موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم، نواصل ما ابتدأنا به في
المرة الماضية، آخر حاجة كنا بنتكلم فيها المرة
الماضية للـ infinite series، المتسلسلات اللانهائية
ووصلنا إلى الـ geometric series، اللي هي المتسلسلة
الهندسية، وذكرنا في المرة الماضية أن المتسلسلة
الهندسية على شكل summation لـ A R أس N minus one
حيث A الحد الأول، والـ R هو الأساس تبع المتسلسلة
وأخذنا على ذلك أربعة أمثلة، الآن بنذهب إلى المثال
رقم خمسة، اللي عم نسميه اثنين لأن الأربعة كانوا
مجموعة متآلفة، نجيب نقطة ثانية لأول واحدة كأنه يظهر
أنه ما لوش علاقة بالمتسلسلة الهندسية، بيقول لي
أعبر لي عن الـ number، واحد صحيح
و ثمانية وعشرين من مية، وثمانية وعشرين فوقها شرطة
هذه نسميها الكسور العشرية الدائرية، أو الكسور العشرية
الدورية، في المرحلة الثانوية هي نفس الكسور العشرية
اللي بتدرس في الثانوية هي نفس هذه، طيب الآن بيقول لي عبر لي
عن هذا الكسر العشري الدائر as a ratio of two
integers، ككسر قسمة رقمين على بعض، أو رقمين على
بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين
رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض
أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على
بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين
على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو
أو رقمين على بعض
أو رقمين على بعض، أو رقمين على بعض، أو رقمين على
بعض، طبعًا؟ يبقى هذا الكلام حاطينه على الشكل لأن
هذا، بدي أحاول أحطه بصيغة أخرى، يبقى هذا الكلام
بدي أساويه، هذه الواحد الصحيح زائد، بدي أجي
للتمانية وعشرين الأولى، هذه ثمانية وعشرين من مئة
،يعني ثمانية وعشرين على مئة، يبقى هذه ثمانية وعشرين
على مئة، بالداخل الـ 28 الثانية، 28 من عشرة آلاف، يبقى
هي 28 على عشرة آلاف زائد، بالداخل الـ 28 الثالثة
يبقى هي 28 على مليون زائد إلى آخره، يبقى
روحت كاتب الكسر العشري الدائر على شكل متسلسلة، لكن
المتسلسلة دي لسه ما بعرفش إيه شكلها الحقيقي، على شكل
متسلسلة، لأ، form معينة ما لهاش، يجب أن نقول الله أعلم
الواحد هو ده لحاله مستقل، ما لوش دعوة في باقي الكسور
يبقى هذا رقم صحيح، فباجي بقوله يا واحد خليك زي ما
أنت زائد، ايش بتلاحظه على كل الحدود اللي بعد ذلك؟ في
عامل مشترك اللي هو الثمانية وعشرين على مئة، بدي أخده
عامل مشترك من الكل، يبقى هاي 28 على مئة عامل مشترك
بظل واحد زائد واحد على مئة زائد واحد على عشرة آلاف
زائد زائد إلى آخره، ايش رأيكم في المقدار بين
القوسين؟ لو جيت قسمت الحد الثاني على الحد الأول كده
ايش بيطلع؟ بدي أقسم الحد الثاني على الحد اللي هو على مئة
بيطلع واحد على مئة، بدي أقسم الحد الثالث على الحد
الثاني، واحد على مئة، واحد على مئة، يبقى هذه نسبة
ثابتة، يبقى اللي بين قوسين عبارة عن متسلسلة هندسية
geometric series، الـ ratio تبعتها هي واحد على مئة، و
الـ a، والحد الأول هو واحد صحيح، طيب الـ series
هتسمى يا نايم، يبقى هاد الـ series converge ولا
diverge؟
Converge، ليه؟ لأن R أقل من واحد صحيح، الـ absolute
value، تمام، يتجلبين جثين هذه كلها Converge
Geometric Series
Convert geometric series because absolute value لـ R
يساوي واحد على مئة، أقل من الواحد الصحيح، تمام، يبقى هذه
converge، بالسبب أن الأساس تبع المتسلسلة أقل من
واحد صحيح، بناء عليه بنقدر نجمع هذه المتسلسلة، إذا
لو جمعناها، بنجمعها نقول الواحد اللي برة ما لوش دعوة
