الله رحمة ورحمة أنهينا في المحاضرة الماضية chapter
ثمانية كجزء نظري والآن هذه المحاضرة إن شاء الله
سنناقش بعض الأسئلة بقدر ما نستطيع خلال هذه الساعة
إن شاء الله تعالى نبدأ بالأسئلة على Chapter 8 والتي
تتعلق بالـ product external direct هو نبدأ بالسؤال
السادس مثلًا بيقول prove by comparing orders of the
element يبقى اللي بدك تستخدم طريقة المقارنة بين
العناصر لإثبات أنه لإثبات أن Z8 external direct
product مع Z2 is not isomorphic
إلى Z4
يبقى دلني على طريقة يقول لي استخدم لي الـ orders لل
element في كلا الـ two groups للحكم على أن الـ group
الأولى ليست isomorphic للـ group الثانية فمثلًا لو
جيت للـ group الأولى هل فيها element of order
ثمانية بالمرة Z ثمانية × ثانية direct product مع Z
اثنين
بس فيها .. فيها اثنين والثمانية ولا جزاك؟ ثمانية
واتنين الواحد
والواحد
كويس، في غيره؟ الواحد والصفر يبقى عندي بدل الـ
element اثنين الـ orders اللي هم يساووا ثمانية
الواحد في الـ Z ثمانية الـ order اللي هو ثمانية الـ
zero الـ order اللي هو واحد الـ least common
multiple بين الثمانية والواحد اللي هو ثمانية مظبوط
يبقى هنا عندي الـ element واحد و zero موجود في Z
ثمانية external direct product with order اللي هو
ثمانية الـ order لهذا الـ element ثمانية الآن بنجي لـ
Z أربعة direct product مع Z أربعة هل بتلاقي في
element الـ order اللي بيساوي ثمانية رغم أنه ستة
عشر عنصر ها في element Z أربعة الـ order لهم يا إما
واحد يا إما اثنين يا أربعة والتاني واحد واثنين
وأربعة هل في least common multiple فيهم أكثر من
أربعة الذي يسكب الملتقب لهذه الـ order فيه أكثر من
أربعة ما عندهوش يبقى باجي بقول له بطولكن الـ Z أربعة
external product مع Z أربعة has no element of
order ثمانية because
The maximum order in Z4 is 4
لأن الـ order للـ element بيقسم الـ order للـ group
إذا Z أربعة لا يوجد فيها إلا الـ elements الـ order
الواحد اللي هو الـ identity والاثنين اللي هو العدد
اثنين وكذلك الأربعة اللي هو العدد واحد وثلاثة
تمام؟ يبقى من هنا أقصى order عندي في Z أربعة direct
product كبيرة زي Z أربعة هو أربعة وهذه ثمانية يبقى
اثنين هذول ما لهم isomorphic يبقى التزام في
الكلام اللي قالي وصلت للنتيجة بدنا نروح لسؤال
أربعة عشر سؤال أربعة عشر بيقول ما يأتي suppose الـ G1
isomorphic إلى G2 و group ثانية H1 isomorphic لمن؟
لـ H2 هو H1 isomorphic لـ H2 prove that اثبت أنه الـ
G1 external direct product مع H1 isomorphic لـ G2
external direct product مع H2 هذا اللي احنا بدنا نروح
نثبته إذا دائمًا وأبدًا بنحاول نستفيد من المعطيات
اللي عندنا في إثبات المطلوب هذول two groups are
isomorphic هذول two groups are isomorphic أخذت الـ
external product ما بين الـ group الأولى و الـ group
الأولى من المجموعة الثانية والجروب الثانية مع
الجروب الثانية بدي أثبت أنه اللي هو الـ external
product هذا ما له isomorphic للـ external product
