موسيقى
بنرجع بالذاكرة إلى الوراء للمحاضرة الماضية هاتلي
قيمة X التي تحقق هذه المعادلة تمام بيقول له كويس
ببطل في المثل هذه المشكلة
عند هذه يبقى هذا اللي حصل ضرب قيمتين أحد القيمتين
هي القيمة اللي موجودة عند الانوان شجرة ثانية، إذا
هذه لو جيتها حلقة تالية بقول len 2x زائد 1
زائد len الـ X زائد 2، من وين جبت المعلومة هذه؟
من الخواص اللي عملناها المرة اللي فاتت قلنا هذه
الخاصية في أربع نقاط حصل الضرب القسمة 1 على X
X to the power n تاخده للن يبقى هذه الأربع نقاط
اللي كانوا في هذه الخاصية يبقى هذا الكلام بده يساوي
2 لن الـ X زائد 2 يبقى أنا بطلع المقدار اللي
أنا هبقى يقول المقدار هذا من نفس الـ form يبقى هذا
بدي أعطيك main اللي هو لين 2x زائد 1
يساوي هذه لو قلت على الشجرة ثانية بتجيك بإشارة من
بإشارة سالب بقولها انك ادهشاللي هو 2 لن الـ X
زائد 2 ناقص لن الـ X زائد 2 يبقى بناء عليه
أصبح عندي لن لن X زائد 1 بده يساوي طبعاً أمامي
بدأت طريقة لين لتبسيط الطرف الأيمن 2 لن الـ X و لن X
زي 2 و لن X زي 2 واحدة بيظل عندي قد إيش لن X زي 2
هذا لو استخدمت الجامعة مضطرة تمام؟ 1 أكتر مني
قال لأ استنى بدي أرجع للخواص بيقول له كيف؟ جاله لن X
زائد 2 لكل تربيع بنقول له ماشي وهذه ناقص لن
بيصير لن ناقص لن تعني لن خارج القسمة يعني لن X
زائد 2 لكل تربيع على X زائد 2 وبنختصر بدون
لن X زائد 2، مظبوط ولا لا؟ بنقول له والله
كلامك صح، هذه صحيحة وهذه صحيحة يعني اللي يعمل الخطوة
الأولى صح و اللي يعمل الخطوة الثانية صح يبقى بناء
عليه بدي يصير عندنا مين هذه الـ N X زائد 2 طيب
سؤال الآن احنا أثبتنا أن الـ M هذا اللي هو one to
one function ده لا increasing ثبتناه المرة الماضية
يبقى one to one مظبوط أو لا؟ مدام one to one إذا
كان عندي صورتين متساويتين يبقى الأصل اللي لازم
يكون معه متساوي لأن الـ end is one to one يبقى هذا
بدي أخبرك أن 2x زائد 1 يساوي الـ x زائد 2 لأن الـ x
هو 1 to 1 طيب، بناءً عليه، حاسينا أن هنا x يساوي
كم؟ يساوي 1، إذن x تساوي 1 هي التي تحقق المعادلة
اللي أمامنا، بدنا نروح للمثال رقم 5 رقم خمسة بيقول
find y prime for each of the following يعني بدنا
مشتقة كل مما يأتي نمرة 1 y تساوي x الجذر
التربيع إلى لنا الـ x يبقى هذه تعتبر function وهذه
كلها تعتبر function ثانية يبقى هذه مشتقة حاصل ضرب
الدالتين يبقى إيش بده يجعلنا هنا باجي بقول هذا بده
يعطينا أن y prime تساوي الدالة الأولى في مشتقة
الدالة الثانية مشتقة الجذر 1 على 2 الجذر في
مشتقة ما داخل الجذر يبقى 1 على 2 الجذر
التربيع لن الـ X في مشتقة لن الـ X اجتناقنا اللي
اجتناقناها المرة الماضية كانت 1 على X زائد
الدالة الثانية الجذر التربيع لن الـ X في مشتقة الـ X
اللي مجددك بـ 1 صحيح بتروح هذه مع هذه يبقى أصبح
عندي الـ Y prime يساوي 1 على 2 الجذر التربيع
