بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية بدأنا في خواص
الـ group الخواص الأولى للـ group واخدنا أول خاصية
الخاصية الأولى بتقول لو كان عندي identity element
في الـ group يبقى هذا الـ identity element يكون
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن
الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن
الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن
الاتنين مرتبطين بلغة أخرى لما نقول ba بده يساوي
ca then بيه يساوي c يعني كأنه شاطبنا a مع a وده
اسمه قانون الشاطب الأيمن الثاني هذا a بيه بده
يساوي ac يبقى طالع أنه بيه بتساوي c يبقى كأنه
شاطبنا من جهة الشمال يبقى قانون الشاطب الأيسر قانون
الشاطب الأيمن قانون الشاطب الأيسر هذه تسميات
بتهمنيش كثير بهمني أن أنا نصل إلى إثبات هذه
العلاقة يبقى بدنا نروح نثبتها فباجي بقوله for proof
الآن b في a موجود
في الـ group g والـ b موجود في الـ group g مشان
تكون group لازم يكون فيها لكل عنصر معكوس لهذا
العنصر إذا بدي أفترض أنه معكوس لعنصر a مثلا وليه
أكون a prime أو أي رمز آخر ونشوف هذا هيوصلنا لوين
يبقى حاجة أقوله assume
الحين احنا عندنا ba بده يساوي ca ابدأ أضرب من جهة
اليمين في الـ a' يبقى ba في الـ a' يبقى ca في
الـ a' هذا الكلام سيعطينا ابدأ أستخدم خاصية ال
associativity يبقى من خاصية الـ associativity بصير
أن b في aa prime يساوي
c في aa prime هذا بدي يعطينا أي عنصر في معكسه شو
بيعطيناه عنصر الوحدة الـ identity element يبقى بناء
عليه هذا هيعطينا أن الـ b الـ b في الـ e بده يساوي
مين؟ بده يساوي الـ c في الـ e طب الـ identity
element لما أضربه في أي عنصر إيش بيعطينا؟ نفس
العنصر يبقى هذا بده يعطينا b تساوي c هذا هو
المطلوب الأول المطلوب الثاني and وكذلك الـ ab بده
يساوي ac implies أن الـ a prime في الـ ab بده يساوي
الـ a prime في الـ ac من خاصية الـ associativity هذا
يعني أن الـ a prime a
العنصر في معكسه بيعطينا الـ identity element دير
بالك بس مش عنصر تضرب من اليمين و الثاني من الشمال
ضربت من الشمال يبقى الثاني من الشمال ضربت من
اليمين يبقى الثاني من اليمين ليش؟ لأنه ما قاليش الـ
group abelian لو قالي لجروب أبيلي أن ضربت واحدة من
اليمين و واحدة من الشمال، أنت فريقش عننا بس إن كان
الضرب من اليمين، الثاني من اليمين، الضرب من
الشمال، الطرف الثاني من الشمال زي ما أنت شايف لازم
نرى الترتيب عند عملية الشغل في الـ groups يبقى هذا
معناه أن الـ identity element في b يسوى الـ identity
element في c يبقى هذا معناه أن b بيبدأ تساوي c إذا
من الآن فصاعدًا قانون الشطب الأيمن وقانون الشطب
الأيسر على الـ group exist موجود ومتعرف عليه النقطة
الثالثة أو الخاصية الثالثة من خواص الـ group بيقول
for each element for each element لأي عنصر for
each element a in a group g
لأي عنصر في الـ group g there is a unique element
there is a unique element there is
a unique element b in g such that
بعد ذلك ab ساوي ba ساوي الـ identity
element مرة
ثانية المرة اللي فاتت أول خاصية أثبتنا أن عنصر
