بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله راح نكمل
في تشابتر عشرة اللي هو عن ال infinite series section
عشرة سبعة همنا نحكي اليوم عن ال power series power
series بدنا نعرف بالأول إيش هي ال power series
طبعا power series إما بتكون حوالين x تساوي صفر أو
x تساوي أي نقطة أخرى اللي هي ال a ال power series
حوالين x تساوي صفر يعني شكلها بتكون ∑ cn x
أس n Cn هي عبارة عن coefficients تباعت الـ Series
و الـ X هي عبارة عن أي عدد حقيقي متغير يعني لو فكنا
دي عبارة عن C0 عدد لما نعود بـ N تساوي صفر بيطلع
علينا عدد حقيقي زائد C1 في X زائد C2 X تربيع و هكذا
يعني الأنهاء دي لو احنا وقفنا لعين دليان بتكون هي
polynomial بالأصل لكن لما النهاية تروح إلى ما لا نهاية
بنسميها power series يبقى هي ال power series هي
عبارة عن infinite polynomial infinite polynomial
إذا كانت ال power series حوالين x تساوي a فبتكون
ال series تبعتي بشكل بدل x أُس n يعني x ناقص a أُس
n x ناقص a أُس n يعني لو فكناها بتفكر هذا الشكل ال
a ها دي ال a أو الصفر هنا هو عبارة عن ال center
تبع ال series و ال c هدول c1 و c2 هم ال
coefficients تبع ال series طبعا بكونوا constant مثل
أمثلة على ذلك يعني مثلا لو هنا summation مثلا قلنا
x أس n يعني ال coefficient cn هي عبارة عن واحد
يعني هي واحد زائد x زائد x تربيع إلى آخره فهذه
عبارة عن power series حوالين ال x تساوي صفر مثلا
∑ n زائد اتنين على اتنين أس n هي function
of n هي cn هذه كلها cn في x ناقص واحد أس n هي
الواحد هي ال a ال center تبع ال series يبقى هذه
برضه power series و الـ center تبعها اللي هي واحد
أو about x تساوي واحد و لما لو فكناها بنعوض ب N
تساوي صفر بطلع اتنين بعدين N تساوي واحد باتير هنا
أس واحد و بعدين هنا تربيع و هكذا لاحظوا انها برضه
كولينوميل ولكن غير منتهية طيب ال ∑ اللي X أس N ع
اتنين الان N ع اتنين هذي مش N هذي كسر يعني لو احنا
عوضنا مثلا N تساوي صفر بمشي الحال واحد لكن عندما
تكون ستظهر X أُس نصف لا يجب أن تكون X أُس أعداد
كسريّة يجب أن تكون X مرفوعة على أعداد طبيعيّة يعني
بهذا الشكل يكونوا مثل كل نوميال ملاحظة أن الـ
Geometric series is a power series الـ Geometric
series هي عبارة عن power series و سنأخذ عليها ده
أمثلة يعني حالة خاصة من ال power series هي الـ
Geometric series و أخذنا قبل هيك في الـ Geometric
series برضه أمثلة فيها X يعني مثلا لو قلنا
∑ ل X أس n من N تساوي Zero لما لنهاية هذه
زي ∑ R أس n فالـ R هنا تساوي X الـ X هي
الـ R في الـ Geometric Series الآن هذه الـ Series
هي Power Series وهي Geometric برضه Series و
Converge إذا كان |X| أقل من واحد و Diverge
إذا كان |X| أكبر أو يساوي واحد و كمان مجموعها
في هذه الحالة لما تكون Converge اللي هو واحد على
واحد ناقص X، X اللي هي R يبقى النوع الخاص من ال
power series هي ال geometric series مثل الآخر
∑ (x-2) أُس N على 10 أُس N الآن هادي ممكن
نكتبها بما أن كل أس n واحد الأساس فبتصير (x-2) على
عشرة كل أس n الآن هادي صارت R أس n يبقى هادي power
series و ال .. ال .. ال center بتبعها اللي هو 2 و
.. و برضه هي عبارة عن حالة خاصة من ال power series
اللي هو geometric series يعني هادي عبارة عن
geometric برضه series الآن هادي converge إذا كان
ال absolute value للـ R كلها اللي (x ناقص 2) على 10
أقل من 1 يعني لو فكناها x أكبر من x ناقصين أقل من
10 يعني x ناقصين أكبر من ناقص عشر و أقل من عشر يعني
x أكبر من سالب 8 إلى 12 يبقى من سالب على في ال
interval من ناقص 8 إلى 12 مفتوحة بتكون ال series
هذه تبعتنا converge otherwise بتكون diverge يعني
بعد ال 12 من ال 12 و بعد ال 12 و من ناقص 8 و قبلها
كله بيكون اللي هو diverge يعني |x ناقص من|
الأكبر أو يساوي عشرة إذا ال geometric series حالة
خاصة من ال power series طب لو كانت ال function أو
ال series هذه ال power series ليست geometric
series كيف بدنا نتصرف معاها تعالوا نشوف كيف بدنا
نطلعها الآن في شغل نسميها ال radius of convergence
لل power series ال power series في لها نص قطر ال
convergence تبعها قد إيش نص القطر هذا طبعا هنا في ال
geometric series برضه في نص قطر نص القطر هو عبارة
عن عشرة بنفعش من هنا نقول واحد نص القطر لأ لازم
يكون |x ناقص a| أقل من العدد هذا ف |
x ناقص a| أقل من العشرة فالعشرة هي عبارة عن ال
