الآن بنرجع لنذكّر فقط بتذكير اللي أعطاناه في
المحاضرة الماضية في نهايتها بدأنا في Section 1 و 11
اللي بتحدث عن two special types of second order
differential equations وقلنا المعادلة التفاضلية من
الرتبة الثانية على الشكل اللي قدامنا هذا عشان أحلها
بدأنا ننزلها إلى الرتبة الأولى لأن موضوعنا موضوعنا ال
first order differential equation فبنجيب نحط dx
على dt بتعويض g تحديها ال runs v لو اشتقتنا
بالنسبة ل t بصير d²x على dt²
بنفس الطريقة نفس الطريقة نفس الطريقة يبقى بيصبح dv
على dt اللي ممكن أكتبها dv على dx في dx على dt dx
على dt هي v بيبقى v في dv على dx يبقى بيصبح v هو
المتغير التابع و x هو المتغير المستقل لكن فوق t هو
المتغير المستقل و v هو المتغير التابع زي ما أنتم
شايفين طيب لو كانت المسألة فيها t missing و x
missing اثنين missing أحل على الطريقة الأولى ولا
على الطريقة الثانية اثنين missing أحل على الأولى
ولا على الثانية أي واحدة فيهم ننتقل الصح يا ما
بتحلي على الطريقة الأولى يا ما بتحلي على الطريقة
اللي تشوف فيها راحة لك بتروح تشتغليها لكن أنا شايف
أن الأولى أسهل شوية يعني أقل أقل رموز وأقل شغل
شوية ما علينا نبدأ ناخذ أمثلة توضيحية على ذلك يبقى
بنجي مجهول solve the following differential
equations يبقى examples
Solve the following differential
equations
المعادلات التالية أول معادلة من هذه المعادلات التي
هي t² d² x على dt²
لو نظرت لهذه المعادلة من المفقود
x هي اللي مفقودة t الحمد لله هي موجودة لكن x
ما عنديش عندي dx على dt يبقى هذا النوع اللي هو
علميا على الحالة الأولى يبقى هذه لو روحت سميتها ال
equation star يبقى equation star is a differential
equation with x missing يبقى x هي المفقودة شو نعمل
بنقول حط أن ال dx على dt تساوي v وروحوا اشتقوها
بصير d2x على dt2 يساوي dv على dt بناخد المعلومات
هذه ونعوض في المعادلة ال star اللي عندنا يبقى
باجي بقول هنا الصابس تتيوت in equation a star we
got بنحصل على ما يأتي يبقى t square ما له دعوة ايه
t square بعد هيك d x d square x على d t square هي
ب dv على dt يبقى هذه dv على dt اللي بعدها زائد v
تربيع يساوي 2 t في v يساوي 2 t في مهم في v
الخاطر هو أن يجعل معامل dv على dt هو الواحد
الصحيح إذا كنت أذهب و أقسم الطرفين العالمين على t
تربيع إذا لو قسمنا على t تربيع بيصير أن dv على dt
زائد
dv على dt ناقص 2 على t في v يساوي 1 على t تربيع في
v تربيع منها المعادلات اللي مرت علينا، حد بتقدر
تقولي فيكوا شو هذه المعادلة؟ شو اسمها؟ مش سامع،
اللي بتعرف ترفعيدها فوق، لسه المرة اللي فاتت
أخدناها، نعم؟ متأكدا، homogeneous يعني، هاي فيه
علة تي، أه، homogeneous بتنفع، مية لمية، كلام أختنا
هذا صحيح، يبقى homogeneous وبقدر أحل على
homogeneous هي الطريقة، في طريقة ثانية كمان؟ كيف؟
هذه linear؟ واحد علتيه تربيع في v تربيع طيب شو
اسم هذه؟ تنفعش Bernoulli؟ مش هي Bernoulli هدى ولا
لأ يبقى هدى Bernoulli equation يبقى homogeneous صح
