1
00:00:20,650 --> 00:00:24,730
الله رحمة ورحمة أنهينا في المحاضرة الماضية chapter

2
00:00:24,730 --> 00:00:28,550
ثمانية كجزء نظري والآن هذه المحاضرة إن شاء الله 

3
00:00:28,550 --> 00:00:35,150
سنناقش بعض الأسئلة بقدر ما نستطيع خلال هذه الساعة

4
00:00:35,150 --> 00:00:43,140
إن شاء الله تعالى نبدأ بالأسئلة على Chapter 8 والتي

5
00:00:43,140 --> 00:00:47,920
تتعلق بالـ product external direct هو نبدأ بالسؤال

6
00:00:47,920 --> 00:00:52,620
السادس مثلًا بيقول prove by comparing orders of the

7
00:00:52,620 --> 00:00:57,200
element يبقى اللي بدك تستخدم طريقة المقارنة بين

8
00:00:57,200 --> 00:01:08,610
العناصر لإثبات أنه لإثبات أن Z8 external direct

9
00:01:08,610 --> 00:01:17,670
product مع Z2 is not isomorphic

10
00:01:17,670 --> 00:01:18,970
إلى Z4

11
00:01:23,930 --> 00:01:28,970
يبقى دلني على طريقة يقول لي استخدم لي الـ orders لل

12
00:01:28,970 --> 00:01:33,270
element في كلا الـ two groups للحكم على أن الـ group

13
00:01:33,270 --> 00:01:37,930
الأولى ليست isomorphic للـ group الثانية فمثلًا لو

14
00:01:37,930 --> 00:01:41,810
جيت للـ group الأولى هل فيها element of order

15
00:01:41,810 --> 00:01:49,270
ثمانية بالمرة Z ثمانية × ثانية direct product مع Z

16
00:01:49,270 --> 00:01:49,730
اثنين

17
00:01:53,360 --> 00:01:59,800
بس فيها .. فيها اثنين والثمانية ولا جزاك؟ ثمانية

18
00:01:59,800 --> 00:02:05,740
واتنين الواحد

19
00:02:05,740 --> 00:02:09,080
والواحد

20
00:02:09,080 --> 00:02:14,500
كويس، في غيره؟ الواحد والصفر يبقى عندي بدل الـ

21
00:02:14,500 --> 00:02:18,020
element اثنين الـ orders اللي هم يساووا ثمانية

22
00:02:18,020 --> 00:02:22,560
الواحد في الـ Z ثمانية الـ order اللي هو ثمانية الـ

23
00:02:22,560 --> 00:02:25,280
zero الـ order اللي هو واحد الـ least common

24
00:02:25,280 --> 00:02:28,660
multiple بين الثمانية والواحد اللي هو ثمانية مظبوط

25
00:02:28,660 --> 00:02:35,800
يبقى هنا عندي الـ element واحد و zero موجود في Z

26
00:02:35,800 --> 00:02:42,970
ثمانية external direct product with order اللي هو

27
00:02:42,970 --> 00:02:48,030
ثمانية الـ order لهذا الـ element ثمانية الآن بنجي لـ

28
00:02:48,030 --> 00:02:52,590
Z أربعة direct product مع Z أربعة هل بتلاقي في

29
00:02:52,590 --> 00:02:56,430
element الـ order اللي بيساوي ثمانية رغم أنه ستة

30
00:02:56,430 --> 00:03:02,410
عشر عنصر ها في element Z أربعة الـ order لهم يا إما

31
00:03:02,410 --> 00:03:06,790
واحد يا إما اثنين يا أربعة والتاني واحد واثنين

32
00:03:06,790 --> 00:03:10,410
وأربعة هل في least common multiple فيهم أكثر من

33
00:03:10,410 --> 00:03:15,710
أربعة الذي يسكب الملتقب لهذه الـ order فيه أكثر من

34
00:03:15,710 --> 00:03:24,090
أربعة ما عندهوش يبقى باجي بقول له بطولكن الـ Z أربعة

35
00:03:24,090 --> 00:03:34,830
external product مع Z أربعة has no element of

36
00:03:34,830 --> 00:03:38,990
order ثمانية because

37
00:03:41,450 --> 00:03:54,550
The maximum order in Z4 is 4

38
00:03:57,180 --> 00:04:00,700
لأن الـ order للـ element بيقسم الـ order للـ group

39
00:04:00,700 --> 00:04:04,580
إذا Z أربعة لا يوجد فيها إلا الـ elements الـ order

40
00:04:04,580 --> 00:04:09,580
الواحد اللي هو الـ identity والاثنين اللي هو العدد

41
00:04:09,580 --> 00:04:13,740
اثنين وكذلك الأربعة اللي هو العدد واحد وثلاثة

42
00:04:13,740 --> 00:04:19,380
تمام؟ يبقى من هنا أقصى order عندي في Z أربعة direct

43
00:04:19,380 --> 00:04:23,760
product كبيرة زي Z أربعة هو أربعة وهذه ثمانية يبقى

44
00:04:23,760 --> 00:04:29,010
اثنين هذول ما لهم isomorphic يبقى التزام في

45
00:04:29,010 --> 00:04:33,810
الكلام اللي قالي وصلت للنتيجة بدنا نروح لسؤال

46
00:04:33,810 --> 00:04:42,490
أربعة عشر سؤال أربعة عشر بيقول ما يأتي suppose الـ G1

47
00:04:42,490 --> 00:04:53,490
isomorphic إلى G2 و group ثانية H1 isomorphic لمن؟

48
00:04:53,490 --> 00:05:03,330
لـ H2 هو H1 isomorphic لـ H2 prove that اثبت أنه الـ

49
00:05:03,330 --> 00:05:10,530
G1 external direct product مع H1 isomorphic لـ G2

50
00:05:10,530 --> 00:05:19,550
external direct product مع H2 هذا اللي احنا بدنا نروح

51
00:05:19,550 --> 00:05:26,330
نثبته إذا دائمًا وأبدًا بنحاول نستفيد من المعطيات

52
00:05:26,330 --> 00:05:31,190
اللي عندنا في إثبات المطلوب هذول two groups are

53
00:05:31,190 --> 00:05:35,790
isomorphic هذول two groups are isomorphic أخذت الـ

54
00:05:35,790 --> 00:05:38,830
external product ما بين الـ group الأولى و الـ group

55
00:05:38,830 --> 00:05:42,280
الأولى من المجموعة الثانية والجروب الثانية مع

56
00:05:42,280 --> 00:05:46,480
الجروب الثانية بدي أثبت أنه اللي هو الـ external

57
00:05:46,480 --> 00:05:50,460
product هذا ما له isomorphic للـ external product

58
00:05:50,460 --> 00:05:55,480
اللي عندنا هذا يبقى الحلقة التالية solution

59
00:06:00,220 --> 00:06:09,660
أفترض أن الـ Alpha من الـ G1 إلى الـ G2 و الـ Beta

