1
00:00:04,910 --> 00:00:09,510
بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة الخامسة في

2
00:00:09,510 --> 00:00:15,630
مساق تحليل حقيقه اتنين لطلبة كلية العلوم تخصص

3
00:00:15,630 --> 00:00:22,110
رياضيات في الجامعة الإسلامية بغزا المحاضرة

4
00:00:22,110 --> 00:00:26,550
اليوم هي جزئين الجزء الاول اللي هو عبارة عن

5
00:00:26,550 --> 00:00:31,350
discussion لست واحد اللي هو مناقشة لموضوع اللي هو

6
00:00:31,350 --> 00:00:37,410
derivative او الاشتقاءالجزء الثاني هنكمل اللي هو

7
00:00:37,410 --> 00:00:43,210
الحديث عن 6.2 اللي هو الـ Mean Value Theorem أو

8
00:00:43,210 --> 00:00:47,730
نظرية القيمة المتوسطة هناخذ بعض التطبيقات لنبدأ

9
00:00:47,730 --> 00:00:51,750
الآن اللي هي بالأسئلة اللي احنا طلبناها منكم

10
00:00:51,750 --> 00:00:57,230
تحلوها كواجب المرة الماضية أو التي قبلها وكانت

11
00:00:57,230 --> 00:01:01,210
الأسئلة هي عبارة عن السؤال الرابع والسؤال السابع

12
00:01:02,000 --> 00:01:07,420
والسؤال التاسع و السؤال تلتاشر بالنسبة للسؤال

13
00:01:07,420 --> 00:01:13,600
الثالث اللي هو عبارة عن اللي هي برهان نظرية 613A

14
00:01:13,600 --> 00:01:19,200
وB وهذه البرهين براهين سهلة اللي كانت ال F

15
00:01:19,200 --> 00:01:22,960
differentiableالـ F differentiable والـ Alpha

16
00:01:22,960 --> 00:01:26,560
عبارة عن constant بيعطينا الـ Alpha F برضه is

17
00:01:26,560 --> 00:01:30,200
differentiable و لو كانت الـ F والـ G

18
00:01:30,200 --> 00:01:32,700
differentiable بيعطينا الـ F زائد G is

19
00:01:32,700 --> 00:01:35,660
differentiable و احنا برهننا حالة الضرب و حالة

20
00:01:35,660 --> 00:01:41,500
القسمة و هدول حالات تعتبر سهلة مباشرة على التعريف

21
00:01:41,500 --> 00:01:45,900
لذلك هنبدأ ان شاء الله في الحديث او في حل الأسئلة

22
00:01:45,900 --> 00:01:52,540
على السؤال الرابع اللي هو ببول ماليعندي معطيني F

23
00:01:52,540 --> 00:02:01,760
من R لـ R بي defined by F of X بساوي اللي هو X

24
00:02:01,760 --> 00:02:06,420
تربيع إذا كانت X rational وبساوي سفر إذا كانت X

25
00:02:06,420 --> 00:02:09,700
irrational اثبت إن الـ F الـ differential بالقدر X

26
00:02:09,700 --> 00:02:15,550
بتساوي سفر أو جد اللي هي F prime of 0لاحظ أن الـ

27
00:02:15,550 --> 00:02:16,610
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

28
00:02:16,610 --> 00:02:17,090
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

29
00:02:17,090 --> 00:02:17,910
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

30
00:02:17,910 --> 00:02:20,450
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

31
00:02:20,450 --> 00:02:27,990
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

32
00:02:27,990 --> 00:02:28,350
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

33
00:02:28,350 --> 00:02:29,630
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

34
00:02:29,630 --> 00:02:29,690
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

35
00:02:29,690 --> 00:02:41,470
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

36
00:02:41,470 --> 00:02:52,150
الـ الـ الـFind this value a proof الآن عشان نوجد

37
00:02:52,150 --> 00:02:56,730
اللي هي نثبت أن F prime of 0 موجودة خلّيني ألاحظ

38
00:02:56,730 --> 00:03:00,950
مالي عند ال function اللي هي X تربيع لما X

39
00:03:00,950 --> 00:03:07,150
rational و Zero لما Xاش is irrationalالان بدنا

40
00:03:07,150 --> 00:03:11,770
نتوقع اول اشي اللي هو لانه هتلزمني جاي اللي بعدين

41
00:03:11,770 --> 00:03:15,890
find this value بدنا نتوقع ايش قيمة اللي هو ال

42
00:03:15,890 --> 00:03:20,950
derivative عند الصفر لاحظ انه اللي هو .. اللي ..

43
00:03:20,950 --> 00:03:25,630
اللي لو بدنا نقول انه ال derivative ممكن تكون zero

44
00:03:25,630 --> 00:03:30,510
كون ان off of x صفر او لو بدها تكون و ال

45
00:03:30,510 --> 00:03:36,560
derivative هنا لو قولنا رفل 2xبدو يكون اللي هو لو

46
00:03:36,560 --> 00:03:40,820
بدو يكون اللي عند الـ zero اللي هي F prime بدو في

47
00:03:40,820 --> 00:03:47,220
النهاية تروح ل اللي هيكون برضه قريبة من انه نقول

48
00:03:47,220 --> 00:03:52,580
او نأكد انها صفر عشان هي كالظن الغالب ان F prime

49
00:03:52,580 --> 00:03:58,660
هتكون ايش صفر هذه مجرد تفكيرات الانبدي أثبت لك إنه

50
00:03:58,660 --> 00:04:03,080
فعلًا هي الـ derivative بتساوي 0 كيف بدي أثبتها؟