وثمانية وعشرين على مئة كمان خليك برة، احنا بدنا
مجموع المتسلسلة اللي جوا، الحد الأول واحد على واحد
ناقص الأساس، واحد على مئة، يبقى النتيجة تساوي واحد
زائد ثمانية وعشرين على مئة في، فلّع لي واحد ناقص
واحد على مئة، بيقول قد إيش؟ تسعة وتسعين على مئة، يعني
مئة على تسعة وتسعين، يبقى اللي جوا بين قوسين هي مئة
على تسعة وتسعين، تعالى نشوف، في اختصارات؟ نعم، في
اختصارات، يبقى المئة هذه بتروح مع المئة هذه، بظل
عندنا واحد زائد ثمانية وعشرين على تسعة وتسعين، في
اختصارات بين البسط والمقام؟ لا، ما فيش، ما فيش، بلاش،
يبقى هذا الكلام بده يساوي، المضاعف المشترك للاتنين
تسعة وتسعين، بصير تسعة وتسعين زائد ثمانية وعشرين
يبقى مئة وسبعة وعشرين على تسعة وتسعين، بالشكل اللي
أنا أنا، إذا الكسر العشري الدائر واحد وثمانية وعشرين
من مئة، الحقيقة القيمة العددية as a ratio هي مئة
وسبعة وعشرين على تسعة وتسعين، يبقى الكسور العشرية
الدائرية معناته ممكن أخلق منها متسلسلة هندسية، وأروح
أشوف المتسلسلة الهندسية هذه شو شكلها، وأستخدمها في
تحويل الكسر العشري الدائر إلى كسر اعتيادي، طيب، بدأ
أسألكم بعض الأسئلة الهامشية بس لمجرد التذكير، احنا
هيك سؤالنا انتهى، لو جيت قلت لك في عندي كسر عشري
بالشكل اللي عندك، ايه هذا؟ هاي اثنين، ثلاثة، أربعة
وحطيت لك شرطة على اثنين، وحطيت لك شرطة على الأربعة
بالشكل هذا، وقلت لك اكتب لي هذا شو بده يساوي، ايش
معنى هذا؟ حد بيقدر يقول لي؟ كدس الأربعة، كدس الأربعة،
مش سامع
اللي بيعرف يرفع يده، بدنا نفهم بس على شكلها، مش
هاد كله يستفيد، احكي
يعني الثلاثة بتطير؟ كمها ما لاقاش وجود؟ يعني بيظل بس
اثنين وأربعة... يعني أربعة وعشرين؟ اثنين صفر اثنين
صفر اثنين صفر اثنين صفر اثنين صفر اثنين صفر اثنين
صفر اثنين صفر اثنين صفر
يعني الصورة هي خطأ، وجهة نظر، وقد تكون وجهة نظر صحيحة
وقد تكون ليست وجهة نظر صحيحة، من
أين لك الصفر هذا؟ من أين جبته؟ مش دوري يعني؟ طيب،
إن شوفت رقم بهذا... بهذا الشكل، تمامًا ما دام فيه
إشارة على الحد الأول والأخير، اللي في النص قد ما
يكون إن شاء الله مئة حد، بيكونوا بالشكل كلهم ككتلة
واحدة، يعني هذا معناه ايه؟ معناته صفر اثنين ثلاثة
أربعة شرطة على الكل، در بالك، هاي معناه؟ خويف، طيب
خد شغلة ثانية، اللي هيجيها تقول لها على سبيل المثال
هاي صفر وهذا اثنين ثلاثة وهي أربعة، الشرطة على
الأربعة، أربعة أربعة، كويس؟ يبقى هذه الشرطة فقط على
الأربعة، يعني لو بدي أكتبه بدي أكتب الشكل هذا، هاي
هاي صفر
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
طبعًا عندك في التمرين في الكتاب مجموعة أمثلة بتيجي
خمسة، ستة أمثلة بشكل هذا، طبعًا ممكن تجده كسر عشري فقط،
ممكن تجد عدد صحيح مع كسر عشري، وهكذا، يبقى الكسور
اللي للعشرية الدائرية دي بدك تعملها بنفس التكييف، أو
نفس المفهوم اللي عملته لك هنا، وكل واحد بدك تخلق
فيه متسلسلة هندسية زي ما خلقنا هنا، ونجمعها، وبالتالي
بنحول الكسر العشري الدائر إلى كسر اعتيادي، وجهة هذه
الصورة أخرى لاستخدام المتسلسلة الهندسية غير
الأربعة أمثلة المرة اللي فاتت، هذا بيختلف كليًا عنه
طيب زي ما واحد فيهم المرة اللي فاتت كان cosine m
pi على خمسة، دتار m، شكله بيقولش متسلسلة هندسية، لكن
لما انفرطت واتعرفت على الحدود، لجيتها متسلسلة هندسية
صارت سالب واحد أس N على خمسة أس N، وروحنا جمعناها المرة
الماضية، طيب نعطيك كمان نوع آخر من أنواع الأسئلة
