بسم الله الرحمن الرحيم نعود للـ section اللي
ابتدأناه المرة الماضية وكان موضوعنا هو الـ extreme
values of a function القيم القصوى أو القيم
المتطرفة لدالة ما طبعا المرة اللي فاتت أخذنا الـ
absolute maximum و الـ absolute minimum و عرفنا
الـ absolute maximum أقصى قيمة بتاخدها الدالة على
كل الـ domain تبعها والـ Absolute minimum أقل قيمة
بتاخدها الدالة على كل الـ domain تبعها هذا اللي
أتعرضنا عليه المرة الماضية ولاقي أن الـ absolute
maximum أو الـ absolute minimum قد يحدث at interior
point عند نقطة داخلية في الـ domain وقد يكون عند الـ
end point باهمني سواء كانت هذه ولا هذه المهمة أن
عندي absolute maximum و absolute minimum لدالة ما
لم تكن constant function إذا كانت الـ function ليس
لديه أبسلوت ماكسما أو أبسلوت مينيموم، لكن ما خلى
ذلك إذا دلّا دلّا متصلة لازم يكون فيها لديها
أبسلوت ماكسما أو أبسلوت مينيموم على الـ domain
تبعها طيب نجي لتعريف جديد بدنا الـ local maximum و
الـ local minimum بدنا نقرّع كويس و نقارن بين هذا الـ
definition و الـ definition تبع المرة الماضية نقرأ
هذا الـ definition ثم نعود لـ definition المرة
الماضية بيقول الـ F has a local maximum أو local
minimum value at an interior point يبقى احنا الآن
مالناش علاقة بمين؟ بنتكلم عند الـ interior points
النقاط الداخلية للـ domain at interior point C
اللي موجودة في الـ domain الدالة F إذا F of X أقل
من أو يساوي F of C فـ F of C مالها أكبر ما يمكن ايش
بسميها local maximum أقل ما يمكن F of C أقل من
بسوين for all x in some open interval containing c
على فترة containing c طيب فلّع لي في تعريف المرة
الماضية أول definition في section 4-1 من المحاضرة
الماضية أول definition فاللي هقراه كويس و بنشوف هل
التعريف ده هو نفس تعريف المرة الماضية والله
بيختلف عنه وإذا بيختلف عنه ما وجه الاختلاف بين
التعريفين بس اقراه كويس وبعدين بنسأل اقراه كويس
definition المرة الماضية أول تعريف في بداية
المحاضرة في أول definition في section 4-1 آه في
فروقات ما بين التعريفين في اثنين وافعلوا يديهم
ثلاثة أربعة أيوة بدنا كمان نفكر كويس ونطلع في
فروقات ولا فيش فروقات إذا فيش فروقات بلاش خدوا نمشي
ولا في فروقات بدنا نعرفها آه يا ابن التعريف اللي
اجمالي اتقالت فيني تعريف من خلاله كله يعطوني الـ
absolute maximum و الـ absolute minimum والشرطة أن
كل الـ F اللي اجت للـ absolute maximum أكبر F
السيارة
هذه الجزء محلول منها ممتاز جدا يبقى أولا هذه تتكلم
عن النقاط الداخلية فقط هذه الفرق الأول أنك ما قلتش
intro point أنك قلنا على كل domain تبعه سواء كانوا
intro points أو end points سواء كان طرفي الـ
interval أو أي نقطة داخلية تمام؟ هنا قال لي لأ أنت
بتتكلم على نقطة داخلية في الـ domain
تعالى نشوف الفرق هذا على الرسم فلّع لي الرسم اللي
عنده، لو جيت عند النقطة C1 هذه، بدأ أخذ open
interval حواليها ضمن الـ domain، الـ domain من أين؟
من هنا، بيبقى أنا أخذ جزء من الـ domain حوالي
النقطة C، الجزء الأحمر الـ interval
طيب بدأ أجي طالع لغاية ما قابل المنحنى تبعد
لجابلته هنا وهنا جاي الطالع جابلته هنا يبقى جابلته
هنا خلال الفترة اللي عندنا هذه، الفترة الحمراء اللي
أنتوا شايفينها، باجي أطالع فوق، بلاقي إن قيمة
الدالة F of C1 أكبر من أي قيمة حواليها، تمام؟ يبقى
هذه لوكلية local maximum من هنا قلنا هذه local
maximum and when عندي الـ C1 طيب تمام بدي أجي عند
الـ C2 هاي الـ C2 بدي أخذ open interval حارف وأجي
طالع بالسلامة هيك وأجي طالع من هناك
الدالة هنا بتاخد أقل قيمة خلال الفترة هذه لو
الـ Sum Opinent الجزء من الـ domain أخذت أقل ما
يمكن يبقى عند C2 الدالة بتاخد local minimum كويس طب
و الآن بدي أجي عند الـ C3 بدي أخذ open interval
حوالين الـ C3 وأجي طالع لغاية ما قابل المنحنى اللي
عندنا ومن هنا جيت طالع لغاية ما قابل المنحنى اللي
عندنا قابلته هنا وهنا إذا هنا الدالة بتاخد أكبر قيمة
من القيم اللي حواليها، يبقى هذه الـ local maximum،
طيب، بدا جهنم دي الـ C4، لسه ما تكلمتش، أنا ما تكلمت في
الـ local فقط، لما يخلص، بعدين بنرجع، نربط الكلام
هذا بالكلام العتيق بدي أجي الـ C4 بدي أخذ open
interval حواليها جد ما تكون الـ open interval تكون
قابلة المنحنى وهنا جهة طالع برضه قابلة المنحنى
هنا عندهم نقطتين لكن هنا ها ها الدنيا بتاخد أقل
قيمة لها خلال الفترة اللي عندنا هذه يبقى هذه local
minimum يبقى local minimum شو صار عندي؟ صار عندي
المنحنى على الشكل التالي
الأربع نقاط كلهم نقاط داخلية ما اتكلمتش لا عند أول
