بسم الله الرحمن الرحيم انتهينا من المرة الماضية
اللي كان بتحدث عن الـ extreme values سواء كانت
local maximum و local minimum أو absolute maximum
و absolute minimum بننتقل إلى الـ section اللي يليه
هو section 4-2 بتحدث عن the mean value theorem
نظرية القيمة المتوسطة قبل ما نبدأ بنظرية القيمة
المتوسطة بدأ ناخد نظرية أخرى وهي نظرية Rolle يبقى
بين أيدينا الآن Rolle's theorem تنص على ما يأتي
بيقول افترض أن y تساوي f of x هذه المتصلة على
الفترة المغلقة a وb وفي نفس الوقت هذه الـ function
قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة a وb يبقى هذان
شرطان الشرط الثالث لو كان f of a يساوي f of b فهناك
أقل نمبر c في الفترة a وb بحيث أن f prime of c
يساوي 0 يبقى هذه النظرية بتقول لي أنا في عندي
function تساوي y تساوي f of x إذا هذه الـ function
حققت لي ثلاثة شروط وهم الشرط الأول، الدالة متصلة على
الفترة المغلقة A وB. الثاني، قابلة للاشتقاق على
الفترة المفتوحة A وB. الثالث، قيمة F of A بدها تساوي
F of B. إن حدث ذلك يبقى لازم أقدر ألاقي نقطة C أو
عدد C في الفترة A وB على الأقل نقطة واحدة لكن
ممكن عدد ممكن اثنان ممكن ثلاثة ممكن
أربعة إلى آخره يعني على الأقل لازم ألاقي نقطة واحدة
في الفترة A وB at which بحيث أن الـ F prime of C
بدها تساوي قداش بدها تساوي Zero تمام تمام يبقى هذه
الشروط الثلاثة عندنا اللي همّن نظرية رول وهي تمهيد
لنظرية القيمة المتوسطة تعال نفهم هذا النص على
الطبيعة، الآن نجد طالع على الرسمة الأولى اللي
عندنا هذا المنحنى اللي أنت شايفينه هو منحنى Della Y
تساوي F of X أو المنحنى اللي عندنا هو منحنى Della Y
تساوي F of X تعال نشوف هل الشروط الثلاثة متحققة
على كل من الرسم الأولى والثانية أم لا؟ زي ما أنت
شايف الخط متواصل بلا استثناء على الفترة المغلقة A
وB الدالة معرفة، تمام؟ إذن الدالة continuous على
الفترة A وB باجي على الفترة المفتوحة A وB هل
الدالة قابلة للاشتقاق أم لا؟ طبعاً قابلة للاشتقاق
لأنه لا يوجد لا cusp ولا corner ولا vertical
tangent ولا discontinuity الأربعة تبعة عدم الاتصال،
عدم الـ differentiation تبقى، واضح؟ إذا أهدي زيها
طالع على المنحنى، ما فيش عندي ولا عند أي نقطة في
vertical tangent ولا cusp ولا corner ولا vertical
tangent أو discontinuity ما فيش عندي ولا حالة من
الحالات الأربع، إذا اتدى لقاء بالاشتقاق في الرسم
الأولى وفي الرسم الثاني بالـ F of A يساوي F of B، هي
قيمة الدالة عند A، وهي قيمة الدالة عند B جايت وين
على نفس الخط. قيمة الدالة عند A تساوي قيمة الدالة
عند B نفس الخط الأفقي الموازي لمحور X. يبقى الآن
تحققت الشروط الثلاثة. بيقول، there exists أو there
is at least على الأقل فيها نقطة واحدة. لكن ممكن
ألاقي أكثر من نقطة، النقطة هذه ما لها؟ قيمة
المشتقة عندها تساوي مين؟ تساوي Zero، يعني المماس
عند هذه النقطة بيكون ما له؟
الخط الذي يوصل بين F of A وF of B يوازي خط أفقي
الآن يجب أن يكون F prime of C1 يساوي 0 يعني المماس
أفقي F prime of C2 يساوي 0 معناته المماس أفقي F
prime of C3 يساوي 0 معناته المماس أفقي والخط الذي
وصل بين F of A و F of B برضه زي ما أنت شايف موازي
للمماسات الثلاثة التي عندنا يبقى بناءً علي من الآن
فصاعداً إذا تحققت الشروط الثلاثة إجباري على الأقل
لازم ألاقي ولو نقطة واحدة عندها قيمة المشتقة تساوي
Zero يمكن ألاقي اثنتين يمكن ثلاثة، يمكن أربعة، ما عندنا
مشكلة. المهم على الأقل إذا وجدت الشروط الدالة
الدالة أو تحققت الشروط الثلاثة لدالة ما لازم
ألاقي ولو نقطة واحدة في الفترة المفتوحة A وB بحيث
أن المشتق عنها يساوي مين؟ يساوي Zero. تعال نشوف
هذا بأمثلة عملية. بيقول لي بيني أن هذه الدالة
تحقق hypotheses فرضيات مفردها فرضية بس بدل الـI هذه
بحط بدالها i يبقى لو كانت i بكون hypothesis فرض
واحد بالـs يبقى الجمع hypotheses فرضيات يعني إيش
الفرضيات عن الفرضيات الثلاث التي هنا يبقى بيقول
أن هذه الـ function تحقق فرضيات نظرية رول على
الفترة المغلقة من Zero لغاية 4 بعد ذلك هات لي قيمة C
أو قيم C التي موجودة في الفترة المفتوحة 0 و 4 بحيث أن
قيمة المشتقة عندها تساوي قداش تساوي Zero يبقى احنا
في الأول اللي بدنا نشوف هل الثلاث فرضيات متحققة ولا
إن كانت متحققة يبقى غصب عن اللي ما يرضى لازم ألاقي
نقطة C قيمة المشتقة عندها تساوي صفر بالدالة لمن؟
للدالة التي عندنا هذه، الدالة هذه الدالة أنتبه لها من
ويل لويل عندنا من Zero لغاية Infinity، عند Zero
الدالة معرفة، بظبط ولا لا؟ لأنه أنا عند الجدول،
معناته continuous على الفترة من Zero إلى Infinity،
يعني continuous على الفترة من أين إلى وين؟ من
Zero إلى 4. فجأة باجي بقوله الـ domain تبع الدالة
F، بدها تساوي من Zero لغاية Infinity. هذا بدها يعطينا
أن الـ F is continuous on الفترة من Zero لغاية
كدهش؟ لغاية 4 يبقى تحقق الشرط الأول عندي طبعاً
يمكن واحد يقول لي احنا ما أخذناش ذلك بقوله كيف؟ وقال لـ
continuous function بدي أشوف الـ limit تبعها عند أي
نقطة و بدي أشوف مين و بدي أشوف قيمتها بقول هذا
كلام صحيح عند نقطة على interval يقول بدي أشوف
طرفية الـ interval و بدي أشوف مين الفنص هذه قصة
طويلة جداً لكن احنا بجيب و أقول هذه الدالة معرفة من
و إلى وين من Zero إلى Infinity، مدى أن معرفتي جاذبها
منها، إذن هي اللي متواصلة عليها، لو في نقطة
ماشية متواصلة، سحبناها منها، إذن هذه أغنتني عن مين
مين أكواد الشغل الطويل تبعنا اللي بدي أثبت الـ