60
00:06:09,660 --> 00:06:18,860
من الـ H1 إلى الـ H2 هم isomorphism

61
00:06:20,010 --> 00:06:24,330
يبقى بدي أفترض إن هذول الاثنين isomorphism الآن

62
00:06:24,330 --> 00:06:29,750
هذا مشان أثبت إن اثنين isomorphism بدي أعرف

63
00:06:29,750 --> 00:06:33,530
function من الجروب الأولى إلى الجروب الثانية وأثبت

64
00:06:33,530 --> 00:06:37,390
أنها one to one and one to one وتخدم خاصية الـ isomorphism

65
00:06:37,390 --> 00:06:40,710
إذا بدي أقول له define

66
00:06:43,180 --> 00:06:52,220
A function في من الـ G1 و H1 كـ external direct product

67
00:06:52,220 --> 00:06:55,760
من

68
00:06:55,760 --> 00:07:05,860
الـ G1 و H1 لمين؟ لـ G2 كـ external direct product مع H2

69
00:07:05,860 --> 00:07:16,200
بـ في of بدي آخذ element من G1 وليكن G و H فعلي ما

70
00:07:16,200 --> 00:07:24,520
تأثر على G و H بدي أوديها وين؟ في الـ group G2 و H2

71
00:07:24,520 --> 00:07:31,280
طيب G2 هذه مش هي G2 هذه صح؟ إذا الـ element اللي

72
00:07:31,280 --> 00:07:37,350
هنا هو صورة لـ element من هنا الفانكشن من هنا لهنا

73
00:07:37,350 --> 00:07:44,510
شو سميتها Alpha يبقى هذه بقدر آخذها Alpha of G

74
00:07:44,510 --> 00:07:52,690
يبقى هذه بقدر أقول Alpha of G ليش؟ لأن Alpha of G G

75
00:07:52,690 --> 00:07:59,210
موجودة في G1 واحنا عندنا هنا G موجودة في G1 يبقى

76
00:07:59,210 --> 00:08:04,350
هنا صورتها في G2 صورتها في G2 اللي Alpha of G

77
00:08:05,900 --> 00:08:12,960
بتداجر للـ H الـ H موجودة في الـ H1 تمام أنا عندي

78
00:08:12,960 --> 00:08:18,140
Beta من H1 إلى H2 يبقى H اللي موجودة في H1 صورتها

79
00:08:18,140 --> 00:08:25,520
تبقى Beta of H يبقى هذا Beta of H بالشكل اللي

80
00:08:25,520 --> 00:08:32,520
عندنا يبقى هكذا عرفت الدالة تعريفًا سليمًا الآن هذه

81
00:08:32,520 --> 00:08:37,400
الدالة بدي أحاول أثبت أنها one to one and onto

82
00:08:37,400 --> 00:08:42,120
وتخدم خاصية الـ isomorphism إن تم لذلك يبقى بيكونوا

83
00:08:42,120 --> 00:08:45,660
اثنين هذول are isomorphic وبكون أنت هنا من هالشغل

84
00:08:45,660 --> 00:08:51,020
هادى يبقى بدي آجي للخطوة الأولى بدي أثبت له إن فاي

85
00:08:51,020 --> 00:08:58,240
is one to one مشان هيك بدي آخذ صورتين متساويتين

86
00:08:58,240 --> 00:09:08,360
Assume Phi of G و H بدي أساوي Phi of X و Y مثلًا إذا

87
00:09:08,360 --> 00:09:14,420
قدرت أثبت إن الـ ordered pair G و H هو الـ ordered pair X

88
00:09:14,420 --> 00:09:16,540
و Y بكون انتهينا من الشغل يعني

89
00:09:19,880 --> 00:09:25,740
بتداجي لصورة الـ element الأول حسب التعريف يبقى

90
00:09:25,740 --> 00:09:35,420
Alpha of G و Beta of H يبقى هذه تبقى Alpha of G و

91
00:09:35,420 --> 00:09:41,760
Beta of H بالشكل اللي عندنا هنا الـ Phi of X بنفس

92
00:09:41,760 --> 00:09:51,500
الطريقة يبقى هادي Alpha of X الصورة والثانية Beta

93
00:09:51,500 --> 00:09:53,920
of Y الشكل اللي عندها

94
00:09:57,060 --> 00:10:01,740
بناء على هذا الكلام صار عندي two ordered pair are

95
00:10:01,740 --> 00:10:05,240
equal يبقى المركبة الأولى هتساوي المركبة الأولى

96
00:10:05,240 --> 00:10:10,020
والمركبة الثانية هتساوي المركبة الثانية يبقى بناء

97
00:10:10,020 --> 00:10:17,900
عليه Alpha of G بديه يساوي Alpha of X and Beta of

98
00:10:17,900 --> 00:10:24,180
H بديه يساوي Beta of Y شوف هذا شو بديه يعطينا الآن

99
00:10:24,180 --> 00:10:29,940
الـ Alpha هذي isomorphism يبقى one to one and onto

100
00:10:29,940 --> 00:10:34,960
إذا مدام one to one يبقى الـ G بده يساوي اللي هو

101
00:10:34,960 --> 00:10:42,960
الـ X يبقى هنا الـ G بده يساوي الـ X and الـ H

102
00:10:42,960 --> 00:10:51,920
بده يساوي الـ Y السبب بسبب أن Alpha و Beta هم one

103
00:10:51,920 --> 00:10:57,500
to one ما دام صورتين متساويتين إذا الأصل متساوي لأن

104
00:10:57,500 --> 00:11:02,000
الـ Alpha one to one و كذلك الـ Beta is one to one

105
00:11:02,000 --> 00:11:08,360
يبقى بناء عليه هذا بديه يعطينا لو أخذت الـ G و الـ H

106
00:11:08,360 --> 00:11:15,900
as an ordered الـ G عبارة عن مين؟ X و الـ H عبارة عن

107
00:11:15,900 --> 00:11:20,420
مين؟ Y عبارة عن Y بالشكل اللي عندنا هذا يبقى أخذ

108
00:11:20,420 --> 00:11:26,890
صورتين متساويتين واثبت إن أصل هماله متساوي لذلك

109
00:11:26,890 --> 00:11:28,630
فاي is one to one

110
00:11:34,980 --> 00:11:43,220
يبقى أنا بأخذ element في الـ G2 و X2 و H2 يبقى

111
00:11:43,220 --> 00:11:50,340
بالدرجة يقول لو أخذت الـ X موجود مثلًا في الـ G2

112
00:11:50,340 --> 00:12:00,280
external product مع H2 بشكل لعين هذا يبقى then بدي

113
00:12:00,280 --> 00:12:06,570
أدور على شكل هذا الـ element يبقى شكل الـ element X

114
00:12:06,570 --> 00:12:12,370
هذا بده يساوي element من G2 و element من H2

115
00:12:12,370 --> 00:12:20,370
يبقى هذا الكلام بده يساوي element وليكن G2 و H2 من