نقطة ولا عند آخر نقطة حتى الآن يبقى أن كل النقاط
الداخلية
أقل من F of C يعني F of C أكبر من الكل Local
Minimum إذا F of C أقل من الكل and some open
interval حوالي النقطة C اللي عندنا هذه تمام إذا
اللي جت عندي Local Minimum بدل الواحدة اثنين و
Local Maximum بدل الواحدة اثنين هدف الـ interior
points لكن ضال من عندنا طرفين بقول كويس ندي بدنا
نعرف عند الطرفين فيه أن دي local maximum ولا local
minimum حط أن هذا في صيغة الـ remark التالية قلت لو
كانت الدالة دالة متصلة على الـ closed interval a و b
النقطة الأولى الـ F has a local minimum local
minimum إذا F of X أكبر من أو تساوي من F of A وين F
of A هيهذه المسافة F of a بدي أجي ألاقي interval
حواليها من جهة اليسار ما عنديش يبقى بروح من وين من
جهة اليمين من عند الـ a بقول لو المسافة من هنا لهنا
سميتها delta يبقى إحداثي النقطة عادي بيصير جداش يا
شباب a زائد delta يبقى بدي أجي أطلع رأسي ات لغاية
هنا صارت هنا أقل قيمة للدالة خلال الفترة من a لغاية
a زائد دلتا يبقى هذه اللي بتكون الـ local minimum
يبقى بعدي بقوله إن النقطة هذه if has local minimum
عند x يساوي a إذا كان الـ F of A أقل من أو يساوي الـ F
of X أو الـ F of X أكبر من أو يساوي F of A لكل الـ X
اللي موجودة في الـ Interval من عند الـ A لغاية A
زائد Delta من عند الـ A مغلقة لأنه جاب اللي ما عنديش
ومن عند الـ A زائد Delta خلتها فترة مفتوحة Delta
جاب داشت جات ما بدأت أخذها واحد من عشرة اثنين من
عشرة واحد صحيها اثنين زي ما بده أخذ الفترة اللي بدك
بس بحيث ما تصطدمش بواحدة ثانية، تبقى القبلة جد ما
بده أخذ هذه، تمام؟ طيب، هذا لو كان ايش؟ Local من،
لو كان Local maximum، بدي يكون الـ F of X أقل من أو
يساوي الـ F of A، يعني الـ F of A أكبر ممتازة، أنا
ما عندي شيء، أنا عندي أقل، يبقى اللي بين جثين غير
متحقق عند النقطة مين يساوي A، بس أنا حاطيته لأنه
احتمال مش تبقى جاية من تحت المال، تبقى جاية من
فوق، صحيح ولا لا؟ تمام طب نيجي للنقطة الثانية عند
النقطة B الـ F has a local maximum عند الـ X يساوي
بيه الـ F of X أقل من أو يساوي F of B طلع لي هاي الـ
B أنا بيداجي جاب لي الـ B يبقى من هنا يبقى هذه النقطة
الإحداثي تبعها بـ - Delta صحيح ولا لأ؟ يبقى من عند
الـ B مغلقة ومن عند الـ B نقص Delta مفتوحة وجاء
الطلب السلامة هيك قابلت المنحنى هنا يبقى صارت
القيمة هي الحمراء اللي فوق عندها دي مالها أكبر ما
يمكن يبقى بيصير local maximum إذا أنا حددت الـ
local maximum و الـ local minimum على الـ closed
interval ايه بيبتدأ بالـ interior points وانتهيت
بمين؟ بالـ end points يبقى هذا كل اللي اتكلمته لسه
في الـ local maximum و الـ local minimum عرفنا شو
وضعه على الـ interior point وعرفنا شو وضعه على الـ end
point تمام؟ وكل زي ما أنت شايف فيه عند كل نقطة
بأخذ
بنرجع بالذاكرة لتعريف المرة الماضية
الـ domain تبعها ممتاز الـ domain من A إلى B أكبر
قيمة اللي عندي هذه فوق يبقى هذه قلت absolute
maximum يبقى الـ local maximum و absolute maximum
في نفس الوقت طبعا فبتدور أشوف في absolute minimum
ولا لأ بجعل منحنى بلاقي النقطة هذه أقل ما يمكن، لو
يوجد قيمة للدالة أقل منها، يبقى هذه كمان absolute
ما لها minimum لهذه الدالة، إذا ربطنا كلام المرة
الماضية بالمرة هذه، هذه المرة هي بيجي تأخذ مناطق
أو نقطة موضعية open interval، شغلة موضعية حوالي
النقطة حدات منها الـ local maximum، يعني قيمة عظمى أو
صغيرة محلية، لما أقول محلية يعني في منطقة دون
الأخرى من الـ domain تبع الدالة، لكن لما أقول
absolute maximum و absolute minimum، بدي أدور أكبر
قيمة على الفترة كل المعرف عليها الدالة، وأقل قيمة
على كل الفترة المعرف عليها الدالة، شايف شو الفرق
ما بين الاثنين؟ فرق شاسع، إذا كل absolute maximum
أو absolute minimum هي local maximum أو local
minimum، لكن العكس ليس بالضرورة صحيحا، تمام؟ طيب،
هذا لغاية، هذا لغاية النقطة هذه، تعالى شوف النظرية
هذه، ايش بتقول؟ النظرية بيقول لو كان الـ F لديه
local maximum أو local minimum value عند interior
point موجودة في دومين الدالة وكانت المشتقة معرفة
عندها، لازم تكون المشتقة عند هذه النقطة تساوي كده
تساوي zero أنا قرأت النظرية بالعربي وشوفوا قراءتي
هذه صح والله خطأ أنا لما قرأتها فهمت ما هي.. بدي
أروح أجيب الدالة وأشتقها أشتقها ولو أشتقها بدي
أشوف ما هي القيمة اللي عند المشتقة تساوي zero
القيمة اللي عندك تشتقها تبقى تساوي zero بتبقى هي
local maximum أو local minimum قراءتك صح ولا غلط؟
عين الخطأ أنت قلبت الموضوع مئة وثمانين درجة الدالة