continuity على interval لهذه الـ function طيب كويس،
ضلّ الـ differentiability، إذن أنا عند الـ F of X
بدها تساوي اللي هو x على 2 ناقص جذر الـ X روح نشتق
يبقى الـ F prime of X يساوي نص ناقص واحد على اثنين
جذر الـ X في مشتقة ما تحت الجذر اللي هو قداش؟ واحد
وين هذا الـ domain تبع الـ f prime؟ هو domain الـ f
ما عدا النقاط المشتقة عندها غير معرفة هل الدالة
معرفة عند الـ zero؟ إذا بدنا نشيل الـ zero فقط لغرض
و الباقي بيبقى كما هو يبقى هذا معناه أن الـ f is
differentiable on الفترة من zero إلى 4 عند أي نقطة
خلال الفترة من Zero إلى 4 المعطاة المشتقة هذه
معرفة، إذا هذه الـ function ما لها؟ هذه متصلة عالمياً
على هذه الفترة وفي نفس الوقت قابلة للاشتقاق يبقى
هيجي بقى الشرط الثاني فهي لعند الشرط
الثالث بدي أروح أجيب له الـ F of Zero أظن تساوي
Zero صفر جذر صفر بصفر بدي أجيب له الـ F of
4 يبقى هذا بتساوي 4 على 2 ناقص جذر الـ 4
يعني 2 ناقص 2 يساوي جذر صفر معناه هذا
الكلام أن الـ F of zero بدها تساوي مين؟ الـ F of 4
وبالتالي تحققت شروط نظرية Rolle يبقى هنا Sir the
function F of X بدها تساوي X على 2 ناقص جذر الـ
X satisfy the hypotheses of
the Rolle's theorem يبقى معناه أن هذه
الـ function تحقق نظرية Rolle معناته إيش؟ هذا بدي
أعطيك there exist رقم c موجود في الفترة 0 و 4 such
that بحيث هو أن الـ f prime of c بدها تساوي قداش؟ Zero
قال هات لي الـ C هذه، بدي إياها، قال Find the value of C
التي موجودة في الفترة zero و 4 واللي المشتقة
عندها بدها تساوي Zero، بنقوله بسيطة جداً الـ F prime
of C يعني بدي أجي على الـ F prime ولـ F prime هيها
بدي أشيل كل X وأحط مكانها C يبقى معناته هذا
الكلام نص ناقص واحد على 2 جذر الـ C بدها تساوي
قداش؟ Zero أو أنقلتهم فاقولوا واحد على 2 جذر
الـ C يساوي قداش؟ نص أو بمعنى آخر 2 جذر الـ C يساوي
2 يبقى جذر الـ C يساوي قداش؟ لو ربعنا الطرفين
بيصير عندنا C تساوي 1 إذا عندك C تساوي 1
بيكون F prime of 1 بيساوي قداش؟ النص صحيح كلامنا
و الله كله كلام تعال شوف f prime of 1 حط هنا
1 بيصير نص ناقص نص يساوي Zero كلامنا صحيح هذا
هو نظرية رول ومثال عليها نذهب إلى العمود الفقري
تبع هذا المجلد وهو العنوان الذي نراه فيه هو الـ
mean value theorem يبقى بعد هذا بالدّاجي the mean
value theorem الـ
mean value theorem تنص على ما يأتي
فترب إنه Suppose that the function
التي هي Y تساوي F of X is continuous is
continuous on a closed interval
على الفترة المفتوحة A وB ثم هناك
يوجد على الأقل في
الفترة
المفتوحة A وB
بحيث أن الـ F of B ناقص الـ F of A على B ناقص الـ A
فهو F prime of C
خلّاله كويس هنا.
هذه there exist يوجد، there exist يوجد
التي هي بالإنجليزية بسمة مجنونة على الشجرة الثانية
معناته there exists يوجد طيب بدنا نيجي لنظرية
القيمة المتوسطة the mean value theorem لو دققت في
نظرية القيمة المتوسطة بلاقي فيها فرقين فقط ما
بينها وبين نظرية Rolle الفرق الأول هو حد بيقدر
يكتشفه أيوة أن الشرط الثالث مش موجود F of A بدها
تساوي F of B مش موجود الشرط الثالث أو النقطة
الثانية أيوة
F prime بدها تساوي Zero هنا ليس بالضرورة تساوي Zero ممكن
تساوي Zero أو لا تساوي Zero نظرية و نظرية Rolle الفرق
ما بين الاثنين هذول هو فقط الشرط هذا ونتيجة أن هذا
الشرط تصبح نتيجة ومخالفة الشرط هذا أن هناك F of A
يساوي F of B بالخط الواصل بينهم أفقي تمام إنهم خط
واصلي يبقى المماس بيكون أفقي يبقى F prime يساوي
Zero هنا شال الشرط هذا مجرد شال الشرط هذا يبقى F
prime of C يساوي F of B نقص F of A على B نقص الـ A
افترض أن الدالة دالة متصلة على الفترة المغلقة وهو
الشرط الأول من نظرية Rolle، قابلة للاشتقاق على الفترة
المفتوحة الشرط التالي من نظرية Rolle، الشرط الثالث
اختفى، then there is at least يوجد على الأقل نقطة
إن لم يكن أكثر في الفترة A وB at which الـ F of B
نقص الـ F of A على B نقص الـ A بدل سوء الـ F prime of
C هناك بيجيني أقول المماس أفقي، هل يا ترى هنا
المماس أفقي؟ 175 00:17:59,10
x ناقص ثلاثة لما ال x محصورة ما بين ال zero و ما
بين اثنين أو ستة x اللي هو ال term الثاني ناقص x
تربيع ناقص سبعة و ال X هذه محصورة ما بين اثنين وبين
الثلاثة satisfy the
hypothesis of
the mean value theorem
خلّيني أبدأ كدا، نعطيني مثال f of x بعض عن p's y's
function ومعرفة على الفترة من zero إلى ثلاثة يعني
ال domain تبع الدالة، فقط بدي أخد من أين إلى أين، من
zero إلى ثلاثة، بقول هل الدالة هذه تحقق شروط ال
mean value theorem ولا لأ، بقوله كويس، يقول الخطوة
الأولى بدي أشوف هل هي continuous على الفترة المغلقة
من Zero لثلاثة ولا لأ، أول شيء بقوله domain الدالة F
يساوي الفترة المغلقة من Zero إلى ثلاثة، من Zero إلى
اثنين ومن اثنين لثلاثة، يبقى احنا مقيدين بهذه
الفترة الآن هذه دالة خطية، ده اللي خاطية، ده اللي
متصلة، هذه، ده اللي من الدرجة الثانية، منحنة، برضه
متصلة، يبقى المشكلة وين؟ عند نقطة الالتقاء، ممكن
يكون منحنى بالشكل هذا أو الخط المستقيم جاي من فوق،
لا يلتقي معاه، مظبوط؟ إذا أثبتنا إن الاثنين بيلتقوا
مع بعض، فالدالة مالها؟ دالة متصلة، إذا مشكلتنا
حصلت وين؟ حصلت عند اثنين، طب، مش هنشوف الدالة متصلة
عند اثنين ولا لأ، بدي أشوف هل قيمة الدالة عند
اثنين تساوي نهاية الدالة عند اثنين ولا لأ، إذا بجي
بقوله بدي أخد ال F of اثنين، اثنين حصلة في ال term