اللي عندنا هذا يبقى الحلقة التالية solution
أفترض أن الـ Alpha من الـ G1 إلى الـ G2 و الـ Beta
من الـ H1 إلى الـ H2 هم isomorphism
يبقى بدي أفترض إن هذول الاثنين isomorphism الآن
هذا مشان أثبت إن اثنين isomorphism بدي أعرف
function من الجروب الأولى إلى الجروب الثانية وأثبت
أنها one to one and one to one وتخدم خاصية الـ isomorphism
إذا بدي أقول له define
A function في من الـ G1 و H1 كـ external direct product
من
الـ G1 و H1 لمين؟ لـ G2 كـ external direct product مع H2
بـ في of بدي آخذ element من G1 وليكن G و H فعلي ما
تأثر على G و H بدي أوديها وين؟ في الـ group G2 و H2
طيب G2 هذه مش هي G2 هذه صح؟ إذا الـ element اللي
هنا هو صورة لـ element من هنا الفانكشن من هنا لهنا
شو سميتها Alpha يبقى هذه بقدر آخذها Alpha of G
يبقى هذه بقدر أقول Alpha of G ليش؟ لأن Alpha of G G
موجودة في G1 واحنا عندنا هنا G موجودة في G1 يبقى
هنا صورتها في G2 صورتها في G2 اللي Alpha of G
بتداجر للـ H الـ H موجودة في الـ H1 تمام أنا عندي
Beta من H1 إلى H2 يبقى H اللي موجودة في H1 صورتها
تبقى Beta of H يبقى هذا Beta of H بالشكل اللي
عندنا يبقى هكذا عرفت الدالة تعريفًا سليمًا الآن هذه
الدالة بدي أحاول أثبت أنها one to one and onto
وتخدم خاصية الـ isomorphism إن تم لذلك يبقى بيكونوا
اثنين هذول are isomorphic وبكون أنت هنا من هالشغل
هادى يبقى بدي آجي للخطوة الأولى بدي أثبت له إن فاي
is one to one مشان هيك بدي آخذ صورتين متساويتين
Assume Phi of G و H بدي أساوي Phi of X و Y مثلًا إذا
قدرت أثبت إن الـ ordered pair G و H هو الـ ordered pair X
و Y بكون انتهينا من الشغل يعني
بتداجي لصورة الـ element الأول حسب التعريف يبقى
Alpha of G و Beta of H يبقى هذه تبقى Alpha of G و
Beta of H بالشكل اللي عندنا هنا الـ Phi of X بنفس
الطريقة يبقى هادي Alpha of X الصورة والثانية Beta
of Y الشكل اللي عندها
بناء على هذا الكلام صار عندي two ordered pair are
equal يبقى المركبة الأولى هتساوي المركبة الأولى
والمركبة الثانية هتساوي المركبة الثانية يبقى بناء
عليه Alpha of G بديه يساوي Alpha of X and Beta of
H بديه يساوي Beta of Y شوف هذا شو بديه يعطينا الآن
الـ Alpha هذي isomorphism يبقى one to one and onto
إذا مدام one to one يبقى الـ G بده يساوي اللي هو
الـ X يبقى هنا الـ G بده يساوي الـ X and الـ H
بده يساوي الـ Y السبب بسبب أن Alpha و Beta هم one
to one ما دام صورتين متساويتين إذا الأصل متساوي لأن
الـ Alpha one to one و كذلك الـ Beta is one to one
يبقى بناء عليه هذا بديه يعطينا لو أخذت الـ G و الـ H
as an ordered الـ G عبارة عن مين؟ X و الـ H عبارة عن
مين؟ Y عبارة عن Y بالشكل اللي عندنا هذا يبقى أخذ
صورتين متساويتين واثبت إن أصل هماله متساوي لذلك
فاي is one to one
يبقى أنا بأخذ element في الـ G2 و X2 و H2 يبقى
بالدرجة يقول لو أخذت الـ X موجود مثلًا في الـ G2
external product مع H2 بشكل لعين هذا يبقى then بدي
أدور على شكل هذا الـ element يبقى شكل الـ element X