116
00:12:20,370 --> 00:12:30,200
H2 طيب هذا الكلام يساوي الـ G2 موجودة في G2 تمام و

117
00:12:30,200 --> 00:12:38,180
Alpha is onto يبقى هذا الـ element له أصل في G1

118
00:12:38,180 --> 00:12:43,260
صحيح ولا لأ يبقى هذا الكلام بقدر أشيل الـ G2 و

119
00:12:43,260 --> 00:12:51,940
أكتبها Alpha of G1 مثلًا و بقدر أكتب هذا Beta of

120
00:12:51,940 --> 00:12:57,180
each one شو السبب في ذلك لأن Alpha and Beta are

121
00:12:57,180 --> 00:13:10,440
onto يبقى هنا since الـ Alpha and Beta are onto هذا

122
00:13:10,440 --> 00:13:15,400
الكلام لو رجعته إلى أصله بلاقي هو التعريف اللي أنا

123
00:13:15,400 --> 00:13:21,100
قايله هنا يبقى الأصل اللي بتابعه هو عبارة عن Phi

124
00:13:21,100 --> 00:13:28,960
of G1 و H1 يبقى الـ element اللي أخدته في G2 و H2 اللي

125
00:13:28,960 --> 00:13:36,600
جات له أصل في G1 و H1 اللي هو G1 و H1 صغير يبقى Phi

126
00:13:36,600 --> 00:13:41,600
is in two ضايل عليه نثبت أن Phi is an isomorphism

127
00:13:41,600 --> 00:13:50,020
يبقى باقي بقول Phi is an isomorphism يبقى بدي أنا 

128
00:13:50,020 --> 00:13:55,920
آخذ اللي هو الـPhi of حاصل ضرب two elements ال

129
00:13:55,920 --> 00:14:01,100
element الأول اللي هو بدك تأخذه من هنا من مكان

130
00:14:01,100 --> 00:14:08,120
يكون يبقى لو جئت قلت G وH مضروب في element ثاني

131
00:14:08,120 --> 00:14:14,720
وليكن مثلا G prime وH prime بالشكل اللي عندنا هذا

132
00:14:15,810 --> 00:14:21,390
يبقى هذا الكلام بده يساوي Phi of هذا الضرب عليه

133
00:14:21,390 --> 00:14:25,770
بنضرب component wise حسب ما عرفنا عملية الضرب على

134
00:14:25,770 --> 00:14:32,350
ال external product يبقى G G prime و H H prime

135
00:14:32,350 --> 00:14:39,440
بالشكل اللي عندنا هذا هذا الكلام بده يساوي Phi لما

136
00:14:39,440 --> 00:14:43,900
تأثر على هذا ال element يبقى Alpha للأول و Beta 

137
00:14:43,900 --> 00:14:52,700
للثاني يبقى هذا Alpha of G G prime و Beta of H H

138
00:14:52,700 --> 00:14:58,950
prime  الألف والبيتا كل واحدة فيهم isomorphism مدام

139
00:14:58,950 --> 00:15:04,790
كل واحدة فيهم isomorphism إذا هذه Alpha of G وهذه

140
00:15:04,790 --> 00:15:14,430
Alpha of G' وهذه Beta of H وهذه Beta of H' بالشكل

141
00:15:14,430 --> 00:15:19,000
اللي عندنا هنا يبقى أثر على شكل order pair السؤال

142
00:15:19,000 --> 00:15:25,600
هو هل ال order pair هذا بقدر أكتبه على شكل حاصل

143
00:15:25,600 --> 00:15:31,240
ضرب two ordered pairs؟ الإجابة نعم، كيف؟ كالتالي،

144
00:15:31,240 --> 00:15:36,140
شوفوا يا سيدتي، هاي باجي بقوله هنا Alpha of G بدي

145
00:15:36,140 --> 00:15:43,870
آخذها مع Beta of H عشان الترتيب وهنا Alpha of G

146
00:15:43,870 --> 00:15:50,450
prime بدي آخذها مع Beta of H prime يبقى هاي كتبتهم

147
00:15:50,450 --> 00:15:55,830
على شكل حاصل ضرب قوسية يبقى هذا الكلام بده يساوي

148
00:15:55,830 --> 00:16:04,650
الآن لو جئت للقوس الأول يبقى هذا Phi of GH يبقى هذا

149
00:16:04,650 --> 00:16:16,880
Phi of GH الثاني عبارة عن Phi of G' وH'  أطلع بدأت

150
00:16:16,880 --> 00:16:22,020
بحاصل ضرب القوسين وصلت لـPhi الأول مضروبة في مين

151
00:16:22,020 --> 00:16:26,700
في Phi التانية يبقى بناء عليه Phi is an

152
00:16:26,700 --> 00:16:29,640
isomorphism يبقى

153
00:16:34,510 --> 00:16:42,450
Isomorphism that is أي أن الـ G1 external product

154
00:16:42,450 --> 00:16:51,850
مع H1 isomorphic ل G2 external product مع G2 وهو

155
00:16:51,850 --> 00:16:57,590
المطلوب الشغل مش صعب سهل بس طويل شوية يعني بده

156
00:16:57,590 --> 00:17:07,460
تمشي بدقة كبيرة طيب كان هذا هو السؤال رقم 14 خذ لي

157
00:17:07,460 --> 00:17:15,260
16 بيقول في ال group Z 40 Z 30 هات لي two subgroups

158
00:17:15,260 --> 00:17:20,980
of order 12 and

159
00:17:20,980 --> 00:17:24,360
هذا

160
00:17:24,360 --> 00:17:33,400
سؤال كده ايش قلنا؟ 16 16 يبقى in z 40 external

161
00:17:33,400 --> 00:17:42,880
product مع z 30 find two subgroups

162
00:17:42,880 --> 00:17:47,780
of order 12

163
00:17:57,100 --> 00:18:02,960
طيب جالي في ال group هذي Z 30 Z 40 Extended like a

164
00:18:02,960 --> 00:18:07,480
project مع Z 30 هات لي two sub groups of order 12

165
00:18:07,480 --> 00:18:11,720
لا جالي Cyclic ولا غير Cyclic لكن اللي أسهل ليه أن

166
00:18:11,720 --> 00:18:17,660
أجيب Cyclic إن جدرتها طيب بقوله كويسة طب كيف بدي

167
00:18:17,660 --> 00:18:21,440
أجيب Cyclic ال order اللي هي سوية 12 بقوله كويسة

168
00:18:21,440 --> 00:18:27,530
إذا بتقدريجب أن أجرب الـ order لـ element فيها

169
00:18:27,530 --> 00:18:30,910
أربعة والتاني تلاتة يبقى الـ least common

170
00:18:30,910 --> 00:18:35,270
multiple المجداش اتناش وكفى الله المنقتل هذا ال

171
00:18:35,270 --> 00:18:40,390
element وولد ال subgroup من المطلوب إذا أنا بدي