على الـ Geometric Series، يبقى example ثلاثة
بيقول لي الفاعل
Find the values of x for which the series
summation
ن ناقص
نصف أس N × ناقص ثلاثة كله to the power N convert
and
find the sum of the series
طيب ندى المثال مرة ثانية تقولى هاتلى قيم x بحيث أن
المتسلسل اللى قدامنا هادي convert يعنى ماهى القيم
التي تاخدها x حتى تكون المتسلسل هادي convert و
بعدها أكتر المجموعة تبع هذه ال series بعد ما تثبت
أنها converted بقوله بسيطة بطلع في ال series هذه
بقوله ال series هذه بدي احاول اكتبها بشكل آخر بشكل
آخر كيف؟ هذا السؤال و هذا السؤال يبقى هذا عبارة عن
كميتين مضروبتين في بعض كله to the power n يبقى بقدر
أقول المثال هذه على الشكل التالي summation من N
equal zero to infinity لناقص نصف في X ناقص ثلاثة كل
هذا to the power N أو إن شئتم فقولوا summation من
N equal zero to infinity لمين؟ لثلاثة على اثنين
بالموجب ناقص X على اثنين كله to the power N
هل هذه جيومتريك سيريز؟ كمية بين قوسين مرفوعة للقوة N
هو جيومتريك
سيريز
واضحة وضوح الشمس في رابعة أنها Geosys إن يبقى
Geometric عقوبة الخط تمام؟ حط إن بزيرو بصير الحد
الأول بواحد حط إن بواحد بصير القوس نفسه حط إن باثنين
بصير القوس تربيع حط إن بتلاتة القوس تكعيب وهكذا أجسم
أي حد على السابق له بطلع نفس النسبة اللي هي مين؟
ثلاثة على اثنين ناقص x على اثنين يبقى هذه convert
إلى الأساس تبعها هذا كان محصور بين واحد وسالب واحد
يبقى this is a geometric series تمام؟ يبقى بقى دي
بقوله the series اللي هي summation من n equal zero
to infinity لثلاثة على اثنين ناقص x على اثنين to
the power n converge if إذا كانت الثلاثة إذا كان
absolute value لـ R اللي هو absolute value لثلاثة
على اثنين ناقص x على 2 أقل من 1 معناه
أننا نروح نحل الـ inequality هذه ونطلع قيم x اللي
هو طلبها لأنها جالي هاتلي قيم x اللي بتخلي الـ
series هذي convert بقول له الآن يبقى ثلاثة على
اثنين ناقص x على اثنين أقل من واحد وأكبر من مين؟
من سالب واحد يبقى فكرة الـ absolute value طيب بدأ
أتخلص من الكسور وأروح بأضرب الطرفين في مين؟ في
اثنين يبقى هذا الكلام بده يطينا مين؟ بده يطينا سالب
اثنين أقل من ثلاثة ناقص X أقل من مين؟ من اثنين طبعا
الثلاثة هذه ليست لازمالة أنا بدي x بسيطة بقول
أضيف سالب ثلاثة لثلاثة أطراف يبقى هدف يعطيك ما يأتي
سالب ثلاثة وسالب اثنين بصير جداش؟ سالب خمسة أقل من
سالب x أقل من سالب واحد لما أضيف سالب ثلاثة زائد
اثنين بيظهر لنا من سالب واحد طب أنا ما بديش سالب x
بدي x فجأة بروح بأضرب ثلاثة أطراف ثمين؟ في سالب
واحد فجأة لو ضربت في سالب واحد بصير هنا خمسة وهنا
x وهنا واحد مضبوط مدام ضربت في كمية سالفة إذا تجلب
180 درجة لانكولات بدل ما كانت أقل من بيصير أكبر من يبقى
x أكبر من واحد وأقل من خمسة هذا معناه أن
الـ x موجودة في الـ interval واحد وخمسة أكبر من
الواحد وأقل من مين؟ من الخمسة يبقى اجابته على
مين؟ على السؤال الأول يبقى كل القيم اللي بتاخدها x
في الفترة من واحد إلى خمسة بحيث لا بتساوي واحد ولا
بتساوي خمسة كل القيم اللي بتاخدها بتخلي الـ series
الأصلية هذه معاها converge طيب خلال الفترة هذه
اللي الفترة عليها converge جالي هاتلي مجموع الـ
series بدي أعرف ما هو شكل المجموع بقوله بسيطة it's
sum المجموع تبعها بدي أديله رمز S يساوي الحد الأول
الحد الأول لما حطيت n يساوي Zero بقداش؟ بواحد على
