1
00:00:22,350 --> 00:00:26,430
بنكمل برهان اللمة اللي ابتدأنا فيه المحاضرة

2
00:00:26,430 --> 00:00:30,950
الماضية طبعًا اللمة هذه عبارة عن ثماني نقاط برهان

3
00:00:30,950 --> 00:00:36,090
منها اللي هو خمس نقاط بنجي الآن لنقطة السادسة

4
00:00:36,090 --> 00:00:43,270
النقطة رقم ستة بيقول لي أن ال order للـ A H يساوي ال

5
00:00:43,270 --> 00:00:50,110
order للـ B H المقصود من ذلك أنه لو عملت أي left

6
00:00:50,110 --> 00:00:54,430
coset أو right coset لـ subgroup من الـ group

7
00:00:54,430 --> 00:00:59,690
الأساسية بدي يطلع في كل left coset نفس العدد من

8
00:00:59,690 --> 00:01:03,810
العناصر أو لو كانت right cosets بضبط بدي يطلع في

9
00:01:03,810 --> 00:01:09,290
كل اثنتين أو كلهم هيطلع في كل واحدة فيهم نفس العدد

10
00:01:09,290 --> 00:01:14,770
من العناصر يبقى order للـ A H يساوي order للـ B H

11
00:01:14,770 --> 00:01:20,510
لكل الـ A والـ B الموجودة في group G يبقى هذا صحيح

12
00:01:20,510 --> 00:01:27,460
لكل الـ A والـ B الموجودة في group G مشان نثبت أن

13
00:01:27,460 --> 00:01:30,700
ال order لـ group يساوي ال order لـ group قولنا يكفي

14
00:01:30,700 --> 00:01:33,940
نثبت أنه في function ما بين الاتنين والـ function

15
00:01:33,940 --> 00:01:38,000
تبقى one to one and onto هذا بيعطيني أن عدد

16
00:01:38,000 --> 00:01:44,140
العناصر في الأولى يساوي عدد العناصر في الثانية لذلك

17
00:01:44,140 --> 00:01:47,940
بدي أجي أبرهن هذه النقطة بقوله define

18
00:01:51,950 --> 00:02:01,920
في من الـ A H إلى الـ B H بالـ Phi لما تأثر على

19
00:02:01,920 --> 00:02:07,520
أي بدي آخذ element من H وليكن A H بوديها للـ B H

20
00:02:07,520 --> 00:02:15,440
يبقى بده يساوي B H الكلام هذا صحيح لكل الـ H اللي 

21
00:02:15,440 --> 00:02:20,920
موجودة وين موجودة في H بدي نثبت هذه one to one and

22
00:02:20,920 --> 00:02:30,880
onto يبقى باجي بقوله في هذه الحالة Phi is one to

23
00:02:30,880 --> 00:02:39,040
one Assume بروح آخذ صورتين متساويتين أن Phi of A

24
00:02:39,040 --> 00:02:48,390
H1 يساوي Phi of A H2 بدي أحاول أثبت أن الـ A H1 يساوي

25
00:02:48,390 --> 00:02:53,570
الـ PH1 يساوي الـ PH2 إن تم ذلك يبقى بيصير PH1 to

26
00:02:53,570 --> 00:03:00,070
PH1 بناء على التعريف يبقى هذا بيساوي BH1 وهذا

27
00:03:00,070 --> 00:03:08,310
بيساوي BH2 بالـ left cancellation law هذه بتعطينا

28
00:03:15,660 --> 00:03:22,020
لو ضربت الطرفين من جهتي اليسار في a بيصير a h1

29
00:03:22,020 --> 00:03:27,420
يساوي a h2 وبالتالي Phi is one to one

30
00:03:33,850 --> 00:03:41,170
بتروح وآخذ element من الـ codomain وأثبت إنه أصله

31
00:03:41,170 --> 00:03:45,590
وين في الـ domain يبقى بدي أجي على الـ BH بدي آخذ

32
00:03:45,590 --> 00:03:50,430
element منها وأثبت إن هذا الـ element له أصل في

33
00:03:50,430 --> 00:03:57,330
domain في الـ A H يبقى باجي بقول افترض إن X موجود وين

34
00:03:57,330 --> 00:04:03,350
موجود في الـ B H تمام؟

35
00:04:03,690 --> 00:04:13,470
يبقى then الـ X هذا بده يساوي B H for some H اللي 

36
00:04:13,470 --> 00:04:22,190
belongs to domain to H طيب هذا أليس هو B H طبقا اللي

37
00:04:22,190 --> 00:04:28,900
التعريف هو Phi of A H معنى هذا الكلام أن Phi is on

38
00:04:28,900 --> 00:04:32,520
to خلاص

39
00:04:32,520 --> 00:04:40,800
ننتهي هنا منها يبقى هنا Sir Phi is one to one and

40
00:04:40,800 --> 00:04:50,090
on to وهذا يتطلب أن ال order للـ A H هو order للـ B H

41
00:04:50,090 --> 00:04:55,610
يبقى من الآن فصاعدًا لما نأخذ subgroup من الـ group

42
00:04:55,610 --> 00:05:00,970
أجي واضرب أي element من G في هذا الـ H من جهة

43
00:05:00,970 --> 00:05:05,690
الشمال أو جهة اليمين إن شاء الله يطلع عنده مائة

44
00:05:05,690 --> 00:05:11,030
cosets يبقى المائة كل واحدة فيها نفس العدد من

45
00:05:11,030 --> 00:05:15,210
العناصر فيها عشرين يبقى الثانية فيها عشرين الثالثة

46
00:05:15,210 --> 00:05:20,010
عشرين إلى آخره وهكذا هذا بالنسبة للنقطة رقم ستة

47
00:05:20,010 --> 00:05:26,770
بنجي للنقطة رقم سبعة يبقى النقطة رقم سبعة بتقول إن

48
00:05:26,770 --> 00:05:35,690
الـ A H بده يساوي الـ H A if and only if الـ H بده

49
00:05:35,690 --> 00:05:44,610
يساوي A H A inverse بدنا نبرهن صحة هذا الكلام لـ

50
00:05:44,610 --> 00:05:51,030
prove خلّي أبقى لك هنا الآن الوضع سيكون في اتجاهين

