1
00:00:04,890 --> 00:00:08,570
بسم الله الرحمن الرحيم الآن نتحدث عن الجزء الثاني

2
00:00:08,570 --> 00:00:14,690
من المحاضرة الخامسة لطلبة قسم رياضيات في كلية 

3
00:00:14,690 --> 00:00:18,850
العلوم بالجامعة الإسلامية بغزة الجزء الثاني طبعا

4
00:00:18,850 --> 00:00:22,050
زي ما وعدناكم في البداية قلنا اللي هو هنكمل فيه

5
00:00:22,050 --> 00:00:25,970
اللي هو 6.2 اللي هي تطبيقات على الـ mean value

6
00:00:25,970 --> 00:00:28,490
theorem أو applications on mean value theorem

7
00:00:28,490 --> 00:00:32,390
هيكون في عندنا two applications اللي هو الـ

8
00:00:32,390 --> 00:00:34,790
application الأول على الـ Mean Value Theorem هو

9
00:00:34,790 --> 00:00:38,290
عبارة عن اللي هو Bernoulli's Inequality، هنبرهن

10
00:00:38,290 --> 00:00:42,150
Bernoulli's Inequality، وبعدين هنتحدث عن اللي هو

11
00:00:42,150 --> 00:00:47,370
Darboux's Theorem، تشوف كيف اللي هو بيصير الأمور،

12
00:00:47,370 --> 00:00:51,960
نبدأ الآن في الجزء الأول، اللي هو عبارة عن

13
00:00:51,960 --> 00:00:55,840
Bernoulli Inequality Bernoulli's Inequality اللي هي

14
00:00:55,840 --> 00:00:58,700
بتقولنا لو كانت عندي Alpha عبارة عن real number

15
00:00:58,700 --> 00:01:02,500
أكبر من واحد هيكون عندي الواحد زائد X to the Alpha 

16
00:01:02,500 --> 00:01:06,900
أكبر أو يساوي واحد زائد Alpha X لكل X أكبر من من

17
00:01:06,900 --> 00:01:10,780
ناقص واحد with equality if and only if عند X مين

18
00:01:10,780 --> 00:01:15,140
عند X بيساوي صفر عندنا الـ equality عند X أيش

19
00:01:15,140 --> 00:01:20,390
بتساوي بتساوي صفر شوف زي ما عملنا المرة الماضية

20
00:01:20,390 --> 00:01:26,070
اللي هو E to the X اللي هي لما أخذناها وثبتنا إنها

21
00:01:26,070 --> 00:01:29,550
أكبر أو يساوي اللي هي الواحد زائد Alpha X

22
00:01:29,550 --> 00:01:33,990
والمساواة if and only if  الـ  يساوي اللي هو واحد الآن see

23
00:01:33,990 --> 00:01:42,510
Bernoulli's inequality Bernoulli's inequality اللي

24
00:01:42,510 --> 00:01:50,040
هي كما يعني عندي خذ Alpha أكبر من واحد فـ Alpha أكبر 

25
00:01:50,040 --> 00:01:55,740
من واحد then لو واحد زائد X to the Alpha أكبر أو يساوي

26
00:01:55,740 --> 00:02:01,460
واحد زائد Alpha X لكل X أكبر من ناقص واحد والشغل

27
00:02:01,460 --> 00:02:05,980
الثاني إن الـ equality الـ equality بتحدث if and 

28
00:02:05,980 --> 00:02:13,300
only if X بتساوي صفر طبعا الآن لو X بتساوي صفر

29
00:02:13,300 --> 00:02:19,180
automatically automatically بيصير عندي واحد بيساوي واحد لو

30
00:02:19,180 --> 00:02:22,920
X بتساوي صفر Conversely هيطلع من خلال البرهان

31
00:02:22,920 --> 00:02:27,520
باقي البرهان نشوف كيف plan approved صلوا على

32
00:02:27,520 --> 00:02:32,280
النبي عليه الصلاة والسلام نسجلها الأولى if X

33
00:02:32,280 --> 00:02:38,780
بتساوي صفر it is clear that واحد زائد X تقريبا

34
00:02:38,780 --> 00:02:43,760
Alpha اللي هي بتساوي واحد بتساوي واحد زائد Alpha X

35
00:02:43,760 --> 00:02:50,320
هذه ده case X أيش بتساوي بتساوي صفر طيب الآن بدأ

36
00:02:50,320 --> 00:02:55,230
أثبت الـ inequality هذه هأثبت لك في الواقع اللي هو

37
00:02:55,230 --> 00:02:58,470
strict inequality أكبر strictly من واحد زائد Alpha

38
00:02:58,470 --> 00:03:03,190
X لكل X أكبر من ناقص واحد ولا تساوي صفر في هذه

39
00:03:03,190 --> 00:03:06,930
الحالة بيكون أمامنا أثبتنا الاتجاه الثاني طيب،

40
00:03:06,930 --> 00:03:14,900
نشوف كيف، الآن خذ X for X أكبر من صفر الآن احنا

41
00:03:14,900 --> 00:03:17,460
بنحكي عن تطبيقات للـ Mean Value Theorem إذا أنا 

42
00:03:17,460 --> 00:03:20,260
متوقع إن أنا أطبقها الـ Mean Value Theorem طبعا

43
00:03:20,260 --> 00:03:24,480
لاحظ إن الـ 1 زائد X to the Alpha هذه اللي هي

44
00:03:24,480 --> 00:03:27,640
الدالة اللي بدي استخدمها اللي بتطبق عليها الـ Mean

45
00:03:27,640 --> 00:03:31,060
Value Theorem وهذه أصلا is differentiable

46
00:03:31,060 --> 00:03:36,360
everywhere it is defined قابلة الاشتقاق لكل X أكبر

47
00:03:36,360 --> 00:03:41,560
من ناقص واحد ولكل Alpha أكبر من 100 من 1 ماشي الحال

48
00:03:41,560 --> 00:03:50,160
إذا الآن for x أكبر من صفر we apply the mean value

49
00:03:50,160 --> 00:03:57,400
theorem on .. مين هو؟ on f of x بيساوي 1 زائد x to

