ال .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على cushy
sequences فأخدنا تعريف ال cushy sequence و أثبتنا
أنه كل convergence sequence is cushy و أعتقد كمان
أثبتنا أنه كل cushy sequence is bounded صحيح؟اليوم
هنثبت العكس و هو ان كل كوشي sequence is convergent
فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence
definition a
sequence of real numbers xn is
cauchy
إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر
يوجد capital N depends on epsilon natural number
such that لو كان N و N bigger than or equal Nthis
implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من
إيصال وشوفنا
المرة اللي فاتت أو برهننا limit 2 و 21 every
convergent
sequence is cauchy
ثم برهنة another لمبة لمبة اتنين و عشرين بتقول
اللمبة هذه ان every cauchy
sequence
is bounded اليوم
هنثبت نظرية مهمة نظرية اتنين تلاتة وعشرين وهذه
النظرية هي كوشي كوشي
criterion
أو معيار كوشي معيار
كوشي للتقارب النظرية
بتنص على أن a sequence x in contained in R is
convergent
is convergent if and only if it is cauchy any
sequence of real numbers بتكون convergent if and
only if it is cauchy البرهان
this part اللي هو ال only if part هذا هو نفسه لمّة
واحدة عشرين if x in is convergent then
by
لمّة واحدة عشرين
it is cushy it is cushy
لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة
لمة واحد وعشرين ال .. ال if part هنبرهنه اليوم
هنشوف مع بعض assume العكسassume أن الـ sequence x
in is Cauchy وبدنا
نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then
by لمّا اتنين و عشرين تطلع bounded
إذا by لمبة إتنين و عشرين ال sequence x in is
bounded بستخدام
Bolzano-Weierstrass theorem
اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا
اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول
انه كل bounded sequence has a convergent
subsequence فهي عندي bounded sequence sequence x
in has a
convergent
sub-sequence x
in k وها دي converges to x star تنتمي إلى R طبعا؟
إذن هذه sub-sequence من x in وconvergent to some x
star تنتمي إلى R
طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين
احنا نثبت ان ال sequence xn converges الى العدد
x star وبالتالي هيك بنكمل برهان انظرية صح؟ فلبرهان
ذلك
نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ
epsilon أكبر من السفر عشوائية let epsilon أكبر من
السفر be givenنحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على
إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد
على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة
تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
كمية عامة تعتمد على إبسلون
وهي إبسلون given، إذا by definition of Cauchy
sequence there exists capital N depends on إبسلون
natural number such that لكل N و M أكبر من أو ساوي
capital N، this implies an absolute X N minus X M
less than epsilon at null نسمي
ال implication هيا دي star طيب
احنا حصلنا على انه ال sequence x أو ال subsequence
x in k converges to x star
إذا لنفس الـ Epsilon و Epsilon هي نفس الـ Epsilon
given فمن تعريف ال convergence for
same Epsilon أكبر من الصفر نفس الـ Epsilon اللي
هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K
وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد
الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم
n واحد, n اتنين, n تلاتة و
هكذاإذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا
واحد من مؤشرات ال subsequence ممكن أختاره هذا
كابتل K أكبر من أو ساوي كابتل N بحيث
أن ال absolute value ل Xcapital K minus X star
أصغر من إبسلون على اتنين كمان
مرة السب سيكوينس هي هتconverge ل X star إذا في
capital K natural number و هو واحد من large واحد
من ال indices و طبعا كبيرهو ممكن نختاره أكبر من أو
ساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X أصلا
أصغر من ي على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K
و أقول أن هذا أصغر من ي على 2 لكل K أكبر من أو
ساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف ال convergence لكن
انا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X
كابتل K المسافة بينها و بين X star أصغر من Y على 2
نسمي المتباينة هذه double star الان
now
أنا عندي كابتل كأكبر من أو ساوي كابتل N so
by star by
star with M بساوي كابتل K we
have لدينا
absolute xn minus x capital k أصغر من y ع 2 نسمي
هذه المتباينة triple triple star كمان مرة ال k هذه
اختارناها أكبر منها و يساوي n و من starإذا كانت
الـ K .. إذا خدت M بساوي كابتال K و هذه أكبر من أو
ساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute XN minus XK
أزرع من إبسط على اتنين و الـ N هذه لازم تكون أكبر