الوحدة يكون وحيدًا مافيش غير عنصر واحد واحد في الـ
group كلها من أولها إلى آخرها الآن بيقول لو أخدت
أي عنصر a موجود في g لازم نلاقي عنصر وحيد لاحظ
الكلمة هذه a unique element يبقى عنصرًا وحيدًا مافيش
غيره و b في g موجود في g بحيث أن الـ a في b
بيساوي الـ a في b بيساوي الـ identity شو معنى هذا
الكلام معنى أن المعكوس لكل عنصر يكونه وحيدًا مافيش
غيره يعني كل عنصر في موجود في الـ group له معكوس لا
يشاركه أحد في هذا المعكوس إذا بدنا نروح نثبت هذا
الكلام بنفس الفكرة اللي أثبتنا فيها الـ identity
element يبقى العنصر a اللي موجود في الـ group بدي
أفترض أنه له معكوسين و أحاول أثبت أن هذين
المعكوسين متساويان يبقى باجي بقوله for proof
Assume افترض أن b و c هم أكثر
من اسم
الموجود في g
الـ ab بيساوي ba الـ ab بيساوي ba بيساوي الـ
identity e and الـ ac بيساوي ca بيساوي الـ
identity e هذا حسب تعريف من؟ حسب تعريف المعكوس
الآن هذا الـ element بده يساوي الـ identity و هذا الـ
element بده يساوي الـ identity معناته الـ two
elements are equal يبقى هذا بده يعطينا a أنه a
في b بده يساوي الـ ac لإنه كل واحد مالهم بده يساوي
الـ identity بالخاصية اللي فوق الأولانية رقم اثنين
يبقى by property
بتساوي الـ c لو أخذنا الجزء الثاني similarly بنفس
الطريقة
اللي هو ba بده يساوي ca implies أن الـ b تساوي c
يبقى بناء عليه لو وجد معكوسين إن شاء الله يكونوا
عشرة لعنصر ما العشرة هدول لازم يكونوا are equal
يعني معنى هذا الكلام أن معكوس العنصر يكونوا aيه؟
يكونوا وحيدًا مفيش غيره
الخاصية الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة
الرابعة الرابعة
الروالعكس من g
هو denoted by g inverse يعني يا شباب من الآن فصاعدًا
بدنا نبطل نقول let a' b is inverse of a على طول
الخط معكوس الـ a هقوله a inverse معكوس الـ g هو g
inverse وهكذا نقطة ثانية if الـ n is a positive
integer عدد صحيح موجب باللي الـ n then الـ g to the
power n معناته aيه؟ معناته g مضروبة في g مضروبة في
g هذا الكلام in times يعني n من المرات يا شباب هنا
الضرب هذه النقاط اللي شايفينها مش عملية الضرب
العادية يعني g star g g star g star g star g إلى
أخيرية الـ star mean ما كانت تكون بس احنا اختصارًا
بنكتبها بالشكل هذا النقطة الثالثة
الـ g مرفوع للأس صفر بده يساوي أي element في الـ
group g ارفع له الصفر بيعطينا الـ identity element
يبقى هذا الـ e نمرة أربعة الـ g to the power n بقدر
أقول g inverse أس سالب n لما أقول gn بقدر أكتبها على
الشكل التالي
بقول الـ gm في الـ gn بده يساوي gm زائد الـ n يبقى تجمع
الأسس عادي جدا خمسة نمرة ستة نمرة ستة gm كله أس n
زي هذه بالضبط تمامًا يبقى هذه أسس مركبة وليست مثل
هذه هنا الأساسات هي الـ element مرفوعة لنفس الأسس M
و N يبقى عند الـ operation هذه تجمع الأسس لكن هذه
كانها GM Star GM Star GM Star GM يعني إيش يعني N
من المرات إذا هذه بالضبط تماما هي GMN أو بقدر أقول
GNM ليش؟ لأن الضرب و الضرب عملية ضرب عادية
للأعداد عملية إبدالية خمسة في ستة هي ستة في خمسة