ما قالتش هيك، الدالة بتاعت نظرية ما قالتش هيك هذا
مفهوم خاطر طب بدنا نقرأ صح بقوله آه الدالة لو كان
لها local maximum أو local minimum إن وجد الـ local
maximum و الـ local minimum لهذه الدالة كان موجود
تمام ممتاز جدا، من المشتقة عند هذه المواقع المعرفة
الحدث ذلك يجب أن تكون المشتقة تساوي كده؟ zero شو
يعني المشتقة تساوي zero؟ يعني المماس للمنحنى
يكونوا أفقيا موازن لمحورك تعالى نشوف كلامنا هذا
على الطبيعة صحيح ولا لأ أنا عند هنا ايش قلت؟ Local
maximum لو جيت رسمت مماس يبقى هذا م
value له ال function مش هي كتبنا اللي لعلوان المرة
اللي فاتت فهيبقى بدنا نيجي لل extreme values هذه
بيقول لي دلّا if has extreme values only in the
following places وانا روح ادور على ال extreme
values لمين لهذه الدالة، القيم القصوى لمين لهذه
الدالة، فبقوللي في ثلاثة مواقع، الموقع الأول عند
النقاط الداخلية للمشتقة عندها يسوى وين؟زيرو فعلا
هاي C1 وC2 وC4 يبقى هاي المواقع اللي المشتقة عندها
تسوى Zero إذا هادي Extreme value عند C1 و Extreme
value عند C2 و Extreme value عند C4 النقطة الأولى
النقطة الثانية بدك interior point بهاي المشتقة
عندها مالها غير معرفة يبقى باجبيه عندها C3 هل
المشتقة لأ يبقى هاي أربعة extreme values تلاتة
المشتقة عندهم معرفة وتساوي zero الرابعة المشتقة
عندهم ما لا غير معرفة خلصنا؟ ما خلصناش لسه نقطة
تالتة بيقول ال end points of the domain of
function إذا عندك closed interval أو closed من شجة
و open من شجة تانية بدك تروح عندك closed تحسب قيم
الدالة لأن ده اعتبر قيم متطرفة إذا القيم المتطرفة
للدالة هي القيم اللي بتكون عندها طرفي ال interval
وكذلك إذا المشتقة عندها تساوي zero أو المشتقة
بتكون مالها غير معرفة يبقى من دور على ال extreme
values في ثلاثة مواعِظ، ادر بالك اه، ركزي كويس،
بعد شوية بدنا ناخد أمثلة على ذلك، بدروح أدور وين
ال extreme values، بدأ اشتقو ساوي ب Zero واطلع قيم
X اللى بتخلى المشتقة تساوي Zero اتنين بدى أدور على
القيم اللى بتخلى المشتقة غير معرفة تلاتة بروح أدور
ورا على الانفوس بكون جبتله Extreme values طبعا
يبقى هاية كل الكلام النظري حاطنا على الرسمة تبعتنا
أجاني التعريف تاني
ماذا يعني نقاط حرجة لدالة؟
اللي المشتقة عندها تساوي Zero أو المشتقة عندها بس
in third point مش الأقراف يعني لو جينا سألنا حالنا
من خلال الرسم اللي عندنا ما هي ال critical points
بقولوا قداشر؟ أربعوC2 وC4 المشتقة عندها تساوي Zero
C3 المشتقة عندها Undefined يبقى هدول الأربعة هم ال
critical point نواصل ما كنا نتحدث به ونحاول أن
نجمل ال remark و ال definition بإتنين بمعلومة نجمل
اتنين بالمعلومة التالية المعروف بالتالية يقول from
the above remark and definition هاي ال remark و
هاي ال definition ايش بيقول هذا؟ we say that أن
the extreme values of هالحطلك بكلام في الملاحظة
التالية remark the
function the function f may have may have a
critical point may have a critical point at x
يساوي c and this point وهذه النقطة need not be
بـ Local Extreme Value مثال
شوف
يا سيدي بتقول ليه؟الدالة F ممكن يكونها critical
point عند X يساوي C لكن هذه النقطة ليست بالضرورة
أن تكون extreme value احنا نقول extreme value
المشتقة عندها بال zero أو غير معرفة أو end point
طبعا هنا بيقولوا لو عندك critical point ليس
بالضرورة أن تبقى extreme يعني مش كل critical point
هي extreme value لكن العكس طبعا كل value أكتر يجب
أن تكون كراتيكال points بس بشرط ما تكونش in points
طبعا طيب ندى النقطة هذه لو قلت لك خد لل F of X
يساوي X تكعيب اشتغل
يبقى F prime of X يساوي كده؟ تلاتة X تربيع هذه
بتساوي Zero وكتير
السؤال هو هل هي extreme؟ يعني هل عندها local
maximum أو local minimum تعالى نشوف هذا ال F of X
يساوي X تكعيب هذا محور X هذا Y هذه نقطة الأصل اللي
هي Zero لو جيت رسمت المنحنة اللي عندنا ديجيك
المنحنة بالشكل هذا يبقى هذا Y يساوي X تكعيب وين ال
Zero و أيه ال Zero بتاخد open interval حوالين الـ
zero حوالين هذه، مشان يبقى local maximum، بديها
تبقى هذه أكبر قيمة حوالها ومش هتكون local من
الوطني بهذه أقل قيمة في الفترة اللي حوالها، بنقول
والله كويس جينا حوالين ال zero، اللي جت قبل ال
zero قيمة دالة سالمة، بعد ال zero قيمة دالة يعني
هذا ما طلعتش أكتر من اللي حواليها و الله أقل من
اللي حواليها، مظبوط ولا لأ؟ إذا بنفع هذه تبقى
local maximum أو extreme value يبعتلك الله يبقى
من هنا قولنا x الساوية زيرو is a critical point
but ولكن ال x الساوية زيرو is not an extreme
أو Extreme Value لاحظ