radius و ال interval هي من ناقص 8 إلى 12 يبقى في
عندي حاجة اسمها ال radius of convergence و في حاجة
اسمها ال interval of convergence طبعا ال interval
مثل ال radius هي نص قطر ال interval
أما نطلعها عن طريق ال interval أو نطلعها عن طريق
ال |x-a| أقل من العدد العدد هذا عبارة عن R
طيب الآن ال series اللي ناخد لو أخذنا ال power
series هذه طبعا هذه شاملة إذا كانت ال a تساوي صفر
فبطلع about x تساوي صفر إذا كان في عدد هنا بتظل إن
x حوالين ال a الآن ال series هذه ال convergence
اللي لها أو ال radius of convergence لهذه ال
series لها تلت حالات تلت حالات لل radius of
convergence الحالة الأولى إنه في عندي عدد حقيقي
موجب R بحيث إنه ال series تبعتي diverges for x
with |x-a| أكبر من ال R ال |x-a|
أكبر من ال R ففي عندي R بحيث ال series في هذه
الفترة أكبر من ال R بتكون diverges و converges
absolutely for x اللي هو |x-a| أقل من ال R
لما تكون |x-a| أقل من ال R يعني زي الأمثلة
اللي فاتت اللي شوفناها بتكون في هذه الفترة الـ
converge absolutely الـ series عند اليساوي
عند اليساوي يعني إيش الـ a-r و a زائد r عند
اليساوي اللي هي نقاط الطرفية عند النقاط الطرفية
طبعا بدها فحص عند كل نقطة لحالة هل هي converge أو
diverge ممكن تكون converge ممكن تكون diverge ليش
لإن احنا راح نعمل test اللي هو ال ratio test أو ال
root test فعند الواحد اللي كنا نقول أكبر من واحد و
أقل من واحد هذا بتكون إيه عشان عند يساوي واحد
بتكون ال test fail فبالتالي بدنا عشان عند النقاط
الطرفية لازم احنا نفحص هذه ال series هل هي
converge ولا diverge
الحالة الثانية من ال radius of convergence إن ال
series تبعتي converge absolutely for every x يعني
for all x هي converge مافيش ولا نقطة عندها diverge
كلهم يعني ما يعني ذلك إن ال interval تبعتي هي كل
الأعداد الحقيقية من ناقص ما لا نهاية إلى ما لا نهاية
يعني في هذه الحالة ال radius يكون يساوي ما لا نهاية
الحلقة الثالثة اللي بيكون عندها ال series converge
عند نقطة إنها تكون converge عند نقطة فقط يعني ال X
تساوي A مثلا ف .. و غير .. و .. و .. و باقي النقاط
بتكون diverge فبهذه الحلقة بتكون ال radius تبعنا
يساوي صفر يبقى الحلقات الثلاث لل radius of
convergence لل power series أما يكون عدد حقيقي
و بالتالي يكون هناك نقاط طرفية أفحص عندها أو يكون
ال radius ما لا نهائية أو يكون ال radius صفر طيب
كيف أنا بدي أفحص هذا أو بدي أعمل test إيش ال test
اللي أنا بدي استخدمه بحيث إنه أشوف ال interval و
ال radius of convergence يبقى how to test a power
series for convergence كيف بدنا نعمل ال test هذا
for convergence طبعا راح نستخدم ال ratio test أو
ال root test فقط راح نستخدم واحد من هدول يعني لو
كان عندي factorials بنستخدم ال ratio test لو كان
عندي powers يعني أسوس بنستخدم ال root test يبقى
بنستخدم واحد من هدول طبعا ال absolute لازم ratio
test و ال absolute root test ليش بنستخدم ال
absolute ال absolute و بالتالي بكون عندي absolutely
convergence ليش لأنه في x و ال x مش معروفة هل هي
موجبة ولا سالبة فبنعتبرها زي ال alternating series
يبقى بنستخدمها to find the interval where the
series converges absolutely طبعا ال series
converges absolutely لما ال x ناقص a أقل من r يعني
x بين a ناقص a و a ناقص r و a زائد r الآن بعد هيك
دقيقاش لازم الخطوة الثانية اللي هو if the interval
of absolute convergence is finite يعني ال interval
هذا اللي A-R و A زائد R test for convergence or
divergence at each end point عند كل end point اللي
بأخذ النقطة X-R وببحث عندها series هل هي converge
ولا لأ و A زائد R بأخذها كمان مرة لحالها وببحث ال
series هل هي converge ولا diverge طبعًا في هذه
الحالة بنشوف ال series إيش اللي بتطلع معنا إذا
كانت series of positive terms قدامي خمسة sets
أستخدمهم إذا كانت ال series alternating series
طبعًا بنعرف برضه كيف نفحص ال alternating series إذا
كانت الخطوة الثالثة أو الخطوة الثالثة if the
interval of absolute convergence اللي هي إنقص R
وزيادة الـR، the series diverges عند باقي النقاط،
الأكبر من R كلها diverges حتى لو بال conditions
عملناها برضه بتطلع diverges بال conditions، ليش؟
لأن هي divergence بالـn term test، لأن limit