لن الـ X زائد الجذر التربيع لمن؟ لن الـ X طيب سؤال
الثاني بدنا Y تساوي X تربيع في ln الـ X كل هذا أس
كده إيش؟ أس، 4
هذا قوس مرفوعة من القوس. لو رجعنا بالذاكرة إلى
الورق في calculus إيه؟ بنيجي نقول القوس في القوس
مرفوعة لنفس القوس مطروح من 1 في مشتقة ما داخل
القوس. فجأة هذا بدي أعطيك هذه القوس وهي القوس زي
ما هو مرفوع للأس 4 ناقص 1 اللي يساوي قد إيش
3 في مشتقة مداخل القوس مداخل القوس حاصل ضرب
دالتين هذه تعتبر دالة وهذه تعتبر دالة إذا X تربيعها
في مشتقة ln الـ X اللي بـ 1 على X زائد لن الـ X في
مشتقة الـ X تربيع ليه بيبقى كده إيش؟ 2X لو
قعدنا نرتبها يبقى 4 في X تربيع لن الـ X الكل
تكعيب في X زائد 2X لن الـ X طب السؤال الثالث
يقول لي Y تساوي لن لن 3X زائد 4 لن لن لن
لن لن لن لن لن لن لن لن لنا لنا لنا لنا لنا
لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا
لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لنا لوإن لو
كانت الـ U هي دالة قابلة للاشتقاق في X فإن مشتقة
دي على دي X لـ ln الـ U هي عبارة عن مين؟ 1 على U
دي U على دي X إذن هذا القادر نطبقه على الاشتقاق
لأن هذا كل اللي داخل الـ Lin هذا كله هذا بدي
أعتبره بـ U يبقى 1 على هذا المقدار في مشتقة هذا
المقدار يبقى بادرسه لأن Y' يساوي 1 على لن 3
X زائد 4 في مين؟ في مشتقة اللي بين القوسين هذا
يبقى كده إيش مشتقة 1 على 3X زائد 4 في
مشتقة مداخل الـ ln اللي هو مشتقة 3 يعني طبقت
chain rule بدل المرة مرتين طبعاً مرة ثانية بقول أنه
way to say لن لن 3x زائد 4 يعني بدي أخد لن
3 و أكتر زي 4 بطلع لعدد بدي أخد لن هذا
المقدار كمان مرة وبعدين أشتقه يبقى الاشتقاق بدي
يكون للن اللي برا واللي جوا كلها بدي أعتبرها اللي
هي دالة U دالة قابلة للاشتقاق في X فبأجي بقول الـ Y'
1 على U زي ما كتبنا هناك يبقى 1 على المقدار
هذا كله في DU على DX مشتقة هذا المقدار كله مشتقة
ln 3X زيادة 4 يعني 1 على 3X
زيادة 4 في مشتقة 3X زيادة 4 اللي هو
مشتقة داخل الـ ln اللي مشتقته بـ 3 يبقى هنا
exercise يبقى هنا exercise يبقى
exercise يبقى هنا exercise يبقى هنا exercise يبقى
هنا exercise يبقى هنا exercise يبقى هنا exercise
يبقى هنا exercise يبقى هنا exercise يبقى هنا
هنا exercise يبقى هنا exercise يبقى هنا
exercise
يبيبقى اللي جوا هو هذا اللي بين قوسين كله بأعتبره
يبقى 1 على هذا المقدار فيه مشتقته ومشتقته هو
السؤال اللي من فوق صح ولا لا؟ يبقى very easy صار
طيب، هذا اللي هو السؤال رقم 3
سؤال رقم 4
سؤال رقم 4 بدنا y تساوي اللي هو الجذر الجذر
التربيع إلى X زائد 1 مقسوماً على 3 زائد X
تربيع
يبقى 1 على اللي داخل الـ ln فيه مشتقة مداخل الـ ln
ومداخل الـ ln خارج قسمة الدالتين المقام في مشتقة البسط
ناقص البسط في مشتقة المقام على مربع المقام الأصل
والله هذه كلها كعجل شكل، مظبوط؟ لكن احنا ممكن نلطف