الأول، يجي اثنين في اثنين ناقص ثلاثة، و يساوي كده؟
واحد، طيب أليس هذه هي limit لل F of X لما ال X
بده يروح للاثنين من جهة اليسار؟ صحيح ولا لأ؟ يبقى
هدول بيساوي بعض، يبقى لو قدرت أثبت أن ال limit ال
F of X لما ال X بتروح للاثنين من جهة اليمين بيساوي
النتيجة هذه، بيبقى الدالة دالة متصلة، بصير نهاية
الدالة تساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة، إذا
بيدّي أروح أخد limit ال F of X لما ال X بيروح للاثنين
من جهة اليمين، يبقى هذا ال limit لما ال X بده تروح
للاثنين من جهة اليمين، إذا احنا رايحين للاثنين من
جهة اليمين يبقى وين؟ الجزء الثاني من ال function
يبقى بيصير 6X ناقص X تربيع ناقص 7، هذه polynomial
من الدرجة الثانية، يبقى تعويض مباشر، يبقى ستة في
اثنين ناقص اثنين تربيع ناقص سبعة، ما يساوي اثنا عشر
وهذه أربعة، وناقص أربعة، وناقص سبعة اللي هو ناقص
أحد عشر، يبقى اثنا عشر ناقص أحد عشر اللي هو قداش؟ نفس
القيمة اللي عندنا هذه، يبقى بناء عليه، لما ال X
يذهب إلى الاثنين سواء كان يمين أو شمال تساوي ال F
of اثنين تساوي واحد، هذا سيعطينا أن ال F is
continuous على كل الفترة من 0 لغاية 3
هل الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة من
Zero لغاية ثلاثة ولا لأ؟ تبقى مشكلتنا وين؟ عند
اثنين، نفس الطريقة، هل ال continuous بيعطيني
differentiability؟ ليس بالضرورة، هذا كلام ليس
دقيقًا، إذا ما أقدرش، بس لو كانت قابلة للاشتقاق،
بقول automatic continuous غصبًا عن ميربع، إذا ما
أقدرش أقول إن ده قابل للاشتقاق، شفه وهيك، اللي
أروح أثبتها، طيب، لو روحت أنا جيبت المشتقة من جهة
الشمال عند اثنين، تمام؟ يبقى المشتقة من جهة الشمال
يعني X أقل من الاثنين، يبقى بده اشتق، تساوي كده
تساوي اثنين، طب لو بده أجيب المشتقة من جهة اليمين
عند اثنين، يبقى بده يصير الستة ناقص اثنين X، والحكي
هذا كله عند X يساوي قداش؟ اثنين، يبقى بيصير الستة
ناقص اثنين في اثنين، يساوي قداش؟ كمان اثنين، نفس
القيمة، يبقى هنا بقول له sir ال F prime أو ال F is
differentiable at X يساوي اثنين، هذا معناه أن ال F
is differentiable على الفترة المفتوحة من Zero لثلاثة
لإن الاشتقاق الأولى ما فيش فيه مشكلة، واشتقاق الثاني
ما فيه مشكلة، المشكلة تكمن عند نقطة الالتقاء، هل هي
Corner؟ هل هي Castle؟ هل هي Vertical Tangent؟ هل هي
Discontinuity؟
السؤال يقول هل هذه الدالة تحقق شروط الـ Mean Value
Theorem ولا لأ؟ هم الشرطين اتحققوا، خلاص انتهينا،
يبقى ناسا الـF satisfy the
hypothesis
of the mean value theorem
ننتقل إلى مثال آخر، example
two، show
that the
function f of x يساوي x زائد واحد على x، satisfy
هي فرضية أساسية
قيمة ثيورم على الـ interval
interval على الفترة المغلقة نصف و اثنين، and find
all
values of
C
that satisfy
the mean value theorem
ولا نعود لمثال مرة أخرى، الـ F of X تساوي X زائد
واحد، بيّن لي أن هذه الدالة تحقق نظرية القيم
المتوسطة على الفترة من نصف لغاية اثنين، وبعد ذلك
هات لي كل قيم C التي تحقق، هو الـ mean value theorem
على الفترة اللي هو نصف و اثنين، بقوله بسيطة، إذا
بدأنا هندرس ال continuity لهذه الدالة، احنا عندنا ال F
of X يساوي X زائد واحد على X، ال discontinuity حاصل
وين؟ في ال zero فقط، ليه؟ غير؟ ال discontinuity
الموجودة أو النقطة zero موجودة في الفترة؟ لأ، يبقى
هذه f of x is undefined
غير معرفة at x تساوي zero، ليه؟ ماهيّاش موجودة في
الفترة النص و اثنين، معنى هذا الكلام أن هذه الدالة متصلة
على الفترة هذه، يبقى this means
that هذا يعني أن ال F is continuous
على الفترة المغلقة نصف و اثنين، لأن ال discontinuity
فقط عند ال zero، و zero خارج هذه الفترة، نجي لمين؟ ال
differentiability، مش هنشوفه قبل الاشتقاق ولا لا، يبقى
لو جيت اشتقيتها، f prime of x، يستوي واحد ناقص واحد على
x تربيع، المشتقة هذه غير معرفة خارج الفترة هذه، يبقى
هذا ال f prime بده يساوي كده، هذه is undefined كمان
غير معرفة at x يساوي zero اللي مش موجودة في الفترة
اللي هي النص و اثنين، هذا معناه أن ال F is
differentiable on الفترة نصف و اثنين، إذا تحققوا
الشرطين تبعين ال mean value theorem، يبقى F of X
تساوي X زائد واحد على X، satisfy the hypothesis
of the mean value theorem، يبقى المطلوب الأول من
المسألة، حققنا هذا على ال interval on ال interval
نصف و اثنين، بيقول هات لي قيم C التي تحقق ال mean
value theorem، بقوله by the mean value theorem there
exists c موجود في الفترة المفتوحة نصف و اثنين such
that
الـ F of اثنين ناقص الـ F of نصف على اثنين ناقص نصف
يقدر يساوي الـ F prime of C، مش هنحقق هذا، بدي أعرف
قداش F of اثنين وقداش ال F of نصف، يبقى بدي أشيل
هنا وأقول هذا اثنين زائد نصف، ناقص ال F of نصف، نصف
زائد واحد على نصف، كله على قداش؟ اثنين ناقص نصف، بيبقى
واحد ونصف، اللي هو ثلاثة على اثنين، بده يساوي F
prime of C، هي F prime بس بده أشيل كل X وأحط
مكانها C، يبقى واحد ناقص واحد على C تربيع
طبعًا، ناقص المقدار هذا كله حطّوه بين قوسين برضه، قداش؟
اثنين ونصف، يعني قداش؟ مثلًا زيرو، يبقى هذا معناه إن
واحد ناقص واحد على C تربيع تساوي Zero، هذا معناه إن
واحد على C تربيع تساوي واحد، هذا معناه إن C تربيع
تساوي واحد، هذا معناه إن C تساوي زائد أو ناقص
واحد، تعال، طيب، الآن، هل السالب واحد موجودة في
الفترة هذه؟ لأ، يبقى الـC تساوي السالب واحد، does
not belong للفترة اللي هي النص و الاثنين، يبقى هذه إيه؟