و Bernoulli صح للشكتب يبقى هدى هه مدام أنتم
قولتوا homogeneous على طول و تحبوا أن ما عنديش
مشكلة لكن أنا بقول Bernoulli بدي أروح أحلك كمان ب
Bernoulli as a Bernoulli equation يبقى هدى على طول
الخاطر اللي هي Bernoulli equation
بعد ذلك سأضرب الطرفين في v to the minus two يبقى v
أس ناقص اثنين dv على dt ناقص اثنين على t في v أس
ناقص واحد يساوي واحد على t تربيع بعد ذلك سأضع ال
u في v أس ناقص واحد يبقى هنا ال u' ناقص v أس ناقص
اثنين في v' إذا هذه بقدر أشيلها وأكتب بدلها
ناقص u' بدي أساوي من v أس ناقص اثنين في v' يبقى
هذه ناقص u' وهنا ناقص اثنين على t في ال u بدي أساوي
واحد على t تربيع
لحظة ما يأتي احنا عندنا المعادلة هي فوق
شو شكلها هذه زاد زاد اه زاد صحيح يبقى هذه شو شكلها
ها شو اسمها هذه u prime ده اللي في t في ال u بتساوي
ده اللي في t من أربع حالات exact homogeneous
separable linear linear هذه linear أخر حاجة أخذناها
يبقى هذه linear linear differential equation يبقى
هذه معادلة خطية مادة المعادلة الخطية إذا بدي أروح
أجيب عامل التكامل mu of t e أس تكامل اثنين على t
dt يبقى e أس اثنين لأن ال t يبقى هذه t تربيع إذا
الحل هو على الشكل التالي اللي هو t تربيع في ال u
بده يساوي تكامل t تربيع 1 على t تربيع dt أو t
تربيع u بده يساوي هذي مع هذي الله يسهل عليها
وبالتالي تكامل ل dt فقط لغير يبقى t تربيع u بده
يساوي t زائد constant c نقسم على t تربيع يبقى
الـ u عندها بده يساوي واحد على t زائد c على t
تربيع أو خليها مرة واحدة هيك هاي t زائد c على t
تربيع t زائد c على t تربيع احنا عندنا u بمين v أس
minus ال one يبقى ال u تساوي v أس minus ال one
يعني واحد على v t زائد c على t تربيع أو لو جلبنا
بيصير ال v بده يساوي t تربيع على t زائد c طب ال v
عند مين هي ال v؟ برضينها من الأول يبقى ال v اللي
عند الهيمين dx على dt إذا v اللي عبارة عن dx على
dt بده يساوي t تربيع على t زائد c إذا بناء عليه
بقدر أقول يبقى dx بده يساوي t تربيع على t زائد c
كله بالنسبة إلى dt طب كيف بدنا نكامل هذه يا بناتي؟
درجة
الباص أعلى من درجة المغامر شو نعمل؟ قسمة مطولة إذا
بتروح تقسم بالها مش هيك t تربيع تقسيم t زائد c
فيها t t تربيع زائد ct هذي زائد تصير ناقص وهذه ناقص
وبنجمع بظل ناقص ct ناقص ct على t ناقص c يبقى ناقص
ct ناقص c تربيع نعمل هذه زائد وهذه زائد بتروح بظل
عندنا كذاش c تربيع إذا صارت ال x يساوي تكامل خارج
القسمة هو t ناقص ال c ولسة ضايق اللي عندنا c
تربيع بدي أقسمه على c زائد t كله بالنسبة لمين
إلى dt إن كامل الطرفين نحصل على الإجابة يبقى باجي
بقوله the solution of
that differential equation a star is x
يساوي
ال t هو t تربيع على اثنين تكامله وال c ب c في t
وهذا البسط هو تفضل المقام بس ال c تربيع هذا مقدار
ثابت طلعه برا يبقى زائد c تربيع لل absolute value
اللي t زائد c زائد constant c1
يبقى هذا هو شكل الحل لمين؟ للمعادلة اللي عندنا روح
ناخذ مثال ثاني