51
00:05:51,030 --> 00:05:56,350
لكن ممكن نجيب الاتجاهين مع بعض مرة واحدة الآن

52
00:05:56,350 --> 00:06:01,990
إذا كنت قاعد أقول له A H سيكون H A if and only

53
00:06:01,990 --> 00:06:09,900
if لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في الـ A 

54
00:06:09,900 --> 00:06:17,600
inverse يبقى هذا الكلام بيصير A H A inverse بالشكل

55
00:06:17,600 --> 00:06:24,720
اللي عندنا هذا يساوي H A في الـ A inverse بالشكل

56
00:06:24,720 --> 00:06:29,470
اللي عندنا هذا يبقى هذا الكلام if and only if من

57
00:06:29,470 --> 00:06:33,990
خاصية الـ associativity ممكن أعمل دمج ما بين

58
00:06:33,990 --> 00:06:41,860
الاثنين هدول فبيصير عندي A H A inverse بده يساوي هذا

59
00:06:41,860 --> 00:06:47,440
الـ H وخاصية الـ associativity يبقى الـ A في الـ A

60
00:06:47,440 --> 00:06:52,760
inverse بالشكل اللي عندنا هنا طب الكلام هذا صحيح

61
00:06:52,760 --> 00:07:01,200
if and only if الـ A H A inverse A H A inverse بده

62
00:07:01,200 --> 00:07:02,680
يساوي تمام

63
00:07:09,090 --> 00:07:13,510
يبقى H في الـ identity element تبع الـ group اللي

64
00:07:13,510 --> 00:07:23,450
هو G هذا if and only if A H A inverse بده يساوي من

65
00:07:23,450 --> 00:07:27,110
نفسه لأن الـ identity element أو ضربه في أي

66
00:07:27,110 --> 00:07:31,930
element بيطلع نفس الـ element اللي هو هو المطلوب

67
00:07:32,700 --> 00:07:38,240
النقطة الأخيرة اللي هي النقطة الثامنة بتقول ...

68
00:07:38,240 --> 00:07:46,480
بتقول أن الـ A H is a subgroup من G if and only if

69
00:07:46,480 --> 00:07:51,980
الـ A belongs to domain if and only if الـ A belongs

70
00:07:51,980 --> 00:07:55,360
لمين لـ الـ H طيب تمام

71
00:07:59,780 --> 00:08:03,740
المرة السابقة قلنا أن الـ left cosets قد تكون

72
00:08:03,740 --> 00:08:08,100
subgroup وقد لا تكون subgroup تمام؟ لكن in

73
00:08:08,100 --> 00:08:12,760
general ماهي subgroup هنا بيحط لي الـ chart إيش

74
00:08:12,760 --> 00:08:17,340
اللي يخلي الـ left coset subgroup هو أن ضربها في

75
00:08:17,340 --> 00:08:24,600
عنصر من عناصر من من عناصر H itself يبقى الـ A H

76
00:08:24,600 --> 00:08:29,140
عبارة عن subgroup من G إذا كان الـ A اللي ضربته هذه

77
00:08:29,140 --> 00:08:35,760
من H نفسها وليس وليس من خارجها يبقى الآن بداجي

78
00:08:35,760 --> 00:08:44,660
أقوله assume that افترض أن الـ A H is a subgroup من

79
00:08:44,660 --> 00:08:50,820
G بنحاول نثبت أن الـ A موجود في الـ H وهذا هو الاتجاه

80
00:08:50,820 --> 00:08:58,440
الأول طيب تمام السؤال هو هل يا شباب هذه تحتوي على

81
00:08:58,440 --> 00:09:04,340
الـ identity element؟ ليش؟ لأنها subgroup يبقى باجي

82
00:09:04,340 --> 00:09:12,640
بقوله الـ E موجودة في الـ H since الـ H is a subgroup

83
00:09:12,640 --> 00:09:22,170
من G تمام؟ طيب and الـ E موجودة في الـ H ولا لا؟ لأن

84
00:09:22,170 --> 00:09:27,890
الـ H كذلك هي subgroup يبقى الـ E موجودة هنا والـ E

85
00:09:27,890 --> 00:09:35,600
موجودة هنا طب الـ H أليست هي E في H؟ يعني صارت هذه

86
00:09:35,600 --> 00:09:41,480
left coset وهذه left coset لجهة element موجودة

87
00:09:41,480 --> 00:09:46,540
في الاثنين يبقى الـ intersection تبعهم لا يمكن أن

88
00:09:46,540 --> 00:09:58,430
يساوي فاي يبقى A اللي هو E belongs to A H والـ E H

89
00:09:58,430 --> 00:10:05,450
هذا معناه أن الـ E H لا

90
00:10:05,450 --> 00:10:13,580
يمكن أن يساوي فاي فيما دام لا يمكن أن يساوي فاي معناه

91
00:10:13,580 --> 00:10:17,680
الاثنين هدول are equal من النقطة ما بعرف كده رقمها

92
00:10:17,680 --> 00:10:22,200
خمسة أو ثلاثة عندنا من اللي ملم المرة الماضية يبقى

93
00:10:22,200 --> 00:10:29,120
هذا معناه أن الـ A H بده يساوي الـ E H يعني الـ A H

94
00:10:29,120 --> 00:10:37,380
بده يساوي الـ H itself طيب إذا هدول بتساووا أليست الـ A

95
00:10:37,380 --> 00:10:41,900
موجودة في H النقطة برهنها برضه المرة الماضية ما

96
00:10:41,900 --> 00:10:47,500
بعرف اثنين أو ثلاثة بالكتير مادام الـ A H يساوي H

97
00:10:47,500 --> 00:10:52,780
هذا معناه أن الـ A belongs to H اللي هو الاتجاه

98
00:10:52,780 --> 00:10:58,060
الأول بدنا نيجي للاتجاه الثاني فباجي بقوله

99
00:10:58,060 --> 00:11:00,080
conversely

100
00:11:01,310 --> 00:11:09,050
بالعكس يبقى assume افترض أن الـ A belongs to H بدا

101
00:11:09,050 --> 00:11:14,570
أحاول أثبت أن الـ A H is a subgroup مدام الـ A

102
00:11:14,570 --> 00:11:23,350
belongs to H then الـ A H بده يساوي الـ H مظبوط؟

103
00:11:25,320 --> 00:11:30,400
صح برهان مدام الـ A belongs to H لأن if and only if