مرفوضة، يبقى هذا مرفوض، هذا بدّه يعطيك أن الـC
تساوي واحد، هي المطموعة اللي موجودة في الفترة ما
بين نصف و اثنين، يبقى الـC اللي بدّه يهي، الـC تساوي
واحد، صحيح، كويس،
يقول أعطيك العافية، خلاص، مكملش، انتهينا، ما تحققش،
يبقى انتهينا من هنا، ناخد مثال
يبقى example three، show
that show that sign ال B
أقل من أو يساوي absolute value ل B ناقص ال A، for
any numbers
A and B
طبعًا، السؤالين اللي فاتوا كانوا واضحين، قال بيّن لي أن
هذه الدالة بتحقق شروط ال mean value theorem، و
بعدين هات لي قيمة C، هنا أعطاني سؤال، لا جالي mean
value theorem ولا جاب لي سيرة ال mean value theorem
يبقى كله بيرجع لشطارة الكلام، أنت صاحي ولا لأ؟ فاهم
الموضوع لأ؟ هذا طبعًا أحد أسئلة الكتاب زي ما هو نصًا
زي هيك، قال بيّن لي أن ال absolute value ل sign ال
B ناقص sign ال A، أقل من أو يساوي B ناقص A ك
absolute value لأي قيمة A أو B، بقوله والله كويس
السؤال، هو أنا بدي أجرب الـ Mean Value Theorem، لكي
أجرب الـ Mean Value Theorem، بدي فانكشن عندنا،
السؤال، هو مين الـ function في هذه المثال؟ الـ sine
ال X، يبقى أنا بس انتيجة استنتاجي من خلال مين؟ من
خلال الكلام اللي موجود عندي، ال sine ال B ناقص ال
sine ال A، يعني هذا قيمة للـ function عند بي وقيمة
أخرى للـ function وين، عند بي، يبقى أول خطوة بقول
له، الـ f of x يساوي sin الـ x، مدام sin الـ x، يبقى
ال sin الـ x فيها discontinuity، يبقى هذه f of x، هذه
ال sin الـ x continuous for all x، بالاستثناء كل الـ
real line، طيب، معنى هذا الكلام إن ال F is
continuous على الفترة A وB اللي هي جزء من مين؟ جزء
من ال real line، خد أي close خد اللي بدّك ياها، zero
واحد، zero اثنين، واحد وخمسة، عشرة وخمسماية، أي
فترة بدّك ياها، إن شاء الله تقول لي ناقص ثلاثة وواحد،
سالب اثنين، أي فترة بدي أخدها لأن ما أعطانيش قيود على A
وB، مين ما يكون الـA وB، وكون أخذت لبس الـU value
مين أصغر ومين أكبر، لا قيمة لها، هذا السالب اثنين، طيب
تمام، يبقى بالكلام اللي وصلنا عليه هذه الفترة، هل هي
differentiable ولا لا؟ إذا بجي بقوله F prime of X
تفضل الـsin ب cos X، المشتقة دي في نقطة ما هيّاش معرفة
ليه؟ هذه النظرية ولا نظرية رول؟ هذه لأن أنا بدأت
شرطين، بدليل الشرط الثالث ومن الصعب إني أجيب الشرط
الثالث، مظبوط؟ يبقى automatically أنا سنتج لحالة
إنها نظرية رول طيب، بعدين أنا بدي أعطيك كمان مثال
بفكرة جديدة مختلفة وشوف كيف بدك تعرفها، هل هي
نظرية رول ولا غير نظرية رول؟ خد؟ أيوه
إذا لا تحقق نظرية L في الشرطين بقدرش أقول there
exist C بقدرش مش إمكانية أبدا
مش الـ cosine قداش cosine الـ C أكبر قيمة بياخدها
وأقل قيمة Zero أقل من أو يساوي واحد يعني أقل من أو
يساوي واحد، مظبوط ولا لأ؟ يبقى هنا أقل من أو يساوي
واحد، اضرب ضرب تبادلي، بصي الـ sign بيناقص sign ليه
كـ absolute value أقل من أو يساوي واحد ضرب absolute
value ليه بيناقص عليه، وهو المطلوب
حد بدأ يسأل تاني؟ و بالمثال الرابع؟ مثال أربعة؟
وقول الـ suppose that
الـ F is continuous on
الفترة المغلقة Zero وأربعة
والـ F of 0 يبدو يساوي واحد and الاتنين
أقل من أو يساوي الـ F prime of X أقل من أو يساوي
خمسة for all X الموجودة في الفترة المفتوحة Zero
وأربعة السؤال هو show that بيّن لي إنه التسعة أقل من
أو يساوي الـ F of أربعة أقل من أو يساوي الواحد
وعشرين
نقرر من السؤالين، السؤال هذا لا أعطاني قيمة لدالة
ولا أعطاني شكل دالة ولا أعطاني continuous ولا
differential على ده حالة من خلال المعطيات بتاعت المثل
استنتجت شكل الدالة و روحت اشتقيت الدالة و أثبتت
أنها دالة متصلة على كل الـ real line وبالتالي أخذت
فترة من هذا الـ real line وبعدين أثبتت أنها
differentiable وبالتالي استخدمت الـ main value
theorem هذا السؤال قال لي الـ F ده اللي متصل على
فترة 0 و 4 يبقى أعطاني main condition الأول تبع الـ
main .. وما قاليش هستخدم الـ main value theorem
قال لي أنت حر سوي اللي بدك إياه، وأعطاني معلومات و
أنا لحالي بدي أستنتج الشغلة اللي ممكن أحلبها main
السؤال قال يا اف دالة مقتصرة على فترة المغلقة 0 4
وقيمة الدالة عند 0 تساوي 1 صحيح وقيمة المشتقة
محصورة بين 2 و5 لكل الـ X اللي موجودة وين أربعة
محصورة
بين التسعة وما بين الواحد وعشرين
بقول طيب إيش؟ من وين بتيجي بقولها؟ بعدين بقول اه
ماهي F of 4 موجودة في نظرية الـ mean value theorem
نجي نقولها Z بجانبها F of 4 و F of 0 على 4 ناقص 0
بتساوي F prime of Z مش هيك نظرية الـ mean value إذا
أنا بدي أبحث هل الـ F اللي عندي هنا هل تحقق شروط الـ
mean value theorem أم لا والله إذا حققتها بقدر
أستخدم الـ mean value وأحل السؤال ما حققتها بروح
أكبس في شغلة تانية يمكن ولا ربما الله أعلم يبقى
احنا بنقول الدالة دالة متصلة على الفترة المغلقة يبقى
الخطوة الأولى بقوله الـ F is continuous على الفترة
المغلقة 0 4
بدي أشوف هل الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة
المفتوحة 0 4 ولا لأ باجي بكمل قراءة الأسئلة F of 0
تساوى 1 هذا ما لهيش علاقة بالاشتقاق هذه قيمة الدالة
عند نقطة بيعطيني كمان condition إن قيمة المشتقة
محصورة بين 2 و 5 لكل الـ X
ماذا تستنتج من هذه العبارة؟ اه مدام أنها قيم
محصورة، إذا الدالة قابلة للاشتقاق خلال هذه الفترة،
يبقى جبت الـ condition التاني التابع مين؟ الـ main
value theorem، باجي بقوله 2 أقل من أو يساوي f
