أنا راح نكمل ما بدأنا في المرة الماضية والمرة
الماضية آخر حاجة كنا نتحدث فيها وهي sandwich
theorem أعطانا هذه النظرية وأعطانا عليها مثالين
والآن هذه الـ remark متعلقة تماما بما يسمى بـ
Sandwich theorem الـ remark بتقول ما يأتي for any
function f of x إذا كان limit للـ absolute value للـ
f of x لما الـ x ده تروح إلى c بده يساوي 0 then
limit للـ function بدون absolute value كمان بدها
تساويها ده يساوي 0 طيب نروح نثبت صحة هذه النظرية بعد
ذلك أقول لك ميتي لو أخدت الدالة f of x ودالة
absolute value للـ f of x بدي أقارن ما بين التنتين
أنا بقول هذه أقل من أو تساوي هذه أنا أدعي يا ناس
هل الادعاء هذا صحيح ولا غير صحيح تعني اتفهم على
الموضوع الأهم ممكن تكون الـ F of X تاخد قيم موجبة
دائما وأبدا يبقى إذا كانت F of X بالموجبة الـ
absolute value لها يبقى شو بيحصل تساوي تمام لكن لو
كانت F of X بالسالب بالـ absolute value لها بيصير
موجب يبقى بيصير هذه أقل من هذه ولا لا إذا هذه
دائما وأبدا أقل من 100 من الـ absolute value ل X
دائما وأبدا السؤال هو أو تساويها هل هي أكبر من أو
تساوي سالم absolute value للـ F of X أم لا تعال
نشوف بدنا نأخذها لو كانت موجبة لو كانت سالبة لو
كانت F of X بالموجب يبقى absolute value لها
بالموجب يبقى السالب لها أقل يبقى هذه أقل بالفعل
هذه لو كانت موجبة لو كانت f of x بالسالب absolute
value اللي هي بيصير موجبة مسبوقة بإشارة سالب بيصير
سالب وهذه السالب يبقى اثنين are equal يبقى الـ
inequality هذه صحيحة دائما وأبدا
أقل من أو يساوي absolute value للـ F of X for all X
بناسبة أثناء موضوعنا موضوع من إيجاد الـ limit
يبقى بناء عليه limit لما الـ X بدها تروح لـ C لـ
absolute value لـ F of X أقل من أو يساوي limit لما
الـ X بدها تروح لـ C لـ F of X أقل من أو يساوي limit
لما الـ X tends to C للـ absolute value لـ F of X
تمام؟ طيب، الآن في عندي معطيات حتى الآن لم أستخدم
هذه المعطيات، طلع لي في المعطيات ثاني، ايش بتقول
ليه؟ بتقول لي الـ limit للـ absolute value للدالة
بده يساوي Zero إذا الـ limit لهذه الدالة بده يساوي
Zero مضروب فقداش؟ سالب Zero والله موجبة ب Zero مهو
باقي؟ ب Zero أقل من أو يساوي الـ limit لما الـ X بدي
أروح لـ C للـ F of X أقل من أو يساوي هذه معطى من B0
صار limit الطرف الأيسر يساوي limit الطرف الأيمن
يبقى الـ limit للدالة اللي في الوسط بدها تساوي نفس
القيمة by sandwich theorem بروح بقوله by sandwich
theorem we have
Limit للـ F of X لما الـ X بده تروح إلى C يساوي
Zero وهو المطلوب بدنا نعطي مثال على ذلك Example
Find Limit لما الـ X بدها تروح لـ Zero للـ X في
الـSin 1 على X طبعا احنا سابقا أخذنا limit للـ X
تربيع الـ sign واحد على X مظبوط مرة اللي فاتت على
sandwich theorem أخذنا limit X تربيع ثمين في sign
واحد على X هذه X وليست X تربيع طبعا وهناك فرق
شاسع بين الاثنين لما كانت X تربيع فال X إن كانت
سالبة والله موجبة ورضّعها بصير موجب وبالتالي تبقى
الـ inequality كما هي لكن لما تبقى X احتمال X تكون
موجبة احتمال تكون سالبة ليش؟ لأن X بدها تروح للـ zero
يبقى إذا راحت لـ zero من جهة اليمين تبقى الـ X
بالموجب وإذا راحت لـ zero من جهة الشمال تبقى الـ X
السالبة السالب يبقى الاحتمال إنه وردات لكن لما كانت
X تربيع صار الاحتمال واحد فقط سنحل هذه المسألة
أنا المثال هذا بدي أطبقه على مين؟ على الـ remark يعني
بدي يكون فيه عندي مين؟ absolute value لمين؟ لف دولار
بأجي بس للسؤال التالي أنا لو بدي أبدأ زي المرة
اللي فاتت بقى بدي أقول sign واحد على X أكبر من أو
يساوي سالب واحد وموجب واحد لكن لو قلت absolute
value لـ sign واحد على X بصير من هو اللي وين؟ من
zero لغاية واحد لأن هذا absolute value لا يمكن أن
يطلع لي قيمة سالبة يبقى من zero لغاية واحد ممتازة
الحين لو كنت أضرب في X هذه بصير لو كانت موجبة الـ
inequality بتبقى كما هي لو كانت سالبة تنقلب الـ
inequality وبالتالي وردنا مظبوط مشان نتخلص من هذه
المشكلة دي براح بدرم في مين؟ في absolute value X
absolute value X دائما وأبدا بتزيد تفوى بالتالي
ما عنديش مشكلة تبقى الـ Inquality كما هي، طبعا، يبقى
لو روحت ضربت في absolute value لـ X بس يبقى الـ mean
is zero أقل من أو يساوي absolute value لـ X في الـ
sign واحد على X كـ absolute value أقل من أو يساوي
absolute value لـ X أو بمعنى آخر هذه بقدر أقول
كالتالي هذه عندك zero أقل من أو يساوي absolute
value لـ X في sin 1 على X أقل من أو يساوي absolute
value لـ X أبسلوت في أبسلوت في أبسلوت واحدة لماذا؟
لأنه من خواص الـ absolute value أخذنا absolute
value لـ a بي ثم absolute value لـ a في absolute
value لـ b هذه إحدى خواص الـ absolute value تمام؟
طيب، استنى شوية، بنروح نأخذ limit لهذه الـ
inequality يبقى بناء عليه، بيصير عندنا الـ limit
لزيرو لما الـ X بدها تروح لوين؟ لزيرو أقل من أو يساوي
الـ limit لما الـ X بدها تروح لزيرو لمين؟ للـ absolute
value لـ X في sine واحد على X أقل من أو يساوي الـ
limit لما الـ X بدها تروح لزيرو لـ absolute value لـ
X الآن نهاية المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself
أقل من أو يساوي الـ limit لما الـ X بده يروح لـ 0 للـ
absolute value للـ X في sin 1 على X أقل من أو يساوي
قداش؟ الـ limit لهذه الدالة؟ Zero اللي ما يعرفش يتذكر
لرسمة الـ absolute value تحركت لها من جهة اليمين
بلاقيها نزلت لزيرو تحركت لها من جهة الشمال بلاقيها
نزلت لوين؟ لزيرو إذا هذه الـ limit بتساوي مين؟ بالزيرو
إذا بالساندوش ثيرم تبع المرة الماضية limit لهذه
الدالة بقداش؟ بزيرو يبقى بروح بقوله buy sandwich
theorem
الـ Limit لما الـ X بدها تروح للـ Zero لـ Absolute
Value لـ X في الصين واحد على X يساوي Zero حتى الآن
حتى الآن ما وصلناش للمطلوب المطلوب بدنا إياه بدون