172
00:18:40,390 --> 00:18:46,710
أدور على عناصر من زد أربعين ال order اللي يكون

173
00:18:46,710 --> 00:18:53,750
جداش أربعة صح؟ طيب مين العناصر اللي في Z أربعين

174
00:18:53,750 --> 00:18:59,530
اللي ال order لهم يساوي أربعة حد بيقدر يجيب لي ولو

175
00:18:59,530 --> 00:19:07,200
عنصر واحد عشرة ممتاز جدا يبقى عشرة موجودة في Z

176
00:19:07,200 --> 00:19:14,560
أربعين وال order للعشرة بده يساوي أربعة ممتاز جدا

177
00:19:14,560 --> 00:19:21,220
إذا أنا بده أروح على Z ثلاثين كمان برضه عشرة طيب

178
00:19:21,220 --> 00:19:27,980
العشرة موجودة في Z ثلاثين and ال order للعشرة بده

179
00:19:27,980 --> 00:19:34,370
يساوي كدهش بده يساوي ثلاثة إذا ال element اللي هو

180
00:19:34,370 --> 00:19:40,370
عشرة وعشرة موجود في Z أربعين External Direct

181
00:19:40,370 --> 00:19:50,070
Product مع Z ثلاثين ال order للعشرة وعشرة هو عبارة

182
00:19:50,070 --> 00:19:55,130
عن ال least common multiple للأربعة والثلاثة اللي

183
00:19:55,130 --> 00:20:00,470
هو يساوي قداش اتناش إذا هذا ال element بيعطيني ال

184
00:20:00,470 --> 00:20:02,910
cyclic subgroup of order اتناش

185
00:20:05,800 --> 00:20:14,800
يبقى (عشرة،عشرة) (عشرة،عشرة) هو عبارة عن

186
00:20:14,800 --> 00:20:26,480
Cyclic Subgroup Cyclic Subgroup of order اثنا عشر

187
00:20:26,480 --> 00:20:34,000
بدي أدور على غيره بدي أدور كمان على عنصر ثاني

188
00:20:38,630 --> 00:20:47,730
كيف؟ اثنين وستة .. لا بدك .. ستة وأربعة ماشي ..

189
00:20:47,730 --> 00:20:51,470
ستة وأربعة ماشي .. واحد واثنا عشر ماشي .. بس يلا

190
00:20:51,470 --> 00:20:55,250
نلاقي .. يبقى الآن بدي أروح أدور على مين على

191
00:20:55,250 --> 00:21:04,750
orders أخرى طيب ال order تبع العشرة هو أربعة نقدر

192
00:21:04,750 --> 00:21:10,550
نجيب من z ثلاثين واحد ال order إله ستة أربعة وستة

193
00:21:10,550 --> 00:21:13,250
ال order اللي مصير اثنا عشر least common multiple

194
00:21:13,250 --> 00:21:21,010
مظبوط يبقى هنا مرة ثانية also أيضا العشرة أو ال

195
00:21:21,010 --> 00:21:28,440
order للعشرة بده يساوي أربعة في z أربعين الآن

196
00:21:28,440 --> 00:21:37,500
الخمسة الخامسة ال order إيه يساوي قداش؟ ستة مظبوط

197
00:21:37,670 --> 00:21:45,150
ال order له يساوي ستة في Z ثلاثين يبقى إذا ال

198
00:21:45,150 --> 00:21:51,910
order للعشرة وخمسة بده يساوي ال least common

199
00:21:51,910 --> 00:21:58,630
multiple اللي هو من الأربعة والستة اللي هو كده

200
00:21:58,630 --> 00:22:04,970
اثنا عشر يبقى إذا ال sub group generated by عشرة

201
00:22:04,970 --> 00:22:19,620
وخمسة is a cyclic group of order اثنا عشر يبقى بناء

202
00:22:19,620 --> 00:22:24,000
عليه هاي طلعنا له اثنتين subgroups ورغم أنه

203
00:22:24,000 --> 00:22:28,120
ما اشترطش وقال هات لي subgroups وخلصنا يبقى أنا

204
00:22:28,120 --> 00:22:33,620
جبت له subgroups وجبتهم له اثنتين زيادة على مقال أنه

205
00:22:33,620 --> 00:22:39,160
اثنتين cyclic subgroups ال order لهم يساوي 12

206
00:22:39,160 --> 00:22:45,120
اعتمدت في ذلك على من على ال order لل elements وهم

207
00:22:45,120 --> 00:22:48,540
اللي رايحين في من في الحل

208
00:22:51,060 --> 00:23:04,520
طيب كان هذا سؤال ستة عشر خذ لي سؤال ستة وعشرين سؤال

209
00:23:04,520 --> 00:23:12,180
ستة وعشرين ستة وعشرين بيقول لي هات لي ال subgroup من z

210
00:23:12,180 --> 00:23:16,400
أربعة بدي مثلا subgroup

211
00:23:18,720 --> 00:23:28,460
of subgroup من مين من z4 external direct product

212
00:23:28,460 --> 00:23:35,640
z4 external direct product مع z دي اثنين that is

213
00:23:35,640 --> 00:23:46,880
not of the form not in the form اللي هو H external

214
00:23:46,880 --> 00:23:59,480
product ل K حيث حياته where ال H subgroup من

215
00:23:59,480 --> 00:24:10,530
Z4 and ال K subgroup من main subgroup من z2 و ال k

216
00:24:10,530 --> 00:24:17,230
sub group من من z2

217
00:24:17,230 --> 00:24:27,190
شوفوا يا سيدي نرجع مرة ثانية أنا عندي الآن ال z4

218
00:24:27,190 --> 00:24:33,250
external direct product مع z2 هذه group الآن بدي

219
00:24:33,250 --> 00:24:39,410
subgroup من هذه ال group بحيث ما تكونش على الشكل H

220
00:24:39,410 --> 00:24:45,890
اللي هو external product مع K حيث H subgroup من Z

221
00:24:45,890 --> 00:24:51,590
أربعة وال K subgroup من من من Z يعني بدي جيب لي ال

222
00:24:51,590 --> 00:24:56,910
subgroup ثانية غير ال external product تبع هدول

223
00:24:58,090 --> 00:25:03,850
تعال نشوف كيف بدنا نحل السؤال السؤال يحتاج إلى

224
00:25:03,850 --> 00:25:09,720
تفكير ومن التفكير بنقدر نوصل للمطلب Z أربعة

225
00:25:09,720 --> 00:25:14,100
external product ل Z اثنين not in the form ليست في

226
00:25:14,100 --> 00:25:17,840
هذا الشكل احنا ده جبنا ال subgroup وجبنا ال

227
00:25:17,840 --> 00:25:20,820
subgroup بنجيب لهم ال external product بنطلع

228
00:25:20,820 --> 00:25:25,200
subgroup جديدة بقول ال subgroup الجديدة بديش إياها