prime of x أقل من أو يساوي 5 لكل الـ x اللي موجودة في
الفترة 0 4 هذا شو يعني means that هذا يعني أن الـ f
is differentiable on الفترة 0 4 المشتقة محصورة بين
2 و 5 لكل الـ X اللي في 0 و 4 يبقى الدالة قابلة
الاشتقاق خلال هذه الفترة وقيمة المشتقة محصورة
دائما وأبدا بين 2 و 5 يبقى الدالة قابلة الاشتقاق
خلال هذه الفترة من الـ two conditions لإتنين هدول
بقدر أقوله إذا الـ if satisfy the hypothesis
of the main value theorem إذا هذه النظرية تحقق أو
هذه الدالة F تحقق شروط نظرية القيمة المتوسطة مدام
هيك هذا شو معناه يبقى هناك
بحيث إن such that f prime of c بده يساوي اللي هو الـ
F of أربعة ناقص الـ F of Zero على أربعة ناقص الـ
Zero طبعا؟ طيب، باجي بقوله هذا شو معناه؟ F of
أربعة لازمالي في الإجابة يبقى ما أقدرش ألعب فيها ولا
حاجة الـ F of zero مقطوع في المثل بواحد يبقى باشي
لو بكتب بدالها واحد 4 ناقص zero اللي هو بقدرش
بأربعة بده يساوي F prime of C يبقى هذا بده يساوي F
prime of C الآن f prime of x محصورة بين 2 و 5
لكل الـ x اللي محصورة في الـ بين zero و 4، إذا معنى
هذا الكلام إن القيمة هذه محصورة بين مين ومين؟ بين
2 و 5، يبقى باجي بقوله بما أن 2 أقل من f
prime of x أقل من أو يساوي 5 لكل الـ x اللي
موجودة في zero أربعة إذا أنت تنطبق على الكلام اللي
إحنا جايبين له هذا since هذا يبقى we have أن الـ f of
أربعة ناقص الواحد على 4 محصورة ما بين 2 وبين
5 وبين الـ 5، بصبر؟ لأن هذه F'C واحنا عندنا F'X
لكل X اللي موجودة في الفترة هذه محصورة هنا، إذن C
موجودة في هذه الفترة، إذن F'C بدي يكون محصور بين
2
أقل من أو يساوي F of أربعة ناقص واحد أقل من أو
يساوي أربعة في خمسة وعشرين ونضيف لي واحد للثلاثة
أطراف بيصير تسعة أقل من أو يساوي الـ F of أربعة أقل
من أو يساوي الواحد وعشرين وهو المطلوب أيوه آدي
بالك سؤال زي هذا مرة جبناه في إحدى الامتحانات
عميلي بدي أسأل الـ condition التاني هذا والله هذا
اللي هنا، ممتاز جدا، طلع لي في أصله في المثل،
بيقول لي أصله في المثل إن F prime of X محصورة
دائما بين 2 و 5 لكل الـ X اللي موجودة في الفترة من
0 لـ 4 يبقى أنا لو جيت على الفترة من zero لـ 4 وجبت
المشتقة، المشتقة محصورة بين 2 و 5، يعني
المشتقة exist، راح ولا لا؟ يبقى المشتقة موجودة
خلال الفترة من zero لـ 4، وهو الـ condition
التاني من شروط الـ main value theorem أعطانيها
continuous وهي differentiable بسبب تطبيق الـ main
value theorem روحنا وطبقنا الـ main value theorem
there exists c موجودة في الفترة من 0 لـ 4 فهو f
prime of c بيساوي f of b ناقص f of a على b ناقص الـ a
f of 0 معطى 1 شيلته وحطيته 1 4 ناقص 0 بيساوي f
prime of c برجع للـ condition المشتقة لكل الـ X
الموجودة من صفر لـ 4 محصورة بين 2 و 5 الـ C
موجودة في الفترة 0 و 4 إذا F prime of C بيكون
محصورة ما بين 2 و 5 لكن الـ F prime of C هي
F 4 ناقص 1 على 4 بشيلها بحط f of أربعة ناقص
واحد على أربعة محصورة بين 2 أو 5 بحل
الآنقلاد يصير الـ F of أربعة محصورة بين التسعة وما
بين الواحد وعشرين في عندنا بعض النتائج على هذه
النظرية نعطيكم بدل النتيجة تنتين يبقى بالداجة
للنتيجة الأولى لهذه النظرية Corollary one
النتيجة الأولى بقول F F prime of X يساوي Zero at
each point X عند كل نقطة X of an open interval
ثم الـ F of X يكون Constant C لكل
X الموجودة في الفترة المفتوحة A وB حيث
C هو Constant
خليني أقولك واحد السؤال مرة تانية بقول لو كان f
prime of x يساوي 0 عند كل نقطة x في الفترة
المفتوحة a و b then f of x بدي يساوي Constant c و
الـ c هذه عبارة عن Element موجود في الفترة a و b
بنقوله بسيطة جدا تعالى نشوف الـ proof يعني الـ
Corollary هذه بتقول لو كانت المشتقة لدالة تساوي zero
إذا هذه الدالة تعتبر دالة ثابتة طبعا أنا أخذنا في
الـ chapter اللي فات في الـ derivatives إن مشتقة
المقنعر ثابت يساوي، هذه بتقول للعكس، لو كانت
المشتقة تساوي zero إذا هذه الدالة دالة طيب تعالى
نشوف يبقى أنا عند المشتقة تساوي zero بده أحاول إن
هذه المشتقة تساوي مقدارا ثابتا بنقوله بسيطة جدا
يبقى أنا بدي أستفيد Corollary يعني نتيجة، نتيجة على
مين؟ نتيجة على نظرية الـ main value theorem يعني
معناته أنا في البرهان بدي أطبق نظرية الـ main value
theorem طبعا من وين لوين أنا مش شايف إنه closed
interval مش شايف أنا هيك تمام فباجي بقوله بدي أطبق
اه بدي أجيب الشروط بحذافيرها الموجودة على الكلام
اللي موجود عندنا هذا بيقول إن المشتقة تساوي zero
عند كل نقطة موجودة في الـ open interval إيش يعني
يعني الدالة قابل الاشتقاق على الفترة المفتوحة هذه
يبقى أنا أول ما أبدأ بدي أقول اللي افترض عندي x1 و
x2 موجودة في الفترة المفتوحة a و b such that بحيث
إن الـ x1 أقل من الـ x2 على سبيل المثال أخذت نقطتين
في الفترة المفتوحة بحيث إن الـ X1 أقل من X2 يعني الـ
X1 و X2 لا بتساوي الـ A ولا بتساوي الـ B يعني لو جيت
قلت هذا الـ real line وأخدت هذه A وأخدت هذه B يبقى
أخد هنا x1 وأخد هنا x2 واضح إن x1 أقل من من من
x2 طب يعني هدول قيمتين لا يمكن أن يتساوي صحيح ولا
لا؟
إذا أثبت أن قيمة الدالة عند X1 هي نفس قيمة الدالة
عند X2 يبقى هذه دالة يا شيخ تابع الـ x1 والـ x2 ليس قيم محددة، أي قيم موجودة في الـ x،
عشوائي أنا أخذتهم، ليس 2 2 بعينهم وفلان
وفلان، لأ زي ما أنا أقول أنا بدي أخد أي طلاب 2
من الصف، بس لو قلت تعال يا محمد أنت ابن فلان وأنت