واحد ناقص الأساسي الأساسي اللي هو ثلاثة على اثنين
ناقص x على اثنين يبقى هذا بده يساوي واحد على واحد
ناقص ثلاثة على اثنين زائد x على اثنين أو إن شئتم
فقولوا هذا الكلام بده يساوي 1-3 على 2 بضل جداش؟ ناقص
نصف يبقى 1 على ناقص نصف زائد x على 2 يبقى بناء على
المجموعة S في الدرس لو حددت البقامات كله على الثاني
بتنقلب لاثنين بيصير فوضى على مين؟ على x ناقص واحد
يبقى هذا مجموع الـ series في الحالة اللي عندنا هذا
يبقى هذا نوع ثاني من أنواع الأسئلة على مين؟ على الـ
geometric series
بنتنقل إلى سيريز ثاني اسمه telescoping series
discuss
the convergence or example
discuss the convergence of
the following series
if
the series converge find
الصم التليسكوبي شفته في الفيزياء هذا بيجرب اللي
بعيد مظبوط؟ والشغل اللي لا نستطيع رؤيتها بالعين
المجردة بنشوفها من خلال التليسكوب تمام؟ واحنا هنا
بنقول telescoping series يعني كأن الشغل إلها علاقة
في الموضوع في حكاية التليسكوب بنقول آه إلها علاقة
فيه تعالى نعطيك بعض الأمثلة على ذلك أول مثال بيقول
لي؟ نمرأ إيه؟ Summation من N equal one to infinity
لأربعة على أربعة N ناقص ثلاثة في أربعة N
زائد واحد بالعربي
في الـ series هذه هل هي geometric series؟ لأ يعني
مالهاش شكل الـ geometric بتاتا ولا حتى بتقترب منها
تمام؟ إذا هذه series منفصلة تماما عن الـ geometric
series بدنا نشوف نشوفها هل هي converge والله
diverge وإذا كانت converge بدنا المجموع تبعها
بقوله كويس طب خليني أتعرف على شكل الحدود تبعها
فبأجي بقوله هذي عبارة عن أربعة على خمسة حط n بواحد بصير
هنا كده؟ واحد هنا بصير كده؟ خمسة يبقى هذا واحد في
خمسة زي أربعة بدي احط n باثنين ثمانية ناقص ثلاثة
الخمسة في ثمانية واحد تسعة زاد أربعة على حط n بتلاتة في أربعة باطماش اطماش ناقص ثلاثة بتسعة في
حط تلاتة في أربعة باطماش واحد تلاتاش وهكذا يعني
أربعة أخماس أربعة على خمسة وأربعة على تسعة
في عشرة بتسعين ومية وسبعتاش ما فيش علاقة بتربط بين
أي حد واللي بعده بهذا الشكل اللي احنا كاتبينه
يبقى هذه لا هندسية ولا تجربة لها ولو طرحنا اثنين
من بعض بيعطينا نتيجة ولو جمعنا اثنين من بعض
بيعطينا نفس النتيجة إذا هذه الكلام مش قادرين نتلح
لح فيها طيب نحطها تحت التليسكوب كيف تحطها تحت
التليسكوب؟ التليسكوب بده يروح اكتب هذي بشكل جديد
طبعا احنا في الـ chapter 8 أخذنا الـ partial
fractions الكسور والجزيين بده يعمل هذي عصر ضرج
كثيرين ولا قسط فيهم زي الثاني قسطين مختلفين إذا بقدر
أعمله partial fraction بسهولة فبأجي بقوله هاي
الأربعة على أربعة n ناقص ثلاثة أربعة n زائد واحد
هاي الكسر الأول أربعة n ناقص ثلاثة زائد أربعة n
زائد واحد يبقى هذا من الدرجة الأولى والدرجة
الأولى يبقى بقوله a و b بنجيب الثابت a و b بروح أضرب
الطرفين في المقام تبقى الـ term اللي على الشمال
يبقى لو ضربت فيه بصير أربعة تساوي a في أربعة n
زائد واحد زائد b في أربعة n ناقص ثلاثة هذا لو جيت
فكيته بده يعطينا أربعة a N زائد الـ a زائد أربعة b N
ناقص ثلاثة b كله بده يساوي أربعة بدي أجمع يبقى هذا
أربعة a زائد أربعة b كله في N زائد a ناقص ثلاثة b
ليه ثوابت؟ نقرن المعاملات في الطرفين لو احنا قررنا
المعاملات في الطرفين شوفاش اللي بده يحصل يبقى لما
نقرن المعاملات في الطرفين بيصير عندي أربعة a زائد 4 a +
أربعة B يساوي كده؟ Zero لو جمعت على أربعة يبقى بيصير
إيه A زائد B بده يساوي من Zero المعادلة الثانية
