1
00:00:05,300 --> 00:00:13,060
بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السادسة مساق تحليل

2
00:00:13,060 --> 00:00:18,680
حقيقة 2 لطلبة قسم رياضيات بكلية العلوم بالجامعة

3
00:00:18,680 --> 00:00:23,220
الإسلامية بغزةالحديث اليوم إن شاء الله هيكون حول

4
00:00:23,220 --> 00:00:30,200
ال Lobitals Rules أو قواعد Lobitals Lobitals Rules

5
00:00:30,200 --> 00:00:38,320
بتمر في calculus في تفاضل وتكامل بتمر من ناحية

6
00:00:38,320 --> 00:00:45,100
عملية استخدامها وتوظيفها لحل اللي هي بعض النهايات

7
00:00:45,100 --> 00:00:50,400
اللي بيكون .. اللي هو عجزنا عن حلها بطرق عادية

8
00:00:51,750 --> 00:00:57,550
هنشوف الآن في الحديث عن الـ Lobital Zerol حول اللي

9
00:00:57,550 --> 00:01:01,570
هو كيف اللي هو انبرهن هذه اللي هي القواعد كيف نشتق

10
00:01:01,570 --> 00:01:06,310
هذه القواعد كيف اللي هو أيضًا بشكل سريع حول اللي

11
00:01:06,310 --> 00:01:12,490
هي استخدام هذه القواعد طبعًا

12
00:01:12,490 --> 00:01:16,430
في الأول هنتحدث عن الكميات الغير معينة

13
00:01:17,020 --> 00:01:23,580
indeterminate forms اللي هي اللي بتعالجها اللي هي

14
00:01:23,580 --> 00:01:28,840
lobitals rules عندي على سبيل المثال لو جينا أخدنا

15
00:01:28,840 --> 00:01:37,090
limitاللي هو x على x تكعيب على x تربيع مثلا as x

16
00:01:37,090 --> 00:01:44,730
goes to zero limit alpha x على x لما x تروح للزيرو

17
00:01:44,730 --> 00:01:50,670
limit اللي هو x تربيع على x لما x تروح للزيرو

18
00:01:50,670 --> 00:01:59,900
limit x على x تكعيب لما x تروح للزيرو limitمثلًا

19
00:01:59,900 --> 00:02:07,100
سلب X على X تكعيب لما X تروح لـ 0 لو طلعنا على

20
00:02:07,100 --> 00:02:11,440
اللي هي ال limits اللي موجودة هنا كلها على صورة

21
00:02:11,440 --> 00:02:16,260
اللي هي لو تعويض مباشر هنلاقيها على صورة 0 على 0

22
00:02:16,960 --> 00:02:21,420
الان كمية 0 على 0 بالطرق السابقة كان اللي هو انه

23
00:02:21,420 --> 00:02:27,620
احنا صعب اللي هو نتعامل معها لكن في بعض الأحيان زي

24
00:02:27,620 --> 00:02:30,520
الحالة هذه حلاقي انه احنا بنعرف نتعامل معها و

25
00:02:30,520 --> 00:02:36,140
بنعرف نحكم عليها اللي هلاحظ انه كل الرغم ان كلها 0

26
00:02:36,140 --> 00:02:41,100
على 0 الا انها بتعطي في كل حالة اشي مختلف عن

27
00:02:41,100 --> 00:02:47,350
الحالة الثانية الان هذه مثلا عبارة عن limit1 على X

28
00:02:47,350 --> 00:02:51,030
لما X تروح للـ 0 طبعا 1 على X لما X تروح للـ 0 إيش

29
00:02:51,030 --> 00:02:53,710
مالها؟ does not exist لأنه من اليمين بتعطي مالة

30
00:02:53,710 --> 00:02:56,790
نهاية ومن اليسار بتعطي سالب مالة نهاية عشان هيك

31
00:02:56,790 --> 00:03:02,510
كده يبقى نقول عنها does not exist لأن limit Alpha

32
00:03:02,510 --> 00:03:06,210
X على X لما X تروح للـ 0 هو يساوي عبارة عن Alpha

33
00:03:06,960 --> 00:03:09,720
اللي هو عبارة عن real number لو فرضنا أنه Alpha

34
00:03:09,720 --> 00:03:13,480
ماخدينها احنا real number اذا انا اعطت number عادل

35
00:03:13,480 --> 00:03:16,320
اول ما اعطتش اللي هي انا اعطت does not exist

36
00:03:16,320 --> 00:03:20,620
الحالة الثانية اللي هي بتطلع limit X لما X تروح ل

37
00:03:20,620 --> 00:03:24,330
0 برضه اعطتنا أيه شمالها real numberفي الحالة اللي

38
00:03:24,330 --> 00:03:28,670
بعدها أعطتنا اللي هو عبارة عن limit 1 على X تربيع

39
00:03:28,670 --> 00:03:32,790
لما X تروح للصفر يعني أعطتنا إيش مالها زائد ملا

40
00:03:32,790 --> 00:03:37,070
نهاية في الحالة الثالث الأخيرة هتعطينا اللي هو

41
00:03:37,070 --> 00:03:42,770
ناقص limit 1 على X تربيع لما X تروح للزيرو بمعنى

42
00:03:42,770 --> 00:03:46,700
أخر سالب ملا نهايةيعني الـ Indeterminate Form Zero

43
00:03:46,700 --> 00:03:51,880
على Zero أعطتنا اللي هو أجوبة أو قيم مختلفة تابعًا

44
00:03:51,880 --> 00:03:56,280
لطبيعة كل حالة من الحالات اللي موجودة مرة أعطتنا

45
00:03:56,280 --> 00:03:59,700
doesn't exist مرة أعطتنا بسوء سفر ومرة أعطتنا بسوء

46
00:03:59,700 --> 00:04:03,640
ألف وواحد خمسة ستة ناقص واحد اللي بدناها اللي هو

47
00:04:03,640 --> 00:04:09,020
ناقص Infinity و Infinityالان ال .. ال .. ال .. ال

48
00:04:09,020 --> 00:04:13,780
.. الـ Indeterminate form هذه اللي الآن يعني بدنا

49
00:04:13,780 --> 00:04:19,780
نحاول نعليجها ب ..

50
00:04:19,780 --> 00:04:25,400
نحاول نعليجها بال .. بال .. بالـ Lobitals rulesالـ

51
00:04:25,400 --> 00:04:28,640
Indeterminate Form اللي عندنا اللي هو 0 على 0 طبعا

52
00:04:28,640 --> 00:04:33,240
في Indeterminate Form أخرى برضه هتعالجها اللي هي L

53
00:04:33,240 --> 00:04:38,620
'Hôpital's Rule أو Rules اللي هي زي Infinity على

54
00:04:39,400 --> 00:04:43,280
Infinity أيضًا هذول الشغلتين الأساسيات اللي

55
00:04:43,280 --> 00:04:47,480
هتعالجه اللي بطل الزرول مباشرة بنظريات مباشرة

56
00:04:47,480 --> 00:04:51,240
عليها أيضًا هتظهر لو ظهرت عندنا مثلًا Infinity نقص

57
00:04:51,240 --> 00:04:55,640
Infinity اللي هو Zero to Infinity Infinity to Zero

58
00:04:55,640 --> 00:05:01,160
إلى آخره هذوله حالات أخرىاللي هو بنقدر نحولهم عن

59
00:05:01,160 --> 00:05:04,800
طريق الـ ln أو عن طريق ال exponential أو بطرق

60
00:05:04,800 --> 00:05:08,820
معينة لاللي هي ال formula هذه ومن ثم استخدام اللي

61
00:05:08,820 --> 00:05:12,240
هو ال lobitals rules هذه عادة الشغلات اللي كانت

62
00:05:12,240 --> 00:05:16,460
تعالجها اليمين اللي هو ال calculus أو التفاضل اللي

63
00:05:16,460 --> 00:05:20,500
أخدناه في سنة أولى أو سنة أولى أو سنة تانية اطلع

64
00:05:20,500 --> 00:05:26,260
لفوق نيجي الآن ناخد النظرية الأولىاللي هي لبتة

65
00:05:26,260 --> 00:05:30,540
الزرولي الأولى ال formula الأولى أو الصورة الأولى

66
00:05:30,540 --> 00:05:35,660
نظرية بسيطة و نظرية مرت عليكم و اثباتها أيضا

67
00:05:35,660 --> 00:05:41,200
هتلاحظوا انه اللي هو بسيط ايش النظرية بتقول؟ بتقول

68
00:05:41,200 --> 00:05:43,680
مايالي عندي

69
00:05:45,330 --> 00:05:51,250
لت F be defined على الفترة المغلقة A وB ونفترض أن

70
00:05:51,250 --> 00:05:55,630
F of A وG of A مايساوي؟ سفر ونفترض أن G of X لا

71
00:05:55,630 --> 00:06:00,470
تساوي سفر في الفترة اللي هي بين A وB ونفترض لو

72
00:06:00,470 --> 00:06:04,420
كانت F وG differentiable عند الـ Aو G' عند الـ A