بمثال رقم 2 بيقول حل المعادلة x تربيع زائد واحد في
d square x على d t square بدي يساوي 2 x في dx على
dt لكل square وهذه هي المعادلة رقم 6
بقول حل المعادلة اللي عندنا هذه يبقى باجي بتطلع في
المعادلة هل فيها t؟ فيها x؟ اه ال x موجودة بس ال t
المفقودة يبقى هذه المعادلة عبارة عن equation with
أو equation star is is a differential equation
with t missing المفقودة هي t مدام هيك بدنا نروح
نحط put dx على dt يساوي v يبقى d2x على dt2 يساوي dv
على dt يساوي dv على dx في dx على dt يعني v في dv
على dx يبقى استبعدنا dt لأن t is missing مش موجودة
في المسألة الآن بدي اخذ هذه المعلومات وأروح وأعوض
في المعادلة رقم star يبقى هذا x تربيع زائد واحد
ماذا رايكم في المعادلة؟
بقدر افصل المتغيرات يبقى
هذه separable equation
يعني يا بنات كأنه احنا قاعدين بنراجع ال four
sections أو ال five sections الماضية يبقى هذه بقدر
أخليها كالتالي v على dv على v تربيع يبقى هذه أخدت ال
v dv على v تربيع بده يساوي 2x على x تربيع زائد واحد
كله في dx تمام يبقى v dv هيها جسمت على v تربيع ضال
2x جسمت على x تربيع زائد واحد وهذه dx أظن البسط
في فضل المقام بس بده 2 يبقى هذه بقدر أقول هذه نصف و
هي تكامل وهذا 2 v dv على v تربيع يساوي تكامل
2x على x تربيع زائد واحد dx يبقى يا بنات هنا
بقول نصف ln v تربيع نصف ln v تربيع بدي أي وقت
كلامكوا كويس والله كلام مصبوح هذه إحدى الأخوات كانت
أدق منها نظري شوية وراحت جالها لهذه بدل ما تضرب
في نصف وتجسم على نصف يبقى هذه واحد على v مباشرة
فنقول لها والله كلامك مظبوط مائة بالمائة تمام يبقى v
على v تربيع هي بواحد على v والباقي زي ما هو يبقى
النتيجة ln absolute value ل v بيساوي ln x تربيع
زائد واحد زائد constant c1 لا داعي لكتابة ال
absolute لأن x تربيع كمية مربعة والواحد موجبة
والاثنين جامعة يبقى هذه قيمة موجبة يبقى لا داعي لل
absolute value طيب أنا بدي v برفع كله كأسل العدد e
يبقى بناء عليه يبقى ال v absolute value ل v يبقى e
أس ln x تربيع زائد واحد زائد constant c1 هذا
exponent العمره بياخد قيمة سالبة لأ إذا لا داعي لل
absolute value يبقى ال v اللي عندنا بدون absolute
بدها تساوي اللي هو e أس ln x تربيع زائد واحد في e
أس c one
يبقى ال v هي عبارة عن dx على dt احنا فرضينها v هي
عبارة عن dx على dt بدها تساوي هنا ال e وال ln عكس
بعض يبقى بصير x تربيع زائد واحد وهذه كلها بمقدار
ثابت بقدر أقول عليها c يبقى نتيجة c في x تربيع
زائد واحد تمام طيب بدنا نروح الآن نكمل الطرفين عشان
نحصل على x as a function of t
بناء عليه هذي هتصير أن ال x يساوي تكامل وين ال x؟
هذي dx على
x تربيع زائد واحد بده يساوي c dt إن كامل يبقى tan
انفرس x يساوي ct زائد constant c1
tan للطرفين يبقى بناء عليه هذا بدي يعطينا أن x
يساوي tan ل ct زائد c1 هذا هو حل المعادلة
التفاضلية يبقى احنا اخذنا مثالين المثال الأول كان
equation with x missing المثال الثاني كان equation