شكل المسألة ثم نقوم بعملية الاشتقاق ده تلطيف المسألة
كيف؟ من الخواص هذا ln خارج قسمة المقدارين بقول
ln الأول ناقص ln الثاني يعني ln البسط ناقص ln
المقام يبقى ln الجذر التربيع إلى X زائد 1 ناقص
ln 3 زائد X تربيع يبقى أصبحت عندي Y تساوي ln
ln الجذر التربيع لـ X زائد 1 يعني X زائد 1
قوس نص من خواص الـ ln النص بيطلع برا الـ ln يبقى بيصير
نص ln X زائد 1 وهذا بيصير ln 3 زائد ln X
تربيع مظبوط غير أي و يرجع إياك واحد يعمل الشغل هذه
اللي لا بتدخل على ناقص ولا بتدخل على زائد، بتدخل
على حاصل الضرب وخارج القسمة فقط، لا غير، يبقى
بناء عليها دي ما أقدرش أعمل فيها ولا حاجة فبنزلها
كما هي الحين هذه أنا كتبت المثال هذه أبسط من اللي
فوق كتير إذا عملية الاشتقاق اللي هيبقى سهلة يبقى
يبدو Y' يساوي نصف في 1 على X زائد 1 لمشتقة
مداخل الـN اللي هو في جداش بواحد ناقص واحد على
ثلاثة زائد X تربيع في جداش في اثنين X طيب السؤال
الخامس الـ Y تساوي لأن افتح قوس الجدري التربية اللي
واحد زائد X تربيع في sin 3X
يبقى 1 على sin 3x في تفاضل الـ sin بـ cos 3x لمشتقة
الزاوية اللي هي بـ 3 إذاً النتيجة كالتالي اثنين مع
النص الله يسهل عليها بيقول ايه ماجداش؟ بيقول X على
واحد زائد X تربيع زائد ثلاثة كوساين على ساين جداش؟
كوتان لثلاثة X السؤال السادس السؤال السادس بيقول
لي Y تساوي X تان للـ ln الـ X إزاي كل تبعة التان هي لل
الـ X؟ يبقى هذه مشتقة حاصل ضرب مش عارف دالتين ولا
ثلاثة هذه دالتين ولا ثلاثة؟ دالتين لأن التان أو
النسبة المثلثية لا معنى لها بدون الزاوية لازم تكون
الزاوية موجودة عندي حتى أقدر ايه حتى أقدر اللي هو
اشتق إذا هذه دالة وهذه كلها دالة ثانية يبقى باجب
أقول لهم why prime يساوي الدالة الأولى مشتقة التان
ذكروني في جداش؟ سيكانت تربيع يبقى سيكانت تربيع لأن الـ X
تربيع مشتقة إزاي طبقا للـ chain rule مشتقة إزاي في
جداش؟ واحد على X يعني مشتقة لأن الـ X اللي بيبقى
واحد على X طبعا يبقى هذا الأولى في مشتقة مين الدالة
الثانية زائد الدالة الثانية اللي هي tan للـ ln الـ X
في مشتقة الأولى اللي هي بقت واحد صحيح عندك هنا X
وهنا واحد على X مع السلامة يبقى بتقول النتيجة إلى
سيكانت تربيع للـ ln الـ X زائد tan للـ ln الـ X كذلك
السؤال السابع يقول
لي Y تساوي تكامل من X تربيع إلى X تكعيب لـ T للنتي
DT بدنا
اشتقاق للتكامل مرت علينا شغل زي هذه؟
كان اسمه الـ Fundamental Theory of Calculus
والنتيجتين اللي موجودتين عليه
بنكرر هذه المسائل في الامتحانات كثير نظرا لأهميتها
يبقى جمله مبدأ حلو بنقول هنا D على DX لمين؟ لتكامل
من H of X إلى G of X لـ F of T دي T بتساوي بنشيل كل
T في الدالة F of T وبنحط بدلها مين؟ G of X وبنروح
بضرب في مشتقة الـ G of X تبقى اللي هي تشين رول بعد
هيك اللي عملته لـ G بدي أعمل لـ H بالضبط تماما بس
بإشارة سالبة يبقى هذه F R بنشيل الـ T و بنكتب مكانها