104
00:11:30,400 --> 00:11:34,280
يعني كانت النقطة عندها بتقول أن الـ A H بدي يساوي H

105
00:11:34,280 --> 00:11:38,420
if and only if الـ A belongs to H طب احنا فرضين الـ

106
00:11:38,420 --> 00:11:43,060
A belongs to H بجه الاثنين هدول بيساووا بعض تمامًا طب

107
00:11:43,060 --> 00:11:49,000
هدا subgroup ولا لأ إذا هدا من subgroup هذا بدي

108
00:11:49,000 --> 00:11:57,220
يعطينا أن الـ A H is a subgroup من G because الـ H

109
00:11:57,220 --> 00:12:05,920
is a subgroup من G على هيك بيكون برهننا النقاط

110
00:12:05,920 --> 00:12:12,120
الثمانية لهذه اللمة وهي علاقة الـ cosets مع بعضها

111
00:12:12,120 --> 00:12:18,280
أو مع بعضهم البعض طيب في عندي ملاحظة هنا منحب نشير

112
00:12:18,280 --> 00:12:26,460
إليها الـ remark بتقول ما يأتي إذا الـ H هي الـ

113
00:12:26,460 --> 00:12:31,460
special linear group of two by two matrices over R

114
00:12:31,460 --> 00:12:35,720
وهذه الـ subgroup من الـ general linear group of

115
00:12:35,720 --> 00:12:43,560
two by two matrices over R فهذه الـ subgroup من

116
00:12:43,560 --> 00:12:50,910
الـ general linear group of two by two matrices A

117
00:12:50,910 --> 00:12:59,170
and G the coset

118
00:12:59,170 --> 00:13:13,930
اللي هو الـ A H is the set of all two

119
00:13:13,930 --> 00:13:16,590
by two matrices

120
00:13:23,780 --> 00:13:30,740
with the same

121
00:13:30,740 --> 00:13:35,500
determinant

122
00:13:35,500 --> 00:13:42,860
as A for

123
00:13:42,860 --> 00:13:48,360
example كمثال

124
00:13:48,360 --> 00:13:49,300
على ذلك

125
00:13:52,640 --> 00:14:01,220
المصفوفة اللي تلاتة صفر واحد اثنين لو ضربتها فيه

126
00:14:01,220 --> 00:14:16,280
H is the set of all two by two matrices with

127
00:14:16,280 --> 00:14:18,060
determinant

128
00:14:25,120 --> 00:14:30,420
ستة طيب بدنا نسأل السؤال التالي ليش هذا الكلام 

129
00:14:30,420 --> 00:14:38,260
صحيح طلع لي فيها كويس طلع لي فيها كويس حتى نحاول أن 

130
00:14:38,260 --> 00:14:44,740
نصل إلى الإجابة لهذا السؤال الذي زعمناه أن ال

131
00:14:44,740 --> 00:14:50,980
order لها يساوي ستة قلي بلا كده ال remark بتقول ما 

132
00:14:50,980 --> 00:14:55,170
يأتيلو كانت الـ subgroup هي الـ special linear

133
00:14:55,170 --> 00:14:59,270
group  ملي جروب اللي هو ال general linear group of

134
00:14:59,270 --> 00:15:04,470
two by two matrices over R طبعا هذه كل المصوفات

135
00:15:04,470 --> 00:15:09,410
اللي determinant لها لا يساوي zero هذه كل المصوفات

136
00:15:09,410 --> 00:15:13,670
اللي determinant لها لا يساوي مين واحد صحيح بقول 

137
00:15:13,670 --> 00:15:19,330
لأي matrix A في ال group اللي عندنا هذه the coset

138
00:15:19,330 --> 00:15:26,270
of H أنا أخدت A من وين؟ من ال general ضربت في من؟

139
00:15:26,270 --> 00:15:29,730
في H لل special linear group of two by two

140
00:15:29,730 --> 00:15:35,770
matrices overall بقول الـAH هذه كل مصحوفة فيها

141
00:15:35,770 --> 00:15:41,030
المحدد تبعها يسوى المحدد تبع المصحوفة ايه بالضبط

142
00:15:41,030 --> 00:15:48,750
تماما، ليش؟ لإن هذه المصحوفة كل matrix فيها المحدد

143
00:15:48,750 --> 00:15:52,830
دي لها بجداش يبقى لما تجيب ال determinant لأي

144
00:15:52,830 --> 00:15:57,640
ألمصير ال determinant لإيه في ال determinantلأ

145
00:15:57,640 --> 00:16:01,560
بيهيب واحد يبقى بيظلمين ال determinant ليه بيبقى

146
00:16:01,560 --> 00:16:05,660
كل عنصر فيها بدي يكون ال determinant له ك

147
00:16:05,660 --> 00:16:11,580
determinant لمين لإيه مثال على ذلك المصحوفة اللي

148
00:16:11,580 --> 00:16:15,840
عندها دي element هذا موجود في ال general linear

149
00:16:15,840 --> 00:16:22,400
group لإن المحدد تبعه بقداش بستة يعني لا يساوي

150
00:16:22,400 --> 00:16:26,520
زينو معناته موجود في ال general يبقى the set of

151
00:16:26,520 --> 00:16:30,160
all two by two matrices اللي هذا مضروبة فيه with

152
00:16:30,160 --> 00:16:34,380
determinant ستة السبب لإنه بدي يكون ال determinant

153
00:16:34,830 --> 00:16:39,990
لأ ال element هذا مضروب في أي element تاني وليكن

154
00:16:39,990 --> 00:16:43,770
بيسوء ال determinant لهذه في ال determinant اللي

155
00:16:43,770 --> 00:16:46,450
بيبقى ال determinant اللي بيبقى بواحد صحيح بيبقى

156
00:16:46,450 --> 00:16:50,550
ال determinant لهذه بستة في واحد اللي بستة هذه

157
00:16:50,550 --> 00:16:57,330
مجرد ملاحظة طيب نجي الآن لنظرية very important في

158
00:16:57,330 --> 00:17:04,130
الجبر وهذه أساسية ولا كتاب جبر بيخلوا منها هذه

159
00:17:04,130 --> 00:17:07,910
النظرية اسمها نظرية Lagrange Lagrange هو اللي

160
00:17:07,910 --> 00:17:13,010
اكتشفها بالبلد هيك ال order لو كانت ال G finite