50
00:03:57,400 --> 00:04:03,340
the alpha على الـ interval .. on the interval مين هي

51
00:04:03,340 --> 00:04:07,920
نتوقع؟ اللي هي صفر و X زي ما عملنا المرة الماضية

52
00:04:07,920 --> 00:04:12,380
لأننا مهتمين بمين بالمنطقة 0 و X على أساس إن نحصل

53
00:04:12,380 --> 00:04:18,260
على هذه الـ inequality زي ما هنشوف كيف واضح اه؟ إيش

54
00:04:18,260 --> 00:04:20,400
الـ mean value theorem بتقول إذا كانت F

55
00:04:20,400 --> 00:04:23,820
continuous على هذه و differentiable على الـ open و

56
00:04:23,820 --> 00:04:30,940
هذا كله متحقق إذا then there exists C element in 0

57
00:04:30,940 --> 00:04:41,560
X such that اللي هو F prime of C بيساوي اللي هو F of

58
00:04:41,560 --> 00:04:47,840
X ناقص F of Zero على X minus Zero اللي مضروبة وين

59
00:04:47,840 --> 00:04:53,820
وكأنه في X على X minus Zero يعني وكأنه هذه مضروبة

60
00:04:53,820 --> 00:05:00,260
في X واضح اه؟ الآن الـ F prime للدالة هذه اللي

61
00:05:00,260 --> 00:05:03,680
أخدتها الـ F prime إلها أكيد كلكم بتعرفوا كام إلها

62
00:05:03,680 --> 00:05:08,800
على جهة الـ F prime بتحسبها عند مين عند C فبيصير X

63
00:05:08,800 --> 00:05:15,780
في الـ F prime إلها Alpha في واحد زائد X أس Alpha

64
00:05:15,780 --> 00:05:20,440
ناقص واحد لكن بتحسبها عند مين عند C إذا هذه بتكون

65
00:05:20,440 --> 00:05:27,340
C بيساوي اللي هو f of x قد إيش اللي هي واحد زائد x to

66
00:05:27,340 --> 00:05:30,700
the alpha وهي اللي بدي إياها أنا f of zero أيش بتساوي

67
00:05:30,700 --> 00:05:36,400
f of zero بتساوي واحد ناقص واحد اللي صار عندي إذا

68
00:05:36,400 --> 00:05:44,260
اللي هو واحد زائد x to the alpha بيساوي واحد زائد

69
00:05:44,260 --> 00:05:51,850
x في Alpha في واحد زائد c أس Alpha ناقص واحد معايا

70
00:05:51,850 --> 00:06:00,130
يا شباب هذه سميها واحد واضح

71
00:06:00,130 --> 00:06:06,770
اه؟ الآن عندي الـ Alpha أكبر من مين؟ من واحد لأن

72
00:06:06,770 --> 00:06:12,590
but Alpha ناقص واحد أكبر من مين؟ من صفر لأن الـ

73
00:06:12,590 --> 00:06:19,130
Alpha أكبر من واحد وعندي هذه الـ C أمامها بين الـ

74
00:06:19,130 --> 00:06:26,650
0 والـ X يعني أكبر من 0 and C أكبر من 0 إذا صار

75
00:06:26,650 --> 00:06:37,420
عندي المقدار هذا 1 زائد C نفسه أكبر من 1 ولما ترفعه

76
00:06:37,420 --> 00:06:43,080
لأس موجب، هيظل أكبر من مين؟ و strictly أكبر من

77
00:06:43,080 --> 00:06:47,660
واحد، والمساواة بس عند مين، عند الـ C بيساوي صفر،

78
00:06:47,660 --> 00:06:53,730
واضح اه؟ طيب الآن صار هذا المقدار أكبر من واحد إذا

79
00:06:53,730 --> 00:07:00,250
عندي X موجبة و Alpha موجبة مظبوط ولا لأ لأن X هي

80
00:07:00,250 --> 00:07:05,790
أكبر من 0 و Alpha أكبر من 1 إذا أضرب الجهتين في

81
00:07:05,790 --> 00:07:13,510
Alpha في X بيصير عندي Alpha في X and so Alpha في X

82
00:07:13,510 --> 00:07:22,710
بالضرورة أكبر من مين Alpha X في الـ 1 زي الـ C plus

83
00:07:22,710 --> 00:07:27,110
Alpha minus 1 بيبقى أكبر من 100 من Alpha في x

84
00:07:27,110 --> 00:07:30,670
واضح اللي سويناه ضربنا Alpha x في الجهتين والـ 

85
00:07:30,670 --> 00:07:33,890
Alpha x موجبة ضلت الـ inequality زي ما هي طبعا لا

86
00:07:33,890 --> 00:07:39,370
تساوي الصفة بالألف ولا الـ X إذا من 1 ومن 2 we

87
00:07:39,370 --> 00:07:44,530
have done from 1

88
00:07:44,530 --> 00:07:51,270
and 2 من واحد واثنين بيطلع عندي اللي هو واحد

89
00:07:51,270 --> 00:07:57,130
زائد X طول Alpha اللي هو بيساوي المقدار هذا اللي

90
00:07:57,130 --> 00:08:02,070
هذا الجزء منه أثبتنا إنه أكبر من مين من Alpha في X

91
00:08:02,070 --> 00:08:13,800
لذا صار هذا أكبر من واحد زائد Alpha X أي سؤال؟ إذا

92
00:08:13,800 --> 00:08:18,120
في حالة الـ X أكبر من 0 وجدنا الـ 1 زائد X أو أكبر من

93
00:08:18,120 --> 00:08:25,580
1 زائد Alpha X لأن هنعمل نفس الشيء بس في الحالة مين؟

94
00:08:25,580 --> 00:08:32,400
في حالة الـ X أصغر من 0 وطبعا أكبر من مين؟ من سالب

95
00:08:32,400 --> 00:08:37,860
1 إذا بدي اخذ الـ X أكبر من 0 وأكبر من ناقص 1 وأصغر

