بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السادسة مساق تحليل
حقيقة 2 لطلبة قسم رياضيات بكلية العلوم بالجامعة
الإسلامية بغزةالحديث اليوم إن شاء الله هيكون حول
ال Lobitals Rules أو قواعد Lobitals Lobitals Rules
بتمر في calculus في تفاضل وتكامل بتمر من ناحية
عملية استخدامها وتوظيفها لحل اللي هي بعض النهايات
اللي بيكون .. اللي هو عجزنا عن حلها بطرق عادية
هنشوف الآن في الحديث عن الـ Lobital Zerol حول اللي
هو كيف اللي هو انبرهن هذه اللي هي القواعد كيف نشتق
هذه القواعد كيف اللي هو أيضًا بشكل سريع حول اللي
هي استخدام هذه القواعد طبعًا
في الأول هنتحدث عن الكميات الغير معينة
indeterminate forms اللي هي اللي بتعالجها اللي هي
lobitals rules عندي على سبيل المثال لو جينا أخدنا
limitاللي هو x على x تكعيب على x تربيع مثلا as x
goes to zero limit alpha x على x لما x تروح للزيرو
limit اللي هو x تربيع على x لما x تروح للزيرو
limit x على x تكعيب لما x تروح للزيرو limitمثلًا
سلب X على X تكعيب لما X تروح لـ 0 لو طلعنا على
اللي هي ال limits اللي موجودة هنا كلها على صورة
اللي هي لو تعويض مباشر هنلاقيها على صورة 0 على 0
الان كمية 0 على 0 بالطرق السابقة كان اللي هو انه
احنا صعب اللي هو نتعامل معها لكن في بعض الأحيان زي
الحالة هذه حلاقي انه احنا بنعرف نتعامل معها و
بنعرف نحكم عليها اللي هلاحظ انه كل الرغم ان كلها 0
على 0 الا انها بتعطي في كل حالة اشي مختلف عن
الحالة الثانية الان هذه مثلا عبارة عن limit1 على X
لما X تروح للـ 0 طبعا 1 على X لما X تروح للـ 0 إيش
مالها؟ does not exist لأنه من اليمين بتعطي مالة
نهاية ومن اليسار بتعطي سالب مالة نهاية عشان هيك
كده يبقى نقول عنها does not exist لأن limit Alpha
X على X لما X تروح للـ 0 هو يساوي عبارة عن Alpha
اللي هو عبارة عن real number لو فرضنا أنه Alpha
ماخدينها احنا real number اذا انا اعطت number عادل
اول ما اعطتش اللي هي انا اعطت does not exist
الحالة الثانية اللي هي بتطلع limit X لما X تروح ل
0 برضه اعطتنا أيه شمالها real numberفي الحالة اللي
بعدها أعطتنا اللي هو عبارة عن limit 1 على X تربيع
لما X تروح للصفر يعني أعطتنا إيش مالها زائد ملا
نهاية في الحالة الثالث الأخيرة هتعطينا اللي هو
ناقص limit 1 على X تربيع لما X تروح للزيرو بمعنى
أخر سالب ملا نهايةيعني الـ Indeterminate Form Zero
على Zero أعطتنا اللي هو أجوبة أو قيم مختلفة تابعًا
لطبيعة كل حالة من الحالات اللي موجودة مرة أعطتنا
doesn't exist مرة أعطتنا بسوء سفر ومرة أعطتنا بسوء
ألف وواحد خمسة ستة ناقص واحد اللي بدناها اللي هو
ناقص Infinity و Infinityالان ال .. ال .. ال .. ال
.. الـ Indeterminate form هذه اللي الآن يعني بدنا
نحاول نعليجها ب ..
نحاول نعليجها بال .. بال .. بالـ Lobitals rulesالـ
Indeterminate Form اللي عندنا اللي هو 0 على 0 طبعا
في Indeterminate Form أخرى برضه هتعالجها اللي هي L
'Hôpital's Rule أو Rules اللي هي زي Infinity على
Infinity أيضًا هذول الشغلتين الأساسيات اللي
هتعالجه اللي بطل الزرول مباشرة بنظريات مباشرة
عليها أيضًا هتظهر لو ظهرت عندنا مثلًا Infinity نقص
Infinity اللي هو Zero to Infinity Infinity to Zero
إلى آخره هذوله حالات أخرىاللي هو بنقدر نحولهم عن
طريق الـ ln أو عن طريق ال exponential أو بطرق
معينة لاللي هي ال formula هذه ومن ثم استخدام اللي
هو ال lobitals rules هذه عادة الشغلات اللي كانت
تعالجها اليمين اللي هو ال calculus أو التفاضل اللي
أخدناه في سنة أولى أو سنة أولى أو سنة تانية اطلع
لفوق نيجي الآن ناخد النظرية الأولىاللي هي لبتة
الزرولي الأولى ال formula الأولى أو الصورة الأولى
نظرية بسيطة و نظرية مرت عليكم و اثباتها أيضا
هتلاحظوا انه اللي هو بسيط ايش النظرية بتقول؟ بتقول
مايالي عندي
لت F be defined على الفترة المغلقة A وB ونفترض أن