تعال يا سلمان، يعني إن أنا اخترت 2 بعينهم يعني،
يبقى هذا لا ينطبق على الأخر، بس لو قلت أخدت أي
2 فتحنا الباب وأخدنا أي 2 يبقى خلاص أي
2 ينطبق عليها كل ما هو في القاعة تمام؟ يبقى
احنا بدنا نيجي هنا بدأ أخد two element X واحد و X
2 عشوائيا موجودين واحد في الفترة اللي عندنا
المفتوحة A وB يعني معرفك لما نقول X1 و X2 لا
بتساوي ولا بتساوي B تمام الآن احنا عندنا الـ F
prime of X يساوي Zero على الفترة المفتوحة A وB
معناته إيش؟ معناته إن الـ F is differentiable
على الفترة A وB هذا معناه أن الـ F of X بدي أساوي
ثابت C على كل الفترة A وB وهو المطلوب شايف إذا
إلها جران يبقى closed جاهز يبقى مفتوحة في المثال
فوق جالك open interval مظبوط
تعال هنا شوف تعال خلّي بالكم وأنا يا شباب نشوف مع
رأيه يبقى
F of X اتنين بسوء F of X واحد على كل الـ X واحد وX
اتنين الموجودة في الـ A وB احنا عاملنا الفترة كده؟
A وB وX اتنين واحد خد X واحد وX اتنين الموجودة
داخل هذه الفترة يعني ما عنديش لا A ولا B مظبوط هكذا؟
احنا أخذنا X وحدة من X عشوائيا من A وB ممنوع
على الكلام لأنه مش موجود الـ A وB من أساسها اه مش
موجودة خلاص طيب في كمان كورولاري تاني أبسط
منها شوية يعني
عند كل نقطة x in an open interval
بقية مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح م
بحيث أن الـ F of X يساوي الـ G of X زائد ثابت C
لكل الـ X اللي موجودة في الفترة المفتوحة A وB
أي أن الـ F ناقص الـ G is a constant function
on الفترة A وB
معطيني أن مشتقتين لدالة بيكونوا متساويتين نعطيك
مثال قبل ما نجي لـ Corollary هذا لو قولتك F of X
يساوي X تكعيب كده مشتقتها؟ X تربيع لو قولتك F of X
يساوي X تكعيب زائد 100 مشتقتها كمان 3X تربيع إذا
الدالتين هدول مشتقاتهم متساوية، أنت قداش الفرق فيه
ما بينهما؟ الـ 100 هو مقدار تابع، تمام؟ فالفرق ما
بين الاتنين هذا مقدار تابع، هذا على سبيل المثال
طيب، يبقى برجع تاني
الفرق ما بين الدالتين كان مقدارا ثابتا
each point x in an open interval a وb يبقى
المشتقتان متساويتين على كل نقطة على الفترة
المفتوحة a وb then there exists a constant c لازم
يوجد مقدار c بحيث أن الـ f of x يساوي g of x
زائد c يعني الفرق فيما بينهما هو مقدار ثابت اللي هو
C لكل الـ X اللي موجودة في A وB ذاتها أن الـ F ناقص G
is a constant function يعني لو جبت هذا على الشجرة
ثانية بصير الفرق بينهم يساوي C يبقى الفرق بينهم
يساوي مقدارا ثابتا بدنا نروح نثبت صحة هذا الكلام
يبقى أنا عندي هذه المعطيات أول خطوة لت الـ f' of x
تساوي g' of x لكل الـ x الموجودة في الـ open
interval a وb بقدر أخليها معادلة صفرية يبقى الـ F
prime of X ناقص G prime of X يساوي كده؟ يساوي Zero
خلّي هذه المعلومة عندك ونبدأ نجي نقول افترض أن الـ H
of X بده يساوي الـ F of X ناقص الـ G of X بدي افترض
أن عندي دالة هذه الدالة هي الفرق ما بين هتين
الدالتين طب لو جيت وقلت لك اشتق هذه الدالة يبقى
باجي بقوله يبقى الـ H prime of X يساوي الـ F prime
of X ناقص G prime of X طب من المعادلة اللي فوق يبقى
هذا الكلام إيش بقدر أستنتج منه؟ بقدر أستنتج إن الـ H
prime of X يساوي كم؟ يساوي Zero طلع لي هنا في ال
Corollary الأولى لو دالة يساوي Zero إذا هذه الدالة
تساوي مقدارا ثابتا ثم باجي بقوله By Corollary يعني
when we have أن الـ H of X بده يساوي الـ C والـ C is
constant يبقى هذا مقدارا ثابتا يبقى سعر عندي الـ H
of X بده يساوي اللي أنا فرضته كده F of X ناقص الـ g
of X بدي يساوي المقدار الثابت لأن هذا يبقى بناء
عليه هذا بدي يعطيك أن الـ f of x بدي يساوي الـ g of x
زائد constant c وهو المطلوب هذا معناه أن الـ f ناقص
الـ g is a constant function وهو اللي مفروض نبقى بيه
كويس نيجي الآن ايوه نقول لك
اثبت الـ Corollary one وبعدين اثبت التاني يعني مش هيك
والله بضهك يعني نعيد الـ Corollary one نكتبهن أول و
جديد شوف، إذا طلب دائما وأبدا إثبات جزء يعتمد على
جزء آخر، بيعطيك رقم إيه يثبت لي الجزء الأول و
بعدين بطلب إثبات الجزء الثاني، ليش صعب ليه؟ ولا
صعب ولا هادر، بدك تعتبره صعب أنت، هذا شأنك
نأخذ بعض الأمثلة على الـ two Corollaries هذول اللي
عندنا بس قبل ما ناخذ الأمثلة أخذنا الملاحظة البسيطة
هذه النقطة
الأعلى تصبح صحيحة على الفترة المفتوحة من A إلى
Infinity ومن سالب Infinity لغاية الـ V إن سالب
Infinity و Infinity
السؤال هو مصطلح
الـ F of X تساوي 3 for all X give reasons
for your
answer
نرجع مرة ثانية. أيوه. أكيد أنه لازم يكون المماس
يكون نقطة من خلالها، يكون مماس واحد، يعني ما يكونش
يكون مماس عشان يبقى يجي من خلالها من خلالها،
بالاختلاف التابع، يعني إذا بنعمل مماس النقطة،
هيقطع كل النقاط؟ لا، بصير نفس المماس عند جميع
النقاط وهو يحول لنفس الميل مثلًا خط أفقي أو خط مائل
سواء، وأين ما يكون الخط بدي سواء نفس الميل كلّه من
أوله إلى آخره، هذا خط مستقيم نرجع لأسئلتنا مرة
أخرى، يفترض أن قيمة الدالة عند السالب واحد هي
3، والـF prime of X بدأ يساوي Zero لكل X بلا
استثناء في المدى طبعًا تبع الدالة بسهولة بقول لك must
f of x يساوي 3 هل يجب أن الـ f of x يساوي 3
for all x يعني يعني هل تتدلى دالة ثابتة وتساوي
3 لجميع قيم x بلا استثناء اعطيني سبب إن كان نعم
لماذا وإن كان لا لماذا نقولها بسيطة جدا احنا عندنا
الآن الـ f prime of x يساوي zero صحيح ولا لا؟
بالـ Corollary الأولى يبقى F of X يساوي مقدار ثابت يبقى
باجي بقوله هذا بده يعطيك by the above Corollary