96
00:08:37,860 --> 00:08:42,250
من مين؟ من 0 لاحظ لما تكون X أكبر من ناقص واحد أصغر

97
00:08:42,250 --> 00:08:46,110
من صفر برضه نطبق الـ mean value theorem على هذه

98
00:08:46,110 --> 00:08:53,450
نفس الدالة الآن on the interval الآن X وصفر

99
00:08:53,450 --> 00:08:57,850
لأن X هي مالها الصغيرة على الـ interval X وصفر لأن

100
00:08:57,850 --> 00:09:03,110
X سالبة طيب إذا برضه there exists C element الـ

101
00:09:03,110 --> 00:09:11,000
mean in X وصفر is نفس البرهان such that X فـ F 

102
00:09:11,000 --> 00:09:15,000
prime of C بيساوي F of X ناقص F of Zero نفس الحاجة

103
00:09:15,000 --> 00:09:19,140
بيصير الـ X في Alpha في هذا المقدار وهذا المقدار

104
00:09:19,140 --> 00:09:23,160
ما تغيرش ولا شيء بيصير واحد زائد X وده Alpha بيساوي

105
00:09:23,160 --> 00:09:26,360
واحد زائد X في Alpha في واحد زائد C أس Alpha ناقص

106
00:09:26,360 --> 00:09:31,560
واحد الآن بيجي الأسباب هنا الـ Alpha ناقص واحد

107
00:09:31,560 --> 00:09:36,840
أمامها أكبر من صفر زي ما هو لكن الـ C الآن اللي

108
00:09:36,840 --> 00:09:41,110
لجيناها وين موجودة في المنطقة السالبة ده الـ C أيش

109
00:09:41,110 --> 00:09:47,830
هتصير معاينتوش يا بابا هتصير الـ C أصغر من مين من

110
00:09:47,830 --> 00:09:53,990
صفر سالبة مدام الـ C سالبة إذا واحد زائد C هتصير

111
00:09:53,990 --> 00:10:01,310
أصغر من مين من واحد واحد زائد C أصغر من واحد واضح

112
00:10:01,310 --> 00:10:09,690
طيب مدام واحد زائد C أصغر من واحد هيكون عندي and so

113
00:10:09,690 --> 00:10:19,130
أضرب الجهتين الآن في اللي هي Alpha Alpha Alpha

114
00:10:19,130 --> 00:10:22,410
بتظل زي ما هي لما نضرب في Alpha لأن Alpha إيه

115
00:10:22,410 --> 00:10:26,370
معناها موجبة ده لو ضربت في Alpha هنا و Alpha هنا

116
00:10:26,370 --> 00:10:31,600
بتظل زي ما هي لأن بدنا نضرب في مين؟ في X و X

117
00:10:31,600 --> 00:10:37,740
أمامها سالبة فهتنجلي بالإشارة كمان مرة بيصير and

118
00:10:37,740 --> 00:10:44,220
so X في Alpha في واحد زائد C أس Alpha ناقص واحد

119
00:10:44,220 --> 00:10:51,150
هتصير أكبر من Alpha في X لأن X سالبة إذا صار عندي

120
00:10:51,150 --> 00:10:56,590
هذا المقدار أكبر من هذا لأن من واحد ومن اثنين زي

121
00:10:56,590 --> 00:11:00,650
ما عملنا قبل بشوية بتصير المقدار هذا اللي هو أكبر

122
00:11:00,650 --> 00:11:04,750
من واحد زائد Alpha X strictly لاحظوا إنه في

123
00:11:04,750 --> 00:11:11,630
الجهتين سواء X أكبر من صفر أو أصغر من صفر لجينا إن

124
00:11:11,630 --> 00:11:16,350
الـ inequality هذه متحققة أو strictly متحققة

125
00:11:19,030 --> 00:11:25,190
الآن المساواة وين صارت؟ عند الصفر فالآن عشان ناخذ

126
00:11:25,190 --> 00:11:29,090
بعين الاعتبار الحالة اللي هي x أكبر من ناقص واحد و

127
00:11:29,090 --> 00:11:33,430
أصغر من صفر وحالة x أكبر من صفر وحالة x بتساوي

128
00:11:33,430 --> 00:11:38,870
صفر بيصير هذا المقدار أكبر أو يساوي لكل x لكل x

129
00:11:38,870 --> 00:11:43,760
ماله أكبر من ناقص واحد لأن الاتجاه الثاني من هذا

130
00:11:43,760 --> 00:11:48,880
أثبتناه في الواقع إيش هو إنه لو كان فيه equality X

131
00:11:48,880 --> 00:11:54,280
بتساوي 0 أو بمعنى آخر X لا تساوي 0 بيعطي إيش

132
00:11:54,280 --> 00:12:01,720
أمامها non equality is not equal وهذا حدث كيف حدث

133
00:12:01,720 --> 00:12:06,240
أثبتنا إنه لما X أكبر من ناقص واحد وأصغر من 0 أو X

134
00:12:06,240 --> 00:12:10,720
أكبر من 0 لجينا إنه هذه strictly أكبر يعني بتساوي

135
00:12:10,720 --> 00:12:15,260
hash إذا صار عند الـ equality تحدث if and only if X

136
00:12:15,260 --> 00:12:22,580
بساوي صفر أي سؤال؟

137
00:12:22,580 --> 00:12:30,240
طيب نيجي الآن نيجي الآن للـ intermediate value of

138
00:12:30,240 --> 00:12:35,960
property of derivative خلّيني ألقى في عينتها إذا

139
00:12:35,960 --> 00:12:42,760
بتتذكروا في الـ intermediate value of property اللي

140
00:12:42,760 --> 00:12:46,660
هو for a continuous function إذا بتذكروا فيه اللي

141
00:12:46,660 --> 00:12:53,540
هو real واحد اللي كانت تقول إذا كانت تقول إنه لو 

142
00:12:53,540 --> 00:13:01,880
كانت الـ F function continuous على a closed open على

143
00:13:01,880 --> 00:13:07,020
closed interval من A لعند B continuous على الفترة