161
00:17:13,010 --> 00:17:19,400
فال order لل sub group بيقسم ال order لل group وهذه

162
00:17:19,400 --> 00:17:23,560
شرطها لكم من أول ما بدأت تقولوا دير بالك قدام

163
00:17:23,560 --> 00:17:26,960
هناخد ان ال order لل element بده يقسم ال order لل

164
00:17:26,960 --> 00:17:30,960
group و ال order لل sub group بده يقسم ال order لل

165
00:17:30,960 --> 00:17:36,980
group كذلك فبدنا نيجي ل Lagrange theorem يبقى هنا

166
00:17:36,980 --> 00:17:42,060
Lagrange theorem

167
00:17:44,840 --> 00:17:52,660
النظرية هذه بتقول ما ياتي if ال H is

168
00:17:52,660 --> 00:18:07,120
a subgroup of a finite group G then

169
00:18:07,120 --> 00:18:13,560
ال order ل H divides

170
00:18:15,730 --> 00:18:25,210
الـ order لـ G وزيادة على ذلك moreover و أكثر من

171
00:18:25,210 --> 00:18:35,810
ذلك the number of this connect the number of

172
00:18:35,810 --> 00:18:43,010
this connect the number of this connect left أو

173
00:18:43,010 --> 00:18:50,370
right left أو right هدى والله هدى الاتنين are the

174
00:18:50,370 --> 00:19:03,570
same left أو right cassettes of H in G is ال order

175
00:19:03,570 --> 00:19:11,110
ل G على ال order ال main لل H بنبرهن

176
00:19:11,110 --> 00:19:13,510
صحة هذا الكلام ال approve

177
00:19:29,970 --> 00:19:35,150
خلّي بالك كدا الآن H sub group من مين؟ من finite

178
00:19:35,150 --> 00:19:44,050
group G و ال H هي ال sub group من ل group G بدي

179
00:19:44,050 --> 00:19:49,370
أثبت أن ال order ل G بيقسم ال order ال order ل H

180
00:19:49,370 --> 00:19:55,210
بيقسم ال order ل G يعني عدد العناصر في H يقسم عدد

181
00:19:55,210 --> 00:20:01,370
العناصر في من في G و زيادة على ذلك عدد ال left أو

182
00:20:01,370 --> 00:20:07,310
right destined cosets في H and G بيسوي ال order لل

183
00:20:07,310 --> 00:20:13,330
H على ال order لمين لل G هذا اللي عايزين نتبته في

184
00:20:13,330 --> 00:20:14,650
العدد

185
00:20:19,350 --> 00:20:24,070
الـ order اللى جى على ال order لل H بيعطينى عدد ال

186
00:20:24,070 --> 00:20:27,210
left cosets وهنا كاتبين ال order اللى جى على ال

187
00:20:27,210 --> 00:20:31,810
order اللى H تمام طب خلّينى نثبت النقطة الأولى

188
00:20:31,810 --> 00:20:37,710
بيقول لي هنا عدد ال left .. destined left cosets أو

189
00:20:37,710 --> 00:20:41,970
right cosets إذا أنا بدي اروح اجيب كل ال left

190
00:20:41,970 --> 00:20:47,250
cosets اللى موجودات على اللى هو ال sub group من ال

191
00:20:47,250 --> 00:20:50,460
group اللى عندنا لما أخدنا الأمثلة المرة اللى فاتت

192
00:20:50,460 --> 00:20:56,520
لجينا انه أحيانا ال lift corsets بتساوي مظبوط يبقى

193
00:20:56,520 --> 00:21:00,220
أنا بدي أجيب كل ال lift corsets اللى بيكون ولا

194
00:21:00,220 --> 00:21:05,300
واحدة فيهم بتساوي ات تانية يبقى بدي أجي أقوله let

195
00:21:05,300 --> 00:21:15,620
a1h a2h ونظل ماشيين the arh ب the

196
00:21:18,560 --> 00:21:24,940
Left Destinate Cosets

197
00:21:24,940 --> 00:21:28,780
of

198
00:21:28,780 --> 00:21:38,760
H and G بدأ افترض أن هذا عبارة عن ايش؟ عبارة عن كل

199
00:21:38,760 --> 00:21:42,720
Destinate Left Cosets اللي ولا واحدة بتساوي

200
00:21:42,720 --> 00:21:53,010
التانية طيب، الآن بداجي أقول let ال A belongs to G

201
00:21:53,010 --> 00:22:06,300
then ال A H is a left cassette صحيح ولا لأ يعني

202
00:22:06,300 --> 00:22:11,740
معناته أن ال a h هساوي واحدة من هدول هتكون واحدة

203
00:22:11,740 --> 00:22:23,580
منهم صح يبقى الآن ساعة ال a h هذه بدها ساوي a i h

204
00:22:23,580 --> 00:22:27,420
تمام

205
00:22:27,420 --> 00:22:39,760
طيب كويس but we know that احنا بنعرف أن ال a موجودة

206
00:22:39,760 --> 00:22:45,800
في ال a h فموجودة في ال a h مظبوط

207
00:22:47,230 --> 00:22:51,190
بارهنها المرة اللى فاتت مدام موجودة هنا وهذه

208
00:22:51,190 --> 00:22:55,490
بتساوي هذه يبقى ال element وين موجود؟ في ال A I H

209
00:22:55,490 --> 00:23:05,750
يبقى هذا بده يعطينا أن ال A belongs to A I H طب

210
00:23:05,750 --> 00:23:09,830
أنا لما أخدت ال A في G أخدت عنصر عشوائي ولا عنصر

211
00:23:09,830 --> 00:23:16,430
محددعشوائي مدام عشوائي ينطبق على أي عنصر موجود في

212
00:23:16,430 --> 00:23:23,210
ال group G بفهم من هذا الكلام أن كل عنصر موجود في

213
00:23:23,210 --> 00:23:28,910
جي حالة جي في واحدة من ال lift cassettes صح ولا لأ

214
00:23:28,910 --> 00:23:35,440
سكت الشعب مرة تانية أنا اخدت a عشوائيا من g تمام

215
00:23:35,440 --> 00:23:40,820
لجيت ال a هذا موجود في واحدة من هدول ايه موجود في

216
00:23:40,820 --> 00:23:48,340
ال aiH مظبوط ممتاز جدا يبقى هذا يعني أن كل عنصر