هذه لو قارنتها بيصير A ناقص ثلاثة B بده يساوي كم؟
بده يساوي أربعة الآن أنا عندي معادلتين بيه مجهولين
بده أحل المعادلتين مع بعض وأطلع قيمة المجهولين
الاثنين هدول هذه ثلاثة B يبقى من الاثنين هذول بقدر
أقول ما يأتي بده أضرب المعادلة الأولى في السالب
بيصير سالب a سالب b بده يساوي Zero والـ a ناقص ثلاثة
b بده يساوي من أربعة لو جمعت الاثنين هدول مع بعض
بيروحوا معاه السلامة بقول عندي هذا قداش هذا بدي
يعطيك سالب أربعة بيه بدي أساوي أربعة يبقى بيه تساوي
قداش سالب واحد لما بيه تساوي سالب واحد يبقى إيه
بقداش إيه بواحد والـ a تساوي واحد يبقى أصبحت
المسألة اللي عندي على الشكل التالي summation من N
equal one to infinity الـ A عندي بواحد يبقى واحد ع
تلقى على أربعة N ناقص ثلاثة N ناقص لنبيب سالم واحد
على أربعة N زائد واحد بالشكل اللي عندنا
الشكل الجديد هذا سيحلل لنا مشكلة عويصة كنا لم نعرفها
قبل قليل هنا نشوف كيف سيحلل الإشكالية هذه من هذه الـ
series أنا أخذت المرة اللي فاتت أنه إذا الـ series
صعبة بنروح نحولها لـ sequence أو بنكوّل الـ sequence
of partial sums ومن خلال الـ sequence إذا كانت
converge يبقى الـ series converge وإذا الـ sequence
diverge يبقى الـ series diverge إذا ما بدي مش هروح
أكتب حدود الـ sequence كلها لأ بدي أكتب لحد أنه
need of لأن هو اللي بيهمني الـ S in يبقى لو جيت قلت
the interim of the sequence of partial sums S قبل
ما كتبوا بعض الشباب بيسألوا خطر شوف إيه الشكل
اللي صارمادام حطها تحت التليسكوب ده شبهش شكلها
بقولها بسيطة هاي شكلها القوس الأول بدي أحط أني
بواحد يبقى قداش الـ term الأول واحد ناقص خمسة الـ
course الأولى اللي حصلت عليه اللي ما كانت N بقداش
بواحد حط N باتنين بيصير ثمانية ناقص ثلاثة قداش
خمسة يبقى خمسة ناقص اثنين بأربعة بتمانية واحد تسعة
يبقى ناقص تسعة الـ term اللي بعده حط N بثلاثة في
أربعة باطمعاش ناقص ثلاثة بتسعة يبقى تسعة ناقص أربعة
في ثلاثة باطمعاش واحد ثلاثة عشر زاد وضلك ماشي لما توصل
للحد النون اللي هو واحد على أربعة N ناقص ثلاثة
ناقص واحد على أربعة N زائد واحد زائد إلى آخرهم يبقى
الآن أنا بدي أعرف الشكل الحد النوني اللي يديله
الرمز مين S N يساوي واحد ناقص خمسة زائد خمسة ناقص
تسعة زائد تسعة ناقص واحد على ثلاثة عشر زائد زائد إلى ما
شاء الله لغاية ما نوصل لمين لواحد على أربع ان ناقص
ثلاثة ناقص واحد على أربع ان زائد واحد هيروح جمعة N
من حدود الـ series جمع N من هذا الحدود يمثل الحد
النوني في الـ sequence of partial sums يعني زي ما
قدرنا في أول الـ section اللي بين أدينا اللي
عملناها المرة اللي فاتت جبنا S1 S2 S3 مجموعات
مجموعات دين مجموعة ثلاثة حدود لغاية ما وصلنا للـ S N
اللي هو مجموعة N من حدود الـ series طب تعال نجمع
سالب خمسة أموجة بخمسة مع السلامة سالب تسعة أموجة
بتسعة الحاجهم سالب واحد ع ثلاثة عشر وواحد ع ثلاثة عشر مع
السلامة هذا مع اللي جابله بقلش عندي الا term الأول
و term الأخير يبقى أسار شكل الـ SN هو واحد ناقص واحد
على أربعة N زائد واحد هذا مجموعة N من حدود الـ
series اللي هو يمثل الحد النوني في الـ sequence of
partial sum طب كويس بدنا نجي نشوف هل الـ sequence
هذه convergent أو divergent
1-1 على 4n زائد 1 الباقية كلها في المصرع لا تبقى
إلى الحد الأول والحد الأخير تمام؟ يمكننا أن نذهب
ونأخذ limit لـ Sn لما الـ N tends to infinity يبقى