للـAN بكون لا يساوي صفر طيب كل هذا الكلام نظري راح
نفهمه كله بالظبط من خلال الأمثلة example find
their radius and interval of convergence of the
power series summation ناقص واحد أس إن ناقص واحد X
أس إن على N الآن هي عندنا إيش power series هذه
power series بدنا نشوف إيش قيم X أو ال interval
يعني الموجود فيها X وكمان ال radius اللي عندها ال
series هذه converge طبعًا otherwise بتكون divergent
الآن نستخدم ال ratio test أو ال root test بال
absolute value
لأ ده سؤال سهل a n زائد واحد على n داخل ال
absolute value ليش قلنا absolute وبناخد absolute
ratio test علشان في عندنا x وال x هذه ممكن تكون
موجبة وممكن تكون سالبة لأن a n زائد واحد لما أخد
absolute value الناقص واحد هذه of n بتروح ليش لإنه
داخل ال absolute value السالب بيصير كله موجب
فبالتالي هذه بكتبهاش بالأصل بالمرة بكتبهاش ليش؟
لأنه أخدت أنا ال absolute value فبال absolute
value ما بروحش بكتب هنا جوا a n زائد واحد بحطها دي
بدل ال n n زائد واحد وبحط الناقص واحد وبعدين
أقعد أختصل فيهم، لأ هذا كله الناقص واحد بلغيّه
تمامًا، ليش؟ لأنه احنا أخدنا ال absolute value بنحط
الـ N X plus N زائد واحد على N زائد واحد على N يعني
ضرب مقلوبه ضرب N على X plus N الآن بنختصر هذه مع
هذه بيظل X في ال bus هنا وهنا بيظل N على N زائد
واحد يبقى N على N زائد واحد وطلعناها خارج ال
absolute value لإن هي ال N موجبة هذا كله موجب بيظل
X داخل ال absolute value لإن X مجهولة مش معروفة هل
هي موجبة ولا سالبة الآن بناخد في ال ratio test طبعًا
إيش بنعمل بس بنعمل ال AN زائد واحد على ال AN ونجيب
ال limit لما انت قول إلى مال نهاية لما انت قول لما
لنهائي إيش limit هذا طبعًا درجة بس تساوي درجة
المقام وبالتالي ال limit واحد يعني بيظل absolute
value of X يبقى ال limit له يقول ال absolute value
of X لأن في ال ratio test بتكون هت converge إذا
كانت أقل من واحد وأكبر من واحد diverse وعند اللي
يساوي واحد ال test fail اللي هو بدنا نفقص إنت هيبقى
هاي الثلاث حالات اللي قبل شوية حكيناهم في الثلاث
خطوات الآن أول شيء بنحكي هذه أقل من واحد أقل من واحد
بالواحد طبعًا هي ال R هي ال radius هي absolute X
أقل من واحد فالواحد هي عبارة عن ال radius يعني لو
فكينا هذه ال absolute value إن X بالنقص واحد إلى
واحد يعني إننا في هذه الفترة converge absolutely
ليش converge absolutely علشان احنا عملنا absolute
ratio test فبتكون هذه الفترة فيها converge
absolutely طيب عند اليساوي واحد قلنا ال test fail
يبقى لازم أفحص عند الأكبر من واحد diverge يبقى هاي
الحالات كلها أقل من واحد converge أكبر من واحد
diverge بيظل عند الي يساوي واحد بدنا نفحصها ونشوف
هل هي converge ولا diverge لإن هذا ال test failed
عند الي يساوي واحد يعني يعني هنا بيكون في إشارة
يساوي يعني في عندنا X تساوي سالب واحد و X
تساوي واحد بدنا ناخد كل حالة منهم على حده يبقى عند
ال X تساوي سالب واحد بنروح لل series الأصلي يعني
لأن هذه القطة وخلصناها بناخد هذه النقطة ونعوض هنا
بالـ x بساوي سالب واحد بنعوض هنا سالب واحد هي سالب
واحد بيصير سالب واحد قُوة إن الآن هدول بنجمع هدول
الأساسات واحدة بنجمع الأسس الأسس بيصير اتنين إن
ناقص واحد لأن هذا الأس قُد وبالتالي ناقص واحد أس
قُد فبيبقى ناقص واحد فبيبقى ناقص واحد على N الناقص
تطلع برا ال series بيبقى ال series واحد على N ده
هي ال series اللي طلعت معناها طبعًا هذه ال series
معروفة إنها diverse لإنها harmonic series ولا بدها
test ولا إشي لإنها إيه عشان معروفة يبقى هذه ال
series معروفة harmonic series وبالتالي هي diverse
يبقى عند النقطة X لساوية سالب واحد ال series
تبعي إنها diverse for x equal 1 نرجع ثاني لل series
وينعوض بدل x equal 1 هينعوضنا واحد واحد أس إن
equal واحد فطلعت معنا ال series هذه لأن ال series
هذه إيش نوعها برضه بدهاش test لإنها معروفة هي
عبارة عن ال alternating harmonic series AHS
alternating harmonic series ومعروف إن ال
alternating harmonic series هي converge هنا
conditionally converge conditionally طبعًا هذي احنا
حاضرينها وعارفينها إذا معنى هذا الكلام إن ال
interval تبعتي of convergence الناقص واحد مفتوحة ولا
مغلقة وهي عند الواحد converge conditionally و
عند الناقص واحد ال diverge وعند الناقص واحد
diverge من ناقص واحد إلى واحد converge absolutely