229
00:25:25,200 --> 00:25:28,830
ولا واحدة منها دول اللي أنت بتقول عليهم قلت له

230
00:25:28,830 --> 00:25:32,410
تعال نشوف مين هم ال subgroups وبعدين بصير خير

231
00:25:32,410 --> 00:25:38,710
تمام الآن لو جئت على z4 بدي أدور مين هم ال

232
00:25:38,710 --> 00:25:44,990
subgroups تبعات z4 فبقى اجيب يقوله the only

233
00:25:44,990 --> 00:25:56,370
subgroups of z4 are اللي ال order إلها واحد واللي

234
00:25:56,370 --> 00:25:59,590
ال order إلها اثنين واللي ال order إلها أربعة

235
00:25:59,590 --> 00:26:06,190
مظبوط يبقى اللي ال order إلها واحد هي ال identity

236
00:26:06,190 --> 00:26:12,170
واللي ال order إلها اثنين هي ال sub group

237
00:26:12,170 --> 00:26:18,630
generated by اثنين ايش ضال عندي؟ واحد وثلاثة واحد

238
00:26:18,630 --> 00:26:23,230
وثلاثة بوالدولي نفس ال subgroup z أربعة يبقى هدول

239
00:26:23,230 --> 00:26:28,650
ثلاثة لكن في الحقيقة هي واحدة بس يبقى الثالثة اللي

240
00:26:28,650 --> 00:26:37,930
هي main z أربعة itself تمام؟ طيب الآن also the

241
00:26:37,930 --> 00:26:51,930
only subgroups only subgroups of z2 are طبعا ال

242
00:26:51,930 --> 00:26:56,950
identity ومين كمان والاثنين اللي هي ال subgroup

243
00:26:56,950 --> 00:27:04,350
generated by one اللي هي z2 itself z2 itself طيب

244
00:27:04,350 --> 00:27:09,850
لو بدي أكونه ال external product هذا يبقى بدي

245
00:27:09,850 --> 00:27:18,330
أقوله الأولى مع الأولى اللي هي zero طبعا هذه فيش

246
00:27:18,330 --> 00:27:23,570
فيها إلا مين عنصر واحد صحيح ال cyclic وفيش فيها

247
00:27:23,570 --> 00:27:28,730
أقل عنصر واحد بدي أمسك الثانية الثانية اللي هي ال

248
00:27:28,730 --> 00:27:35,230
zero نفسها مع ال subject ال zero نفسها مع z2

249
00:27:35,230 --> 00:27:41,450
standard product مع z2 الثالثة خلصنا منها اللي

250
00:27:41,450 --> 00:27:46,710
هي ال subgroup generated by اثنين external like 

251
00:27:46,710 --> 00:27:55,350
product مع من؟ مع الـ zero الـ subgroup generated by

252
00:27:55,350 --> 00:28:01,390
اتنين external like product مع من؟ مع زد اتنين الآن

253
00:28:01,390 --> 00:28:07,950
الـ z4 external product مع الـ zero آخر حاجة الـ

254
00:28:07,950 --> 00:28:16,830
z4 external product مع الـ z2 هؤلاء كل الـ

255
00:28:16,830 --> 00:28:20,990
subgroups اللي على الشكل اللي قدامي هذا جالي هذا

256
00:28:20,990 --> 00:28:25,480
اللي بديش منهم ولا واحدة ولا واحدة من هدول قال لي

257
00:28:25,480 --> 00:28:29,080
بيدي الـ subgroup من هذا ماهياش على الشكل اللي

258
00:28:29,080 --> 00:28:34,180
عندنا هنا بقوله تعالي ندور الآن لو جالس له قوله

259
00:28:34,180 --> 00:28:39,780
consider خد لي أول شيء الـ subgroup لازم يكون فيها

260
00:28:39,780 --> 00:28:46,750
الـ identity element identity element تمام طيب لو

261
00:28:46,750 --> 00:28:58,130
جيت أخد عندي هنا مثلا الـ zero و الـ one الـ zero

262
00:28:58,130 --> 00:29:04,650
أخدته من z ولا أخدت خليك معايا بدي أخدي اتنين و

263
00:29:04,650 --> 00:29:11,500
الـ zero اتنين وزيرو موجود في زد أربعة external

264
00:29:11,500 --> 00:29:16,300
product لزيد دي اتنين وزيد أربعة لزيد تلاتة

265
00:29:16,300 --> 00:29:25,590
اتاكد لي بالله سؤال جديد شو قلنا ستة وعشرين.. ستة

266
00:29:25,590 --> 00:29:32,910
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين

267
00:29:32,910 --> 00:29:40,130
..ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة

268
00:29:40,130 --> 00:29:40,870
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين

269
00:29:40,870 --> 00:29:41,150
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين

270
00:29:41,150 --> 00:29:42,010
..ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة

271
00:29:42,010 --> 00:29:47,740
وعشرين.. ستة وعشرين.. ستة وعشرين.. طيب يبقى الآن

272
00:29:47,740 --> 00:29:54,880
بدي أخد الـ element zero و zero بدي أخد element

273
00:29:54,880 --> 00:30:01,140
ثاني اتنين و zero موجود في واحدة من هدول اتنين

274
00:30:01,140 --> 00:30:05,380
موجود فيها ده استنى شوية لأ لأ بدي أجيب هو قال لي

275
00:30:05,380 --> 00:30:08,840
النقط ماهياش في الشكل اللي عندنا هل هادي الـ

276
00:30:08,840 --> 00:30:13,480
subgroup هادي الـ subgroup صحيح بس استنى نشوفها هي

277
00:30:13,480 --> 00:30:14,440
هادي ولا لأ

278
00:30:17,170 --> 00:30:23,010
لأ لأ لأ استنى شوف بدنا نغيرها لو جيت قول واحد

279
00:30:23,010 --> 00:30:30,790
وزيرو وزيرو وواحد وواحد وواحد الشكل اللي عندنا

280
00:30:30,790 --> 00:30:38,370
نيجي نشوف هل هذه تساوي أي واحدة من هدول ولا لأ لأ

281
00:30:38,370 --> 00:30:42,970
لو جيت لهذه خلصنا منها Zero واتنين يعني Zero Zero

282
00:30:42,970 --> 00:30:49,360
Zero واحدة هذه ما فيش إلا عنصرين فيها طيب هذه برضه

283
00:30:49,360 --> 00:30:57,140
كذلك ما فيش فيها إلا زت اتنين برضه عنصرين طيب هذه

284
00:30:57,140 --> 00:31:02,130
اللي هي زت اتنين مع زت اتنين الكثير اللي بيكبره في

285
00:31:02,130 --> 00:31:07,050
الـ Z أربعة اللي هو بالـ identity Zero وبعدين اتنين

286
00:31:07,050 --> 00:31:12,130
بس عنصرين مع عنصرين أربعة عناصر اللي هم مين اللي هم

287
00:31:12,130 --> 00:31:21,090
Zero و Zero Zero و واحد وبعدها بيجيني اتنين اتنين

288
00:31:21,090 --> 00:31:27,180
مش من هدول يبقى ليست هذه والـ Z أربعة فيها أربعة