G of X في مشتقة الـ G of X فبقى لـ h and o اللي
عملناه للدالة اللي فوق بنعمله للدالة اللي تحت
ماحدش أحسن من حد يبقى الـ f للـ h of x في الـ h prime
of x خلي هذه المعلومة عندك ضرورية جدا وبدنا
نطبقها على مين على السؤال بتاعنا إذا أنا هشيل كل T
واكتب مكانها X تكعيب لأن
X تكعيب كل هذا مضروب في G' يعني مشتقة من X تكعيب
اللي عملناه للـ X تكعيب هنعمله لمين؟ للـ X تربيع
يبقى ناقص X تربيع للـ ln X تربيع في مشتقة الـ X تربيع
لاثنين X هنعيد ترتيب المثل يبقى هذا بصير ثلاثة X
أس خمسة وهذه للـ ln X تكعيب اللي هي عبارة عن مين؟
ثلاثة في ln X خلاص ما منها هذه ناقص اثنين X تكعيب
في كذلك اثنين ln الـ X يبقى بصير هذه تسعة X أس خمسة
ln الـ X ناقص أربعة X تكعيب ln الـ X يبقى هذا الجواب
النهائي لمين لهذه الدالة طيب سؤال الثامن يقول لي Y
تساوي X أس ثاني X أظن
أول مرة أشوف سؤال بهذا الشكل دائما وابدا في كل نص
A بيجينا نقول الأساس متغير والأس مقدار ثابت يعني
بدنا مشتقة مثلا X تكعيب X أس خمسة X تربيع زائد
ثلاثة إلى آخره دائما الأس ثابت والأساس متغير هنا
الأساس متغير والأس كذلك متغير إذا من الآن فصاعدا
التكتيك اللي بدنا نتبعه عند حل هذا السؤال، بدك
تتبعه عند حل أي سؤال مشابه، يعني أي سؤال الأساس
تبعه متغير والأس تبعه متغير، بدك تتعامله بنفس
الطريقة اللي بدنا نعمل بها هذا السؤال طب إيش نعمل
يا شباب؟ ناخذ ln للطرفين يبقى بناجي أقول له هنا ln
الـ Y بدها تساوي ln X أس ثاني X هذا بدي أعطيك إن ln
الـ Y يبقى
يساوي ثاني X في ln الـ X يبقى المسألة عندي أخذت
شكلا جديدا غير الشكل تبعها المتعارف عليه تمام؟ يبقى
مشتقة الطرفين بنا نيجي لـ ln الـ Y تعرف تشتق لـ ln الـ
Y اسمع يا شباب لأن الـ Y بتعرف تشتقها 1 على Y بس
قلنا
لو كانت الـ U دالة قبل الاشتقاق في X فإن مشتقة لأن
الـ U كتبتها قبل قليل هي 1 على U في دي U على دي X
هنا Y دالة في X إذا مشتقة لي ln الـ Y هي 1 على Y دي
Y على دي X أو Y'، ماشي، إذا الطرف الشمال لو جت
اشتقه، بدي يكون 1 على Y في الـ Y' يستوي، الطرف
اليمين حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة الأولى في مشتقة
الدالة الثانية، زائد الدالة الثانية في مشتقة
الأولى، كده مشتقة التان؟ sec تربيع، ماشي يلا
موافقين، sec تربيع على الـ X طيب أنا بدي واحد على Y
في الـ Y prime بدي Y prime لحاله يبقى بنروح بضرب
الطرفين في مين؟ في الـ Y يبقى هذا بدي أعطيلك إن Y
prime يساوي Y في tan الـ X على X زائد ln الـ X في
مين؟ في sec تربيع الـ X الجواب مزوج، في لونين من
المتغيرات، إيش X وإيش Y، بدي الـ Shake بتخليه ليه
كله لون واحد، يعني أنا بدي المشتقة للـ Y بدلالة
من؟ بدلالة X، إذا بقدر أشيل Y هادي وأحط قيمته
اللي هي من راس المسألة اللي موجودة عندنا طيب يبقى
بناء عليه بصير عندي الـ Y Prime يساوي X أس
ثاني الـ X في مين؟ في ثاني الـ X على X زائد ln الـ X