217
00:23:48,340 --> 00:23:52,740
بتاخده من G لازم تلاقيه في main في واحدة من ال

218
00:23:52,740 --> 00:23:58,120
left distant cosets مظبوط يبقى this means that

219
00:23:58,120 --> 00:24:06,280
this means that any element

220
00:24:09,860 --> 00:24:17,240
in G belongs to

221
00:24:17,240 --> 00:24:24,440
one coset of

222
00:24:24,440 --> 00:24:32,280
A1H A2H و لغاية ARH

223
00:24:35,230 --> 00:24:42,990
إذا كل عنصر باخده من جيه لما أخده من جيه بلاقيه في

224
00:24:42,990 --> 00:24:48,390
واحدة من هدول طب السؤال هو هل هدول بيسووا بعضهم

225
00:24:48,390 --> 00:24:54,110
يبقى ال intersection five ممتاز جدا و لو واحدة جال

226
00:24:54,110 --> 00:24:57,230
بيسوى تاني نجال عليهم this and that يبقى ال

227
00:24:57,230 --> 00:25:01,990
intersection تبعهم يسوى five إذا لا يمكن لعنصر

228
00:25:01,990 --> 00:25:09,190
يكون confidentين منهم صح ولا لا يبقى هنا بقول هنا

229
00:25:09,190 --> 00:25:22,110
but ولكن اللي هو ال aih لا يساوي ال ajh for اللي

230
00:25:22,110 --> 00:25:29,290
هو ال I لا يساوي ال j لما هؤلاء ما يتساووش يبقى

231
00:25:29,290 --> 00:25:33,530
هؤلاء ما يتساووش بعض إذا الـI والـJ لا يتساووش بعض

232
00:25:33,530 --> 00:25:40,090
إذا كل element موجود بالضبط في واحدة من من هؤلاء

233
00:25:40,090 --> 00:25:45,350
طيب إذا الـG مش هي عبارة عن ال union تبع هؤلاء

234
00:25:45,350 --> 00:25:47,170
كلهم ولا لأ؟

235
00:25:56,620 --> 00:26:08,300
لجروب G هي عبارة عن A1H اتحاد A2H اتحاد اتحاد ARH

236
00:26:08,300 --> 00:26:18,180
كويس يعني هذا يعني أن ال order ل G ال order ل G

237
00:26:18,180 --> 00:26:26,120
بدي سوى ال order ل A1H زائد ال order ل A2H

238
00:26:28,500 --> 00:26:39,220
زائد زائد زائد ال order لل ARH طيب

239
00:26:39,220 --> 00:26:45,760
سؤال أنا H فيها عشرة elements مثلا و جيت ضربت ال H

240
00:26:45,760 --> 00:26:51,380
في أي عنصر من عناصر G بيطلع عندي عشرة elements ولا

241
00:26:51,380 --> 00:26:55,920
أكتر ولا أقل عشرة بالضبط لما يكون عندي ال sub

242
00:26:55,920 --> 00:27:00,120
group و اضربها في أي element من ال group بيضلوا

243
00:27:00,120 --> 00:27:04,460
العشرة العددهم عشرة صحيح بيختلفوا لكن بيضلوا عشرة

244
00:27:04,460 --> 00:27:09,780
من ناحية العدد معناته ال order لل a1h يساوي ال

245
00:27:09,780 --> 00:27:15,730
order لل h و ال order ل A to H هو ال order ل H و ال

246
00:27:15,730 --> 00:27:22,130
order ل A RH هو ال order ل H يعني هذا الكلام يعني

247
00:27:22,130 --> 00:27:28,770
أن ال order ل G بده يساوي ال order ل H زائد ال

248
00:27:28,770 --> 00:27:36,690
order ل H زائد زائد ال order ل H كم مرة هدول؟ R

249
00:27:37,380 --> 00:27:46,440
لأن عددهم R يبقى هذا الكلام معناته R times يبقى R

250
00:27:46,440 --> 00:27:52,500
من المرات يبقى أصبح الآن ال order اللي جيه بده 

251
00:27:52,500 --> 00:27:58,900
يساوي الـ R في الـ order الـ H لأن عددهم R طب إيش 

252
00:27:58,900 --> 00:28:06,300
تفسيرك لهذه أن الـ order للـ H بيقسم الـ order لـ G

253
00:28:06,300 --> 00:28:15,420
هذا معناه أن الـ order لـ H divides الـ order لـ G

254
00:28:15,420 --> 00:28:23,410
وبالتالي أنت هنا من نظرية Lagrange راح يقولي و أكثر من

255
00:28:23,410 --> 00:28:27,050
ذلك the number of distinct left cosets أو right

256
00:28:27,050 --> 00:28:31,570
cosets of H and G يساوي الـ order للـ G على الـ order

257
00:28:31,570 --> 00:28:41,810
لمين؟ للـ H باجي بقوله هنا كم

258
00:28:41,810 --> 00:28:52,620
واحدة left cosets عندنا هنا are يبقى هنا the number

259
00:28:52,620 --> 00:29:05,780
of left أو حتى right cosets of H the number

260
00:29:05,780 --> 00:29:07,460
of distinct

261
00:29:11,540 --> 00:29:19,860
Left or Right Cosets of H in G is R طب الـ R قد

262
00:29:19,860 --> 00:29:28,080
يساوي هنا مش هو الـ order لـ G على الـ order للـ H

263
00:29:28,080 --> 00:29:38,160
يبقى الـ order لـ G على الـ order للـ H طب كويس شوفوا

264
00:29:38,160 --> 00:29:46,030
شوفوا بعد هذا البرهان عندي تعريف متعلق بالنتيجة

265
00:29:46,030 --> 00:29:50,550
اللي توصلنا إليها من نظرية لاجرانج التعريف هذا

266
00:29:50,550 --> 00:30:00,170
بيقول ما يأتي the number of left the number of

267
00:30:00,170 --> 00:30:12,050
distinct left أو right هذا أو هذا left distinct

268
00:30:12,050 --> 00:30:21,410
right أو left cosets of H in G

269
00:30:21,410 --> 00:30:32,370
of H in G is called هذا بنسميه الـ index is called the

