الله رحمه ورحمه أنهينا في المحاضرة الماضية شبتر
تمانية كجزء نظري والان هذه المحاضرة ان شاء الله
سنناقش بعض الأسئلة بقدر ما نستطيع خلال هذه الساعة
ان شاء الله تعالىنبدأ بالاسئلة على chapter 8 والتي
تتعلق بال product external direct هو نبدأ بالسؤال
السادس مثلا بيقول prove by comparing orders of the
element يبقى اللي بدك تستخدم طريقة المقارنة بين
العناصر لإثبات أنه لإثبات أن Z8external direct
product مع z2 is not isomorphic
الى z4
يبقى دلني على طريقة يقولي استخدملي ال orders لل
element في كلا ال two groups للحكم على أن ال group
الأولى ليست isomorphic لل group التانية فمثلا لو
جيت لل group الأولى هل فيها element of order
تمانية بالمرة Z تمانية X تانية ضايقة product مع Z
اتنين
بس فيها .. فيها اتنين والتمانية ولا جزاك؟ تمانية
واتنين الواحد
والواحد
كويس، في غيره؟الواحد والصفر يبقى عندي بدل ال
element اتنين ال orders اللي هم يسووا تمانية
الواحد في ال Z تمانية ال order اللي هو تمانية ال
zero ال order اللي هو واحد ال least common
multiple بين التمانية والواحد اللي هو تمانية مظبوط
يبقى هنا عندي ال element واحد و zero موجود في Z
تمانية external direct product with orderاللي هو
تمانية ال order لهذا ال element تمانية الآن بنجي ل
Z أربعة كسنة product مع Z أربعة هل بتلاقي في
element ال order اللي بيساوي تمانية رغم أنه ستة
عشر عنصر ها في element Z أربعة ال order لهم يا اما
واحد يا اما اتنين يا اربعة والتاني واحد واتنين
واربعة هل في least common multiple فيهم اكتر من
اربعةالذي يسكب الملتقب لهذه ال order فيه أكتر من
أربعة ماعنديهش يبقى باجي بقوله بطولكن ال Z أربعة
external product مع Z أربعة has no element of
order تمانية because
The maximum order in Z4 is 4
لأن ال order لل element بيقسم ال order لل group
إذا z أربعة لا يوجد فيها إلا ال elements ال order
الواحد اللي هو ال identity والتنين اللي هو العدد
اتنين وكذلك الأربعة اللي هو العدد واحد وتلاتة
تمام؟ يبقى من هنا أقصى order عندي في z أربعة كسيرة
ضيقة كبيرة زي z أربعة هو أربعة وهذه تمانية يبقى
اتنين هذول ما لهم ارنبisomorphic يبقى التزام في
الكلام اللي قاليا وصلت للنتيجة بدنا نروح لسؤال
أربعتاش سؤال أربعتاش بيقول ما ياتي suppose ال G1
isomorphic إلى G2 و group تانية H1 isomorphic لمن؟
لH2هو H1 ايزو مارفك لـ H2 prove that اثبت انه الـ
G1 externodic product مع H1 ايزو مارفك لـ G2
externodic product مع H2 هذا اللي احنا بدنا نروح
نثبتهإذا دائما و أبدا بنحاول نستفيد من المعطيات
اللي عندنا في إثبات المطلوب هدول two groups are
isomorphic هدول two groups are isomorphic أخدت ال
external product ما بين ال group الأولى و ال group
الأولى من المجموعة التانيةوالجروب التانية مع
الجروب التانية بدي أثبت انه اللي هو ال external
product هذا ماله isomorphic لل external product
اللي عندنا هذا يبقى الحلقة التالية solution
أفترض أن الـ Alpha من الـ G1 إلى الـ G2 و الـ Beta