Absolute Value بأجي برجع للـ remark الـ remark بتقول
إذا الـ Limit للـ Absolute Value بده يساوي Zero إذا
الـ Limit للـ function itself بده يعطينا Zero بروح
بقوله By The
above remark الـ
limit لما الـ x بده تروح للـ zero اللي الـ x في الـ
sign واحد على x بده يساوي ماين بده يساوي zero
حلّ له يتساؤل هنا طيب، دير بالك، هذا السؤال هيهلك
بطريقة أخرى برضه اليوم، تمام؟ بس في الـ section
القادم بعد قليل يبقى هذا section اثنين اثنين إليك
exercises اثنين اثنين المسائل التالية، من واحد
لخمسة وستين الـ Odd numbers وكذلك من خمسة وسبعين
لتمانين ومن خمسة وسبعين لغاية ثمانين حالي
بدي أسأل؟
قلنا بأن عدوك لك كمان مرة الـ X هذا اللي بتضرب فيها
عارفها موجبة ولا سالبة؟ لو موجبة ما عنديش مشكلة، بس
لما تكون سالبة لأن X بتروح لزيرو، ما هي بتروح
لزيرو، احتمالا تكون موجبة، احتمالا تكون سالبة، لو
انضربت في الـ X السالبة بيبقى تنقلب الـ inequality هذه
وبدل ما كان تقل منه ايش بيصير؟ أكبر منه وبالتالي
انقلبت الـ inequality لنا الـ inequality الجديدة
مشان ما تجلّبش الـ inequality بروح بضرب أمام في
absolute اثنين أنا عندي absolute لو ضربت الـ X
الثانية ما أقدرش أدخلها داخل absolute
ما فعلش شيء ما فعلش كل حاجة بيكون بنقول لك لو كانت
سلبية أي فرض ما كتبتش لأ بس لو قلت value أو قلت sin واحد
على X بقدر أقول بين zero و واحد سالب واحد و واحد
على طول الخط بدك تضرب في X بعرفش بدّه يصير عندك two
inequalities مش واحدة وبالتالي تورطنا مظبوط لكن بالـ
absolute إنّ حلت المشكلة اثنين أنا بدي أجيب مباشر
مثال عالميا على الـ remark على كيفية استخدام الـ
remark تمام طيب ننتقل الآن إلى section اثنين ثلاثة
اللي هو الـ section اللي يليه مباشرة
Area section اثنين ثلاثة Precise
Definition
definition of a limit in
this section هذا
الـ section we do not tell her we do not
how to find a limit of a function but
we verify بدأ
نتحقق نتأكد that the suspected that the suspected
limit is correct كون صحيحة definition
let
الـ F be a function defined on
an open interval containing
x0
except possibly
except possibly at x node itself at x node
itself يبقى
limit للـ f of x لما الـ x بدها تروح للـ x node بدها
تساوى الـ L means that تعني أن
يبقى العنوان اللي إحنا رافعينه ترجمة العربية له
الصياغة الرياضية الدقيقة للنهاية طبعا احنا المرة
اللي فاتت كنا نقول limit للـ function يعني كل ما
اقتربت X من X node كل ما اقتربت F of X من L وعبرنا
عن هذا رياضيا نقول limit F of X لما الـ X بتروح لـ X
node بدها تساوي مين؟ بدها تساوي L هنا بدنا نعطي تعريف
جديد أو صياغة جديدة لهذه الـ limit يبقى precise
معناته الدقيق التعريف الدقيق لمين؟ للنهاية بأول
سطرين بقول ليش؟ بيقول إحنا في هذا الـ section بدناش
نحسب نهايات زي ما كنا بنحسب نهايات في الـ section
الماضي، ها إيش بدنا نعمل؟ بدنا نتأكد أو نتحقق من
إن النهاية المقترحة هي نهاية صحيحة يعني معناته
هيعطيني دالة ويعطيني limit لهذه الدالة وإحنا بدنا
نتأكد إن القيمة اللي أعطاها لهذه مالها؟ قيمة صحيحة
يبقى اللي بتطلع ورايا يطلع هنا ويصحصح معاه كويس
لأن هذا الـ section السهل الممتنع يعني في حد ذاته
سهل لكن كلّكم هتداجوا منه من أولكم إلى آخركم
تمام رغم أنه سهل لكن ممكن يبقى فاتح معايا أنا همشي
معاك step by step تمام فبيقول ليش؟ in this section
في هذا الـ section we do not tell how to find a
limit of a function احنا مش هنقول لك كيف توجد
النهاية لـ function هنشوف إيش نعمل but we verify بأن
تانيةLimit the f of x لما الـ x تروح إلى الـ x node
الساوية الـ L means that تعني ما يأتي for every
epsilon greater than zero يعني إذا أعطينا epsilon
greater than يعني real عدد real موجب ماعندي
مشكلة تمام يبقى أنا كل اللي بدي يكون عدد موجب
تمام معله أكبر من ال zero هاي الموجبإذا أخدنا عدد
موجب أكبر من الـ zero there exists يوجد الـ E
بالإنجليزي بس مغلوبة يعني أن هناك موجب فرياضيتنا
هناك موجب دلتا أكبر من الـ zero بلاقي قيمة لدلتا
مالها تبقى موجبة دائم هنا بحيث أنالـ zero أقل من
ال X نقص ال X node أقل من دلتا يبقى خاتة ال
absolute value لل X نقص X node بدلجيها دائما و
أبدا موجبة لإن absolute و في نفس الوقت أقل من
delta إن حدث ذلك يبقى يجب أن يكون الفرق ما من ال F
of X وL ال absolute value أقل من إبسلون يبقى هذا
التعريف هو التعريف عندنا لجديد هنا فاهمين؟ طبعا لأ
كله طلاسم تمام؟ الآن بدنا نفك هذه الطلاسم و نبيّن لك
أن هذه الطلاسم هي التعريف اللي انت أخدته هذا قبل
ذلك بال doubleتمام بس قبل ما أفهمك هذا الكلام ايه
خاطر أفك الinquality هذي وفك الinquality هذي أشوف
بده توصلني لوين فلو جيت فكت الinquality هذي هذي
معناها انه x ناقص ال x node اقل من delta و اكبر من
سالب delta مش هي خاصة ال absolute value خاصة ان ال
delta موجبةضيف لـ X node للطرفين أو للثلاثة أطراف
بيصير X node ناقص Delta أقل من X أقل من X node
زائد Delta يعني الـ X هذي ك variable بدها تتحرك
خلال هذه الفترة إن حدث ذلك يبقى هذا بده يعطيك ان
ال F of X ناقص ال Lأقل من إبسلون وأكبر من مين؟ من
سالب إبسلون طب إيه نهاية دالة يعني رقم real؟ بضيف
للثلاثة L إذا لو ضفت للثلاثة أطراف L بصير ال L
ناقص إبسلون أقل من F of Xأقل من ال L زائد Epsilon
طيب مشان نفهم هذا التعريف فهما دقيقا تعال نرسم
رسمة و نشوف كيف بنحاول نفهم منها هذا التعريف افترض
هذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة الأصلروحنا رسمنا
منحنى دالة فكان منحنى الدالة على سبيل المثال بهذا
الشكل افترض هذا المنحنى هو Y تساوي F of Xأخذت
النقطة الى الـ main نقطة والتكن هذه النقطة هي مثلا
عندنا هنا ال X node تمام عند ال X node ممكن الدالة
تبقى معرفة وممكن الدالة ما تكونش معرفة لكن نهاية
الدالة هنا مالها exist والتكن ال تمام
