1
00:00:21,190 --> 00:00:26,610
بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية بدأنا في خواص

2
00:00:26,610 --> 00:00:31,330
الـ group الخواص الأولى للـ group واخدنا أول خاصية

3
00:00:31,330 --> 00:00:35,930
الخاصية الأولى بتقول لو كان عندي identity element

4
00:00:35,930 --> 00:00:39,980
في الـ group يبقى هذا الـ identity element يكون 

5
00:00:39,980 --> 00:00:43,540
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين

6
00:00:43,540 --> 00:00:45,200
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن

7
00:00:45,200 --> 00:00:47,820
الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و

8
00:00:47,820 --> 00:00:48,960
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين

9
00:00:48,960 --> 00:00:50,300
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن

10
00:00:50,300 --> 00:00:52,420
الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و

11
00:00:52,420 --> 00:00:56,700
أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين

12
00:00:56,700 --> 00:01:01,140
مرتبطين و أثبتنا أن الاتنين مرتبطين و أثبتنا أن 

13
00:01:01,140 --> 00:01:06,290
الاتنين مرتبطين بلغة أخرى لما نقول ba بده يساوي

14
00:01:06,290 --> 00:01:12,450
ca then بيه يساوي c يعني كأنه شاطبنا a مع a وده 

15
00:01:12,450 --> 00:01:18,250
اسمه قانون الشاطب الأيمن الثاني هذا a بيه بده

16
00:01:18,250 --> 00:01:23,630
يساوي ac يبقى طالع أنه بيه بتساوي c يبقى كأنه

17
00:01:23,630 --> 00:01:29,510
شاطبنا من جهة الشمال يبقى قانون الشاطب الأيسر قانون

18
00:01:29,510 --> 00:01:32,810
الشاطب الأيمن قانون الشاطب الأيسر هذه تسميات

19
00:01:32,810 --> 00:01:37,310
بتهمنيش كثير بهمني أن أنا نصل إلى إثبات هذه

20
00:01:37,310 --> 00:01:43,170
العلاقة يبقى بدنا نروح نثبتها فباجي بقوله for proof

21
00:01:46,430 --> 00:01:51,850
الآن b في a موجود

22
00:01:51,850 --> 00:01:56,150
في الـ group g والـ b موجود في الـ group g مشان

23
00:01:56,150 --> 00:02:02,210
تكون group لازم يكون فيها لكل عنصر معكوس لهذا

24
00:02:02,210 --> 00:02:07,650
العنصر إذا بدي أفترض أنه معكوس لعنصر a مثلا وليه

25
00:02:07,650 --> 00:02:12,230
أكون a prime أو أي رمز آخر ونشوف هذا هيوصلنا لوين

26
00:02:12,230 --> 00:02:14,790
يبقى حاجة أقوله assume

27
00:02:34,810 --> 00:02:43,090
الحين احنا عندنا ba بده يساوي ca ابدأ أضرب من جهة

28
00:02:43,090 --> 00:02:51,850
اليمين في الـ a' يبقى ba في الـ a' يبقى ca في 

29
00:02:51,850 --> 00:02:59,230
الـ a' هذا الكلام سيعطينا ابدأ أستخدم خاصية ال

30
00:02:59,230 --> 00:03:03,880
associativity يبقى من خاصية الـ associativity بصير

31
00:03:03,880 --> 00:03:10,660
أن b في aa prime يساوي

32
00:03:10,660 --> 00:03:17,700
c في aa prime هذا بدي يعطينا أي عنصر في معكسه شو

33
00:03:17,700 --> 00:03:22,860
بيعطيناه عنصر الوحدة الـ identity element يبقى بناء

34
00:03:22,860 --> 00:03:34,390
عليه هذا هيعطينا أن الـ b الـ b في الـ e بده يساوي

35
00:03:34,390 --> 00:03:38,890
مين؟ بده يساوي الـ c في الـ e طب الـ identity

36
00:03:38,890 --> 00:03:42,870
element لما أضربه في أي عنصر إيش بيعطينا؟ نفس

37
00:03:42,870 --> 00:03:49,950
العنصر يبقى هذا بده يعطينا b تساوي c هذا هو

38
00:03:49,950 --> 00:04:01,090
المطلوب الأول المطلوب الثاني and وكذلك الـ ab بده

39
00:04:01,090 --> 00:04:08,390
يساوي ac implies أن الـ a prime في الـ ab بده يساوي

40
00:04:08,390 --> 00:04:15,350
الـ a prime في الـ ac من خاصية الـ associativity هذا

41
00:04:15,350 --> 00:04:18,110
يعني أن الـ a prime a

42
00:04:26,160 --> 00:04:31,040
العنصر في معكسه بيعطينا الـ identity element دير

43
00:04:31,040 --> 00:04:34,320
بالك بس مش عنصر تضرب من اليمين و الثاني من الشمال

44
00:04:34,320 --> 00:04:37,720
ضربت من الشمال يبقى الثاني من الشمال ضربت من

45
00:04:37,720 --> 00:04:40,960
اليمين يبقى الثاني من اليمين ليش؟ لأنه ما قاليش الـ

46
00:04:40,960 --> 00:04:44,780
group abelian لو قالي لجروب أبيلي أن ضربت واحدة من

47
00:04:44,780 --> 00:04:47,560
اليمين و واحدة من الشمال، أنت فريقش عننا بس إن كان

48
00:04:47,560 --> 00:04:49,880
الضرب من اليمين، الثاني من اليمين، الضرب من

49
00:04:49,880 --> 00:04:53,280
الشمال، الطرف الثاني من الشمال زي ما أنت شايف لازم