هذا بده يساوي element من G2 و element من H2
يبقى هذا الكلام بده يساوي element وليكن G2 و H2 من
H2 طيب هذا الكلام يساوي الـ G2 موجودة في G2 تمام و
Alpha is onto يبقى هذا الـ element له أصل في G1
صحيح ولا لأ يبقى هذا الكلام بقدر أشيل الـ G2 و
أكتبها Alpha of G1 مثلًا و بقدر أكتب هذا Beta of
each one شو السبب في ذلك لأن Alpha and Beta are
onto يبقى هنا since الـ Alpha and Beta are onto هذا
الكلام لو رجعته إلى أصله بلاقي هو التعريف اللي أنا
قايله هنا يبقى الأصل اللي بتابعه هو عبارة عن Phi
of G1 و H1 يبقى الـ element اللي أخدته في G2 و H2 اللي
جات له أصل في G1 و H1 اللي هو G1 و H1 صغير يبقى Phi
is in two ضايل عليه نثبت أن Phi is an isomorphism
يبقى باقي بقول Phi is an isomorphism يبقى بدي أنا
آخذ اللي هو الـPhi of حاصل ضرب two elements ال
element الأول اللي هو بدك تأخذه من هنا من مكان
يكون يبقى لو جئت قلت G وH مضروب في element ثاني
وليكن مثلا G prime وH prime بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا الكلام بده يساوي Phi of هذا الضرب عليه
بنضرب component wise حسب ما عرفنا عملية الضرب على
ال external product يبقى G G prime و H H prime
بالشكل اللي عندنا هذا هذا الكلام بده يساوي Phi لما
تأثر على هذا ال element يبقى Alpha للأول و Beta
للثاني يبقى هذا Alpha of G G prime و Beta of H H
prime الألف والبيتا كل واحدة فيهم isomorphism مدام
كل واحدة فيهم isomorphism إذا هذه Alpha of G وهذه
Alpha of G' وهذه Beta of H وهذه Beta of H' بالشكل
اللي عندنا هنا يبقى أثر على شكل order pair السؤال
هو هل ال order pair هذا بقدر أكتبه على شكل حاصل
ضرب two ordered pairs؟ الإجابة نعم، كيف؟ كالتالي،
شوفوا يا سيدتي، هاي باجي بقوله هنا Alpha of G بدي
آخذها مع Beta of H عشان الترتيب وهنا Alpha of G
prime بدي آخذها مع Beta of H prime يبقى هاي كتبتهم
على شكل حاصل ضرب قوسية يبقى هذا الكلام بده يساوي
الآن لو جئت للقوس الأول يبقى هذا Phi of GH يبقى هذا
Phi of GH الثاني عبارة عن Phi of G' وH' أطلع بدأت
بحاصل ضرب القوسين وصلت لـPhi الأول مضروبة في مين
في Phi التانية يبقى بناء عليه Phi is an
isomorphism يبقى
Isomorphism that is أي أن الـ G1 external product
مع H1 isomorphic ل G2 external product مع G2 وهو
المطلوب الشغل مش صعب سهل بس طويل شوية يعني بده
تمشي بدقة كبيرة طيب كان هذا هو السؤال رقم 14 خذ لي
16 بيقول في ال group Z 40 Z 30 هات لي two subgroups
of order 12 and
هذا
سؤال كده ايش قلنا؟ 16 16 يبقى in z 40 external
product مع z 30 find two subgroups
of order 12
طيب جالي في ال group هذي Z 30 Z 40 Extended like a
project مع Z 30 هات لي two sub groups of order 12
لا جالي Cyclic ولا غير Cyclic لكن اللي أسهل ليه أن
أجيب Cyclic إن جدرتها طيب بقوله كويسة طب كيف بدي
أجيب Cyclic ال order اللي هي سوية 12 بقوله كويسة
إذا بتقدريجب أن أجرب الـ order لـ element فيها
أربعة والتاني تلاتة يبقى الـ least common