73
00:06:04,420 --> 00:06:07,880
لا يساوي سفر مفترضين G' لا يساوي سفر then the

74
00:06:07,880 --> 00:06:14,240
limit of F على G at A exist و تساوي F' على G' و

75
00:06:14,240 --> 00:06:19,580
إذا كان تحت كل هذا الشروط بطلع عنده اللي هو ال

76
00:06:19,580 --> 00:06:24,320
limit had exist و بالظبط هذا ال limit بساوي F' على

77
00:06:24,320 --> 00:06:29,780
F A على G' of A نشوف النظرية و نشوف برهان النظرية

78
00:06:29,780 --> 00:06:38,960
theoremعندي ماخد الـ F و الـ G عبارة عن دوال من A

79
00:06:38,960 --> 00:06:47,280
و B لعند R مفترض أن الـ F of A بيساوي الـ G of A

80
00:06:47,280 --> 00:06:53,680
بيساوي إيش؟ بيساوي سفر و مفترض أن الـ G of X

81
00:06:58,040 --> 00:07:09,500
لاتساوى 0 لكل X و M موجودة في الفترة A و B فرضنا

82
00:07:09,500 --> 00:07:16,260
كمان F و G differentiable عند الـ A F prime

83
00:07:16,260 --> 00:07:22,740
of A و G prime of A exists ستين تين وهذه لاتساوى

84
00:07:22,740 --> 00:07:29,900
إيش لاتساوى سفرتحت هذه الظروف كلها بكون عندى limit

85
00:07:29,900 --> 00:07:38,410
f of xعلى g of x as x بتروح لل a طبعا ال a الفترة

86
00:07:38,410 --> 00:07:43,390
اللي عندنا هي فترة من وين من عند a ل عند b إذا

87
00:07:43,390 --> 00:07:46,270
أكيد ال x إذا تروح لل a مافيش مجال لها ال x اللي

88
00:07:46,270 --> 00:07:49,210
بتروح لل a اللي من وين من جهة اليمين لأنه هي

89
00:07:49,210 --> 00:07:52,450
العالم اللي أنا عمال قاعد بشتغل فيه الفترة من a ل

90
00:07:52,450 --> 00:07:57,870
b إذا ال x بتروح لل a من وين من اليمين هيساوي اللي

91
00:07:57,870 --> 00:08:06,930
هو f prime عند ال a على g primeعند الـ A يعني

92
00:08:06,930 --> 00:08:09,910
بمعنى أخر إيش اللي .. إيش .. إيش .. إيش .. كيف هم

93
00:08:09,910 --> 00:08:13,650
نطبّك هذه النظرية؟ كانت تعرض علينا limit نيجي

94
00:08:13,650 --> 00:08:19,650
يقولنا أوجد ال limit لل F of X على G of X لما X

95
00:08:19,650 --> 00:08:25,090
تروح لمين؟ لل A من الأمين نيجي الآن ال F of A نعود

96
00:08:25,090 --> 00:08:29,500
تعويض مباشر ده طلعت عند 0 على 0وكانت عندى الشروط

97
00:08:29,500 --> 00:08:32,520
هذه مكتملة اللى هى الـF و الـG differentiable و

98
00:08:32,520 --> 00:08:36,080
الـF prime و الـG prime موجودات عند الـA على طول

99
00:08:36,080 --> 00:08:42,420
نحط هذه إيش بتساوي F prime of A على G prime of A

100
00:08:42,420 --> 00:08:48,880
معايا فهذه اللى هي .. اللى هي .. كيفية تطبيق

101
00:08:48,880 --> 00:08:53,500
النظرية نيجي لأهلنا برهان النظرية البرهان بسيط

102
00:08:53,500 --> 00:08:54,680
عندى

103
00:08:59,270 --> 00:09:11,330
خد عندي four x بين a و بين b لو جيت حسبت الغرض

104
00:09:11,330 --> 00:09:18,970
الأوجود هذه ال f of x على g of x إيش هتساوي؟

105
00:09:18,970 --> 00:09:28,250
هتساوي f of x ناقص f of aعلى g of x نقص g of a ليش

106
00:09:28,250 --> 00:09:31,110
لأن ال f of a و ال d of a ليش ماعطينا إيها بساوة

107
00:09:31,110 --> 00:09:34,170
سفر ليش عملت هيك لأ بدت أعمل أكتر من هي بدت أعمل

108
00:09:34,170 --> 00:09:39,110
أقسم هذا على x minus a و هذا على x ما لها minus a

109
00:09:40,060 --> 00:09:43,580
طبيعي ال X لا تسوى ال A الآن أنا باخد ال limit

110
00:09:43,580 --> 00:09:47,620
للجهتين وبتجرأ و باخد موزع لإن أنا ضائع من ال F

111
00:09:47,620 --> 00:09:51,260
prime of A موجودة و ال G prime of A شمالها ومش هيك

112
00:09:51,260 --> 00:09:54,160
و كمان ال G prime of A لا تسوى 0 إذا كل أموري تمام

113
00:09:54,160 --> 00:09:58,220
التمام إذا باخد ال limit للجهتين لما X تروح لل A

114
00:09:58,220 --> 00:10:04,040
من اليمين بسوى ال limit لما X تروح لل A من اليمين

115
00:10:05,480 --> 00:10:09,560
والاشي اللي تحت وزعت ليش وزعت ضامن أن ال limit

116
00:10:09,560 --> 00:10:14,520
exist و ال limit اللي تحت كمان لا تساوي سفر هذه

117
00:10:14,520 --> 00:10:20,400
اللي هي عبارة عن مين هذه تعريف F prime of A وهذه

118
00:10:20,400 --> 00:10:26,660
تعريف G prime of A بكون أنا حصلت على اللي هو اللي

119
00:10:26,660 --> 00:10:33,300
بديها هذه اللي هي النظرية الأولى في اللي هو هذا ال

120
00:10:33,300 --> 00:10:37,890
sectionاللي يعني بتحذير بقولك أنه انت يعني انعرضت

121
00:10:37,890 --> 00:10:46,230
عليك limit 17x ولا .. قداش؟ مش مشكلة x زياد 17 أين

122
00:10:46,230 --> 00:10:51,750
كانت بنفع x زياد 17 على 2x زياد 3 مثلا لما x تروح

123
00:10:51,750 --> 00:10:55,500
لمين للزفرهو مش ميقوم لما نشوف على طول و نروح

124
00:10:55,500 --> 00:11:00,960
نفاضل بنفعش انت يعني فتالت بيصير فاضل الجهتين

125
00:11:00,960 --> 00:11:06,340
بيطلع واحد على اتنين لأ هو انا بقول بتسوي الو أف

126
00:11:06,340 --> 00:11:10,720
برايم على جي برايم عند ال zero لما نكون هدي zero و

127
00:11:10,720 --> 00:11:16,080
هدي zero لكن لا هدي zero ولا هدي zero إذا بنفعش

128
00:11:16,260 --> 00:11:21,280
تحديد هذا نقول بتساوي اللي هو limit من فعش نقول

129
00:11:21,280 --> 00:11:24,540
بتساوي limit واحد على اتنين على اعتبار فضلنا

130
00:11:24,540 --> 00:11:28,800
ويساوي نص وهذا الكلام غير صحيح لأن ال limit زي ما

131
00:11:28,800 --> 00:11:32,800
انتوا عارفين لهذا المقدار بالتعويض المباشر هو

132
00:11:32,800 --> 00:11:42,780
عبارة عن 0017 ع 3 هذا كلام سهل ناخد مثال تطبيقي

133
00:11:42,780 --> 00:11:48,310
على النظرية اللي عندناالمثال التطبيقي برضه مثال

134
00:11:48,310 --> 00:11:56,530
مباشر عرض علينا الآن example عرض

135
00:11:56,530 --> 00:12:04,830
علينا بقول او جد limit x تربيع زاد x على sign 2x

136
00:12:04,830 --> 00:12:09,530
لما x تروح لمين لزي روبالمناسبة، النظرية اللي قبل

137
00:12:09,530 --> 00:12:13,070
بشوية حكينا عنها سواء كانت الـA اللي بتروحلها end

138
00:12:13,070 --> 00:12:17,150
point أو نقطة داخلية أو حتى left end point بتظبط

139
00:12:17,150 --> 00:12:22,150
عليها النظرية والبرهان similarly ماشي الحال؟ واضح

140
00:12:22,150 --> 00:12:28,430
هاه؟ طيب، وإيه السبب؟

141
00:12:28,430 --> 00:12:34,390
لأن الإختبار صفر على صفرو هذه differentiable و هذه

142
00:12:34,390 --> 00:12:38,970
differentiable كل أمورها ميحة و كويسة و مش هي كمان

143
00:12:38,970 --> 00:12:43,730
و لو فضلت هتلاقي اللي هنا لا يساوي سفر اذا على طول

144
00:12:43,730 --> 00:12:50,410
بقول 2x عند ال zero بفاضل جاعد و بعوض يعني هذه

145
00:12:50,410 --> 00:12:56,950
سميتها و كأنها Fوهذه g f of x وهذه g of x بعوض f

146
00:12:56,950 --> 00:13:02,190
prime of zero بعوض هنا g prime of zero الان f

147
00:13:02,190 --> 00:13:06,490
prime of zero اتنين x زائد واحد في سفر بيصير اتنين

148
00:13:06,490 --> 00:13:11,850
في سفر زائد واحد وتحت اللي هو تفاضلها اتنين cosine