50
00:04:53,280 --> 00:04:58,420
نرى الترتيب عند عملية الشغل في الـ groups يبقى هذا

51
00:04:58,420 --> 00:05:03,720
معناه أن الـ identity element في b يسوى الـ identity

52
00:05:03,720 --> 00:05:11,320
element في c يبقى هذا معناه أن b بيبدأ تساوي c إذا

53
00:05:11,320 --> 00:05:15,520
من الآن فصاعدًا قانون الشطب الأيمن وقانون الشطب

54
00:05:15,520 --> 00:05:23,320
الأيسر على الـ group exist موجود ومتعرف عليه النقطة

55
00:05:23,320 --> 00:05:27,880
الثالثة أو الخاصية الثالثة من خواص الـ group بيقول

56
00:05:27,880 --> 00:05:38,920
for each element for each element لأي عنصر for

57
00:05:38,920 --> 00:05:47,040
each element a in a group g

58
00:05:49,680 --> 00:05:55,360
لأي عنصر في الـ group g there is a unique element

59
00:05:55,360 --> 00:06:10,620
there is a unique element there is

60
00:06:10,620 --> 00:06:17,880
a unique element b in g such that

61
00:06:21,290 --> 00:06:29,150
بعد ذلك ab ساوي ba ساوي الـ identity

62
00:06:29,150 --> 00:06:40,070
element مرة

63
00:06:40,070 --> 00:06:44,940
ثانية المرة اللي فاتت أول خاصية أثبتنا أن عنصر

64
00:06:44,940 --> 00:06:49,080
الوحدة يكون وحيدًا مافيش غير عنصر واحد واحد في الـ

65
00:06:49,080 --> 00:06:53,500
group كلها من أولها إلى آخرها الآن بيقول لو أخدت

66
00:06:53,500 --> 00:07:00,060
أي عنصر a موجود في g لازم نلاقي عنصر وحيد لاحظ

67
00:07:00,060 --> 00:07:05,080
الكلمة هذه a unique element يبقى عنصرًا وحيدًا مافيش

68
00:07:05,080 --> 00:07:10,910
غيره و b في g موجود في g بحيث أن الـ a في b

69
00:07:10,910 --> 00:07:14,710
بيساوي الـ a في b بيساوي الـ identity شو معنى هذا

70
00:07:14,710 --> 00:07:20,990
الكلام معنى أن المعكوس لكل عنصر يكونه وحيدًا مافيش

71
00:07:20,990 --> 00:07:26,540
غيره يعني كل عنصر في موجود في الـ group له معكوس لا

72
00:07:26,540 --> 00:07:31,740
يشاركه أحد في هذا المعكوس إذا بدنا نروح نثبت هذا

73
00:07:31,740 --> 00:07:35,840
الكلام بنفس الفكرة اللي أثبتنا فيها الـ identity

74
00:07:35,840 --> 00:07:39,360
element يبقى العنصر a اللي موجود في الـ group بدي

75
00:07:39,360 --> 00:07:43,960
أفترض أنه له معكوسين و أحاول أثبت أن هذين

76
00:07:43,960 --> 00:07:49,260
المعكوسين متساويان يبقى باجي بقوله for proof

77
00:07:53,660 --> 00:08:07,940
Assume افترض أن b و c هم أكثر

78
00:08:07,940 --> 00:08:18,200
من اسم 

79
00:08:18,200 --> 00:08:20,080
الموجود في g

80
00:08:26,860 --> 00:08:35,980
الـ ab بيساوي ba الـ ab بيساوي ba بيساوي الـ

81
00:08:35,980 --> 00:08:44,760
identity e and الـ ac بيساوي ca بيساوي الـ

82
00:08:44,760 --> 00:08:50,540
identity e هذا حسب تعريف من؟ حسب تعريف المعكوس

83
00:08:50,540 --> 00:08:57,810
الآن هذا الـ element بده يساوي الـ identity و هذا الـ

84
00:08:57,810 --> 00:09:01,850
element بده يساوي الـ identity معناته الـ two

85
00:09:01,850 --> 00:09:08,270
elements are equal يبقى هذا بده يعطينا a أنه a

86
00:09:08,270 --> 00:09:14,230
في b بده يساوي الـ ac لإنه كل واحد مالهم بده يساوي

87
00:09:14,230 --> 00:09:19,310
الـ identity بالخاصية اللي فوق الأولانية رقم اثنين

88
00:09:19,310 --> 00:09:23,030
يبقى by property

89
00:09:29,720 --> 00:09:37,400
بتساوي الـ c لو أخذنا الجزء الثاني similarly بنفس

90
00:09:37,400 --> 00:09:38,420
الطريقة

91
00:09:40,770 --> 00:09:49,050
اللي هو ba بده يساوي ca implies أن الـ b تساوي c

92
00:09:49,050 --> 00:09:53,330
يبقى بناء عليه لو وجد معكوسين إن شاء الله يكونوا

93
00:09:53,330 --> 00:09:57,970
عشرة لعنصر ما العشرة هدول لازم يكونوا are equal

94
00:09:57,970 --> 00:10:02,850
يعني معنى هذا الكلام أن معكوس العنصر يكونوا aيه؟

95
00:10:02,850 --> 00:10:05,490
يكونوا وحيدًا مفيش غيره

96
00:10:13,790 --> 00:10:20,370
الخاصية الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

97
00:10:20,370 --> 00:10:20,490
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

98
00:10:20,490 --> 00:10:21,050
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

99
00:10:21,050 --> 00:10:21,450
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

100
00:10:21,450 --> 00:10:22,370
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

