الواحد
بيصير الناتج بـ0 لكن عند اتنين، تلاتة، أربعة،
خمسة، أي فما فوق يقوله بيصير سالب يبقى هذا أقل من
الـ0 لكل الـX اللي أكبر من أو تساوى من اتنين
وبالتالي كأنه إحنا أهملنا مين حدين وليس حد واحدة،
بأثرش هندي، مدام طلع أقل من ال zero يبقى ال series
اللي عندها دماغها decreasing يبقى سواء ال F is
decreasing for all x أكبر من أو تساوى من اتنين تمام
تمام يبقى بالداخلة الشرق التالف بتروح آخد limit
لما ال X tends to infinity
يبقى لل N على N تربيع زائد واحد طبعا في صمم أمن
للمثلة تتطلع في ال polynomial في ال Bus و ال
polynomial اللي في المقام إذا درجة ال Bus أقل من
درجة المقام فإن الناتج يساوي زيرو لكن احنا مش حالة
ملهات بنقول infinity على infinity يا إما بتجسم
البسط والمقام على أن المرفوع اللي أكبر قصف المقام
يا بتشتق البسط على مشتقة المقام إذا لو اشتقنا
البسط واحد على اتنين N واحد على ما لا نهاية بزيرو
يبقى تحقق الشروط الثلاثة so the series converge
Conditionally at x يساوي أربعة
إذا الـ X تساوي أربعة، إيش بدي يكون شكل الـ
Series؟ The Series becomes تصبح على الشكل التالي
summation من N equal zero to infinity بالدرجة على
رأس المثال اللي موجود عندنا يبقى بيصير N أربعة to
the power N على أربعة to the power N تربيع زائد
واحد نختصر يبقى صارت summation من N equal zero to
infinity لل N على N تربيع زائد واحد أظن هي هذه
التي كنا بنشتغل عليها هنا تمام؟ ليش كانت؟ بروحش
أعيد الكلام تاني بقول له هذا diverged from above
أثبتنا أعلاه يبقى خلاص ماروحش بكرره يبقى أصبح بناء
عليه the interval
of convergence is سالب أربعة وأربعة من عند الأربعة
بيبقى open من عند سالب أربعة بيبقى closed
of convergence is R تساوي نصف الفترة هذه من سالب
أربعة على أربعة كده إيش؟ ثمانية نصها أربعة على طول
الخط يبقى هذا النتيجة الآن حد يلو يتساول هنا عاد
يبقى هذا هلما نقول لك very important هذا الموضوع
لأنه عبارة عن ثلاثة أسئلة وليس سؤال واحد، بتستخدم
فيه ال ratio test أو ال entrope وبعد هيك ممكن
أستخدم اختبار أو اثنين لحال بقية المثلة،
قالي كويس، احنا طلعنا
طلعنا الـRow تساوي القيمة اللي عندنا هذه بدي أقول
هذه قيمة روب تبقى ال series converge إذا كان هذا
الكلام أقل من الواحد الصحيح و by vary لو كان أكبر
من وين؟ من الواحد الصحيح تمام؟ جينا مسكنا المعادلة
هذه وجينا نحلها ضربنا كله في أربعة ووصلنا لمين؟
للمعادلة اللي عندنا بروح أفحص لو كانت ال X تساوي
سالب أربعة يبقى كأنه احنا بدأنا سيريز جديدة زي
اللي جابه هذا ال section Alternating, Ratio
Tester, Intrude, Comparison, Limit Comparison,
Integral, Interval أي واحد فيهم يبقى صورة السيريز
على الشكل اللي عندنا هذا لما شيلنا ال X هذه و
حطينا مكانها سالب أربعة أيها اختصرنا فوصلنا إلى
الشكل اللي عندنا هذا روحنا صارت هذه alternating
series فروحت أخدت ال series of absolute values
بالشكل هذا ابحث عن ال series هذه وجدتها by virg
يبقى بدي أروح على مين؟ على الشروط الثلاثة، لإن ال
series of absolute values diverged من ال section
الماضي، قولنا بتروح على ثلاثة شروط، روحنا على
ثلاثة شروط ونجيناهم محققات، مدام تحققت الشروط
الثلاثة، إذن عند ال X يساوي
خلصنا إذا عند النقطة x يساوي سالب أربعة بدنا نروح
لمين؟ للنقطة الثانية لل x يساوي أربعة شيلت ال x و
حطيت مكانها أربعة سرعت على الشكل هذا، اختصرنا طلعت
بالشكل هذا، من الجزء الأول في الحل هذا الـserious
-divergent بخلصناه يبقى فترة التقارب الفترة هذه و
radius of convergence نصف الفترة اللي هو الجزء
اللي عندنا هذا حد الويتس أو الآخر؟ كمان سؤال على
هذا الموضوع
سؤال الرابع بقول الـ summation لـ -1 to the power n
2x-3 to the power n على 2n-1 بعد بطلع في المثلة
