السلام عليكم ورحمة الله وبركاته بسم الله الرحمن الرحيم
أهلا طبعا بنرحب فيكم مرة ثانية مستكملة لمحاضراتنا
وكل عام بخير بمناسبة العيد إن شاء الله خلاله
هنتذكر إن شاء الله بس بسرعة المحاضرة الأخيرة قبل العيد
كان كنا بنتكلم عن نظرية اسمها الـ fundamental
theorem of cyclic groups طبعا كانت فيها ثلاثة أجزاء
الأول أن أي subgroup من cyclic group بتكون cyclic
أي subgroup من cyclic group بتكون cyclic الجزء
الثاني أي subgroup هيكون الـ order لها بيقسم الـ
order للـ group في حالة طبعا الـ cyclic group الشغل
الثالث لو كان عندي قاسم للـ order للجروب أو الـ
cyclic group أنا بقدر أوجد عليها subgroup بالجروب داخل
الـ cyclic group وبيكون لها نفس الـ order هناخد
مثال سريع في هذه الجزئية هنقول التالي example let
G generated by a with order الـ a بيساوي تلاتين
المطلوب list all subgroups
of G عندي
group Cyclic الـ G orderها تلاتين المطلوب مني
أجيب كل group Cyclic من الـ G تعالوا نشوف قليل
الحل قبل أن نبدأ الحل
cyclic group وبدور على الـ subgroups اللي موجودين
ضمن الـ group إيش هيكونوا الـ subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroup يجب أن نبدأ
من أين؟ من قواسم الـ order لمن؟ للـ G since order
الـ G بيساوي order الـ a؟ بيساوي تلاتين and
G is cyclic هذا مش معناته هذا معناته for any divisor
يقسم التلاتين there exist
a unique subgroup H of G with order HD الـ
subgroups المطلوب أن نجيبهم هم عبارة عن مجموعات أو
subgroups من الـ G الـ order له عبارة عن قواسم من؟
التلاتين في البداية هجيب قواسم التلاتين ولكل
قواسم هجيب الـ subgroup المناسبة the divisors of
تلاتين are من؟ واحد اتنين تلاتة أربعة؟ لأ خمسة ..
ستة .. عشرة .. خمسة عشر .. تلاتين طيب هدول القواسم
تبعون التلاتين الجزء الثالث من النظرية بيعطينا شغل
ثانية أن الـ subgroup هذي generated by مين؟
تذكروني for any divisor k of n generated by a أس
n على k now for H واحد إيش يعني H واحد يعني الـ sub
group من الـ G اللي الـ order إلها إيش واحد هذه
بتكون generated by مين؟ by a أس تلاتين على واحد
يعني generated by a أس تلاتين a أس تلاتين كده
الشباب a أس تلاتين الـ identity لأن الـ order على الـ a
بيساوي تلاتين يكبر هذا generated by الـ identity
ومافيش فيها غير مين مافيش فيها غير مين غير الـ
identity طيب H2
H2 يعني الـ subgroup للـ order اللي هتنين
generated by مين؟ by A أس ثلاثين على اتنين يعني A
أس خمسة عشر اللي عبارة عن الـ identity والـ A أس
خمسة عشر H3 عبارة عن generated by A أس ثلاثين على
تلاتة يعني by A أس عشرة يعني الـ identity a أس
عشرة a أس عشرين خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة حA أس 12 A أس
18 A أس 24 وبقف لأن A أس 30 هترجعني للـ
identity H6 عبارة
عن generated by A أس 30 على 6 يعني A أس 5
Identity أس خمسة أس عشرة أس خمسة عشر أس عشرين
أس خمسة وعشرين ابن جاف لحظة شباب H6 تحتوي
داخلها مين H3 وH2 ليش؟ لأن الخمسة
أو الستة أو التلاتة بتقسم الستة والتنين بتقسم
الستة طيب H مين بعد الستة؟ عشرة فهذا هيساوي الـ
identity a والتلاتة a والستة a والتسعة لعند a
والسبعة وعشرين وH خمسة عشر هتصير a a التربيع a
والأربعة لعند a والتمانية وعشرين وآخر واحدة H30 إلى
الـ generated by الـ A إلى الـ G نفسها طبعا يكسر
عندي listing لكل الـ cyclic subgroup أو لكل الـ
subgroup من الـ group G اللي الـ order إلها بيساوي 30
أي سؤال يا شباب؟ أي
سؤال؟
طيب لو خلينا هذا نفس المثال لكن على group معروفة الـ