وباقي النقاط غير هدول النقاط بتكون ال scene ال
diverse طبعًا ال radius برضه يساوي واحد أما هي طول
الفترة هذه اتنين بنقسمها اتنين بناخد نصها اللي هي
تساوي واحد أو من هنا من هنا على طول بنقول من هنا
الـR تساوي واحد الآن نشوف مثال آخر Series ناقص واحد
برضه أس N ناقص واحد X أس 2N ناقص واحد على 2N ناقص
واحد الآن بدنا نعمل برضه عليها test اللي هو ال
absolute برضه ال absolute ratio test AN زائد واحد
على AN داخل ال absolute value وقلنا الناقص واحد
هذه بنلغيها بالمرة لإنه داخل ال absolute value هو
بيصير موجبة وبنروح إيش كل N هنا بنعوض بدلها N زائد
واحد على اتنين إن يعني الآن هذه الأس زي المقام يعني
هذه المقام 2N زي 2N ناقص واحد اللي هي
2N زي واحد على a n يعني ضرب مقلوب الآن فبتصير
2N ناقص واحد على x أس 2N ناقص واحد
الآن هذه مع هذه بنختصرهم فبظل عندك x تربيع في ال
bus وبظل في ال bus اللي هو 2N ناقص واحد على
2N زائد واحد الآن ال limit لهذا الكلام لما X
تقول ما لنهاية طبعًا هنا درجة البس تساوي درجة
المقام إذا بيصير إيش اللي هو اللي بناخد المعاملات
اللي هو 2 على 2 و1 فبظل عندنا إيش X تربيع يبقى ال
limit لهذا يساوي X تربيع وممكن نشيل ال absolute
value لإن X تربيع موجبة الآن هي وجدنا ال limit في
ال ratio test الآن بتكون ال series converge إذا
كانت أقل من 1 إذا كان هذا أقل من 1 يعني لو أخدنا
الجذر التربيعي للطرفين جذر ال X تربيع أقل من واحد
يعني X من ناقص واحد إلى واحد طبعًا في هذه الفترة ال
series تبعتنا converge absolutely وكمان مرة ليش
قلنا absolutely عشان احنا عملنا absolute test وليس
reference مباشرة بضل إيش وأين بدنا نفحص طبعًا خارج
الواحد والناقص واحد يعني لما تكون ال extra بيه
أكبر من واحد بتكون ال series diverse عند اليساوي
بتكون fail ال test fail وبالتالي لازم نبحث عند
اليساوي يعني عند اليساوي اللي هنا يعني عند الناقص
واحد والواحد الآن نشوف عند الناقص واحد عند الناقص
واحد يعني بنرجع لل series تبعتنا ونعوض بدل ال X
تساوي سالب واحد ال X هنا بنعوض بدلها سالب واحد
الآن سالب واحد قُوة 2N ناقص واحد مع هذه
بنجمعهم بيصير 3N ناقص 2 الآن 3N
ناقص 2 يعني هذه لو احنا عوضنا إن تساوي واحد
بتطلع سالب واحد لما إن تساوي 2 3 في
2 ستة ناقص 2 أربعة يعني بتطلع واحد يعني
مفكوك هذه مرة ناقص واحد واحد ناقص واحد واحد وهكذا
يعني ممكن نفقها بشكل ناقص واحد بدل القوس اللي
كونها القوة الكبير هي نفسها ناقص واحد قسمة ان لما أنتو
ساوي واحد بتطلع ايش ناقص واحد قسمة واحد فبتطلع اول
pair ناقص واحد انتو ساوي اتنين بتطلع واحد انتو
ساوي ثلاثة ناقص واحد وهاكذا نفس ما هو ممكن بطريقة
أخرى أن هذا الأس او n وبالتالي هذا ناقص واحد ناقص
واحد ونجمع مع الأس هذا او بنعمله من هذه الطريقة
لأن هذه .. هذه ال series اللي طلعت بدنا نشوف هل هي
converge ولا diverge طبعا ال series هذه بره
alternating series بدنا نشوف هل هي converge
conditionally أو absolutely طيب او .. او diverge
الآن بناخد ال summation ل absolute ال a nاللي هي
بالواحد ناقص واحد اثنين بيظل واحد ع n ناقص واحد
بنعمل لها limit comparison test مع واحد على n هي
ال limit بتاعهم بيطلع نص اللي هو L الآن ال series
هذي diverge وبالتالي هذي ال series بتطلع diverge
يبقى بال absolute value ايش طلعت diverge يبقى ايش
بدنا نعمل بدنا نعمل ال conditions التلاتة
conditions يبقى ال alternating series بتكون may
converge or may diverge مدام هذي ال series diverge
ايش بدنا نعمل بدنا نعمل فيه conditions بناخد u n
اللي هي تساوي واحد ع n ناقص واحد بنطبق عليها
التلات شروط طبعا هي موجبة وهي تفاضلها سالب يعني
decreasing وهي limit هي الى صفر يبقى التلات شروط
انطبقوا يبقى ال series تبعتي converge
conditionally يبقى ال series عند ال x تساوي سالب
واحد converge conditionally فهيبقى ال x تساوي واحد
برضه بنروح بنعوض عليه في ال series اللي فوق بال x
تساوي واحد فبصير هي ناقص واحد أس n ناقص واحد في
واحد
الآنها دي برضه alternating series هي نفس ال series
اللى فوق هنا نفس ال series ها دي هي هي ال n او n-1
مفارقةش لكن نفس هذا ال series فهي نفس الحل هذا
ما بنرجعش نقيده مرة تانية يبقى هي converge
conditionally هي as before زي نفس الخطوات هي اللي
احنا عملناها لانها نفس ال series تلعب معناها اذا
صار عند الواحد وعند سالب واحد التلكين converge