في sec تربيع الـ X طيب
خلي سؤال تسعة هذا السؤال كان اشتقاق صريح الـ Y في
شعبة والـ X في شعبة ثانية خلّيني ناخد اشتقاق ضمني فلو
جيت قلت لك اثنين Y أس X مثلا تساوي الـ X أس Y تربيع
مش قادر أخلي الـ Y في شعبة والـ X في شعبة يبقى هذا
اشتقاق ضمني لكن مادام ضمني بسط المثل بعدين يروح
يشتق مظبوط يبقى زي ما عملنا فوق بدنا نعمل في هذا
السؤال بناخد ln للطرفين إذا لو أخذنا ln للطرفين
هذا إيش بيعطيلك X ln اثنين Y يساوي Y تربيع ln X
تمام؟ طيب يبقى الصحارات كل واحدة فيهم مشتقة حاصل
ضرب دالتين اللي كانت كمان مشجعة نفس الـ Y في شعبة
والـ X في شعبة يبقى فاضل تفاضل ضمني implicit
differentiation بنفضل كل واحد في مكانه مع مراعاة
قواعد الاشتقاق. هذه تعتبر function، هذه function
ثانية، هذه function، هذه function ثانية، يبقى كل
من الطرفين عبارة عن حاصل ضرب بدالتين وبدأ نشتقهم.
يبقى ده الأولى. بدأ نشتق اللي هو ln اثنين واحد،
تعرف؟
هو اللي دخل عرب لـ ln اثنين وواحد مننا اشتغل مش أنت
اللي وراك يا راجل ممتاز يبقى واحد على اثنين Y في
مشتقة اثنين Y اللي هي باثنين Y prime يبقى الـ X في
واحد على اثنين Y في مشتقة اثنين Y اللي هي باثنين Y
prime يبقى الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية
زائد الدالة الثانية في مشتقة الأولى اللي هي بواحد
يساوي بدنا نيجي برضه الأولى Y تربيع في مشتقة
الثانية ليه واحد على X زائد ln الـ X بدنا نشتق Y
تربيع أيوة يا أخي العرب أنت رقم ثلاثة أيوة بدنا
مشتقة Y تربيع أيوة بدنا مشتقة Y تربيع بس
بتسمعوا وبعدين شوفوا يا عزيزي كمشتقة Y تربيع؟ من
Y أنا أجيب في المعلومة هذه من B ولا من M؟ كالقلص B
ولا كالقلص A؟ كالقلص A لأنه أنا اشتقت بالنسبة لـ X
لكن لو كان اشتقق بالنسبة لـ Y نقلت 2Y وسكتنا لكن
كله بالنسبة لـ X يجب أنا أقول في 2Y في الـ Y ال
prime اثنين مع اثنين بتروح، بيبقى اللي عندي X على Y
في الـ Y prime زائد ln اثنين Y بده يساوي Y تربيع
على X زائد اثنين Y ln الـ X في مين؟ في الـ Y prime
بنقدر نجيب هادي و هادي عند بعض و ناخد أي عامل
مشترك و ننقل هادي عند هادي على الشجة الثانية و
بعدين نقسم على المعامل واي برايم على هي حال هذا
شغل روتيني لكن احنا العمود الفقري في المسألة اللي
هو الاشتغال طيب لو جاك سؤال اللي سمح الله ترفع
ضمن ضمن زي أكس بس فاضل أيام من الأول للآخر صح؟
و خليه بس هذا التفاضل صحيح و خد ال full mark بس
يلا اشتغل هالشغلة طيب هذا كان اللي هو المثال رقم
قداش تسعة؟ لا سيبك احنا تسعة دول من ضمن المثال
الخامس نجي للمثال السادس المثال
السادس بقول use
logarithmic differentiation to
find y prime for the function y تساوي
السؤال اللي جابله جالي هاتلي y prime
هذا يجب أن
تشتغل بطريقة محددة لغارتماك ديفرانشيان يعني تأخذ
التفاضل اللغارتمي يعني التفاضل لمن؟ للن يجب أن
تأخذ الـ ln للطرف طبعا بقدر أفضلها بدون التفاضل