144
00:13:07,020 --> 00:13:16,060
هذهو إجيت أخدت أي نقطة K بين الـ F of A و بين الـ F

145
00:13:16,060 --> 00:13:22,900
of B إجيت أخدت أي نقطة .. خد مثلا نقطة K بين F of

146
00:13:22,900 --> 00:13:31,240
A .. هي F of A و هي F of B .. هي F of A و هي F of 

147
00:13:31,240 --> 00:13:36,540
B لو إجيت أخدت أي K بينهم هتلاقي .. هو خلي ناخد K

148
00:13:36,540 --> 00:13:43,830
هنا مثلاهتلاقي على الأقل نقطة في الفترة A وB بتكون

149
00:13:43,830 --> 00:13:49,890
اللي هو صورتها عبارة عن مين؟ عن الـ K يعني بمعنى

150
00:13:49,890 --> 00:13:55,970
آخر there exists C element in A و B such that F of

151
00:13:55,970 --> 00:14:01,050
C هي مين الـ K و لا أصلا مش هتلاقيها continuous لو

152
00:14:01,050 --> 00:14:05,530
مافشلها فئلة و جينا مدينا خطنا هلجيت و مالجيناش

153
00:14:05,530 --> 00:14:09,290
ولا واحدة من هذه النقاط اللي هو تقطع الخط معناته

154
00:14:09,290 --> 00:14:14,410
أنه صار فيه jump مش هيكون في continuity الان هنا مش

155
00:14:14,410 --> 00:14:19,890
في نقطة هي نقطة هي نقطتين هي تلاتة كلهم صورتين هي

156
00:14:19,890 --> 00:14:27,610
C1 هي C2 هي C3 كلهم F of C1 K F of C2 K F of C3 K

157
00:14:27,610 --> 00:14:33,150
المهم على الأقل في C element in A وB اللي هي بحيث

158
00:14:33,150 --> 00:14:36,210
F of C بالساوة K هذا لو كان اتقفز continuous على

159
00:14:36,210 --> 00:14:40,650
closed اللي هي bounded interval اللي عندك الآن

160
00:14:43,230 --> 00:14:47,090
الحديث بيقول لي في شيء مشابه في حالة أن الـ F' is

161
00:14:47,090 --> 00:14:53,950
differentiable الآن بيقولك لو كانت K بين الـ F' لل

162
00:14:53,950 --> 00:14:58,970
A و الـ F' لل B برضه هنلاقيها بتتحقق اللي هو there

163
00:14:58,970 --> 00:15:03,810
exists C بحيث أن F prime of C بتساوي اللي هو الـ K

164
00:15:03,810 --> 00:15:10,530
نحكي عنها بالرغم أنه مش مفترضين احنا في النظرية

165
00:15:10,530 --> 00:15:14,190
اللي هو الـ continuity الـ continuity للـ F prime

166
00:15:16,020 --> 00:15:19,360
فضبجنا على الـ F' لكن مش .. لأنهم افترضينا على طول

167
00:15:19,360 --> 00:15:22,300
تتطبق الـ Intermediate Value Theorem بس على الدالة

168
00:15:22,300 --> 00:15:26,980
الـ F' لكن لأ ما هو مخزون في دالة .. خلال الـ F'

169
00:15:27,380 --> 00:15:33,140
من معلومات أهلها أنه في حالة F is differentiable

170
00:15:33,140 --> 00:15:37,940
على الـ interval I و الـ F ب .. و لجينا .. وفي عندي

171
00:15:37,940 --> 00:15:43,120
أخدت أي K بين الـ F' of A و الـ F' of B هتلاقي C

172
00:15:43,120 --> 00:15:48,380
في الـ A و الـ B بحيث انه اللي هي F' of C هي هذه

173
00:15:48,380 --> 00:15:51,920
الـ K هنشوفها هذه اللي بنسميها Daraboxes theorem

174
00:15:51,920 --> 00:15:55,980
قبل ما نروح للـ Daraboxes theorem خلينا نيجي لللمة

175
00:15:55,980 --> 00:16:00,680
اللي جابلة اللي هنستخدمها في إثبات الـ Daraboxes

176
00:16:00,680 --> 00:16:07,340
theorem الآن النظرية هذه أو اللمّة هذه اللي هو

177
00:16:07,340 --> 00:16:10,880
خلّينا نستذكرها من خلال الرسم ممكن يكون أسهل لكم

178
00:16:10,880 --> 00:16:16,680
من خلال الرسم بتقولّي إنه لو كانت عندنا function F

179
00:16:16,680 --> 00:16:22,300
is differentiable على اللي هو interval معينة

180
00:16:22,300 --> 00:16:29,120
و لجينا عند C معينة هي F prime عند C موجبة F prime

181
00:16:29,120 --> 00:16:33,940
عند C موجبة يعني F prime at some C أكبر من 0 يعني

182
00:16:33,940 --> 00:16:37,160
مين المماس إيه اللي شماله اللي هو زاوية حادة عامل

183
00:16:37,160 --> 00:16:43,660
زاوية حادة ماشي الآن بقولي هتلاقي الآن بده يبحث عن

184
00:16:43,660 --> 00:16:49,260
نقاط تكون أكبر من مين من F of C الآن هتلاقي اللي

185
00:16:49,260 --> 00:16:56,370
هو هذا C اللي بتحكي عنها وهنا اللي هو في جوار حوالي

186
00:16:56,370 --> 00:16:59,410
هذين there exist إذا كان f of rank of c أكبر من

187
00:16:59,410 --> 00:17:03,630
صفر there exists delta أكبر من صفر such that f of

188
00:17:03,630 --> 00:17:11,960
x هنلاقيها أكبر من F of C لكل X وين متوقع أنا هان

189
00:17:11,960 --> 00:17:17,300
لإنها الميل هيه إذا في الوين عشان C ل C زائد Delta

190
00:17:17,300 --> 00:17:19,620
مش في الفترة اللي جابلة، في الفترة اللي جابلة

191
00:17:19,620 --> 00:17:23,960
هتلاقي اللي هي النقطات أشملها أجل لأنا الآن ببحث