من أو ساوي M، إذن هذا صحيح لكل small M أكبر من أو
ساوي كابتال M
تمام hence by
double star الآن من double star and triple star
لدينا we have لو كان n أكبر من أو ساوي capital N
فهذا بيقدي أنه absolute xn minus x star طبعا
هنا هترح x capital K و هرجعها
إذا I subtracted XK and get it back باخد هدوع
الأثنين مع بعض و التحدين هدوع مع بعضالـ absolute
value بالترانجل inequality بالترانجل الانيقواليتي
هذا أصغر من أسابع absolute الحد الأول اللي هو xn
minus xk زائد absolute الحد التاني اللي هو xk
minus x star الآن
باستخدام triple starمن المتباينة هذه هاي عندي انا
x اول شي ال n small n أكبر من أو ساوي capital N
هاي small n أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي ال
absolute value هذه أصغر من epsilon على اتنين زاد و
من double star من double starهي عندي absolute x K
minus x star أصغر من إبسمن على اتنين المجموع بتطلع
إبسمن since
إبسمن أكبر من السفر was arbitrarily
نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون
أثبتنا أنه limit xn as n tends to infinity equals
x star وهذا بكمل برهان ال claim و النظرية تمام؟
هاي لاحظوا أن احنابنثبت أننا ندعي أن الـSequence
Xn هي الـConversion لـX الصار حسب تعريف epsilon
capital N للـLimits بدأنا بـepsilon given عشوائية
عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على
epsilon أشرر numberبحيث انه لكل N أكبر من او ساوي
capital N طلع absolute xn minus x star less than
epsilon لما ان هذا الكلام صحيح لكل epsilonإذا by
definition limit xn ساوي x أسطورة، إذا ال sequence
convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال
sequence كوشي then it is convergent تمام واضح
البرهان؟ okay حلو إذا نعم
مش احنا حاكينا ان x and is bounded؟ صحيح طيب الحين
في عند قلب بالنزام و بالسترس في عند x and في عند
conversion subsequence صح هدا هي صح conversion ل x
and to some x star احنا أخدنا نظرية إذا كانت ال
conversion subsequence converge to x و x to r ف x
and تكون converge ل x لا مااخدنا نظرية زيك انت مش
خارق النظرية صح
لأ النظرية مابتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو
أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent
sequence من ال sequence هذه convergent لعدد X
فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل X أنا
عندي بس sequence sub sequence واحدة converged ل X
أصلا و ليس every convergent subsequence converged
ل X أصلافالفرض التاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها
مش متحقق وبالتالي لا استطيع تطبيق النظرية تمام؟ في
اي سؤال تاني؟ okay ده سؤال كتير يعني مهم و .. و ..
و جيد و ياريت يعني اي حد عنده تساؤل زي هذا يعني
يسأله هل في اي شي في القرآن مش واضح؟ واضح اكتر من
هيك؟Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته
بتماعه هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب ناخد أمثلة على
كيف نستخدم تعريف ال koshi sequence في إثبات أنه
given sequence is koshi باستخدام التعريف مباشرة و
ليس باستخدام اللي هو koshi criterion
إذا ناخد هنا بعض الأمثلة examples
الأمثلة
دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show
directly show direct that
ال sequence ال
sequence واحد على ان is Cauchy
لما اقول show directly ان ال sequence معينة is
Cauchy معناها ده بدي استخدم التعريف بدي استخدم
التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف
مع بعض طبعا
البرهانباستخدام التعريف هنبدأ بأبسلون أكبر من
السفر ونرد عليها بcapital N بتخلي ال implication
هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي
ما عملنا في اثبات ان ال sequence is convergent و
هنستخدم الarchimedean property نشوف مع بعض let
بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال
capital N for any given epsilon؟
أنا يعني هي عندي absolute xn minus xm لو في عندي
epsilon given epsilon موجة given فمن الآخر أنا
عايز أثبت أنه هذا أصغر من إمسنان، مظبوط؟ طب ما هذا
عبارة عن absolute واحد على n minus واحد على m وهذا
أصغر من أو ساوي absolute واحد على n زائد absolute
واحد على mبصبوط وهذه أعداد موجبة فهذا واحد على M
زائد واحد على M طيب
أنا عايز أجيب capital M بحيث
أنه لو كانت ال N و ال M أكبر من أو ساوي capital N
فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من
إبسلونإذن ال N و ال M هدول لازم يكونوا أكبر من
capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن
و بالتالي من هنا هذا بيقدي إن واحد على N و كذلك
واحد على M أصغر من أوسع واحد على capital N، صح؟إذا
كانت n أكبر من أو يساوي capital N ف1 على n هتصير
أصغر من أو يساوي 1 على capital N وكذلك بالنسبة ل
M، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1 على
capital N وهذا أصغر من 1 على capital N بساوي 2 على