إذا هذه بقدر أروح أكتبها كذلك على الشكل التالي GNM
بهمنيش من الأسلوب ولا على كل الأمرين كله بعطيني نفس
النتيجة النقطة السابعة النقطة السابعة لو قلت a b
كله to the power n هل يساوي a n b n يعني
لو قلت لك اثنين هل الـ a b تربيع يساوي a تربيع b تربيع
في حالة واحدة لو كانت الـ g أبيليا غير هيك بيعطيك
الله يبقى هذا الكلام لا يمكن أن يساوي هذا على
الإطلاق بروح بستثني و بقول but if g is abelian
then اللي هو الـ a b to the power n بده يساوي a n b n
غير هيك لأ لأنه بقدر أبدل أي عنصر مكان الثاني
بدون أي مشكلة إن كان تميل لكن if it's not
abelian بيصير كلامي هذا كله ليس صحيحا طيب النقطة
الثامنة بيقول if الـ g و الـ plus is a group is a
group then
الـ inverse of g is minus g that is a n الـ g
inverse هي عبارة عن سالب g and
الـ G Inverse كل تكعيب بده يساوي سالب ثلاثة G
بترجع مرة ثانية لهذه النقاط الأساسية الثمانية لأن
هذه الأساسية عندنا بتظل معانا طيلة شغلنا في علم
الجبر من الآن فصاعدا لن نتفق على هذه النقاط مرة
أخرى يبقى النقطة الأخرى إحنا بنشتغل داخل الـ group
وليس داخل الـ set of real number إحنا بنشتغل داخل الـ
group من ما كانت الـ group تكون هذه بقول لو كانت جي
جروب و أخذت عنصر جي موجود في جي يبقى معكوس الجي من
الآن فصاعدا هنرمز له بالرمز G inverse وليس G سالب
واحد يعني هذه ليست واحد على جي تمام أيوة مشان
ما تتوهش بين غسيل اكتب لـ G inverse لا تساوي واحد على
جي يمكن في بعض التعريفات هيها صحيح الـ G inverse
واحد على G بس in general الكلام هذا ليس صحيحا طيب
النقطة الثانية لو كانت الـ N positive integer عدد
صحيح موجب يبقى المقصود بـ G N هي G star G star G
star G N من المرات يعني بدي أطبق الـ binary
operation على الـ element هذا N من المرات النقطة
الثالثة الـ A element في الـ group G لو حطيت له
الأس Zero بدي يعطيني دائما و أبدا الـ identity
element لما أقول GN يمكن صياغتها بصياغة أخرى و
هتشوفوا وإحنا بنبرهن هنضطر نصيغ الـ GN بالصياغة
هذه يبقى هي G inverse و سالب N هذه و هذه الاثنين
are the same النقطة الخامسة GM مضروبة في GN يبقى
بنجمع الأسس جمع هذه ليست ضرب وإنما ما المقصود
بها Star GM Star GN يبقى GM زائد M لو كان الأس
أسا مركبا يبقى بنضرب هذه الأسس في بعض يبقى G
M N يساوي G أس M N بدل الـ N و الـ M لأن هم هدول
integers و اثنين are positive يبقى G N M أو G N
أس M كله are the same لأ لو جيت لحاصل ضرب a b to
the power n لا يساوي a n في b n ولكن هذا يساوي a b
a b a b a b a b n من المرات ولا يساوي a n b n لكن
إن كانت الـ g abelian بقدر أبدل الـ a مكان الـ b
وبالتالي يطلع عند الـ a b to the power n يساوي a n
b n يبقى دي بالك اه لو قلت لك a زائد b لكل تربيع مش
هتقول اه تربيع زائد اثنين a b زائد b تربيع هذا
الكلام غلط a تربيع أو زائد b تربيع صح بس مش اثنين
a b يبقى زائد a b زائد b a يعني بهذا الشكل هذا لما
أقول لك a زائد b لكل تربيع لو حبيت أشوفهم هذول في الـ
group شو شكلهم يبقى بأجي بقول لك هذا a تربيع مظبوط و
هذا زائد a b و هذا زائد b a و هذا زائد b تربيع هيك