192
00:17:23,960 --> 00:17:29,420
.. ببحث لم تبعت هيك بدها اللي هو there exist دلتا

193
00:17:29,420 --> 00:17:32,120
أكبر من صفر ساشداد F of X أكبر من F of C لكل X

194
00:17:32,120 --> 00:17:40,200
و اللي موجود من الـ C للـ C زائد دلتا معايا؟ الآن

195
00:17:40,200 --> 00:17:47,320
بقولك لو لجينا F prime للـ C عند نقطة ما F prime

196
00:17:47,320 --> 00:17:54,130
للـ C هي الـ C التانية لو لجينا F prime للـ C أصغر

197
00:17:54,130 --> 00:17:57,210
من صفر عشان .. عشان ما تحفظهاش حفظ عشان لو انسيتها

198
00:17:57,210 --> 00:18:00,890
تستنتجها لحالك لو كان F' للـ C أصغر من صفر يعني ميل

199
00:18:00,890 --> 00:18:06,710
المماس سلب يعني زاوية منفرجة الآن هتلاقي Delta

200
00:18:06,710 --> 00:18:13,360
أكبر من صفر يعني تمثل جوار بحيث أن F of X برضه أكبر

201
00:18:13,360 --> 00:18:19,000
من F of C لكل X وين موجودة هي وارحة منها لكل X

202
00:18:19,000 --> 00:18:24,340
موجودة وين جابلها من C نقص دلتة لعند مين؟ لعند C

203
00:18:24,340 --> 00:18:29,800
من C نقص دلتة لعند C هذه بس اللممة للاستذكار، إيش

204
00:18:29,800 --> 00:18:32,780
بتقول اللممة؟ تعالى نشوف بالظبط اللي بتقوله اللي

205
00:18:32,780 --> 00:18:36,220
حكيته أنا بقول اللممة let I subset من R be an

206
00:18:36,220 --> 00:18:40,260
interval and let F من I ل R و let C element in I

207
00:18:40,260 --> 00:18:44,700
and assume that F has a derivative at C نفترض أن

208
00:18:44,700 --> 00:18:50,120
الـ F الهياشق مشتقة عند النقطة C مقولي إذا F prime

209
00:18:50,120 --> 00:18:54,200
أكبر من 0 عند الـ C هاي اللي قلته هان إذا يوجد

210
00:18:54,200 --> 00:18:58,500
دلتة أكبر من 0 بحيث أن F of X أكبر من F of C لكل

211
00:18:58,500 --> 00:19:02,560
الـ X وين موجودة بين الـ C و C زائد دلتة اللي هي

212
00:19:02,560 --> 00:19:03,280
الجبل هنا

213
00:19:06,510 --> 00:19:10,590
الثانية، إذا كانت F' أصغر من 0، حلاقي Delta بحيث

214
00:19:10,590 --> 00:19:15,430
أن F of C أصغر واحدة في الجوار، يعني F of C أو في

215
00:19:15,430 --> 00:19:19,010
الجزء من الجوار، هذا الجزء اللي لجاي، F of C أصغر

216
00:19:19,010 --> 00:19:24,370
من F of X، وين هاي الـ F of X هنا؟ أكبر من F of C،

217
00:19:24,370 --> 00:19:29,870
واضح؟ لكل X وين موجودة في الـ C minus Delta و الـ C

218
00:19:31,220 --> 00:19:36,360
أي سؤال البرهن هو A خلّينا نبرهن به نحنا به

219
00:19:36,360 --> 00:19:40,980
خلّينا نبرهن مع بعض به

220
00:19:40,980 --> 00:19:46,840
الآن

221
00:19:46,840 --> 00:19:53,820
بدنا نقول نفترض أن F برايم به

222
00:19:53,820 --> 00:20:02,190
approved الآن ماعطينا F برايم of C أصغر من صفر،

223
00:20:02,190 --> 00:20:11,750
مظبوط؟ لأن بتقول since f prime of c أصغر من صفر

224
00:20:11,750 --> 00:20:21,070
then limit f of x ناقص f of c على x minus c لما x

225
00:20:21,070 --> 00:20:27,540
تروح لل c إشماله أصغر من صفر ماشي، مدام أصغر من صفر

226
00:20:27,540 --> 00:20:31,080
عند .. قلنا قبل هيك في نظرية إذا كان اللي هو

227
00:20:31,080 --> 00:20:35,600
المقدار هذا أصغر من صفر إذا بقدر ألاقي جوار

228
00:20:35,600 --> 00:20:41,240
حواليها بتكون القيم كلها إشمالها أصغر من صفر إذا

229
00:20:41,240 --> 00:20:48,560
then there exist V Delta of C اللي هو جوار جوار من

230
00:20:48,560 --> 00:20:55,260
عند C minus Delta لعند C زائد Delta ماشي؟ اللي هو

231
00:20:55,260 --> 00:20:58,980
احنا أخدناها من هذا المنطقة من C نقص دلتا ل C زائد

232
00:20:58,980 --> 00:21:06,700
دلتا such that اللي هو F of X نقص F of C على X

233
00:21:06,700 --> 00:21:16,220
minus C أصغر من صفر لكل X وين في V دلتا of C أنا

234
00:21:16,220 --> 00:21:22,300
غرضي أني أخلي اللي هو أوجد mean أن F of X أكبر من

235
00:21:22,300 --> 00:21:25,900
F of C بدا وجد المنطقة اللي بتكون فيها F of

236
00:21:25,900 --> 00:21:31,880
X أكبر من مين من F of C لاحظ انه هذا بديها وكأن F

237
00:21:31,880 --> 00:21:36,480
of X ناقص F of C بديها أكبر من 0 صح عشان أحصل F of

238
00:21:36,480 --> 00:21:40,420
X أكبر من مين من F of C لذن عشان أحصل على هذا

239
00:21:40,420 --> 00:21:45,000
المقدار أكبر من 0 و أنا بعرف ان هذا كله أصغر من 0

240
00:21:45,000 --> 00:21:48,880
بدي المنطقة هذه تكون أصغر من 0 وين هتكون أصغر من