multiple المجداش اتناش وكفى الله المنقتل هذا ال
element وولد ال subgroup من المطلوب إذا أنا بدي
أدور على عناصر من زد أربعين ال order اللي يكون
جداش أربعة صح؟ طيب مين العناصر اللي في Z أربعين
اللي ال order لهم يساوي أربعة حد بيقدر يجيب لي ولو
عنصر واحد عشرة ممتاز جدا يبقى عشرة موجودة في Z
أربعين وال order للعشرة بده يساوي أربعة ممتاز جدا
إذا أنا بده أروح على Z ثلاثين كمان برضه عشرة طيب
العشرة موجودة في Z ثلاثين and ال order للعشرة بده
يساوي كدهش بده يساوي ثلاثة إذا ال element اللي هو
عشرة وعشرة موجود في Z أربعين External Direct
Product مع Z ثلاثين ال order للعشرة وعشرة هو عبارة
عن ال least common multiple للأربعة والثلاثة اللي
هو يساوي قداش اتناش إذا هذا ال element بيعطيني ال
cyclic subgroup of order اتناش
يبقى (عشرة،عشرة) (عشرة،عشرة) هو عبارة عن
Cyclic Subgroup Cyclic Subgroup of order اثنا عشر
بدي أدور على غيره بدي أدور كمان على عنصر ثاني
كيف؟ اثنين وستة .. لا بدك .. ستة وأربعة ماشي ..
ستة وأربعة ماشي .. واحد واثنا عشر ماشي .. بس يلا
نلاقي .. يبقى الآن بدي أروح أدور على مين على
orders أخرى طيب ال order تبع العشرة هو أربعة نقدر
نجيب من z ثلاثين واحد ال order إله ستة أربعة وستة
ال order اللي مصير اثنا عشر least common multiple
مظبوط يبقى هنا مرة ثانية also أيضا العشرة أو ال
order للعشرة بده يساوي أربعة في z أربعين الآن
الخمسة الخامسة ال order إيه يساوي قداش؟ ستة مظبوط
ال order له يساوي ستة في Z ثلاثين يبقى إذا ال
order للعشرة وخمسة بده يساوي ال least common
multiple اللي هو من الأربعة والستة اللي هو كده
اثنا عشر يبقى إذا ال sub group generated by عشرة
وخمسة is a cyclic group of order اثنا عشر يبقى بناء
عليه هاي طلعنا له اثنتين subgroups ورغم أنه
ما اشترطش وقال هات لي subgroups وخلصنا يبقى أنا
جبت له subgroups وجبتهم له اثنتين زيادة على مقال أنه
اثنتين cyclic subgroups ال order لهم يساوي 12
اعتمدت في ذلك على من على ال order لل elements وهم
اللي رايحين في من في الحل
طيب كان هذا سؤال ستة عشر خذ لي سؤال ستة وعشرين سؤال
ستة وعشرين ستة وعشرين بيقول لي هات لي ال subgroup من z
أربعة بدي مثلا subgroup
of subgroup من مين من z4 external direct product
z4 external direct product مع z دي اثنين that is
not of the form not in the form اللي هو H external
product ل K حيث حياته where ال H subgroup من
Z4 and ال K subgroup من main subgroup من z2 و ال k
sub group من من z2
شوفوا يا سيدي نرجع مرة ثانية أنا عندي الآن ال z4
external direct product مع z2 هذه group الآن بدي
subgroup من هذه ال group بحيث ما تكونش على الشكل H
اللي هو external product مع K حيث H subgroup من Z
أربعة وال K subgroup من من من Z يعني بدي جيب لي ال
subgroup ثانية غير ال external product تبع هدول
تعال نشوف كيف بدنا نحل السؤال السؤال يحتاج إلى
تفكير ومن التفكير بنقدر نوصل للمطلب Z أربعة