F of A وG of A مايساوي؟ سفر ونفترض أن G of X لا
تساوي سفر في الفترة اللي هي بين A وB ونفترض لو
كانت F وG differentiable عند الـ Aو G' عند الـ A
لا يساوي سفر مفترضين G' لا يساوي سفر then the
limit of F على G at A exist و تساوي F' على G' و
إذا كان تحت كل هذا الشروط بطلع عنده اللي هو ال
limit had exist و بالظبط هذا ال limit بساوي F' على
F A على G' of A نشوف النظرية و نشوف برهان النظرية
theoremعندي ماخد الـ F و الـ G عبارة عن دوال من A
و B لعند R مفترض أن الـ F of A بيساوي الـ G of A
بيساوي إيش؟ بيساوي سفر و مفترض أن الـ G of X
لاتساوى 0 لكل X و M موجودة في الفترة A و B فرضنا
كمان F و G differentiable عند الـ A F prime
of A و G prime of A exists ستين تين وهذه لاتساوى
إيش لاتساوى سفرتحت هذه الظروف كلها بكون عندى limit
f of xعلى g of x as x بتروح لل a طبعا ال a الفترة
اللي عندنا هي فترة من وين من عند a ل عند b إذا
أكيد ال x إذا تروح لل a مافيش مجال لها ال x اللي
بتروح لل a اللي من وين من جهة اليمين لأنه هي
العالم اللي أنا عمال قاعد بشتغل فيه الفترة من a ل
b إذا ال x بتروح لل a من وين من اليمين هيساوي اللي
هو f prime عند ال a على g primeعند الـ A يعني
بمعنى أخر إيش اللي .. إيش .. إيش .. إيش .. كيف هم
نطبّك هذه النظرية؟ كانت تعرض علينا limit نيجي
يقولنا أوجد ال limit لل F of X على G of X لما X
تروح لمين؟ لل A من الأمين نيجي الآن ال F of A نعود
تعويض مباشر ده طلعت عند 0 على 0وكانت عندى الشروط
هذه مكتملة اللى هى الـF و الـG differentiable و
الـF prime و الـG prime موجودات عند الـA على طول
نحط هذه إيش بتساوي F prime of A على G prime of A
معايا فهذه اللى هي .. اللى هي .. كيفية تطبيق
النظرية نيجي لأهلنا برهان النظرية البرهان بسيط
عندى
خد عندي four x بين a و بين b لو جيت حسبت الغرض
الأوجود هذه ال f of x على g of x إيش هتساوي؟
هتساوي f of x ناقص f of aعلى g of x نقص g of a ليش
لأن ال f of a و ال d of a ليش ماعطينا إيها بساوة
سفر ليش عملت هيك لأ بدت أعمل أكتر من هي بدت أعمل
أقسم هذا على x minus a و هذا على x ما لها minus a
طبيعي ال X لا تسوى ال A الآن أنا باخد ال limit
للجهتين وبتجرأ و باخد موزع لإن أنا ضائع من ال F
prime of A موجودة و ال G prime of A شمالها ومش هيك
و كمان ال G prime of A لا تسوى 0 إذا كل أموري تمام
التمام إذا باخد ال limit للجهتين لما X تروح لل A
من اليمين بسوى ال limit لما X تروح لل A من اليمين
والاشي اللي تحت وزعت ليش وزعت ضامن أن ال limit
exist و ال limit اللي تحت كمان لا تساوي سفر هذه
اللي هي عبارة عن مين هذه تعريف F prime of A وهذه
تعريف G prime of A بكون أنا حصلت على اللي هو اللي
بديها هذه اللي هي النظرية الأولى في اللي هو هذا ال
sectionاللي يعني بتحذير بقولك أنه انت يعني انعرضت
عليك limit 17x ولا .. قداش؟ مش مشكلة x زياد 17 أين
كانت بنفع x زياد 17 على 2x زياد 3 مثلا لما x تروح
لمين للزفرهو مش ميقوم لما نشوف على طول و نروح
نفاضل بنفعش انت يعني فتالت بيصير فاضل الجهتين
بيطلع واحد على اتنين لأ هو انا بقول بتسوي الو أف
برايم على جي برايم عند ال zero لما نكون هدي zero و
هدي zero لكن لا هدي zero ولا هدي zero إذا بنفعش
تحديد هذا نقول بتساوي اللي هو limit من فعش نقول
بتساوي limit واحد على اتنين على اعتبار فضلنا
ويساوي نص وهذا الكلام غير صحيح لأن ال limit زي ما
انتوا عارفين لهذا المقدار بالتعويض المباشر هو
عبارة عن 0017 ع 3 هذا كلام سهل ناخد مثال تطبيقي
على النظرية اللي عندناالمثال التطبيقي برضه مثال
مباشر عرض علينا الآن example عرض
علينا بقول او جد limit x تربيع زاد x على sign 2x
لما x تروح لمين لزي روبالمناسبة، النظرية اللي قبل
بشوية حكينا عنها سواء كانت الـA اللي بتروحلها end
point أو نقطة داخلية أو حتى left end point بتظبط