241
00:21:48,880 --> 00:21:57,510
0؟ في المنطقة هذه، ماشي الحال؟ الآن but for every x

242
00:21:57,510 --> 00:22:05,650
element in c نقص delta و c ال x minus c أصغر من

243
00:22:05,650 --> 00:22:15,800
صفر واضحة؟ إذن الآن من هذه و من هذه hence F of X

244
00:22:15,800 --> 00:22:23,300
ناقص F of C اللي هي بتساوي X minus C في F of X

245
00:22:23,300 --> 00:22:30,300
ناقص F of C على X minus C هذا سالب وهذا سالب لذا

246
00:22:30,300 --> 00:22:35,260
حصل ضرب بين أشماله هكون أكبر من صفر سالب في سالب

247
00:22:35,260 --> 00:22:42,720
موجه مظبوط لهذا الكلام لكل X وين موجودة في الـ C

248
00:22:43,730 --> 00:22:52,150
- Delta OC وهذا معنى أن F of X أكبر من F of C لنقطة

249
00:22:52,150 --> 00:22:59,950
المذكورة لنقات المذكورة واضح؟ أي سؤال؟ نيجي الآن

250
00:22:59,950 --> 00:23:04,930
اللي هو انبرهن الـ Drabowski's theorem اللي حكينا

251
00:23:04,930 --> 00:23:08,350
عنها وقدمنا لها قبل بشوية إيش الـ Drabowski's

252
00:23:08,350 --> 00:23:15,010
theorem بتقول أنه عندي الـ F هو مستخدم للتحدي في بعض

253
00:23:15,010 --> 00:23:19,250
الانترالين

254
00:23:19,250 --> 00:23:19,950
A و B

255
00:23:23,800 --> 00:23:29,540
اللي هي أي K بين F' و F'

256
00:23:32,040 --> 00:23:36,580
of A و F' of B إذا نحن نلاقي الـ C بقيت أن F' of C

257
00:23:36,580 --> 00:23:42,020
هي الـ K كمان مرة Drabowski's theorem بتقول if F

258
00:23:42,020 --> 00:23:47,520
is differentiable on A و B و if K is any number

259
00:23:47,520 --> 00:23:53,610
between F' of A و F' of B then there exists at

260
00:23:53,610 --> 00:23:56,350
least one point C في الـ A و الـ B بحيث أن الـ Alpha

261
00:23:56,350 --> 00:24:02,650
Prime of C أيش بتساوي؟ بتساوي K ماشي يا شباب طيب

262
00:24:02,650 --> 00:24:06,890
اللي زي ما علقنا قبل بشوية بالرغم إنه إحنا ماحدش

263
00:24:06,890 --> 00:24:11,810
جاب سيرة إن الـ Alpha Prime هتكون continuous لأ،

264
00:24:11,810 --> 00:24:16,310
قلنا ما في الـ F' من مخزون، derivative من مخزون في

265
00:24:16,310 --> 00:24:21,530
داخلنا المعلومات أهلها إنها تقدر تصل أنه لأي K بين

266
00:24:21,530 --> 00:24:27,190
الـ F A و الـ F' A و الـ F' B بالـ Legacy، بحيث أن

267
00:24:27,190 --> 00:24:31,170
F' اللي عند الـ C هي الـ K. إيه المرحلة دلوقتي؟

268
00:24:31,170 --> 00:24:41,150
شوف، نفترض أنه Proof نفترض أن G of A أصغر من K أصغر

269
00:24:41,150 --> 00:24:52,230
من مين من G أو F prime of A أصغر من F prime of B

270
00:24:52,230 --> 00:24:56,450
ماشي الحال واضح

271
00:24:56,450 --> 00:25:02,430
هذا فرضناه الآن بدنا نلاقي C بحيث انه F' للـ C هو

272
00:25:02,430 --> 00:25:06,530
الـ K الآن define هالجيه تعرف ليش اعرفت defining

273
00:25:06,530 --> 00:25:15,590
function G of X بساوي K في الـ X ناقص F of X عندي

274
00:25:15,590 --> 00:25:18,790
اللي هي هذه الدالة هي الدالة اللي هتوصلني للي

275
00:25:18,790 --> 00:25:23,800
بديها الآن واضح أن الـ g of x بيساوي kx ناقص f of x

276
00:25:23,800 --> 00:25:29,660
أنها differentiable اللي هو هذه وين ما كان و هذه

277
00:25:29,660 --> 00:25:32,080
differentiable على ال I إذا صار أن التنتين

278
00:25:32,080 --> 00:25:35,960
differentiable على مين؟ على ال A و ال B و طبيعي

279
00:25:35,960 --> 00:25:40,440
continuous على ال A و ال B إذا بما أن هذا الدالة

280
00:25:40,440 --> 00:25:44,440
is continuous على closed bounded interval then it

281
00:25:44,440 --> 00:25:47,580
attains its maximum and its minimum on this

282
00:25:47,580 --> 00:25:51,870
interval بتشتغل عليه ال maximum و لو حد بده

283
00:25:51,870 --> 00:25:58,670
يشتغل عليه المنهج ما بنفع برضه الآن then g of x

284
00:25:58,670 --> 00:26:09,810
attains its maximum on mean on a و b لأن إيش اللي

285
00:26:09,810 --> 00:26:15,370
بيثبت لك هي بيثبت لك إن الـ G هيكون ال maximum

286
00:26:15,370 --> 00:26:21,150
إلها لا عند ال A ولا عند ال B إذا هتكون وين؟ في

287
00:26:21,150 --> 00:26:25,870
نقطة داخلية مدام في نقطة داخلية وإحنا عارفين إن

288
00:26:25,870 --> 00:26:29,490
الـ G differentiable على كل المنطقة هذه إذا صارت

289
00:26:29,490 --> 00:26:33,050
غصب عني إنه لازم مدام عندها maximum و interior

290
00:26:33,050 --> 00:26:38,390
point إذا الـ G prime إيش هتساوي؟ هتساوي 0 واضح؟