external product ل Z اثنين not in the form ليست في
هذا الشكل احنا ده جبنا ال subgroup وجبنا ال
subgroup بنجيب لهم ال external product بنطلع
subgroup جديدة بقول ال subgroup الجديدة بديش إياها
ولا واحدة منها دول اللي أنت بتقول عليهم قلت له
تعال نشوف مين هم ال subgroups وبعدين بصير خير
تمام الآن لو جئت على z4 بدي أدور مين هم ال
subgroups تبعات z4 فبقى اجيب يقوله the only
subgroups of z4 are اللي ال order إلها واحد واللي
ال order إلها اثنين واللي ال order إلها أربعة
مظبوط يبقى اللي ال order إلها واحد هي ال identity
واللي ال order إلها اثنين هي ال sub group
generated by اثنين ايش ضال عندي؟ واحد وثلاثة واحد
وثلاثة بوالدولي نفس ال subgroup z أربعة يبقى هدول
ثلاثة لكن في الحقيقة هي واحدة بس يبقى الثالثة اللي
هي main z أربعة itself تمام؟ طيب الآن also the
only subgroups only subgroups of z2 are طبعا ال
identity ومين كمان والاثنين اللي هي ال subgroup
generated by one اللي هي z2 itself z2 itself طيب
لو بدي أكونه ال external product هذا يبقى بدي
أقوله الأولى مع الأولى اللي هي zero طبعا هذه فيش
فيها إلا مين عنصر واحد صحيح ال cyclic وفيش فيها
أقل عنصر واحد بدي أمسك الثانية الثانية اللي هي ال
zero نفسها مع ال subject ال zero نفسها مع z2
standard product مع z2 الثالثة خلصنا منها اللي
هي ال subgroup generated by اثنين external like
product مع من؟ مع الـ zero الـ subgroup generated by
اتنين external like product مع من؟ مع زد اتنين الآن
الـ z4 external product مع الـ zero آخر حاجة الـ
z4 external product مع الـ z2 هؤلاء كل الـ
subgroups اللي على الشكل اللي قدامي هذا جالي هذا
اللي بديش منهم ولا واحدة ولا واحدة من هدول قال لي
بيدي الـ subgroup من هذا ماهياش على الشكل اللي
عندنا هنا بقوله تعالي ندور الآن لو جالس له قوله
consider خد لي أول شيء الـ subgroup لازم يكون فيها
الـ identity element identity element تمام طيب لو
جيت أخد عندي هنا مثلا الـ zero و الـ one الـ zero
أخدته من z ولا أخدت خليك معايا بدي أخدي اتنين و
الـ zero اتنين وزيرو موجود في زد أربعة external
product لزيد دي اتنين وزيد أربعة لزيد تلاتة
اتاكد لي بالله سؤال جديد شو قلنا ستة وعشرين.. ستة
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين
..ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين
..ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. طيب يبقى الآن
بدي أخد الـ element zero و zero بدي أخد element
ثاني اتنين و zero موجود في واحدة من هدول اتنين
موجود فيها ده استنى شوية لأ لأ بدي أجيب هو قال لي
النقط ماهياش في الشكل اللي عندنا هل هادي الـ
subgroup هادي الـ subgroup صحيح بس استنى نشوفها هي
هادي ولا لأ
لأ لأ لأ استنى شوف بدنا نغيرها لو جيت قول واحد
وزيرو وزيرو وواحد وواحد وواحد الشكل اللي عندنا
نيجي نشوف هل هذه تساوي أي واحدة من هدول ولا لأ لأ
لو جيت لهذه خلصنا منها Zero واتنين يعني Zero Zero
Zero واحدة هذه ما فيش إلا عنصرين فيها طيب هذه برضه