عليها النظرية والبرهان similarly ماشي الحال؟ واضح
هاه؟ طيب، وإيه السبب؟
لأن الإختبار صفر على صفرو هذه differentiable و هذه
differentiable كل أمورها ميحة و كويسة و مش هي كمان
و لو فضلت هتلاقي اللي هنا لا يساوي سفر اذا على طول
بقول 2x عند ال zero بفاضل جاعد و بعوض يعني هذه
سميتها و كأنها Fوهذه g f of x وهذه g of x بعوض f
prime of zero بعوض هنا g prime of zero الان f
prime of zero اتنين x زائد واحد في سفر بيصير اتنين
في سفر زائد واحد وتحت اللي هو تفاضلها اتنين cosine
اتنين x بيصير اتنين cosine اتنين x وعوض بسفر بيصير
اتنين cosine اتنين في zero وهذا يعنيبساوي اللي هو
واحد على اتنين على اعتبار كوصالة Zero بساوي واحد
هذه اللي هي تطبيق النظرية اللي عندي نيجي الآن للـ
Cauchy Mean Value Theorem الـ Cauchy Mean Value
Theorem تعميم للـ Mean Value Theorem اللي احنا
عارفينهابدل ما هو على دالب نحكي عن إيش عن دالتين
نشوف إيش اللي بقوله النظرية بتقول ما يلي لأن
theorem عند F و G دالتين من A و B مخدهم من A و B
لعند Rجاي لي نفس شروط الـ mean value theorem
العادية بدل ما هي على دالها دالتين جاي لي F و G
continuous on A و B and differentiable on O B ماشي
الحال ومعطيني أيضا بقولي الـ G prime لل X لا تساوي
سفرلكل X وين موجودة في الـA و الـB اللي أنا
بقولليه النتيجة then there exist لنتيجة then then
هذا كله معطى if this hold then then
there exist CElement in A و B such that G أو F
prime of C على G prime of C بساوي F of B ناقص F of
A على G of B ناقص مياً G of A ال proof ده كلام سهل
كمان ال proof نشوف كده
عندي يا جماعة أول إشي هو معطيني إيش مالها g prime
of x إيش مالها لا تساوي سفر إذا by rules theorem
هيكون g of b لا تساوي مين g of a كيف أذكركم أذكركم
كيف الآن إيش rules theorem كانت بتقول g من a و b
لعند r continuous on a و bو differentiable on a و
b هذا ما أعطينا إياه هو ماشي الحال بقول لي if g of
a بساوي g of b بساوي سفر then هو في الواقع زي ما
قلنا أن ال role theorem تنفع لو قلنا g of a بساوي
g of b و سكتنا لأنه الشهد في الموضوع أنه المماس
يكون معله موازي لمحور الصينةأه و لما تكون الـ G of
A بيساوي الـ G of B وسكتنا أي قاطع بينهم هيكون
عبارة عن موازي لمحور السينات يعني معناته اللي
مماثل اللي باجيه هيكون موازي لهذا يعني موازي لمحور
السينات طيب then .. then there exists C element in
A و B such that G prime of C بيساوي إيش بيساوي سفر
الآن هذا معطى مفرغ منه اللي فوق معطى عنديالان عندى
لو كان g of a بسوى g of b بيعطينا انه يوجد صفر بين
ال a و ال b بحيث ان g prime of c اشماله لا تسوى
صفر لكن هو مفترضلى ان g prime of x لا تسوى صفر لكل
x في ال a و ال bيعني الآن الـ Contraposition هو
اللي hold hand يعني بمعنى آخر أنه بما أنه G prime
of X لا تساوي 0 لكل X element in A و B هيعطينا هذا
نفيه B implies Q تكافئ not Q implies not B وهذا
لسه عملته أنابما أن g prime of x لا يساوي سفر لكل
x طبعا في اللي هو b اذا g of a لا يساوي مين؟ g of
b واضح؟ طيب اذا صار عندي الأول حاجة by Rolle's
theorem g of a لا يساوي g of b becauseG prime of X
لا يساوي سفر لكل X والي موجودة في الـA والـB هذه
أول نقطة خلصنا هذه بررناها نيجي الآن زي ما عملنا
في إثبات الـMean Value Theorem إذا بتتذكروا بدي
أعرف دالة أطبق عليها برضه خلّي رولز الـTheorem
مطبقة أو الـMean Value Theorem مطبقة و أحصل عن
نتيجة اللي أنا بديهاالأن هي الشكل اللي بديها بدي
أخد H of X let أو define H of X بساوة اللي هو
المقدار هذا اللي بديه F of B ناقص F of A على G of
B minus G of Aبتخلي المقدار هذا اللي هو يتصفر في
حالة ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال ..
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
ال .. ال ..