51
00:04:03,080 --> 00:04:11,280
بدي أثبت لك إنه الـ limit لـ F of X نقص F of 0 على

52
00:04:11,280 --> 00:04:17,600
X minus 0 لما X تروح لـ 0 بتساوي 0 بدي أثبت لك

53
00:04:17,600 --> 00:04:24,240
هيهاالان واضح ان X تقول الى الصفر X تقول الى الصفر

54
00:04:24,240 --> 00:04:29,200
هتمر بال rational وال rational عشان هيك صعب ان انا

55
00:04:29,200 --> 00:04:32,600
اتحدث عن اللي هو ايجاد ال derivative مباشرة من

56
00:04:32,600 --> 00:04:36,130
الان او من ال two branches اللي عندىلا بقدر أخد من

57
00:04:36,130 --> 00:04:40,030
اليمين ولا أخد من اليسار لإنه عندي من اليمين أو من

58
00:04:40,030 --> 00:04:44,130
اليسار هيكون عندي اللي هو قابلت اللي هي الأعداد ال

59
00:04:44,130 --> 00:04:48,110
rational لل rational فعشانك أسلم إشي إنه نستخدم

60
00:04:48,110 --> 00:04:52,650
التعريف في إثبات هذا يعني الآن بدي أثبت هذا الكلام

61
00:04:53,270 --> 00:04:58,090
كيف بدي أثبته؟ بدي أثبت ما يعني بدي أصل لكل إبسلون

62
00:04:58,090 --> 00:05:03,190
أكبر من 0 بدلاج دلتا أكبر من 0 بدلاجية حاجيلك دلتا

63
00:05:03,190 --> 00:05:08,350
بحيث أنه لما يكون ال absolute value ل F of X ناقص

64
00:05:08,350 --> 00:05:14,630
F of Zero على X minus Zero يكون ناقص Zero طبعا

65
00:05:14,630 --> 00:05:19,790
Zero هذي أصغر من إبسلون هذا متى؟ whenever

66
00:05:22,670 --> 00:05:28,470
x-0 أكبر من 0 وأصغر من مين من دلتا هذا اللي بده

67
00:05:28,470 --> 00:05:33,150
أصله أو هذا اللي بده أثبته خلّينا نشوف إذا خلّينا

68
00:05:33,150 --> 00:05:36,530
نشوف كيف بدنا نوجده عشان أثبت إن ال limit هذا

69
00:05:36,530 --> 00:05:43,110
بساوي 0 لاحظ القيمة اللي عندي أول إشي ال absolute

70
00:05:43,110 --> 00:05:50,530
value of f of x ناقص f of 0 على x-0 إيش هتساوي؟

71
00:05:51,590 --> 00:05:57,390
هتساوي اللي هو ال absolute value of of X عندى يا X

72
00:05:57,390 --> 00:06:01,070
تربيع يمين يا سفر خلّينها زي ما هي أول إشي of of X

73
00:06:01,070 --> 00:06:06,010
ناقص of of Zero اللي هو جداش بيساوي Zero لإنه of

74
00:06:06,010 --> 00:06:10,130
of Zero بيساوي Zero لإنه Zero rational على إذن هذا

75
00:06:10,130 --> 00:06:16,230
سفر على X ناقص سفر اللي هو X absolute value هذا

76
00:06:16,230 --> 00:06:22,790
القيمة الآن لاحظ بتساوييا إما اللي هو x تربيع على

77
00:06:22,790 --> 00:06:30,750
x absolute value في حالة x is rational أو بتساوي

78
00:06:30,750 --> 00:06:37,450
اللي هو سفر في حالة x أشمالها is irrational لأن

79
00:06:37,450 --> 00:06:42,030
مقيمة f of x يا x تربيع يا سفر حسب اللي هو كتبناه

80
00:06:42,030 --> 00:06:46,790
حاليًاالآن هذا بالظبط هو عبارة عن الـ absolute

81
00:06:46,790 --> 00:06:57,590
value لل X if X is rational Zero if X is

82
00:06:57,590 --> 00:07:03,950
irrational الآن الصورة وضحت خلّينا نسمي هذا اللي

83
00:07:03,950 --> 00:07:09,900
هو واحدالان حضرت عشان اصل للنهاية اللى هاني كاتبها

84
00:07:09,900 --> 00:07:13,800
هنا واشوف ايش ال delta اللى بتطلع عندى الان بتدعي

85
00:07:13,800 --> 00:07:17,380
مالي for every epsilon أكبر من سفر انا بقول there

86
00:07:17,380 --> 00:07:21,800
exists delta هتساوي من ال epsilon هتجد تشوفوا ليش

87
00:07:21,800 --> 00:07:26,980
there exists delta بساوي epsilon such that if x

88
00:07:26,980 --> 00:07:35,210
minus 0 أكبر من سفره أصغر من delta thenهذا معناته

89
00:07:35,210 --> 00:07:37,870
إيش أن أبسل يوت فيها ال X أكبر من صفر وأصغر من

90
00:07:37,870 --> 00:07:41,870
مين؟ من دلتا إذا اخترت دلتا إيش بتساوي و هي اللي

91
00:07:41,870 --> 00:07:47,850
هتخلص من الموضوع then اللي هو F of X نقص F of Zero

92
00:07:47,850 --> 00:07:50,970
على

93
00:07:50,970 --> 00:07:57,790
X minus Zero هو طبعا نقص الصفر اللي قلنا عنها ال

94
00:07:57,790 --> 00:08:01,520
derivative المتوقع عليا هذه بالظبطاللي فوق هذا هو