generator إلها بشكل واضح يعني مش a كرقم لو قلنا
مثلا find all subgroups
of Z 30 إيش هنعمل؟ هنعمل نفس الفكرة اللي اشتغلناها
مع فرق واحد أن الـ A شمالها الـ
A معروف هو الواحد solution
الـ Z 30 عبارة عن generated by الواحد والـ order
للواحد 30 using the
same method in the last example
we get the following cyclic
subgroups
generated by الواحد الـ H1 الواحد ولا مين الواحد
ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا
مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين
الواحد
H5 الـ 0 الـ 6 الـ 12 الـ 18 الـ 24 وصولا لـ H30
اللي عبارة عن الـ Z30 نفسه واضح يا عادي؟ واضح يا
شباب؟ في كرولر عن مظهرية اللي فاتت
هي نفس الجزئية الثالثة من النظرية لكن على group
معروفة وهي Z,n for every k
يقسم الـ n there exists a unique subgroup
of ZN with order K namely generated
by مين؟ طبق الـ بند الثالث من النظرية السابقة لكن
على ZN هيكون واحد أس n على K اللي هو أبعد عن مين؟
n على k مش
بس هيك these are
the only subgroups
of Z طبعا مافيش غيرها مافيش غيرهم هدول لكل قاسم
للـ n هنلاقي subgroup الـ order إلها هذا القاسم وهي
generated by من؟ by n على القاسم طبعا هذا طبقنا
عليه المثال الموجود جانب دي مثال سريع for Z مثلا
عشرين عند من؟ generated by الواحد generated by
الاثنين generated by الأربعة generated by الخمسة
and generated by العشرة and generated by العشرين
دول هم الـ only cyclic subgroups لـ Z عشرين أيه
السؤال يا شباب أي سؤال سؤال عالسريع find the number
of subgroups of G generated by a if order a بيساوي
خمسة وعشرين
أوجد عدد الـ subgroups اللي موجودين في الجروب G
اللي الـ order للـ generator لها عبارة عن 25 نجيب
عدد قواسم الخمسة والعشرين ويكون هو عدد الـ subgroups
the divisors of
خمسة وعشرين are واحد، خمسة، وخمسة وعشرين يجب كموحدة
there are only three subgroups
of G فقط ثلاثة cyclic subgroups أو subgroups
موجودين هنا أنهينا السؤال المتعلق بعدد الـ cyclic
subgroup بيجي سؤال ثاني، السؤال الأول هو قداش عدد الـ
generator في الـ cyclic group؟ سؤال الثاني لو كان
عندي قاسم للـ order للـ group cyclic نقول لو كان
عندي قاسم فأنا بلاقي subgroup الـ order لهذا
القاسم لما أقول subgroup من cyclic والـ order
لهذا القاسم معناته أنها generator وهذا الـ
generator الـ order له بيساوي القاسم يعني لكل قاسم
لـ order الـ finite group cyclic بلاقي عنصر جوا الـ
لـ group الـ order إيه له هذا القاسم؟ طب السؤال كم
عنصر من هذا النوع بلاجي بلاقي واحد آه طب قداش
بالظبط عشان نقدر نعرف هذا الجواب هنعرف function
اسمه الـ Euler phi function هتدرس بالتفصيل في مساق
نظرية الأعداد definition
Euler Phi Function متعرفة
بالشكل التالي: Φ(1) = 1، if n
أكبر من واحد then Φ(n) يساوي الـ number
of integers less than
n and عدد العدد الصحيح اللي أقل من الـ n and
relatively
prime
with
طبعًا أنا بتكلم مش عن integers بس أنا ممكن أضيف
كلمة the number of positive integers
عشان ما حدش يروح يحسب لي الأعداد السالبة في ملاحظة
غير أن note that Φ(n) عبارة عن الـ order للـ
group ℤn
Φ(n) عبارة عن order لجروب ℤn وهذا من المنطقي
لأن جروب ℤn تأخذ الأعداد المحصورة بين الواحد و
الـ n والتي تكون relatively prime with الـ n، الـ n
أكبر من واحد ده، لكن أنا ما أعد الـ n بعد الأعداد
الأقل منها فلازم يكونوا positive عشان أنا أشغل صح
طيب كمثال سريع لو
قلنا Φ(2) كده؟