H of A بيطلع سفر لإن بدي اللي هو الجزء الثاني اللي
هيجيبلي قيمة مين قيمة ال F نقص G G of B ناقص G of
A أو G of X ناقص H of A عشان نروحهم مع بعض ناقص F
of X ناقص F of A الآن ليش عملت هيك عشان أحصل H of
A H of A هذه سفر
و هد ايه ايه بيصير سفر H of B إذا صارت عندي H of A
بساوي سفر و H of B حط H of B بيصير هدي بيه هدي
بتروح مع هدي بيصير F of B ناقص F of A ناقص F of B
ناقص F of A بروحن مع بعض بيصير H برضه بيساوي سفر
إذا هدي أكيد برضه بتساوي H of B الآن
عندي هذا الـ differentiable و continuous و هذا الـ
differentiable و continuous على ما يناسبها من a و
b أو على ال a و b ال a و b اللي هو open
differentiable و على ال a و b closed continuous
تبعاً لها هتطلع انه ثابت هذا و هدوله ثوابت حيث ان
عندي هذا كله ع بعض continuous صار عنديH is
continuous on A وB وdifferentiable on A وB open
لأنه أنا من رأس الدورة الـ H of X معرفها اللي هي
الـ H for every X element in A وBH of X بيساوي كده
ماعيش يا بابا صارت الآن أنا حققت كل شروط ال roles
theorem اللي هي ال H continuous على ال A و B و ال
differential على ال A و B open أو H of A بيساوي و
H of B بيساوي اللي هي سفر إذا حسب roles theorem
إذا by roles theorem by أو حتى by main value
theorem by roles theorem there exists C element ال
A و Bsuch that اتش prime of c ايش هيساوي سفر هذا
حسب ال mean value theorem معايا يا جماعة الآن
بتفاضل هذه دلنا اوجد تفاضل هذه تفاضل هذه ماعليش
خلينا نكتبها لإنه ندخل على العالـ slide بدي أفاضل
هذه فاضله H prime of X اللي هي عند الـ C بتساوي
سفر سفر بساوي H prime of C تساوي فاضل هذه و أعوض
عن الـ X بسفر لأن هذا ثابت و هذا ثابت ده بيصير سفر
تفاضل هذا مع هذا لأن مع هذا بيصير G prime of X
مضروب في هذا إذا صار عندي بساوي F of B ناقص F of A
على g of b ناقص g of a مضروب في مين؟ فضلت في g
prime of x وانا بدي أحسبها عند مين؟ عند c، اذا g
prime of c ناقص تفاضل هذه، هذا ثابت سفر لأن هذا
قداش تفاضلها ناقص f prime عند ال x وانا باخدها عند
ال c اللي هي h of c, فh prime of c فبصير ناقص f
prime of cالان بتدنجل هذه على جهة هذه بصير عندى
الان f prime of c نجلته هان و اجسمها جي برايم of c
لأن جي برايم of c لاتساوى سفر بساوة f of b ناقص f
of a على g of b ناقص g of a و هيكبكون حصلنا على C
في الـA وB بحيث أنه هذه تتحقق وهو المطلوب هذه اللي
بيسميها Cauchy Mean Value Theorem هذه تعميم لمين؟
تعميم اللي هو الـMean Value Theorem بس خد اللي هو
G of X بتساوي XG of X بيساوي X و G of X بيساوي X
اللي هي تحقق كل الشروط ال differential
بالcontinuous و و الاخره ماشي الحال بيصير عندي
اللي هي في حالة G of X بتساوي X معايا يا شباب
بيصير G of BB و G of AA و هذه اللي هي G prime اللي
هي واحد فبيصير F prime of C بيساوي F of B نقص F of
A على B minus A إذا F
أمسح البرهان بس الان
ال note اللي عندي ال note كما يالي note if
g of x بيساوي x then we get fromالـ theorem هذه
اللي بقول عليها كوشي mean value theorem we get the
mean value theorem كيف الـ g of x بيساوي x معناه
انتصار الـ g of b بيساوي b و g of a بيصير a يعني
هذا بيصير a, bوهذه بيصير A و G prime of C اللي هي
بيصير واحد فبصير F prime of C بيسوي F of B نقص F
of A على B minus A وهذه هي ال main value theorem
واضح .. اه .. طيب اطلع للي بعده لإن احنا اللي
بيهمنا هذا الكوشي بين ال value theorem احنا
حكيناها أصلا عشان خاطر انه احنا نحكي عن اللي هو
Lobital's rule ال form اللي عنده اللي أمامي دكتور
جديد في السؤال في غيرك مفهوم ان انا جسمت على X
minus A على E minus A الطرفين اصلا انت بتصير F أو
P نقص F أو A على B minus A
البرهام مش صعب اللي قلناه، كتير سهل، ما هو الـ C
اللي لاجيناها في الحالة الأولى، هل هي التانية؟ إذا
كنت تتعامل بجلمين Value Theorem أنت؟مش بدك تطبّق
الـ Value Theory بدك تطبّق الـ Value Theory لأن
there exists c1 such that f prime of c1 بيسوء f of
b minus f of a على b minus a مافيش فيها مشكلة
there exists c2 such that g prime of c2 بيسوء g of
b نقص g of a على b minus a الـ c1 هذه مش شرط هيكون
main الـ c2 او احنا لازم نثبتها هي نفسها اه ف .. و
بعدين البرمجان سهلماشي .. نحن الواحد يفكر 100% ..
جميل لكن .. يعني .. بس أنه احنا .. الـC هذه مش
ضمنية تساوي الـC2 و بدنا نثبت أنها تساويها .. إذا
كانت بتساويها طيب .. نيجي لها اللي هي النظرية اللي
بعيدها النظرية اللي بعيدها .. أنا مرضيش أمسح اللوح
أساسي منقررها من الـtheory من الأولى
نشوف نطلع إيش اللي بتقوله هذه النظرية نفس
اللي هنا F و G differentiable on A و B معايا أه؟
الان such that G prime of X ده تساوي سفرG prime of
X لا تساوي سفر أنا مش موجودة For all X elements in
A وB ونفترض أنه limit F of X limit F of X لما X
تروح إلى الـ A من اليمين موجودة و بتساوي أياش؟ سفر
و limit G of X لما X تروح إلى الـ A من اليمين
بتساوي سفر اذا صار limit الحاصل القسمةلأن بيسويش f
prime of a على g prime of a بيساوياش limit f of x
على g of x لما x تروح لل a باليمينيعني وكأنه هنا
حول الحديث كله من افتراض أنه عند النقطة اللي هي F'
وG' موجودة ولا تساوي سفر وحول الحديث من إن التعويض
المباشر أن F of A وG of A بتساوي سفر ل limit لـ ..