95
00:08:01,520 --> 00:08:05,920
اللي فوق طلع إيش عندي هذا بساوي هذا المقدار إذا

96
00:08:05,920 --> 00:08:09,760
كانت X rational و 0 إذا كانت X irrational يعني

97
00:08:09,760 --> 00:08:15,400
بمعنى أخر بساوي absolute value ل X if X is

98
00:08:15,400 --> 00:08:23,530
rational و 0 if X is irrational in both casesاللي

99
00:08:23,530 --> 00:08:27,590
هي إذا كان بساوي absolute value للـ X هيكون أصغر

100
00:08:27,590 --> 00:08:31,250
من Delta اللي انا اخترتها أشملها Epsilon هيكون

101
00:08:31,250 --> 00:08:34,570
أصغر من Epsilon و أيضا هذه متحققة لإن الـ Epsilon

102
00:08:34,570 --> 00:08:38,850
دائما أشملها أكبر من 0 إذا اللي حصلته أنه لكل

103
00:08:38,850 --> 00:08:42,490
Epsilon أكبر من 0 اللي جيت Delta لما يكون هذا أصغر

104
00:08:42,490 --> 00:08:47,130
من Delta بيعطيني هذا أصغر من Epsilon وهذا يعني

105
00:08:47,130 --> 00:08:54,370
hence limitهذا المقدار اللي هو f of x ناقص f of 0

106
00:08:54,370 --> 00:09:01,690
على x minus 0 لما x تروح للصفر بساوية اللي هو

107
00:09:01,690 --> 00:09:12,870
الصفر وهذا هو تعريف من ال f prime عند 0 that is f

108
00:09:12,870 --> 00:09:18,740
prime at 0 بساوية 0 وفي نفس الواجب طبعا أثبتناالـ

109
00:09:18,740 --> 00:09:25,960
existence للـ F prime عند الـ zero أي سؤال طيب

110
00:09:25,960 --> 00:09:30,840
نيجي الآن نشوف السؤال الثاني خلّال السؤال الأربعة

111
00:09:30,840 --> 00:09:44,220
نيجي لسؤال سبعة الان

112
00:09:44,220 --> 00:09:48,100
سؤال سبعة اش اللي بقوله سؤال سبعةاللي بيقوله سؤال

113
00:09:48,100 --> 00:09:52,420
سبعة مالي عندي

114
00:09:52,420 --> 00:09:55,740
suppose

115
00:09:55,740 --> 00:09:59,320
that F من R لR is differentiable at C يعني نفترض

116
00:09:59,320 --> 00:10:04,520
أنه F قبل الاشتقاق عند Cونفترض ان f of c قيمة الـ

117
00:10:04,520 --> 00:10:07,920
function عند c بساوة 0 لان بقول لشهدات ال absolute

118
00:10:07,920 --> 00:10:10,960
value لل f of x اللي هي نسميها d of x is

119
00:10:10,960 --> 00:10:14,080
differentiable at c if and only if a شمالها f

120
00:10:14,080 --> 00:10:21,740
prime of c بتساوة 0 إذا ناخد لك f من R لعند R و

121
00:10:21,740 --> 00:10:30,810
جايلك أن f prime عند c exist معطيكي إياهاأو ومعطيك

122
00:10:30,810 --> 00:10:37,390
اللي هو f of c بتساوي سفر وبقول لي prove that أنه

123
00:10:37,390 --> 00:10:42,370
g of x بساوي ال absolute value لل f of x is

124
00:10:42,370 --> 00:10:49,810
differentiable at c if and only if f prime عند ال

125
00:10:49,810 --> 00:10:57,880
c ايش بتساوي بساوي سفر، مظبوط؟ طيب شوفالان خلينا

126
00:10:57,880 --> 00:11:03,380
افترض اول اشي ان f prime عند c ايش بتساوي سفر نقول

127
00:11:03,380 --> 00:11:09,320
suppose proof suppose

128
00:11:09,320 --> 00:11:15,580
suppose

129
00:11:15,580 --> 00:11:23,120
that f prime at c بتساوي سفر ايش هذا بيعني ان then

130
00:11:23,120 --> 00:11:25,940
limit

131
00:11:27,220 --> 00:11:36,680
F of X ناقص F of C على X minus C لما X تروح للـ C

132
00:11:36,680 --> 00:11:40,240
اللي هو بيساوي سفر لأن هذا تعريف مين F براين

133
00:11:40,240 --> 00:11:46,000
بيساوي سفر و F of C إيش معطنية هو بيساوي سفر لأن

134
00:11:46,000 --> 00:11:53,260
بيساوي limit F of X على X minus C لما X تروح لمين

135
00:11:53,260 --> 00:11:58,730
للـ C مدامة ال limit هذه موجودةإذا ال limit من

136
00:11:58,730 --> 00:12:02,270
اليمين وال limit من اليسار أيش برضه مالها موجودة

137
00:12:02,270 --> 00:12:06,710
ماشي الحال انا الآن غرضي ان او اثبت ان g of x بسبب

138
00:12:06,710 --> 00:12:09,190
absolute value of f of x أيش مالها is

139
00:12:09,190 --> 00:12:14,110
differentiable at c ماشي الان ايش اللي بدي اثبته

140
00:12:14,110 --> 00:12:22,370
بمعنى اخر بدي اثبتلك انه limitالـ G of X ناقص G of

141
00:12:22,370 --> 00:12:29,430
C على X minus C لما X تروح للـ C exist باشي إذا