صح لكن تقول لي a تربيع زائد اثنين a b زائد b تربيع
هذا كلام غلط إلا إذا كانت أبيلا غير هيك بيعطيك
الله يبقى دير بالك من الشغل هذه طيب النقطة الثامنة
و الأخيرة لو كانت العملية الـ binary operation معرفة
على الـ group G هي عملية الجمع يبقى الـ G inverse
في هذه الحالة هيكون هو سالب G يبقى معكوس الـ G هو
سالب G that is الـ G inverse هي سالب G و في هذه
الحالة أقول جي انفرس أو تكعيب يعني إيش؟ يعني سالب
جي الكل تكعيب و هذه تعتبر سالب ثلاثة جي لأن عند
الجمع بدي أقول سالب جي سالب جي سالب جي بيبقى
سالب ثلاثة جي وكأنه بيضرب الأسس في بعضها و بنزله تحت
بالشكل اللي عنده هذا بيطلع الكلام مائة بالمائة طيب
ورسو لو بده أقول جي تكعيب العملية عملية الجمع
يبقى بده أقول جي زائد جي زائد جي وليس تضرب يبقى
هذه كلها تساوي من تساوي ثلاثة جي يبقى إذا العملية
على الـ group G هي عملية الجمع العادية يبقى جي
تكعيب هي عبارة عن ثلاثة جي جي أس عشرة تعني عشرة جي
جي أس سالب ثمانية تعني سالب ثمانية جي and so on و
هكذا طيب في الآن بدنا نيجي للنقطة الخامسة if الـ a
نقطة الخامسة if الـ a and الـ b belong
بالنسبة للمجموعة جي ثم أي بي الكل انفرس بدي يساوي بي
انفرس أي انفرس خلي
بالك هنأ لو في عنصرين في قلوبهم وضربتهم في بعضهم
بدي أجيب المعكوس تبعهم يبقى المعكوس بقول A B كل
inverse عمليا بقدر أقول هذا B inverse A inverse
يعني كتبت الـ inverse لكل واحد فيهم و قلبت الوضع
هروح نبرهن صحة هذا الكلام إحنا قبل قليل أثبتنا أن
الـ inverse element وحيد و الله أكبر من واحد إلا
إنصار واحد هو واحد يبقى الـ a b ما له إلا معكوس
واحد هدف يقول أنه يله جداش اثنين مدام اثنين لازم
اثنين يتساوى طبقا للخاصية اللي قبل قليل يبقى أنا
لو قدرت أثبت أن الـ b inverse a inverse هو معكوس الـ
a b بتمن المطلوب مظبوط
بما أن الـ a و الـ b موجود في الـ g, we have أن حاصل
الضرب a,b موجود في g لماذا؟ لمشان الـ binary
operation a to elements a star b لازم يكون موجود
في جي ما دام موجود في جي هذا معناه there exists
inverse for the element a,b لازم نجي له معكوس that
is A B الكل inverse مش شاكب إنها رمز المعكوس تبع الـ
A B A B inverse طيب أنا بدي أشوف اللي كاتبه لي هذا
إذا ضربت في A B من اليمين و من اليسار و طلع الـ
identity الـ e يبقى هذا كمان inverse صح ولا لا
الآن لو جيت و قلت لك consider خد لي الـ A B في الـ B
inverse A inverse هأشوف كده بده يعطيني هذا الآن بدّه
أستخدم خاصية الـ associativity يبقى هذا بدّه يعطيني
A في B في الـ B inverse في الـ A inverse الـ B في الـ
B inverse بيعطيني الـ identity يبقى الـ A في الـ E في
الـ A inverse الـ E أضرب في أي عنصر بيطلع؟ نفس
العنصر يبقى هذا A A inverse يبقى بدّه يساوي الـ
identity E ما نفعش من اليسار و بس و من اليمين لازم
يكون من وين؟ من الطرفين يبقى بأجي بقوله and الـ b
inverse a inverse في الـ a b بدّه يساوي b inverse في
الـ a inverse a في الـ a inverse a في من؟ في الـ b
طيب هذا العنصر و معكوسه بيعطيني من؟ الـ identity