برضه ال ratio و لا ال input الـ Ratio برضه لأن
المشكلة في المقام وليس في الـ Bus يبقى بجي بقوله
هنا ال summation من عند ال N تساوي واحد لغاية
Infinity من عند ال N تساوي واحد لغاية Infinity
يبقى بجي بقوله رو تساوي ال limit لما انت تستخدم الـ
absolute value لإنفانيتي للإنفانيتي للإنفانيتي
للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي للإفانيتي
للإفانيتي للإفاني 2 في N زائد 1 ناقص 1 تقسيم 2X
ناقص 3 كله to the power N 2N ناقص 1 بهذا الشكل
N زائد واحد يبقى هذا الكلام يبدو يساوي limit لما
ال N tends to infinity ل absolute value 2X
ناقص 3 2X ناقص 3 كله to the power N
هذا عبارة عن 2N زائد 1 2N ناقص 1
2N ناقص 1 2N ناقص 1 2N ناقص 1
2N ن ناقص 1 2N ن ناقص 1 2N ن
ناقص 1 تيبقى هذا الكلام بدرساوي absolute value
للـ 2x ناقص ثلاثة بطلعها برا لإنها مالهاش علاقة
بال N في ال limit لما ال N tends to infinity
للـ 2N ناقص واحد على الـ 2N زائد واحد ال
limit هذه كلها مقداش يبقى النتيجة تساوي absolute
value لـ 2X ناقص ثلاثة بروح بقول له the series
converge
absolutely لو كانت 2x ناقص 3 ك absolute value أقل
من واحد, and diverge إذا كان absolute value لل 2x
ناقص 3 greater than 1 الآن الـ Series Convey
Absolutely إذا كام بده وهحل ال Inquality لأن هذا
يبقى شبه سيرة أن 2X ناقص ثلاثة أقل من واحد و
أكبر من مين؟ من سالب واحد ضيف ثلاثة للثلاثة أطراف
بصير اثنين أقل من اثنين X أقل من مين؟ من أربعة هالي
شو بتديلك؟ لو قسمت على اثنين بصير واحد أقل من X
أقل من الاثنين كويس يبقى بدنا نروح نبحث عن كل نقطة
من هذه النقاط هالي ال series بتبقى converge والله
diverse
بعدين بقوله لو كانت ال X تساوي واحد the series
becomes
تصبح على الشكل التالي equal one to infinity يبقى
هنا ناقص واحد to the power n يبقى
هنا ناقص واحد
to the power n على الاثنين N ناقص واحد يبقى
summation من N equal one to infinity إلى ناقص واحد
to the power two N على two N ناقص واحد يبقى هذه ال
series أظن alternating series
ما هيش alternating هذه series with positive terms
لإن الأس اللي عندي أس زوجي وبالتالي كل الحدود
موجبة بالاستثناء يبقى هذه هي ليست alternating
وإنما بتصبح واحد على اثنين إن ناقص واحد مباشرة
تمام؟
السالب واحد في السالب واحد ولا تجيبوه؟ سالب واحد
لكل تربيع كل اس ان جداش بصير واحد واس ان يعني
بواحد على المقام ماشي كتبت هالك جملة مش اول مرة
يعني كتبت لك سالب واحد اس اثنين ان يساوي موجب على
طول الخط وكتبت لك سالب واحد اس اثنين ان ناقص واحد
أو زائد واحد وهذه سالبة كل الحدود على طول الخط بلا
استثناء كتبت لك النقطة الثانية دول راجع ما هو مكتوب
معاك طيب بدي اجي ال series الان هذي اشوفها
converge ولا diverse شو نستخدمها؟ مين؟ comparison
وال limit comparison بنفع؟ بنفع بدي اخد summation
المعادلة ان diverse و اجلب عليها تطلع n fold وتحت
اثنين الناقص واحدة باكسم كل الوصفة المقارنة لها
تطلع نص تطلع ال comparative يعني ال comparison وال
limit comparison والتكامل كمعنى بيجيبها كل ما على
الحد النوني هذا بيجيبهاش الـ ratio بيجيبها بس بيفشل
ال in through يبقى انتقل لإيش ان ال limit لما
تقوله تطلع واحد صحيح بيقول بس بيفشل يبقى عندك
ثلاثة اختبارات أي واحد تستخدم منها بيجيبك الإجابة
ال integral test لسه بكتب حد الشروط الثلاثة
positive and continuous equation بتطول الجثة هذه
لكن احنا بال comparison او ال limit comparison
بجيبها على طول الخط فلو جيت قلت له اثنين ان ناقص
واحد اكبر من واحد على اثنين in
مش صحيح؟ تأكد منها صحيح والله ما هو مش صحيح صحيح
مائة بالمائة وهذه اكبر من اثنين ان لكل الان اللي
أكبر من أو تساوي جداش واحد صحيح تمام؟ يبقى هذا
معناه بطء ولكن summation أو نص summation واحد على