واحد كم عدد جاب للتنين لغاية الـ 10 مع التنين؟
في الـ 10
1، 3، 7، 9 قداش؟ أربعة Φ(10) كم عدد جاب
أي عدد أولي relatively prime مع p - 1، p is
prime طيب Φ(2k) قداش؟ قداش؟
الاعداد الـ relatively prime مع الـ power للتنين هي
الاعداد الفردية فقط اللي عبارة عن إيش؟ 2k - 1
لو قلنا Φ(pk) عبارة
عن إيش؟
pk
- 1
هذا بصورة عامة لهذه العلاقة عشان نعممها على الأكثر
if n بدأت عن p1k1، p2k2، and prkr هيكون
then Φ(n) بدأت عن p1k1 - p1k1-1، في p2 - p2
- p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2
- p2 - p2 - p2
والتفاصيل التفاصيل لكن بستعمل فيها concepts مش
موجودة عندي في هذا المساق أشتغل على الـ
multiplicative functions وبعض الأمور من هذا النوع
طيب
إيش دخل الـ function هذه في موضوعنا؟ هتيجي النظرية
الرابعة والرابعة وتوضح
بنخلصها إن شاء الله بضبط نظرية واحدة = رقم
معين let J = generated by a و نعتبر a
= n
d يقسم n طبعًا d يقسم n احنا هيك بنقول إن
يوجد only one subgroup of order d namely
generated by an/d هيت السؤال قداش عدد الـ
generator then the
elements or the number of
elements
in J with order d is Φ(d) عدد العناصر في J اللي
الـ order لهم بيساوي d بيساوي إيش؟ Φ(d) نيجي نثبت
نيجي
نثبت العلاقة
الرابعة ثلاثة part c إيش الـ part c في النظرية هذه
بيقول؟ there exist a unique .. طبعًا there exist
unique subgroup of
J with order d
namely
generated by an/d طيب
هل جيت؟ مدة ما فيش غير هذه الـ subgroup الـ order
اللي هي d، فالعناصر للـ order اللي هي d ممكن تكون
موجودة برة
الـ uniqueness لهذه الـ subgroup بخليني أقول إنه
جميع العناصر اللي الـ order لها d واللي موجودة
دي هي هذه الـ subgroup، هذا معناته all elements in J
with order d are in this subgroup طيب
كل
العناصر للـ order اللي d موجودين هنا يعني بـ أنا
عرفت أكمع عنصر الـ order اللي d في هذه الـ subgroup
بكون خلصت now each
one of these elements
is a generator of
this subgroup
ليش؟ العنصر هذا الـ order له d وموجود في group الـ
order له d إيه بيكون لها؟ بيكون لها مولّب، بيكون
generator Now if
generated by an/d ممكن أكتبها generated by
p with order p = d then the other
generators
are of the form
pk والجريس common divisor لـ d و k، و d = 1 رجع
ليش؟ لنظرية اللي أخذناها في أول الchapter إن الـ
generator أو الـ .. الـ .. حيكون عبارة عن عناصر الـ
order أو الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. الـ power تبعها
لـ pk الـ divisor إلها relative لبرايم مع order لـ
group نفسها كم كيب اللاجي كم
كيب اللاجي relative لبرايم مع d يا شباب and we
can find .. find Φ(d) of this such k بقدر ألاقي
Φ(d) من هذه الأرقام k so the number of elements
in J with order d is Φ(d) وهو المطلوب
اللي صار كانت ثانية يا شباب أنا بدور على عناصر للـ
order d نقلت المسألة من إني أبحث في الـ J كلها
لإني أبحث وين في الـ subgroup للـ order d ميزة
العناصر هنا للـ order d إنها generator أنا عشان
أعد كام generator بأخد واحد من هذه الـ generators
فليكن p وباقي الـ generators عبارة عن pk و
الـ k relative لبرايم مع مين؟ مع الـ d كم عنصر بقدر
أجري relative لبرايم مع الـ d وأجال من الـ d محصوب من
الـ d والواحد وعبارة عن Φ(d) وبالتالي وجد Φ(d)
subgroup
وحيدة في الـ G لكن كم element بولدها وحيد
يعني مثلا الـ z يوجد في الـ z 30 only subgroup of
order 15 هي generated by a 2 طبعا الـ a 2 في الـ z
30 يعني هي by 2 بس كم generator للـ generated by