element يبقى هذا بدّه يعطينا P inverse AB اللي هو
بدّه يعطينا P inverse P بدّه يعطينا من الـ identity
element بناء عليه هذا الـ element P inverse A
inverse حقق ليه خاصية معكوس العنصر AB يبقى من
الاثنين هدول مع بعض بقدر أقول هذا بدّه يعطيني أن b
inverse a inverse is the inverse element of a,b
يبقى هذا العنصر هو معكوس الـ a,b لكن إحنا عندنا
معكوس الـ a,b مين هو اللي فاج يبقى دول اثنين معاهم
لازم يتساوى فبأجي بقوله since بما أن the inverse
the inverse of an element of a group G is unique
إن (A B) الكل inverse يساوي B inverse A inverse
اللي
خليني أسألكوا هذا السؤال و أشوف إيش رأيكوا فيه طيب
يا شباب أنا لو بدي (A B C) الكل inverse إيش بده يساوي
C inverse B inverse A inverse يعني يبقى شكل من
الآخر للأول يبقى هذا الكلام بدي يعطيني C inverse و
هنا B inverse و هنا A inverse ثلاثة أربعة عشان
الله يكونوا مية بدك تبدأ من الآخر و ترجع رجوع يبقى
هذا هو المعكوس لمن؟ للعنصر اللي عندنا الآن في سؤال
في الكتاب سؤال 18 برضه بدي اعتبره خاصية مهمة
جدا بتلزمنا أثناء الشغل سؤال 18 بيقول لي if G
is a group لو كانت ال G group then الـ A Inverse
Inverse بده يساوي A itself هذا الكلام صحيح لكل ال
A الموجود في ال group G
خليني أقول له في ال group G معكوس المعكوس بيعطينا
الأصل A inverse inverse بيعطينا A قبل ما توجد A
المعكوس تبعه يبقى من الآن فصاعدا معكوس معكوس ال
element بيرجعني لل element itself بدنا نروح نثبت
صحة هذا الكلام يبقى باجي بقوله ل ال professor
لت ال a موجود في ال group g then a inverse موجود
في g معكوسه موجود في جيه كمان معكوس هذا لازم يكون
موجود في جيه صحيح يبقى then and a inverse inverse
موجود في جيه ليش لأنه إذا وجد عنصر في ال group
لازم يكون معكوسه موجود شو معكوسه اللي هو a inverse
inverse طيب مدام هيك لو جيت أخدت ال a inverse
inverse inverse مش هذا العنصر و هذا معكوسه حاصل
ضربه ما شو بده يطيني ال identity element طيب إيش
رأيك لو روحت ضربت من جهة الشمال بالعنصر a اتصلت من
جهة الشمال هاهدر بالك يبقى هذا الـ A مضروب في الـ A
inverse في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى
هذا الـ A مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا
العنصر في المعكوس يعطينا ال identity element يبقى
هذا يعطينا أن ال E في A inverse inverse
الـ identity element لما نقضبه في أي عنصر بيطلع
نفس العنصر يبقى بناء عليه a inverse inverse بده
يساوي ال a itself عزيزي و هو المطلوب؟ طيب و هو
المطلوب و انتهينا من هذا ال section و إليكم ال
exercises بدنا ياكم تمرني أديكم بسؤال 5 و 6 و
8 و 10 و 12 و 17 و 19 و 4 و
20 و 25 و 26 و 3 و
33 و 34 و 35 و 39 و
30
هذا لا يعني أن بقى الناس مشطوبة لا مش مشطوبة إذا
بتحل هدوله كمان جدهم بيكونوا كويس مش غلط لكن أنا
بهمني هدول انتقنهم انتقاء بحيث يغطوا فكرة كثيرة
موجودة في التمرين ولذلك هدول من أهم المسائل اللي
موجودة في التمرين لعل يكون فيها فكرة جديدة نحاول
نستفيد هذه الفكرة طبعا عندكم محاضرة اليوم 14
الواحدة مش حاجة حل الأسئلة لأ حابد محاضرة جديدة