كذلك ما فيش فيها إلا زت اتنين برضه عنصرين طيب هذه
اللي هي زت اتنين مع زت اتنين الكثير اللي بيكبره في
الـ Z أربعة اللي هو بالـ identity Zero وبعدين اتنين
بس عنصرين مع عنصرين أربعة عناصر اللي هم مين اللي هم
Zero و Zero Zero و واحد وبعدها بيجيني اتنين اتنين
مش من هدول يبقى ليست هذه والـ Z أربعة فيها أربعة
عناصر طبعا مش هادي والـ Z أربعة مع Z two طبعا
ماهياش هادي يبقى هذه ليست ولا واحدة من هدول اللي
عندنا يبقى هذه هي الـ sub group المطلوبة وهي ليست
أي واحدة من الست الأولين أيوة
لو بدك subgroup من هدفك بنفس الطريقة هذه بقصة
بتطول، ليش؟ إنه عندك عناصر كثير، أربعين في تلاتين،
ألف وميتين عنصر، مش سهلة، بس دول تمان عناصر مش
كثير، تمانية زي ألف وميتين، في السوق اللي هو محل
لهم من الإعراب، ايه نعم، هذا بزهج، بصدق
أنا ممتاز طب شوف الهدف
من ذلك الهدف من ذلك أن أنت ما تكونش عليه الشكل هذا
هي الأشكال كلها كتبناها بدك تجيب أي subgroup تكون
تستبعد منها هذه الأشكال طبعا الـ subgroup يال order
إلا واحد يا اتنين، يا أربعة، يا تمانية، لأنه زد
أربعة كسنوات بتمان عناصر، مظبوط؟ يبقى بدك تجيب لك
واحدة من هدول، أي نعم، لو بدك تسامد الآن اللي هو
الـ order اللي هو سوى تمانية، ليش؟ لأن هي هيه،
يبقى صف على شجرة، بدك تجي واحد أو اتنين أو أربع،
الـ order اللي هي واحد هيها يبقى صف على شجرة يبقى بضل
اتنين والاربعة اتنين هاي هاي بضلش إلا الاربعة
عناصر يبقى إجباري إينا أيوة هذه مش مغنقة
لو عملت العنصر الثاني مع العنصر الأخير فتبقى لك
اتنين واحد العنصر الثاني مع الأخير يبقى هذا طبعا
الأملاني اللي اتجمع يبقى بصير اتنين واحد استنى
شوية هذا طب لو قلت هذه اتنين.. لأ لو قلت هذه
اتنين واحد التانية طب
استنى نشوف هذه الآن واحد و اتنين بيصير تلاتة موجودة
تلاتة و واحد مش مشكلة كمان مرة اه هذه بيصير انيا
اتنين و قلت هذه اه ايش هذه؟ اتنين و صفر فعلا شوف طب
اتنين تربيع بصير أربعة و زيرو موجودة اتنين و اتنين
اللي هو بصير زيرو واحد زيرو واحد موجود صحيح وهذا
لو بدنا نربعها بصير أربعة و اتنين زيرو زيرو مظبوط
صحيح ايش تلاتة و واحد لأ لأ ماشي هيك ماشي مقبول
فصحيح وين
صفر و واحد؟ ضرب اتنين و واحد هنا جامعة جامعة مش
ضاربة اه اه الصفر هي موجود اه الـ operation عليها
عملية جامعة وهي كده طيب هذا سؤال ستة و عشرين خدي
سؤال 28 بيقول لي هات لي كل الـ subgroups اللي الـ order
إلها 4 في z 4 external direct product مع z 4 يبقى
سؤال 28 28 بيقول لي find all subgroups بدنا الـ all
subgroups
of order أربعة in z أربعة external product مع z
أربعة
سؤال مرة ثانية زد أربعة كتير نضالك الـ product مع
زد أربعة فيها ستة عشر عنصر، مظبوط؟ الآن بدي كل الـ
sub groups اللي الـ order اللي لهم يساوي أربعة
تعالى نفكر احنا وإياكم تفكير بهذا الشكل الآن لو
جيت للعنصر اللي هو واحد و zero كداش الـ order له؟
أربعة يبقى هذا بيولد لي الـ sub group الـ order إلها
يساوي أربعة طيب لو جيت لـ zero و واحد أربعة يبقى
بالشكل اللي عندنا هنا طيب لو جيت لمين لـ الـ واحد و