اللغارتمي بدي أقول .. بدي أقول التفاضل هذه المقام
في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام على مربع
المقام، ما شاء الله عليها، مكلكة على كذا، تمام؟
إذا لما قال يوزي التفاضل اللي وارتني، بدي أروح أخد
ln للفركشن، ثم أفاضل إيش رأيك احنا بدل السؤال
اثنين هاي و هذا و اين راح الـ X هذا و اللي جابله الـ
X استانكس اشتغلناهم تفاضل اللغة لغة لغة لغة لغة
لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة لغة
كويس؟ يبقى هنا جاك تفاضل اللغة الرتمية، ما جاش حتى
لو ما جاش أفضل حاجة أو أسهل حاجة تروح تاخد مين؟
الـ ln للطرفين و بعدين تروح تشتغل مين؟ شغل تبعك، إذا
لو جيت أخدت الـ ln للطرفين، تصير الـ ln شمال بدي أساوي
مين؟ لأن الطرف اليمين خارق قسم الدلتين يبقى ln
البسط ناقص ln للمقام يبقى ln X الجذر التربيعي إلى
X تربيع زائد واحد ناقص ln خمسة X زائد واحد أس
ثلاث ثانيتين بنبسطها أكثر لأن الـ y يساوي لأن الـ X زائد
لأن الجذر التربيعي الـ X تربيع زائد واحد كميتين
مضروبتين في بعض يبقى ln الأولى زائد ln الثانية
هذه كمان تعتبر كمية وهذه كمية لحالها يبقى ناقص ln
الخمسة ناقص ln X زائد واحد أس ثلاث ثانيتين صح؟ تي إيه
ناقص ناقص صحيح إن مائة بالمائة بيقول ناقص افتح قوس
ln الأولى زائد ln الثانية الناقص بدخل على كل واحدة
منهم فبنقدر نبسط أكثر كمان يبقى هذا الكلام اللي هو
ln الـ Y بديه يساوي ln الـ X زائد نص اللي هو ln X
تربيع زائد واحد
تمام؟ و هنا ناقص ln الخمسة و ناقص ثلاث ثانيتين ln الـ X
زائد واحد أكثر من هيك ما فيش، تمام؟ يبقى بقدر
أقوله هذا الكلام بدي أبدأ اشتقه يبقى مشتقة ln الـ Y
عبارة عن مين؟ واحد على Y في الـ Y' مشتقة ln الاكس
واحد على X زائد نص و هنا واحد على X تربيع زائد
واحد في مشتقة مداخل الـ ln اللي هو الجذر 2X
ناقص ln الخمسة مشتقة واحد على خمسة يعني صفر مظبوط
هيك؟ غلط يعني كلامي؟ غلط بل هو الغلط بعينه لأن ln
خمسة كله كونستانت مقدار ثابت ومشتقة كونستانت بقداش
مش روح واحد يقولك اكتبلي خمسة ثاني مرة ولاش إيه
يبقى ln إن شاء الله يكون خمسة مليون مشتقة ب صفر
مش خمسة و بس يبقى ln الخمسة ب صفر ناقص ثلاث ثانيتين و ln
هذه اللي هو بواحد على واحد على ال X زائد واحد
في مشتقة مداخل ال X واحد صحيح طيب احنا بدنا إيش
بدنا Y prime يبقى بروح بضرب في مين؟ في Y مين هي الـ
Y هذه رأس المسألة اللي فوق إذا بشيل الـ Y و بحط قيمة
لـ X في الجذر التربيعي X تربيع زائد واحد كله على
خمسة في X زائد واحد أس ثلاث ثانيتين في واحد على X طبعا
نص مع اثنين الله يسهل عليه بضل زائد X زائد X على X
تربيع زائد واحد ناقص اثنين على ثلاثة في X زائد واحد
هذا كان المثال رقم ستة بدنا نروح لمثال رقم سبعة
evaluate the following integrals
يحسب لي كل من التكاملات التالية التكامل الأول امن
السائل أيوة سطر
الثاني هنا امن يبقى
..