limit لما الـ N tends to infinity لـ 1-1 على 4n زائد
1 الـ term هذا كله مقدش يبقى النتيجة كم؟ واحد يبقى
بناء عليه الـ sequence of partial sums convert يبقى
باقي بقول له so the sequence of partial sums
اللي هي واحد ناقص واحد على أربعة n زائد واحد
convert هذا بده يعطيك أنه the series اللي عند
مين هي اللي هي summation من n equal one to infinity
لواحد على أربعة n ناقص ثلاثة ناقص واحد على أربعة n
زائد واحد converge and its sum is مقدار
الـ limit للحد النوني إلى الـ sequence مكتوب معاك هذا
المرة اللي فاتت يبقى النتيجة يساوي 1 صحيح
بناخد مثال على التليسكوب يبقى هذا كان المثال رقم A
نذهب لرقم B يبقى
بيجي لـ B summation من N equal one to infinity تان
انفرس ان ماقص تان انفرس ان plus one أتاني سؤال
بالشكل هذا وقال لي شوف لهذه الـ series converge والله
diverge وإذا كانت converge بدنا نعرف قداش
المجموعة تبقى طبعا بقوله كويس يريد نتعرف على شكلها
يعني هبقى وفصلة وخالصة مش زي السؤال اللي جابله
بدي أعمله partial fraction وبعدين هذا partial
fraction نعمله خالص تمام؟ يبقى هذه تعويض مباشر على
طول الخط نقوله أه هذا الكلام بده يساوي نعرف شكلها
يبقى tan inverse one ناقص tan inverse two حطينا ان
بواحد هذا الـ term الأول Term 10 نضع N بـ 2 يبقى 10
inverse 2 مقص 10 inverse 3 زائد ونبقى الماشيين
لغاية ما نوصل لـ 10 inverse N مقص 10 inverse N plus
1 زائد إلى ما شاء الله بالمثل بدي أروح أجيب الحد
النوني في الـ sequence of partial sums فبجي بقوله
the nth term of the sequence of partial sums اللي
حديله الرمز sn is
بتكتب فوق هنا هيس ان بده يساوي tan inverse one
ناقص tan inverse two زائد tan inverse two ناقص tan
inverse three زائد tan inverse three ناقص tan
inverse four
زائد tan inverse n ناقص tan inverse n plus one يبقى
هذا مجموع N من حدود الـ series اللي هو يمثل الحد
النوني في الـ sequence of partial sums لما نحسبهم
يبقى هذا سالب وهذا موجب هذا سالب وهذا موجب هذا
سالب وهذا موجب هذا موجب واللي قبله سالب يبقى
مضالش إلا الحد الأول اللي هو 10 inverse 1 ناقص tan
inverse N plus one يساوي كم تان انفرس وان؟ لا يا
راجل ضل الخمسة وأربعين هو واحد يبقى ناقص ضل
الواحد هو الخمسة وأربعين يبقى اللي هي مين؟ باي
على أربعة ناقص tan inverse N plus one يبقى بنروح
ناخد limit للـ S N لما الـ N tends to infinity يبقى
limit لما الـ N tends to infinity للـ π على أربعة
ناقص تان inverse N plus one نهاية المقدار الثابت
بالمقدار الثابت itself
يبقى ناقص by على أربعة نتيجة يبقى بناء عليها
sequence of partial sums converged يبقى
ساعة الـ sequence of partial sums مين هي π على
أربعة ناقص ten inverse n plus one converge هذا بده
يعطيك the series اللي هي summation من n equal one
to infinity لـ ten inverse اللي هو n-10 inverse n
plus one كل هذا convert and its sum المجموع تبعها
is الـ is بده يساوي سالب π على أربعة المجموع تبع
هذه الـ series طيب احنا لما بدأنا الـ section أول ما
بدأنا الـ section قلنا في الـ section هذا بدنا ناخد
series مشهورة وقد برثناها ليها الـ geometric series
وقلنا بدنا ناخد أول اختبار من الاختبارات الستة
وحتى الآن لم نتكلم عن هذا الاختبار الاختبار اسمه
اختبار الحد النوني بنروح نكتب الاختبار هذا ونوقف
معاه نطرح قد التساؤلات ونحاول الإجابة عليها يبقى