142
00:12:29,430 --> 00:12:31,930
أثبتوا معناته أثبتتوا إن الـ G is differentiable

143
00:12:31,930 --> 00:12:36,970
at C أو بمعنى آخر بالدثبت limit لـ absolute value

144
00:12:36,970 --> 00:12:42,660
لل F of Xمدلة g of x ناقص ال absolute value of f

145
00:12:42,660 --> 00:12:48,960
of c على x minus c لما x بتروح لل c exist بدي أشوف

146
00:12:48,960 --> 00:12:53,240
هدا لسه exist ولا لأ يعني بدي أثبت اللي هو limit

147
00:12:53,240 --> 00:12:58,900
absolute value of f of x على x minus c as x بتروح

148
00:12:58,900 --> 00:13:07,520
لل c أشماله exist ماشي الحال طيب الآن واضح

149
00:13:08,360 --> 00:13:13,000
عندي من اللي فوق ال limit لل f of x على x minus c

150
00:13:13,000 --> 00:13:19,160
as x بتروح لل c انه ايش بيساوي بيساوي صفر، مظبوط؟

151
00:13:19,160 --> 00:13:27,160
اذا هيكون عندي limit اللي هو limit absolute value

152
00:13:27,160 --> 00:13:33,400
لل limit خليني اكتبها بس في طريقة أخرى الصفر هذا

153
00:13:33,400 --> 00:13:43,200
اللي بدأتبته اه انه existعندي ال absolute value ل

154
00:13:43,200 --> 00:13:52,020
limit f of x على x minus c لما x تروح لل c اللي هو

155
00:13:52,020 --> 00:13:58,020
من اليمين و من اليسار exist، مظبوط؟ واضحة و يساوي

156
00:13:58,020 --> 00:14:05,160
اللي هو limit absolute value لل f of x على x minus

157
00:14:05,160 --> 00:14:12,420
c as absolute valueas X بتروح لمين؟ للـ C باشي

158
00:14:12,420 --> 00:14:16,820
الحال الآن من اليمين ومن اليسار كله هيكون موجود

159
00:14:16,820 --> 00:14:20,480
بناء على هذا أنه موجود خلّيني أخد من اليمين وهنا

160
00:14:20,480 --> 00:14:25,860
من اليمين فبصير هذا عبارة عن limit absolute value

161
00:14:25,860 --> 00:14:32,140
ل F of X على X minus C لما X بتروح ل C من وين؟ من

162
00:14:32,140 --> 00:14:38,330
اليمين يعني هذا المقدارصار موجود وإيش بساوي بساوي

163
00:14:38,330 --> 00:14:42,350
سفر هذا خلّيه لإنه هذا اللي بدنا نصلّه لأن limit

164
00:14:42,350 --> 00:14:47,310
صار عندي معنى آخر limit absolute value of f of x

165
00:14:47,310 --> 00:14:53,850
على x minus c لما x تروح لل c من اليمين بساوي سفر

166
00:14:53,850 --> 00:14:58,360
existلاحظا قاعد رايح لأثبت أن هذا exist ده خد الآن

167
00:14:58,360 --> 00:15:03,520
من وين؟ من اليسار خد لأن احسب similarly عندي سفر

168
00:15:03,520 --> 00:15:08,840
بساوي absolute value of limit f of x على x minus c

169
00:15:08,840 --> 00:15:15,100
لما x تروح ل c من وين؟ من اليسار ويساوي عبارة عن

170
00:15:15,100 --> 00:15:19,960
limit absolute value of f of x على absolute value

171
00:15:19,960 --> 00:15:25,900
of x minus c لما x تروح ل c من وين؟ من اليسارهذه

172
00:15:25,900 --> 00:15:34,580
نفسها بساوي limit أو بساوي سالب limit f of x

173
00:15:34,580 --> 00:15:42,270
absolute value على x minus c لما x تروحللـ C من

174
00:15:42,270 --> 00:15:47,030
اليسار، ليش؟ لأن X أصغر من C، إذا X minus C سالبة

175
00:15:47,030 --> 00:15:50,230
إذا الـ absolute value سالب إليها واخدت السالب برا

176
00:15:50,230 --> 00:15:54,990
هذا الآن المخضر بيساوي سفر، إذا هذا لحاله برضه إيش

177
00:15:54,990 --> 00:16:01,270
ماله؟ سفر، إذا limit absolute value للـ F of X على

178
00:16:01,270 --> 00:16:04,870
X minus C، لما X تروح للـ C من اليسار، برضه إيش

179
00:16:04,870 --> 00:16:10,450
بيساوي؟ بيساوي سفر، لاحظ إن ال limit من اليمينوالـ

180
00:16:10,450 --> 00:16:15,890
limit من اليسار موجود وبساوي 0 متساويين يعني الآن

181
00:16:15,890 --> 00:16:23,130
ال limit هذا صار ايش بساوي بساوي 0 إذا الان هذا

182
00:16:23,130 --> 00:16:29,870
الآن بنقوله كله تحت هذا وبقول hence اللي هو g

183
00:16:29,870 --> 00:16:38,310
prime of c بساوي limit of g of x نقص g of c على x

184
00:16:38,310 --> 00:16:46,870
minus cas x → c بساوي حسب اللي عندى من هنا و من

185
00:16:46,870 --> 00:16:55,310
هنا و من هنا هيساوي سفر الان conversely بتأفترض

186
00:16:55,310 --> 00:16:58,090
طبعا ان ال conversely هيكون الخطوات كثير مشابهه

187
00:16:58,090 --> 00:17:03,350
لللي هنا يعني كثير اللي استخدمته هنا هستخدمه في