289
00:31:27,180 --> 00:31:31,720
عناصر طبعا مش هادي والـ Z أربعة مع Z two طبعا

290
00:31:31,720 --> 00:31:36,140
ماهياش هادي يبقى هذه ليست ولا واحدة من هدول اللي

291
00:31:36,140 --> 00:31:41,120
عندنا يبقى هذه هي الـ sub group المطلوبة وهي ليست

292
00:31:41,120 --> 00:31:43,660
أي واحدة من الست الأولين أيوة

293
00:31:49,130 --> 00:31:54,590
لو بدك subgroup من هدفك بنفس الطريقة هذه بقصة

294
00:31:54,590 --> 00:31:59,850
بتطول، ليش؟ إنه عندك عناصر كثير، أربعين في تلاتين،

295
00:31:59,850 --> 00:32:04,850
ألف وميتين عنصر، مش سهلة، بس دول تمان عناصر مش

296
00:32:04,850 --> 00:32:08,890
كثير، تمانية زي ألف وميتين، في السوق اللي هو محل

297
00:32:08,890 --> 00:32:12,690
لهم من الإعراب، ايه نعم، هذا بزهج، بصدق

298
00:32:17,470 --> 00:32:27,870
أنا ممتاز طب شوف الهدف

299
00:32:27,870 --> 00:32:32,630
من ذلك الهدف من ذلك أن أنت ما تكونش عليه الشكل هذا

300
00:32:32,630 --> 00:32:37,490
هي الأشكال كلها كتبناها بدك تجيب أي subgroup تكون

301
00:32:37,490 --> 00:32:42,490
تستبعد منها هذه الأشكال طبعا الـ subgroup يال order

302
00:32:42,490 --> 00:32:47,530
إلا واحد يا اتنين، يا أربعة، يا تمانية، لأنه زد

303
00:32:47,530 --> 00:32:51,950
أربعة كسنوات بتمان عناصر، مظبوط؟ يبقى بدك تجيب لك

304
00:32:51,950 --> 00:32:57,210
واحدة من هدول، أي نعم، لو بدك تسامد الآن اللي هو

305
00:32:57,210 --> 00:33:02,370
الـ order اللي هو سوى تمانية، ليش؟ لأن هي هيه،

306
00:33:02,370 --> 00:33:06,630
يبقى صف على شجرة، بدك تجي واحد أو اتنين أو أربع،

307
00:33:06,630 --> 00:33:11,430
الـ order اللي هي واحد هيها يبقى صف على شجرة يبقى بضل

308
00:33:11,430 --> 00:33:14,710
اتنين والاربعة اتنين هاي هاي بضلش إلا الاربعة

309
00:33:14,710 --> 00:33:20,150
عناصر يبقى إجباري إينا أيوة هذه مش مغنقة

310
00:33:23,720 --> 00:33:27,000
لو عملت العنصر الثاني مع العنصر الأخير فتبقى لك

311
00:33:27,000 --> 00:33:34,560
اتنين واحد العنصر الثاني مع الأخير يبقى هذا طبعا

312
00:33:34,560 --> 00:33:39,960
الأملاني اللي اتجمع يبقى بصير اتنين واحد استنى

313
00:33:39,960 --> 00:33:45,400
شوية هذا طب لو قلت هذه اتنين.. لأ لو قلت هذه

314
00:33:45,400 --> 00:33:51,400
اتنين واحد التانية طب

315
00:33:51,400 --> 00:33:58,760
استنى نشوف هذه الآن واحد و اتنين بيصير تلاتة موجودة

316
00:33:58,760 --> 00:34:04,200
تلاتة و واحد مش مشكلة كمان مرة اه هذه بيصير انيا

317
00:34:04,200 --> 00:34:13,600
اتنين و قلت هذه اه ايش هذه؟ اتنين و صفر فعلا شوف طب

318
00:34:13,600 --> 00:34:19,180
اتنين تربيع بصير أربعة و زيرو موجودة اتنين و اتنين

319
00:34:19,180 --> 00:34:25,340
اللي هو بصير زيرو واحد زيرو واحد موجود صحيح وهذا

320
00:34:25,340 --> 00:34:29,260
لو بدنا نربعها بصير أربعة و اتنين زيرو زيرو مظبوط

321
00:34:29,260 --> 00:34:36,500
صحيح ايش تلاتة و واحد لأ لأ ماشي هيك ماشي مقبول

322
00:34:36,500 --> 00:34:41,880
فصحيح وين

323
00:34:41,880 --> 00:34:47,260
صفر و واحد؟ ضرب اتنين و واحد هنا جامعة جامعة مش

324
00:34:47,260 --> 00:34:51,380
ضاربة اه اه الصفر هي موجود اه الـ operation عليها

325
00:34:51,380 --> 00:34:59,970
عملية جامعة وهي كده طيب هذا سؤال ستة و عشرين خدي

326
00:34:59,970 --> 00:35:05,470
سؤال 28 بيقول لي هات لي كل الـ subgroups اللي الـ order

327
00:35:05,470 --> 00:35:12,450
إلها 4 في z 4 external direct product مع z 4 يبقى

328
00:35:12,450 --> 00:35:23,690
سؤال 28 28 بيقول لي find all subgroups بدنا الـ all

329
00:35:23,690 --> 00:35:25,970
subgroups

330
00:35:28,190 --> 00:35:38,450
of order أربعة in z أربعة external product مع z

331
00:35:38,450 --> 00:35:39,030
أربعة

332
00:35:41,620 --> 00:35:45,240
سؤال مرة ثانية زد أربعة كتير نضالك الـ product مع

333
00:35:45,240 --> 00:35:50,940
زد أربعة فيها ستة عشر عنصر، مظبوط؟ الآن بدي كل الـ

334
00:35:50,940 --> 00:35:54,520
sub groups اللي الـ order اللي لهم يساوي أربعة

335
00:35:54,520 --> 00:36:01,040
تعالى نفكر احنا وإياكم تفكير بهذا الشكل الآن لو

336
00:36:01,040 --> 00:36:08,500
جيت للعنصر اللي هو واحد و zero كداش الـ order له؟

337
00:36:12,150 --> 00:36:17,190
أربعة يبقى هذا بيولد لي الـ sub group الـ order إلها

338
00:36:17,190 --> 00:36:24,710
يساوي أربعة طيب لو جيت لـ zero و واحد أربعة يبقى

339
00:36:24,710 --> 00:36:32,030
بالشكل اللي عندنا هنا طيب لو جيت لمين لـ الـ واحد و

340
00:36:32,030 --> 00:36:39,710
واحد أربعة subgroup generated by واحد وواحد أربعة

341
00:36:39,710 --> 00:36:44,290
طب لو قلت لك subgroup generated by واحد واتنين

342
00:36:44,290 --> 00:36:47,950
أربعة

343
00:36:47,950 --> 00:36:54,390
طب لو قلت لك subgroup generated by اتنين وواحد

344
00:36:54,390 --> 00:36:55,370
أربعة

345
00:36:58,860 --> 00:37:06,840
طب لو قلت لك subgroup generated by واحد و تلاتة