101
00:10:22,370 --> 00:10:26,570
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

102
00:10:26,570 --> 00:10:29,330
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

103
00:10:29,330 --> 00:10:29,610
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

104
00:10:29,610 --> 00:10:31,270
الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة الرابعة

105
00:10:31,270 --> 00:10:40,590
الرابعة الرابعة

106
00:10:40,590 --> 00:10:46,180
الروالعكس من g

107
00:10:46,180 --> 00:10:57,840
هو denoted by g inverse يعني يا شباب من الآن فصاعدًا

108
00:10:57,840 --> 00:11:03,700
بدنا نبطل نقول let a' b is inverse of a على طول

109
00:11:03,700 --> 00:11:08,640
الخط معكوس الـ a هقوله a inverse معكوس الـ g هو g

110
00:11:08,640 --> 00:11:20,880
inverse وهكذا نقطة ثانية if الـ n is a positive

111
00:11:22,440 --> 00:11:32,780
integer عدد صحيح موجب باللي الـ n then الـ g to the

112
00:11:32,780 --> 00:11:40,440
power n معناته aيه؟ معناته g مضروبة في g مضروبة في

113
00:11:40,440 --> 00:11:47,800
g هذا الكلام in times يعني n من المرات يا شباب هنا

114
00:11:47,800 --> 00:11:50,760
الضرب هذه النقاط اللي شايفينها مش عملية الضرب

115
00:11:50,760 --> 00:11:55,860
العادية يعني g star g g star g star g star g إلى

116
00:11:55,860 --> 00:11:59,920
أخيرية الـ star mean ما كانت تكون بس احنا اختصارًا

117
00:11:59,920 --> 00:12:07,490
بنكتبها بالشكل هذا النقطة الثالثة

118
00:12:07,490 --> 00:12:13,930
الـ g مرفوع للأس صفر بده يساوي أي element في الـ

119
00:12:13,930 --> 00:12:18,890
group g ارفع له الصفر بيعطينا الـ identity element

120
00:12:18,890 --> 00:12:26,550
يبقى هذا الـ e نمرة أربعة الـ g to the power n بقدر

121
00:12:26,550 --> 00:12:35,520
أقول g inverse أس سالب n لما أقول gn بقدر أكتبها على

122
00:12:35,520 --> 00:12:36,620
الشكل التالي

123
00:12:47,300 --> 00:12:56,760
بقول الـ gm في الـ gn بده يساوي gm زائد الـ n يبقى تجمع

124
00:12:56,760 --> 00:13:06,260
الأسس عادي جدا خمسة نمرة ستة نمرة ستة gm كله أس n

125
00:13:06,260 --> 00:13:14,390
زي هذه بالضبط تمامًا يبقى هذه أسس مركبة وليست مثل 

126
00:13:14,390 --> 00:13:19,430
هذه هنا الأساسات هي الـ element مرفوعة لنفس الأسس M

127
00:13:19,430 --> 00:13:24,950
و N يبقى عند الـ operation هذه تجمع الأسس لكن هذه

128
00:13:24,950 --> 00:13:32,650
كانها GM Star GM Star GM Star GM يعني إيش يعني N

129
00:13:32,650 --> 00:13:42,050
من المرات إذا هذه بالضبط تماما هي GMN أو بقدر أقول

130
00:13:42,050 --> 00:13:50,250
GNM ليش؟ لأن  الضرب و الضرب عملية ضرب عادية

131
00:13:50,250 --> 00:13:54,910
للأعداد عملية إبدالية خمسة في ستة هي ستة في خمسة

132
00:13:54,910 --> 00:14:01,710
إذا هذه بقدر أروح أكتبها كذلك على الشكل التالي GNM

133
00:14:01,710 --> 00:14:07,170
بهمنيش من الأسلوب ولا على كل الأمرين كله بعطيني نفس

134
00:14:07,170 --> 00:14:14,580
النتيجة النقطة السابعة النقطة السابعة لو قلت a b

135
00:14:14,580 --> 00:14:23,820
كله to the power n هل يساوي a n b n يعني

136
00:14:23,820 --> 00:14:29,680
لو قلت لك اثنين هل الـ a b تربيع يساوي a تربيع b تربيع

137
00:14:29,680 --> 00:14:36,300
في حالة واحدة لو كانت الـ g أبيليا غير هيك بيعطيك

138
00:14:36,300 --> 00:14:41,400
الله يبقى هذا الكلام لا يمكن أن يساوي هذا على

139
00:14:41,400 --> 00:14:49,880
الإطلاق بروح بستثني و بقول but if g is abelian

140
00:14:49,880 --> 00:14:58,160
then اللي هو الـ a b to the power n بده يساوي a n b n

141
00:14:58,160 --> 00:15:04,290
غير هيك لأ لأنه بقدر أبدل أي عنصر مكان الثاني

142
00:15:04,290 --> 00:15:07,430
بدون أي مشكلة إن كان تميل لكن if it's not 

143
00:15:07,430 --> 00:15:12,830
abelian بيصير كلامي هذا كله ليس صحيحا طيب النقطة

144
00:15:12,830 --> 00:15:23,270
الثامنة بيقول if الـ g و الـ plus is a group is a

145
00:15:23,270 --> 00:15:28,190
group then

146
00:15:30,130 --> 00:15:47,370
الـ inverse of g is minus g that is a n الـ g

147
00:15:47,370 --> 00:15:53,710
inverse هي عبارة عن سالب g and

148
00:15:55,880 --> 00:16:04,480
الـ G Inverse كل تكعيب بده يساوي سالب ثلاثة G

149
00:16:28,420 --> 00:16:34,920
بترجع مرة ثانية لهذه النقاط الأساسية الثمانية لأن