188
00:17:03,350 --> 00:17:03,930
اللي بعدها

189
00:17:12,670 --> 00:17:17,790
Conversely suppose that

190
00:17:17,790 --> 00:17:25,890
g of x سواء absolute value او f of x اللي

191
00:17:25,890 --> 00:17:33,550
هو is differentiable at c بدا وجدلك الان اثبتلك ان

192
00:17:33,550 --> 00:17:39,650
f prime of c ايش ما لها بتساوي سفر يعني بدا اثبت

193
00:17:39,650 --> 00:17:46,880
limitf of x ناقص f of c اللي هي سفر على x minus c

194
00:17:46,880 --> 00:17:51,160
لما x تروح لل c ايش بيساوي بساوي سفر بكون خلصت

195
00:17:51,160 --> 00:17:58,500
الان issue مشابه عند الان limit

196
00:17:58,500 --> 00:18:05,180
هذا exist عند ال c اذا عندي صار g prime of c exist

197
00:18:05,180 --> 00:18:10,430
ويساوي حسب الحديث اللي هنا limitabsolute value of

198
00:18:10,430 --> 00:18:18,570
f of x ناقص ال absolute value of f of c صفر على x

199
00:18:18,570 --> 00:18:26,310
minus c لما x تروح ل c اشماله exist معايا؟ طيب شوف

200
00:18:26,310 --> 00:18:34,960
الآن عندى اذا احسبلي limitf of x اللي حسبناها قبل

201
00:18:34,960 --> 00:18:39,660
بشوية بنفس الأسلوب على x minus c لما x تروح ل c من

202
00:18:39,660 --> 00:18:47,020
وين؟ من اليمين بساوي limit لل absolute value ل f

203
00:18:47,020 --> 00:18:53,780
of x على x minus c لما x تروح ل c من اليمين لأن ال

204
00:18:53,780 --> 00:19:01,840
x أكبر من ال c واضحالآن من جهة أخرى احسبلي الـ

205
00:19:01,840 --> 00:19:08,060
absolute value لل limit لل F of X طبعا هذا ايش

206
00:19:08,060 --> 00:19:15,620
هيساوي بسوى G prime of C، مظبوط؟ بسوى G prime of

207
00:19:15,620 --> 00:19:23,290
C، موجود، limit F of Xعلى x minus c لما x تروح ل c

208
00:19:23,290 --> 00:19:28,570
من وين؟ من اليسار بساوي زي ما عملنا قبل شوية سالب

209
00:19:28,570 --> 00:19:33,530
limit absolute value of f of x على x minus c لما x

210
00:19:33,530 --> 00:19:41,050
تروح ل c من وين؟ من اليسار الآن واضح بما أن هذه

211
00:19:41,050 --> 00:19:51,470
exist إذا هذا المقدار و هذا المقدار زي بعضالان هذا

212
00:19:51,470 --> 00:19:56,590
بيساوي ناقص هذا او بمعنى اخر نشيل الناقص من هنا و

213
00:19:56,590 --> 00:20:03,390
نضربه هنا صار عندى المقدرين هدولة بما انه متساويين

214
00:20:03,390 --> 00:20:10,310
لإن الاتنين ايش بيساوين ال G prime of C مظبوط اذا

215
00:20:10,310 --> 00:20:13,390
صار عندى هذا المقدار بيساوي هذا المقدار اذا صار

216
00:20:13,390 --> 00:20:20,940
عندى ال limitF of X على X minus C لما X تروح للـ C

217
00:20:20,940 --> 00:20:29,560
من اليمين absolute value بساوي ناقص limit F of X

218
00:20:29,560 --> 00:20:34,600
على X minus C لما X تروح للـ C من وين؟ من اليسار

219
00:20:34,600 --> 00:20:41,500
واضحة؟ لكن أصلا عندى هذا

220
00:20:43,370 --> 00:20:49,010
بساوي اللي هو التنين بساوي نفس القيمة ماشي الحال

221
00:20:49,010 --> 00:20:55,850
إذا لازم عندي من هنا جي برايم و جي برايم اللي هو

222
00:20:55,850 --> 00:21:00,210
صار بنساوي نفس القيمة إذا هيطلع الجي برايم إيش

223
00:21:00,210 --> 00:21:05,530
ماله بساوي سفرإذا صار المقدار هذا كله إش بده يساوي

224
00:21:05,530 --> 00:21:08,650
صفر وهذا بيساوي صفر يعني ال limit من اليمين و

225
00:21:08,650 --> 00:21:12,070
limit من اليسار متساويين إذا صارت limit F of X على

226
00:21:12,070 --> 00:21:23,310
X minus C لما X تروح للـC بدها تساوي صفر أي سؤال؟

227
00:21:23,310 --> 00:21:31,130
زي ما حكينا، الآن إحنا قلنا إنه لو كانت D بدينا D

228
00:21:31,130 --> 00:21:34,600
بيساوي F of X ال differential بالأد Cجيبنا g prime

229
00:21:34,600 --> 00:21:37,500
و كتبناها بالصورة اللي أمامنا بعدين أخدنا ال

230
00:21:37,500 --> 00:21:40,120
absolute value لlimit f of x علي x minus c لم x

231
00:21:40,120 --> 00:21:45,200
تروح ل c positive طلعت عندي بساوي g prime of c و

232
00:21:45,200 --> 00:21:48,680
أخدنا اللي هي ناقص هذه طلعت عندي برضه g prime

233
00:21:48,680 --> 00:21:53,920
الاتنين ال c إذا صار هذا بساوي هذا المقدار و احنا