نجي للتعريف ايش بيقولي بيقول التعريف given epsilon
greater than zero او اذا اعطيت epsilon greater
than zero يبقى انا بدي اروح اخد مسافة على محور Y
موجبة واسميها ايش epsilon يبقى انا لو جيت هنا هنا
هنا وقلتهذه المسافة كلها من هنا لهنا ابسلون تمام؟
هو ايه من حنا الدالة ماشي هيك كويس؟ يبقى بتبقى
النقطة اللي فوق هذه جداش الإحداث تبعها L زائد
ابسلون يبقى هذا L زائد ابسلون طيب لو أخدت النقطة
هذه تحت هنايبقى هذه كمان قداش إبسلون يبقى هذا بصير
ال L ناقص إبسلون اللي احنا جالين عليها يعني F of X
لاخد لازم تاخد قيمة محصورة ما بين ما بين القيمتين
طيب بداجي أمشي أفق هنا هيك لغاية ما جابنا النقطة
هذه تمام؟ و أجي نازل رأسيالشكل اللي عندنا هذا و من
هنا بداجي ماشي أفق هيك لعيط ما جابل النقطة هذه و
أنزل هيك رأسي بالشكل اللي عندنا هذا تمام طيب
المسافة هذه لو كانت جد المسافة هذه بالضرر يبقى هذه
delta وهذه main delta إذا إحداث النقطة هذا جداش
بدي يكونهذه كلها x node وهذه دلتا يبقى x node ناقص
دلتا هذه قداش بتكون x node زائد دلتا اللي بنقول x
بتتحرك داخل من؟ داخل الفترة اللي عندنا هذهإذاً X
ستتحرك داخل الفترة من عند النقطة هذه لعند وين لعند
النقطة اللي عندنا هذه إذاً خلّينا ناخد X وينما
تيجي تيجي و التقن على سبيل المثال X عند النقطة هذه
بأختيمن X node نقص دلتا إلى X node زائد دلتا و
جاءت طالع بالسلامة لغاية ما قبلت المنحنة يبقى هذه
النقطة ايش بصير احداثية X و F of X وين ال F of X
يبقى لو جيت ماشي أفق هنا فهي F of Xهذه هي نظرية
القيمة المتوسطة وهي
نظرية القيمة البينية
احنا الآن قلنا هذه L عند النقطة هذه لي جبال ال X
node قد تكون معرفة و قد تكون غير معرفة قلنا هذه
الأسوأ إنها ماهياش معرفةفروحت قليل ثقوب موجود على
منحنى Della Y تساوي F of X وهي ال L اللي جباله أجد
تعرفيش بقولي إذا أخدت إبسلون greater than zero
لازم تلاقي Delta greater than zero روحت أخدت
إبسلون اللي فوق أمشي طلعت عندمين Delta اللي هي
تحتهالو أخدت إبسلون تحتك تقلع دلتا ليه اللي تحتك؟
يبقى أي قيمة بتاخدها لإبسلون بتجابلها مين قيمة
لدلتا يبقى إبسلون موقع لإنهم يعطيك رقم انت بدك
تروح تجيب مين؟ دلتا يبقى دلتا بتعتمد على مين؟ على
إبسلونأنا عندي في القاع مثلا سبعين طالب كل واحد
أخد إبسلون شكل يبقى كل واحد بتطلع معاه دلتا شكل
مختلفة عن التانية وكله صح كل دلتا بتطلع معاك
بتعتمد على إبسلون اللي أخدته هذا
هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا هنا
الحمرة صحيح ولا لأ المسافة بين X و X node مش أقل
من Delta ولا لأ طب ليش ال absolute value لأن X
ممكن تكون على الشجة التانية فإن كانت X node على
الشجة التانية بصير X node أكبر من مين من X و بكالة
بتطلع قيمة سالبة لما ناخد ال absolute value بطلت
أصير سالبة بصير مين بصير موجبة إذا لما أخدت ال
absolute value لو وقعت بعد ال X nodeوالله قبل ال X
node فقضيتها محلولة ماعنديش مشاكل يبقى فهمنا ليش
ال absolute value طيب ممتاز جدا يبقى صار ال X
ستتحرك في الفترة اللي عندنا هذه قد تكون ال X نقص X
node موجبة وقد تكون ال X نقص ال X node مالها سالبة
طيب نيجي الآن جبال ال X اطلع اطلع لجيهة ال F of X
النقطة اللي عندنا هذهوالـ L هي يبقى هذا الفرق ما
بين F of X و L F of X ناقص الـ L تمام؟ أخدتله من
ال absolute value لإن احتمال كمان يكون موجب
واحتمال سالب أنا عندي على الرسم L أكبر من مين؟ من
ال F of X لذا اللي بقول F of X ناقص اللي اللي
بتطلع سالب هو الله موجبيبقى انا باخد absolute
value ضمنت انها موجبة تمام ولا بقى اتنين المسافة
هي في x نقص ال L وهي ال epsilon هذه من الاكبر
epsilon ولا المسافة هذه المسافة هذه اقل من ال
epsilon صحيح ولا ال epsilon من هنا لهنا هيأو من
هنا لهنا لكن المسافة بين F of X و L للمسافة هذه
واضح أنها أقل من مين؟ أقل من الـ Epsilon يبقى ..
بس ورا شوية يبقى الطلاسم هذه ان فكت ولا لافكرت بس
لسه لأ فكرناها لأ بس لسه ما جيبناش علاقة هذه بمين
بموضوع ال limit صحيح ولا لأ؟ ايوة تعال نحط هذه
الطلاسم بمفهوم ال limit اللي عندنا المرة اللي
فاتوا احنا بنشرح في ال limit بقولنا ايش؟ بقولنا if
ال X approaches X node اذا اقتربت X من X node then
if of X approachesكل ما اقتربت X من X node كل ما
اقتربت F of X من L و بنروح انعبر عن هذا رياضيا ب
limit F of X لما ال X بتروح ال X node بده يساوي L
مش شئ قلنا طيب تعالى نشوف الكلام اللي قلته لك هو
اللي على اللوح والله غيره تعالى نشوفطبعا ان كل ما
اقتربت X من X node يجب ان نشوف ال F of X بتجرب من
L ولا لا يبقى لو جبت X node حط X هنا يبقى جربت
امشي جربت على L صحيح ولا لا؟إذا كلما اقتربت X من X
node كلما اقتربت F of X من من من ال L يبقى limit
ال F of X لما ال X بتروح ال X node بدأت ساوي ال L
صحيح ولا لا يبقى هذا المعنى اللي احنا بنقوله يبقى
الكلام العتيجي تبع ال section اللي فات هو الكلام
الجديد اللي اليوم بس المرة دي حاطينها على شكل رموز
Epsilon وDeltaماشي يا سيدي طب بدي أقول هذا الكلام
للمرة الأخيرة تمام؟ الان احنا كاتبين فرق عنوان
دقيق لمفهوم النهاية المرة اللي فاتت قولنا عنوان
عام و بقينا نصيغوا كلام if x approaches to x0 then
f of x approaches to L وبالتالي limit of f of x
لما ال X بتروح لل X0 بده يساوي Lهذا ما كنا نقوله
في السيقشن الماضي الان نقوله نفسه بس بطريقة جديدة
فبقول التعريف ما يتيلت ال f of x بيبقى function
معرفة على open interval و ال open interval تحتوي
على ال x node و عند ال x node الدلة ممكن تكون
معرفة و ممكن ماتكونش معرفة بيهمنيش لأن انا بدي
limit بديش قيمة دلةبقول الان عند ال limit ال f of
x لما ال x تروح لل x node بدي يسوى ال تعني انه يعني
انا بدي اجيب تعريف الها بطريقة جديدة given epsilon
greater than zero اذا اعطيت ابسلون greater than
zero there exists delta greater than zero او delta
greater than
بالنسبة للـ x ناقص x0 هو أكبر من 0 لأنه absolute