capital M الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من
epsilon؟أه، إذا هاخد n أصغر من epsilon على 2 أو 1
على n أصغر من epsilon على 2 إذا هذا أصغر من
epsilon عندما 1 على n أصغر من epsilon على 2 طيب،
أنا لو بدأت بepsilon عدد موجب فepsilon على 2 بطلع
عدد موجب و by Archimedean propertyلأي عدد موجب زي
هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوب و أصغر من
epsilon ع اتنين اذا capital N اللي بتعتمد ع ال
given epsilon لازم تكون مقلوبها أصغر من epsilon ع
اتنين عشان يطلع هذا أصغر من epsilon شوفتوا كيف
منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعا
تضمنلي وجود مثل هالعدد capital Nتمام؟ إذا باجي
بقول هنا let epsilon الكلام هذا طبعا بعمله في
الهامش بعدين باجي برتبه بقول let epsilon أكبر من
السفر be given إذا
it choose by
Archimedean property
نختار capital N عدد طبيعي بحيث انه مقلوب ال N أصغر
من إبسلون على اتنين إذا هان أثبتت يوجد capital N
وهي اعتمد على إبسلون هي مرتبطة بإبسلون
هذا هيعطينا ال implication تبع الكوشي sequence
then
لو أخدت N و M أكبر من أوسع ال capital N هذه
فبالتأكيد هذا هيقدر ال 1 على N و كذلكواحد على M
كلهما أصغر من أو ساوي واحد على capital N وهذا
بدوره بيقدي أنه absolute واحد على M minus واحد على
M طبعا هذه XM وهذه XM فشوفنا أن هذا أصغر من أو
ساوي absolute واحد على Mباستخدام ال triangle
inequality زائد absolute سالب واحد على M اللي هو
absolute واحد على M طيب هذا بساوي واحد على M زائد
واحد على M لإن رد عداد موجبة وقول إن هذا أصغر من
أو يساوي واحد على Mزايد واحد على N وهذا بيساوي
اتنين على N وهذا من الاختيار تبعنا ل capital N by
star اتنين على N أصغر من epsilon طب
ما هذه .. هذا هو شرط Koshi صح؟ هذا هو شرط Koshiإذا
by definition بما أن هذا صحيح لكل epsilon since
epsilon أكبر من الصفر was arbitrary by
definition of Cauchy sequence ال sequence xn is
اللي هي واحد على n اللي الحد العام تبعها واحد على
nis Cauchy تمام
هنا أثبتنا إن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام
التعريف طبعا في برهان تاني ممكن نستخدم Cauchy
criterion احنا ممكن نثبت إن ال sequence هذي
convergentو أثبتنا هذا الكلام جبليك صح؟ و حسب
cushy criterion بما أنه ال sequence convergent
then it is cushy صح؟ هذا برهان تاني لكن إذا كنا
لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم
البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي
استفسار؟
ناخد مثال تاني
مثال تقم اتنين consider .. consider
ال sequence defined
inductively
إذا في عندي sequence معرفة بطريقة استقرائية
كالتالي كما هي ليه هناخد x1 بساوي واحد و x2 بساوي
اتنين طب و xn-n أكبر من أو ساوي تلاتة هناخده بساوي
نص فيxn سالب اتنين زائد xn negative one طبعا هذا
لكل n أدب طبيعي أكبر من أو ساوى تلاتة اذا هنا في
اندي سيكوانس معرفة بطريقة استقرائية اول حدين اللي
هم قيم معينة الحد التالت وانت طالع معرف بدلالة
الحد اللي حدين اللي جابله مباشرةهذا طبعا بيعطينا
sequence المطلوب عايزين نثبت show ان ال sequence x
in is convergent و converges to the number 5 over
3 البرهان
هنثبت we first show
that sequence xn converges by
showing
بإثبات أنه
إنها كوشي thanks
to koshi criterion
طبعا هذا بفضل معيار كوشي أو كوشي criterion هنثبت
الأول أن ال sequence هي to convergentبإثبات إنه
كوشي وهذا طبعا حسب كوشي criterion إذا أثبتنا إن ال
sequence كوشي بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن
نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence
bounded إذن هنا الإدعاء
الأول أو claim number oneالسيكونس xn الحد العام
تبعها أكبر من أو ساوي الواحد أصغر من أو ساوي اتنين
لكل n في n لبرهان
ذلك to see this use
induction
on n so I will leave it for you to prove claim one
by induction on n فالحالة
لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one
هذا معناه ان المتباين هذه هتكون x one أكبر من أو
ساوى الواحد أصغر من أو ساوى اتنين وهذا trueو هذه
صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد و الواحد أكبر من
أو ساوي الواحد هو less than or equal to لذن ال
statement هذا is true for n بساوي one assume it is
true for n بساوي k و prove it for n بساوي k زاد
واحد فيعني
هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل
So this is claim one الان by claim one
By claim one The
sequence x in is bounded حسب
claim one لأن claim oneأثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه
ان الـ x in ال sequence x كل حدود ال sequence
محصورة بين واحد واتنين وبالتالي bounded below by
one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا
ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing
out
الأول مرات .. المرات
الأول مرات .. المرات الأول مرات .. المرات الأول
مرات .. المرات الأول مرات .. المرات الأول مرات ..