لكن الأسئلة ليوم إيش؟ ليوم الاثنين مش هتروح تحل
عليك مش هنحل و أنت تنسخ ولا عمرك بتستفيد حاجة بدك
تفكر من هنا لبعد بكرة في حل هذه المسألة و تحاول تحل
بقدر الامكان و اللي يصعب عليك بعد بكرة إن شاء الله
بنحله مهما كان شكل هذا السؤال واضح كلام ايه؟ يعني
بديك بعض المادة تيجي جاهز نفسك للنقاش، هيكون في
نقاش كثير حسب اللي يمكن اللي يسألكوا كلكوا أو ثلث
رباعكوا أو نصفكوا حسب ما الوقت اللي ايه المتاح يعني
كل وحدة أنت تتوجهلك السؤال إيش رأيك في السؤال لوين
وصلت فيه إيش حلت إيش كده إلى آخره هيك بيصير مخك
يفهم اللي هو جبر و بتستطيع أن تمشي معانا ما حلتش
والله عمرك ما هتمشي هتضلك قاعد عندنا هنا على طول
هاي نعم يبقى الآن نحاول بقدر الامكان تحل هذه المسائل
أنا متأكد أنه مش هتعرف تحلهم كلهم لكن على الأقل
بتحل شيء كثير منهم ولذلك المناقشة حتى اللي
ما عرفناش نحله الروح نحله في محاضرة المناقشة طيب
عليك بكون انتهينا من هذا ال chapter بدنا نروح لل
chapter اللي بعده اللي هو chapter 3 chapter
3 يا شباب اللي هو بيتحدث عن ال subgroups يعني
احنا كنا بنشتغل في ال groups الآن بدنا نبدأ ناخد
مجموعات جزئية منها يبقى chapter 3 finite groups
finite groups finite
groups finite groups finite groups finite groups
finite groups finite groups finite groups finite
groups finite groups finite groups finite groups
finite groups finite groups finite groups finite
groups finite groups جديدة قبل أن نبدأ في الـ
subgroups حاجة اسمها ال order لل group و ال order لل
element اللي موجود في ال group أول شيء بالبلدي هيك
قبل ما نكتب له أردت ال order لجروب فأذهب بعد
عناصرها جداش ال order لجروب هو عدد العناصر في
الجروب جروب فيها أربع عناصر يبقى ال order لها
يساوي أربعة جروب فيها عشر عناصر يبقى ال order لها
يساوي عشرة و هكذا لكن ال order لل element اللي
موجود في ال group هو أصغر عدد صحيح موجب بحطه ك أسل
هذا ال element بيعطينا ال identity
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب
أصغر عدد
صحيح موجب the order of G as the number
of elements
in G which is denoted by
|G| جيه ما بين خطين و تقرأ ال order لجيه مش
absolute value لجيه يبقى هذا هو ال order لجيه
command definition ثاني ال order لل element the
order of an element of an element اللي موجود في G
is the smallest positive
integer
بنروح نكتب ال order لـ G بده يساوي ال n في عندنا
بعض ال notes البسيطة أول واحدة if the operation on
G is addition is addition عملية الجمع then
النقطة الثانية is the order of
the identity
element E is واحدة صحيحة النقطة الثالثة if there is if
there is no positive integer n
such that الـ
G to the power N بده يساوي ال identity then ال order
لـ G is infinite
نرجع لهذه التعريفين والملاحظات اللي على التعريفين
مرة ثانية بقول the order of a group G is the
number of elements in G عدد العناصر في G واللي
بتدرمزله بالرمز |G| جيه ما بين خطين ليست absolute value