باجي لنظرية theorem if
the series summation
من n equal one to infinity لل an converge then
limit لل an لما ال n tends to infinity بده يساوي
زيرو نيجي بعد هيك the nth term test for divergence
for divergence بنص على ما يأتي the series the
series اللي هو ال summation من n equal one to
infinity لل an diverge
diverge if limit لل an لما ال n tends to infinity
لا يساوي zero or fails to
exist
كل واحد يقرأ الكلام اللي كتبناه على اللوح ويتمعن
فيه كويس لإنه هتطرح عدة أسئلة من خلال النص اللي
موجود قدامنا على اللوح ونشوف إيش ممكن تجاوبه على
هذه الأسئلة
طبعا إجرى نظرية وإجرى ال test for divergence إجرى
اتنين
طلع لإن كاتب ال test for divergence يعني هذا
الاختبار يقيس التباعد ولا يقيس التقارب ما لهش علاقة
بالتقارب يبقى بيقيس بس تباعد المتسلسلة ولا يقيس
تقاربها تعال نقرأ من أول وجديد نقرأ لإتنين ون
نشوف إيش قصده يقول النظرية الأولى بتقول the series
summation على an converge لو كان ذلك صحيحا يبقى
then limit an لما ال n بده تروح للمعنى نهاية بده
يساوي zero يعني لو كانت ال series converge إذا ال
limit اللي هيبقى يساوي zero ال instagram مش بيقول
ال series اللي عندنا هذه diverged واجتاش لو روحت
أخدت limit للحد النوني لل series ولا جاته لا يساوي
zero لا يساوي zero يعني إنه بده يساوي رقم غير الصفر
اتنين تلاتة أربعة نص تلات أربع تمام or fails to
exist أو النتيجة بده تساوي infinite أو سالب
infinite تمام يبقى إذا ال limit لل an كان لا
يساوي zero أو does not exist بقول ال sequence ال
series هذه معناها by where دي بالكدقق معايا
واتخليش الخطوط أو الأسلاك تخش على بعضها طبعا
ما تفرق بين المعلومات ال sequence ومعلومات ال
series كل واحدة قائمة بذاتها السؤال اللي بده أطرحه
خليه بالكم معايا كويس أنا بعد ما قرأت النصين اللي
اتنين اللي عندنا هذا فهمت ما يأتي وشوفولي فاهمي
هذا صح ولا خطأ إذا كان خطأ بدنا نصحه وإذا كان صحيح
نعتمد ونمشي أعطاني series summation على n وقال يشوف
لهذه ال series هل هي converge ولا diverge بيقول
لطيب ما بروح باخد ال limit للحد النوني لهذه ال
series إذا ال limit للحد النوني يساوي صفر بقوله إذا
ال series converged ما ساوى صفر يبقى ال series
diverged عشان نتفاهم بقول كمان مرة أعطاني series
وقال لي شوف ليها converge ولا diverge بقوله ما فيش
مشكلة هذا الحد النوني وخذت ال limit إذا والله ال
limit ساوى zero بقوله إذا ال series converge ال
limit لا يساوي zero بقوله ال series diverge ونكون
خلصنا من هذه الشغلة تمام؟ إيش رأيك؟ إذا كان ال
limit ساوى zero بيكون ده converge إذا ما سواش zero
ممكن يكون diverge أو الاختبار فشل مش بالضرورة يكون
ده جد على ربّي كلامك اللي بتقوله فيه غلطتين مش واحدة
كمان بيقول ازميل كواش بيقول ازميل كواش باخد ال limit
للحد النوني إذا limit للحد النوني ساوى ال zero إذا
ال converge هاي اللي قاله النقطة الأولى النقطة
التانية بقول إذا ال limit
هذا لا تساوي زيرو يبقى إيه يا إما diverge يا إما
احنا مش عاقبينه يا إما diverge يا إما بيفشل
الاختبار تبعنا أنا بقوله الكلام فيه غلطتين حد بيقدر
يكتشف الخطأ الأول إنه مش صفر لكن لو ال series
converge لازم نطلع ل limit 0 لكن لو طلعت ل limit 0
مش صفر أيوة يبقى هذا التصحيح الأول لو أخدت ال
limit للحد النوني لل sequence وطلع لا يساوي zero لا