346
00:37:06,840 --> 00:37:15,150
طيب لو قلت لك subgroup generated by تلاتة و واحد و

347
00:37:15,150 --> 00:37:18,010
نفس الـ group زد أربع زد أربع هي نفسها اللي بسهل

348
00:37:18,010 --> 00:37:23,530
العملية أي نعم جداش صاروا هدول اتنين أربع خمسة و

349
00:37:23,530 --> 00:37:28,910
اتنين سبعة طيب خد لك هال group هذه مش زيهم cyclic

350
00:37:28,910 --> 00:37:35,170
عادي زي ما جيبنا هذه لو جيت قلت لك zero و zero و

351
00:37:35,170 --> 00:37:41,510
zero و اتنين و اتنين و zero و اتنين و اتنين تعال

352
00:37:41,510 --> 00:37:45,370
في الأول نشوفها subgroup ولا لأ طبع الـ order اللي

353
00:37:45,370 --> 00:37:51,150
هيها يساوي أربعة تمام لو جاتي لهذه اتنين و اتنين

354
00:37:51,150 --> 00:37:58,190
جمعنا بصير كده اتنين و اتنين نربعها يعني لو بتضرب

355
00:37:58,190 --> 00:38:04,450
العنصر في نفسه يبقى بيطلع 00 هي موجود طبعا طب لو

356
00:38:04,450 --> 00:38:10,590
هذا مع هذا بصير الـ zero و أربعة يعني اتنين و zero

357
00:38:10,590 --> 00:38:17,320
اتنين و zero هي موجود تمام؟ لو جيت قلت لي zero و

358
00:38:17,320 --> 00:38:21,400
اتنين أو اتنين أو زيرو في هذا هتلاقي موجود تمام؟

359
00:38:21,400 --> 00:38:24,640
طب لو هده ضربت بنفسه أربعة و أربعة هي zero و zero

360
00:38:24,640 --> 00:38:29,360
يبقى هو الـ sub group على طول الخط لكن هدى مش زيهم

361
00:38:29,360 --> 00:38:34,860
ماهياش cyclic تعال امسك أي element آخر اللي يمكن

362
00:38:34,860 --> 00:38:39,370
تلاقي يجيبك ايه اش أربع عناظر فمثلا هات لي أي

363
00:38:39,370 --> 00:38:43,330
element غير اللي قدامك في الـ group هذه نشوف وكم

364
00:38:43,330 --> 00:38:50,030
عنصر بده يجيب يلا اختاروا أي رقم غير الارقام أي

365
00:38:50,030 --> 00:38:56,070
عنصر غير العناصر هذه تلاتة و تلاتة موجودة تلاتة و

366
00:38:56,070 --> 00:39:03,230
تلاتة تربيع يعني ستة و ستة جامعة يعني ستة و ستة

367
00:39:03,230 --> 00:39:09,010
يعني اتنين و اتنين تلاتة و تلاتة كعيب يعني تسعة

368
00:39:10,910 --> 00:39:17,470
تسعة و تسعة اللي هي واحد و واحد و واحد و واحد طيب

369
00:39:17,470 --> 00:39:25,890
لو جيت قول تلاتة و تلاتة يبقى اللي هي تلاتة

370
00:39:25,890 --> 00:39:28,310
و أربعة اللي هي الصفر و الصفر مظبوط اللي هو الـ

371
00:39:28,310 --> 00:39:33,010
identity كمان هذه منهم ولا لا اه هذه طلعت كمان

372
00:39:33,010 --> 00:39:39,700
منهم و قال لي كل الـ sub group اللي الـ order إلها طب

373
00:39:39,700 --> 00:39:46,380
اتنين و اتنين ما هو

374
00:39:46,380 --> 00:39:49,860
السهل إنك تحط العناصر قدامك و تبدأ تدور فيهم فيش

375
00:39:49,860 --> 00:39:51,200
شغلة محددة

376
00:40:00,460 --> 00:40:03,360
هذه الخطوة مختلفة عن هذه الخطوة وهي سهلة للغاية

377
00:40:03,360 --> 00:40:07,620
لكن هذه الخطوة بتجيبها من أين؟ أنا بحط قدامي عناصر

378
00:40:07,620 --> 00:40:09,980
الـ group اللي كلها زي أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات

379
00:40:09,980 --> 00:40:10,200
أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو

380
00:40:10,200 --> 00:40:12,500
أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو

381
00:40:12,500 --> 00:40:12,720
أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو

382
00:40:12,720 --> 00:40:13,140
أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو أربعة كسنوات أو

383
00:40:13,140 --> 00:40:17,680
أربعة كسنوات أو أربعة

384
00:40:17,680 --> 00:40:23,570
كسنوات أو أربعة كالحين دلت مننا ناله ثلاثة وثلاثة

385
00:40:23,570 --> 00:40:29,030
الآن كمان هذه ثلاثة وثلاثة نسيناها يبقى الـ sub

386
00:40:29,030 --> 00:40:33,650
group generated by ثلاثة وثلاثة طيب لأنه فيه

387
00:40:33,650 --> 00:40:37,850
قبلها واحد وواحد لكن اثنين واثنين لا اثنين الـ

388
00:40:37,850 --> 00:40:40,770
order إليها يساوي اثنين يبقى كل الـ sub groups

389
00:40:40,770 --> 00:40:47,050
الممكنة اللي عندنا طيب لو جاء صفر وثلاثة

390
00:40:54,230 --> 00:40:59,930
أه أربعة أربعة ليش ما تكونش منهم الـ صفر والثلاثة

391
00:40:59,930 --> 00:41:05,650
والثلاثة وصفر كمان أه حط عليهم الـ صفر و

392
00:41:05,650 --> 00:41:13,310
الثلاثة and ثلاثة وصفر طب ليش اختارت ثلاثة

393
00:41:13,310 --> 00:41:17,310
ليش ما اختارت اثنين لأن ثلاثة والواحد هدول

394
00:41:17,310 --> 00:41:24,600
relatively prime مع الـ main مع اللي هو أربعة يبقى هدول

395
00:41:24,600 --> 00:41:29,020
كلهم اش ما تاخد صفر واحد وواحد وصفر أخدناه مش 

396
00:41:29,020 --> 00:41:32,440
هيك هاي أول مبادئنا فيهم يبقى ما فيش مشكلة هيك

397
00:41:32,440 --> 00:41:36,700
بيكون خلصنا كل اللي هو الـ subgroups اللي الـ order

398
00:41:36,700 --> 00:41:40,480
اللي يساوي أربعة في الـ group اللي عندنا

399
00:41:51,560 --> 00:41:57,420
طيب هذا سؤال ثمانية وعشرين سؤال اثنين وثلاثين

400
00:41:57,420 --> 00:42:04,380
find a subgroup من z12, z4, z15 الـ order لها يساوي