من الـ H1 إلى الـ H2 هم إيزو مورفيزم
يبقى بدي افترض ان هدول الاتنين ايزو مورفزم الان
هذا مشان اثبت ان اتنين ايزو مورفزم بدي اعرف
function من الجروب الاولى الى الجروب التانى و اثبت
انها one to one and one to one وتخدم خاصية الايزو
مورفزم اذا بدي اقوله define
A function في من الـ G1 وH1 كإكستير نضايق product
من
الـ G1 وH1 لمين؟ لـ G2 كإكستير نضايق product مع H2
باي في ofبدي اخد element من G1 واليكن G وH فعلي ما
تأثر على G وH بدي اوديها وين؟ في ال group G2 وH2
طيب G2 هذه مش هي G2 هذه صح؟ اذا ال element اللي
هنا هو صورة ل element من هناالفانكشن من هنا لهنا
شو سميتها Alpha يبقى هذه بقدر اخدها Alpha of G
يبقى هذه بقدر اقول Alpha of G ليش؟ لأن Alpha of GG
موجودة في G1 واحنا عندنا هنا G موجودة في G1 يبقى
هنا صورتها في G2 صورتها في G2 اللي Alpha of G
بتداجر لل H ال H موجودة في ال H1 تمام انا عندي
Beta من H1 الى H2 يبقى H اللي موجودة في H1 ثورة
تبقى Beta of H يبقى هذا Beta of H بالشكل اللي
عندنايبقى هكذا اعرفت الدالة تعريفا سليما الان هذه
الدالة بدى احاول اثبت انها one to one and unto
وتخدم خاصية ال isomorphism ان تم لذلك يبقى بيكونوا
اتنين هذول are isomorphic وبكون انت هنا من هالشغل
هادى يبقى بدى اجي للخطوة الاولى بدى اثبتله ان فاي
is one to oneمشان هيك بدي أخد صورتين متساويتين
Assume Phi of G وH بدي ساوي Phi of X وY مثلا إذا
قدرت أثبت إن ال order pair G وH هو ال order pair X
وY بكون انتهينا من الشغل يعني
بتداجي لصورة ال element الأول حسب التعريف يبقى
Alpha of G و Beta of H يبقى هذه تبقى Alpha of G و
Beta of H بالشكل اللي عندنا هناالـ Phi of X بنفس
الطريقة يبقى هادي Alpha of X الصورة والتانية Beta
of Y الشكل اللي عندها
بناء على هذا الكلام صار عندى two ordered pair are
equal يبقى المركبة الأولى هتساوي المركبة الأولى
والمركبة الثانية هتساوي المركبة الثانية يبقى بناء
عليه Alpha of G بديه يساوي Alpha of X and Beta of
H بديه يساوي Beta of Y شوف هذا شو بديه يعطيناالآن
الـ Alpha هذي isomorphism يبقى one to one and unto
إذا مدام one to one يبقى الـ G بده يساوي اللي هو
main ال X يبقى هنا الـ G بده يساوي ال X and ال H
بده يساوي ال Y السبب بسبب أن Alpha و Beta هم one
to oneما دام صورتين متساويتين إذا الأصل متساوي لإن
ال alpha one to one و كذلك ال beta is one to one
يبقى بناء عليه هذا بدي يعطينا لو أخدت ال G و ال H
as an ordered ال G عبارة عن مين؟ X و ال H عبارة عن
مين؟ Y عبارة عن Y بالشكل اللي عندنا هذا يبقى أخد
صورتين متساويتينو اثبت ان اصل هماله متساوي لذلك
فاي is one to one
يبقى انا بأخد element في الـ G2 و X2 و H2 يبقى
بالدرجة يقول لو أخدت الـ X موجود مثلا في الـ G2
external product مع H2 بشكل لعين هذا يبقى then بدي
أدور على شكل هذا ال elementيبقى شكل ال element x
هذا بده يسوي element من g2 و element من one من h2
يبقى هذا الكلام بده يسوي element وليكن g2 وh2 من
h2طيب هذا الكلام يساوي ال G2 موجودة في G2 تمام و
Alpha is on 2 يبقى هذا ال element له أصل في G1