بقدر أقول converge ولا بقدر أقول diverge يبقى هذا
الخطأ الأول في الكلام اللي جاله يعني لو روحت خدت
limit للحد النوني ولقيت إن النتيجة تساوي الصفر بيفشل
الحد النوني في الحكم على ال series هل هي converge
أو diverge فما أسوي، روح دبر حالك بأي طريقة أخرى
وسأعطيك بعد قليل أمثلة وأخلّي الاختبار يفشل ونشوف
كيف هنحل الإشكالية هذه، تمام؟ يبقى النقطة الأولى
هو التصحيح الأول يعني الكلام اللي أنا قلته في
الأول غلط وصاحب هذا أثر على الخطأ تبعي كمان،
كويس؟ يبقى الصحيح أنه إذا ال limit كانت تساوي zero
للحد النوني لا بقدر أقول converge ولا بقدر أقول
diverge قد يكون converge وقد يكون diverge آه ده
قطع الأول صلحناه اتنجل الثاني لما تأخذ limit للحد
إنه نهو الطلع لا يساوي zero سواء كان الناتج رقم
أو كان الناتج على كل الأمرين ال series diverge
وليس الاختبار بيفشل بيفشل فقط إذا كان ال limit
للحد النوني يساوي zero تمام يبقى أروح وأخد ال
limit للحد النوني ساوى رقم يبقى ضايق ضايق آه استنى
شوية طب احنا في ال sequence نقابله في مكان يقول
لما ناخد limit للحد النوني ويساوي رقم ال sequence
converges مظبوط لذا أقول لك قبل خليل S هتخلي
الأسلاك تخش على بعض بيصير short في مخك بعدين، يبقى
ال series يا شباب هي جامع عناصر ال sequence،
جامعة، بس ال sequence لأ بنتقل من عنصر إلى ثاني،
من الثاني إلى الثالث وهكذا دون جامعة ومن هنا صار
فيه فرق ما بين الاثنين، هيقول واحد طب ما أنت لما
كنت ال series بتعرفها إيش كنت فيها واحد، بتجيبلي
ال sequence، آه أقولك صحيح بقيت أجيب ال sequence
of partial solve، بولدها من مين؟ من ال series اللي
موجودة مش بستخدم ال sequence الأصلية في الحكم على
ال sequence لأ بستخدم ال sequence اللي ولدناها من
ال series في الحكم على ال series يبقى ما ينطبق على
ال sequence لا ينطبق تماما على ال series هذا
الاختبار اسمه اختبار الحد النوني وهو أول اختبار
من الاختبارات الست اللي بدنا نستخدمها في الحكم على
series هل هي converge أو diverge حد إيه له تساؤل
قبل ما ناخد أمثلة على الكلام اللي قدامنا على اللوح
طيب احنا طرحنا أسئلة كتيرة يبقى نجي لأمثلة
examples
مثالات ناخد مثال واحد بكفي ما نكتب test the
convergence of
the following series
اختبرلي ال convergence تبع كل من المتسلسلات
التالية نمر واحد summation من n equal zero to
infinity لل N factorial على الف to the
power N
إذا أعطاني series بشكل هذا بقوله والله ما أنا عارف
خذ ال limit واتوكل على الله نشوف يبقى بجي بقوله
solution بدي
أخد limit للحد النوني لما ال n بدها تروح لما لا
نهاية يبقى ال limit لما ال n بدها تروح لما لا
نهاية لل n factorial على الف to the power n أظن هذه
ال standard معروفة من ال section اللي قبله 6 ال
limits المشهورة هذه رقم 6 فيهم قداش الناتج هنا على
نهاية لأن كانت هنا x to the power n على n
factorial ب zero قلنا لك لو جلبناها بيصير infinity
يبقى دي part 6 من some basic limits من النهايات
المشهورة، هذا رقم 6 فيهم مادام سوت infinity يعني
fail to exist، مظبوط؟ اللي هو النص من عندنا هذا،
كويس؟ يبقى ال sequence diverges، أخ العرب والكلام
لسه ميزة يبقى باجي بقوله by the nth term test
السيريز اللي هي مين؟ summation من N equal zero to
infinity للـ N factorial على الـ a to the power N
مثال آخر للـ divergence لا يزال هناك المزيد من
الأمثلة للمرة القادمة إن شاء الله تعالى