limit لل function لما X تروح لـ A سفر و limit لل
function لما .. اللي .. اللي هو ال X .. ال X بتروح
لسفر .. لل A بتساوي سفروحول أيضا طلب جي برايم نفسه
على كل الفترة اللي تكون لا تساوي سفر مش عند النقطة
بس وقال لك انه حتى اللي هو النتيجة هتطلع ب limit
مش هتطلع ب F prime of A على G prime of A يعني اللي
بقصده انه الآن طور هذه الحديث هناإنه لما تُعرض
علينا limit F of X على G of X لما X تروح للـA من
لمين أو إن كانت حتى لو في الـinterior point الـX
بتروح للـA برضه صحيحة الآن بعدي عنديإذا لجيت limit
الأولى، اللي أنا بحكي عن limit سيرة مش عن تعويض
مباشر زي اللي جابله، الآن limit f of x لما x تروح
ل a من اليمين و limit f of x لما x تروح ل a من
اليمين، إذا هذه موجودة و هذه موجودة و طلع عندي 0
على 0، يعني طلع ال limit عبارة عن 0 على 0، هنا بدو
يحدث العلاج، إذا كانت الآنالـ limit اللي طلعت عندي
F prime of X على G prime of X لما X تروح للـ A من
اليمين إذا طلعت عبارة عن قيمة خلاص ارتاح هذه اللي
طلعت هي مين فهمت ال limitماشي الحال لو طلعت كمان
مرة zero على zero اللي هو و بتحقق كل الشروط اللي
.. اللي في الأول برضه بأعمل كمان مرة بفاضل لما
بتطلع لكن لو طلعت ال limit هذه does not exist بسكت
و بجوبي عمش .. بدنا ندور على طريقة أخرى واضح؟ الآن
لو طلعت هذه infinity أو سالب infinity هذه آسف
infinity أو سالب infinity برضه أن نظرية صحيحةاللي
هو هدمين الجزء الثاني من النظريةif limit f prime
على g prime بساوة L بساوة infinity أو سالب
infinity هتطلع ال limit على طول لل F على G اللي
ببحث عنها إيش هتساوي برضه ال infinity أو سالب
infinity حسب القيمة هذه إذا أي إن كانت اللي هي ال
limit مادامة exist سواء ال existence عبارة عن
element in R أو اللي هو عبارة عن ناقص infinity أو
سالب infinity فإن النظرية صحيحةواضح؟ أي سؤال؟ طيب
صلى على النبي عليه الصلاة والسلام خلينا
نيجي للنظرية ونبرنها
Theorem كدهش؟ نزلي بس النص يا محمد اللي هي theorem
6 3 3 إيش النظرية بتقول؟ بتقول ما يعني عندي طبعا
ماخد ال a أصغر من b strictly و a ممكن حتى تاخد سلب
infinity و ال b تاخد infinity يعني ممكن تكون
الفترة من a .. الفترة كلها a ممكن تكون أي فترة sub
interval من اللي هو 100 من ال real numbersفرضنا f
و g من a و b لعند اللي هو r وإذا كانت a infinity
أو سلب infinity أسف إذا كانت a سلب infinity أو b
infinity بتكون o من زمن بعرفي لأن عشان اللي هو
ناخدها من real number ل real number لذا نفترض f و
g من a و b لعند ال R ونفترض إن f و gdifferentiable
on a و b ماشي الحال و differentiable on a و b الان
مش لازم ي continue و تعندى و كده لأنه انا هدخل
لجوه شغل هيكون لجوه هل جيت بتشوف واش معنى لجوه
such that g prime of x g prime of x لا تسوى سفر
لكل x وين موجودة في الفترة a و bالان بقول لي إذا
كانت limit limit اللي هي f of x لما x تروح لل a من
اليمين بساوي limit g of x لما x تروح لل a من
اليمين بساوي سفر هذا كله موضوع الان بدو يوصلبدي
أقولك كيف أنا بدي أحصل على نتيجة limit f of x على
g of x لما x تروح لل a من اليمين بقولك إذا كان انت
if لان ايه if limit f prime of x على g prime of x
لما x تروح لل a من اليمين بساوي L thenأتجرأ أقول
فاش عندى مشكلة limit f of x اللى ببحث عنها على g
of x لما x تروح للإيه من اليمين برضه ايش هيساوي؟
هيساوي ال .. من يحياتي هذه هيكون صحيحة طيب خلينا
الآن اللى هو البرهن شوف عليهاواضح النظرية شرحناها
يعني نص النظرية شرحناها بشكل كامل الان since limit
F prime of X على G prime of X لما X تروح ل A من
وين؟ من اليمين هيعندي الفترة A وB حتى لو كانت
منتده وين ما بدها، هي حاضرة الان عنديX تذهب إلى
اليمن اليمين فبدي من الجهة دي طبيعي من اليمين بسوء
ال then for every epsilon أكبر من سفر لأي epsilon
أكبر من سفر أي epsilon there exists delta أكبر من
سفر such that لأن X تذهب إلى الامن وين من اليمين