صحيح ولا لأ يبقى هذا الكلام بقدر أشيل ال G2 و
أكتبها Alpha of G1 مثلاو بقدر اكتب هذا beta of
each one شو السبب في ذلك لأن alpha and beta are
onto يبقى هنا since ال alpha and beta are ontoهذا
الكلام لو رجعته إلى أصله بلاقي هو التعريف اللي أنا
قايله هنا يبقى الأصل اللي بتابعه هو عبارة عن Phi
of G1 وH1يبقى ال element اللي أخدته في G2 وH2 اللي
جاتله أصل في G1 وH1 اللي هو G1 وH1 صغير يبقى Phi
is in two ضايل عليه نثبت أن Phi is an isomorphism
يبقى باجي بقول Phi is an isomorphismيبقى بدي انا
اخد اللي هو الـPhi of حصل ضرب two elements ال
element الأول اللي هو بدك تاخده من هنا من مكان
يكون يبقى لو جيت قلت G وH مضرب في element تاني
وليكن مثلا G prime وH prime بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا الكلام بده يساوي في of هذا الضرب عليه
بنضرب component wise حسب ما أعرفنا عملية الضرب على
ال external product يبقى ج ج prime و H H prime
بالشكل اللي عندنا هذا هذا الكلام بده يساويفاي لما
تأثر على هذا ال element يبقى Alpha للأول و Beta
للتاني يبقى هذا Alpha of G G prime و Beta of H H
primeالألف والبيتا كل واحدة فيهم isomorphism مدام
كل واحدة فيهم isomorphism إذا هذه Alpha of G وهذه
Alpha of G' وهذه Beta of H وهذه Beta of H' بالشكل
اللي عندنا هنايبقى أثار على شكل order pair السؤال
هو هل ال order pair هذا بقدر أكتبه على شكل حاصل
ضرب two ordered pairs؟ الإجابة نعم، كيف؟ كالتالي،
شوفوا يا سيدتي، هاي باجي بقوله هنا Alpha of G بدي
أخدها مع Beta of H عسب الترتيبوهنا Alpha of G
prime بدي اخدها مع Beta of H prime يبقى هاي كتبتهم
على شكل حاصل ضرب قوسية يبقى هذا الكلام بده يساوي
الان لو جيت للقوس الأوليبقى هذا Phi of GH يبقى هذا
Phi of GH التاني عبارة عن Phi of G' وH'أطلع بدأت
بحاصل ضرب القوسين وصلت لفايلة الأول مضروبة في مين
في فايلة التانية يبقى بناء عليه فاي is an
isomorphism يبقى
Isomorphism that is أي أن الـ G1 external product
مع H1 isomorphic ل G2 external product مع G2 وهو
المطلوب الشغل مش صعب سهل بس طويل شوية يعني بده
تمشي بدقة كبيرةطيب كان هذا هو السؤال رقم 14 خدلي
16 بيقول في ال group Z 40 Z 30 هاتلي two subgroups
of order 12 and
هذا
سؤال كده ايش قلناه؟16 16 يبقى in z 40 external
product مع z 30 find two subgroups
of order 12
طيب جالي في ال group هذي Z 30 Z 40 Extended like a
project مع Z 30 هاتلي two sub groups of order 12
لا جالي Cyclic ولا غير Cyclic لكن اللي أسهل ليه أن
أجيب Cyclic إن جدرتها طيب بقوله كويسة طب كيف بدي
أجيب Cyclic ال order اللي هي سوية 12 بقوله كويسة
إذا بتقدريجب ان اجرب الـ order لـ element فيها
أربعة و التاني تلاتة يبقى الـ least common
multiple المجداش اتناش وكفى الله المنقتل هذا ال
element وولد ال subgroup من المطلوب اذا انا بدى
ادور على عناصر من زد اربعين ال order اللي يكون
جداش أربعة صح؟طيب مين العناصر اللي في Z أربعين
اللي ال order لهم يساوي أربعة حد بيقدر يجيبلي و لو