234
00:21:53,920 --> 00:21:57,640
بنعرف في الأصل ان f prime of c exist يعني

235
00:21:57,640 --> 00:22:01,900
differentiable يعني ال limit هذا اللي هو موجودو من

236
00:22:01,900 --> 00:22:05,100
اليمين و من اليسار زي بعض يعني يعني هذا بده يساوي

237
00:22:05,100 --> 00:22:07,500
هذا من اليمين و هذا من اليسار يعني في الواقع هذا

238
00:22:07,500 --> 00:22:10,960
اللي جوا هو نفسه اللي جوا بساوي limit of of X يعني

239
00:22:10,960 --> 00:22:15,780
بمعنى أخر absolute value ل limit of of X على X

240
00:22:15,780 --> 00:22:22,100
minus C لما X تروح لل C هو نفسه سالب limit لل of

241
00:22:22,100 --> 00:22:27,400
of X على X minus C لما X تروح لل C من وين من

242
00:22:27,400 --> 00:22:31,540
اليسار هو نفسه لل C من وين تبت هذالأنه احنا بنقول

243
00:22:31,540 --> 00:22:34,560
f prime of c exist يعني ال limit هذا موجود و من

244
00:22:34,560 --> 00:22:37,360
اليمين و من اليسار زي بعر إذا صار هذا المقدر نفس

245
00:22:37,360 --> 00:22:41,200
هذا المقدر زي ما قلنا إذا صار عند هذا المقدر بساوة

246
00:22:41,200 --> 00:22:46,800
سفر لإن التنين بسينا بساوة سفر إذا صار عنده limitF

247
00:22:46,800 --> 00:22:50,880
of X على X minus C اللي هو الـ absolute value as X

248
00:22:50,880 --> 00:22:56,100
بتروح للـ C بساوة صفر ومن ثم اللي جوا بساوة صفر هو

249
00:22:56,100 --> 00:22:58,740
مين هو اللي جوا هذا اللي كنا بدنا نصله من الأول

250
00:22:58,740 --> 00:23:04,260
اللي هو F prime of C بتساوة صفر وهو المطلوب هذا

251
00:23:04,260 --> 00:23:10,300
توضيح بشكل كامل ل اللي صار في اللي هو الاتجاه

252
00:23:10,300 --> 00:23:16,200
الثاني نيجينا سؤال بعد ما خلصنا السؤال سبعةنجي

253
00:23:16,200 --> 00:23:23,420
لسؤال تسعة تسعة ايش اللي بقوله تسعة نشوف ايش سؤال

254
00:23:23,420 --> 00:23:31,360
تسعة بقول ونحل سؤال تسعة سؤال تسعة بقول ليه

255
00:23:31,360 --> 00:23:39,110
باختصار انه لو كان عنده ال function ofعبارة عن من

256
00:23:39,110 --> 00:23:43,130
R لـ R even function طبعا عارفين ايش ال even اللي

257
00:23:43,130 --> 00:23:49,130
هو F ناقص X بيساوي F X لكل X موجودة في الـ R and

258
00:23:49,130 --> 00:23:54,310
has a derivative at every point then F prime is an

259
00:23:54,310 --> 00:23:58,190
odd function يعني بيقول لي لو كانت باختصار يعني لو

260
00:23:58,190 --> 00:24:01,730
كانت ال F even و ال derivative موجودة بتكون ال

261
00:24:01,730 --> 00:24:07,010
derivative odd و لو كانت ال derivative oddبتكون

262
00:24:07,010 --> 00:24:11,350
الـ function الـ G prime إيه شمالها is even انحل

263
00:24:11,350 --> 00:24:16,970
واحدة من هنا والتانية similarly زيها الآن لنفترض F

264
00:24:16,970 --> 00:24:29,890
من عند R لعند R be an odd differentiable function

265
00:24:29,890 --> 00:24:34,970
ماشي الحال show that

266
00:24:36,040 --> 00:24:44,360
F' is even a proof بدنا نثبت أنه لو كانت الـ F

267
00:24:44,360 --> 00:24:49,940
اللي هي odd function بدو يكون عنده و

268
00:24:49,940 --> 00:24:52,320
differentiable بدو يكون عنده derivative إلها إيه

269
00:24:52,320 --> 00:25:03,000
إيش even لأن let C element in R be arbitrary and

270
00:25:03,000 --> 00:25:04,180
fixed

271
00:25:06,310 --> 00:25:15,930
NR ناخد الـ R ناخد الـ C أي اللي هو real number in

272
00:25:15,930 --> 00:25:23,360
R لكن نحكي عن اي شي محدد الان F prime of Cبدأ

273
00:25:23,360 --> 00:25:29,060
أثبتلك أنه هو بسوء F prime of ناقص C يعني F prime

274
00:25:29,060 --> 00:25:34,920
is even إذا خد F prime ناقص C وابدأ حسب وواصلك في

275
00:25:34,920 --> 00:25:39,140
النهاية بسوء F prime of C إذا F prime is even بسوء

276
00:25:39,140 --> 00:25:49,380
limit اللي هي F of X ناقص F of minus C على X minus

277
00:25:50,570 --> 00:25:57,070
اللي هو minus C لما X تروح لمين لـ minus C مظبوط

278
00:25:57,070 --> 00:26:05,550
طيب و يساوي limit ال F إيش معتنيها عبارة عن odd

279
00:26:05,550 --> 00:26:12,250
إيش يعني odd يعني F of ناقص X بيساوي ناقص F of X