أن ال F' موجود وتساوي 0 لكن هذه النقطة Critical
Point لكنها ليست Extreme Point خد هنا مراجعة لو
أخدت F of X يساوي X أس تلت إذا الدالة هي دي ال F is
defined at X يساوي Zero ده لا معرفة صحيح ولا لأ طب
خد F prime of X يبقى تلت X أس سالب تلتين يعني واحد
على تلاتة X أس تلتين هل هذه المشتقة معرفة عند Zero
لأ يبقى هذا بدي اعطيه لإن ال F prime is undefined
at X يساوي Zero المشتقة ماهياش معرفة عند Zero
معناته هذي critical points يبقى سا ال X يساوي Zero
is a critical point but
not an extreme point
تعالى تشوف هذا على الطبيعة يبقى لو جينا احنا رسمنا
هذه الدالة هذا محور X وهذا Y مرت علينا الدالة كتير
قبل ذلك مش اول مرة يبقى الدالة لو روحنا رسمناها
تجيني مش شكل هذا هيك يبقى هذا Y يساوي X أس طول أو
الجذر التالت ل X تمام؟
يبقى هذا الجذر التالت ناقص اتطلع عند ال zero هو
the open interval حوالين ال zero قبل ال zero
السالب أو بعد ال zero موجبة يعني لا local maximum
ولا local minimum يبقى no extreme value يبقى هذه
ليست extreme value يبقى not extreme point يقول
extreme value وبلاش point يبقى extreme value تمام؟
يبقى ممكن نقطة تبقى critical point، لكنها ليست
extreme value، هذه الملاحظة اللي بنقولها طيب، بدنا
نطرح السؤال التالي و نحاول أن نضغط الإجابة عليه،
ثم نبدأ إلى أمثلة على كل ما سبق، أمثلة عملية
السؤال بيقول ما يأتي how to find كيف
بدك توجد the absolute extreme
values
of continuous function
on the closed interval a وb الإجابة كالتالية
answer الإجابة
كالتالية النقطة الأولى أحسب
الـ F at all
critical points
نقطة
ثانية والاخيرة
أخذ الأكبر والأكبر
والأكبر
من هذه القيم مثال
أول مثال Find the absolute extreme
values
of the following functions
on
the given interval
given interval and اجرح
the function number a f of x يساوي أربع ناقص X
تربيع و ناقص ثلاثة أقل من أو يساوي X أقل من أو
يساوي الواحد
هاللي موجود .. هاللي موجود بدنا هي
طيب السؤال مرة تانية بقولك كيف بدك توجد ال
absolute extreme values هي جمعك بسيط اللي ما
extreme كنت قولك absolute extrema و سكت انا قولتك
absolute extreme values of continuous function على
الفترة a و b يبقى على الفترة a و b كيف بده اوجد ال
absolute maximum و ال absolute minimum لذلك احنا
المرة اللي فاتت بقينا بنجده من خلال الرسم نرسم
وندور ونأكي على قيمة على رسم أقل قيمة نقول هذه
absolute maximum وهذه absolute minimum الآن بدنا
نستخدم المشتقة في التعرف على وين ال critical
points وين ال extreme values ومن خلالها نجد اللي
هو مين ال absolute maximum و ال absolute minimum
دي بقى بنعمل خطوة تانية أول خطوة بدنا نحسب ال
critical points و ال inputs
أكبر قيمة عند هذه النقاط أكبر قيمة عند هذه النقاط
أكبر قيمة عند هذه النقاط نبدأ نطبق هذا الكلام على
أمثلة متعددة طبعا هذا المثال اللي بين أدينا جليهات
ال absolute extreme values لكل من الدول التالية
على الفترة التي قرسمها هذا السؤال أخدناه المرة
الماضية بنحل الان عمليا مش زي الرسم المرة الماضية
احنا فعلا رسمنا المرة الماضية وكان رسمها على الشكل
التالي هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الاصل Zero
وعند الأربعة بالشكل هذا وهنا واجف وين؟ عند اللي هو
الواحد وهنا هذا اللي هو سالب واحد وهذه سالب اتنين
وهذه سالب تلاتة ونزل اننا لمين؟ لغاية هنا جداش
اللي هو سالب خمسة تمام؟ وهذه اللي هي الأربعة هنا
المرة اللي فاتت قولنا حسبنا قداش F of سالب ثلاثة
طلعت سالب خمسة و قولنا F of Zero يساوي أربع يبقى
here ال absolute maximum و ال absolute minimum
الآن مديش اشتغل بالكلام اللي فات مدي اشتغل الشغل
الرياضي من اللي اتعلمنا اليوم بقوله ماشي الحال
يبقى أول شغلة بتروح اجيب له main F prime of X اللي
هو ناقص اتنين X تمام بنسويها ب Zero في غيرها يبقى
بقوله is the only بدل a is the only critical point
of the function f يبقى هذه هي critical point
الوحيدة يبقى بضروح ادور عندها وين كمان عند ال end
point تمام يبقى بضروح اجيبله ال F of zero يساوي
أربعة ناقص زيرو لكل تربيع يساوي قداش أربعة بروزها
وروح وخلهم بعد ذلك نجيب ال F of A و ال F of B يبقى
بده أجيب له ال F of سالب تلاتة يبقى أي أربع ناقص
ناقص تلاتة لكل تربيع يساوي سالب خمسة بعد ذلك بدي
أجيب له ال F of واحد أربعة ناقص واحد تربيع يساوي
كده؟ يساوي تلاتة هدول التنتين هم عند ال end points
اللي هو سالب واحد و تلاتة وهدي مين؟ هدي ال
critical point وهدي end at ال critical point
طب هاي حسبت كل القيم، من هدالة التلاتة، بتشوف أكبر