عنصر واحد عشرة ممتاز جدا يبقى عاشرةموجودة في Z
أربعين و ال order للعشرة بده يساوي أربعة ممتاز جدا
اذا انا بده اروح على Z تلاتين كمان برضه عشرة طيب
العشرة موجودة في Z تلاتين and ال order للعشرة بده
يساوي كدهش بده يساوي تلاتة اذاالـ Element اللي هو
عشرة و عشرة موجود في Z أربعين External Direct
Product مع Z تلاتينالـ order للعشرة وعشرة هو عبارة
عن ال least common multiple للاربعة والتلاتة اللي
هو يساوي قداش اتناش اذا هذا ال element بيعطيني ال
cyclic subgroup of order اتناش
يبقى الساعة العاشرة وعشرة العشرة وعشرة هو عبارة عن
Cyclic Subgroup Cyclic Subgroup of order أتناشر
بدي أدور على غيره بدي أدور كمان على عنصر تاني
كيف؟ اتنين وستة .. لا بدك .. ستة واربعة ماشي ..
ستة واربعة ماشي .. واحد واطناش ماشي .. بس يلا
نلاقي .. يبقى الان بدي أروح أدور على مين على
orders أخرطيب ال order تبع العشرة هو أربعة نقدر
نجيب من z تلاتين واحد ال order إله ستة أربعة و ستة
ال order اللي مصير اتناش least common multiple
مظبوط يبقى هنا مرة تانية also أيضا العشرة أو ال
order للعشرة بده يساوي أربعة في z أربعينالآن
الخامسة الخامسة ال order إيه يساوي قداش؟ ستة مظبوط
الـ order له يساوي ستة N زي التلاتين يبقى اذا ال
order للعشرة وخمسة بده يساوي ال least common
multiple اللي هو من الأربعة والستة اللي هو كده
اتناش يبقى اذا ال sub group generated by عشرة
وخمسةis a cyclic group of order أتماشيبقى بناء
عليه هاي طلعنا له تنتين subgroups ورغم انه
مااشترطش وقال هاتلي subgroups وخلصنا يبقى انا
جبتله subgroups وجبتهمله تنتين زيادة على مقال انه
تنتين cyclic subgroups ال order لهم يساوي 12
اعتمدت في ذلك على من على ال order لل elements و هم
اللي ريحون في من في الحل
طيب كان هذا سؤال ستة عشر خدلي سؤال ستة وعشرين سؤال
ستة وعشرين ستة وعشرين بيقولي هتلي ال subgroup من z
أربعة بدي مثلا subgroup
of subgroup من مين من z4 external direct product
z4 external direct product مع z دي اتنين that is
not of the form not in the formاللي هو H external
product ل K where حياته where ال H subgroup من
Z4 and ال K subgroup من main subgroupمن z2 و ال k
sub group من من z2
شوفوا يا سيدي نرجع مرة تانية انا عندى الآن ال z4
external direct product مع z2 هدى groupالان بدي
subgroup من هذه ال group بحيث ما تكونش على الشكل H
اللي هو external product مع K حيث H subgroup من Z
أربعة وال K subgroup من من من Z يعني بدي جيبلي ال
subgroup تانية غير ال external product تبع هدول
تعالى نشوف كيف بدنا نحل السؤال السؤال يحتاج الى
تفكير ومن التفكير بنقدر نوصل للمطلبزد اربعة
external product لزد اتنين not in the form ليست في
هذا الشكل احنا ده جيبنا ال subgroup و جيبنا ال
subgroup بنجيبلهم ال external product منطلع
subgroup جديدة بقول ال subgroup الجديدة بديش إياها
ولا واحدة منها دول اللي انت بتقول عليهمقلت له
تعالى نشوف مين هم ال subgroups و بعدين بصير خير
تمام الان لو جيت على z4 بدي ادور مين هم ال