واحد أربعة subgroup generated by واحد وواحد أربعة
طب لو قلت لك subgroup generated by واحد واتنين
أربعة
طب لو قلت لك subgroup generated by اتنين وواحد
أربعة
طب لو قلت لك subgroup generated by واحد و تلاتة
طيب لو قلت لك subgroup generated by تلاتة و واحد و
نفس الـ group زد أربع زد أربع هي نفسها اللي بسهل
العملية أي نعم جداش صاروا هدول اتنين أربع خمسة و
اتنين سبعة طيب خد لك هال group هذه مش زيهم cyclic
عادي زي ما جيبنا هذه لو جيت قلت لك zero و zero و
zero و اتنين و اتنين و zero و اتنين و اتنين تعال
في الأول نشوفها subgroup ولا لأ طبع الـ order اللي
هيها يساوي أربعة تمام لو جاتي لهذه اتنين و اتنين
جمعنا بصير كده اتنين و اتنين نربعها يعني لو بتضرب
العنصر في نفسه يبقى بيطلع 00 هي موجود طبعا طب لو
هذا مع هذا بصير الـ zero و أربعة يعني اتنين و zero
اتنين و zero هي موجود تمام؟ لو جيت قلت لي zero و
اتنين أو اتنين أو زيرو في هذا هتلاقي موجود تمام؟
طب لو هده ضربت بنفسه أربعة و أربعة هي zero و zero
يبقى هو الـ sub group على طول الخط لكن هدى مش زيهم
ماهياش cyclic تعال امسك أي element آخر اللي يمكن
تلاقي يجيبك ايه اش أربع عناظر فمثلا هات لي أي
element غير اللي قدامك في الـ group هذه نشوف وكم
عنصر بده يجيب يلا اختاروا أي رقم غير الارقام أي
عنصر غير العناصر هذه تلاتة و تلاتة موجودة تلاتة و
تلاتة تربيع يعني ستة و ستة جامعة يعني ستة و ستة
يعني اتنين و اتنين تلاتة و تلاتة كعيب يعني تسعة
تسعة و تسعة اللي هي واحد و واحد و واحد و واحد طيب
لو جيت قول تلاتة و تلاتة يبقى اللي هي تلاتة
و أربعة اللي هي الصفر و الصفر مظبوط اللي هو الـ
identity كمان هذه منهم ولا لا اه هذه طلعت كمان
منهم و قال لي كل الـ sub group اللي الـ order إلها طب
اتنين و اتنين ما هو
السهل إنك تحط العناصر قدامك و تبدأ تدور فيهم فيش
شغلة محددة
هذه الخطوة مختلفة عن هذه الخطوة وهي سهلة للغاية
لكن هذه الخطوة بتجيبها من أين؟ أنا بحط قدامي عناصر
الـ group اللي كلها زي أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات
أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو
أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو
أربعة كسنوات أو أربعة
كسنوات أو أربعة كالحين دلت مننا ناله ثلاثة وثلاثة
الآن كمان هذه ثلاثة وثلاثة نسيناها يبقى الـ sub
group generated by ثلاثة وثلاثة طيب لأنه فيه
قبلها واحد وواحد لكن اثنين واثنين لا اثنين الـ
order إليها يساوي اثنين يبقى كل الـ sub groups
الممكنة اللي عندنا طيب لو جاء صفر وثلاثة
أه أربعة أربعة ليش ما تكونش منهم الـ صفر والثلاثة
والثلاثة وصفر كمان أه حط عليهم الـ صفر و
الثلاثة and ثلاثة وصفر طب ليش اختارت ثلاثة
ليش ما اختارت اثنين لأن ثلاثة والواحد هدول
relatively prime مع الـ main مع اللي هو أربعة يبقى هدول
كلهم اش ما تاخد صفر واحد وواحد وصفر أخدناه مش
هيك هاي أول مبادئنا فيهم يبقى ما فيش مشكلة هيك
بيكون خلصنا كل اللي هو الـ subgroups اللي الـ order
اللي يساوي أربعة في الـ group اللي عندنا