2 في الـ z 30 بولد
الـ generated by 2 ما تقوليش فيه 2 لأ فيه 30
على 2 فيه 15 لو أعتقد بيطلع ثمانية طيب ناخذ مثال
رقمي من في الـ chapter then
find the
number of elements in
z 40 with order 20
كم عنصر في z 40 الـ order لهم 20 فعل
20 هذه النظرية اللي قدامك سهلوشين هناك
فايل 20 فايل
20 كده فايل 20 ثمانية تقدر
تجيبهم
تقدر تجيبهم؟ هذه العناصر الأخضر إلها ثمانية تعالوا
نفكر We to find them We
find one Let
مثلا a ينتمي لـ زد 40 و order الـ a بيساوي إيش؟
20 الـ a إيش هيساوي؟ مين هو العنصر اللي في زد
40؟ أو أول واحد من العناصر اللي في زد 40
اللي الـ order له 20؟
الـ a أو
find ممكن ناخذ الـ a عبارة عن واحد اضرب 40 على
20 اللي هو عبارة عن 2 واحد اضرب 20 و
واحد اضرب 2 اللي هو 2 في زد 40 إيه
بالعنصر اللي الـ order إيه له 20 أو واحد العناصر
اللي الـ order إيه له 20 في زد 40 هو مين الـ
other elements are
ثانية نقص ثانية
نقص تسعة
أو سبعة في الأول ثانية نقص تسعة ثانية نقص أحد عشر
ثانية نقص ثلاثة عشر ثانية نقص 17 2 19 2 6 14 18 22 26
34 38 هذه هي العناصر اللي الـ order لها يساوي 20 في
z 40 تمام
ما هو هذا زد n الاص بيصير 2 اص 1 يعني أنا
واحد في 2 2 2 اص 3 أنا 3 في
2 6 2 اص 1 هذي لأ هذي سهلة هنفوت
هناخد جزء discussion مناقشة طبعا محاضرة الجزء اللي
ضال من محاضرة اليوم زاد المحاضرة اللي هناخدها
الساعة 12 زاد محاضرة الاثنين هنناقش فيهم مجموعة من
أسئلة chapter 4 ما بعرف هل هنخلص أو لأ إذا ما
خلصنا ممكن ناخذ محاضرة الأربعاء أو محاضرة تعويضية
للمناقشة أنا همسح الجزء هذا طبعا
زي ما أنت شايف هذا الـ chapter الأسئلة عددها كبير
يعني ما يقارب حوالي من خمسة وربع لخمسين سؤال ف أنا
مش هعمل زي الـ chapter الفاتح اللي الجميع هي بعض
الأسئلة هعطيك مساعدة إليك فيها و أنت تكمل يعني
خصوصا الأسئلة من واحد لخمسة عشر إما أسئلة حسابية أو
أسئلة سهل إن الطالب يقدر يعرفها لوحده
السؤال الأول find all generator of z6, z8, z20
طبعا الـ generator غيرنا عبارة عن مين؟ لو طلعنا على
نظرية أو corollary لنظرية الأولى كان بيقولك الـ
generator لـ zn هي عبارة عن مين؟ عن الأرقام اللي
relative لـ برايم مع الـ n اللي هي فعليا عبارة عن إيش؟
عناصر الـ UN فلو داشت على زد 30 أو زد 20
منهم ما هيكونوا 1 و 3 و 7 و 9 11
13 17 19 أعتقد حلنا السؤال على ز
30 أثناء الحل لو دينا سؤال 2 Suppose that
A, B or generated by A, generated by B, generated
by C are cyclic group of order 6, 8, 20 Find all
generators generated by A, generated by B,
generated by C حلنا سؤال على هذا النمط، لو اشتغلنا
مثلا على generated by C و الـ order لـ C بدي يساوي
20 فـ generated by C هو نفسه generated by C تكعيب
Generated by C أس 7 Generated by C أس 9
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9
Generated by C أس 9 Generated
by C أس 9 Generated by list all elements of the
subgroups generated by 20 generated by 10 in z 30
let a,b طبعا سؤال 3 هو نفسه 1 و 2 لكن
على مين على الـ order 30 تقل
السؤال الرابع when
C plus 1 هي نفس الـ C سؤال
4 زي سؤال 3 سؤال 5 في شغل نشغل في U20 يو
20 جداش يا شباب؟ 1، 3، 7، 9، 11،
13، 17، 19 List the elements of
generated by 3 و 7 ناخذ generated by 7
مثلا اللي عبارة عن الـ 1 الـ 7 7 تربيع جداش؟
49 مدة 20 جداش؟ 9 7 تكعيب يعني
7 في 9 63 قصتين 3 7 أس 4 يعني
7 في 3 يعني 21 و 1 طبعا
generated by 3 عبارة عن من؟ 1 3 3
تربيع 9 بعدين 27 7 بعدين 1 بعدين
طيب سؤال الـ 6 what do exercises 3 و 4 و