subgroups تبعات z4 فبقى اجيب يقوله the only
subgroups of z4 areاللي ال order إلها واحد واللي
ال order إلها اتنين واللي ال order إلها أربعة
مظبوط يبقى اللي ال order إلها واحد هي ال identity
واللي ال order إلها اتنين هي ال sub group
generated by اتنينأيش ضال عندي؟ واحد و تلاتة واحد
و تلاتة بوالدولي نفس ال subgroup z أربعة يبقى هدول
تلاتة لكن في الحقيقة هي واحدة بس يبقى التالتة اللي
هي main z أربعة itself تمام؟ طيب الآن also the
only subgroupsonly subgroups of z2 are طبعا ال
identity ومين كمان والإتنين اللي هي ال subgroup
generated by one اللي هي z2 itself z2 itself طيب
لو بدى أكوّنه ال external product هذا يبقى بدى
أقوله الأولىمع الأولى اللى هى zero طبعا هذه فىش
فىها إلا مين عنصر واحد صحيح ال cyclic وفىش فىها
أقل عنصر واحد بدي أمسك التانية التانية اللى هى ال
zero نفسها مع ال subject ال zero نفسها مع z2
standardized product مع z2التالتة خلصنا منها اللي
هي ال subgroup generated by اتنين external like
product مع من؟ مع ال zero ال subgroup generated by
اتنين external like product مع من؟ مع زد اتنينالان
الـ z4 external product مع الـ zero أخر حاجة الـ
z4 external product مع الـ z2 هؤلاء كل الـ
subgroups اللي على الشكل اللي قدامي هذا جالي هذا
اللي بديش منهم ولا واحدةولا واحدة من هدول قال لي
بيدي ال subgroup من هذا ماهياش على الشكل اللي
عندنا هنا بقوله تعالي ندور الآن لو جالسله قوله
consider خدلي أول شيء ال subgroup لازم يكون فيها
ال identity elementidentity element تمام طيب لو
جيت أخد عندي هنا مثلا ال zero و ال one ال zero
أخدته من z و لا أخدت خليك معايا بدي أخدي اتنين و
ال zeroأتنين وزيرو موجود في زد اربعة external
product لزيد دي اتنين وزيد اربعة لزيد تلاتة
اتاكدلي بالله سؤال جديد شو قلناهستة وعشرين ..ستة
وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين
..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة
وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين
..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة
وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين
..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة
وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين
..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة
وعشرين ..ستة وعشرين ..ستة وعشرين ..طيب يبقى الأن
بدي أخد ال element zero و zero بدي أخد element
تاني اتنين و zero موجود في واحدة من هدول اتنين
موجود فيها ده استنى شوية لأ لأ بدي أجيب هو قاللي
النقط ماهياش في الشكل اللي عندنا هل هادي ال
subgroup هادي ال subgroup صحيح بس استنى نشوفها هى
هادي ولا لأ
لأ لأ لأ استنى شوف بدنا نغيرها لو جيت قول واحد
وزيرو وزيرو وواحد وواحد وواحد الشكل اللي عندنا
نيجي نشوف هل هذه تسوي اي واحدة من هدول ولا لأ لأ
لو جيت لهذه خلصنا منها Zero واتنين يعني Zero Zero
Zero واحدهذه مافيش إلا عنصرين فيها طيب هذه برضه