280
00:26:12,250 --> 00:26:16,590
مظبوط هذه اللي هي إيش ما لها odd function اللي هو

281
00:26:16,590 --> 00:26:28,550
بيساوي limit F ofالان اللي هي ناقص f of ناقص x

282
00:26:28,550 --> 00:26:34,150
واضح أه؟

283
00:26:34,150 --> 00:26:37,150
f of ناقص x بيساوي ناقص f of x يعني f of x بيساوي

284
00:26:37,150 --> 00:26:41,230
ناقص f of ناقص x فالجد تعرفوا ليش بعملت هيك لأن

285
00:26:41,230 --> 00:26:48,570
ناقص f of ناقص c الان f is odd مظبوط بيصير زائد f

286
00:26:48,570 --> 00:26:49,330
of c

287
00:26:52,220 --> 00:26:58,060
على خد الان ناقص من هنا عامل مشترك بيصير عبارة عن

288
00:26:58,060 --> 00:27:08,220
ناقص X الان ناقص ال C لما X تروح لمين لسالب ال C

289
00:27:08,220 --> 00:27:14,040
ال X بتروح لسالب ال C إذا و فقط إذا سالب ال X

290
00:27:14,040 --> 00:27:22,160
بتروح لمين إلى ال C الان خد لي Yبساوي سالب ال X

291
00:27:22,160 --> 00:27:29,240
واستبدل عشان نضح لك إياه بساوي limit الان خد الان

292
00:27:29,240 --> 00:27:38,320
عندي F حكما كان نقص اكسميا ال Y limit ناقص F of Y

293
00:27:38,320 --> 00:27:49,390
زائد F of C على اللي هو Y بتروح إلى ال Cوهنا y

294
00:27:49,390 --> 00:27:57,430
ناقص ال c وهنا في عندي ايش برضه ناقص برا لان خد من

295
00:27:57,430 --> 00:28:01,670
هنا ناقص عام المشترك او ضيعه مع الناقص اللي هنا

296
00:28:01,670 --> 00:28:11,160
ماضح اه بيصير عندي y ساوي limit f of yنقص f of c

297
00:28:11,160 --> 00:28:16,800
على y minus c لما y تروح لل c وهذا عبارة عن f

298
00:28:16,800 --> 00:28:22,440
prime لمين لل c بدأنا ب f prime نقص c وانتهينا ب f

299
00:28:22,440 --> 00:28:31,520
prime لل c لذا therefore f prime is even whenever

300
00:28:31,520 --> 00:28:37,160
f is odd and f is differentiable

301
00:28:40,710 --> 00:28:56,810
السؤال الأخير السؤال 13 السؤال

302
00:28:56,810 --> 00:29:03,990
13 هو كما يلي اش

303
00:29:03,990 --> 00:29:09,200
اللي بقول السؤال 13سؤال 13 بيقول إذا كانت F من R

304
00:29:09,200 --> 00:29:12,380
لـ R is differentiable at C element in R show that

305
00:29:12,380 --> 00:29:16,840
F prime of C سوى limit N في F of C زائد 1 لأن ناقص

306
00:29:16,840 --> 00:29:20,620
F of C as N goes to infinity يعني لو كانت F

307
00:29:20,620 --> 00:29:24,900
differentiable عند الـ C element in R بنقدر نكتب

308
00:29:24,900 --> 00:29:27,920
ال derivative اللي هي F prime of C على سورة limit

309
00:29:27,920 --> 00:29:32,320
N F of C زائد 1 لأن ناقص F of C as N goes to

310
00:29:32,320 --> 00:29:38,120
infinityلكن بيقول لي by example show that the

311
00:29:38,120 --> 00:29:44,000
existence of this limit this limit need not اللي

312
00:29:44,000 --> 00:29:52,300
هو imply the existence of the derivative نيجي

313
00:29:52,300 --> 00:30:03,960
الآن للجزء الأول عندي F من R لRو F prime of C

314
00:30:03,960 --> 00:30:12,120
exist لانه يقول لي prove that F prime of C can be

315
00:30:12,120 --> 00:30:20,760
written as limit on F of C زائد واحدة لان ناقص F

316
00:30:20,760 --> 00:30:26,180
of C as N goes to infinity هذا الجزء الأول الجزء

317
00:30:26,180 --> 00:30:32,400
الثاني حنجي الان نقول prove للجزء الأولقبل ما نقول

318
00:30:32,400 --> 00:30:37,700
الـ proof نذكركم بس بنظرية سابقة في الـ real واحد

319
00:30:37,700 --> 00:30:43,840
إنه لو عندي limit f of x لما x تروح لل c لو كانت

320
00:30:43,840 --> 00:30:52,780
بتساوي Lبكون عندى أي sequence xₙ بتروح للـ C لازم

321
00:30:52,780 --> 00:30:59,020
يتحقق لها limit f of xₙ as n goes to infinity

322
00:30:59,020 --> 00:31:05,530
بساوي برضه الـكنا نتحدث بالحديث، باستبداء الحديث

323
00:31:05,530 --> 00:31:08,670
عن الـ limit العادية للـ function S X بتروح للـ C

324
00:31:08,670 --> 00:31:13,470
إلى limit لمين للـ sequence أو limit للـ sequences

325
00:31:13,470 --> 00:31:17,290
الآن بنستخل هذه اللي هو المعلومة في إثبات اللي

326
00:31:17,290 --> 00:31:22,630
بدنايا عند الآن since F prime of C exist بما أنه

327
00:31:22,630 --> 00:31:29,250
ال derivative عند C موجودةإذا أكيد عندي صار f

328
00:31:29,250 --> 00:31:37,010
prime of c بسهولمة f of x أو اللي هي الـ x عند c