وفي نفس الوقت أقل من مين دلتا إن حدث ذلك يجب أن
يكون الفرق ما بين f of x وL
هذا الكلام يجب أن نفهمه من خلال الرسم فبقول كل ما
اقتربت ال X من X node كل ما اقتربت ال F of X من
Delta إذا لما نكون قريبين جدا على X nodeبصير ال f
of x قريبة جدا علميا ال يبقى limit ال f of x لما
ال x بتروح ال x node بدي ساول ال واضح تمام طيب
يبقى اذا انت فهمت خمسين في المية معناته انت very
good مش very good excellentطب و الخمسين التانية
بدنا نجيبهم من وين؟ بدنا نجيبهم من الأمثلة و أحل
المسائل يبقى انتهى الجزء النظري تبع ال section هذي
ضايل جزئية بسيطة سنتعرض لها خلال محاضرة اليوم ان
شاء الله وين هو الإثبات؟ تبع ال remark هو إثبات
خطوة واحدة و التانية ياخد limit خلصناأه قد يكون
ليش لأ مش .. كل حاجة بأثبتها لك بيصير مطلوب، ما
أثبتتها ايش لك؟ خلص المسامة عينك فيهاماشي يا سيدي،
لكن لا يعني مطلوب أنها بتتيجي في الامتحان، أنا
بديك تفهم شغلات أو تعرف شغلات ماكنتش بتعرفها
سابقا، هي اللي بهمنا، يعني هالمختبع كده بدنا ننفضه
و نواصلك شوية، انك كل يوم بتاخد معلومات جديدة ربما
لم تتعرف عليها في الثانوية العامة أو سليقت سلقا في
الثانوية العامة، احنا اليومنطبخ مخكك على نار هادية
وليس سلقان، تمام؟ ليش؟ لأن انت بعد أربع سنين ربما
أقل من Delta implies هذا يطلب أن الـ absolute value
للـ F of X ناقص الـ L أقل من إبسلون الان بدنا نبدأ
نطبق التعريف عمليا بقول له zero أقل من الـ X ناقص
يبقى
بشيلها و بحط مكانها اتنين أقل من دلتة مجهولة يبقى
إبسلون المواطع دلتة مجهولة هذا يتطلب f of x اللي هي
خمسة x ناقص الأربعة ناقص الـ L اللي هي قداش ستة أقل
من مين؟ أقل من الإبسلون بعد ذلك سيبلي هذه كما هي
بروح نشتغل في مين؟ في الانقلة اللي عندنا هنا فباجي
بقول له هذه بدها تعطيك absolute value لخمسة X ناقص
أربعة و ناقص ستة و ناقص عشرة تمام؟ اللي هي بدها
تساوي absolute value لخمسة في X ناقص اتنين اللي هي
بدها تساوي خمسة في absolute value للـ X ناقص اتنين
وكل هذا الكلام أقل من main أقل من epsilon لحد هنا
في مشكلة؟ ما عنديش مشكلة كله مباشرة طيب بنحب نحيط
الكلام أن هذا المثال هو أبسط أنواع الأمثلة على
الموضوع ماشي طيب الان
ممكن نقسم الطرفين على خمسة إذا لو قسمنا الطرفين
على خمسة إيش بيصير عندنا absolute value للـ X ناقص
اتنين أقل من epsilon على خمسة بتطلع لي في النتيجة
التي توصلنا إليها هذه و بتطلع لي في النتيجة الطرف
الشمال مش هو الطرف الشمال اللي هنا الطرف الشمال هنا
مشهور الطرف الشمال هنا يعني شغلتنا بدنا نروح نمسك
الطرف هذا اللي في اليمين و نقعد نفكفك فيه لغاية ما
وصل لشكل مين؟ شكل الطرف الشمال أول ما بدأت معك
الكلام اليوم قلت لك given epsilon greater than
zero there exists delta greater than zero يبقى حسب
epsilon اللي بتاخدها بيطلع مين؟ دلتا يعني دلتا
تعتمد على مين؟ تعتمد على epsilon من هذه بقدر أقوله
إذا سا دلتا يساوي epsilon على خمسة الطرف اليمين هو
الطرف اليمين لأن هذا بالضبط تماما يبقى دلتا ممكن
ناخدها epsilon على خمسة يبقى طالع الدلتا تعتمد على
مين؟ تعتمد على قيمته بس هو لذلك السبعين طالب اللي
قاعدين قدامي لو كل واحد فيهم أخد epsilon تختلف عن
التانية هيطلع عندي سبعين delta بتختلف عن التانية
يعني إيش؟ يعني لما الـ X بدها تروح للـ X node واحد
يدخل المسافة بينه وبينها أربعة سنتيمتر واحد يدخل
المسافة بينه وبينها تلاتة ونص واحد يدخل المسافة
بينه وبينها اتنين سنتيمتر واحد يخلي مسافة منه بينها
واحد و تلت أربعة سنتي واحد يخليها سنتي واحد واحد
يخليها نص سنتي واحد يخليها واحد من عشرة سنتي يعني
ميلي واحد وهكذا يعني قداش بتاخد epsilon قداش بتطلع
اللي هو قداش بتاخد epsilon قداش بتطلع عندك مين؟ دلتا
وهكذا تمام وابعت الصورة طيب وانتوا في الصف السابع
والثامن بجيتوا لما تحلوا معادلة و تتأكد حالك صح
ولا غلط ممكن تروحوا تقولوا التحقيق مش هيك وممكن
تروحوا تتحقق هل الإجابة تبقى تأكد صح ولا لا احنا
بدنا نجري تحقيق الان واسع النطاق مع مين؟ مع النتيجة
اللي توصلنا لها احنا لحد هنا انتهينا لكن احنا الان
بدنا نعمل تحقيق نتأكد منه هل النتيجة التي توصلنا
إليها صحيحة أم النتيجة التي توصلنا إليها غير
صحيحة؟ هذه مجرد تأكيد ليس إذا يبقى بحط له عنوان
صغير و بقوله showing that delta works يعني بدي
أبين له أن دلتا اللي حصلنا عليها epsilon على خمسة
تؤدي لغرض قل مطلوب بقوله تمام إذا أنا باجي zero
أقل absolute value للـ X ناقص كم كان؟ ناقص أقل من
دلتا كم دلتا أخذتها؟ epsilon على خمسة F of X هو 5X
ناقص 4 ناقص 6 فهذا
المقدار يجب أن يكون أقل من Epsilon بقول كويس هذا بدّه
يساوي خمسة X ناقص عشرة هذا بدّه يساوي خمسة X ناقص
اتنين هذا بدّه يساوي خمسة absolute value لـ X ناقص
اتنين هذه أقل من إبسلون على خمسة إذا هذا أقل من هذه
الخمسة اللي برا وهذه إبسلون على خمسة هذه اللي هي
قداش تساوي؟ إبسلون يبقى فعلا الفرق ما بين الاتنين
هدول سواء الخمسة x ناقص الأربعة ناقص الستة أقل من
مين؟ من إبسلون يعني لما ناخد delta بإبسلون على خمسة
النتيجة فعلا بصير الفرق بين الـ f of x وإيه مالها؟
أقل من إبسلون يبقى هي تحققنا من ان الكلام اللي
عملناه صحيح يبقى بقوله تأكدنا thus limit لخمسة X
ناقص أربعة لما الـ X بدها تروح لاتنين بدها تساوي ستة
بدي أسألكم السؤال التالي هل احنا بشغل هذا حسبنا
limit لدى الله؟ لأ احنا بس تأكدنا ان الـ limit صحيح
اللي ليس الا، إذا في هذا الـ section كتبت لكم أول
سطرين احنا هنا بنحسبش limit في هذا الـ section بل
بنتأكد هل الـ limit اللي عملناها او المعطاها هل هي
صحيحة أو لا، إيش بدك تسأل؟
أنت لسه في أول الطريق يا راجل اصبر اصبر شوية كل ما
أنت تجلك شوية صبرك بالله شوية احنا بنقولك ياه بدي
يعطيك سفره بدي يعطيك نهاية سواء قيمة محددة هي الصفر
على صفر قيمة محددة
هذا إذا استخدمت طرق مختلفة، صحيح الحساب، بعدين
انطلق Zero ع Zero، لكن من البداية بيقولك limit
كذا، بيقولك سواء كذا، مايقولش مش صحيح، لأ، تجب صحيح