كذلك مافيش فيها إلا زت اتنين برضه عنصرين طيب هذه
اللي هي زت اتنين مع زت اتنينالكتير اللي بيكبره في
ال Z أربع اللي هو بال identity Zero وبعدين اتنين
بس عنصرين مع عنصرين أربع عناصر اللي هم مين اللي هم
Zero و Zero Zero و واحد وبعدها بيجيني اتنين اتنين
مش من هدول يبقى ليست هذهوالـ Z أربعة فيها أربعة
عناصر طبعا مش هادى والـ Z أربعة مع Z two طبعا
ماهياش هادى يبجى هذه ليست ولا واحدة من هدول اللي
عندنا يبجى هذه هي ال sub group المطلوبة وهي ليست
اي واحدة من الست الأولين ايوة
لو بدك subgroup من هدفك بنفس الطريقة هذي بقصة
بتطول، ليش؟ انه عندك عناصر كتير، أربعين في تلاتين،
ألف و متين عنصر، مش سهلة، بس دول تمان عناصر مش
كتير، تمانية زي ألف و متين، في السوق اللي هو محل
لهم من الإعراب، ايه نعم، هذا بزهج، بصدق
أنا ممتاز طب شوف الهدف
من ذلك الهدف من ذلك أن انت ما تكونش عليه الشكل هذا
هي الأشكال كلها كتبناها بدك تجيب أي subgroup تكون
تستبعد منها هذه الأشكال طبعا ال subgroup يال order
إلا واحديا اتنين، يا اربعة، يا تمانية، لأنه زد
اربعة كسنوات بتمان عناصر، مظبوط؟ يبقى بدك تجيبلك
واحدة من هدول، اي نعم، لو بدك تسامد الآن اللي هو
ال order اللي هيو سوى تمانية، ليش؟ لأن هي هيه،
يبقى صف على شجرة، بدك تجي واحد او اتنين او اربع،
ال order اللي هي واحد هيهايبقى صف على شجة يبقى بضل
اتنين والاربعة اتنين هاي هاي بضلش الا الاربعة
عناصر يبقى إجباري اينا ايوة هذه مش مغنقة
لو عملت العنصر التاني مع العنصر الأخير فتبقى لك
اتنين واحد العنصر الثاني مع الأخير يبقى هذا طبعا
الأملاني اللي اتجمع يبقى بصير اتنين واحد استنى
شوية هذا طب لو قلت هذه اتنين .. لأ لو قلت هذه
اتنين واحد التانية طب
استنى نشوفهذه الآن واحد و اتنين بيصير تلاتة موجودة
تلاتة و واحد مش مشكلة كمان مرة اه هذه بيصير انيا
اتنين و قلت هذه اه ايش هذه؟أتنين و صفر فعلا شوف طب
اتنين تربية بصير اربعة و زيرو موجودة اتنين و اتنين
اللي هو بصير زيرو واحد زيرو واحد موجود صحيح وهذا
لو بدنا نربعها بصير اربعة و اتنين زيرو زيرو مظبوط
صحيح ايش ثلاثة و واحدلأ لأ ماشي هيك ماشي مقبول
فصحيح وين
صفر و واحد؟ ضرب اتنين و واحد هنا جامعة جامعة مش
ضاربة اه اه الصفر هي موجود اه ال operation عليها
عملية جامعة وهي كده طيب هذا سؤال ستة و عشرينخدي
سؤال 28 بيقولي هاتلي كل ال subgroups اللي ال order
إلها 4 في z 4 external direct product مع z 4 يبقى
سؤال 28 28 بيقولي find all subgroups بدنا ال all
subgroups
of order أربعة in z أربعة external product مع z
أربعة
سؤال مرة تانية زد اربعة كتير نضالك ال product مع
زد اربعة فيها ست عشر عنصر، مظبوط؟ الان بدي كل ال
sub groups اللي ال order اللي لهم يساوي اربعة
تعالى نفكر احنا و اياكم تفكير بهذا الشكل الان لو
جيت للعنصر اللي هو واحد و zero كداش ال order له؟
أربعة يبقى هذا بيولدلي ال sub group ال order إلها
يسوى أربعة طيب لو جيت ل zero و واحد أربعة يبقى
بالشكل اللي عندنا هنا طيب لو جيت لمين ل ال واحد و
واحدأربعة subgroup generated by واحد وواحد أربعة
طب لو قلتلك subgroup generated by واحد واتنين