قيمة تبقى هي ال absolute maximum و أقل قيمة هي ال
absolute minimum، بادي يعني، مين الكبيرة فيهم؟
أربع
absolute maximum قداش 4 at x يساوي 0 ال F has
absolute minimum سالب خمسة at x يساوي قداش سالب
تلاتة المرة اللي فات بجيه نجيبنا الرسم الآن بدينا
نحسب حسابات دقيقة نجي ناخد المثال اللي بعده يبقى يا 382 00:38:09,8
وَهذا نقطة الأصل اللي هي Zero هذه shift جهتي
اليمين للـ absolute value بمقدار خمسة وبالشكل اللي
عندنا هذا تمام؟ بس قداش هذا اللي بدنا نعرفه الآن
ونحدده على الرسمة يبقى عند الخمسة دالة قابلة
للإشتقاق؟ لأ لإن عندي الخمسة المشتقة من اليمين
تختلف عن المشتقة من الشمال يبقى هنا بقول لـ at الـ X
يساوي خمسة الـ F prime is undefined لكن هل الدالة
معرفة عند X يساوي خمسة أو لا؟ معرفة، الدالة معرفة،
بس المشتقة اللي مش معرفة يبقى at X الـ F prime is
undefined يبقى هذا يعطيك أن X يساوي خمسة is a
critical أو إذا بدك Extreme كمان Critical and
Extreme
Value طيب تمام معناته بدنا نحسب F of خمسة فيه بره
Extreme Value؟ في شغالة يبقى دي the only extreme
value أو the only critical point يبقى F of خمسة
absolute value لـ خمسة ناقص خمسة و يساوي كده؟ Zero
بدنا نروح عند الطرفين يبقى بدنا نيجي ناخد F of
أربعة absolute value لـ الأربعة ناقص خمسة absolute
value للسالب واحد يبقى بواحد يبقى هنا عند الأربعة،
هي الأربعة بتيجي قبلها ممنوعة تطلع أكتر من واحد،
يبقى النقطة هذه إحداثياتها أربعة وواحد بعد ذلك
نجيب F of سبعة يبقى absolute value لـ سبعة ناقص
خمسة و يساوي قداش؟ اتنين يبقى هي بتيجي لك هي الستة هنا
و هي السبعة هنا اطلع النقطة هذه لسبعة و اتنين يبقى
هذا شكل الدالة فقط بغير باقي القيم اللي عندنا هنا
الـ F of خمسة بزيرو والـ F of أربعة بواحد والـ F of
سبعة باتنين مين الـ absolute maximum؟ سبعة ومين الـ
absolute minimum؟ الخمسة اللي هو Zero عند X يساوي
خمسة يبقى من هذا الكلام بقدر أقوله ما يأتي الـ F
has absolute minimum
zero
at x يساوي خمسة الـ F has absolute maximum اتنين
at x يساوي كده؟ at x يساوي سبعة
المثال الثاني example two determine
determine
the critical points of
the الـ function لدالة f of x يساوي x تربيع على x
ناقص اثنين
قال لي هات لي النقاط الحرجة للدالة اللي عندنا هذه بس
اللي بدهوا absolute maximum بس هات لي النقاط الحرجة
الله يعطيك العفو يقول لي ماشي إذا بدي أشتق وأشوف
وقت إيش بتساوي zero ووقت إيش بتكون غير معرفة يبقى
هذا solution السؤال هو هل هذه الدالة معرفة عند X
يساوي 2؟ لأ لأ يعني مثلا عندك X يساوي 2 لا يمكن أن
تكون critical point هذا فيه ملو طلاق ما طلقتش خلاص
بقول كفى الله المؤمن القتال تمام يبقى باجي بقول أول
خطوة الـ F is undefined
at x يساوي اثنين وكأنه الـ domain تبع الدالة من و
لا و اين من سالب infinity لغاية اثنين و اثنين
لـ infinity يعني هذا بده يعطينا كأنه domain الدالة F
بده يساوي من سالب infinity لغاية اثنين اتحاد اثنين
و infinity يعني استبعدنا من الـ real line بس فقط من
اثنين فبنجي نشتق الدالة يبقى الـ F prime of X يساوي
المقام في مشتقة البسط باثنين X ناقص البسط في مشتقة
المقام على مربع المقام الأصلي يبقى هذه بدها تساوي
أن الـ F prime of X بده يساوي اثنين X تربيع ناقص
أربعة X ناقص X تربيع على X ناقص اثنين لكل تربيع
يعني X تربيع ناقص أربعة X على X ناقص اثنين لكل
تربيع لو أخذت الـ X عامل مشترك بيظل الـ X ناقص أربعة
على X ناقص اثنين لكل تربيع إذا مشان أجيب الـ
critical points بدي أشوف وقت إيش بتساوي zero وقت
إيش ما هيش معرفة مظبوط يبقى لو حطيت الـ F prime of
X يساوي zero هذا معناه إن X في X ناقص أربعة على X
ناقص اثنين الكل تربيع يساوي مين؟ الـ zero مين اللي
بدي يساوي الـ zero؟ البسط ولا المقام؟ لو كان المقام
يساوي Zero كان الدالة صارت غير معرفة يبقى هذا
يساوي Zero only at X يساوي Zero و X يساوي أربعة الـ
F'
كمان is Undefined
at X يساوي اثنين إذا أقول الـ X يساوي اثنين هي
critical point لأ لأن دي غير معرفة عندها من الأساس
مش في domainها برا domainها يبقى ما أقدرش أقول إن هذه
critical point يبقى هنا الـ F present defined at X
يساوي اثنين ولكن الـ X يساوي اثنين is not a
critical point السبب because إن اثنين does not
belong لـ domain الدالة F مش موجودة في الـ domain أو
بالتالي ما هيش critical طب السؤال قال هات لي me
critical points بقول له the only critical points
are الـ X يساوي 0 و X يساوي 4 إيش رأيك هذول extreme
values ولابس ليك سوى اثنين لأ ما يجل إن الدالة غير
معرفة عندها نعطي
كمان مثال