كذا، مش صحيح،
يراد اللي بيعطيك ده، اللي بيقولك بيل، أن limit
لهذه، ده لا يساوي كذا، تمام؟ كانت صفر على صفر كانت،
مش عارف إيه، بدك تثبت هال أنت، تمام؟ طيب نعطيك مثال
آخر أتقل شوية، بدي أعتبر أنه حتى لأن من هذه
المثالة ما فهمتش ولا كلمة، كويس؟ و بدي أتقلك شوية و
شوية، تفهم ولا لا؟ قول من
وين جبتها؟ ليه وإيه؟ شايف هذه ولا لا؟ و أعطيك
سبعة الله تضرب في خمس ولا لا؟ تضرب في خمس يلا، وهو
المطلوب، هذا هو السؤال كلأ ما قلت أقل منها، هذه أقل،
يبقى هذه أقل، تمام؟ صار الطرف الشمال هو الطرف
الشمال، إذا الطرف اليمين هو الطرف اليمين، مظبوط؟
خطوات تعملها لتتأكد
أن كلامك صحيح
Use Epsilon Delta Definition To Show That Limit
لما
الـ X بدها تروح للسبعة للجذر التربيعي للـ X ناقص
تلاتة يساوي اتنين
خلي بالك كدا السؤال اللي واجهتك اللي مضحك عنه
ممكن يكون بهذه الصيغة use epsilon delta definition
to show data ويعطيك مثل إيش ما يكون شكلها يكون
بهذه المنشطيب بدنا نبدأ بنفس مبادئنا في المثال السابق
يبقى بالدرجة أقوله given epsilon greater than zero
there exists delta greater than zero such that
بحيث أن f0 أقل من الـ X نقص الـ X node أقل من دلتا
implies أن الـ F of X نقص الـ L أقل من مين؟ من إبسلون
طب نجي نعوض هنا يبقى Zero أقل من الـ X نقص الـ X
node الـ X node عندي هنا كده؟ سبعة تماما أقل من دلتا
مش عارفها بدي اياها هذا بدّه يتطلب absolute value
للـ F of X اللي هو الجذر التربيعي للـ X ناقص ثلاثة
ناقص الـ L اتنين أقل من مين؟ أقل من إبسلون هذا
السؤال ليس مثل السؤال السابق خد عمل مشاركة روح
يطلع معاك دغري يبقى بدّه اروح أفكر أنا بدّه هنا اخلق
في هذا الطرف لماين الـ X ناقص سبعة بدّه هنا يكون X
ناقص سبعة يبقى أول ما بيجي في لماين اضرب في
المرافق تمام يبقى باجي بقوله هذا بدّه يعطينا
absolute value
ما له هذا؟ هذا أقل من إبسلون إذا إيش اللي صار عندنا؟
أقل من X نقص سبعة أقل من Delta implies
فرق بين المربعين إذا بالدرجة لأاصله مربع الأولى
ناقص مربع الثانية إذا المربع الأولى هو عبارة عن X
ناقص تلاتة المربع الثاني اللي هو ناقص أربعة تمام
على المقام اللي هو absolute value للجذر التربيعي ل
X ناقص تلاتة زائد اتنين أقل من مين؟ أقل من إبسلون
إذا مشكلتي anyway ما فيش اللي فوق سألة هادي اللي
عبارة عن مين؟ absolute value للـ X ناقص سبعة في مين
في واحد على الـ absolute value الـ X لاقص 3 زائد 2
أقل من الـ Y يبقى أنا لو تخلصت من هذا المقدار
بتبقى قصتي محلولة أو لو استبدلت هذا المقدار برقم طب
خلصت مظبوط؟ إذا هذا السؤال مش زي السؤال اللي
قبله اضطريت للضرب في المرافق والضرب من المرافق
طلع لي term جديد بدي أحاول أتخلص من الـ term
الجديد شوفوا كيف بدي أتخلص من الـ term الجديد برقم،
بقى دي بقوله كويس هي المسألة بدي أتعرف على
domain ده اللي هدي من وين له وين يبقى باجي بقوله أن
أنا بدي أجيب له domain دالة F كل العناصر X بحيث أن
الـ X ناقص تلاتة بديها أكبر من أو تساوي زيرو حتى
يكون الجذر هذا معرف صحيح ولا لأ يعني هذا كل
العناصر X بحيث أن الـ X greater than or equal من
تلاتة يعني الفترة من عند التلاتة لغاية الـ infinity
أمتاز جدا طب فاتح لي عينك كويس أنا عندها هذا الـ
real line و الـ domain تبع الدالة بيبدأ من عند
التلاتة ويجي رايح على ما لا نهاية قبل التلاتة
ما عنديش function أنا عند الـ X بتروح لوين؟ لـ 7 إذا
لو جيت على الرسم هنا وقلت هذه النقطة اللي هي
السبعة السؤال هو قداش أقصى قيمة لـ Delta
أربعة صحيح ولا لأ؟ لأ بدي أقول قبل التلاتة هذي
ممنوع ممنوع أتحرك وأنا الـ X بتروح على سبعة يعني
ممكن أروح من اليمين وممكن أروح للشمال يبقى أقصى
قيمة ممكن تكون قداش؟ X بدها تروح لسبعة ممكن Delta
تكون أربعة حوالين مين؟ هو ممكن ناخد أربعة لليمين و
أربعة للشمال
يبقى هنا sense بما أن الـ X بدها تروح للسبعة
بدي يصير عندنا مين؟ أن دلتا تساوي سبعة ناقص ثلاثة
يساوي قداش؟ أربعة طيب شوف لك هذه المعلومة إيش
الفايدة منها؟ إيش الفائدة من دلتا بدها تروح لأربعة
يبقى أنا عند مين؟ عند الـ X ناقص سبعة أقل من دلتا
إذا بدي يصير عند الـ X ناقص السبعة أقل من مين؟ أقل
من أربعة أو بمعنى آخر هذا معناه أن الـ X ناقص السبعة
أقل من أربعة وأكبر من مين؟ من سالب أربعة أضف لي
السبعة للثلاثة أطراف يبقى لو أضفنا السبعة للثلاثة
أطراف بيصير هنا قداش؟ تلاتة أقل من X أقل من سبعة و
أربعة قداش؟ أحداش طيب X إذا ستتحرك من ولا وين؟
من تلاتة لأحداش لكن احنا بدنا مين؟ بدنا X ناقص
تلاتة إذا من هنا بدها تخلق X ناقص تلاتة يبقى هذا
بدّه يعطيلك إن Zero أقل من X ناق
تكون أكثر من المسافة هذه يبقى بدي أخد Delta بأربعة
لما أخد Delta بأربعة بصير هذه أقل من Delta أقل من
أربعة هذه فيديو تحلت طال ال X ما بين تلاتة و
أحد عشر طب انا بدي من؟ بدي x ناقص تلاتة بطرح من
الطرفين تلاتة هيترح لمنها تلاتة تمام؟ بدي جذر بأخد
الجذر للطرفين بدي للجذر يكون مضاف لاتنين روحنا
أضفنا اتنين للكل بدي شيء أكل في ال bus بدي أكل في
المقام قلب ساعة
بهذه؟ كلام بسيط، هذا trivial بسيط و غلط، أيوة كيف؟
يا راجل ما أنت شايف هل الدالة معرفة قبل التلاتة؟
يعني ال domain من تلاتة و طلعة و ال limit محسوب
أوين؟ يعني X0 هذه اللي هي عبارة عن the main X0 يبقى
حوالين X0، إذا بتقدر أزيد عن التلاتة يبقى أقصى
قيمة لـ Delta بقدر أخدها اللي من تلاتة لسبعة مصبوط
ولا لا؟ أنا قلت ثلاثة سبعة ثانية أربعة ثم حطيناها
أربعة وطلعت X من و لا و لا أضفت لها سالب ثلاثة
وأخدت الجذر بعدين أضفت لها اتنين ووصلنا للنتيجة
اللي لنا يبقى هذه لو أنا أقراها واحد على المقدار
أقل من مين من نصف إذا بدي ارجع لمسألة الأساسية
يبقى لما ارجع لمسألة الأساسية اللي فوق high zero
أقل من ال X ناقص سبعة أقل من Delta implies اللي
وصلنا له احنا X ناقص سبعة في واحد على absolute
value للجذر التربيعي لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين
تمام هذا إيش بدي يكون أقل من اللي هو absolute
value لل X ناقص سبعة في نصف هذا اتخلصت منه و حطيت
أقل من نص لأن هي أقل من نص وهذا كله أقل من مين؟ من
ابسلون اللي هي الأساسية لعن نهاية
أضرب كله في اتنين لو ضربت كله في اتنين إيش بيصير
عندنا بيصير absolute value لل X نقص سبعة أقل من
مين أقل من اتنين ابسلون طلع لي في هادي و طلع لي في
هادي ووصلنا يبقى دلتا ويبقى داشر اتنين ابسلون يبقى
دلتا هنا يساوي اتنين ابسلون يبقى دلتا اللي بدنا ياه
اعتمد على مين بقى اللي التحقيق بكون خلصنا حقك من
اللي موصلناك أيوة مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل
مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل مالذي قبل
مالذي قأنا جابت ال domain عشان أعرف قداش أكبر قيمة
لـ دلتا بدأ أخدها بنفع أي
رقم من تلاتة لسبعة أنا أخدت أكبر واحد من تلاتة
لأربعة من نقص من عند ال zero لغاية الأربعة من
تلاتة لسبعة لهو أربعة أي رقم بدك تاخده من ال zero
لأربعة ما عنديش مشكلة خلاص؟ طيب بدنا نتحقق من صحة
هذا الكلام قلي
منك معاك الآن احنا عندنا zero اقل من x نقص سبعة اقل
من دلتا كده إيش دلتا قولنا اتنين ابسلون تمام هذا
يتطلب absolute value الدرجة الديش كانت اللي هو
الجذر التربيعي لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين امشي
امشي لما نمشينا و قولنا وصلناها لل X ناقص السبعة في
واحد على الجذر التربيعي لل X ناقص ثلاثة زائد اتنين
absolute value مش هيك وصلناها هاي هاي عندك ما أديش
أعيد الدرب من جديد تمام؟ بعد الجذر التناقص؟ بعد
إيش؟
يا راجل هيها، ذائب في المقام، ما له؟ هيها، جذرها
مكفوك، هيها، شافها؟ أنا كتبت هذه الحيلة، يعني
ما بديش لسه أنا أضرب من أول و جديد، أعيد نفس الكرة
لأ أنا مسكت هي من البداية امشي وصلها لغاية هنا
تمام؟ الحين هذه أقل من مين؟ أقل من ال X نقص سبعة
في نص تمام؟ طيب هذه أقل من ال X دلتا عند مقداش
يعني هذه أقل من دلتا في نص دلتا عندي بقداش؟ اتنين
ابسلون يبقى هذه بدها تساوي اتنين ابسلون في نص يعني
بقداش ابسلون يبقى هي بتحقق تحقق تمام يبقى بقى دي
بقول له سا limit لما ال X بدها تروح للسبعة للجذر
التربيعي لل X ناقص تلاتة يساوي اتنين تمام؟ طيب الله
يعطيك العافية حد بدو يسأل ثاني هنا؟ أيوة اللي هو
مين؟ تعال هنا على اللوح يلا الحق يلا بدنا نشوف
إيش بدو يسأل وماذا ستكون الإجابة بس تعال اطلع هنا
يا راجل خلّي الشباب يستفيدوا من هناك من هناك أيوة
طيب لحد هنا تمام هذه؟ جينا لرأس المسألة و نزلنا هذه
الطرف الشمال زي ما هو الطرف هذا هيو كان نزلته زي
ما هو غيرتش شيء هذا أقل من المقدار هذا في نص هيو
أقل من نص شيلت هذا و حطيت بدل نصه اللي هي الأقل
منه مظبوط؟ طيب هذا الآن أقل من إبسلون نزلت الإبسلون زي
ما هو أضرب الطرفين في اتنين صارت هذا
خلاص؟ حد بدو يسأل ثاني؟ طب المثال اللي بعده
مثال 3 استخدم ابسلون دلتا definition لتوضيح ذلك قيمة
لما الاكس بدها تروح لتلاتة للاكس تكيب يساوي 27
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ
والحين بدنا نعيد نفس التكتيك اللي قلناها في
المثالين بدنا نعيده في المثال الثالث كمان نفس
المفهوم يعني لو حتى ما فهمتش ولا كلمة من المثالين
السابقين بدنا نعيده نفس الكلام في المثال الثالث
وبالتالي بس كل واحد في فكرة بسيطة بتختلف عن مين عن
أي ثانية لكن نفس التكتيك طيب نجي الآن للسؤال بيقول
استخدم لبس من دلتا definition to show that limit
الاكس تكيب لما عليك تروح لتلاتة بدها تساوي مين سبعة
و عشرين بدنا نحط التعريف يبقى باجي بقول له given
ابسلون أكثر من زيرو هناك دلتا أكثر من زيرو بحيث أن
الزيرو أقل من ال X ناقص ال X node أقل من دلتا يعني
أن ال F of X ناقص ال L أقل من مين؟ أقل من الأبسلون
بنعيش نعوض تحويل مباشر يبقى zero أقل من ال X ال X
node بقداش تلاتة أقل من Delta M plus F of X ال X
تكيب نقص ال L التي هي 27 أقل من Epsilon هل اختلفت
البداية عن البداية السابقة للمثال ولا حاجة طيب
هذه ما ليش علاقة فيها بخليها و بره عشان و الفين في
التانية بطل على هذه شو شكل هذه خرق بين المجتعبين
طب هنا عندي x ناقص ثلاثة إذا بدي أخليك هنا جديد x
ناقص ثلاثة إذا هذه x ناقص ثلاثة هي ال absolute
value x تربيع زائد التلاتة x زائد التسعة مش 6x مش ضعف
حصل ضرب الكمية مش مربعها ده جوس الكل تربيها ده
فرق بينها مكعبين بتاخد الجذر التكعيبي لل term الأول
بتاخد الجذر التكعيبي لل x تكيب اللي هو x بتاخد
الجذر التكعيبي لل term الثاني اللي هو تلاتة و
الإشارة زي ما هي بعدك الجوس الثاني مربع الأولى
الإشارة ناقص بصير زائد عكس تماما حصل ضرب ليه اتنين
مربع القيمة الثانية تمام هذا المقدار ما له أقل من
مين أقل من إمسن هذا هو هذا ما تغيرش يبقى كل اللي
بقدر أقوله هذا معناه absolute value لل X ناقص
تلاتة في ال absolute value لل X تربيع زائد التلاتة X
زائد التسعة أقل من مين من ال epsilon إذا أنا بدي
أتخلص من المقدار هذا برقم لأن ال X ناقص ثلاثة
موجودة عندي هنا وين موجودة على الإشمال بدالي أسألك
بدالي أسألك أتمنى من من و لا وين كل ال real line
مظبوط إذا هذا لا بقدم ولا بخدمه مش زي السؤال اللي
قبله يبقى مفتوحة الدنيا قدامك الله ميسرها خالص
ممتاز جدا يبقى هنا ال domain لدالة F بدو يساوي من
سالب infinity الى infinity إذا هذه ما جابتليش جديد
لكن أنا عندي ال X بتروح لوين لتلاتة
طيب تعال نشوف القصة عادي خلّي بالك هنا هذا ال real
line و هاد ال X بدها تروح لوين؟ ليه التلاتة؟ سؤال
الدلتا بتاخد قيم سالبة؟ لأنها تكون قيم سالبة،
مظبوط، يبقى الدلتا دائما أكبر قيم واجبة يعني بقداش
أكبر قيمة لـ Delta ممكن تكون تلاتة مش غيرهم صحيح
ولا ليش؟ لأن هي الـ Zero قبل الـ Zero بدأ الصيف
تاخد قيم سالبة يبقى أقصى قيمة لـ Delta بتبقى أيش؟
تلاتة يعني X ستتحرك في الفترة من Zero لتلاتة وممكن
بعد مين؟ بعد التلاتة اللي عندنا هذا مش هيك طيب
تعال نشوف الكلام اللي عندنا هذا إيش بدنا نستفيد
منه يبقى باجي بقول له الآن since بما أن ال X بدأت