149
00:13:11,850 --> 00:13:16,970
اتنين x بيصير اتنين cosine اتنين x وعوض بسفر بيصير

150
00:13:16,970 --> 00:13:25,500
اتنين cosine اتنين في zero وهذا يعنيبساوي اللي هو

151
00:13:25,500 --> 00:13:30,140
واحد على اتنين على اعتبار كوصالة Zero بساوي واحد

152
00:13:30,140 --> 00:13:36,760
هذه اللي هي تطبيق النظرية اللي عندي نيجي الآن للـ

153
00:13:36,760 --> 00:13:40,480
Cauchy Mean Value Theorem الـ Cauchy Mean Value

154
00:13:40,480 --> 00:13:46,140
Theorem تعميم للـ Mean Value Theorem اللي احنا

155
00:13:46,140 --> 00:13:52,050
عارفينهابدل ما هو على دالب نحكي عن إيش عن دالتين

156
00:13:52,050 --> 00:14:00,930
نشوف إيش اللي بقوله النظرية بتقول ما يلي لأن

157
00:14:00,930 --> 00:14:11,690
theorem عند F و G دالتين من A و B مخدهم من A و B

158
00:14:11,690 --> 00:14:17,390
لعند Rجاي لي نفس شروط الـ mean value theorem

159
00:14:17,390 --> 00:14:22,150
العادية بدل ما هي على دالها دالتين جاي لي F و G

160
00:14:22,150 --> 00:14:35,270
continuous on A و B and differentiable on O B ماشي

161
00:14:35,270 --> 00:14:42,230
الحال ومعطيني أيضا بقولي الـ G prime لل X لا تساوي

162
00:14:42,230 --> 00:14:49,110
سفرلكل X وين موجودة في الـA و الـB اللي أنا

163
00:14:49,110 --> 00:14:59,190
بقولليه النتيجة then there exist لنتيجة then then

164
00:14:59,190 --> 00:15:09,250
هذا كله معطى if this hold then then

165
00:15:09,250 --> 00:15:18,160
there exist CElement in A و B such that G أو F

166
00:15:18,160 --> 00:15:25,820
prime of C على G prime of C بساوي F of B ناقص F of

167
00:15:25,820 --> 00:15:35,360
A على G of B ناقص مياً G of A ال proof ده كلام سهل

168
00:15:35,360 --> 00:15:38,140
كمان ال proof نشوف كده

169
00:15:41,590 --> 00:15:46,050
عندي يا جماعة أول إشي هو معطيني إيش مالها g prime

170
00:15:46,050 --> 00:15:51,650
of x إيش مالها لا تساوي سفر إذا by rules theorem

171
00:15:51,650 --> 00:15:58,490
هيكون g of b لا تساوي مين g of a كيف أذكركم أذكركم

172
00:15:58,490 --> 00:16:03,950
كيف الآن إيش rules theorem كانت بتقول g من a و b

173
00:16:03,950 --> 00:16:14,130
لعند r continuous on a و bو differentiable on a و

174
00:16:14,130 --> 00:16:21,270
b هذا ما أعطينا إياه هو ماشي الحال بقول لي if g of

175
00:16:21,270 --> 00:16:28,350
a بساوي g of b بساوي سفر then هو في الواقع زي ما

176
00:16:28,350 --> 00:16:31,510
قلنا أن ال role theorem تنفع لو قلنا g of a بساوي

177
00:16:31,510 --> 00:16:37,710
g of b و سكتنا لأنه الشهد في الموضوع أنه المماس

178
00:16:37,710 --> 00:16:41,920
يكون معله موازي لمحور الصينةأه و لما تكون الـ G of

179
00:16:41,920 --> 00:16:45,440
A بيساوي الـ G of B وسكتنا أي قاطع بينهم هيكون

180
00:16:45,440 --> 00:16:48,520
عبارة عن موازي لمحور السينات يعني معناته اللي

181
00:16:48,520 --> 00:16:52,220
مماثل اللي باجيه هيكون موازي لهذا يعني موازي لمحور

182
00:16:52,220 --> 00:16:57,740
السينات طيب then .. then there exists C element in

183
00:16:57,740 --> 00:17:03,520
A و B such that G prime of C بيساوي إيش بيساوي سفر

184
00:17:03,520 --> 00:17:10,560
الآن هذا معطى مفرغ منه اللي فوق معطى عنديالان عندى

185
00:17:10,560 --> 00:17:14,640
لو كان g of a بسوى g of b بيعطينا انه يوجد صفر بين

186
00:17:14,640 --> 00:17:18,000
ال a و ال b بحيث ان g prime of c اشماله لا تسوى

187
00:17:18,000 --> 00:17:23,260
صفر لكن هو مفترضلى ان g prime of x لا تسوى صفر لكل

188
00:17:23,260 --> 00:17:26,540
x في ال a و ال bيعني الآن الـ Contraposition هو

189
00:17:26,540 --> 00:17:30,800
اللي hold hand يعني بمعنى آخر أنه بما أنه G prime

190
00:17:30,800 --> 00:17:36,160
of X لا تساوي 0 لكل X element in A و B هيعطينا هذا

191
00:17:36,160 --> 00:17:40,940
نفيه B implies Q تكافئ not Q implies not B وهذا

192
00:17:40,940 --> 00:17:46,240
لسه عملته أنابما أن g prime of x لا يساوي سفر لكل

193
00:17:46,240 --> 00:17:51,840
x طبعا في اللي هو b اذا g of a لا يساوي مين؟ g of

194
00:17:51,840 --> 00:17:59,900
b واضح؟ طيب اذا صار عندي الأول حاجة by Rolle's

195
00:17:59,900 --> 00:18:09,850
theorem g of a لا يساوي g of b becauseG prime of X

196
00:18:09,850 --> 00:18:15,670
لا يساوي سفر لكل X والي موجودة في الـA والـB هذه

197
00:18:15,670 --> 00:18:22,850
أول نقطة خلصنا هذه بررناها نيجي الآن زي ما عملنا

198
00:18:22,850 --> 00:18:26,270
في إثبات الـMean Value Theorem إذا بتتذكروا بدي

199
00:18:26,270 --> 00:18:29,630
أعرف دالة أطبق عليها برضه خلّي رولز الـTheorem

200
00:18:29,630 --> 00:18:32,890
مطبقة أو الـMean Value Theorem مطبقة و أحصل عن

201
00:18:32,890 --> 00:18:38,260
نتيجة اللي أنا بديهاالأن هي الشكل اللي بديها بدي

202
00:18:38,260 --> 00:18:45,680
أخد H of X let أو define H of X بساوة اللي هو

203
00:18:45,680 --> 00:18:52,740
المقدار هذا اللي بديه F of B ناقص F of A على G of

204
00:18:52,740 --> 00:18:57,910
B minus G of Aبتخلي المقدار هذا اللي هو يتصفر في

205
00:18:57,910 --> 00:19:00,650
حالة ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

206
00:19:00,650 --> 00:19:00,870
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

207
00:19:00,870 --> 00:19:00,870
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

208
00:19:00,870 --> 00:19:00,910
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

209
00:19:00,910 --> 00:19:00,970
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

210
00:19:00,970 --> 00:19:01,090
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

211
00:19:01,090 --> 00:19:01,850
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

212
00:19:01,850 --> 00:19:01,890
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

213
00:19:01,890 --> 00:19:02,850
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

214
00:19:02,850 --> 00:19:07,410
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

215
00:19:07,410 --> 00:19:12,650
ال ..

216
00:19:12,650 --> 00:19:12,650
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

217
00:19:12,650 --> 00:19:16,510
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

218
00:19:16,510 --> 00:19:24,170
ال .. ال ..

219
00:19:25,340 --> 00:19:30,660
H of A بيطلع سفر لإن بدي اللي هو الجزء الثاني اللي

220
00:19:30,660 --> 00:19:39,320
هيجيبلي قيمة مين قيمة ال F نقص G G of B ناقص G of

221
00:19:39,320 --> 00:19:44,060
A أو G of X ناقص H of A عشان نروحهم مع بعض ناقص F

222
00:19:44,060 --> 00:19:50,880
of X ناقص F of A الآن ليش عملت هيك عشان أحصل H of

223
00:19:50,880 --> 00:19:53,180
A H of A هذه سفر

224
00:19:55,780 --> 00:20:02,140
و هد ايه ايه بيصير سفر H of B إذا صارت عندي H of A

225
00:20:02,140 --> 00:20:09,360
بساوي سفر و H of B حط H of B بيصير هدي بيه هدي

226
00:20:09,360 --> 00:20:13,780
بتروح مع هدي بيصير F of B ناقص F of A ناقص F of B

227
00:20:13,780 --> 00:20:16,800
ناقص F of A بروحن مع بعض بيصير H برضه بيساوي سفر

228
00:20:16,800 --> 00:20:22,300
إذا هدي أكيد برضه بتساوي H of B الآن

229
00:20:24,650 --> 00:20:28,050
عندي هذا الـ differentiable و continuous و هذا الـ

230
00:20:28,050 --> 00:20:31,210
differentiable و continuous على ما يناسبها من a و

231
00:20:31,210 --> 00:20:35,750
b أو على ال a و b ال a و b اللي هو open

232
00:20:35,750 --> 00:20:38,770
differentiable و على ال a و b closed continuous