with t missing نأخذ مثال x missing و t missing لكي
نغطي هذا الموضوع إذا لا روحنا لمثال 3 مثال ثلاثة
بيقول المعادلة d square x على d t square زائد
dx على dt كله لكل تكعيب يساوي زيرو وهذا
اللي هي المعادلة star بعدين
وساوية 2T زائد كونستان C لو شلنا الجذر بصير V
تربيع يساوي 1/2 T زائد constant C لو
أخدنا الجذر التربيعي للطرفين يبقى هذا معناه أن V
يساوي DX/DT بيساوي زائد أو ناقص 1 على الجذر
التربيعي لـ 2T زائد constant C نكامل يبقى
الروح نكامل
جدّاش تفاضل الجذر يا بنات؟ تفاضل بـ 1/2
الجذر مظبوط بـ 1/2 الجذر طبعًا عندي 1
على الجذر إذا أنت كامل و بده يرجع كأنه هاش 2
الجذر صح ولا لأ؟ طبعًا مش هيجي في بالك وأنت بتحلي لو
جاكي هذا السؤال في الامتحان لكن بيقترح تقولي بدي
أحط تعويضة بيقول لي أحط تعويضة ما عندناش مشكلة يبقى ليه
2T زائد C يساوي متغير دي وليكن W إذا دي W ساوي 2DT
وبالتالي بيصير التكامل 1 على جذر الـ W دي W بس
مضروب وين؟ في نص تفاضل تحت ال letter بيطلع 2 مع
نص مع السلامة يبقى التكامل دغري automatic بده يطلع
أن الـ X يساوي زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ 2T زائد
constant C زائد constant ثاني C2 الشكل اللي عندنا
طيب
لو واحدة فاكرة تحل بالطريقة الثانية بالطريقة
الثانية فبتقول مثلًا أنا ما بديش أحل بالطريقة هذه
قبل أن أحل بالطريقة الثانية يعني بدي أعتبر أن الـ
term missing إذا بدنا نيجي لهنا another solution
حلقة
يبقى هذه equation star is a differential equation
والـ T missing بيقول أن أنا ماشي يمسك يمسك يمسك يبقى
part أعطينا أن دي X على دي T بدها تساوي الـ V يبقى
دي square X على دي T square بدها تساوي دي V على دي
تي يعني دي V على دي X في دي X على دي T يعني V في
دي V على دي X يبقى المعادلة سترها تصبح بالشكل
التالي V في DV/DX زائد V تكعيب يساوي جدّاش Zero
هذه ممكن أخد V عامل مشترك بظل DV/DX زائد V
تربيع يساوي جدّاش يساوي Zero يبقى هذه إما V تساوي Zero
أو DV/DX بدها تساوي سالب V نرجع هذه تساوي
Zero وبالتالي نجلناها لوين؟ على الشجرة الثانية يبقى
يا بنات هذه اللي هو DV/DX أو كدغري DV/DX بدها
تساوي Zero وهذه بقدر أعمل لها فصل للمتغيرات لما
نعمل فصل للمتغيرات بصير سالب DV على V تربيع بدها
تساوي كده؟ بدها تساوي DX تمام هذه لو جت كملتها يبقى
الـ V بدها تساوي كونستانسيا مثلًا طيب الـ V هذه هي
عبارة عن .. اه هذه مش V هذه DX/DT DX/DT
يبقى هذه الـ X بدها تساوي كونستانسيا ناسها ده حل
صحيح مظبوط لأن الهدى لو اشتقته مرة واتمهى واشتقته
مرة في Zero وكمان مرة في Zero يبقى بصير الـ Zero
زائد Zero يساوي Zero يبقى هدى أحد الحلول حل مقدار
ثامن هدى بمجرد النظر ممكن أجيبه أصلًا من هناك لكن
احنا ما بنقش الحل اللي بمجرد نظره هذا أحد الحلول
لكن روحنا جبنا حل ثاني هيو عندنا هنا إذا احنا
بدنا نروح ندور على الحل الثاني هذا بقوله بسيطة إذا
هذه لو كملتها يا بنات تكملها بـ -1 على V مظبوط؟
سالب 1 على V مع سالب 1 على V بيصير 1 على V
بيساوي X زائد Constant C