270
00:30:32,370 --> 00:30:38,490
index of

271
00:30:41,030 --> 00:30:47,870
a subgroup a subgroup

272
00:30:47,870 --> 00:30:54,070
H in G and

273
00:30:54,070 --> 00:31:05,130
denoted by وبنعطيله الرمز التالي الـ G مقطعتين فوق

274
00:31:05,130 --> 00:31:09,090
بعض و H بالشكل اللي عندنا هذا

275
00:31:14,520 --> 00:31:18,480
طيب هذا بيقولي عدد الـ distinct left أو right

276
00:31:18,480 --> 00:31:23,880
cosets of H and G بسميه الـ index تبع الـ subgroup H

277
00:31:23,880 --> 00:31:30,220
في من في الـ group G طب قداش عددهم هدول؟ R يبقى

278
00:31:30,220 --> 00:31:35,400
احنا عندنا ملاحظة بسيطة جدا من الـ grand theorem

279
00:31:35,400 --> 00:31:42,190
قلنا الـ order لـ G بدي يساوي الـ R في الـ order لـ H صح

280
00:31:42,190 --> 00:31:48,330
ولا لا؟ إذا بقدر أكتب نظرية Lagrange بطريقة أخرى

281
00:31:48,330 --> 00:31:53,110
إن الـ order لـ G بده يساوي الـ R هو عدد الـ left

282
00:31:53,110 --> 00:31:59,050
coset اللي أعطيته الرمز الـ index تبع الـ H in G في

283
00:31:59,050 --> 00:32:06,870
الـ order لـ H يبقى بصيغة نتيجة نظرية لاجرانج بالصيغة

284
00:32:06,870 --> 00:32:11,050
اللي عندنا اللي توصلنا لها هذه أن الـ order لـ G بده

285
00:32:11,050 --> 00:32:15,590
يساوي R في الـ order لـ H يا بقول الـ order لـ G بده

286
00:32:15,590 --> 00:32:19,890
يساوي الـ index تبع الـ subgroup H في الـ group G

287
00:32:19,890 --> 00:32:26,210
مضروب في الـ order تبع من؟ تبع الـ H الشكل اللي عندنا

288
00:32:26,210 --> 00:32:34,150
هذا تمام بدنا نبدأ نعطي أمثلة على ذلك أول مثال

289
00:32:34,150 --> 00:32:46,610
example بقول let الـ G تساوي S4 and

290
00:32:48,180 --> 00:32:54,280
الـ H هي الـ sub group generated by الـ permutation

291
00:32:54,280 --> 00:33:00,660
واحد اثنين ثلاثة أربعة اثنين ثلاثة أربعة واحد

292
00:33:00,660 --> 00:33:03,720
بالشكل اللي عندنا هنا find

293
00:33:26,290 --> 00:33:27,690
S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4

294
00:33:38,910 --> 00:33:44,450
سؤال مرة ثانية السؤال بيقول احنا عندنا G S4 اللي

295
00:33:44,450 --> 00:33:50,650
فيها أربعة وعشرين عنصر أخذنا منها subgroup H مين

296
00:33:50,650 --> 00:33:54,650
هي الـ subgroup هذا الـ subgroup اللي تتولد بال

297
00:33:54,650 --> 00:34:00,390
permutation اللي عندنا قداش الـ index تبع الـ H in

298
00:34:00,390 --> 00:34:01,430
S4

299
00:34:05,930 --> 00:34:09,950
الاندكس يساوي الـ order للـ group على الـ order للـ

300
00:34:09,950 --> 00:34:13,690
subgroup الـ order تبع الـ group نعرفه 24 لكن الـ

301
00:34:13,690 --> 00:34:18,460
order تبع الـ subgroup مش عارفينه مش عارفها لكن لازم

302
00:34:18,460 --> 00:34:23,280
تعرفه إذا بدي أبدأ أضرب هذه في نفسها مرة ما طلعش الـ

303
00:34:23,280 --> 00:34:27,780
identity كمان مرة ما طلعش لغاية ما يطلع من الـ

304
00:34:27,780 --> 00:34:32,020
identity وبالتالي بيكون الأس اللي عندي هو من الـ

305
00:34:32,020 --> 00:34:37,430
order تبع الـ group هذه وجهة نظر قديمة هو إيش وجهة

306
00:34:37,430 --> 00:34:43,230
النظر الجديدة أن أنت هذه أجيب للـ order تبعها بكل

307
00:34:43,230 --> 00:34:50,570
بساطة بكل بساطة كده بقوله أنا هذا let alpha تساوي

308
00:34:50,570 --> 00:34:55,390
الـ permutation واحد اثنين ثلاثة أربعة اثنين ثلاثة

309
00:34:55,390 --> 00:35:04,550
أربعة واحد then الـ alpha تساوي بقدر أكتبها على الـ

310
00:35:04,550 --> 00:35:09,210
cycle form أما الـ cycle واحدة أو product of two

311
00:35:09,210 --> 00:35:14,270
cycles حسب اللي موجود عندي تمام إذا باجي بقوله بدي

312
00:35:14,270 --> 00:35:17,390
أكتب على شكل cycle الواحد مين صوبته يا شباب

313
00:35:17,390 --> 00:35:25,230
والاثنين والثلاثة والأربعة قفلت إذا بقدر أجيب الـ

314
00:35:25,230 --> 00:35:31,250
order لـ alpha ولا؟ يبقى هذا بيعطينا أن الـ order لـ

315
00:35:31,250 --> 00:35:35,990
alpha بده يساوي طول الـ cycle اللي عندنا هو قداش

316
00:35:35,990 --> 00:35:41,530
أربعة يبقى الـ order لـ alpha بده يساوي أربعة طيب

317
00:35:41,530 --> 00:35:46,040
لما يكون عندنا الـ cycle كـ group شو العلاقة بين

318
00:35:46,040 --> 00:35:50,740
order للـ group و order للـ generator؟ اثنين نفس

319
00:35:50,740 --> 00:35:56,040
الشيء يعني معنى هذا الكلام أن الـ order للـ H يساوي

320
00:35:56,040 --> 00:36:01,220
الـ order لـ alpha وهذا بدي يعطيني من؟ بدي يعطيني

321
00:36:01,220 --> 00:36:07,280
اللي هو النتيجة اللي هو أربعة هذا سيعطيني أن الـ

322
00:36:07,280 --> 00:36:16,060
order لـ H هو order لـ alpha أربعة ليش؟ لأن H هي