القيم القصوى absolute and local هذه أو هذه سِيان of
the function لدالة
f of x يساوي الجذر التربيعي لثلاثة زائد اثنين x
ناقص x تربيع
سؤال مرة ثانية بيقول هات لي الـ extreme values سواء
كان absolute maximum أو absolute minimum أو local
maximum أو local minimum لـ الدالة f of x يساوي
الجذر التربيعي لثلاثة زائد اثنين x ناقص x تربيع هل
أعطاني interval يعني على كل الـ real line؟ لا مش
صحيح مش صحيح أنت بدك تروح وتشوف الدالة وين معرفة
هذه صحيح وبناء عليه بدك تشتغل إذا أول خطوة بده يحدد
بده يحدد domain هذه الدالة وبناء عليه بده يبدأ
يشتغل إذا لو بدنا نيجي ناخد domain الدالة
بنجي نقوله كل العناصر X بحيث إن كل المقدار اللي تحت
الجذر بديه أكبر من أو يساوي Zero يبقى هذا كل
العناصر X بحيث إنه أظن بقدر أحلل هذا إلى حاصل ضرب
قوسين وأكبر من أو يساوي الـ zero هنا ثلاثة وهنا
واحد وهنا X وهنا X وظلت الإشارة لو قلنا هذه بالناقص
بالناقص يبقى هذه بيكون بالزائد ناقص X وزائد 3X
وزائد 2X يبقى تحليلنا سليم 100% هذه يبقى كل العناصر
X بحيث إن ثلاثة ناقص X في واحد زائد X greater than
or equal to min to zero إذا أنا بروح أحدد الـ
domain من خلال هذه المعلومة إذا بروح أبحث إشارة
كل قوس من هذين القوسين يبقى بدي أروح أقول له بدي
إشارة الثلاث ناقص X بقول له هذا الـ real line
بتاخد الـ zero تبعها وين؟ عند الثلاث هي الثلاث إذا
لو جيت بعد الثلاث زي أربعة، بيصير هذه مالها؟ سالبة،
مظبوط، يبقى هذه سالبة، لو جيت قبل الثلاث زي
اثنين، يبقى موجبة، يبقى قبله موجبة، موجبة، موجبة،
شكلها بعد ذلك بدي أجيب إشارة القوس الثاني واحد
زائد X بياخد الـ zero تبعه وين؟ عند السالب واحد بعد
السالب واحد زي الـ zero بيصير بالموجب يبقى هاي موجب
موجب موجب موجب موجب الأخرى قبل السالب واحد زي سالب
اثنين بيصير سالبة طيب أنا بدي إشارة حاصل الضرب
ثلاثة ناقص X في واحد زائد X يبقى بنجي نقول هي الـ
real line وبروح بحدد الحدود الإقليمية اللي عندي
هاي هنا ثلاثة وهي هنا مين؟ له سالب واحد هنا سالب
هنا موجب هنا سالب طيب أنا بدي هذا الكلام يعني إما
zero أو أكبر من الـ zero موجب إذا ما عنديش إلا الفترة
المغلقة سالب واحد وثلاثة مش مصدق خد أربعة وعوض
في الجذر شوفوا بيطلع معرف ولا غير معرف بتلاقي ما هو
معرف يبقى أصبح domain الدالة هذه بده يساوي الفترة
من عند السالب واحد لغاية الثلاث يعني كل المنطقة
هذه يا شباب برا الحساب وهذه كمان برا الحساب بس
ما عنديش إلا من ولا وين؟ من سالب واحد إلى تغير هيك
ما ليش علاقة فيه طيب تعالى شوية إذا أنا حددت الـ
domain تبع هذه الدولار فبقى كويس إذا بدنا نرجع
نشتغل اللي دائماً اشتغلنا هنا بدنا نروح ندور على مين؟
على الـ critical points اللي يمكن تكون extreme
ويمكن ما تكونش الله أعلم يبقى بدنا نيجي نشتق يبقى
بدنا نروح ناخد له الـ F prime of X فاضل الجذر واحد
على اثنين الجذر ثلاثة زائد اثنين X ناقص X تربيع في
مشتقة مداخل الجذر له اثنين ناقص اثنين X يبقى هذه
بدها تساوي واحد ناقص X على الجذر التربيعي لـ
ثلاثة زائد اثنين X ناقص X تربيع السؤال هو هل
المشتقة هذه معرفة عند السالب واحد والثلاثة؟
معرفة؟ لأ يبقى هذول السالب واحد بدهم يطلعوا من الـ
domain تبع مين؟ تبع الدالة الأصلية يطلعوا يطلعوا
يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا
يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطلعوا يطل
الواحد ناقص x يساوي zero هذا معناه إن x يساوي
قداش؟ يساوي واحد طيب المشتقة هذه غير معرفة عند السالب
واحد والثلاثة عند السالب واحد والثلاثة بيصير المقام
zero تمام يبقى هذول يعتبروا critical points
كذلك المشتقة عندهم مالها؟ is undefined فبنجي نقول له
also الـ F prime is undefined
غير معرفة at X يساوي سالب واحد and X يساوي ثلاثة
حُط سالب واحد بصير هذه سالب اثنين وسالب واحد
بصير سالب ثلاثة وثلاثة zero عدد على صفر مالها؟
نهاية والثلاثة زيها بالضبط تمامًا يبقى solid
critical point كم نقطة؟ أستبعد السالب واحد والثلاثة
بستبعدهمش لأن الدالة معرفة عندهم مش زي السؤال اللي
جاب لي اثنين ما كانش الدالة معرفة يبقى بنجي نقول له
الآن the critical points are اللي هم من؟ الـ X
يساوي سالب واحد والـ X يساوي واحد والـ X يساوي
ثلاثة
طالب الـ absolute وطلب الـ local طيب تعال نشوف الـ
absolute والـ local مين منهم absolute ومين منهم
local
أنت مش عارف ليش وقتاش ابني عرفت إن النقطة هي
extreme value اسمع يا أولى خلنا نتناقش عن ده
وأنتوا نستفيدوا هو هيجاوب اللي حاله أنا متأكد هي
يجاوب وقتاش
في المحاضرات اللي فاتت
لا ما كنتش أجيب مرة ساعة كنت أروح أشتق وكتبنا
هي فوق وقعد في الحالات التالية بيبقى لك سنة فعلاً