هذه المعادلة اللي عندنا بدي أجيبها يبقى لو جيبناها
إيش بصير؟ بصير الـ V تساوي 1 على X زائد constant
C احنا بدنا .. بدنا نشيل V .. V هذه عبارة عن DX على
DT يبقى DX/DT يساوي 1 على X زائد مين؟ زائد C
يبقى الـ X زائد C كله في DX بدها تساوي مين؟ إذا كملت
الطرفين يبقى هذي بيصير X تربيع على الـ 2 زائد CX
بدها تساوي T زائد constant C2 لإنه سمينا هنا C1
وسمينا هنا C بشأن أغير هذا الرمز اللي موجود عندنا
مضروب في 2 مشان نرتاح من الكثرة إذا المعادلة
هادى طبعًا هادى بتنزل زي ما هي X يساوي C1 وهادى
بيصير X تربيع زائد 2CX يساوي 2T زائد
2C2 شو رأيك نعملها معادلة صفرية يبقى لو
عملناها معادلة صفرية لأن هذا حل ضمني ما فيش فيه X
يساوي بس هنا احنا طلعنا X يساوي إذا أنا بدي أحاول
الحل الضمني هذا أجيب له X as a function of T زي
اللي هناك يبقى باجي بقول له هذا X تربيع زائد 2
CX ناقص 2T زائد 2C2 كله بدها تساوي Zero
يبقى هنا الـ X تساوي الـ C1 وهنا الـ X تساوي ناقص
B يبقى ناقص 2CX زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ B
تربيع 4C تربيع X تربيع ناقص 4 ألف اللي هو
بواحد جيم اللي هو المقدار اللي عندنا هذا تمام
بالناقص مع الناقص بصير الزائد وهنا 2T زائد
2C1 كل هذا الكلام مقسومًا على 2 في 1
نكمل فوق بشكل كله يشوف يبقى هذا بروح نمسح هذا
الجزء وبنخلي الحل تابعنا هذا عشان نقارنه معاه يبقى
المصير عندنا X يساوي C1 و X يساوي فالعيال هنا
4 و 4 تطلع بره بإثنين مع إثنين الله يسهل
عليها مع إثنين اللي تحت يبقى الدعوة تصير CX مش X مش X
مش X مش X مش X مش X مش X مش X مش X مش X مش X مش X
مش X مش X مش X مش X تربيع 2ZX جِبنا هذه
بالكامل على الشكل التالي زي الترسيكي تعويني الـ X
طالون العام طالون العام هي المعادلة عندنا بشكل X
يساوي ما حصل على هذي الشيء ما أعرفه وداليه قالوا هذي
الشيء طبعًا طبعًا والله أصلًا تبرا وأقطعهم طالون
العام يبقى 2 تأخذ من الـ 4 من الـ 4 تطلع
طبعًا 2 مع 2 هذي بتروح مع السلامة يبقى صورة
X يساوي اللي هو ناقص C X يساوي ناقص C زائد أو ناقص
الجذر التربيعي لـ C تربيع اللي هو زائد 2T زائد
2C1 بالشكل اللي عندنا ياها يعني اما ما اتها دي
مادة بكتبها X يساوي C1 و X يساوي نقص C زائد أو
ناقص الجذر التربيعي هذا 2T وهذه C تاريخية زائد
اللي هو 2C1 هذا كله مقدار ثاني مظبوط؟ وهذا
كله كذلك مقدار ثاني يبقى بدل أكتر بالـ X يساوي X
زائد أو ناقص الجذر التربيعي 2T زائد C ثاني شيلت
هذا كتر المقبل وحطيت مداله فيان C ثاني وهذا بدها
أشيله وأتبعه C4 يبقى صار إيش؟ الـ exercise هذا
من نتيز زي الطلوسة وزي الطلوسة الثاني بقى وهذا
نتيز زي الطلوسة وزي الطلوسة الثاني بقى تمام؟ إذا
الحل اللي فوضى والحل الثاني هو نفس مين؟ الحل
الأول بلا منازل لا حد إلا نستطيب انتهاءنا من هذا
الـ section وإلى يكون أرقام المسائل يبقى هذا
exercises 1 2 المزاد إلى الثانية 3
5 7 8 9 11 8 9 11 رقم
12 بعدها 15 17 15 17 18
19 20
وصلنا الآن لمسائل عامة على هذا الشخص سأخبركم من
خلال كلمة