converge conditionally وبينهم converge absolute
يبقى ال interval of convergence ناقص واحد واحد
مغلقة وال radius of convergence يساوي واحد سؤال
التالت summation ل x أس n على n factorial نعمل ال
ratio test absolute ratio test a n زائد واحد هي x أس
n زائد واحد على n زائد واحد factorial على a n يعني
ضرب مقلوبها الآن هادي على هادي بيظل x في البسط و
هادي على هادي بيظل n زائد واحد في المقام فبيكون ال
limit بيقدر بهذا الشكل absolute x وهي من طلعها من
تحت ال absolute value الآن ال limit لهذا لما انت
تقول الى مال نهاية يعني absolute x على مال نهاية
ايش بيطلع ال limit؟ صفر دائما أقل من 1
وبالتالي ال series هد converge for all x راحة x
يبقى في أي قيمة ل x تختارها هنا دائما ال limit 0
وال 0 أقل من 1 بس ال series تبع ت converge for
all x تبع converge absolutely for all x يعني ال
interval of convergence هي من ناقص مالا نهاية لمالا
نهاية وبالتالي ال radius يساوي مالا نهاية وهد الحلقة
التانية اللي حكينا عنهم بالحلقة فال summation ل n
factorial x أس n برضه جينا نعمل ال ratio test ن
مضلها n زائد واحد و x زائد واحد على ال a n اللي هي
n factorial في x زائد واحد طبعا هذه بنختصرها مع
هذه بيضل n زائد واحد في البسط وهي مع هاي بيضل x في
البسط شلنا ال absolute value من هاي وحطيناها على
ال x لان ال limit لهذا عندما تقول إلى مالا نهاية
تصبح مالا نهاية في أي عدد موجود هنا مالا نهاية
طبعا ما عدا إذا كان العدد هذا صفر لو كانت ال x
هذه صفر صفر في n زائد واحد قبل ما نوجد limit بطلع
صفر و limit الصفر يساوي صفر يبقى هذا ال limit
مالا نهاية عند كل الأعداد ما عدا عندما ال x تساوي
صفر بطلع صفر المعنى ذلك أن ال series تبع ت converge
النقطة واحدة وهي r صفر اذا ال radius
of convergence يساوي صفر و هذه الحالة التالتة اللي
حكينا عنها بالحلقة كمان
سؤال على series عادية اللي هو الصممة لهذا المقدار
كله طبعا هنا برضه بدنا نعمل ratio test absolute
ratio test طبعا ناقص واحد أس n خلاص بنشيلها بنقطع
ثلاثة أس n بيصير ثلاثة أس n زائد واحد وهذا بيصير
أس n زائد واحد على و n زائد واحد الكل تربيع وبعدين
زائد واحد ضرب مقلوب ال a n الآن بدنا نختصر ثلاثة
أس n وثلاثة أس n زائد واحد بيظل ثلاثة في البسط
الآن هذه وهذه بيظل عندك 2 x زائد واحد في
البسط و هدولة ما فيش اشي يختصر بينهم بيظلوا زي ما
همنا فده هو a n مقبلة الآن ال limit لهدا لما انت
تقول لما لنهاية طبعا ثلاثة في هذا بيظل داخل ال
value وال limit لهذا درجة البسط هذه n تربيع ودرجة
المقام برضه n تربيع يبقى limit لهذا واحد فبيظل عندك
ثلاثة في absolute 2 x ناقص واحد هذا ال limit يكون
هذا ال series converge اذا كان هذا ال limit اقل من
واحد أو diverge اكبر من واحد عند الواحد فيه
وبالتالي بدنا نوجد ايش ال interval طبعا بنحلها هذه
بنقسم على ثلاثة بالاول وبعدين بنفتر ال absolute
value وبعدين ايش بتطلع x عندنا من ناقص اثنين ع
ثلاثة الى ناقص ثلث الآن ضال ال end points اللي هو
ناقص اثنين ع ثلاثة وناقص ثلث لازم نختبر عندهم طبعا هذه ال
interval ال series عندها غير absolute الآن بدنا
نختبر عند النقطة الطرفية بناخد النقطة الطرفية
الأولى at x تساوي ناقص اثنين ع ثلاثة وبنروح بنعوض في ال
series الأصلية طيب شوية بس بدنا نقول ملاحظة هنا إنه
لما أنا بكتب هذه بقولش الثلث هي r ليش الثلث مش r
لان هذه 2 x زائد واحد لازم تكون x زائد أو ناقص a x
ناقص a مش 2 x يعني لو احنا اخذنا اثنين عامل مشترك
بيصير .. لو أخدت من هنا اثنين عامل مشترك بتصير x
زائد نص أقل من ثلث وقسمنا على الاثنين فتصير هذا
سدس فبطلع ال radius سدس لو احنا بدنا نشتغلها من
هنا نطلع ال radius لكن ممكن احنا نطلع ال radius من
هنا يعني هذه ال interval بنشوف قد ايش طولها وبنقسم
على اثنين طيب لان ناخد عند ال x فهو ناقص اثنين ع
ثلاثة فبنروح بنعوض بدل ال x هذه ناقص اثنين ع ثلاثة
فاتنين في ناقص اثنين ع ثلاثة زائد واحد بطلع ناقص
ثلث فبطلع ناقص ثلث أس n لأن هذه ثلاثة أس n وفي
ثلاثة أس n هنا في المقام بروح مع بعض فبتظل اللي هو
ناقص واحد أس n ناقص واحد أس n مع ناقص واحد أس n
بظل ناقص واحد أس اثنين يعني بروحوا مع بعض بيصير
موجب فبتضل هنا 1 يعني بتضل في الآخر 1
على n تربيع زائد واحد الآنها دي بنعمل لها limit
comparison test مع 1 على n تربيع وال 1 على n تربيع
ال series تبعتنا converge وبالتالي converge طيب