هذا كله عندنا إشارة الأمين واحد ناقص X بقول هي ال
real line وهي الواحد اللي عندي الآن بعد الواحد زي
اتنين والتلاتة بتكون سالب أو قبله موجب تمام؟ الآن
بدي أخد إشارة تلاتة ناقص X يبقى بروح وين؟ عندي
التلاتة التلاتة بتيجي بعد اتنين لو أخدت أربعة تبقى
سالب، مصبوح؟ جابلي التلاتة، ها جابلي تزاية اتنين،
بتكون موجب، موجب، موجب، بس ممنوعة ترجع عن سالب
واحد، وهنا ممنوعة تزيد عن مين؟ عن التلاتة، وعيزة
وهنا ممنوعة لحد هنا بس، لإن الـ domain تبع الدالة
كان من سالب واحد لوين؟ لغاية تلاتة بعد هيك بدك تروح
تجيب إشارة اللي هو الواحد زائد الـ X و برضه من عند
هنا لغاية تمينية تلاتة عندي السالب واحد بعد السالب
واحد هاي سالب واحد زي Zero بيصير موجب
مظبوط؟ وبقدرش اجابل السالب واحد بصير سالب بس
ماعنديش يبقى أنا مقيد بالحدود الإقليمية اللي عندي
هذه واي مين؟ واي الواحد يبقى بداجي أخد إشارة واحد
زائد اكس ولا واحد ناقص اكس اللي أنا في البصرة واحد
ناقص اكس على الجذر التربيعي لتلاتة زائد اتنين اكس
ناقص اكس تربيع وهذا الـ real line اللي عندنا يبقى
الفترة هذه سالبة وهذه موجبة يعني الدالة كانت
تزايدية وراحت صارت تناقصية، طبعا؟ يعني الدالة
كانت طالعة من تحت لفوق و من فوق نزلت شوية لتحت، يبقى
الـ absolute maximum جداش، absolute maximum absolute
maximum نين عند X يساوي واحد هذا الواحد و هذا
التلاتة و هذا السالب واحد الـ F has absolute
maximum و في نفس الوقت local maximum لنغيرك من زاد
إلى ناقص and local
ماكسيمم اتنين عند X يساوي واحد يبقى عند X يساوي
واحد فيه عندي absolute maximum و local maximum،
ضال مين؟ ضال عند السالب واحد وعندي التلاتة، إيش
رأيك عندي السالب واحد؟ كانت وين؟ تحت وقادر طالع
وعندي التلاتة كانت فوق ونزلة، يبقى عندي التلاتة
والواحد عشان فيه عندي local minimum وفي نفس الوقت
absolute minimum لأنه أقل ما يمكن وهو الصفر عندهم
يبقى هنا الـ F has absolute minimum and local
minimum at طبعا صفر at X يساوي سالب واحد and X
يساوي تلاتة إيش عرفك انه التنتين minimum لان اتنين
يعطوني مين نفس القيمة و الدالة من تحت اجت طالعة على
فوق و هنا نزلت شوية لتحت و هكذا
ناخد كمان مثال
طب حد فيكم بيقدر يقولي هذه معادلة إيش هي اللي تو
هذه هي Y يساوي الجذر التربيعي تلاتة زيادة اتنين X
ناقص X تربيع حد بيقدر يقولي معادلة إيش هذه؟
طبعا دائرة بس مش دائرة كاملة نصف دائرة أقولي بس
مركزها ماهواش نقطة الاصل يعني هذه ها لو حبيت اعرف
مين هي هذه الدائرة باجي بقوله هذه Y تساوي الجذر
التربيعي هذه مشان تصير مربع كامل بضع فيها واحد و
بطرح واحد يعني هذه أربعة ناقص واحد زائد اتنين X ناقص
X تربيع أربعة ناقص واحد اللي هي بتلاتة ما سويتش شيء
تمام هذه بقدر أقول اللي هو الجذر التربيعي لأربعة
ناقص عامل مشترك بظل X تربيع ناقص اتنين X زائد واحد
أخدت من التلاتة ترامت عامل مشترك اللي هو الإشارة
سالب يبقى هذا الجذر التربيعي لأربعة ناقص X ناقص
واحد الكل تربيع يعني هذه لو ربعت بصير Y تربيع يساوي
أربعة ناقص X ناقص واحد الكل تربيع يعني هذه X ناقص
واحد الكل تربيع زائد Y تربيع تساوي أربعة هذه بس
مجرد معلومات زيادة مش هنأكدك الوضع اللي عندنا يبقى
لو جيت ارسمها باجي بقوله كويس هذا محور X هذا محور
Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero هذه دائرة مركزها
النقطة واحد و Zero يعني Shift جهة اليمين بمقدار
واحد واحد و Zero اللي هي النقطة هذه و نصف القطر
يساوي كده اتنين يبقى هذا اتنين يعني بيصير هذا كله
اتنين يعني هنا جداش بتبقى تلاتة و Zero وهنا بدي
ارجع اتنين له سالب واحد و Zero ونصف القطر اتنين
يبقى بدي اطلع هنا لغاية جد اقل قلي شوية يبقى
الدائرة بتجيلك هيك الشكل اللي عندها هنا هذا بدي
يكون اللي هو واحد واتنين لاحظ هذه absolute maximum
وفي نفس الوقت local maximum وهذه absolute minimum
وفي نفس الوقت local minimum يبقى هذه absolute and
local maximum
المثال الأخير في هذا الـ section هو مثال أربعة مثال
أربعة بيقول find the domain الـ domain و الـ
critical points و الـ
critical points and the extreme values and the
extreme
Values سواء كان absolute and local and local for
the function f of x يساوي x تربيع الجذر التربيعي
لتلاتة ناقص x
عظام الخلع دي كانت هنا منها زمان هذا
الرسمة حد بدهيها
طيب نرجع لسؤالنا مرة تانية قال هاتي الـ domain
أفضلها يبقى خليني نجيب الـ domain قبل ان نبدأ نشتغل
هذه يا شباب تعتبر function وهي تعتبر هي function
تانية وحاصل ضرب two functions حاصل ضرب الـ domain
تبعهم الـ intersection بين two domains هذي الـ
domain تبعها من ولا و يامهذا الـ domain هو الـ
F وكل