على الـ additional exercises يبقى الـ additional
exercises يستخدم سؤال رقم 9 سؤال رقم 9 بيقول
solve the differential equation فهي المعاملة
القولية 3X وقت تربيع الواهية time بتساوي 3
وقت كيب زائد 2X زائد 3/2 الدرج
التربيعي لـ X كثير زائد وقت كيب
عشان أنا بشتغلش على section محدد أنا بدي أشوف ما هو
المناسب لحل هذا السؤال قاعد يبقى بطلع هذا بدي أشوف
أن سي فرابورد، لينيا، اجزاك، كوموديينيا اسمها
المناسب سؤال آخر أنها لينيا ولو عمره الرمضاني لأن
الجيل اللي قادر يحتترمه على X 100 هو اللي بيحط
دينها على الشكل الآن هذه exact بمعنى مستقبل تالي
بالنسبة لي الواقعي كثير ومستقبل تالي بالنسبة لي
الواقعي مستقبل تالي بالنسبة لي الواقعي 3 ومستقبل
تالي بالنسبة لي الواقعي 3 عضوات تالية ونفسها
توصلك لواقع العدو للجيل اللي تفضل من تحت الجيلي يبقى
تجي تقرع وتجسمي في نهاية أو في منتهى التعقيد يبقى
كمان الـ exact حطيها على شكل فالتالف
موجود في نشوط هل بقدر أستخدم فكرة بدلالة X على Y
أو Y على X ولا لأ؟ إذا كنت تروح تقسم على مين؟ على
المختار اللي عندنا الآن لو ده سمينا معادلة هذه بصير
على الشكل مثلًا why are you sad 3 مع 3 بطوح
why ثانية مع واي ثانية بطوح وطول why عليك why عليك
هذا الشكل معاشر على الموضوع 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
يستخدم Y أس 3/2 يستخدم Y
أس
3/2 يستخدم Y أس 3/2 يستخدم Y أس 3/2 هذه
وهذه بيبقى الـ X أصلًا نص وتحت Y أصلًا نص يبقى X على Y
أصلًا نص يبقى هذه X على Y أصلًا نص تمام تمام طيب يا بنات
هذه مش يعتبر الجذر التربيعي لـ Y تكعيب يعني كأنه هذا
كل الجذر التربيعي
مظبوط هيك صح طيب تمام إيش رأيك هذه homogeneous
مظبوط قدرت أكتبها كلها على شكل Y على X أو X على Y
يبقى هذه homogeneous differential equation يبقى
مشان أحل الـ homogeneous بدأ أجيب له حق للـ V تساوي Y
على X يبقى Y يساوي X V V يبقى DY/DX يبقى V زائد
X في DV/DX إذا المعادلة هذه تأخذ الشكل التالي
V زائد X في DV/DX يبقى V زائد 2/3 شو رأيك
في هذه V والله 1 على V 1 على V يعني 1 على
جذر الـ V لإن 1 على V أصلًا نص وهذا الجذر التربيعي
إلى مين؟ لـ 1 على V كذلك الكل تكعيب زائد 1 طيب
هذه أظن أن الـ V بتروح مع الـ V بصير عندنا لو وديتها
عنا بتجي بشرسال بتروح معاه يبقى الـ X دي V/دي X
يساوي هاي 2/3 وهذا 1 على جذر الـ V في الجذر
التربيعي لمين؟ لـ 1 زائد V تكعيب كله على V تكعيب
طيب هذا الكلام يساوي 2/3 1 على V أس نص وهذا هو
الجذر التربيعي لـ 1 زائد V تكعيب وهذا V أس
3/2 تنفع؟ الجذر اللي فوق على الجذر
اللي تحت يعني صار عندي X في DV/DX يساوي 2/3
الجذر التربيعي لـ 1 زائد V تكعيب على V تربيع يبقى
نفس المتغيرات نفس المتغيرات يبقى هذا معناه أن V
أصعب أو من أصعب الأسئلة فيهم هذا احنا على نهلك
كمثال على هيك بيكون انتهى ال chapter تبع المعادلات
ال تفاضلية والمرة القادمة إن شاء الله بندخل في أول
section اللي هو ال matrices وال determinants
المصفوفات والمحددات يعطيكم العافية