انا ما فصلتش هنا لأنه كثير عدنا فيه فال series ل 1
على n تربيع converge وبالتالي هاد ال series
converge يبقى ال series تبعتنا converge عند اللي
هو ناقص 2 على 3 لان اد x تساوي سالب مالا نهاية عند السالب
مالا نهاية طبعا بنعوض عن ال x فوق هنا سالب مالا نهاية في 2 زائد
1 بطلع ثلث أس n ثلث أس n يعني ثلاثة أس n مع ثلاثة
أس n بتروح مع بعض بتظهر انها ناقص واحد أس n على
n تربيع زائد واحد طبعا هذه alternating series ال
alternating series اللي بنشوفها converge
absolutely ولا conditionally ناخد ال absolute
value بتطلع هذه ال series طبعا هذه ال series هي
نفسها هذه فبالتالي هي converge وبالتالي ال series
تبقى ت converge absolutely إذن صار عندك اللي هو ال
interval of convergence مغلقة من عند النقاط
الطرفية الثلثين ناقص ثلث وناقص ثلث وناخد طول هذه
الفترة ونقل نصها فبطلع طول الفترة اللي هو طول
اللي بتطلع نصها اللي هو سدس اللي هو نصف طول الفترة
أو زي ما قلنا من فوق من خلال ال absolute value
كويس هلقيته؟ ايش؟ نشوف السؤال اللي بعده Formation
ناقص 1 أس n زائد 1 في x زي 2 أس n على n 2 أس n
اللي أنا هنا بدي أعمل عليها دي ال root test ليش؟
لان في عندك أسس هنا و n أس واحد على n معروف قد ايش
الليمت لهذا الآن الجذر النوني لل a n ال absolute
value طبعا ناقص واحد أس n بنحطهاش وبنحط هذا داخل
absolute value الجذر النوني لهذه بتروح ال n هذي و
2 أس n بتروح ال n بيضل هنا n أس واحد على n يبقى n
أس واحد على N وهذي 2 وهذي الأس تبعها هذي الآن ال
limit لهذه لما أنت تقول لما للنهاية بيصير بس ال
limit لهذا وlimit لهذا واحد معروف من خلال ال
table طب يظل عندنا absolute x زائد اثنين على اثنين
طب عن ال series converge إذا كان هذا المقدر أقل من
واحد يعني x زائد اثنين أقل من اثنين الآن هنا ممكن
هادد هنا والاثنين هي الـ R على طول من هنا الـ R
radius of convergence هي اثنين ليش؟ لأنه هاد X
معاملة واحد X زائد اثنين يعني عبارة عن X ناقص A
يعني الـ center تبعي هو عبارة عن ناقص اثنين أقل من
اثنين فالأثنين هي R الآن عشان احنا بدنا .. طبعا
لازم نفك الـ interval هذه على absolute value علشان
نطلع النقاط الطرفية إيش هي؟ فبنفكها يعني بنقول X زي
2 أكبر من ناقص N أقل من 2 يعني الـ X تبعتي أكبر من
ناقص 4 أقل من 0 لأن النقطة الطرفية هذه بدنا نختبر
أنها فبناخد النقطة الأولى X تساوي سالب 4 وبنعوض
بالـ X هذه سالب 4 زي 2 بيطلع ناقص 2 ناقص 2 أس N ناقص 1
أُس N مع هذه تصبح 2N زائد 1 ويبقى 2 أُس N على
المقام الآن 2 أُس N بيختصروا مع بعض وهذه ناقص 1 أُس
4 بيبقى ناقص 1 على N يعني هي برة ناقص المجموع اللي
1 على N طبعا هذه harmonic series diverge يبقى عند
النقطة الثانية اللي هو الـ X ساوي 0 مثلا هو ده الـ X
ساوي 0 يبقى 2 أُس N بتروح من اثنين مع اثنين فبتظهر
لإنها ناقص واحد اثنين زائد واحد على N طبعا هذي
converge conditionally لإنها alternating harmonic
series إذا صار عندك الـ interval of convergence
ناقص أربعة مفتوحة لإنها أنت diverge والسفر إنها
مغلقة لإنها converge والـ R تساوي اثنين أو نصف طول
الفترة الفترة دي طولها أربعة نصفها يساوي اثنين
فضيلة عندنا شغلتين بس مضاريتين بدنا نمر عليهم
اللي هو كيف بدنا .. بدنا بيه x الآن الـ power
series هذه فيها x معناه ذلك هذه الـ series تبعتي هي
عبارة عن function of x function of x إذن بعتبرها
هي f of x f of x تساوي الـ series هذه طبعا ليش؟
لإنها قلنا بكل نومية لغير منتهية فبالتالي هي عبارة
عن برضه function function of x إذا ممكن أنا أفاضلها
وممكن أكملها فبنشوف كيف بدنا أن نفاضل الـ series و
كيف بدنا أن نكاملها الانتفاع دول الـ series عم
بتقوش الـ F prime of X كيف بدنا نفاضلها هذه ال
series طبعا وين هي converge في الـ interval of
convergence تبعتها إذا كانت هذه الـ series converge
في هذه الفترة بـ A ناقص R وA زائد R فتفاضلها برضه
converge if prime تبعتها لـ converge و if double
prime كل التفاضلات تبعتها الـ derivatives برضه
بتكون converge في هذه الفترة اللي عندها الـ series
converge طبعا لو كان عند الـ end points converge لأ
احنا بناخد داخل الفترة لما نفاضل بناخد التفاضل و
نكون داخل الفترة بيكون برضه converge طيب كيف
بنفاضلها؟ طبعا لما بنفاضل series يعني خليني بس هنا
احتاج .. الآن هي مفكوك الـ series هي مفكوك الـ
series كيف بنفاضلها؟ بنروح بنفاضل أولا 3 تفاضل و0