ان diverse harmonic
بروح بقوله by the comparison test the series ال
summation واحد على اثنين N نقص واحد من n equal one
to infinity مالها ضعيفة ضعيفة يجب أن انتهينا منها
بدأ أروح اخذ لو كانت ال X تساوي اثنين للنقطة
الثانية the series becomes
تصبح على الشكل التالي summation من n equal one to
infinity فاللي عليه كويس بدي أشيل X واحط ما كان
اثنين اثنين في اثنين ناقص ثلاثة بظل واحد اقص ان يبقى
في عندي برة سالب واحد to the power in واحد على
اثنين in ناقص واحديبقى هذه فعلا alternating مش زي
اللي قبلها يبقى مادام alternating بدنا نبدأ شغل ال
alternating بقول له the series of absolute values
as summation من n equal one ناقص واحد لواحد على
اثنين ان ناقص واحد طبعا لتحت بظل بتبينش ال
absolute ليش؟ لما عند الواحد فم فوق لا تأخذ إلا
قيما موجبة بيبقى مكتوبش اللي ال absolute value
والسينازان ال diverge هي بينها فوق يبقى هذه
diverge from above
طبعا يبقى الشرف
الأول يعني كل الحدود are positive الشرف الثاني الحد
النوني اللي هو واحد على اثنين N ناقص واحد اكبر من
الحد النوني زائد واحد اللي هو واحد على اثنين في N
زائد واحد ناقص واحد يعني واحد على اثنين N زائد
واحد يبقى هنا decreasing
for all n أكبر من أو تساوي واحد الشرط الثالث بدأ
يأخذ limit لأن لما ال N tends to infinity يبقى
limit لما ال N tends to infinity لمن؟ لواحد على
اثنين N ناقص واحد ويساوي Zero يبقى بناء عليه تحقق
الشروط الثلاثة يبقى بروح بقوله the series converge
conditionally هذا بدي يعطيلك انه the series
summation من n equal one to infinity لواحد على
اثنين ان ناقص واحد converge conditionally
أصبحت the interval of convergence
is من عند الواحد لغاية اثنين عند الواحد في الأول
فلهت ال series عندنا نعلها diverge harmonic series
يبقى diverge مفتوحة مين عندي اثنين converge
conditionally يبقى هيقفلناها بهذا الشكل الان the
radius of convergence
is R تساوي نص الفترة هذه اثنين ناقص واحد على اثنين
يبقى ال R تساوي نص حتى الآن يا شباب احنا انتهينا من
نصف هذا section وباقية نصف الآخر الآن
بدنا نيجي للنصف الآخر لهذا section ايوه اه
هذه مش كاتبينها هاي سالب واحد هاي سالب واحد كله to
the power n، very conditional صحيح
يبقى بناء عليه حددنا فترة التقارب من الواحد
للاثنين وحددنا ال radius of convergence اللي هو R
يساوي كده ايش يساوي نص الان يا شباب في عندنا نقطتين
ضايلات في هذا ال section اللي هو الجزء الثاني من
هذا ال section حاجة بنسميها اللي هو
differentiation term by term يعني ايش؟ يعني ال
power series لما نكون كاتبينها بتروح اشتقها
وبالتالي بيده اشتق كل term من هذه ال terms والنقطة
الثانية اسمها integration terms by terms يعني
اكتكامل كمان كل حد من الحدود اللي عندنا لو رجعنا
لليه اشتقاق لو قلنا series تبدأ منها summation من
n equal zero to infinity لو كان الحد الأول
constant واشتقت يبقى الحد الأول اللي بده يطير لأن
مشتقة المقدمة ثابتة تبقى دائرة وبالتالي ال series
الأصلية هي ال series الجديدة بس ال summation بدل
من كان عند zero بده يصير من وين؟ من عند ال واحد
إذا ال series الأصلية converge على فترة يبقى ال
series المشتقة converge على نفس الفترة لو جينا
تكامل term by term هل ال index اللي تحت ال
summation بتغير؟ الاندكس تحت ال summation بتغير فان
هو ولا حد ولا term بطير بصير الاولاني بدل ما بصير
constant fixed والثاني كان constant fixed بصير
constant fixed تربيعه على اثنين وهكذا يعني ولا حد
بينشطب من من من ال series وبالتالي ال summation
يبقى كما هو من صفر لغاية
النقطة الأولى يسمى differentiation term by term
النقطة الثانية يسمى integration term by term