150
00:16:34,920 --> 00:16:40,000
هذه الأساسية عندنا بتظل معانا طيلة شغلنا في علم

151
00:16:40,000 --> 00:16:45,400
الجبر من الآن فصاعدا لن نتفق على هذه النقاط مرة

152
00:16:45,400 --> 00:16:50,680
أخرى يبقى النقطة الأخرى إحنا بنشتغل داخل الـ group

153
00:16:50,680 --> 00:16:55,240
وليس داخل الـ set of real number إحنا بنشتغل داخل الـ

154
00:16:55,240 --> 00:16:59,380
group من ما كانت الـ group تكون هذه بقول لو كانت جي

155
00:16:59,380 --> 00:17:04,760
جروب و أخذت عنصر جي موجود في جي يبقى معكوس الجي من

156
00:17:04,760 --> 00:17:11,040
الآن فصاعدا هنرمز له بالرمز G inverse وليس G سالب

157
00:17:11,040 --> 00:17:16,140
واحد يعني هذه ليست واحد على جي تمام أيوة مشان

158
00:17:16,140 --> 00:17:22,000
ما تتوهش بين غسيل اكتب لـ G inverse لا تساوي واحد على

159
00:17:22,000 --> 00:17:26,600
جي يمكن في بعض التعريفات هيها صحيح الـ G inverse

160
00:17:26,600 --> 00:17:31,920
واحد على G بس in general الكلام هذا ليس صحيحا طيب

161
00:17:31,920 --> 00:17:35,900
النقطة الثانية لو كانت الـ N positive integer عدد

162
00:17:35,900 --> 00:17:41,900
صحيح موجب يبقى المقصود بـ G N هي G star G star G

163
00:17:41,900 --> 00:17:46,740
star G N من المرات يعني بدي أطبق الـ binary

164
00:17:46,740 --> 00:17:51,510
operation على الـ element هذا N من المرات النقطة

165
00:17:51,510 --> 00:17:56,070
الثالثة الـ A element في الـ group G لو حطيت له

166
00:17:56,070 --> 00:17:59,570
الأس Zero بدي يعطيني دائما و أبدا الـ identity

167
00:17:59,570 --> 00:18:06,590
element لما أقول GN يمكن صياغتها بصياغة أخرى و

168
00:18:06,590 --> 00:18:11,990
هتشوفوا وإحنا بنبرهن هنضطر نصيغ الـ GN بالصياغة

169
00:18:11,990 --> 00:18:19,070
هذه يبقى هي G inverse و سالب N هذه و هذه الاثنين

170
00:18:19,070 --> 00:18:27,180
are the same النقطة الخامسة GM مضروبة في GN يبقى

171
00:18:27,180 --> 00:18:31,960
بنجمع الأسس جمع هذه ليست ضرب وإنما ما المقصود

172
00:18:31,960 --> 00:18:40,770
بها Star GM Star GN يبقى GM زائد M لو كان الأس

173
00:18:40,770 --> 00:18:46,010
أسا مركبا يبقى بنضرب هذه الأسس في بعض يبقى G

174
00:18:46,010 --> 00:18:52,030
M N يساوي G أس M N بدل الـ N و الـ M لأن هم هدول

175
00:18:52,030 --> 00:18:57,470
integers و اثنين are positive يبقى G N M أو G N

176
00:18:57,470 --> 00:19:03,240
أس M كله are the same لأ لو جيت لحاصل ضرب a b to

177
00:19:03,240 --> 00:19:10,360
the power n لا يساوي a n في b n ولكن هذا يساوي a b

178
00:19:10,360 --> 00:19:18,160
a b a b a b a b n من المرات ولا يساوي a n b n لكن

179
00:19:18,160 --> 00:19:23,100
إن كانت الـ g abelian بقدر أبدل الـ a مكان الـ b

180
00:19:23,100 --> 00:19:28,220
وبالتالي يطلع عند الـ a b to the power n يساوي a n

181
00:19:28,220 --> 00:19:35,950
b n يبقى دي بالك اه لو قلت لك a زائد b لكل تربيع مش

182
00:19:35,950 --> 00:19:39,610
هتقول اه تربيع زائد اثنين a b زائد b تربيع هذا

183
00:19:39,610 --> 00:19:44,490
الكلام غلط a تربيع أو زائد b تربيع صح بس مش اثنين

184
00:19:44,490 --> 00:19:50,830
a b يبقى زائد a b زائد b a يعني بهذا الشكل هذا لما

185
00:19:50,830 --> 00:19:56,770
أقول لك a زائد b لكل تربيع لو حبيت أشوفهم هذول في الـ

186
00:19:56,770 --> 00:20:02,110
group شو شكلهم يبقى بأجي بقول لك هذا a تربيع مظبوط و

187
00:20:02,110 --> 00:20:09,990
هذا زائد a b و هذا زائد b a و هذا زائد b تربيع هيك

188
00:20:09,990 --> 00:20:14,690
صح لكن تقول لي a تربيع زائد اثنين a b زائد b تربيع

189
00:20:14,690 --> 00:20:19,010
هذا كلام غلط إلا إذا كانت أبيلا غير هيك بيعطيك

190
00:20:19,010 --> 00:20:24,580
الله يبقى دير بالك من الشغل هذه طيب النقطة الثامنة

191
00:20:24,580 --> 00:20:30,020
و الأخيرة لو كانت العملية الـ binary operation معرفة

192
00:20:30,020 --> 00:20:36,120
على الـ group G هي عملية الجمع يبقى الـ G inverse