5 have in common try to make a generalization
that includes these three cases أنت لما تحل سؤال
3 و 4 و 5 إيش بتستنتجه؟
إيش الاستنتاجات اللي ممكن تستنتجها؟ لو طلعنا على 5
هنستنتج أن الـ generated by الـ element و الـ
generated by الـ inverse تبعهم نفس الشيء طيب لو
جينا للسؤال 4 list the elements of the subgroups 3
and 15 in Z18 الـ 3 و الـ 15 في Z18 شمالهم
برضه inverse لو جينا للسؤال 3
10 و 20 في زي الـ 30 شمالهم برضه inverse
يجب الاستنتاج تبع سؤال 3 أو 4 أو 5 اللي
أنا بدي أحطه في سؤال 6 أنه generated by الـ a
generated by الـ a inverse وهذا أثبتناه في chapter
3
طيب 7 find an example of a non-cyclic group all
of whose proper subgroup are cyclic اعطيني group
not cyclic لأن كل الـ subgroup اسمينها cyclic ما ارت
علينا في الـ chapter اللي فات خدناها D6
و D4 أي واحدة من الـ D
بتكون صحيحة D4 أو D6 أو D8 بكون
صح الـ U8 سائق لك الـ U8 صح
صح الـ U8 8
let a be an element of a group and let order a
بيساوي 15 compute the orders of the following طبعا
هذا سهل مثلا الـ order لـ a أس 9 عبارة عن عبارة عن
إيش الـ order لـ a أس k عبارة عن إيش في نظرية في أول
واحدة خدناها and على الـ order لـ a of k عبارة عن n
على الـ gcd لـ n و k يعني عبارة عن
15 على gcd لـ 15 و 9 فتطلع
5 طبعا نفس القصة في b و نفس القصة في c
سؤال 9 how many subgroups of Z20 توحي لنا توحي
لنا يا شباب في Z20 كم subgroup اللي أجي؟ عوامل الـ 20
عوامل الـ 20 أو عوامل الـ 20؟ لأ عوامل الـ 20
generator لكن subgroup إحنا قلنا فيه عددين عدد ال
subgroups اللي هو عدد القواسم لكن عدد ال generator
اللي هو ال file عدد القواسم من ال 20 جديش 1، 2، 4،
5، 10، و 20 طبعا سهل أنك تتعامل مع هذا السؤال سؤال
10 انزد 24 list all generator سؤال 10 زي سؤال 9
سؤال 11 generated by ال A inverse ممكن تساوي
generated by D
أه كيف نثبتها دي في
طريقة ثانية أما طريقة الـ C3 answer hand موجودة
هنا والعكس أو طريقة مباشرة generated by ال A
عبارة عن ايش عبارة عن ال A to K I to K من وين
هو نفسه عبارة عن a أس سالب k حيث سالب k في زي اين
طب a أس سالب k عبارة عن ايش a inverse أس k حيث k
في زي اللي هو عبارة عن generated by a inverse طبعا
السبب أن هذه الجملة K في Z و A to K تكافئ A و سالب
K و سالب K في Z هجيتها دي خلتها زي ما هي سالب K في
Z تكافئ أن K و A موجودة في Z بصر Generated by A هي
نفسه Generated by A inverse إذا كان حاسس أنك مش
فاهم هذه الطريقة بإمكانك تاخد answer هنا عنصر P
ينتبه الـ generated by الـ A فعبارة عن ال A to T
فهو نفس ال A inverse السلب T فصار العنصر موجود في
generated by ال A inverse والعكس صحيح السؤال
12 in Z find all generators of the subgroup
generated by تلاتة طبعا
في z generated by التلاتة عبارة عن ايش يا شباب
generated
by التلاتة في z صفر موجب سالب تلاتة موجب سالب ستة
موجب سالب تسعة إلى آخرين بدنا ال generator لهذه
ال subgroup ال
generators عبارة عن
التلاتة ومين كمان؟ والسالب تلاتة حالي بيقدر يقول
لي ليش ماخدتش غيره؟ أنا لو أخدت الستة، الستة مش
هتولد التلاتة، أنا بشغل في infinite الجهود، لو
أخدت التسعة، التسعة مش هتولد الستة، يعني مافيش
جدام غير مين؟ موجب سالب تلاتة طب هنتعميمها في ال
infinite order ال generator by a تكييب هي نفس ال a
تكييب وال a والسالب تلاتة هننهي عن السؤال تلتاشر
إن شاء الله بنكمل في محاضرة اليوم الساعة اتناشر
بقى في الأسئلة يعطيكوا العافية كل عام تبقى مرة
ثانية