تروح ليه تلاتة and الـ Delta دائما أكبر من 0 يبقى
we can take Delta to be any number
in الفترة من 0 لغاية 3 قد ما بدك خده، أي رقم يعجبك
من 0 ل 3 واحد اتنين تلاتة واحد و نص واحد و تلاتة
اربعة اتنين زي ما كل واحد ياخد رقم شكل إيش بتاخد
بتلاقي ابسنط بتعتمد عليها خلّي بالك هنا الآن لو
أخذنا delta بواحد على سبيل المثال يبقى باجي بقول له
زي ما أحد اقترح أول اقترح قال لي واحد F delta تساوي
واحد شوف هذه إيش بيجي بالك طبعا واحد ممكن ياخدها
اتنين طبعا كله بيختلف عن الثاني وبالتالي ما فيش
مشكلة أقل أيوة ال domain
سبعة ده لمن صفر واطلع ولا ال domain كله ال real
line هذا كنت مقيد أنا بال domain لكن قبل شوية قول
أن هذا ال domain كله ال real line طب ليش أنا تقيدت
من صفر لثلاثة لأن ال delta دائما و أبدا موجب يبقى
بقدرش أرجع قبل الصفر و أخد قيم سالبة يبقى ال delta
بقدر أخد أي رقم من صفر لوين لثلاثة عرفت ليش؟ طيب
أخذناها اقترح واحد الشباب أن ياخد دلتا بهذا قلت له
ماشي شوف هذه اللي وين بدها توصلنا الآن احنا عندنا
مين؟ عندنا هنا ال absolute value ل X ناقص ثلاثة
أقل من Delta يبقى X ناقص ثلاثة بيصير أقل من مين؟
من واحد الآن since بمعنى absolute value للـ X ناقص
ثلاثة أقل من Delta و Delta أخذناها يساوي واحد هذا
معناه أن X ناقص ثلاثة أقل من 100 من الواحد هذا
معناه أن الاكس ناقص ثلاثة أقل من واحد و أكبر من
مين؟ من سالب واحد ضيف تلاتة للثلاثة اطراف بصير
اتنين أقل من X أقل من مين؟ من أربعة يبقى أن حدث
ذلك فال X دائما و أبدا ممكن تكون ما لها يساوي أربعة
أو أقل من مين أو أقل من أربعة يعني احنا بنقدر ناخد
أنها any number in 0 لغاية 3 طب ليش ما أخذتش تلاتة؟
خليتها closed interval لأن ال function ممكن تكون
عندها
تلاتة طيب absolute value ليه اثنين واثنين و
absolute value لسالب خمسة وخمسة سبعة تلاتة قل من
سبعة مظبوط ولا لا؟ يبقى الـ equality هذه دائما و
أبدا صحيحة لكل real number إذا تساوت a و b في
الإشارة يبقى في هذه الحالة بيحدث التساوي بين
المقدارين إذا اختلفت A وB في الإشارة بيحصل الـ أقل
من، حط له المعلومة عندك وبدنا نطبقها، إذا هذه
دائما وأبدا أقل من أو تساوي absolute value لـ X
تربيع زائد absolute value لـ 3X زائد absolute value ل
9 تمام؟ طيب هذه أقل من أو تساوي هذه أربعة تربيع
بقداش؟ ستة عشر تلاتة في أربعة باثنا عشر زائد تسعة
ثمانية وعشرين وتسعة قداش؟ سبعة وثلاثين طيب إذا صار
هذا المقدار أقل من مين؟ من سبعة وثلاثين، ممتاز
جدا، يبقى أنا بدي أرجع لمسألة هنا، يبقى أنا عندي
صفر أقل من الـ X ناقص ثلاثة أقل من delta implies شوف
ايش اللي حصل عندنا؟ المثلثة كانت X ناقص ثلاثة في X
تربيع زائد تلاتة X زائد تسعة هذا أقل من أو يساوي
اللي هو الـ X ناقص ثلاثة في قداش؟ في سبعة وثلاثين
وهذا كله أقل من مين؟ أقل من الـ epsilon طبعا طلّع لي
في يدك ممكن اقسم كله قداش؟ على سبعة وثلاثين يبقى
بيصير الـ X ناقص ثلاثة أقل من الـ epsilon على سبعة و
ثلاثين تمام؟ إذا كم قيمة لـ delta صارت عندي؟ Delta
عندي هنا بواحد و delta هنا هذا بده يعطيك انه delta
تساوي epsilon على سبعة وثلاثين ليش هاي هذه وهاي
هذه اللي عندنا طب ده أسألكوا سؤال القيمة اللي طلعت
إن هذه اعتمدت على الواحد أثناء الحسابات ولا لا؟ اه
اعتمدت اعتمدت لأن هذه اعتمدت على الواحد هيه
والأربعة جنب حسبناها بقى السبعة والثلاثين إذا اعتمدت
عليها ال epsilon على السبعة والثلاثين اعتمدت على مام على
الواحد الآن ال epsilon على السبعة والثلاثين يمكن تكون
أكبر من الواحد ويمكن تكون أقل من الواحد مين فيهم
دلتا؟ الواحد وال epsilon على السبعة والثلاثين
من واحد لـ سبعة وثلاثين من واحد لـ epsilon على سبعة
وثلاثين من واحد لـ epsilon على سبعة
و ثلاثين من واحد ل إبس من على سبعة و تلاتين من
واحد لـ epsilon على سبعة و
ثلاثين من واحد لـ epsilon على سبعة و ثلاثين من واحد
لـ epsilon على سبعة و ثلاثين من واحد لـ epsilon على
سبعة و ثلاثين من واحد لـ epsilon على سبعة و ثلاثين
من واحد لـ epsilon على سبعة و ثلاثين من واحد لـ epsilon
على سبعة و ثلاثين من واحد لـ epsilon على سبعة و
ثلاثين من واحد لـ epsilon
من delta بدأت تساوي واحد، وإذا كانت epsilon هي
epsilon على سبعة وثلاثين يبقى delta بدأت تساوي
epsilon على سبعة وثلاثين، اللي يبقى هنا بقوله إذا
delta بدأت تساوي minimum الواحد وال epsilon على سبعة
وثلاثين، يعني قيمتين ولا قيمة واحدة؟ هذا minimum
الصغيرة فيهما هذا minimum الواحد وال epsilon الصغيرة
في الاثنين يبقى الصغيرة هي بتكون main قيمة يعني
الصغيرة القيمتين ليش إن الـ epsilon أنا مش عارفها بس
لو عارفها رقما معينا يعني افترض قال لي في البداية
given epsilon تساوي خمسين خمسين على سبعة وثلاثين أكبر
من وحدة صحية إذا delta بدأت تساوي واحد ما خلال لكن
لو كانت epsilon قليلة عشرين أقل من واحد يبقى delta
بدل تساوي epsilon على سبعة وثلاثين وهكذا تمام طيب
لكن أصلا epsilon على سبعة وثلاثين لما استخدمت حساب
اتهمين الواحد الصحيح خلي هذه المعلومة في دماغك و
الآن عند التحقيق بدنا نبين هذا الكلام يبقى باجي
بقوله showing
صفر أقل من X ناقص 3 أقل من delta delta بدأ أخدها
epsilon على سبعة وثلاثين لأنها اعتمدت على مين عند
حسابها على مين؟ على الواحد implies إن الـ F of X
اللي هي الـ X تكعيب ناقص سبعة وعشرين بدي أثبت إن
هذه أقل من مين؟ من ال epsilon يبقى هذه تساوي الـ X ناقص
تلاتة في الـ X تربيع زائد تلاتة X زائد تسعة هذه
أقل من delta وهذه أقل من سبعة وثلاثين طيب delta
عندنا ليه epsilon على سبعة وثلاثين اللي هي بدها
تساوي epsilon على سبعة وثلاثين في سبعة وثلاثين
يبقى هذه اللي هي بدها تساوي مين؟ epsilon يبقى هذا
بده يعطيك إن الـ X تكعيب ناقص سبعة وعشرين أقل من
مين؟ أقل من ال epsilon وبالتالي راح limit
قبل قليل وعدتكم بواعد لما حلت المثال في الـ section
السابق كان limit X في sin 1 على X ثم X تروح على
Zero ثم اتناه يساوي Zero الآن بواسطة هذا الـ