193
00:20:36,120 --> 00:20:42,380
في هذه الحالة هيكون هو سالب G يبقى معكوس الـ G هو

194
00:20:42,380 --> 00:20:47,600
سالب G that is الـ G inverse هي سالب G و في هذه

195
00:20:47,600 --> 00:20:55,100
الحالة أقول جي انفرس أو تكعيب يعني إيش؟ يعني سالب

196
00:20:55,100 --> 00:21:01,480
جي الكل تكعيب و هذه تعتبر سالب ثلاثة جي لأن عند

197
00:21:01,480 --> 00:21:06,080
الجمع بدي أقول سالب جي سالب جي سالب جي بيبقى

198
00:21:06,080 --> 00:21:13,530
سالب ثلاثة جي وكأنه بيضرب الأسس في بعضها و بنزله تحت

199
00:21:13,530 --> 00:21:18,110
بالشكل اللي عنده هذا بيطلع الكلام مائة بالمائة طيب

200
00:21:18,110 --> 00:21:22,650
ورسو لو بده أقول جي تكعيب العملية عملية الجمع

201
00:21:22,650 --> 00:21:28,750
يبقى بده أقول جي زائد جي زائد جي وليس تضرب يبقى

202
00:21:28,750 --> 00:21:33,670
هذه كلها تساوي من تساوي ثلاثة جي يبقى إذا العملية

203
00:21:33,670 --> 00:21:39,080
على الـ group G هي عملية الجمع العادية يبقى جي

204
00:21:39,080 --> 00:21:44,420
تكعيب هي عبارة عن ثلاثة جي جي أس عشرة تعني عشرة جي

205
00:21:44,420 --> 00:21:50,620
جي أس سالب ثمانية تعني سالب ثمانية جي and so on و

206
00:21:50,620 --> 00:21:59,680
هكذا طيب في الآن بدنا نيجي للنقطة الخامسة if الـ a

207
00:21:59,680 --> 00:22:07,020
نقطة الخامسة if الـ a and الـ b belong

208
00:22:14,690 --> 00:22:24,890
بالنسبة للمجموعة جي ثم أي بي الكل انفرس بدي يساوي بي

209
00:22:24,890 --> 00:22:37,030
انفرس أي انفرس خلي

210
00:22:37,030 --> 00:22:43,070
بالك هنأ لو في عنصرين في قلوبهم وضربتهم في بعضهم

211
00:22:43,070 --> 00:22:48,230
بدي أجيب المعكوس تبعهم يبقى المعكوس بقول A B كل

212
00:22:48,230 --> 00:22:54,110
inverse عمليا بقدر أقول هذا B inverse A inverse

213
00:22:54,110 --> 00:22:58,950
يعني كتبت الـ inverse لكل واحد فيهم و قلبت الوضع

214
00:22:58,950 --> 00:23:04,990
هروح نبرهن صحة هذا الكلام إحنا قبل قليل أثبتنا أن

215
00:23:04,990 --> 00:23:09,140
الـ inverse element وحيد و الله أكبر من واحد إلا

216
00:23:09,140 --> 00:23:14,040
إنصار واحد هو واحد يبقى الـ a b ما له إلا معكوس

217
00:23:14,040 --> 00:23:20,180
واحد هدف يقول أنه يله جداش اثنين مدام اثنين لازم

218
00:23:20,180 --> 00:23:25,000
اثنين يتساوى طبقا للخاصية اللي قبل قليل يبقى أنا

219
00:23:25,000 --> 00:23:30,200
لو قدرت أثبت أن الـ b inverse a inverse هو معكوس الـ

220
00:23:30,200 --> 00:23:32,940
a b بتمن المطلوب مظبوط

221
00:23:37,330 --> 00:23:46,230
بما أن الـ a و الـ b موجود في الـ g, we have أن حاصل

222
00:23:46,230 --> 00:23:51,570
الضرب a,b موجود في g لماذا؟ لمشان الـ binary

223
00:23:51,570 --> 00:23:56,210
operation a to elements a star b لازم يكون موجود

224
00:23:56,210 --> 00:24:03,250
في جي ما دام موجود في جي هذا معناه there exists

225
00:24:03,250 --> 00:24:15,690
inverse for the element a,b لازم نجي له معكوس that

226
00:24:15,690 --> 00:24:23,790
is A B الكل inverse مش شاكب إنها رمز المعكوس تبع الـ

227
00:24:23,790 --> 00:24:29,730
A B A B inverse طيب أنا بدي أشوف اللي كاتبه لي هذا

228
00:24:29,730 --> 00:24:34,670
إذا ضربت في A B من اليمين و من اليسار و طلع الـ

229
00:24:34,670 --> 00:24:39,250
identity الـ e يبقى هذا كمان inverse صح ولا لا

230
00:24:39,250 --> 00:24:48,090
الآن لو جيت و قلت لك consider خد لي الـ A B في الـ B

231
00:24:48,090 --> 00:24:53,590
inverse A inverse هأشوف كده بده يعطيني هذا الآن بدّه

232
00:24:53,590 --> 00:24:58,450
أستخدم خاصية الـ associativity يبقى هذا بدّه يعطيني

233
00:24:58,450 --> 00:25:05,910
A في B في الـ B inverse في الـ A inverse الـ B في الـ

234
00:25:05,910 --> 00:25:12,210
B inverse بيعطيني الـ identity يبقى الـ A في الـ E في

235
00:25:12,210 --> 00:25:17,700
الـ A inverse الـ E أضرب في أي عنصر بيطلع؟ نفس

236
00:25:17,700 --> 00:25:23,320
العنصر يبقى هذا A A inverse يبقى بدّه يساوي الـ