العناصر X بحيث أن التلاتة ناقص X بديها greater
than or equal to zero بديت كل الكمية اللي تحت الجذر
أكبر أو يساوي Zero يعني كل العناصر X بيحيطوا ان
تلاتة greater than or equal to X يعني X أقل من أو يساوي
قداش تلاتة يعني من سالب infinity لغاية تلاتة
close من عند التلاتة فهي جيبنا له المطلوب الأول من
المسألة أجرنا الرسم هذا انتهينا منها
طيب انتهينا من المطلوب الأول المطلوب التاني قال
هاتلي the critical points الـ critical points بده
اشتق وأسوي بالـ Zero أو تبقى غير معرفة باجي بقوله
كويس يبقى بده أجي أخد الـ F prime of X هذي مشتقة
حاصل ضرب دالتين الدالة في مشتقة الدالة الثانية واحد
على اتنين الجذر التربيعي اللي ثلاثة ناقص X في مشتقة
ما تحت الجذر اللي هو الجذر بسالب واحد يبقى هذه
الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد مشتقة الدالة
الأربعة X تربيع كله على اتنين الجذر التربيعي لتلاتة
ناقص X يبقى أصبحت النتيجة على الشكل التالي اتناشر
X ناقص خمسة X تربيع على اتنين الجذر التربيعي
لتلاتة ناقص X يعني هذا لو أخدت الـ X عامل مشترك بظل
12-5x كله على الاتنين الجذر التربيعي اللي تلاتة
ناقص x لو حطيت هذا الكلام يساوي Zero هذا بدي أعطيك
مين؟ الـ bus هو الذي يساوي Zero يبقى هذا يعطينا
مين؟ يعطينا ان X في 12 ناقص خمسة X بدي يساوي Zero
هذا بدي يعطيك ان X يساوي Zero و X يساوي 12 على
خمسة طيب سؤال هل المشتقة معرفة عند التلاتة؟ لأ طيب
التلاتة في الـ domain تبع الدالة؟ موجودة يبقى باجي
بقوله هنا الـ F prime is undefined
عند X يساوي تلاتة من هذا الكلام بس تنتج الـ points
اللي هم مين؟ X يساوي Zero والـ X يساوي اتناشر على
خمسة and الـ X بدي يساوي تلاتة are the critical
points
أو absolute minimum لمين؟ لهذه الدالة طيب لاحظ ان
التلاتة هادي هي end point لمين؟ للـ function اللي
عندنا يبقى هي كل القيم اللي بدي احسبهم بس وين في
تلاتة مواضع يبقى بداجي أقوله بدي احسبله الـ F of
Zero قداش تساوي؟ Zero مظبوط بدي أحسبله الـ F of 12 على
5 هو يساوي 12 على 5 الكل تربيع في الجذر التربيعي
اللي تلاتة ناقص 12 على خمسة مية وأربعة واربعين على
خمسة وعشرين الجذر التربيعي خمستاشر على تلت أخماس
خمستاشر لخمستاشر على تلت أخماس يبقى هاي القيمة بدنا
نحسبله كمان F of تلاتة F of تلاتة طبعا يبقى صفر
بصفر طبعا يبقى حسبته قداش قيمة الدالة عند النقاط
التلات اللي عندنا لكن انا بدي اعرف هي المشتقة،
إمشي هي المشتقة اللي عندي بدي اشوف وين الـ local
maximum و الـ local minimum و التزايد وما إلى ذلك
يبقى بدي احسب الإشارات اللي عندنا هنا بقوله بسيطة
جدا إذا بروح أخد إشارة من الـ X بقول له هاي الـ line
كله هاي الـ Zero بعد الـ Zero positive وقبل الـ Zero
إيه نجد بس ممنوع تفوت التلاتة صح؟ مش على الاطلاق
إذا لو قلت هنا تلاتة stop ممنوع تتعدىها بعدك بدات
ياخد إشارة اللي هو اتناشر ناقص خمسة X هذا الـ real
line قولنا الـ X عندها بتساوى Zero عند اتناشر على خمسة
اتناشر على خمسة يعني اتنين و خمسين يعني أقل من
تلاتة يعني اتناشر على خمسة بتجيني هنا يبقى هذا
اتناشر على خمسة إذا لو جيت بعد اتناشر على خمسة ها
بعد زي التلاتة مثلا بتكون سالبة مظبوط يبقى هذه هنا
إيه اتناشر على خمسة بتصير سالبة واي تلاتة تتعدى
ولو جيت قبلها تبقى موجبة وخليك ماشي زي ما بدك من
هنا لسالب infinity بتداجر للي بعدها لإتنين الجذر
التربيعي لتلاتة ناقص X هذا الـ real line وهذه بتاخد
الـ Zero تبعها وين؟ عند التلاتة بعد التلاتة ماعنديش
قبل التلاتة زي اتنين دايما وأبدابالموجب يبقى هذا
الموجب بالشكل اللي عندنا هذا كله طيب كويس نحط
الحدود الإقليمية يبقى هذا الحدود هذه الـ Zero وهذه
الاتناشر على خمسة وهذه مين؟ اللي هي التلاتة وهذه
هنا اللي هي الاتناشر على خمسة
وهذه هنا الـ Zero وهذه هنا من التلاتة طبعا زائد في
ناقص بناقص على زائد بناقص زائد في زائد بزائد على
زائد بزائد ناقص في زائد بناقص على زائد بناقص
بالشكل اللي عندنا هنا يعني الدالة كانت decreasing
صارت increasing رجعت decreasing تمام؟ السؤال هو،
في عندي absolute maximum؟ absolute maximum بقولش
local absolute maximum أنا جاي من عندي سالب
infinitive من مجال الله الله صحيح ما بقوله وجاي
نازل
لوكال ماكسيمم وين؟ عند اتناشر على خمسة هذه عند
اتناشر على خمسة عند اتناشر على خمسة F of اتناشر
على خمسة وين جيبناها؟ F of اتناشر على خمسة وين
رقمها؟ يبقى باجي بقوله الـ F
لوكال ماكسيمم هو مية وأربعة وأربعين على خمسة و
عشرين جذر تلت أخماس at X يساوي اتناشر على خمسة
كدوش قيمة الدالة عند الـ Zero لفه Zero وكذلك عند
من عند التلاتة يبقى الـ F has local بنفع كمان
absolute؟ 772