when
we have أن الـ F of X بده يساوي مقدارا ثابتا for all
X بلا استثناء where C is constant مين
اللي بيقول لي في الامتحان؟ أنت؟ قول ثاني
يعني أنا لو جالك سؤال زي هيك، مش لازم أقول لك اثبت
الـ Corollary في الأول وبعدين السؤال عليها، هيك اللي
بيصير، ولا مانعك بالعرفش نحط امتحانات؟ بسيط،
شوف يا سيدي في وضع الامتحانات، لما يجيب لك سؤال و
بدي أحله على شغلة معينة، بقول لك اثبتها وبعدين
بعطيك السؤال عليها ومن الخطأ جدا أن نجيب سؤال
بمطلوب أن المطلوب الثاني يعتمد على المطلوب الأول
طب أنا ما أقدرش أحل المطلوب الأول بقدر أحل المطلوب
الثاني؟ لا وبالتالي هذا من الخطأ في أو في
استراتيجية الخطأ تبع مين؟ تبع الامتحانات اللي ممكن
يقع فيها بعض الناس على أي حال ولا يهمك بنحط
امتحانات قبل أن تلدك أمك وبالتالي مش جديد علينا
هذا طيب نرجع مرة ثانية احنا عندنا f prime of x بده
يساوي قداش؟ بده يساوي Zero بالـ Corollary أول وحدة يبقى
ده الـ f of x يساوي مقدارا ثابتا لجميع قيم x
بلا استثناء فبرأندي معلومة، شو المعلومة بتقول؟
بتقول لي F of سالب واحد بده يساوي 3 يبقى الآن
since بما أن F of سالب واحد يساوي 3 وأنا جايل
هنا يا شيال الـ F of X يساوي مقدار ثابت لكل الـ X's بلا
استثناء تمام يبقى من الاتنين هدول مع بعض بقدر
أستنتج أن الـ F of X بده تساوي 3 for all X بلا
استثناء خلصنا؟ يبقى must ولا ما must إيش؟ must
خذ لك كمان مثال يبقى
example two find
the
function f of x
الـ F' of X يساوي 8 ناقص كوسيك تربيع X and
the graph and
the graph of دالة F passing
passing through the point يمر
خلال النقطة باي على 4
و صفر
سؤال مرة ثانية بيقول لي هات لي الدالة f of x
المشتقتها بتساوي القيمة اللي عندها دي، يبقى دي
ليست على الـ Corollary الأولى، الـ Corollary الأولى بتقول
المشتقة بتساوي قداش؟ Zero هذه قالها لا بتساوي دالة
ثانية، طيب نشوف والرسم البياني لهذه الدالة اللي احنا
بدنا يمر بالنقطة باي على 4 و صفر بقول لكوا يا سيدي
يبقى الـ Corollary الأولى لا يمكن أن تحل هذه المسألة يبقى
اللي ممكن يحل المسألة هدميا الـ Corollary الثانية يبقى
أنا بدي أفترض إن عندي دالة g of x مشتقتها تساوي كم؟
تساوي الـ F prime حتى أقدر أطبق كم؟ اللي هو التاني
هذه يبقى الـ 8 هذه مشتقة كم؟ 8X إذا 8
X والدالة الثانية هذه مشتقة كم؟ كوتان يبقى
زائد كوتان الـ X بدي أفترض أن عندي دالة مشتقتها
تساوي المشتقة اللي عندها هذا بدي أعطيه إياه أن الـ g
prime of X يساوي 8 ناقص كوسيك تربيع الـ X هذا
بدي يعطيك أن الـ f prime of X تساوي الـ g prime of X
وتساوي 8 ناقص
كوسيك تربيع الـ X
بتقول لو كان الـ F' بده يساوي G' يبقى الفرق فيما
بينهما يساوي مقدارا ثابتا، مظبوط؟ يبقى هذا معناه،
معناه إيش؟ لما يكون F' يساوي G' حسب نصه أنه يبقى
الفرق ما بين الدالتين بده يساوي مقدارا ثابتا،
ممتاز جدا، يبقى معنى هذا الكلام أن الـ F of X ناقص
الـ G of X بده يساوي كده؟ بده يساوي مقدارا ثابتا
اللي هو C معناه هذا الكلام أن الـ F of X بدي يساوي
الـ G of X زائد constant C معناه هذا الكلام أن الـ F
of X بدي يساوي الـ G of X اللي هي 8X زائد
كوتان الـ X صحيح ولا لأ؟ زائد كونستانت C يبقى أنا
جبت له شكل الـ F of X لكن بدلالة كم؟ المتغير C قال
لي إن الدالة المنحنية تبعها يمر بالنقطة باي على 4
و صفر إذا بدنا نجي نعوض في الدالة هذه يبقى هنا باجي
بقوله at اللي هو by 4 و 0 we have الـ F باي
على 4 بده تساوي Zero يبقى Zero بده تساوي 8
في باي على 4 زائد كوتان باي على 4 زائد
كونستانت C
هذا يصبح 2 باي وهذا كوتان با
نقول نا على الفترة اللي عندنا F وهنا من الـ B افترض
الدالة دالة كانت متصلة على الفترة A وB وقبل اشتقاق
على الفترة المفتوحة A وB لو كان الـ F of A والـ F of B
of opposite signs يعني إشارتهم مختلفتين يعني واحدة
موجبة والثانية يبقى رسمي هذا صحيح هيك؟ لأ مش صحيح F
of A هي موجبة وF of B موجبة وقال لأ التنتين of
opposite signs يبقى معنى هذا الكلام بده تكون واحدة
تحت محور X والثانية أعلى محور X يبقى لو قلنا هذا X
وهذا Y بدي اجيك المنحنة مثلا بالشكل اللي عندك هنا
خلّي هذه مثلا اللي هو النقطة A وهذه اللي عندك
الثانية اللي هي النقطة B يبقى هذه F of A مالها أقل
من الـ Zero وهنا هذه F of B أكبر من الـ Zero أو
العكس ممكن F of A فوق وF of B تحت سيال ايوة ايش
بيقول لي الدالة دالة متصلة ماشي هي دالة متصلة
اثنين قابل اشتقاق قابل اشتقاق ما عنديش لا cusp ولا
corner ولا vertical tangent ولا discontinuity طيب،
اثنين، الـF of A والـF of B have opposite signs،
إشارتهم مختلفة، يعني واحدة موجبة والثانية، لحظة
الـF of B هي موجبة والـF of A سالبة، اثنين، كان
مشتقة الدالة على الفترة A وB يا إما موجبة دائما
وأبدا، يا إما سالبة دائما، الدالة هذه دالة
تزايدية، صحيح ولا لأ؟ إذا مشتقتها دائما وأبدا،
موجبة لو كانت دالة تناقصية، يبقى مشتقتها سالبة، مش
التان تان في أنا الواحد or تعني أن هذه اولت، أن
حدث ذلك يبقى إذا القيمتين هدول متساويتين، مختلفتين في
الإشارة، والدالة دالة تزايدية أو دالة تناقصية، إذا
غصب عن اللي ما يرضى بده تقطع مين؟ محور X، يبقى لما
تقطع محور X عند هذه النقطة، تبقى قيمة الدالة عند
هذه النقطة تساوي كده؟ تساوي Zero، تمام؟ يبقى هي
معناها هيك فبيقول ليش إن حدث ذلك يبقى الـ F is
exactly one zero between الـ A والـ B الـ zero هذا
بدرجيني ما بين مين؟ ما بين الـ A والـ B
أخذت إيه؟ Intermediate Value Theorem اه ما قلناش