237
00:25:23,320 --> 00:25:28,960
identity E ما نفعش من اليسار و بس و من اليمين لازم

238
00:25:28,960 --> 00:25:35,410
يكون من وين؟ من الطرفين يبقى بأجي بقوله and الـ b

239
00:25:35,410 --> 00:25:42,670
inverse a inverse في الـ a b بدّه يساوي b inverse في

240
00:25:42,670 --> 00:25:50,410
الـ a inverse a في الـ a inverse a في من؟ في الـ b

241
00:25:50,410 --> 00:25:56,190
طيب هذا العنصر و معكوسه بيعطيني من؟ الـ identity

242
00:25:56,190 --> 00:26:02,420
element يبقى هذا بدّه يعطينا P inverse AB اللي هو

243
00:26:02,420 --> 00:26:07,200
بدّه يعطينا P inverse P بدّه يعطينا من الـ identity

244
00:26:07,200 --> 00:26:12,400
element بناء عليه هذا الـ element P inverse A

245
00:26:12,400 --> 00:26:18,840
inverse حقق ليه خاصية معكوس العنصر AB يبقى من

246
00:26:18,840 --> 00:26:25,940
الاثنين هدول مع بعض بقدر أقول هذا بدّه يعطيني أن b

247
00:26:25,940 --> 00:26:37,140
inverse a inverse is the inverse element of a,b

248
00:26:37,140 --> 00:26:41,800
يبقى هذا العنصر هو معكوس الـ a,b لكن إحنا عندنا

249
00:26:41,800 --> 00:26:46,900
معكوس الـ a,b مين هو اللي فاج يبقى دول اثنين معاهم

250
00:26:47,490 --> 00:26:55,110
لازم يتساوى فبأجي بقوله since بما أن the inverse 

251
00:26:55,110 --> 00:27:05,950
the inverse of an element of a group G is unique

252
00:27:13,670 --> 00:27:20,850
إن (A B) الكل inverse يساوي B inverse A inverse

253
00:27:20,850 --> 00:27:24,010
اللي 

254
00:27:24,010 --> 00:27:28,830
خليني أسألكوا هذا السؤال و أشوف إيش رأيكوا فيه طيب

255
00:27:28,830 --> 00:27:36,510
يا شباب أنا لو بدي (A B C) الكل inverse إيش بده يساوي

256
00:27:40,480 --> 00:27:44,280
C inverse B inverse A inverse يعني يبقى شكل من

257
00:27:44,280 --> 00:27:51,260
الآخر للأول يبقى هذا الكلام بدي يعطيني C inverse و

258
00:27:51,260 --> 00:27:56,600
هنا B inverse و هنا A inverse ثلاثة أربعة عشان 

259
00:27:56,600 --> 00:28:01,440
الله يكونوا مية بدك تبدأ من الآخر و ترجع رجوع يبقى

260
00:28:01,440 --> 00:28:09,060
هذا هو المعكوس لمن؟ للعنصر اللي عندنا الآن في سؤال

261
00:28:09,060 --> 00:28:15,840
في الكتاب سؤال 18 برضه بدي اعتبره خاصية مهمة

262
00:28:15,840 --> 00:28:22,540
جدا بتلزمنا أثناء الشغل سؤال 18 بيقول لي if G

263
00:28:22,540 --> 00:28:31,610
is a group لو كانت ال G group then الـ A Inverse

264
00:28:31,610 --> 00:28:39,910
Inverse بده يساوي A itself هذا الكلام صحيح لكل ال

265
00:28:39,910 --> 00:28:42,390
A الموجود في ال group G

266
00:29:05,530 --> 00:29:11,690
خليني أقول له في ال group G معكوس المعكوس بيعطينا

267
00:29:11,690 --> 00:29:17,730
الأصل A inverse inverse بيعطينا A قبل ما توجد A 

268
00:29:17,730 --> 00:29:23,630
المعكوس تبعه يبقى من الآن فصاعدا معكوس معكوس ال

269
00:29:23,630 --> 00:29:28,130
element بيرجعني لل element itself بدنا نروح نثبت

270
00:29:28,130 --> 00:29:32,090
صحة هذا الكلام يبقى باجي بقوله ل ال professor

271
00:29:38,960 --> 00:29:49,840
لت ال a موجود في ال group g then a inverse موجود

272
00:29:49,840 --> 00:29:57,830
في g معكوسه موجود في جيه كمان معكوس هذا لازم يكون 

273
00:29:57,830 --> 00:30:06,150
موجود في جيه صحيح يبقى then and a inverse inverse

274
00:30:06,150 --> 00:30:12,530
موجود في جيه ليش لأنه إذا وجد عنصر في ال group

275
00:30:12,530 --> 00:30:17,610
لازم يكون معكوسه موجود شو معكوسه اللي هو a inverse

276
00:30:17,610 --> 00:30:25,060
inverse طيب مدام هيك لو جيت أخدت ال a inverse

277
00:30:25,060 --> 00:30:33,820
inverse inverse مش هذا العنصر و هذا معكوسه حاصل

278
00:30:33,820 --> 00:30:40,860
ضربه ما شو بده يطيني ال identity element طيب إيش

279
00:30:40,860 --> 00:30:47,440
رأيك لو روحت ضربت من جهة الشمال بالعنصر a اتصلت من

280
00:30:47,440 --> 00:30:54,760
جهة الشمال هاهدر بالك يبقى هذا الـ A مضروب في الـ A

281
00:30:54,760 --> 00:31:02,060
inverse في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A

282
00:31:02,060 --> 00:31:03,360
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A

283
00:31:03,360 --> 00:31:04,500
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A