section بدنا نثبت فعلا إن الـ limit هذا كمان يساوي
له Zero يرجع بنا نفّيء بواعدنا الذي وعدناكم إياه هو
اعتبر هذا المثال رقم أربعة
يبقى مثال يبقى
مثال يبقى مثال يبقى مثال يبقى مثال يبقى مثل مثل
مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل مثل
مثلما الـ X بدأ تذهب للـ Zero للـ X في الـ Sine
واحد على X يساوي Zero solution
برضه
بدأ زي ما بدأنا في الأمثلة الثلاثة السابقة
بحيث أن 0 أقل من X ناقص الـ Zero أقل من Delta
يبقى الطرف الشمال صفر أقل من absolute value لـ X
أقل من delta implies هذا من تعريف الـ absolute
value بيصير absolute value لـ X في absolute value للـ
sin واحد على X أقل من مين؟ أقل من ال epsilon أو
خلّيني أعملها على الشكل التالي أليست هذه أقل من
absolute value لـ X في واحد لأن أعلى قيمة بياخدها
الـ absolute value للـ sin واحد على X هي الواحدة الصحيحة
تمام يبقى هذا بيصير absolute value لـ X لـ واحد هذا
بده يساوي absolute value لـ X اللي هي أقل من مين؟
أقل من الـ epsilon اطلع لي للنتيجة هذه والنتيجة اللي
عندنا هذه يبقى الطرف الشمال هو الطرف الشمال يبقى
هنا ساة الـ delta تساوي مين؟ epsilon itself كويس مادام
طلبنا نتأكد شغلنا هذا صح ولا لأ يبقى showing that
إن delta works
أقل من الـ absolute value ناقص الـ zero أقل من delta
يبدأ تساوي epsilon
absolute value للـ X في الـ sin واحد على X ناقص
الـ zero بدي أثبت إن هذه أقل من الـ epsilon طيب هذه
تساوي مين؟ absolute value للـ X absolute value للـ
sin واحد على X مالها هذه؟ أقل من وقت تساوي
absolute value للـ X في من؟ في الواحد طيب هذه
absolute value of X هي عبارة عن مين؟ delta يبقى هذه
أقل من delta في واحد delta بقداش؟ بال epsilon في واحد
اللي هو بال epsilon يبقى sin اللي هو الـ X sin واحد
على X ناقص الـ zero أقل من مين؟ أقل من epsilon
وبالتالي Thus وكذا limit الـ X في الـ sin واحد على
X لما الـ X بدي روح للـ Zero بتساوي الـ zero كذلك
وهذا يتفق مع النتيجة اللي حسبناها قبل ساعة زمان
تقريبا اللي هو نهاية الـ section الماضي طيب بنحاول
نعطيكم مثال عددي نعطي قيمة لـ epsilon نطلب قيمة delta
نعطيكم الـ نعطيكم الشغل زي هيك يبقى اكتب لي مثال
خمسة بيقول
لي f الـ f of X يساوي X تربيع زائد ستة X زائد خمسة
على X زائد خمسة والـ X naught يساوي سالب خمسة and
الـ epsilon يساوي صفر فاصلة صفر خمسة يعني خمسة من مية
fine وجدنا
نمر ايه بدي limit f of x لما الـ x بدي روح للـ x
naught نمر بي find delta
اللي greater than zero such that بحيث هو أن الـ
صفر أقل من الـ X0 أقل من delta implies أن الـ F of
X ناقص الـ L أقل من epsilon خلي
بالك هنا
يبقى احنا بدنا limit للـ F of X لما الـ X بده يروح
الـ X نضله قداش؟ سالب خمسة يبقى limit لما الـ X بده
يروح ليه سالب خمسة لمن؟ لـ X زائد واحد في X زائد
خمسة على X زائد خمسة السؤال هو هل الدالة معرفة عند
X يساوي سالب خمسة؟ لأ، لكن الـ limit ممكن تكون
موجودة مالهاش علاقة بدي بقوله كويس يبقى القوس
هذا بدي روح مع القوس هذا النتيجة الـ limit لما الـ
X بدي روح لسالب خمسة لمين؟ للـ X زائد واحد تمام؟
يبقى هذا الكلام تعويض مباشر لأنها Line ناقص خمسة
زائد واحد ما يساوي قداش؟ سالب أربعة هذه اللي هي بنقول
عليها اللي مش معطاة فوق في رأس المثل يبقى أول خطوة
نقله الـ limit هذا نجي لنمر بيبقى بين نمر بي يبقى هتلاقي
delta الأكبر من الـ zero بحيث تكون هذه محققة بقول
بسيطة جدا يبقى احنا عندنا صفر أقل من الـ X ناقص مع
ناقص بالصغير زائد خمسة هذه أقل من delta implies إن
الـ F of X صفر اللي هي مين؟ بعد اختصارات X زائد واحد
ناقص اللي هي L اللي هي بناقص أربعة تمام أقل من
epsilon epsilon موطن هو 005
بقول هذا يعني إن الـ X زائد خمسة أقل من صفر فاصلة صفر
خمسة طلع لهنا وطلع لهنا يبقى هذا بدي أعطيك إن delta
تساوي ال epsilon تساوي صفر فاصلة صفر خمسة يبقى بده delta
جبناله delta أضعف أخر نقطة صغيرة في الـ section
اللي وعدناكم فيها قبل قليل آخر
نقطة بتقول ما يأتي هنكتب علي الشكل التالي remark
إذا أعطتنا f of x ناقص الـ L أقل من epsilon إذا أعطتنا f of x ناقص
الـ L ناقص الـ L أقل من epsilon
عن الـ X node ثم نأخذ
delta لكي تكون نصف طول نصف
طول interval
but if it is not symmetric إذا لم تكن متماثلة
about x0 about
x0 we take delta we take
delta to be we take it to be the distance from
distance from x node to near endpoint near
endpoint of the interval
ماذا يفعل؟
مرة ثانية بنقول إذا الـ absolute influence نقص إلا
قلبي مثلا أعطتني interval symmetric about x node
زي الرسمة اللي قبل قليل كانت delta اللي على اليمين
زي delta اللي على الشمال يبقى في هذه الحالة بيقول
بناخد delta هو نص الفترة كلها من x node ناقص delta
إلى x node زائد delta لكن إذا كانت الرسمة هنا not
symmetric about x node هيطلعت قيمة لـ delta
وهيطلع في قيمة ثانية هل الاثنين دونها درجة بعض؟
لأ يبقى ما فيش تساوي بين الاثنين فمين منهم delta؟
ثلاثة أطراف يبقى تسعة أقل من x ناقص سبعة أقل من
مين من خمسة وعشرين ضيف سبعة على ثلاثة أطراف بيرث
سبعة وتسعة ستاشر أقل من x أقل من اثنين وثلاثين
تمام يعني لما يكون عندي real line وهذه النقطة
اللي هي ثلاثة وعشرين هذه النقطة السادسة وهذه
النقطة السادسة وهذه النقطة السادسة وهذه النقطة
السادسة وهذه النقطة ستة
بيقول هنا Delta هيها from X naught to near end
point of the interval أيوة يبقى Delta هي المسافة
من 16 لمين ل 23 لمين هي الأقرب على ال 23 يبقى بناء
عليه صرت ال X موجودة من 16 لغاية 32 يبقى هنا sense
16 is the near point of X يساوي ثلاثة وعشرين
يبقى بدنا منك exercises اثنين ثلاثة يبقى exercises
اثنين ثلاثة المسائل التالية اللي هو من واحد لتسعة
وأربعين القدروزيادة على ذلك من واحد وخمسين لغاية
أربعة وخمسين وانضيف عليهم من سبعة وخمسين لغاية
ستين