233
00:20:38,770 --> 00:20:43,350
تبعاً لها هتطلع انه ثابت هذا و هدوله ثوابت حيث ان

234
00:20:43,350 --> 00:20:50,330
عندي هذا كله ع بعض continuous صار عنديH is

235
00:20:50,330 --> 00:20:59,130
continuous on A وB وdifferentiable on A وB open

236
00:20:59,130 --> 00:21:03,930
لأنه أنا من رأس الدورة الـ H of X معرفها اللي هي

237
00:21:03,930 --> 00:21:10,740
الـ H for every X element in A وBH of X بيساوي كده

238
00:21:10,740 --> 00:21:15,360
ماعيش يا بابا صارت الآن أنا حققت كل شروط ال roles

239
00:21:15,360 --> 00:21:19,780
theorem اللي هي ال H continuous على ال A و B و ال

240
00:21:19,780 --> 00:21:23,360
differential على ال A و B open أو H of A بيساوي و

241
00:21:23,360 --> 00:21:27,260
H of B بيساوي اللي هي سفر إذا حسب roles theorem

242
00:21:27,260 --> 00:21:31,720
إذا by roles theorem by أو حتى by main value

243
00:21:31,720 --> 00:21:38,180
theorem by roles theorem there exists C element ال

244
00:21:38,180 --> 00:21:46,290
A و Bsuch that اتش prime of c ايش هيساوي سفر هذا

245
00:21:46,290 --> 00:21:52,190
حسب ال mean value theorem معايا يا جماعة الآن

246
00:21:52,190 --> 00:21:57,130
بتفاضل هذه دلنا اوجد تفاضل هذه تفاضل هذه ماعليش

247
00:21:57,130 --> 00:22:04,760
خلينا نكتبها لإنه ندخل على العالـ slide بدي أفاضل

248
00:22:04,760 --> 00:22:09,740
هذه فاضله H prime of X اللي هي عند الـ C بتساوي

249
00:22:09,740 --> 00:22:15,580
سفر سفر بساوي H prime of C تساوي فاضل هذه و أعوض

250
00:22:15,580 --> 00:22:20,420
عن الـ X بسفر لأن هذا ثابت و هذا ثابت ده بيصير سفر

251
00:22:20,420 --> 00:22:23,420
تفاضل هذا مع هذا لأن مع هذا بيصير G prime of X

252
00:22:23,420 --> 00:22:29,220
مضروب في هذا إذا صار عندي بساوي F of B ناقص F of A

253
00:22:30,080 --> 00:22:36,100
على g of b ناقص g of a مضروب في مين؟ فضلت في g

254
00:22:36,100 --> 00:22:40,920
prime of x وانا بدي أحسبها عند مين؟ عند c، اذا g

255
00:22:40,920 --> 00:22:45,320
prime of c ناقص تفاضل هذه، هذا ثابت سفر لأن هذا

256
00:22:45,320 --> 00:22:50,620
قداش تفاضلها ناقص f prime عند ال x وانا باخدها عند

257
00:22:50,620 --> 00:22:56,280
ال c اللي هي h of c, فh prime of c فبصير ناقص f

258
00:22:56,280 --> 00:23:02,200
prime of cالان بتدنجل هذه على جهة هذه بصير عندى

259
00:23:02,200 --> 00:23:10,720
الان f prime of c نجلته هان و اجسمها جي برايم of c

260
00:23:10,720 --> 00:23:15,840
لأن جي برايم of c لاتساوى سفر بساوة f of b ناقص f

261
00:23:15,840 --> 00:23:25,710
of a على g of b ناقص g of a و هيكبكون حصلنا على C

262
00:23:25,710 --> 00:23:31,630
في الـA وB بحيث أنه هذه تتحقق وهو المطلوب هذه اللي

263
00:23:31,630 --> 00:23:37,190
بيسميها Cauchy Mean Value Theorem هذه تعميم لمين؟

264
00:23:37,190 --> 00:23:41,590
تعميم اللي هو الـMean Value Theorem بس خد اللي هو

265
00:23:41,590 --> 00:23:47,230
G of X بتساوي XG of X بيساوي X و G of X بيساوي X

266
00:23:47,230 --> 00:23:49,190
اللي هي تحقق كل الشروط ال differential

267
00:23:49,190 --> 00:23:53,470
بالcontinuous و و الاخره ماشي الحال بيصير عندي

268
00:23:53,470 --> 00:23:58,110
اللي هي في حالة G of X بتساوي X معايا يا شباب

269
00:23:58,110 --> 00:24:02,450
بيصير G of BB و G of AA و هذه اللي هي G prime اللي

270
00:24:02,450 --> 00:24:05,510
هي واحد فبيصير F prime of C بيساوي F of B نقص F of

271
00:24:05,510 --> 00:24:10,470
A على B minus A إذا F

272
00:24:15,650 --> 00:24:21,210
أمسح البرهان بس الان

273
00:24:21,210 --> 00:24:31,930
ال note اللي عندي ال note كما يالي note if

274
00:24:31,930 --> 00:24:42,820
g of x بيساوي x then we get fromالـ theorem هذه

275
00:24:42,820 --> 00:24:51,140
اللي بقول عليها كوشي mean value theorem we get the

276
00:24:51,140 --> 00:24:59,500
mean value theorem كيف الـ g of x بيساوي x معناه

277
00:24:59,500 --> 00:25:04,160
انتصار الـ g of b بيساوي b و g of a بيصير a يعني

278
00:25:04,160 --> 00:25:10,530
هذا بيصير a, bوهذه بيصير A و G prime of C اللي هي

279
00:25:10,530 --> 00:25:14,070
بيصير واحد فبصير F prime of C بيسوي F of B نقص F

280
00:25:14,070 --> 00:25:20,590
of A على B minus A وهذه هي ال main value theorem

281
00:25:21,280 --> 00:25:24,720
واضح .. اه .. طيب اطلع للي بعده لإن احنا اللي

282
00:25:24,720 --> 00:25:26,820
بيهمنا هذا الكوشي بين ال value theorem احنا

283
00:25:26,820 --> 00:25:31,980
حكيناها أصلا عشان خاطر انه احنا نحكي عن اللي هو

284
00:25:31,980 --> 00:25:37,960
Lobital's rule ال form اللي عنده اللي أمامي دكتور

285
00:25:37,960 --> 00:25:41,860
جديد في السؤال في غيرك مفهوم ان انا جسمت على X

286
00:25:41,860 --> 00:25:46,640
minus A على E minus A الطرفين اصلا انت بتصير F أو

287
00:25:46,640 --> 00:25:48,580
P نقص F أو A على B minus A

288
00:26:01,110 --> 00:26:06,630
البرهام مش صعب اللي قلناه، كتير سهل، ما هو الـ C

289
00:26:06,630 --> 00:26:09,970
اللي لاجيناها في الحالة الأولى، هل هي التانية؟ إذا

290
00:26:09,970 --> 00:26:13,390
كنت تتعامل بجلمين Value Theorem أنت؟مش بدك تطبّق

291
00:26:13,390 --> 00:26:16,170
الـ Value Theory بدك تطبّق الـ Value Theory لأن

292
00:26:16,170 --> 00:26:21,090
there exists c1 such that f prime of c1 بيسوء f of

293
00:26:21,090 --> 00:26:24,030
b minus f of a على b minus a مافيش فيها مشكلة

294
00:26:24,030 --> 00:26:27,950
there exists c2 such that g prime of c2 بيسوء g of

295
00:26:27,950 --> 00:26:32,550
b نقص g of a على b minus a الـ c1 هذه مش شرط هيكون

296
00:26:32,550 --> 00:26:39,630
main الـ c2 او احنا لازم نثبتها هي نفسها اه ف .. و

297
00:26:39,630 --> 00:26:44,780
بعدين البرمجان سهلماشي .. نحن الواحد يفكر 100% ..

298
00:26:44,780 --> 00:26:50,780
جميل لكن .. يعني .. بس أنه احنا .. الـC هذه مش

299
00:26:50,780 --> 00:26:53,700
ضمنية تساوي الـC2 و بدنا نثبت أنها تساويها .. إذا

300
00:26:53,700 --> 00:26:59,920
كانت بتساويها طيب .. نيجي لها اللي هي النظرية اللي

301
00:26:59,920 --> 00:27:05,840
بعيدها النظرية اللي بعيدها .. أنا مرضيش أمسح اللوح

302
00:27:05,840 --> 00:27:08,800
أساسي منقررها من الـtheory من الأولى

303
00:27:11,650 --> 00:27:30,050
نشوف نطلع إيش اللي بتقوله هذه النظرية نفس

304
00:27:30,050 --> 00:27:35,710
اللي هنا F و G differentiable on A و B معايا أه؟

305
00:27:35,710 --> 00:27:42,150
الان such that G prime of X ده تساوي سفرG prime of

306
00:27:42,150 --> 00:27:47,970
X لا تساوي سفر أنا مش موجودة For all X elements in

307
00:27:47,970 --> 00:27:55,070
A وB ونفترض أنه limit F of X limit F of X لما X

308
00:27:55,070 --> 00:27:59,570
تروح إلى الـ A من اليمين موجودة و بتساوي أياش؟ سفر

309
00:27:59,570 --> 00:28:02,490
و limit G of X لما X تروح إلى الـ A من اليمين

310
00:28:02,490 --> 00:28:09,580
بتساوي سفر اذا صار limit الحاصل القسمةلأن بيسويش f

311
00:28:09,580 --> 00:28:14,300
prime of a على g prime of a بيساوياش limit f of x

312
00:28:14,300 --> 00:28:19,580
على g of x لما x تروح لل a باليمينيعني وكأنه هنا

313
00:28:19,580 --> 00:28:25,460
حول الحديث كله من افتراض أنه عند النقطة اللي هي F'

314
00:28:25,780 --> 00:28:31,240
وG' موجودة ولا تساوي سفر وحول الحديث من إن التعويض

315
00:28:31,240 --> 00:28:35,280
المباشر أن F of A وG of A بتساوي سفر ل limit لـ ..