284
00:31:04,500 --> 00:31:06,880
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا الـ A

285
00:31:06,880 --> 00:31:11,880
مضروب في الـ A inverse inverse يبقى

286
00:31:11,880 --> 00:31:15,540
هذا الـ A مضروب في الـ A inverse inverse يبقى هذا

287
00:31:26,790 --> 00:31:33,030
العنصر في المعكوس يعطينا ال identity element يبقى

288
00:31:33,030 --> 00:31:38,970
هذا يعطينا أن ال E في A inverse inverse

289
00:31:41,540 --> 00:31:45,380
الـ identity element لما نقضبه في أي عنصر بيطلع

290
00:31:45,380 --> 00:31:51,460
نفس العنصر يبقى بناء عليه a inverse inverse بده

291
00:31:51,460 --> 00:31:57,240
يساوي ال a itself عزيزي و هو المطلوب؟ طيب و هو

292
00:31:57,240 --> 00:32:02,360
المطلوب و انتهينا من هذا ال section و إليكم ال

293
00:32:02,360 --> 00:32:10,730
exercises بدنا ياكم تمرني أديكم بسؤال 5 و 6 و

294
00:32:10,730 --> 00:32:21,230
8 و 10 و 12 و 17 و 19 و 4 و

295
00:32:21,230 --> 00:32:30,690
20 و 25 و 26 و 3 و

296
00:32:30,690 --> 00:32:39,050
33 و 34 و 35 و 39 و

297
00:32:39,050 --> 00:32:39,730
30

298
00:32:44,920 --> 00:32:49,500
هذا لا يعني أن بقى الناس مشطوبة لا مش مشطوبة إذا

299
00:32:49,500 --> 00:32:54,500
بتحل هدوله كمان جدهم بيكونوا كويس مش غلط لكن أنا

300
00:32:54,500 --> 00:32:59,720
بهمني هدول انتقنهم انتقاء بحيث يغطوا فكرة كثيرة

301
00:32:59,720 --> 00:33:05,780
موجودة في التمرين ولذلك هدول من أهم المسائل اللي

302
00:33:05,780 --> 00:33:10,440
موجودة في التمرين لعل يكون فيها فكرة جديدة نحاول

303
00:33:10,440 --> 00:33:15,190
نستفيد هذه الفكرة طبعا عندكم محاضرة اليوم 14

304
00:33:15,190 --> 00:33:20,270
الواحدة مش حاجة حل الأسئلة لأ حابد محاضرة جديدة

305
00:33:20,270 --> 00:33:24,710
لكن الأسئلة ليوم إيش؟ ليوم الاثنين مش هتروح تحل

306
00:33:24,710 --> 00:33:29,690
عليك مش هنحل و أنت تنسخ ولا عمرك بتستفيد حاجة بدك

307
00:33:29,690 --> 00:33:34,510
تفكر من هنا لبعد بكرة في حل هذه المسألة و تحاول تحل

308
00:33:34,510 --> 00:33:38,430
بقدر الامكان و اللي يصعب عليك بعد بكرة إن شاء الله

309
00:33:38,430 --> 00:33:43,610
بنحله مهما كان شكل هذا السؤال واضح كلام ايه؟ يعني

310
00:33:43,610 --> 00:33:47,970
بديك بعض المادة تيجي جاهز نفسك للنقاش، هيكون في

311
00:33:47,970 --> 00:33:51,950
نقاش كثير حسب اللي يمكن اللي يسألكوا كلكوا أو ثلث

312
00:33:51,950 --> 00:33:56,330
رباعكوا أو نصفكوا حسب ما الوقت اللي ايه المتاح يعني

313
00:33:56,330 --> 00:34:00,050
كل وحدة أنت تتوجهلك السؤال إيش رأيك في السؤال لوين

314
00:34:00,050 --> 00:34:04,970
وصلت فيه إيش حلت إيش كده إلى آخره هيك بيصير مخك

315
00:34:04,970 --> 00:34:10,210
يفهم اللي هو جبر و بتستطيع أن تمشي معانا ما حلتش

316
00:34:10,210 --> 00:34:14,250
والله عمرك ما هتمشي هتضلك قاعد عندنا هنا على طول

317
00:34:14,250 --> 00:34:21,770
هاي نعم يبقى الآن نحاول بقدر الامكان تحل هذه المسائل

318
00:34:21,770 --> 00:34:26,830
أنا متأكد أنه مش هتعرف تحلهم كلهم لكن على الأقل

319
00:34:26,830 --> 00:34:32,350
بتحل شيء كثير منهم ولذلك المناقشة حتى اللي

320
00:34:32,350 --> 00:34:38,670
ما عرفناش نحله الروح نحله في محاضرة المناقشة طيب

321
00:34:38,670 --> 00:34:43,230
عليك بكون انتهينا من هذا ال chapter بدنا نروح لل

322
00:34:43,230 --> 00:34:48,010
chapter اللي بعده اللي هو chapter 3 chapter

323
00:34:48,010 --> 00:34:54,690
3 يا شباب اللي هو بيتحدث عن ال subgroups يعني

324
00:34:54,690 --> 00:34:59,110
احنا كنا بنشتغل في ال groups الآن بدنا نبدأ ناخد

325
00:34:59,110 --> 00:35:12,310
مجموعات جزئية منها يبقى chapter 3 finite groups

326
00:35:12,310 --> 00:35:20,390
finite groups finite

327
00:35:20,390 --> 00:35:21,110
groups finite groups finite groups finite groups

328
00:35:21,110 --> 00:35:22,930
finite groups finite groups finite groups finite