تفاضل و1 هذي تفاضل و2 X وهذي 3 X تربيع و4 X و
4 يبقاش بنفاضل term by term كل term لحاله بنفاضله
والـ term سبعتناه هي نفس الـ term اللي موجودة هنا
هي الـ term سبعتناه هنا يبقى معنى ذلك أنا بدأ فاضل
هذا الـ term اللي جوا الـ term هذا إيش تفاضله؟ اللي
هو N X ناقص A قص N ناقص 1 يبقى هاي f prime of x
تساوي هذه ash تتريباتيف بروح بفاضل الـ ash اللي جوا
طيب هنا بدأ من N تساوي حد ليش بدنا من N تساوي حد؟
لأن أفاضل الـ 1 هو 0 يبقى راح أول term لذلك عندما
N تساوي 0 راح الـ term يبدأ في الـ series من N تساوي
1 طب كيف بدنا نعرف؟ نروح من في الـ أول term عندما N
تساوي 0 يظهر X نقص A أُس 0 يعني أول term هو C صفر
C صفر هو عدد حقيقي ومبتدأ تفاضله صفر إذا تبدأ ال
series من N تساوي 1 طب بدنا الـ second derivative F
double prime إيش بنعمل برضه من الفاضل اللي جوا
بتصير هذه N-1 X-A أُس N-2 طب بنتشوف الـ series
نبتقها من وين؟ من اثنين ولا برضه من واحد؟ الآن
بتشوف أول term لما N تساوي واحد بيصير هذه أُس صفر و
الصفر يعني بيضل هنا وهذه واحد يعني C واحد يعني
هذه إيش C واحد، C واحد عدد حقيقي تفاضله صفر يبقى
الـ term الأول راح فبالتالي الـ series تبدأ من ال
term الثاني اللي هو من N تساوي اثنين وها كذا ممكن
نوجد الـ third derivative أو أي derivative بدنا
يعني طيب أوجد دي بقول أوجد الـ series for f prime
of x and f double prime of x if f of x تساوي اللي
هي الـ series ها طبعا الـ series ها دي هي مفكوكة هي
عبارة عن summation لل x أُس N طبعا هذه الـ series
أخدناها مثال وهي برضه الـ geometric series اللي هي
converge من ناقص واحد إلى واحد ومجموعة يساوي 1 على
1 ناقص x الآن بيدناقش f prime of x اللي هي المشتقة
تبعتها المشتقة تبعتها لـ n x أُس n ناقص واحد طب
البداية هل هي من صفر ولا من واحد بما أن الـ series
تبدأ من واحد يبقى أول pair برة يبقى يبدأ من n
تساوي واحد فمش .. برضه هذه ال .. هذه ممكن لوجد
مجموعة عليه مجموعة هذه يبقى تفاضل هذه تفاضل هذه
إيش يساوي اللي هو واحد على واحد ناقص x اللي كنت
بيبقى يبقى مجموعة هذه الـ series كمان معروف اللي هو
هذا المقدار فبيصير if w prime of x إيش تساوي n ناقص
واحد x أُس n ناقص اثنين طبعا في ال n فبالتالي من
فاضلها .. من فاضل الـ terms اللي جوا كمان برضه لما
n تساوي واحد بيطلع دي x أُس صفر يعني أول term في
هذه الـ series واحد وبالتالي الـ series بتاعتى تبدأ
من اثنين طيب الآن هذه الـ series بنروح برضه .. من
الممكن إنها تساوي هذه يبقى هذه تفاضلة إيش تساوي
اثنين على واحد ناقص x لكل تكعيب يبقى كمان مجموع هذه
الـ series يساوي هذا المقدار
فيها سيريز ثانية اسمها الـ Exponential Function E
أُس X E أُس X هي عبارة عن الـ Sum measure X plus N
على N factorial يعني هي 1 زي X زي X تربيع 2 زي X
تربيع 3 factorial X plus 4 على 4 factorial وهكذا
لأن هذه السيريز بدنا نشوف التفاضل تبعها التفاضل
الأول تفاضل الأول لما نفاضلها هي E أُس X تساوي N X
أُس N ناقص واحد على N factorial طبعا بتنزل زي ما
هي طبعا بما أنه أول term واحد فالـ series تبدأ من
واحد لأن هذه الـ series هي لو أنا اختصرت هذه مع هذه
لو هذه فكيتها بيصير إيش N في N ناقص واحد factorial
بتروح مع ال N فبتضل عندك في المقام N ناقص واحد
factorial طبعا هذه الـ series هي نفسها الـ series
تبعت الـ E أُس X يعني لو احنا اجينا فكناها بنلاقي
المفكوكة هو نفسه هذا أو لو غيرنا الـ index نخليه من
صفر زي هذه هل هذه هي نفسها هذه تعالوا نغير ال
index لما نقص N من صفر يعني بدي نقص هنا واحد فهنا
بدي ازود واحد لما ازود واحد بيصير X of N وهنا ازود
واحد بيصير H of N فبنطلع هي نفس هذه السيرة الآن if
w prime of x برضه بيبقى فاضل هدى كمان مرة بيصير إن
فاضل هنا من هنا اللي هي n ناقص واحد x أُس n ناقص
اثنين ثم برضه بنفك هدى بيبقى n ناقص اثنين فاكتوريا
اللي بتروح ن ناقص واحد اللي هدى الـ series برضه هي
نفس الـ series تبع الـ E أُس X اللي هدى لو بدناها من
صفر يعني بدنا ناقص اثنين هنا بنروح نزود اثنين
فبنزود هنا اثنين فبيطلع n x أُس n على n فاكتوريا
اللي يبقى هي نفس إيش هدى الـ series إذا تفاضل E أُس X
هي نفسها E أُس X وهي الـ Series برضه طلعت نفسها هي
هي فبالتالي هذه بالنسبة للتفاضل الـ Kip التفاضل
اللي هو الـ Series الآن كيب بدنا نكامل الـ Series
term by term integration theorem برضه ال