لـ G وإنما ال order لـ G يبقى ال order لـ G هو
عدد العناصر في ال group السؤال هو هل ممكن عدد
العناصر يكون محدود يعني رقم و ممكن يكون كذلك
infinity ممكن اثنين وردات يعني ال group قد تنتهي
وبالتالي عدد العناصر يكون finite وقد لا تنتهي
وبالتالي هذه العناصر infinite زي الـ R star اللي
هي set of real numbers لما أشيل منها zero تحت
عملية الضرب أكم أنصر فيها دي group طبعا أكم أنصر
فيها مالانهاية من العناصر إذا من الـ order لل
group G في هذه الحالة بيكون infinite لكن لو روحت ل
ZN و لا UN و لا كل الأمثلة اللي أخدناهم هذه بيصير
مالها finite أربع عناصر ستة عناصر عشرين عنصر حسب
قيمة N طيب التعريف الثاني بيقول الـ order of an element
g اللي موجود في G is the smallest positive integer
in such that الـ g n بده يساوي e وله نفس الرمز
الـ order للـ element g بده يساوي مين؟ بده يساوي ال
n استنى شوية طيب أنا افترض بقدر آخد أي عنصر
من الـ group مين ما كان يسميته ايه؟ رفعتله أس
عشرين لقيته الـ identity element إذا الـ order لإيه
يساوي عشرين؟ قد يكون وقد لا يكون كيف قد يكون؟ احنا
قلنا the smallest positive integer يمكن في رقم تحت
العشرين زي عشرة يكون A أس عشرة يساوي الـ identity
فإن كان A أس عشرة يساوي الـ identity إذا A أس
عشرين يساوي الـ identity A أس ثلاثين يساوي ال
identity A أس خمسين يبقى أصغر رقم إن بحطه كأس
لهذا الـ element بده يعطيه الـ identity إن حدث ذلك
يبقى هذا الرقم هو الـ order تبع مين؟ تبع هذا ال
element يبقى لو قال show that the order of this
element is كذا أو رقم تمام أحط أس لهذا الرقم يطلع
الـ identity ما أقدرش أقول هذا هو الـ order يا الـ order
يا أقل منه إذا بدأ أستبعد اللي أقل منه يبقى إجباري
بيصير هذا يا إما هذا هو الـ order و هنشوف هذا الكلام
من خلال المسائل يبقى بديك تعرف أن الـ order لهذا ال
element أقل عدد صحيح موجب بحط أس لهذا الـ element
بيعطيني الـ Identity اللي جاي غيره ما ليش علاقة فيهم
و قدام شوية هنقول لك أن الـ order هذا بيقسم أي رقم
ثاني يحطه كأسه يطلع لنا الـ identity ما علينا
لسه بعيد عننا شوية يبقى باجي بقول الـ order لل
element g هو أصغر smallest و positive integer in
such that g to the power n بده يساوي الـ e وله
الرمز جي بين خطين وقول الرمز هذا يقرأ الـ order لـ g
وليس الـ absolute value لـ g الـ absolute للكل كلاس مش
للجبر يبقى هنا بنقول اه بنقول الـ order لـ g يساوي
مين؟ يساوي الـ n طيب ممكن لـ group زي ما شوفنا في
الأمثلة على group تبقى العملية عملية جمع طيب لو
كانت عملية جمع ايش بصير شكل هذا الـ element يبقى لو
كانت الـ operation على G هو الجمع إذا الـ element
هذا بيصير in G يساوي الـ identity element تحت عملية
الجمع اللي هو main اللي هو الـ zero يبقى الـ G to
the power n يساوي الـ identity بترجم إلى in G
يساوي main الـ zero بشرط تبقى العملية المعرفة على
الـ group هي عملية الجمع العادية طيب بدنا ال
identity element ايه بدنا نعرف قداش الـ order أصغر
رقم بحطه للـ g بيطلع الـ e مين واحد يساوي e
واحد يساوي مين واحد إذا الـ order لأي identity