المرات الأول مرات .. المرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول
مرات الأول
مرات
is not monotone لو
كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه
فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither
increasing nor decreasingوبالتالي نقدر نستخدم الـ
monotone convergence theorem so we can't we can't
use ال monotone convergence theorem we
can't
we can't use monotone convergence theorem الـ
sequence bounded عشان استخدم الـ monotone
convergence theorem لازم تكون monotone increasing
او monotone decreasing ف it is not monotone
فماقدرش استخدم ال monotone convergence theorem
عشان افحص ال convergenceالـ sequence لازم ابحث عن
طريقه تانية غير الـ monotone convergence فيها طيب
هنثبت claim 2 claim
2 ادعاء تاني وهو ان ال sequence xn بتحقق المعادلة
absolute xn minus xn زيادة واحدبساوي واحد على
اتنين قص ان نجاتف وان وهذا الكلام صحيح for every n
في n to
see
this لبرهان ذلك use induction
use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by
induction on n هينبرهن
البرهان if
n بسبب واحد ف absolute x واحد minus xأتنين بساوي
absolute واحد سالي اتنين بساوي absolute واحد بساوي
واحد هذا الطرف اليمين و الطرف اليسار واحد على
اتنين plus n minus واحد بساوي واحد على اتنين plus
سفر بساوي واحدة واحد بساوي واحد اذا
المعادلة true for n بساوي واحدطيب assume ال
induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume
أنه ال ..
ال claim is true for n بساوة kو k طبعا أكبر من أول
سالة من واحد هذا
معناه أن absolute xk minus xk زيادة واحد بسالة
واحد على اتنين أس كسالب واحد، صح؟ هذه الأدارة
صحيحة and k
الان تعالى نثبت صحة العبارة عند n بساوي k زايد
واحد ناخد الطرف الشمال عندما n بساوي k زايد واحد
هذا عبارة عن x k زايد واحد سالد x k زايد اتنين
بدنا نثبت ان هذا بساوي واحد على اتنين اص k صح؟ طب
تعالى نشوفهي absolute xk plus one minus الان xk
زائد اتنين من ال definition تبع ال sequence بدل n
بدل n بk زائد اتنين فبطلع نص في xk زائد xk زائد
واحد
وهذا بيساوي و هذا بيساوي نص في absolute x x
k negative x k plus one
بعد ما نطرح بطلع عنده نص عامل مشترك و absolute
الان by induction hypothesis من الفرض تبع ال
induction ال absolute value هذه أيها ايش بيساوي
عوض عنها اي نص ضرب one over two to k negative one
ويساوي واحد على
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
الان باستخدام ال claim التاني ممكن نثبت شغلة مهمة
في البرهان اذا
خليها هادى للمرة الجاية بس بدى اكتبهاخليكم أنتوا
تفكروا فيها .. خليكم أنتوا تفكروا فيها Now
using a claim to verify .. verify that ..
F M أكبر من N فهذا
بيقدي أن absolute X N minus X M أصغر من واحد على
اتنين قص M نجاتي باتنين
إذاً هذا ممكن إثباته by ال triangle ال equality و
claim اثنين فبنوقف
هنا و بنكمل ال .. بنكمل ان شاء اللهالبرهان في
المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