طبعا احنا في Calculus إيه كملنا الـ sine و الـ
cosine مجرود و قلنا تكامل cosine الـ X هو
تكامل sin x هو سالب cos x زائد constant وقلنا لكم
باقي الأربع نسب اللي يعيش ويسجل كالكلص بيه بنكمله
الأربع نسب الأخرى ونحن اليوم نفي بوعدنا اللي
وعدناكم إياه في الفصل الأول يبقى الـ Sin و الـ Cos
كملوهم، بنيجي الآن للأربع نسب الأخر، راح نكملهم
الحين فورا قبل أن ندخل إلى باقي الأمثلة، بنيجي
لتكامل cotan الـ X DX هو عبارة عن تكامل ليه؟ الـ cotan
هي عبارة عن cosine على الـ sin، يبقى cosine الـ X على
الـ sin الـ X كله بالنسبة إلى DX نرجع بالذاكرة إلى
الورق للمحاضرة الماضية آخر خاصية من خواص ln الـ X
بقولنا تكامل 1 على X DX يساوي ln absolute value X
زائد كل أسطن C صحيح؟ و روحنا عممناها و قلنا in
general تكامل للـ F prime of X على F of X DX يساوي الـ
ln absolute value لما ده الـ F of X زائد constant C
إذاً بدنا نروح نطبق هذه الخاصية للخاصية الأخيرة
بجي بطلع هنا هل البسط هو مشتقة المقام؟ صحيح مشتقة
الـ cosine بـ -cosine يبقى حسب آخر خاصية ln absolute value
لـ cosine الـ X زائد constant C وهذه معلومة ما كناش
بنعرفها في Calculus A تمام؟ بدي أقول هذه هي النقطة
الأولى من هذا المثال وأذهب إلى النقطة الثانية تكامل
لـ tan الـ X DX ويساوي تكامل التانية عبارة عن إيه؟ sin
X على cos X DX السؤال هو تفاضل الـ cosine -sin
وليس موجب sin إذا ملزمنا إيه إشارة سالب فور
بنحلها الإشكالية وبنقول سالب تكامل لـ -sin الـ X
على cosine الـ X في DX كأننا ضربنا في سالب واحد وفي
سالب واحد سالب واحد حطينا جوا التكامل سالب واحد حطينا
برا التكامل ومدام كل أصلا تبقى طلع جوا التكامل
اللي برا التكامل بدون أي مشكلة الآن البسط هو
تفاضل المقام يبقى الجواب ln للمقام يبقى سالب ln
absolute value لـ cos x زائد constant C عليك لو
سألتك أقول لك شو اسمك أنت عمر عمر إيه؟ ممتاز جداً،
عمر هذا اتفل على إجابتنا هذه هيك وما عجبتهش،
ما عجبتهش ليش؟ إنه في إشارة سالب، أروح وأفرح عليه
السؤال تجبر تكتبها إيه نتيجة بإشارة موجبة بدون
سالب؟ بنقوله نجرب، يمكن الله أعلم، يجيب أجي بقوله
أنا بدي أستخدم خواص اللوغاريتمات، لو وصل لحد هيك وخلص
يبدأ حله سليم مائة بالمائة ولا واحد اللي اعترض
عليه لكن عنده خبرة في خواص الـ ln فقال لي هذا سالب
واحد في ln المقدار هذا، بدي أرجع لأصله قلت له إيش
أصله؟ قال لي هذا هو ln absolute value لـ cosine الـ X
أس سالب واحد زائد Constancy قلنا له والله مظهر،
ماحدش اللي اعترض عنك، صح؟ طبقا للخواص تمام راح قال