integration برضه term by term زي ما احنا بدنا
نكامل مثلا هي عندك هذه الـ Series لو بدنا نكامل هذه
الـ Series بروح بكامل هذه ناقص تكامل هذه جاءت تكامل
هذه ولا كده فهيك بنكمل الـ series إذا برضه تكامل ال
series بروح بكمل المقدار اللي جوا الـ terms اللي
جوا طبعا وين كان الـ series هادي converge بهدى ال
interval برضه تكاملها برضه بيكون converge فالتكامل
تبعها برضه converge في نفس ال فترة تبع الـ series
دايما عن نقطة البداية لإنها فيش إيش تكمل وصفر
وبالتالي التكامل بيكبر مش ب .. مش ب .. ب .. بزاطر
وبالتالي مثلا هنا بدت بـ X فبتصير X تربيع تكاملها
بدت بواحد تكاملها X فمافيش terms بضيعه فبتظل نفس
بداية الـ series هي نفسها إذا التكامل يبقى تكامل
f of x dx هي عبارة عن التكامل اللي جوا وبعدين تبقى
برضه ذائد c مثال
على ذلك identify the function f of x2 ساوي نقص
واحد أسئلة إيش يعني identify the function؟ يعني
شوف هذه ال function إيش هي؟ إيش هي هذه ال
function؟ الآن هذه ال function اللي مفكوكة بهذا
الشكل واللي conversion من ناقص واحد إلى واحد طبعا
أخدنا نفس الشيء و بس سالب واحد نفس الشيء الآن لو
أجيت أنا أفاضل هذه ال function f prime of x إيش
تساوي طبعا قلنا بإننا نفاضل إيه؟ ال x اللي جوا
إيش تفاضل هذه؟ اللي 2n زائد 1 x قوة 2n لأن 2 و Z1
تختلف مع هذه فبيظل و هنا X تربيع و ناقص واحد بنوحد
الأسس تبعتها من فترة كل أسئن يعني بيصير ناقص X
تربيع أسئن لأن هذه ال series أسئن هي عبارة عن
Geometric Series Converged إذا كانت ال absolute
value لناقص X تربيع أقل من واحد يعني absolute X
أقل من واحد الآن كمان ال F prime هذه ال F prime
اللي هي تساوي هذه ال seriesنقل من ناقص واحد إلى
واحد يبقى مجموعة إيش يساوي واحد على واحد ناقص R
والـR تبعتي هي ناقص X تربيع فبتصير زائد X تربيع
يبقى F prime F prime تساوي المشتقة تبع هذه ال
series واحد على واحد زائد X تربيع احنا بنقول
identify بدرك إيش هي ال F of X يبقى إيش بدي اعمل
بدي اكامل بدي اكامل الآن نجي هنا f prime تساوي هذه
يبقى بدي اكامل تكامل f prime اللي هو f يساوي تكامل
اللي هو 1 على 1 زائد x تقريبا إيش تكامل هذه عبارة
عن tan inverse x من ثم زائد c يبقى عرفنا ال
function تبعتي f of x اللي ال series الأصلية هذه
اللي فوق هي عبارة عن tan inverse x زائد c الآن
ممكن هنا ناخد condition عشان نطلع قيمة c انه f of
0 يساوي 0 من وين جبناها؟ دي من هنا لما نعوض هنا ب
x صفر، صفر، صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،
زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر، زائد صفر،
زائد صفر الآن نجي هنا نعوض يبقى f of 0 اللي يتساوي 0
اللي يتساوي tan inverse of 0 زائد c طبعا tan
inverse of 0 يساوي 0 فبتطلع ال constant تبعنا 0
إذن ال f of x تبعتنا هي عبارة عن tan inverse x
يبقى هيك عرفنا اللي هو ال tan inverse ال function
tan inverse هي ال series تبعتها هذه هي ال series
تبعت ال tan inverse السؤال الأخير ال series تبعت
اللي هي 1 على 1 زائد T اللي هي ال series هذه طبعا
هذه geometric series اللي قاعدة تساوي ناقص T فيها
اللي هي هذه المفتوحة طبعا هذه geometric series
converge من ناقص 1 إلى 1 لأن لو أجيت أكامل هذه ال
series إيش تكامل هذه ال series؟ بنروح من كامل هذا
1 على 1 زائد T بناخد condition أو بنفت حدود
للتكامل من 0 إلى x لما اكامل هذا من 0 إلى x بيطلع
التكامل هو len 1 زائد t من 0 إلى x بنعوض بالx
فبيطلع len 1 زائد x ولما أتعويض بالصفر بيطلع اللي
هو len الواحد اللي هو صفر فبالتالي بيصير إيش len 1
زائد x يبقى التكامل هذا إيش ساوي len 1 زائد x اللي
هي ال series تبعته إيش يعني جهنم كامل T وهذه T
تربيعة اتنين T تكيبعة تلاتة T أقصد 4 على 4 وهكذا
الحدود التكامل من 0 إلى X بنعوض بالـ X وبعدين
تعويض بالـ 0 بيطلع إيه؟ 0 فبتطلع هنا ال series
بالشكل هذا ال series لأن هذه ال series ممكن
تبطغتها اللي هي عبارة عن موجة بسالب موجة بسالب
فبنفتق ناقص واحد أُس N مائس واحد في X أُس N طبعا X
بعدين X تربيع اتنين X تربيع تلاتة أربع على أربع
يعني X أُس N على N هذه ال series هي إيش صغرها بهذا
الشكل يبقى هنا برضه عرفنا اللي هو ال series هذه هي
عبارة عن لن الواحد زائد x طبعا converged
بالinterval من ماقص واحد إلى واحد يبقى هاي كمان
function برضه يعرفنا ال series تبعتها من خلال
استعمال اللي هو التهامل وبعدين خلصنا section 7