أربعة
طب لو قلتلك subgroup generated by اتنين وواحد
أربعة
طب لو قلت لك subgroup generated by واحد و تلاتة
طيب لو قلت لك subgroup generated by تلاتة و واحدو
نفس ال group زد اربع زد اربع هي نفسه اللي بسهل
العملية اي نعم جداش صاروا هدول اتنين اربع خمسة و
اتنين سبعة طيب خدلك هال group هذي مش زيهم cyclic
عادي زي ما جيبنا هذي لو جيت قولتلك zero و zero و
zero و اتنين و اتنين و zero و اتنين و اتنينتعالى
فى الأول نشوفها subgroup ولا لأ طبع ال order اللى
هيه يسوى أربعة تمام لو جاتى لهذه اتنين و اتنين
جمعنا بصير كده اتنين و اتنين نربعهايعني لو بتضرب
العنصر في نفسه يبقى بيطلع 00 هي موجود طبعا طب لو
هذا مع هذا بصير ال zero و اربعة يعني اتنين و zero
اتنين و zero هي موجودتمام؟ لو جيت قولتلي zero و
اتنين او اتنين او زيرو في هذا هتلاقي موجود تمام؟
طب لو هده ضربت بنفسه اربعة و اربعة هي zero و zero
يبقى هو ال sub group على طول الخط لكن هدى مش زيهم
ماهياش cyclic تعالى امسك اي element اخر اللى يمكن
تلاقي يجيبك ايه اش اربع عناظر فمثلاهاتلي اي
element غير اللي قدامك في ال group هذه نشوف و كم
عنصر بده يجيب يلا اختاروا اي رقم غير الارقام اي
عنصر غير العناصر هذه تلاتة و تلاتة موجودة تلاتة و
تلاتة تربيعيعني ستة و ستة جامعة يعني ستة و ستة
يعني اتنين و اتنين تلاتة و تلاتة كعيب يعني تسعة
تسعة و تسعة اللي هي واحد و واحد و واحد و واحد طيب
لو جيت قول تلاتة و تلاتة يبقى اللي هي تلاتة
و أربعة اللي هي الصفر و الصفر مظبوط اللي هو ال
identity كمان هذه منهم ولا لا اه هذه طلعت كمان
منهم و قال لي كل ال sub group اللي ال order إلهاطب
اتنين و اتنين ما هو
السهل انك تحط العناصر قدامك و تبدأ تدور فيهم فيش
شغلة محددة
هذه الخطوة مختلفة عن هذه الخطوة و هي سهلة للغاية
لكن هذه الخطوة بتجيبها من أين؟ انا بحط قدامي عناصر
ال group اللي كلها زي اربعة كسنوات او اربعة كسنوات
او اربعة كسنوات او اربعة كسنوات او اربعة كسنوات او
اربعة كسنوات او اربعة كسنوات او اربعة كسنوات او
اربعة كسنوات او اربعة
كسنوات او اربعة كالحين دلت مننا ناله تلاتة و تلاتة
الان كمان هذه تلاتة و تلاتة نسيناها يبقى ال sub
group generated by تلاتة و تلاتة طيب لإنه فيه
قبلها واحد و واحد لكن اتنين و اتنين لا اتنين ال
order إليها يسوى اتنين يبقى كل ال sub groups
الممكنة اللي عندنا طيب لو جاء zero و تلاتة
أه اربعة اربعة ليش ما تكونش منهم ال zero و التلاتة
و التلاتة و zero كمان اه حط عليهم ال zero و
التلاتة and التلاتة و zero طب ليش اختارت التلاتة
ليش ما اختارت اتنين لإن التلاتة و الواحد هدول
relatively prime مع mainمع اللي هو أربعة يبقى هدول
كلهم اش ما تاخد zero واحد واحد و zero أخدناه مش
هيك هاي أول مبادئنا فيهم يبقى مافيش مشكلة هيك
بيكون خلصنا كل اللي هو ال subgroups اللي ال order
اللي يساوي أربعة في ال group اللي عندنا
طيب هذا سؤال تمانية و عشرين سؤال اتنين و تلاتين
find a subgroup من z12, z4, z15 ال order لها يساوي
تسعة يبقى سؤال اتنين و تلاتين بدنا subgroup of z12