إذن الجوار اللي حوالها هو عبارة عن جوار من A لعند
مين ال A زي ال Delta لعند A زي ال Delta صح ولا لأ
إذن لكلما دامت ال limit هي دي بساوي L، ده لكل
إبسلون بقدر ألاقي Delta بحيث أنه X element في A و
A زائد Delta ف X element في A و A زائد Delta، then
قطعا .. then قطعا هيكون عندي F prime of X على G
prime of X نقص L، ذوكون أصغر من 100 من إبسلونهذا
تعريف ال limit لل F prime of X على G prime of X
بسهولة لما X تروح لمن؟ لل A من اليمين هو كاتبها
هذه A زائد Delta C في الكتاب يعني مسميها C يعني
مسمي انه لكل X there exists C بحيث انه لكل X في ال
A اللي عند ال A لل C بكون هذا الكلام متحقق أنا
حبيت اكتبلك اللي هو التعريف الدارجي اللي انت ده
كسله كمان في ال .. في الحلواضح لحد تلاتة
ماشي الحال بس هي ك .. هذه .. و هذه ك صح و هذه ك صح
و هذه ك صح اللي كاتبها صح بس هذه للطالب أسهله في
ال .. في ال .. لإنه .. خلّيني أقول هذا اللي درج
عليه في ال .. في .. اللي هو التعبير عن ال .. لكل x
في الجوار الجوار هذا سهل و .. و .. و .. وعبّرنا
عنه
-A هو أكبر من سفر وأصغر من دلتة برضه هيك صح صحيح
نفس الاشي طيب
الان
هذا الكلام IA او بمعنى اخر that is هيكون هذا اللي
هو F prime of X ناقص G prime of Xأصغر ناقص L
بتغيرها عشان أصغر من Y وأكبر من 200 من سالب Y شيل
ال L هذه بصير اللي هو أصغر من L زائد Y وأكبر من L
ناقص Y هذا متحقق لمين لكل X و N موجودة في الفترة
من A لعند A زائد Delta و اكتب لي هذا سميلي
واحد ماشي الحال سميليه واحد الآن عندي اللي هو شروط
ال mean value theorem الكوشي mean value theorem
اللي قبل بشوية ال F و ال G differentiable على ال A
و ال B اه و ال G prime of X لها تساوي سفر و ال ..
او .. ايش كمان كله متحقق بس خلينا نقول
بدي الآن اوين اطبق الـ mean value theorem بدي
اطبقها على اللي هو اللي جوا عندى لداخل الـ mean
لداخل الفترة هذه عشان اشتغل وين اللي بتطلع عندى
اضمن تكون هناعشان القيمة اللى هتطلع عندى اللى
بتحققها تكون بتحقق اللى بتطلع عندى و بتحققها دى
عشان هي كصح اللى أعوض مكان بعض ماشي الحال خد الآن
لجد تفهموا إيش اللى بقصدهم خد الآن four alpha أكبر
من a و أصغر من beta و أصغر من a زائد deltaيعني أنا
غرضي ان انا اشتغل .. ان انا رايح .. بدي انا limit
اصلا و ال limit بديها لما اروح لمين؟ لل A يعني بدي
في الجوار اللي عيمين ال A و جاي ناحيتها هذا اللي
بهم، اللي مانيش سغاداش، بيكون التصرف مافيش ..
مافيش عنده مشكلة الآن هي ال alpha أخدتها هنا و هي
ال beta
أصغر من Alpha أصغر من Beta أصغر من ايه زي الـ
Delta؟ By Cauchy Mean Value Theorem there exists
سموها هو نسميها U Element in mean in Alpha و Beta
والـ Alpha و Beta جزء من هذهدُول، إذا اللي بنطبق
على هذه اللي بنطبق على .. اللي بنطبق على هذه بنطبق
على هذه، مظبوط؟ يعني هذه الـU اللي لجيتها بنطبق
عليها الكلام هذا اللي هو F prime of U على D prime
of U بين هذه و بين هذه واضح، و هذا الكلام مهم طيب،
there exists U such that F prime of Uعلى g prime
of u بيساوي ايش يا جماعة بيساوي f of b أو beta
ناقص f of alpha على g of beta ناقص g of alpha واضح
اه؟ هذا سمولي يمين هو اتنين الآن عند هذه اللي
لجيتها هنا اللي بتحقق هذههي وين موجودة من ضمن
النقاط اللي بتحقق هذه لكل X هنا وهذه جزء منها إذا
F prime of X of U على G prime of U بين الـ L ناقص
إبسلون والـ L زائد مين إبسلون وفي نفس الوقت F
prime of U هذه اللي لقيتها G prime of U بساوي هذا
إذا from واحد
واتنين we get اللي هو F prime of U على G prime of
U بستبدلها و بيصير F of Beta ناقص F of Alpha على G
of Beta ناقص G of Alpha بحيث أنه هذا يكون أكبر من
L ناقص Y و أصغر من 100 من L زائد Yلأن هذا صحيح لأي
Alpha و Beta بشكلهم اللي موجود Alpha أصغر من Beta
و Alpha بين الـA و بين مين الـA زائد دلتا إذا
الألفة هذه حرة في كل المنطقة هذه بنفع يعني الألفة