والله عكس الإشارة ولا جبنا سيرة تهالي والله يا
حبيبي الـ Intermediate Value Theorem قلت لو أخذنا
رقم موجود بين الـ A والـ B بين الـ F of A والـ F of B
بلا جيل وأصل ما بين الـ A والـ B هذا الـ
intermediate value theorem وليست هذه مظبوط هذه
بتختلف كليا عن الـ intermediate value theorem هذه
بتقول دالة متصلة وقابلة الاشتقاق متصلة على
closed interval وقابل اشتقاق على الفترة
يوجد كمان زيادة على ذلك two conditions الـ
condition الأولى أن الـ F of A والـ F of B إشارتهم مختلفة
واحدة موجبة واحدة سلبية يعني واحدة فوق محور X
وواحدة تحت محور X كلها متصلة إذن automatically
هتقطع محور X مظبوط؟ مدام هتقطع هتقطع في نقطة موجودة
بين الـ A والـ B بمجرد تقطع محور X تبقى قيمة الدالة
عندها تساوي Zero فجالي فإن الـ F is exactly one
zero ما بين الـ A والـ B نثبت هذا الكلام عمليا نقول
لو كان موجبة نقطة البداية هي نفسها نقطة الموجة
نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة
الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها
نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة
نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة
بهمنيش، بهمني إنها بدأت تحت وبدأت فوق، بس إنت لما
بده رد عليك عليها شكل موجة، يبقى إنت في هذا الشرط
تمام؟ بتبطلي تزيديها على قول أو تنقصيها على قول،
يبقى إنت صارتش تشتغلي ضد الطيار، ماشي؟ احنا بيقول
بتحقق الـ conditions في إن واحد لو كان هذا الكلام
صحيح وشيلنا الشرط هذا، بيصير مش نقطة، بيصير ما شاء
الله عليها نقاط، يعني zeros كتير، مش واحدة، تمام؟
احنا بيقول، there exists exactly one، بالضبط واحدة
مافيش غيرها، قيمة الدالة عندها تساوي صفر، تمام؟
طيب، بيقول الشهداء، the function هذي have one zero
في الفترة من سالب واحد إلى واحد، فبجي بقول الـ F of
X هذه اللي تساوي واحد على واحد ناقص X زائد الجذر التربيعي
على واحد زائد X ثلاثة وواحد من عشرة هذه
الدامين تبعها من وين لوين
يبقى هذه الدالة معرفة
من سالب واحد لواحد كفترة
مفتوحة وليست مغلقة لأن عند الواحد هذه undefined طب
احنا الـ main value theorem أول نص اللي بيقول لك
closed interval مدام continuous على الفترة دي إذا
أنا بدي اخذ جزء من هذه الفترة أضمن الـ continuity
عليها يبقى بجي بقول الساعة الـ F is continuous
أن الفترة المغلقة سالب زيرو تسعة من عشرة لغاية
زيرو تسعة من عشرة مضمون هيك ولا لا؟ اندس سالب واحد
كده؟ اندس سالب واحد؟ احنا بنقول لك ها دي ماشي، اندس
سالب واحد مغلق، هاه؟ ولا همك، continuous من اندس
سالب واحد، كلامك مظبوط تمام؟ لكن هاي السبعة تلاقي
السالب واحد والواحد كمان، مش هان تبقى مبسوط خالص،
يبقى من ناقص 9 على 9 اللي هو كفترة مغلقة دالة
continuous عليها، بدي أشوف هال difference أقول
عليها ولا لأ، معناته بدي أروح أشتق، إذا بدي اخذ الـ
F prime of X يساوي السالب واحد على واحد ناقص X لكل
تقريبيا في مشتقة اللي هو المقدار اللي هو سالب واحد
يبقى بيصير موجب يبقى واحد على واحد ناقص X كل
تربية زائد واحد على اثنين الجذر التربيعي على واحد
زائد X وده كونه مقدار تمت طيب برضه ايش رأيك على
الفترة هذه قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة ولا
لا؟ يبقى هادي
الفترة المفتوحة سالب واحد وواحد يبقى الـ F is
differentiable on سالب زيرو وتسعة من عشرة وزيرو و
تسعة من عشرة مش هدول الشرطين تبعات الـ mean value
theorem يبقى هما الشرطين اللي أنا جاي لهم هنا بدي
أجيب له الـ F of A والـ F of B يبقى بدي اجيب له الـ
F of سالب زيرو تسعة من عشرة يعني الـ F of سالب تسعة
على عشرة يبقى هذا الكلام دي ثابت داجي على الدالة
الأصلية وأقول واحد على واحد ناقص ناقص تسعة على
عشرة زائد الجذر التربيعي لواحد ناقص تسعة على عشرة
طبعا هي زيد بس احنا ماخذينها بالناقص يبقى ناقص
بعدها ناقص تلاتة واحد من عشرة يبقى هذا الكلام
يساوي هذا بيصير واحد على واحد زائد تسعة على عشرة زي
دي الجذر التربيعي كله على عشرة بيظل عشرة ناقص
تسعة اللي هو بقداش بواحد ناقص تلاتة واحد من عشرة
هذه يا شباب بيصير عشرة على تسعة عشر يبقى هذه عشرة
على عشرة هذه عشرة وعشرة تسعة تطلع على عشرة فوق
وهنا على عشرة تسعة عشر عشرة تسعة عشر زائد اللي هو
عشرة تحت الجذر التربيعي ناقص ثلاثة وواحد من عشرة شو
رأيك؟ هذا وهذا ما يجوش واحد صحيح وهذا سالب يبقى
هذه قيمة أقل من الـ zero صحيح ولا لا؟
ماشي يبقى بدنا نيجي ناخد F of 0.9 من 10 بنفس
الطريقة يبقى هذا بدأ يصير F of 9 على 10 ويساوي 1 على
1 ناقص 9 على 10 زائد الجذر التربيعي ل 1 زائد 9 على
10 ناقص 3.1 من 10 النتيجة تساوي هذا يبقى هنا عشرة
بنقلب فوق بصير عشرة زائد الجذر التربيعي لمين؟ لتسعة
على عشرة ناقص ثلاثة واحد من عشرة، موجي ابو
الله سالي بقى يبقى أكبر من الـ zero تحقق الـ
condition الأول بدنا نيجي الـ condition الثاني بدي
أشتقها هيشتقناها الـ F prime of X يبقى الـ F prime
of X بده يساوي واحد على واحد ناقص X الكل تربيع زائد
واحد على اثنين الجذر التربيعي لواحد زائد X ايش رأيك؟
هذه عمرها بتاخد قيمة سالبة؟ يبقى هذه أكبر من الـ 0
لكل الـ X اللي موجودة سالب 0.9 و 0.9 بالشكل اللي
عندنا هنا يبقى اتحقق من الـ condition الثاني بدي
بقول له by the above remark
There exists C موجودة في الفترة من سالب واحد إلى
واحد أو نشاطات أقل في الفترة تبعتنا أو سالب واحد
وواحد
بحيث أن الـ F of C بده يساوي Zero يبقى في الـ F has
one zero on الفترة من سالب واحد إلى واحد وهو
المطلوب