401
00:42:04,380 --> 00:42:17,760
تسعة يبقى سؤال اثنين وثلاثين بدنا subgroup of z12

402
00:42:19,790 --> 00:42:25,210
External Direct Product مع زد أربعة External

403
00:42:25,210 --> 00:42:31,710
Direct Product مع زد خمسة عشر

404
00:42:31,710 --> 00:42:38,590
that has order

405
00:42:38,590 --> 00:42:48,190
تسعة خلي

406
00:42:48,190 --> 00:42:52,930
بالك هنا كويس خليني أسألكم سؤال ثاني، هل في

407
00:42:52,930 --> 00:42:58,470
element هنا الـ order إيه اللي بيساوي تسعة؟ ولا بدي

408
00:42:58,470 --> 00:43:02,850
أشوف، أنا بحكي عليه هادي بس، لأن تسعة دقيقة مش

409
00:43:02,850 --> 00:43:07,200
اثناش ولا element هنا الـ order يساوي تسعة ولا

410
00:43:07,200 --> 00:43:11,520
element هنا الـ order يساوي تسعة يبقى ما عنديش ولا

411
00:43:11,520 --> 00:43:15,920
element الـ order يساوي تسعة في أي من الـ group

412
00:43:15,920 --> 00:43:20,920
المنفردات الثلاثة اللي عندنا هذه طيب أنا مش هنجيب

413
00:43:20,920 --> 00:43:25,300
الـ order تسعة مش هنجيب الـ order تسعة تبع هذه الـ

414
00:43:25,300 --> 00:43:33,410
sub group بدي يكون عندي هدول ثلاثة ثلاثة أو ثلاثة

415
00:43:33,410 --> 00:43:35,850
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو

416
00:43:35,850 --> 00:43:39,370
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة

417
00:43:39,370 --> 00:43:42,410
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو

418
00:43:42,410 --> 00:43:43,570
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة

419
00:43:43,570 --> 00:43:44,930
أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو

420
00:43:44,930 --> 00:43:53,390
ثلاثة أو ثلاثة أو ثلاثة أو

421
00:43:53,390 --> 00:43:56,850
ثلاثة

422
00:43:57,140 --> 00:44:01,440
لو أخدت group الـ order إلها ثلاثة وواحدة الـ order

423
00:44:01,440 --> 00:44:05,140
إلها واحد وواحدة الـ order إلها ثلاثة بيصير عندي

424
00:44:05,140 --> 00:44:12,590
قد ايش الـ order للـ external product تسعة الـ order

425
00:44:12,590 --> 00:44:17,110
للـ group كلها بصير تسعة مش باخدش elements باخد

426
00:44:17,110 --> 00:44:21,150
group كاملة الـ order لها ثلاثة أو sub group تمام

427
00:44:21,150 --> 00:44:27,370
يعني بناء عليه لا يمكن ألاقي sub group من الـ

428
00:44:27,370 --> 00:44:32,150
groups هدول الـ order لها يساوي تسعة مش إمكانية لكن

429
00:44:32,150 --> 00:44:36,750
بنعمل عملية تحايل بالداجة الأولى بدي أخد منها الـ

430
00:44:36,750 --> 00:44:41,020
sub group الـ order لها يساوي ثلاثة ومن الثانية الـ

431
00:44:41,020 --> 00:44:45,020
subgroup الـ order إلها يساوي ثلاثة أو ثلاثة في شيء

432
00:44:45,020 --> 00:44:48,760
ممكن نقول واحد مثلا والثالثة بتاخد subgroup الـ

433
00:44:48,760 --> 00:44:51,760
order إلها يساوي ثلاثة يبقى دول لو ضربتها مكون

434
00:44:51,760 --> 00:44:57,300
جديش تسعة تقدر تجيب أه بقدر ليش لأن زد اثناش وزد

435
00:44:57,300 --> 00:45:01,820
أربعة وزد خمسة عشر كلهم cyclic group وفي نظرية كانت في

436
00:45:01,820 --> 00:45:06,840
chapter أربعة بتقولي أي subgroup من cyclic group

437
00:45:06,840 --> 00:45:11,380
بتكون cyclic تمام باجي بقوله كويسة الآن لو جيت

438
00:45:11,380 --> 00:45:26,980
أخطط الـ HBA subgroup of Z12 with order مثلا with

439
00:45:26,980 --> 00:45:39,970
order ثلاثة and k is a subgroup من z4 with order

440
00:45:39,970 --> 00:45:49,510
واحد والـ

441
00:45:49,510 --> 00:45:59,370
subgroup من z15 with order واحد ثلاثة طبعا كله ممكن

442
00:45:59,370 --> 00:46:04,030
لأن ثلاثة بتجسم الخمسة عشر والواحد بيجسم الأربعة

443
00:46:04,030 --> 00:46:11,990
وثلاثة بتجسم الاثناش يعني for example for

444
00:46:11,990 --> 00:46:17,190
example الـ

445
00:46:17,190 --> 00:46:21,450
group generated by أربعة الـ order اللي قد ايش يساوي

446
00:46:21,450 --> 00:46:21,810
هنا

447
00:46:24,580 --> 00:46:30,860
ثلاثة تمام هاي ليش أربعة الـ صفر أربعة ثمانية يبقى

448
00:46:30,860 --> 00:46:37,000
الـ order لها تساوي ثلاثة والـ صفر الـ order له

449
00:46:37,000 --> 00:46:43,230
يساوي كده ايش واحد من الثانية هذه والثالثة بداخل من

450
00:46:43,230 --> 00:46:48,510
خمسة عشر بداخل الـ group generated by خمسة الـ order

451
00:46:48,510 --> 00:46:54,250
كمان يساوي كم؟ يساوي ثلاثة يبقى الـ order يساوي

452
00:46:54,250 --> 00:46:58,670
ثلاثة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى الـ least يبقى الـ

453
00:46:58,670 --> 00:47:04,610
order للـ external direct product الـ order للـ

454
00:47:04,610 --> 00:47:13,540
external direct product مع من؟ مع الـ صفر مع من؟

455
00:47:13,540 --> 00:47:18,280
مع الـ subgroup generated by خمسة الـ order لها

456
00:47:18,280 --> 00:47:23,140
يساوي الـ order للـ subgroup generated by أربعة لمن

457
00:47:23,140 --> 00:47:28,100
الـ order لـ الـ صفر في الـ order للـ subgroup

458
00:47:28,100 --> 00:47:34,100
generated by خمسة ويساوي ثلاثة في واحد في ثلاثة و

459
00:47:34,100 --> 00:47:38,660
يساوي تسعة يبقى هي جبتله subgroup من الـ group

460
00:47:38,660 --> 00:47:44,260
الأصلية الـ order إلها يساوي تسعة كان هذا سؤال

461
00:47:44,260 --> 00:47:46,360
اثنين وثلاثين