323
00:36:16,060 --> 00:36:20,720
الـ cyclic subgroup generated by الـ permutation

324
00:36:20,720 --> 00:36:24,100
alpha اللي عندنا يبقى إثار الـ order لـ alpha هو

325
00:36:24,100 --> 00:36:29,790
order لـ H ما دام هيك بقى صارت قصتنا بسيطة قال لي

326
00:36:29,790 --> 00:36:36,210
هاتلي الـ index بقوله الآن الـ index لـ الـ subgroup H

327
00:36:36,210 --> 00:36:43,450
في الـ group S4 يساوي الـ order للـ S4 على الـ order

328
00:36:43,450 --> 00:36:49,530
للـ H الـ order للـ S4 اللي هو أربعة factorial وهذه

329
00:36:49,530 --> 00:36:58,980
أربعة يبقى هذه بنقول أربعة في ثلاثة factorial على

330
00:36:58,980 --> 00:37:04,460
أربعة يبقى ثلاثة factorial ثلاثة factorial يساوي

331
00:37:04,460 --> 00:37:09,860
كده؟ يساوي ستة إذاً الـ index تبع الـ subgroup اللي

332
00:37:09,860 --> 00:37:15,920
عندنا هذه في الـ group G الأصلية هو عبارة عن ستة،

333
00:37:15,920 --> 00:37:21,520
إيش يعني ستة؟ يعني أنا ضمنت عدد الـ left distinct

334
00:37:21,520 --> 00:37:28,080
cosets للـ S4 لما نضربهم في الـ .. لما ينضربوا في الـ

335
00:37:28,080 --> 00:37:31,140
permutation اللي في الـ .. في الـ H اللي عند الـ

336
00:37:31,140 --> 00:37:36,870
subgroup بيطلع عندي بس ستة left distinct cosets يعني

337
00:37:36,870 --> 00:37:42,830
معناه كل أربعة هيتساووا عشان يطلع عندي ستة صح ولا

338
00:37:42,830 --> 00:37:47,950
لا يعني كل أربعة left cosets هيطلعوا نفس الشيء

339
00:37:47,950 --> 00:37:52,530
وبالتالي ضمنت عدد الـ left cosets يساوي ستة كان

340
00:37:52,530 --> 00:37:56,810
بيمكني أصيغ نفس السؤال و بدل ما أقول هاتلي الـ index

341
00:37:56,810 --> 00:38:02,950
أقول find the number of left cosets of H in S4

342
00:38:02,950 --> 00:38:07,970
وأسكت مش هو نفس السؤال نفس السؤال حرفية لكن قعدت

343
00:38:07,970 --> 00:38:20,270
أصيغه بطريقة أخرى نعطي مثال آخر كمان example الـ

344
00:38:20,270 --> 00:38:26,370
example يا شباب هذا سؤال 14 من الكتاب بقول suppose

345
00:38:26,370 --> 00:38:27,030
that

346
00:38:30,100 --> 00:38:40,900
suppose that افترض أن الـ K is a proper subgroup

347
00:38:40,900 --> 00:38:44,540
of

348
00:38:44,540 --> 00:38:48,720
H and

349
00:38:48,720 --> 00:38:56,380
الـ H is a proper subgroup

350
00:38:59,010 --> 00:39:04,150
of G if

351
00:39:04,150 --> 00:39:18,050
الـ order للـ K هو اثنين وأربعين and الـ order للـ G

352
00:39:18,050 --> 00:39:23,150
هو أربع مئة وعشرين what

353
00:39:24,410 --> 00:39:35,730
are the possible orders of

354
00:39:35,730 --> 00:39:37,190
H

355
00:40:06,270 --> 00:40:10,790
مرة ثانية أنا عندي K proper subgroup من H إيش يعني

356
00:40:10,790 --> 00:40:15,890
proper subgroup؟ لا تساوي H subset منها لكن لا

357
00:40:15,890 --> 00:40:21,350
تساويها وعندي في نفس الوقت الـ H proper subgroup من

358
00:40:21,350 --> 00:40:26,850
G يعني K subgroup من H و الـ H subgroup من G وكل

359
00:40:26,850 --> 00:40:31,110
واحدة فيهم عبارة عن الـ proper يعني لا تساوي الجروب

360
00:40:31,110 --> 00:40:35,940
الثاني قال لو كان الـ order لـ K الأولى هو اثنين

361
00:40:35,940 --> 00:40:40,500
وأربعين والـ order للـ أخرى أربع مئة وعشرين ما هي

362
00:40:40,500 --> 00:40:47,100
الاحتمالات الممكنة للـ order تبع الـ H فنقوله ماشي

363
00:40:47,100 --> 00:40:49,160
يبقى هنا solution

364
00:40:54,430 --> 00:41:02,450
الآن نحن لدينا K subgroup يبقى K subgroup من H هذا

365
00:41:02,450 --> 00:41:12,730
معناته أن الـ order للـ K بيقسم الـ order للـ H مظبوط؟

366
00:41:12,730 --> 00:41:19,150
طب الـ order للـ H كده أنا مش عارف يبقى هنا كده

367
00:41:21,550 --> 00:41:27,510
K subgroup من H هي K proper subgroup من H K

368
00:41:27,510 --> 00:41:31,830
subgroup من H يبقى الـ order لـ K بده يقسم الـ order

369
00:41:31,830 --> 00:41:38,370
لـ H يبقى بداجي أقوله هنا assume افترض أن الـ order

370
00:41:38,370 --> 00:41:47,080
لـ H بده يساوي الـ M مثلا يبقى بناء عليه الـ order لـ

371
00:41:47,080 --> 00:41:55,440
K معطيني إياه قداش؟ 42 تقسم من الـ M يعني معناته

372
00:41:55,440 --> 00:42:06,600
هذا الـ M تساوي مضاعفات 42 يساوي هذا S مثلا في فيل

373
00:42:06,600 --> 00:42:13,080
42 و هنا for some

374
00:42:25,520 --> 00:42:31,280
يبقى كتابة الـ M مجهولة على شكل رقم مضروب قداش

375
00:42:31,280 --> 00:42:40,090
اثنين أو أربعين الآن أنا عندي كذلك الـ order لـ الـ H

376
00:42:40,090 --> 00:42:46,930
أو الـ H هذه الـ sub group من G sub group من G هذا