External Direct Product مع زد أربعة External
Direct Product مع زد خمستاش
that has order
تسعة خلّي
بالك هنا كويسخلّيني أسألكم سؤال تاني، هل في
element هنا ال order إيه اللي بيساوي تسعة؟ ولا بدي
أشوف، أنا بحكي عليه هادي بس، لأن تسعة دقيقة مش
اتناشولا element هنا ال order يسوى تسعة ولا
element هنا ال order يسوى تسعة يبقى ماعنديش ولا
element ال order يسوى تسعة في أي من ال group
المنفردات التلاتة اللي عندنا هذه طيب انا مش هنجيب
ال order تسعة مش هنجيب ال order تسعة تبع هذه ال
sub group بدي يكون عندي هدول تلاتةثلاثة او تلاتة
او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او
تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة
او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او
تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة
او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او تلاتة او
تلاتة او تلاتة او تلاتة او
تلاتة
لو أخدت اجروب ال order إلها تلاتة و واحدة ال order
إلها واحد و واحدة ال order إلها تلاتة بيصير عندي
قداشر ال order لل external product تسعةالـ order
للـ group كلها بصير تسعة مش باخدش elements باخد
group كاملة ال order لها تلاتة أو sub group تمام
يعني بناء عليه لا يمكن ألاقي sub group من ال
groups هدول ال order لها يسوى تسعة مش إمكانية لكن
بنعمل عملية تحايل بالداجة الأولى بدي أخد منها ال
sub group ال order لها يسوى تلاتةومن التانية ال
subgroup ال order إلها يساوي تلاتة أو تلاتة في شيء
ممكن نقول واحد مثلا و التالتة بتاخد subgroup ال
order إلها يساوي تلاتة يبقى دول لو ضربتها مكون
جديش تسعة تقدر تجيب أه بقدر ليش لإن زد اتناش وزد
اربع وزد خمساش كلهم cyclic groupوفي نظرية كانت في
chapter أربعة بتقولي أي subgroup من cyclic group
بتكون cyclic تمام باجي بقوله كويسة الان لو جيت
أخطط ال HBA subgroup of Z12 with order مثلا with
order تلاتة andk is a subgroup من z4 with order
one and ال
subgroup من z15 with order oneتلاتة طبعا كله ممكن
لإن التلاتة بتجسم الخمستاش والواحد بيجسم الأربعة
والتلاتة بتجسم الأتناش يعني for example for
example ال
group generated by أربعة ال order اللي قدش ساوي
هنا
ثلاثة تمام هاي ليش اربعة ال zero اربعة تمانية يبقى
ال order لها تساوي تلاتة و ال zero ال order له
يساوي كدهش واحد من التانية هذهوالثالثة بداخل من
خمستاشر بداخل ال group generated by خمسة ال order
كمان يساوي كم؟ يساوي تلاتة يبقى ال order يساوي
تلاتة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى ال least يبقى ال
order لل external direct product ال order لل
external direct productمع من؟ مع الـ zero مع من؟
مع الـ subgroup generated by خمسة ال order لها
يساوي ال order لل subgroup generated by أربعة لمن
ال order ل ال zero في ال order لل subgroup
generated by خمسة و يساوي تلاتة في واحد في تلاتة و
يساوي تسعةيبقى هي جبتله subgroup من ال group
الأصلية ال order إلها يساوي تسعة كان هذا سؤال
اتنين و تلاتين