هذه لو بدها تروح للـA حد مش بمنحها الألفة تروح لها
لأنه صحيح على كل هذه الألفات اللي لجيتها هذهالان
let alpha goes to mean to a من وين؟ من اليمين
ماشي؟ مقدر و لن تؤثر لأ على ال beta ولا عليها زي
الدلتية الحرة بتروح لهذه وهذه زي ما هي يعني تصرف
alpha يروح لأي a beta بالنسبالها ثابت ولا تتأثرهذا
الكلام مهم إذا صار عندي الآن لما Alpha تروح لأ من
اليمين ال up of Alpha بيصير عندي limit ال up of
Alpha لما ال Alpha تروح لأ من اليمين بساوي هو في
الواقع limitها limitها هذه Alpha اللي كنا نسميها X
مثلا ال up of X سمى X تروح لأ من اليمين لأ من
اليمينالآن الـ Alpha راحت للإيمن اليمين limitها
أنا ماعطينيها إيش بيساوي؟ بيساوي صفر، ماعطيني
limit f of x عندما x تروح للإيمن اليمين إيش
بيساوي؟ صفر، أنا سميتها إيش أنا؟ Alpha هذه اللي
بتتحرك، إذا هذا ال limit إيش هيساوي؟ بنفس السبب أو
لنفس السبب limitG of Alpha لما Alpha تروح للـ A من
اليمين برضه مش هيساوي سفر إذا الآن برجع لهذه برجع
لهذه بصير عندى الآن اللي حصلته كله على بعضه لكل ي
أكبر من سفر ماشي الحال ل gate Deltaبحيث أنه الـ α
و beta بشكل هذا أكبر من إيه و أقل زي الـ delta
سيبك من الـ L α خلاص رديتها أنا beta أكبر من إيه و
أصغر من إيه زي الـ delta طلع عندي هذا المقدار أصغر
من L زي الـ يبسلون وأكبر من L ناقص يبسلون ماشي؟
الآن رديت و أخدتله من ال limitالان بدي أخد ال
limit لهذا المقدار كله لما ال alpha تروح لمين؟ لل
a من اليمين الان لما أخد ال limit لهذا زي ما قولت
ال beta مالهاش علاقة بال alpha ال beta ثابتة
بالنسبة لل alpha فال alpha تروح لل a من اليمين زي
ما بدها لن تتأثر beta فبصير limit اللي فوق على
limit اللي اتحد هذا ثابت و هذا ثابت و هذا limit هو
اللي هو صفر و هذا limit هو صفر و هذول أعداد إذا
أصار عندي الآنعندي take the limit بيصير عندي L
ناقص Epsilon أصغر أو يساوي اللي هو F of Beta على G
of Beta أصغر من L زائد Epsilon من وين حصلته هذا؟
when I take the limit of this inequality as Alpha
goes to A from right واضح؟هذا حصلت عليه هذا عرفت
ثانوية هذا حصلت عليه من وين أن أخدت ال limit
للجهات التلاتة as Alpha تروح لل A من اليمين
واستخدمت هذه الحقيقة أن هذا سفر و هذا سفر صار هذا
المقدار و هذا المقدار بين هذا و هذا إذن اللي حصلت
عليه الآن هو ما يليه لكل epsilon أكبر من سفر لجهة
Deltaأكبر من السفر such that هذه beta كانت
arbitrary بين a و بين مين اللي هو such that if
beta بين ال a و ال a زائد delta we have then ايش
اللي حصلنا عليه اللي هو f of beta على f of alpha
صارت أصغر أو يساوي L زايد إبسلون وأكبر أو يساوي
إبسلون ناقص L أو بمعنى آخر IE F of Beta على F of
Alpha ناقص L absolute value أصغر أو يساوي إبسلون
وهذا هذا this means that hence limit
f of beta على f of alpha as اللي هو limit of فدي g
مالكم فدي g بساكتين g of beta فدي g of beta limit
of beta على g of beta مظبوط؟
as اللي هو طبعا الان بيت ايه اشمالها لكل بيتها
يعني بيتها وين راحت على الايم اليمين هان لكل بيتها
وين في الجوار هذا الان بيساوي ال هو المطلوب مش
عاجبك بيتك تبقى اكسر اي سؤال
بتصور هيك المظهرية واضحة تماما هي تلت خطوات في
الواقع تلت خطوات مين هما هو طبعا في الكتاب يعني لو
راحظت هتلاقي يعني أنه بدها بس ترتيب الان لأ بدها
ترتيب طلع عليها الان عندك هذا الان استخدمت أنا هذا
في الأول بالعمدان و استخدم هذا استخدمت هذا عشان
أقولك هذه ال inequality صحيح على كل المنطقة هذهلأن
لجي U لأن اللي لجيتها U أنا لجيتها لجيت ال U و
أخدت الفترة هنا عشان أقول لك ال U اللي لجيتها في
داخل الفترة هذه الحديث هذه جابل عن هذه بعمل
confusion عند الطالب لأن اللي لجيتها من قال إنه
هنا موجودة ما هي اللي لجيتها هنا وين لجيتها بين A
و B بين A و B أو بين Alpha و Beta يعني بده يصير
عندىاللي هي الـ F prime الـ F prime عندي ال limit
.. ال limit لل .. خليني أكتبها يا شيخ ليش؟ ها ..