لي هذا بده يساوي اللي هو الـ ln واحد على cosine الـ
X absolute value بدل ما كان بيقسم فوق نزلها بيقسم
وجاب في المقام و قال لي هذا زائد Constancy قلنا
له ماشي قال لي واحد على cosine هي مقلب من؟ مقلب الـ
secant راح قال لي هذا الـ ln absolute value لها
secant X secant X تمام؟ زائد كونستانسية قلناله والله
مضجال هيها بالموجب ومش محتاج نشار السالب يبقى سواء
كتبت الأولى أو الثانية زي ما قالها زميلكوا عمر
ماعنا مشكلة سواء كانت هذه والله هذه
بقول يساوي تكامل ابصريش، إيش نسوي في هذه؟ يعني
أنت مذاكر ثلاثي عام كويس، تمام تمام، يبقى هذه sec
الـ X في مين؟ في sec الـ X زائد tan الـ X على sec الـ X
زائد تان الـ X كله بالنسبة للـ دي X طبعا يبقى طالع
واحد يقول وش هالفلك عالي غير شكل هذه يعني ليش هذه
ضرب في سك زائد تان وجسم على سك زي يعني كان ضرب في
واحد صحية مافيش إشكالية بنقول له آه هذه بتحل
المشكلة العويصة اللي مش قادر أحلها يبقى سك في سك
بسك تربيع الـ X زائد سك الـ X في تان الـ X كله على سك الـ
X زائد تان الـ X وهذا كله بالنسبة إلى DX يعني إيش
عملنا فكنا القوس ضربنا السك في اللي داخل القوس طب
هذا الآن صار له فائدة، المقام خليناه زي ما هو، قداش
مشتقة سك الـ X؟ سكتان هيها، زائد وهنا زائد، قداش
تفضل التان؟ سك تربيع، يبقى سعر البسط هو مشتقة مين؟
يبقى الجواب لإن المقام يبقى هذه اللي أعملها لها
فايدة كبيرة جدا يبقى لين absolute value لسك الـ X
زائد تان الـ X زائد constant C يبقى من الآن فصاعدا
تكامل لسك الـ X DX هو لين سك الـ X زائد تان الـ X
زائد constant C طب النقطة الرابعة والأخيرة تكامل
لكوسيكنت الـ X DX يساوي لن absolute value لكوسيكنت
الـ X ناقص كوتان الـ X زائد constant C مطلوب إنك
تعملها آه آه يا سيدي تشيك بدك تشيك عليها صح ولا لا
يعني إيش عملنا ماذا فعلنا هنا؟ بقررت في كوسيكان ناقص
كتان وقسمت على كوسيكان ناقص كتان، فصار البسط هو
مشتقة من المقام. واحد قال لي لا، أنا عندي جامع
مرة ثانية قلت له إيش؟ قال بدل ما تضرب في cosecant اضرب
في cosecant زائد كتان واجسم على cosecant زائد
كتان قلت له برضه كلامك صح بس مش مدري يطلع عنها شر
السالب جاب للن يعني صورة أخرى لهذه الإجابة وهي
سالب لن absolute value of cosecant X زائد كتان الـ X
زائد constant C يبقى اتنين هدول صح نفس الإجابة لكن
أنا لأ فضلت التانية مشان بس إشارة السالب زي مفروض
مافضلناش سالب لين كوسين وكتبناها لين سيك طب الله
يعطيك العافية هيك اتفضلتنا كاملتنا النسب المثلثية
كلها الآن الستة بنعرفها يبقى لا عذر لأحد بعد ذلك
سواء اشتقاء النسب المثلثية أو تكامل النسب المثلثية