316
00:28:35,280 --> 00:28:39,220
limit لل function لما X تروح لـ A سفر و limit لل

317
00:28:39,220 --> 00:28:42,040
function لما .. اللي .. اللي هو ال X .. ال X بتروح

318
00:28:42,040 --> 00:28:48,920
لسفر .. لل A بتساوي سفروحول أيضا طلب جي برايم نفسه

319
00:28:48,920 --> 00:28:54,680
على كل الفترة اللي تكون لا تساوي سفر مش عند النقطة

320
00:28:54,680 --> 00:29:03,060
بس وقال لك انه حتى اللي هو النتيجة هتطلع ب limit

321
00:29:03,060 --> 00:29:07,940
مش هتطلع ب F prime of A على G prime of A يعني اللي

322
00:29:07,940 --> 00:29:14,980
بقصده انه الآن طور هذه الحديث هناإنه لما تُعرض

323
00:29:14,980 --> 00:29:21,580
علينا limit F of X على G of X لما X تروح للـA من

324
00:29:21,580 --> 00:29:24,360
لمين أو إن كانت حتى لو في الـinterior point الـX

325
00:29:24,360 --> 00:29:31,300
بتروح للـA برضه صحيحة الآن بعدي عنديإذا لجيت limit

326
00:29:31,300 --> 00:29:34,480
الأولى، اللي أنا بحكي عن limit سيرة مش عن تعويض

327
00:29:34,480 --> 00:29:38,340
مباشر زي اللي جابله، الآن limit f of x لما x تروح

328
00:29:38,340 --> 00:29:41,780
ل a من اليمين و limit f of x لما x تروح ل a من

329
00:29:41,780 --> 00:29:46,700
اليمين، إذا هذه موجودة و هذه موجودة و طلع عندي 0

330
00:29:46,700 --> 00:29:51,060
على 0، يعني طلع ال limit عبارة عن 0 على 0، هنا بدو

331
00:29:51,060 --> 00:29:57,200
يحدث العلاج، إذا كانت الآنالـ limit اللي طلعت عندي

332
00:29:57,200 --> 00:30:02,000
F prime of X على G prime of X لما X تروح للـ A من

333
00:30:02,000 --> 00:30:06,780
اليمين إذا طلعت عبارة عن قيمة خلاص ارتاح هذه اللي

334
00:30:06,780 --> 00:30:12,450
طلعت هي مين فهمت ال limitماشي الحال لو طلعت كمان

335
00:30:12,450 --> 00:30:18,230
مرة zero على zero اللي هو و بتحقق كل الشروط اللي

336
00:30:18,230 --> 00:30:21,950
.. اللي في الأول برضه بأعمل كمان مرة بفاضل لما

337
00:30:21,950 --> 00:30:26,430
بتطلع لكن لو طلعت ال limit هذه does not exist بسكت

338
00:30:26,430 --> 00:30:31,130
و بجوبي عمش .. بدنا ندور على طريقة أخرى واضح؟ الآن

339
00:30:31,130 --> 00:30:34,990
لو طلعت هذه infinity أو سالب infinity هذه آسف

340
00:30:34,990 --> 00:30:38,900
infinity أو سالب infinity برضه أن نظرية صحيحةاللي

341
00:30:38,900 --> 00:30:45,290
هو هدمين الجزء الثاني من النظريةif limit f prime

342
00:30:45,290 --> 00:30:48,450
على g prime بساوة L بساوة infinity أو سالب

343
00:30:48,450 --> 00:30:52,190
infinity هتطلع ال limit على طول لل F على G اللي

344
00:30:52,190 --> 00:30:56,350
ببحث عنها إيش هتساوي برضه ال infinity أو سالب

345
00:30:56,350 --> 00:31:00,670
infinity حسب القيمة هذه إذا أي إن كانت اللي هي ال

346
00:31:00,670 --> 00:31:05,190
limit مادامة exist سواء ال existence عبارة عن

347
00:31:05,190 --> 00:31:09,210
element in R أو اللي هو عبارة عن ناقص infinity أو

348
00:31:09,210 --> 00:31:18,100
سالب infinity فإن النظرية صحيحةواضح؟ أي سؤال؟ طيب

349
00:31:18,100 --> 00:31:27,200
صلى على النبي عليه الصلاة والسلام خلينا

350
00:31:27,200 --> 00:31:31,360
نيجي للنظرية ونبرنها

351
00:31:45,860 --> 00:31:50,880
Theorem كدهش؟ نزلي بس النص يا محمد اللي هي theorem

352
00:31:50,880 --> 00:31:59,580
6 3 3 إيش النظرية بتقول؟ بتقول ما يعني عندي طبعا

353
00:31:59,580 --> 00:32:04,540
ماخد ال a أصغر من b strictly و a ممكن حتى تاخد سلب

354
00:32:04,540 --> 00:32:07,580
infinity و ال b تاخد infinity يعني ممكن تكون

355
00:32:07,580 --> 00:32:11,040
الفترة من a .. الفترة كلها a ممكن تكون أي فترة sub

356
00:32:11,040 --> 00:32:16,710
interval من اللي هو 100 من ال real numbersفرضنا f

357
00:32:16,710 --> 00:32:26,190
و g من a و b لعند اللي هو r وإذا كانت a infinity

358
00:32:26,190 --> 00:32:30,130
أو سلب infinity أسف إذا كانت a سلب infinity أو b

359
00:32:30,130 --> 00:32:33,610
infinity بتكون o من زمن بعرفي لأن عشان اللي هو

360
00:32:33,610 --> 00:32:36,890
ناخدها من real number ل real number لذا نفترض f و

361
00:32:36,890 --> 00:32:46,080
g من a و b لعند ال R ونفترض إن f و gdifferentiable

362
00:32:46,080 --> 00:32:54,620
on a و b ماشي الحال و differentiable on a و b الان

363
00:32:54,620 --> 00:32:57,900
مش لازم ي continue و تعندى و كده لأنه انا هدخل

364
00:32:57,900 --> 00:33:02,240
لجوه شغل هيكون لجوه هل جيت بتشوف واش معنى لجوه

365
00:33:02,240 --> 00:33:08,620
such that g prime of x g prime of x لا تسوى سفر

366
00:33:08,620 --> 00:33:17,430
لكل x وين موجودة في الفترة a و bالان بقول لي إذا

367
00:33:17,430 --> 00:33:27,170
كانت limit limit اللي هي f of x لما x تروح لل a من

368
00:33:27,170 --> 00:33:32,190
اليمين بساوي limit g of x لما x تروح لل a من

369
00:33:32,190 --> 00:33:40,980
اليمين بساوي سفر هذا كله موضوع الان بدو يوصلبدي

370
00:33:40,980 --> 00:33:46,200
أقولك كيف أنا بدي أحصل على نتيجة limit f of x على

371
00:33:46,200 --> 00:33:51,060
g of x لما x تروح لل a من اليمين بقولك إذا كان انت

372
00:33:51,060 --> 00:33:59,180
if لان ايه if limit f prime of x على g prime of x

373
00:33:59,180 --> 00:34:06,520
لما x تروح لل a من اليمين بساوي L thenأتجرأ أقول

374
00:34:06,520 --> 00:34:12,020
فاش عندى مشكلة limit f of x اللى ببحث عنها على g

375
00:34:12,020 --> 00:34:17,360
of x لما x تروح للإيه من اليمين برضه ايش هيساوي؟

376
00:34:17,360 --> 00:34:29,740
هيساوي ال .. من يحياتي هذه هيكون صحيحة طيب خلينا

377
00:34:29,740 --> 00:34:38,330
الآن اللى هو البرهن شوف عليهاواضح النظرية شرحناها

378
00:34:38,330 --> 00:34:45,050
يعني نص النظرية شرحناها بشكل كامل الان since limit

379
00:34:45,050 --> 00:34:51,730
F prime of X على G prime of X لما X تروح ل A من

380
00:34:51,730 --> 00:35:00,690
وين؟ من اليمين هيعندي الفترة A وB حتى لو كانت

381
00:35:00,690 --> 00:35:05,580
منتده وين ما بدها، هي حاضرة الان عنديX تذهب إلى

382
00:35:05,580 --> 00:35:09,760
اليمن اليمين فبدي من الجهة دي طبيعي من اليمين بسوء

383
00:35:09,760 --> 00:35:15,800
ال then for every epsilon أكبر من سفر لأي epsilon