377
00:42:46,930 --> 00:42:53,390
معناته أن الـ order لـ H يَقْسِم الـ order لـ G طبقا

378
00:42:53,390 --> 00:43:00,760
لنظرية Lagrange مدام هيك هذا معناه أن الـ order للـ

379
00:43:00,760 --> 00:43:09,980
G هنا بدي أساوي الـ R في الـ order لـ H مثلا يبقى هذا

380
00:43:09,980 --> 00:43:15,340
معناه أن الـ order اللي جاي ليه أربعمية وعشرون

381
00:43:15,340 --> 00:43:22,540
تساوي R في مين؟ في الـ M لأن أنا فرضت الـ order لـ H

382
00:43:22,540 --> 00:43:27,440
يساوي M كده؟ يساوي M أطلَعْ لي في المعادلة اللي

383
00:43:27,440 --> 00:43:33,640
عندنا هذه وأطلَعْ لي في المعادلة اللي عندنا هذه إذا

384
00:43:33,640 --> 00:43:40,320
أنا بقدر أَخْلِق من المعادلتين معادلة ما هي هذه

385
00:43:40,320 --> 00:43:48,720
المعادلة؟ اللي هي أربعمية وعشرون بدها تساوي R S في

386
00:43:48,720 --> 00:43:54,940
من؟ في اثنين وأربعين يعني شِيلتُ الـ M اللي عندنا هذه

387
00:43:54,940 --> 00:44:00,240
وراحَت شِيلتُ الـ M اللي عندنا هذه وكتبت بدلها S في 

388
00:44:00,240 --> 00:44:07,430
اثنين وأربعين تمام طيب في قسمة ما بين الطرفين اه

389
00:44:07,430 --> 00:44:12,430
يبقى لو قَسَمْتُ كله على اثنين وأربعين هذا بدي يعطيني

390
00:44:12,430 --> 00:44:20,590
R S تساوي عشرة مدام عشرة احتمال الـ R بواحد والـ S

391
00:44:20,590 --> 00:44:31,920
بعشرة احتمال أن S بواحد وR بعشرة احتمال R بخمسة وS

392
00:44:31,920 --> 00:44:36,280
باتنين احتمال R باتنين وS بخمسة هي الاحتمالات

393
00:44:36,280 --> 00:44:48,040
الأربعة في غيرهم؟ لا يبقى هنا so we have four

394
00:44:48,040 --> 00:44:50,280
possibilities four

395
00:44:57,390 --> 00:45:05,110
أربعة احتمالات الاحتمال الأول أن الـ R تساوي واحد

396
00:45:05,110 --> 00:45:12,510
والـ S تساوي عشرة هل هذا الكلام ممكن؟ والله مش ممكن

397
00:45:12,510 --> 00:45:20,310
الحين لو الـ S وعشرة يبقى الـ M كده؟ 420 ممكن هذا

398
00:45:20,310 --> 00:45:27,730
الكلام؟ يتناقض مع كلمة proper تمام يبقى هذا this

399
00:45:27,730 --> 00:45:31,310
is impossible

400
00:45:33,850 --> 00:45:43,190
هذا غير ممكن السبب because أن الـ H is proper

401
00:45:43,190 --> 00:45:49,210
subgroup من G لأن على الجهة ده مش ممكن ممكن العكس

402
00:45:49,210 --> 00:45:57,130
نقطة ثانية أن الـ R تساوي عشرة والـ S تساوي واحد

403
00:45:58,440 --> 00:46:04,560
تمام؟ طب بدنا نأتي إلى الـ S تساوي واحد لو الـ S صارَت

404
00:46:04,560 --> 00:46:12,060
واحد يبقى الـ M قداش؟ يعني قد مين؟ قد K الـ H صارت

405
00:46:12,060 --> 00:46:16,760
قد K مظبوط وهذا كلام غلط لأن احنا نقولين K proper

406
00:46:16,760 --> 00:46:24,020
يبقى برضه هذا this is impossible because capital K

407
00:46:24,020 --> 00:46:25,680
is proper

408
00:46:28,120 --> 00:46:33,920
يبقى هذا لا يمكن يحصل بالمرة طب نجي النقطة الثالثة

409
00:46:33,920 --> 00:46:40,460
النقطة الثالثة ممكن الـ R يساوي اثنين والـ S يساوي

410
00:46:40,460 --> 00:46:48,020
خمسة طيب لو حطيت الـ S هنا بخمسة بصير هدول كده؟ 210

411
00:46:48,020 --> 00:46:55,520
ممكن؟ اه ممكن ما فيش مشكلة يبقى هنا الـ R سواء S

412
00:46:55,520 --> 00:47:03,540
then الـ M بدها تساوي الـ S لخمسة في اثنين وأربعين

413
00:47:03,540 --> 00:47:08,540
واللي هو بدو يساوي متين وعشرة خمسة في اثنين بعشرة

414
00:47:08,540 --> 00:47:13,880
وخمسة في أربع باشرين واحد واحدة وعشرين تمام هذا لو

415
00:47:13,880 --> 00:47:21,260
كانت الـ S بخمسة والـ R باثنين الاحتمال الرابع أن الـ

416
00:47:21,260 --> 00:47:30,930
R تساوي خمسة والـ S تساوي اثنين الـ M يساوي الـ M

417
00:47:30,930 --> 00:47:37,050
يساوي S في اثنين وأربعين الـ S عندي باثنين في اثنين

418
00:47:37,050 --> 00:47:42,830
وأربعين ويساوي قداش؟ أربعة وثمانين ممكن ولا مش

419
00:47:42,830 --> 00:47:49,570
ممكن برضه ممكن يبقى باجي هنا بقوله the possible

420
00:47:49,570 --> 00:47:52,290
orders

421
00:47:54,230 --> 00:48:06,190
of H are أربعة وثمانين or متين وعشرة يبقى كله

422
00:48:06,190 --> 00:48:11,170
اعتمدنا فيه على مين؟ على Lagrange theorem الآن

423
00:48:11,170 --> 00:48:16,170
وصلنا لنتائج على نظرية Lagrange حصلنا حوالي أربع

424
00:48:16,170 --> 00:48:21,830
نتائج وبكلهم بيفيدونا كتير في حل المسائل المرة

425
00:48:21,830 --> 00:48:23,330
القادمة إن شاء الله