291
00:26:38,390 --> 00:26:42,590
مدام جي برايم ما هتساوي صفر هتصير ال F prime of X

292
00:26:42,590 --> 00:26:46,550
ال F of some C بتساوي ال K و بيكون خلصنا البرهان

293
00:26:46,550 --> 00:26:49,950
تشوفوا اللي بقوله طيب صلوا على النبي عليه الصلاة

294
00:26:49,950 --> 00:27:05,390
والسلام الآن عندي ال G prime of X هتساوي K ناقص F

295
00:27:05,390 --> 00:27:11,520
prime of مين؟ of X صح ولا لأ؟ طيب الآن لو جينا

296
00:27:11,520 --> 00:27:21,540
حسبنا الـ G' عند ال A إيش هتلاقيها؟ K ناقص F' عند

297
00:27:21,540 --> 00:27:28,740
مين؟ عند ال A صح ولا لأ؟ K ناقص F' عند ال A هتكون

298
00:27:28,740 --> 00:27:35,260
أكبر من مين؟ من 0 واضح مدام ال G' على ال A أكبر من

299
00:27:35,260 --> 00:27:35,520
0

300
00:27:39,110 --> 00:27:49,430
K-F' أكبر من صفر بما أن J' بسوء K-F' أكبر من صفر

301
00:27:49,430 --> 00:27:53,450
يعني هذا أكبر من صفر حسب اللي قبل قليل حكينا عنها

302
00:27:53,450 --> 00:28:06,330
ثم هناك دلتا أكبر من صفر such that G' of X أكبر من

303
00:28:06,330 --> 00:28:13,400
G of A اللي كنا بسمينا C فاهمين عليها الـ G of X

304
00:28:13,400 --> 00:28:22,800
أكبر من G of A for every X element in متذكرين اللي

305
00:28:22,800 --> 00:28:27,480
قبل بشوية لما كانت جي برايم لما كانت الجي برايم

306
00:28:27,480 --> 00:28:32,860
أكبر من صفر كانت اللي هي وين لجاي X element لغاية

307
00:28:32,860 --> 00:28:40,920
أسف X element in C اللي هي A هنا و A زائد دلتا اللي 

308
00:28:40,920 --> 00:28:45,240
ما اللي قبل بشوية إذا صارت عند جي of X أكبر من 

309
00:28:46,010 --> 00:28:50,890
من الـ G of A واضح لمين؟ لكل الإكسات اللي هي في نص

310
00:28:50,890 --> 00:28:57,290
الجوار هذا صارت عندي اللي هي الـ G of A مش maximum

311
00:28:57,290 --> 00:29:08,650
لأن في قيم أكبر منها واضح؟ إذا أكيد then G does

312
00:29:08,650 --> 00:29:18,150
not have a maximum at A إذا الفش مش maximum عند

313
00:29:18,150 --> 00:29:23,990
مين؟ عند الـ A أي

314
00:29:23,990 --> 00:29:27,750
سؤال؟

315
00:29:27,750 --> 00:29:36,990
Similarly .. Similarly G' عند ال B معايا يا شباب

316
00:29:36,990 --> 00:29:44,340
G' عند ال B بيساوي K نقص F' عند ال B و K ناقص F

317
00:29:44,340 --> 00:29:49,840
prime عند الـ B أصغر من مين؟ أصغر من 0 إذا بنفس

318
00:29:49,840 --> 00:29:54,600
اللّمة بس على الجهة الثانية then there exists

319
00:29:54,600 --> 00:30:01,000
Delta أكبر من 0 such that G of X أكبر من G of B

320
00:30:01,000 --> 00:30:11,520
لكل X وان الآن من عند B ناقص Delta لعند الـ B صح؟

321
00:30:12,880 --> 00:30:19,600
وهنا end points هذول فمش هتكون برضه مين ال b مش

322
00:30:19,600 --> 00:30:24,940
هتكون عندها maximum لأنه منها ولا جوا ال b end

323
00:30:24,940 --> 00:30:28,920
point منها ولا جوا ال g of x أكبر من ال g of b إذن

324
00:30:28,920 --> 00:30:38,160
مش maximum إذن hence g does not have a maximum at

325
00:30:38,160 --> 00:30:45,380
b from هنا و from هنا from here and here we have g

326
00:30:45,380 --> 00:30:48,700
has

327
00:30:48,700 --> 00:31:00,180
the maximum inside a و b، مظبوط؟ يعني بمعنى آخر،

328
00:31:00,180 --> 00:31:06,100
مدام احنا أكيد attained its maximum there exists c

329
00:31:06,100 --> 00:31:13,970
element in a و b such that جي هز ا maximum مدام جي

330
00:31:13,970 --> 00:31:18,770
هز ا maximum و interior point إذا جي برايم عند ال

331
00:31:18,770 --> 00:31:23,390
C إيش بتساوي؟ بتساوي صفر مدام جي برايم عند ال C

332
00:31:23,390 --> 00:31:28,090
بتساوي صفر إذا صار عندي hence

333
00:31:30,200 --> 00:31:33,960
وهنا اكتب جي برايم عند الـ C إيش بيساوي؟ بيساوي

334
00:31:33,960 --> 00:31:39,120
صفر إيش جي برايم بيساوي؟ K ناقص F برايم إذا that

335
00:31:39,120 --> 00:31:43,020
is K

336
00:31:43,020 --> 00:31:50,510
إن هي بدل جي برايم ناقص F' عند C بيساوي صفر أو بمعنى

337
00:31:50,510 --> 00:31:57,090
آخر F' عند C إيش بيساوي؟ بيساوي K فعلا لقينا C في ال

338
00:31:57,090 --> 00:32:02,770
A و ال B بحيث أن F' عند C إيش بتساوي؟ بيساوي K كما

339
00:32:02,770 --> 00:32:13,170
هو مطلوب هيها أي سؤال الآن

340
00:32:14,940 --> 00:32:21,600
عندي المثال الأخير بقول لي use Darboux's theorem

341
00:32:21,600 --> 00:32:25,120
هو في الواقع مثال على Darboux's theorem بقول لي