384
00:35:15,800 --> 00:35:20,440
أكبر من سفر أي epsilon there exists delta أكبر من

385
00:35:20,440 --> 00:35:24,660
سفر such that لأن X تذهب إلى الامن وين من اليمين

386
00:35:24,660 --> 00:35:27,460
إذن الجوار اللي حوالها هو عبارة عن جوار من A لعند

387
00:35:27,460 --> 00:35:32,340
مين ال A زي ال Delta لعند A زي ال Delta صح ولا لأ

388
00:35:32,340 --> 00:35:36,260
إذن لكلما دامت ال limit هي دي بساوي L، ده لكل

389
00:35:36,260 --> 00:35:41,480
إبسلون بقدر ألاقي Delta بحيث أنه X element في A و

390
00:35:41,480 --> 00:35:46,400
A زائد Delta ف X element في A و A زائد Delta، then

391
00:35:46,400 --> 00:35:52,180
قطعا .. then قطعا هيكون عندي F prime of X على G

392
00:35:52,180 --> 00:35:58,030
prime of X نقص L، ذوكون أصغر من 100 من إبسلونهذا

393
00:35:58,030 --> 00:36:02,370
تعريف ال limit لل F prime of X على G prime of X

394
00:36:02,370 --> 00:36:06,510
بسهولة لما X تروح لمن؟ لل A من اليمين هو كاتبها

395
00:36:06,510 --> 00:36:11,110
هذه A زائد Delta C في الكتاب يعني مسميها C يعني

396
00:36:11,110 --> 00:36:16,090
مسمي انه لكل X there exists C بحيث انه لكل X في ال

397
00:36:16,090 --> 00:36:20,650
A اللي عند ال A لل C بكون هذا الكلام متحقق أنا

398
00:36:20,650 --> 00:36:23,510
حبيت اكتبلك اللي هو التعريف الدارجي اللي انت ده

399
00:36:23,510 --> 00:36:27,700
كسله كمان في ال .. في الحلواضح لحد تلاتة

400
00:36:38,080 --> 00:36:42,520
ماشي الحال بس هي ك .. هذه .. و هذه ك صح و هذه ك صح

401
00:36:42,520 --> 00:36:47,040
و هذه ك صح اللي كاتبها صح بس هذه للطالب أسهله في

402
00:36:47,040 --> 00:36:49,960
ال .. في ال .. لإنه .. خلّيني أقول هذا اللي درج

403
00:36:49,960 --> 00:36:54,640
عليه في ال .. في .. اللي هو التعبير عن ال .. لكل x

404
00:36:54,640 --> 00:36:58,940
في الجوار الجوار هذا سهل و .. و .. و .. وعبّرنا

405
00:36:58,940 --> 00:36:59,200
عنه

406
00:37:02,810 --> 00:37:07,630
-A هو أكبر من سفر وأصغر من دلتة برضه هيك صح صحيح

407
00:37:07,630 --> 00:37:11,910
نفس الاشي طيب

408
00:37:11,910 --> 00:37:15,050
الان

409
00:37:15,050 --> 00:37:23,590
هذا الكلام IA او بمعنى اخر that is هيكون هذا اللي

410
00:37:23,590 --> 00:37:31,230
هو F prime of X ناقص G prime of Xأصغر ناقص L

411
00:37:31,230 --> 00:37:37,150
بتغيرها عشان أصغر من Y وأكبر من 200 من سالب Y شيل

412
00:37:37,150 --> 00:37:43,470
ال L هذه بصير اللي هو أصغر من L زائد Y وأكبر من L

413
00:37:43,470 --> 00:37:49,430
ناقص Y هذا متحقق لمين لكل X و N موجودة في الفترة

414
00:37:49,430 --> 00:37:53,550
من A لعند A زائد Delta و اكتب لي هذا سميلي

415
00:37:56,530 --> 00:38:03,990
واحد ماشي الحال سميليه واحد الآن عندي اللي هو شروط

416
00:38:03,990 --> 00:38:06,850
ال mean value theorem الكوشي mean value theorem

417
00:38:06,850 --> 00:38:10,130
اللي قبل بشوية ال F و ال G differentiable على ال A

418
00:38:10,130 --> 00:38:16,170
و ال B اه و ال G prime of X لها تساوي سفر و ال ..

419
00:38:16,170 --> 00:38:22,490
او .. ايش كمان كله متحقق بس خلينا نقول

420
00:38:26,140 --> 00:38:31,240
بدي الآن اوين اطبق الـ mean value theorem بدي

421
00:38:31,240 --> 00:38:37,720
اطبقها على اللي هو اللي جوا عندى لداخل الـ mean

422
00:38:37,720 --> 00:38:44,560
لداخل الفترة هذه عشان اشتغل وين اللي بتطلع عندى

423
00:38:44,560 --> 00:38:48,490
اضمن تكون هناعشان القيمة اللى هتطلع عندى اللى

424
00:38:48,490 --> 00:38:53,170
بتحققها تكون بتحقق اللى بتطلع عندى و بتحققها دى

425
00:38:53,170 --> 00:38:57,730
عشان هي كصح اللى أعوض مكان بعض ماشي الحال خد الآن

426
00:38:57,730 --> 00:39:07,030
لجد تفهموا إيش اللى بقصدهم خد الآن four alpha أكبر

427
00:39:07,030 --> 00:39:16,040
من a و أصغر من beta و أصغر من a زائد deltaيعني أنا

428
00:39:16,040 --> 00:39:20,060
غرضي ان انا اشتغل .. ان انا رايح .. بدي انا limit

429
00:39:20,060 --> 00:39:24,580
اصلا و ال limit بديها لما اروح لمين؟ لل A يعني بدي

430
00:39:24,580 --> 00:39:29,760
في الجوار اللي عيمين ال A و جاي ناحيتها هذا اللي

431
00:39:29,760 --> 00:39:31,740
بهم، اللي مانيش سغاداش، بيكون التصرف مافيش ..

432
00:39:31,740 --> 00:39:36,980
مافيش عنده مشكلة الآن هي ال alpha أخدتها هنا و هي

433
00:39:36,980 --> 00:39:37,420
ال beta

434
00:39:41,900 --> 00:39:44,540
أصغر من Alpha أصغر من Beta أصغر من ايه زي الـ

435
00:39:44,540 --> 00:39:54,060
Delta؟ By Cauchy Mean Value Theorem there exists

436
00:39:54,060 --> 00:40:03,220
سموها هو نسميها U Element in mean in Alpha و Beta

437
00:40:03,220 --> 00:40:10,110
والـ Alpha و Beta جزء من هذهدُول، إذا اللي بنطبق

438
00:40:10,110 --> 00:40:14,750
على هذه اللي بنطبق على .. اللي بنطبق على هذه بنطبق

439
00:40:14,750 --> 00:40:19,790
على هذه، مظبوط؟ يعني هذه الـU اللي لجيتها بنطبق

440
00:40:19,790 --> 00:40:22,210
عليها الكلام هذا اللي هو F prime of U على D prime

441
00:40:22,210 --> 00:40:27,510
of U بين هذه و بين هذه واضح، و هذا الكلام مهم طيب،

442
00:40:27,510 --> 00:40:34,640
there exists U such that F prime of Uعلى g prime

443
00:40:34,640 --> 00:40:39,240
of u بيساوي ايش يا جماعة بيساوي f of b أو beta

444
00:40:39,240 --> 00:40:50,260
ناقص f of alpha على g of beta ناقص g of alpha واضح

445
00:40:50,260 --> 00:41:00,020
اه؟ هذا سمولي يمين هو اتنين الآن عند هذه اللي

446
00:41:00,020 --> 00:41:05,260
لجيتها هنا اللي بتحقق هذههي وين موجودة من ضمن

447
00:41:05,260 --> 00:41:12,980
النقاط اللي بتحقق هذه لكل X هنا وهذه جزء منها إذا

448
00:41:12,980 --> 00:41:18,100
F prime of X of U على G prime of U بين الـ L ناقص

449
00:41:18,100 --> 00:41:22,020
إبسلون والـ L زائد مين إبسلون وفي نفس الوقت F

450
00:41:22,020 --> 00:41:25,860
prime of U هذه اللي لقيتها G prime of U بساوي هذا

451
00:41:25,860 --> 00:41:29,840
إذا from واحد

452
00:41:30,390 --> 00:41:40,070
واتنين we get اللي هو F prime of U على G prime of

453
00:41:40,070 --> 00:41:47,610
U بستبدلها و بيصير F of Beta ناقص F of Alpha على G

454
00:41:47,610 --> 00:41:54,070
of Beta ناقص G of Alpha بحيث أنه هذا يكون أكبر من

455
00:41:54,070 --> 00:42:03,630
L ناقص Y و أصغر من 100 من L زائد Yلأن هذا صحيح لأي

456
00:42:03,630 --> 00:42:09,750
Alpha و Beta بشكلهم اللي موجود Alpha أصغر من Beta

457
00:42:09,750 --> 00:42:15,570
و Alpha بين الـA و بين مين الـA زائد دلتا إذا

458
00:42:15,570 --> 00:42:22,150
الألفة هذه حرة في كل المنطقة هذه بنفع يعني الألفة

459
00:42:22,150 --> 00:42:26,530
هذه لو بدها تروح للـA حد مش بمنحها الألفة تروح لها