329
00:31:38,080 --> 00:31:46,140
زائد h ناقص f of c على h as h goes to mean to zero

330
00:31:46,140 --> 00:31:49,860
اللي هو التعريف التعريف ال derivative أو الشكل

331
00:31:49,860 --> 00:31:52,980
الآخر للتعريف ال derivative f of c زائد ال

332
00:31:52,980 --> 00:31:55,560
increment ناقص f of c على ال increment as ال

333
00:31:55,560 --> 00:32:01,600
increment goes to mean to zero ماشي الحل ال L بما

334
00:32:01,600 --> 00:32:07,480
أنه اللي هو ال 1 على N sequence بتروح للسفروهذا

335
00:32:07,480 --> 00:32:11,440
الـ limit exist لأن حسب النظرية اللي حكيتها قبل

336
00:32:11,440 --> 00:32:21,100
بشوية بكون عندي لأن but كذا then F prime of C can

337
00:32:21,100 --> 00:32:26,580
be اللي هو إعادة اللي هي rewritten as a limit of a

338
00:32:26,580 --> 00:32:36,800
sequence F of اللي هو limit limitF of C زائد but

339
00:32:36,800 --> 00:32:40,000
الـ H اللي هي تروح للصفر صارت mean ال sequence

340
00:32:40,000 --> 00:32:46,380
واحدة ل N تروح للصفر واحدة ل N ناقص F of C على

341
00:32:46,380 --> 00:32:52,640
واحدة ل N as N goes to infinity مدامت ال sequence

342
00:32:52,640 --> 00:32:57,100
واحدة ل N بتروح للصفر صارت ال F of واحدة ل N اللي

343
00:32:57,100 --> 00:33:00,900
هي عبارة عن F of C زائد واحدة ل N لإن الـ C عبارة

344
00:33:00,900 --> 00:33:07,740
عن إياش فالتةواضح أه؟ الان هذا بيساوي اللي هو

345
00:33:07,740 --> 00:33:14,600
limit الان as n goes to infinity اللي هو أكيد اللي

346
00:33:14,600 --> 00:33:21,920
هو بيصير عندي f n في الجوس f of c زائد واحدة ل n

347
00:33:21,920 --> 00:33:28,260
ناقص f of c اللي هو as n goes to infinity هو هذا

348
00:33:28,260 --> 00:33:35,150
صار f prime of c وهو المطلوبالان conversely the

349
00:33:35,150 --> 00:33:37,890
converse need not to be true in general هيك بيقول

350
00:33:37,890 --> 00:33:45,390
ليه يعني بيقوللي if if بيقوللي او اللي بيقول if f

351
00:33:45,390 --> 00:33:53,670
برا اللي هو limit f of c زاد واحدة ل n ناقص f of c

352
00:33:53,670 --> 00:34:01,610
الكل مضروف في n as n goes to infinity exist if كده

353
00:34:02,500 --> 00:34:12,640
then f prime at c need not be exist اصلا مش انه

354
00:34:12,640 --> 00:34:16,180
يكون بيسوي هذا او لا need not to be اشمله exist

355
00:34:16,180 --> 00:34:19,640
لان لو كان exist على طول بيسوي اما need not to be

356
00:34:19,640 --> 00:34:28,200
exist ومااخد مثال جالي consider consider consider

357
00:34:28,200 --> 00:34:37,000
f of xبساوي ال absolute value لل X وخد عند ال C أش

358
00:34:37,000 --> 00:34:46,440
بتساوي سفر واضح F prime of 0 does not exist لأنها

359
00:34:46,440 --> 00:34:48,780
عبارة عن corner point، انتوا عارفين احنا اللي هو

360
00:34:48,780 --> 00:34:52,480
ال F prime عند ال zero لل absolute value does not

361
00:34:52,480 --> 00:34:59,740
exist لكن هذه متحققة، ليش؟ but limit

362
00:35:01,280 --> 00:35:10,900
N في F of 0 زائد 1 على N نقص F of 0 as N goes to

363
00:35:10,900 --> 00:35:18,840
infinity بساوي limit N F of 0 زائد 1 على N يعني F

364
00:35:18,840 --> 00:35:23,560
of 1 على N F of X بساوي absolute value X ف1 على N

365
00:35:23,560 --> 00:35:28,960
مظبوط أه as N goes to infinity طبعا الـ N بتروح

366
00:35:29,220 --> 00:35:35,100
يصير عبارة عن ash واحد إذا فعلا جبنا مثال أن ال

367
00:35:35,100 --> 00:35:39,720
limit هذه تكون exist و سوى واحد but ال F prime عند

368
00:35:39,720 --> 00:35:42,640
هذا النقطة C اللي هي 00 في هذه الحالة does not

369
00:35:42,640 --> 00:35:47,320
exist بيكون هيك احنا انتهينا من الجزء الأول من

370
00:35:47,320 --> 00:35:54,870
المحاضرة الخامسةاللي هو discussion لأو مناقشة ل

371
00:35:54,870 --> 00:35:59,910
section 6-1 اللي هو the derivative والآن سنكمل

372
00:35:59,910 --> 00:36:05,690
الحديث في الجزء الثاني من المحاضرة اللي هو عن اللي

373
00:36:05,690 --> 00:36:09,250
هو the mean value theorem أو اللي هي نكمل

374
00:36:09,250 --> 00:36:11,910
applications على mean value theorem وناخد اللي هو

375
00:36:11,910 --> 00:36:12,030
ال