هذا بالساوي ال .. اللي هي إيش ما لأ باخد ال
infinity بطلع حد برضه إيش infinity يعني الحالة
التانية اللي هي Fبساوة infinity هيكون ال limit لل
F على G أشماله بساوة infinity الان بده يصير عنده
بدل ما قول limit F prime على G prime بساوة L بده
يصير أشهر بساوة infinity كيف بنعبر على إنه الرقم
يروح لما لنهاية ال limit أنه ناخد اللي هو صرنا
متعارفين for every إبسط إنه كانت عبارة عن إيش صغير
for every KElement in R طبعا لو أخدت K positive
برضه بنفعله لإذا .. إذا بيكون أكبر من ال positive
أكيد هيكون أكبر من مين؟ من ال negative for every K
element in R there exists delta such that لكل X في
هذه المنطقة بيطلع اللي هو F prime of X اللي هو هذا
.. بقى اللي بمسحه هذا بمسح من التعريف ذاك للتعريف
limit F prime على G prime إيش بيساوي؟ما للهاي بما
أن هذا بيساوي ما لنهاي ايضا لأ كل K المتنارة بين X
زي الزلتة such that لما تكون X يعني بين ال A و بين
Z زي الدلتة يعني روحت في ال A من اليمين then F
برايم على D برايم أكبر من مين من K ماشي الحالة و
هذا اللي هو الواحد عندى و هذا كله اللي هو كلام
أشمله نفس الاشي متحقق فبصير عندى بستبدل هذا هذا
مافيش داعي له بيصير التفاصيل هناو بيصير عندى هذا
لجيتو اذا from واحد عند اتنين we have اللى هو
نعملها مع بعض بستبدل هذا بحطه هان بيصير عندى f
prime f of beta ناقص f of alpha على g of beta ناقص
g of alphaأكبر من مين من K ماشي الحال و نفس السبب
الأولاني الـ alpha اللي هو limit هذه سفر و limit
هذه سفر المعطيلة هي هو بيصير هذه عبارة عن لما ال
alpha تروح لل beta فبيصير عند أف في beta و دي في
beta أكبر من مين من K صار عندي الآن لكل K element
in R لجهة Delta بحيث أنه لما تكون Beta بين ال A و
A زائد Deltaحصلت على هذه أكبر من مين؟ من K وهذا
اللي هو إيه شماله؟ هو تعريف limit F of Beta على G
of Beta as Beta روح لل A من اليمين سوى ملا نهاية
ولو بدنا سالب ملا نهاية بنفس الأسلوب ده بتقول for
every K K سالمة بيصير أصغر ونفس الكلام
exampleexamples .. نشوف ال examples اللي عندنا
نيجي لل examples اللي عندى الأولى يعني limit
Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين،
ليس بسهل، دعونا نشرح عن الوحش وبالكالكولس هذه لأن
limit Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من
اليمين، الآن الـ limit اللي فوق لما X تروح لـ 0 من
اليمين، سفر و اللي تحت سفر، إذا صار عبارة عن 0 على
0 وكل أمورها إيش ما لها متحققة ال differential
الcontinuous و هو و هو و الاخري و الاخريإذا بنفضل
اللي فوق و بنفضل اللي تحت فضلنا اللي فوق و طلعني
cos X و اللي تحت 1 على 2 في جدر ال X الآن اللي ..
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..
اللي .. اللي ..
اللي ..
الان اللي بعدها 1-sin x على x تربيه لما x تروح
لمين لسه في رجولنا النظرية صحيحة برضه لو كانت اللي
.. اللي .. اللي بدنا نروحلها جوا نقطة interior أو
على ال end points كلها صحيحة وبنفس الأسلوب البرهان
زي ما برهننا عن اليمين بنبرهن في الوسط فبناخد بدل
ما هو الجوار من a لعند a زائد delta إذا كانت جوا
من a ناقص delta لعند a زائد delta وده كان على
الجهة الثانية من a ناقص delta لعند ال aفاهمين
عليها هذه اللي هي برضه عبارة عن لو أخدنا limit للي
فوق سفر و limit للي تحت سفر إلى أن فضلنا اللي فوق
و فضلنا اللي تحت طالع عندي sin x على 2x إلى أن طلع
عندي 0 على 0 كمان مرة و متحقق كل أمورها إذا بنشتقل
كمان مرة بيصير cosine x على 2 و يساوي نص و هكذا
اللي بعدها
limit e to the x نقص واحد على x لما x تروح لمين
للصفر برضه نفس الاشي هذي بيصير صفر على صفر لlimit
الأولى بنشتق أن تطلع عنده واحد
الان الأخيرة نفس الشيء لإن ال X على X minus واحد
برضه نفس الشيء Zero ع Zero بطلع عندى اللى هو
بالفاضل هدى بتطلع واحد على X بالفاضل هدى واحد
بيصير الان لما ال X تروح للواحد بساوي الواحد اطلع
لفوق بيكون وصلنا احنا عند مين عند اخر نظرية اللى
هى Lobitals Ruleاللي هي في حالة اللي هي انها تطلع
عندى infinity او ناقص infinity ال limit يعني ال
indeterminate form اللي هو infinity على infinity
او ناقص infinity على infinity برضه المرة الجاية ان
شاء الله