460
00:42:26,530 --> 00:42:31,060
لأنه صحيح على كل هذه الألفات اللي لجيتها هذهالان

461
00:42:31,060 --> 00:42:40,340
let alpha goes to mean to a من وين؟ من اليمين

462
00:42:40,340 --> 00:42:45,720
ماشي؟ مقدر و لن تؤثر لأ على ال beta ولا عليها زي

463
00:42:45,720 --> 00:42:50,980
الدلتية الحرة بتروح لهذه وهذه زي ما هي يعني تصرف

464
00:42:50,980 --> 00:42:58,540
alpha يروح لأي a beta بالنسبالها ثابت ولا تتأثرهذا

465
00:42:58,540 --> 00:43:03,500
الكلام مهم إذا صار عندي الآن لما Alpha تروح لأ من

466
00:43:03,500 --> 00:43:10,700
اليمين ال up of Alpha بيصير عندي limit ال up of

467
00:43:10,700 --> 00:43:17,780
Alpha لما ال Alpha تروح لأ من اليمين بساوي هو في

468
00:43:17,780 --> 00:43:21,980
الواقع limitها limitها هذه Alpha اللي كنا نسميها X

469
00:43:21,980 --> 00:43:23,980
مثلا ال up of X سمى X تروح لأ من اليمين لأ من

470
00:43:23,980 --> 00:43:29,480
اليمينالآن الـ Alpha راحت للإيمن اليمين limitها

471
00:43:29,480 --> 00:43:35,020
أنا ماعطينيها إيش بيساوي؟ بيساوي صفر، ماعطيني

472
00:43:35,020 --> 00:43:37,080
limit f of x عندما x تروح للإيمن اليمين إيش

473
00:43:37,080 --> 00:43:40,540
بيساوي؟ صفر، أنا سميتها إيش أنا؟ Alpha هذه اللي

474
00:43:40,540 --> 00:43:46,660
بتتحرك، إذا هذا ال limit إيش هيساوي؟ بنفس السبب أو

475
00:43:46,660 --> 00:43:52,940
لنفس السبب limitG of Alpha لما Alpha تروح للـ A من

476
00:43:52,940 --> 00:43:59,680
اليمين برضه مش هيساوي سفر إذا الآن برجع لهذه برجع

477
00:43:59,680 --> 00:44:09,060
لهذه بصير عندى الآن اللي حصلته كله على بعضه لكل ي

478
00:44:09,060 --> 00:44:17,130
أكبر من سفر ماشي الحال ل gate Deltaبحيث أنه الـ α

479
00:44:17,130 --> 00:44:20,050
و beta بشكل هذا أكبر من إيه و أقل زي الـ delta

480
00:44:20,050 --> 00:44:24,570
سيبك من الـ L α خلاص رديتها أنا beta أكبر من إيه و

481
00:44:24,570 --> 00:44:29,170
أصغر من إيه زي الـ delta طلع عندي هذا المقدار أصغر

482
00:44:29,170 --> 00:44:33,170
من L زي الـ يبسلون وأكبر من L ناقص يبسلون ماشي؟

483
00:44:33,170 --> 00:44:37,300
الآن رديت و أخدتله من ال limitالان بدي أخد ال

484
00:44:37,300 --> 00:44:40,940
limit لهذا المقدار كله لما ال alpha تروح لمين؟ لل

485
00:44:40,940 --> 00:44:45,240
a من اليمين الان لما أخد ال limit لهذا زي ما قولت

486
00:44:45,240 --> 00:44:48,500
ال beta مالهاش علاقة بال alpha ال beta ثابتة

487
00:44:48,500 --> 00:44:50,920
بالنسبة لل alpha فال alpha تروح لل a من اليمين زي

488
00:44:50,920 --> 00:44:55,100
ما بدها لن تتأثر beta فبصير limit اللي فوق على

489
00:44:55,100 --> 00:44:59,520
limit اللي اتحد هذا ثابت و هذا ثابت و هذا limit هو

490
00:44:59,520 --> 00:45:04,300
اللي هو صفر و هذا limit هو صفر و هذول أعداد إذا

491
00:45:04,300 --> 00:45:11,220
أصار عندي الآنعندي take the limit بيصير عندي L

492
00:45:11,220 --> 00:45:18,100
ناقص Epsilon أصغر أو يساوي اللي هو F of Beta على G

493
00:45:18,100 --> 00:45:23,660
of Beta أصغر من L زائد Epsilon من وين حصلته هذا؟

494
00:45:23,660 --> 00:45:29,160
when I take the limit of this inequality as Alpha

495
00:45:29,160 --> 00:45:37,460
goes to A from right واضح؟هذا حصلت عليه هذا عرفت

496
00:45:37,460 --> 00:45:40,600
ثانوية هذا حصلت عليه من وين أن أخدت ال limit

497
00:45:40,600 --> 00:45:44,660
للجهات التلاتة as Alpha تروح لل A من اليمين

498
00:45:44,660 --> 00:45:48,780
واستخدمت هذه الحقيقة أن هذا سفر و هذا سفر صار هذا

499
00:45:48,780 --> 00:45:53,360
المقدار و هذا المقدار بين هذا و هذا إذن اللي حصلت

500
00:45:53,360 --> 00:46:02,380
عليه الآن هو ما يليه لكل epsilon أكبر من سفر لجهة

501
00:46:02,380 --> 00:46:07,610
Deltaأكبر من السفر such that هذه beta كانت

502
00:46:07,610 --> 00:46:14,650
arbitrary بين a و بين مين اللي هو such that if

503
00:46:14,650 --> 00:46:26,150
beta بين ال a و ال a زائد delta we have then ايش

504
00:46:26,150 --> 00:46:31,990
اللي حصلنا عليه اللي هو f of beta على f of alpha

505
00:46:33,100 --> 00:46:38,720
صارت أصغر أو يساوي L زايد إبسلون وأكبر أو يساوي

506
00:46:38,720 --> 00:46:47,620
إبسلون ناقص L أو بمعنى آخر IE F of Beta على F of

507
00:46:47,620 --> 00:46:53,340
Alpha ناقص L absolute value أصغر أو يساوي إبسلون

508
00:46:53,340 --> 00:47:02,280
وهذا هذا this means that hence limit

509
00:47:03,350 --> 00:47:13,590
f of beta على f of alpha as اللي هو limit of فدي g

510
00:47:13,590 --> 00:47:23,970
مالكم فدي g بساكتين g of beta فدي g of beta limit

511
00:47:23,970 --> 00:47:28,270
of beta على g of beta مظبوط؟

512
00:47:29,140 --> 00:47:33,140
as اللي هو طبعا الان بيت ايه اشمالها لكل بيتها

513
00:47:33,140 --> 00:47:37,620
يعني بيتها وين راحت على الايم اليمين هان لكل بيتها

514
00:47:37,620 --> 00:47:49,320
وين في الجوار هذا الان بيساوي ال هو المطلوب مش

515
00:47:49,320 --> 00:47:53,440
عاجبك بيتك تبقى اكسر اي سؤال

516
00:47:56,950 --> 00:48:01,030
بتصور هيك المظهرية واضحة تماما هي تلت خطوات في

517
00:48:01,030 --> 00:48:05,530
الواقع تلت خطوات مين هما هو طبعا في الكتاب يعني لو

518
00:48:05,530 --> 00:48:12,190
راحظت هتلاقي يعني أنه بدها بس ترتيب الان لأ بدها

519
00:48:12,190 --> 00:48:19,150
ترتيب طلع عليها الان عندك هذا الان استخدمت أنا هذا

520
00:48:19,150 --> 00:48:23,370
في الأول بالعمدان و استخدم هذا استخدمت هذا عشان

521
00:48:23,370 --> 00:48:27,150
أقولك هذه ال inequality صحيح على كل المنطقة هذهلأن

522
00:48:27,150 --> 00:48:33,170
لجي U لأن اللي لجيتها U أنا لجيتها لجيت ال U و

523
00:48:33,170 --> 00:48:36,070
أخدت الفترة هنا عشان أقول لك ال U اللي لجيتها في

524
00:48:36,070 --> 00:48:41,570
داخل الفترة هذه الحديث هذه جابل عن هذه بعمل

525
00:48:41,570 --> 00:48:45,750
confusion عند الطالب لأن اللي لجيتها من قال إنه

526
00:48:45,750 --> 00:48:49,970
هنا موجودة ما هي اللي لجيتها هنا وين لجيتها بين A

527
00:48:49,970 --> 00:48:56,050
و B بين A و B أو بين Alpha و Beta يعني بده يصير

528
00:48:56,050 --> 00:49:05,880
عندىاللي هي الـ F prime الـ F prime عندي ال limit

529
00:49:05,880 --> 00:49:11,140
.. ال limit لل .. خليني أكتبها يا شيخ ليش؟ ها ..