طيب هذا سؤال ثمانية وعشرين سؤال اثنين وثلاثين
find a subgroup من z12, z4, z15 الـ order لها يساوي
تسعة يبقى سؤال اثنين وثلاثين بدنا subgroup of z12
External Direct Product مع زد أربعة External
Direct Product مع زد خمسة عشر
that has order
تسعة خلي
بالك هنا كويس خليني أسألكم سؤال ثاني، هل في
element هنا الـ order إيه اللي بيساوي تسعة؟ ولا بدي
أشوف، أنا بحكي عليه هادي بس، لأن تسعة دقيقة مش
اثناش ولا element هنا الـ order يساوي تسعة ولا
element هنا الـ order يساوي تسعة يبقى ما عنديش ولا
element الـ order يساوي تسعة في أي من الـ group
المنفردات الثلاثة اللي عندنا هذه طيب أنا مش هنجيب
الـ order تسعة مش هنجيب الـ order تسعة تبع هذه الـ
sub group بدي يكون عندي هدول ثلاثة ثلاثة أو ثلاثة
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو
ثلاثة
لو أخدت group الـ order إلها ثلاثة وواحدة الـ order
إلها واحد وواحدة الـ order إلها ثلاثة بيصير عندي
قد ايش الـ order للـ external product تسعة الـ order
للـ group كلها بصير تسعة مش باخدش elements باخد
group كاملة الـ order لها ثلاثة أو sub group تمام
يعني بناء عليه لا يمكن ألاقي sub group من الـ
groups هدول الـ order لها يساوي تسعة مش إمكانية لكن
بنعمل عملية تحايل بالداجة الأولى بدي أخد منها الـ
sub group الـ order لها يساوي ثلاثة ومن الثانية الـ
subgroup الـ order إلها يساوي ثلاثة أو ثلاثة في شيء
ممكن نقول واحد مثلا والثالثة بتاخد subgroup الـ
order إلها يساوي ثلاثة يبقى دول لو ضربتها مكون
جديش تسعة تقدر تجيب أه بقدر ليش لأن زد اثناش وزد
أربعة وزد خمسة عشر كلهم cyclic group وفي نظرية كانت في
chapter أربعة بتقولي أي subgroup من cyclic group
بتكون cyclic تمام باجي بقوله كويسة الآن لو جيت
أخطط الـ HBA subgroup of Z12 with order مثلا with
order ثلاثة and k is a subgroup من z4 with order
واحد والـ
subgroup من z15 with order واحد ثلاثة طبعا كله ممكن
لأن ثلاثة بتجسم الخمسة عشر والواحد بيجسم الأربعة
وثلاثة بتجسم الاثناش يعني for example for
example الـ
group generated by أربعة الـ order اللي قد ايش يساوي
هنا
ثلاثة تمام هاي ليش أربعة الـ صفر أربعة ثمانية يبقى
الـ order لها تساوي ثلاثة والـ صفر الـ order له
يساوي كده ايش واحد من الثانية هذه والثالثة بداخل من
خمسة عشر بداخل الـ group generated by خمسة الـ order
كمان يساوي كم؟ يساوي ثلاثة يبقى الـ order يساوي
ثلاثة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى الـ least يبقى الـ
order للـ external direct product الـ order للـ
external direct product مع من؟ مع الـ صفر مع من؟
مع الـ subgroup generated by خمسة الـ order لها
يساوي الـ order للـ subgroup generated by أربعة لمن
الـ order لـ الـ صفر في الـ order للـ subgroup
generated by خمسة ويساوي ثلاثة في واحد في ثلاثة و
يساوي تسعة يبقى هي جبتله subgroup من الـ group
الأصلية الـ order إلها يساوي تسعة كان هذا سؤال
اثنين وثلاثين