element مهما كان شكل الـ group
لو لم أجد عدد صحيح فأضعه كأسه g يعطينا الـ identity
elementيقول g أس مية ما طلعش الـ identity element
يقول g أس مليون ما طلعش الـ identity كل ما يجي
ذالك رقم ما يطلعش الـ identity element يبقى في هذه
الحالة الـ order لـ g قداش بيكون مالانهاية يبقى باجي
بقول الـ element هذا is of infinite order يبقى ال
order لهذا الـ element بيكون infinite وقد تستغربوا
أنه ممكن يكون واحنا بنشتغل هيك في الـ groups
element أخذه في الـ group الـ order له finite اتنين
ثلاثة عشر جد ما يكونوا element ثاني الـ order له
finite أضرب اتنين في بعض يطلع الـ order infinite
طبعا أنت مش تغربين لكن هنعطيكم مثال إن شاء الله
نوضح فيه هذا الكلام يعني إن كان الـ order لل
element finite والـ order الثاني finite لو ضربت
اتنين في بعض بالـ operation start طلع element جديد
الـ element الجديد ليس بضرورة أن يكون finite وربما
infinite وخاصة في موضوع المصفوفات طيب نبدأ ناخد
بعض الأمثلة على هذه التعريف مشان يثبت هذه المعلومات
ولو على الأقل مثالا واحدا يبقى examples أول مثال
بيقول الـ let الـ G يساوي U 15 يبقى بدنا عناصر
الـ U 15 شبه مين الـ 1 والـ 2 والـ 3 منهم
الـ 4 والـ 5 والـ 6 والـ 7 والـ 8 والـ 9 والـ 10
الـ 11 والـ 12 والـ 13 وكمان 14 يبقى هاي
كتبتله الـ U 15 طيب بناء عليه الـ order لـ U
15 أنا بقول 15 ولا لأ لأ، وش جاب الـ 5؟ عد
العناصر 1، 2، 3، 4، 5، 6،
7، 8 يبقى الـ order اللي أجيبه يساوي 8
طيب لو بدي أجيب الـ order للواحد قداش؟
واحد لأن هذا هو الـ identity element يبقى الـ order
للواحد يساوي واحد طيب بدي الـ order لليتنين؟ شوف عاد
نضرب اتنين في نفسه كام مرة حتى يطلع عندي ال
identity element طبعا هنا عملية ضرب العادية 2
في 2 في 2 اساس 4 في 2 ب 8 في
2 ب 16 شيله هنا و 15 بضل اللي يقولوا
حد يبقى الـ order اللي جديش 4 يبقى الـ order لل
2 يساوي 4 because شو السبب إن 2 أس
1 يساوي 2 2 تربيع يساوي 4
تكعيب يساوي 8 2 أس 4 يساوي 16
modulo 15 يبقى هذا الكلام يساوي 1 هذا بدي
أعطيك إن الـ order لليتنين هو 4 طيب الـ order
لـ 4 similarly الـ order لـ 4 بده يساوي 2
ليش لإنه 4 في 4 ب 16 modulo 15 ب 1
عم يبقى ب 2 طيب لو روحتي وقلت لك الـ order ل
7 بدنا نعرف في هذا قد ايه يبقى بالضبط 7 أس 1
يساوي
7 هو 7 تربيع يساوي 49 modulo
15 15 في 3 ب 45 يطلع 4 طيب
لو جيت قلت لك 7 تكعيب يبقى يساوي 7 مضروبة في
4 modulo 15 4 في 7 ب 28
28 28 28 28
28 28 28 28 28 28 28 28
28 28
28 28 28 28 28 28 28 28
28 28 28 يبقى بناء عليه إن الـ order ل
7 بده يساوي قداش بده يساوي 4 وهكذا طيب
الـ 8 8 في 8 ب 64 شيل الـ 60
لأنه مضاعف لـ 15 بتظل 4 في 8 ب 32 و
30 شيل 30 بتظل 2 في 8 ب 16 يبقى
الـ order لـ 8 بقداش 4 يبقى similarly كمان
الـ order لـ 8 بده يساوي كذلك 4 وهكذا طيب خلينا نسأل
الـ order لـ 11 11
و 11 121 121 مش بتكسبها 15 لأنها بتكسبها 30 و 30
يبقى يبقى 1 يبقى الـ order للإحداش هو 2 وال
order للإحداش بده يساوي 2 فقط وهكذا يلا بنكمل
إن شاء الله بعد الظهر