342
00:32:25,120 --> 00:32:32,060
the function g من

343
00:32:32,060 --> 00:32:36,080
ناقص واحد و واحد لعند ال R defined by معرفة g of x

344
00:32:36,080 --> 00:32:39,320
إيش بيساوي واحد إذا كانت x أكبر من صفر وأصغر

345
00:32:39,320 --> 00:32:43,680
بساوى واحد 0 إذا كانت X بيساوي واحد و ناقص واحد إذا

346
00:32:43,680 --> 00:32:46,180
كانت X أكبر من ناقص و أكبر بيساوي ناقص واحد و

347
00:32:46,180 --> 00:32:52,360
بيساوي صفر بقول لي أثبت أن هذه الدالة is not the

348
00:32:52,360 --> 00:32:57,160
derivative is not a derivative of any function

349
00:32:57,160 --> 00:33:01,580
يعني مافيش function في الدنيا بتكون مشتقتها هي هذه

350
00:33:01,580 --> 00:33:06,420
الـ G هذه الـ G is not a derivative of any function

351
00:33:07,400 --> 00:33:10,800
نبدا نقول suppose not ونصل لـ contradiction ماشي

352
00:33:10,800 --> 00:33:15,440
الحال إذا الآن ال

353
00:33:15,440 --> 00:33:27,280
... النظرية ... ال ... المثال بقول mainly المثال

354
00:33:27,280 --> 00:33:35,540
بقول example example show that

355
00:33:38,010 --> 00:33:47,490
G من ناقص واحد لعند الواحد لعند ال R Defined by G

356
00:33:47,490 --> 00:33:53,610
of X بيساوي واحد إذا كانت X أكبر من صفر وأصغر يساوى

357
00:33:53,610 --> 00:33:59,290
واحد صفر X بتساوي صفر ناقص واحد X أكبر يساوى ناقص

358
00:33:59,290 --> 00:34:08,330
واحد وأصغر من صفر is not a derivative of any

359
00:34:08,330 --> 00:34:20,610
function on ناقص واحد واحد solution أو proof اللي

360
00:34:20,610 --> 00:34:25,930
قاعد تقول suppose that

361
00:34:25,930 --> 00:34:36,550
there exist f من ناقص واحد واحد لعند ال R such that

362
00:34:36,550 --> 00:34:46,630
f prime of x بيساوي g of x لكل x element ناقص واحد

363
00:34:46,630 --> 00:34:51,870
و واحد ماشي الحال إيش هذه الدالة هي في الواقع

364
00:34:51,870 --> 00:34:59,310
الدالة هي ال g of x هذه عندي صفر و أنا عند الواحد

365
00:34:59,310 --> 00:35:04,550
عند الواحد و أنا سالب واحد

366
00:35:07,910 --> 00:35:16,170
لعند اللي هو سنة واحد هيدّه ده اه لأن افترض انه F

367
00:35:16,170 --> 00:35:19,130
بين ناقص واحد واحد such that F prime of X بيساوي G

368
00:35:19,130 --> 00:35:22,650
of X واضح انه F is differentiable مدةن اذا قلت F prime

369
00:35:22,650 --> 00:35:25,390
of X بيساوي G of X لكل X اللي من ناقص واحد واحد

370
00:35:25,390 --> 00:35:30,070
صارت ال F إيش مالها is differentiable مظبوط ولا لأ

371
00:35:30,070 --> 00:35:39,050
is differentiable و اثنين لأن but النص ينتبه إلى

372
00:35:39,050 --> 00:35:43,850
الفترة ناقص واحد و واحد اللي هي إيش بتساوي؟ اللي هي

373
00:35:43,850 --> 00:35:50,590
عبارة عن الفترة هذه عبارة عن اللي هي F prime of

374
00:35:50,590 --> 00:36:03,650
ناقص واحد و F prime of واحد واضح

375
00:36:03,650 --> 00:36:13,290
اه؟ هذه F' هي مين؟ G صح ولا لا؟ فمين؟ وهذه إيه؟ F'

376
00:36:13,550 --> 00:36:21,810
G لأن G of واحد واحد، G of ناقص واحد ونص في الفترة

377
00:36:21,810 --> 00:36:22,170
هذه

378
00:36:25,820 --> 00:36:30,060
أصلًا كل قيم الـ F' أو الـ G هي واحد صفر و ناقص واحد

379
00:36:30,060 --> 00:36:34,360
هذا هيسبب لك الخلل مش نص بس تقدر تختار ربع تلت خمس

380
00:36:34,360 --> 00:36:38,680
أي حاجة غير الـ Zero و الواحد و السالب واحد إيش ال

381
00:36:38,680 --> 00:36:49,400
... إيش الشد في الأمر but نص element كده and D

382
00:36:49,400 --> 00:37:00,740
F is differentiable on ناقص واحد واحد صح؟ then by

383
00:37:00,740 --> 00:37:09,800
Darboux's theorem there exist c element ناقص واحد

384
00:37:09,800 --> 00:37:19,200
و واحد such that اللي هو g of c أو f prime of c

385
00:37:19,200 --> 00:37:28,990
بيساوي إيش؟ نص صح؟ i.e بمعنى آخر F prime of C اللي هو

386
00:37:28,990 --> 00:37:39,590
G of C بيساوى نص Which is impossible Therefore

387
00:37:39,590 --> 00:37:46,480
our first assumption is not true that is there is

388
00:37:46,480 --> 00:37:50,740
no F من ناقص واحد لعند واحد ... من واحد ناقص واحد

389
00:37:50,740 --> 00:37:54,960
لواحد لعند ال R بحيث أن F' بيساوي G أو بمعنى آخر G

390
00:37:54,960 --> 00:38:03,680
is not a derivative of any function وهكذا

391
00:38:03,680 --> 00:38:07,780
نكون خلصنا ستة اثنين والمرة اللي جاي إن شاء الله

392
00:38:07,780 --> 00:38:13,980
بنكمل في ستة ثلاثة ويوم الأحد القادم بنناقش ستة

393
00:38:13,980 --> 00:38:16,010
اثنين أسئلة 6