530
00:49:11,140 --> 00:49:16,120
هذا بالساوي ال .. اللي هي إيش ما لأ باخد ال

531
00:49:16,120 --> 00:49:20,740
infinity بطلع حد برضه إيش infinity يعني الحالة

532
00:49:20,740 --> 00:49:26,250
التانية اللي هي Fبساوة infinity هيكون ال limit لل

533
00:49:26,250 --> 00:49:33,570
F على G أشماله بساوة infinity الان بده يصير عنده

534
00:49:33,570 --> 00:49:38,750
بدل ما قول limit F prime على G prime بساوة L بده

535
00:49:38,750 --> 00:49:43,310
يصير أشهر بساوة infinity كيف بنعبر على إنه الرقم

536
00:49:43,310 --> 00:49:47,190
يروح لما لنهاية ال limit أنه ناخد اللي هو صرنا

537
00:49:47,190 --> 00:49:50,250
متعارفين for every إبسط إنه كانت عبارة عن إيش صغير

538
00:49:50,250 --> 00:49:55,190
for every KElement in R طبعا لو أخدت K positive

539
00:49:55,190 --> 00:49:58,050
برضه بنفعله لإذا .. إذا بيكون أكبر من ال positive

540
00:49:58,050 --> 00:50:01,170
أكيد هيكون أكبر من مين؟ من ال negative for every K

541
00:50:01,170 --> 00:50:05,450
element in R there exists delta such that لكل X في

542
00:50:05,450 --> 00:50:12,970
هذه المنطقة بيطلع اللي هو F prime of X اللي هو هذا

543
00:50:12,970 --> 00:50:16,630
.. بقى اللي بمسحه هذا بمسح من التعريف ذاك للتعريف

544
00:50:16,630 --> 00:50:20,920
limit F prime على G prime إيش بيساوي؟ما للهاي بما

545
00:50:20,920 --> 00:50:23,800
أن هذا بيساوي ما لنهاي ايضا لأ كل K المتنارة بين X

546
00:50:23,800 --> 00:50:28,200
زي الزلتة such that لما تكون X يعني بين ال A و بين

547
00:50:28,200 --> 00:50:31,060
Z زي الدلتة يعني روحت في ال A من اليمين then F

548
00:50:31,060 --> 00:50:35,800
برايم على D برايم أكبر من مين من K ماشي الحالة و

549
00:50:35,800 --> 00:50:39,540
هذا اللي هو الواحد عندى و هذا كله اللي هو كلام

550
00:50:39,540 --> 00:50:46,340
أشمله نفس الاشي متحقق فبصير عندى بستبدل هذا هذا

551
00:50:46,340 --> 00:50:50,270
مافيش داعي له بيصير التفاصيل هناو بيصير عندى هذا

552
00:50:50,270 --> 00:50:55,110
لجيتو اذا from واحد عند اتنين we have اللى هو

553
00:50:55,110 --> 00:51:01,370
نعملها مع بعض بستبدل هذا بحطه هان بيصير عندى f

554
00:51:01,370 --> 00:51:11,330
prime f of beta ناقص f of alpha على g of beta ناقص

555
00:51:11,330 --> 00:51:17,220
g of alphaأكبر من مين من K ماشي الحال و نفس السبب

556
00:51:17,220 --> 00:51:21,260
الأولاني الـ alpha اللي هو limit هذه سفر و limit

557
00:51:21,260 --> 00:51:26,260
هذه سفر المعطيلة هي هو بيصير هذه عبارة عن لما ال

558
00:51:26,260 --> 00:51:28,700
alpha تروح لل beta فبيصير عند أف في beta و دي في

559
00:51:28,700 --> 00:51:33,060
beta أكبر من مين من K صار عندي الآن لكل K element

560
00:51:33,060 --> 00:51:38,360
in R لجهة Delta بحيث أنه لما تكون Beta بين ال A و

561
00:51:38,360 --> 00:51:43,660
A زائد Deltaحصلت على هذه أكبر من مين؟ من K وهذا

562
00:51:43,660 --> 00:51:50,080
اللي هو إيه شماله؟ هو تعريف limit F of Beta على G

563
00:51:50,080 --> 00:51:58,480
of Beta as Beta روح لل A من اليمين سوى ملا نهاية

564
00:51:58,480 --> 00:52:01,440
ولو بدنا سالب ملا نهاية بنفس الأسلوب ده بتقول for

565
00:52:01,440 --> 00:52:07,660
every K K سالمة بيصير أصغر ونفس الكلام

566
00:52:07,660 --> 00:52:13,110
exampleexamples .. نشوف ال examples اللي عندنا

567
00:52:13,110 --> 00:52:20,890
نيجي لل examples اللي عندى الأولى يعني limit

568
00:52:22,440 --> 00:52:28,260
Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين،

569
00:52:28,260 --> 00:52:33,740
ليس بسهل، دعونا نشرح عن الوحش وبالكالكولس هذه لأن

570
00:52:33,740 --> 00:52:36,820
limit Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من

571
00:52:36,820 --> 00:52:40,620
اليمين، الآن الـ limit اللي فوق لما X تروح لـ 0 من

572
00:52:40,620 --> 00:52:43,920
اليمين، سفر و اللي تحت سفر، إذا صار عبارة عن 0 على

573
00:52:43,920 --> 00:52:48,020
0 وكل أمورها إيش ما لها متحققة ال differential

574
00:52:48,020 --> 00:52:51,190
الcontinuous و هو و هو و الاخري و الاخريإذا بنفضل

575
00:52:51,190 --> 00:52:53,330
اللي فوق و بنفضل اللي تحت فضلنا اللي فوق و طلعني

576
00:52:53,330 --> 00:52:58,430
cos X و اللي تحت 1 على 2 في جدر ال X الآن اللي ..

577
00:52:58,430 --> 00:53:00,150
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

578
00:53:00,150 --> 00:53:00,750
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

579
00:53:00,750 --> 00:53:01,710
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

580
00:53:01,710 --> 00:53:01,750
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

581
00:53:01,750 --> 00:53:01,750
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

582
00:53:01,750 --> 00:53:01,830
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

583
00:53:01,830 --> 00:53:01,850
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

584
00:53:01,850 --> 00:53:02,510
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

585
00:53:02,510 --> 00:53:02,510
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

586
00:53:02,510 --> 00:53:09,470
اللي .. اللي ..

587
00:53:09,470 --> 00:53:10,410
اللي ..

588
00:53:15,260 --> 00:53:20,220
الان اللي بعدها 1-sin x على x تربيه لما x تروح

589
00:53:20,220 --> 00:53:23,520
لمين لسه في رجولنا النظرية صحيحة برضه لو كانت اللي

590
00:53:23,520 --> 00:53:27,900
.. اللي .. اللي بدنا نروحلها جوا نقطة interior أو

591
00:53:27,900 --> 00:53:30,700
على ال end points كلها صحيحة وبنفس الأسلوب البرهان

592
00:53:30,700 --> 00:53:34,700
زي ما برهننا عن اليمين بنبرهن في الوسط فبناخد بدل

593
00:53:34,700 --> 00:53:37,700
ما هو الجوار من a لعند a زائد delta إذا كانت جوا

594
00:53:37,700 --> 00:53:40,640
من a ناقص delta لعند a زائد delta وده كان على

595
00:53:40,640 --> 00:53:47,360
الجهة الثانية من a ناقص delta لعند ال aفاهمين

596
00:53:47,360 --> 00:53:51,060
عليها هذه اللي هي برضه عبارة عن لو أخدنا limit للي

597
00:53:51,060 --> 00:53:54,780
فوق سفر و limit للي تحت سفر إلى أن فضلنا اللي فوق

598
00:53:54,780 --> 00:53:58,940
و فضلنا اللي تحت طالع عندي sin x على 2x إلى أن طلع

599
00:53:58,940 --> 00:54:04,360
عندي 0 على 0 كمان مرة و متحقق كل أمورها إذا بنشتقل

600
00:54:04,360 --> 00:54:07,520
كمان مرة بيصير cosine x على 2 و يساوي نص و هكذا

601
00:54:07,520 --> 00:54:09,180
اللي بعدها

602
00:54:11,950 --> 00:54:16,150
limit e to the x نقص واحد على x لما x تروح لمين

603
00:54:16,150 --> 00:54:20,730
للصفر برضه نفس الاشي هذي بيصير صفر على صفر لlimit

604
00:54:20,730 --> 00:54:24,750
الأولى بنشتق أن تطلع عنده واحد

605
00:54:28,600 --> 00:54:33,500
الان الأخيرة نفس الشيء لإن ال X على X minus واحد

606
00:54:33,500 --> 00:54:36,560
برضه نفس الشيء Zero ع Zero بطلع عندى اللى هو

607
00:54:36,560 --> 00:54:39,240
بالفاضل هدى بتطلع واحد على X بالفاضل هدى واحد

608
00:54:39,240 --> 00:54:44,220
بيصير الان لما ال X تروح للواحد بساوي الواحد اطلع

609
00:54:44,220 --> 00:54:48,920
لفوق بيكون وصلنا احنا عند مين عند اخر نظرية اللى

610
00:54:48,920 --> 00:54:56,000
هى Lobitals Ruleاللي هي في حالة اللي هي انها تطلع

611
00:54:56,000 --> 00:54:59,960
عندى infinity او ناقص infinity ال limit يعني ال

612
00:54:59,960 --> 00:55:03,280
indeterminate form اللي هو infinity على infinity

613
00:55:03,280 --> 00:55:07,080
او ناقص infinity على infinity برضه المرة الجاية ان

614
00:55:07,080 --> 00:55:07,620
شاء الله