329
00:35:22,930 --> 00:35:24,850
groups finite groups finite groups finite groups

330
00:35:24,850 --> 00:35:26,470
finite groups finite groups finite groups finite

331
00:35:26,470 --> 00:35:34,790
groups finite groups جديدة قبل أن نبدأ في الـ

332
00:35:34,790 --> 00:35:40,570
subgroups حاجة اسمها ال order لل group و ال order لل

333
00:35:40,570 --> 00:35:46,090
element اللي موجود في ال group أول شيء بالبلدي هيك

334
00:35:46,090 --> 00:35:50,900
قبل ما نكتب له أردت ال order لجروب فأذهب بعد

335
00:35:50,900 --> 00:35:56,000
عناصرها جداش ال order لجروب هو عدد العناصر في

336
00:35:56,000 --> 00:35:59,620
الجروب جروب فيها أربع عناصر يبقى ال order لها

337
00:35:59,620 --> 00:36:04,480
يساوي أربعة جروب فيها عشر عناصر يبقى ال order لها

338
00:36:04,480 --> 00:36:11,770
يساوي عشرة و هكذا لكن ال order لل element اللي

339
00:36:11,770 --> 00:36:18,150
موجود في ال group هو أصغر عدد صحيح موجب بحطه ك أسل

340
00:36:18,150 --> 00:36:21,170
هذا ال element بيعطينا ال identity

341
00:36:26,400 --> 00:36:29,720
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد

342
00:36:29,720 --> 00:36:32,280
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب

343
00:36:32,280 --> 00:36:34,300
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد

344
00:36:34,300 --> 00:36:38,640
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب

345
00:36:38,640 --> 00:36:43,420
أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد

346
00:36:43,420 --> 00:36:45,120
صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب أصغر عدد صحيح موجب

347
00:36:45,120 --> 00:36:49,640
أصغر عدد 

348
00:36:49,640 --> 00:37:01,290
صحيح موجب the order of G as the number

349
00:37:01,290 --> 00:37:08,950
of elements

350
00:37:08,950 --> 00:37:18,050
in G which is denoted by

351
00:37:22,800 --> 00:37:29,120
|G| جيه ما بين خطين و تقرأ ال order لجيه مش

352
00:37:29,120 --> 00:37:34,400
absolute value لجيه يبقى هذا هو ال order لجيه

353
00:37:34,400 --> 00:37:39,440
command definition ثاني ال order لل element the

354
00:37:39,440 --> 00:37:53,720
order of an element of an element اللي موجود في G

355
00:37:53,720 --> 00:38:04,040
is the smallest positive

356
00:38:04,040 --> 00:38:07,580
integer

357
00:38:37,950 --> 00:38:46,780
بنروح نكتب ال order لـ G بده يساوي ال n في عندنا

358
00:38:46,780 --> 00:38:59,960
بعض ال notes البسيطة أول واحدة if the operation on

359
00:38:59,960 --> 00:39:11,100
G is addition is addition عملية الجمع then

360
00:39:30,230 --> 00:39:38,950
النقطة الثانية is the order of

361
00:39:38,950 --> 00:39:41,250
the identity

362
00:39:42,600 --> 00:40:00,500
element E is واحدة صحيحة النقطة الثالثة if there is if

363
00:40:00,500 --> 00:40:10,380
there is no positive integer n

364
00:40:11,810 --> 00:40:17,310
such that الـ

365
00:40:17,310 --> 00:40:25,310
G to the power N بده يساوي ال identity then ال order

366
00:40:25,310 --> 00:40:29,270
لـ G is infinite

367
00:41:00,880 --> 00:41:05,620
نرجع لهذه التعريفين والملاحظات اللي على التعريفين

368
00:41:05,620 --> 00:41:10,920
مرة ثانية بقول the order of a group G is the

369
00:41:10,920 --> 00:41:16,980
number of elements in G عدد العناصر في G واللي

370
00:41:16,980 --> 00:41:22,280
بتدرمزله بالرمز |G| جيه ما بين خطين ليست absolute value

371
00:41:22,280 --> 00:41:28,140
لـ G وإنما ال order لـ G يبقى ال order لـ G هو

372
00:41:28,140 --> 00:41:33,360
عدد العناصر في ال group السؤال هو هل ممكن عدد

373
00:41:33,360 --> 00:41:37,960
العناصر يكون محدود يعني رقم و ممكن يكون كذلك

374
00:41:37,960 --> 00:41:43,760
infinity ممكن اثنين وردات يعني ال group قد تنتهي

375
00:41:43,760 --> 00:41:48,700
وبالتالي عدد العناصر يكون finite وقد لا تنتهي 

376
00:41:48,700 --> 00:41:54,340
وبالتالي هذه العناصر infinite زي الـ R star اللي

377
00:41:54,340 --> 00:41:57,760
هي set of real numbers لما أشيل منها zero تحت 

378
00:41:57,760 --> 00:42:01,680
عملية الضرب أكم أنصر فيها دي group طبعا أكم أنصر

379
00:42:01,680 --> 00:42:06,200
فيها مالانهاية من العناصر إذا من الـ order لل

380
00:42:06,200 --> 00:42:11,430
group G في هذه الحالة بيكون infinite لكن لو روحت ل

381
00:42:11,430 --> 00:42:17,110
ZN و لا UN و لا كل الأمثلة اللي أخدناهم هذه بيصير 

382
00:42:17,110 --> 00:42:21,630
مالها finite أربع عناصر ستة عناصر عشرين عنصر حسب

383
00:42:21,630 --> 00:42:27,110
قيمة N طيب التعريف الثاني بيقول الـ order of an element

384
00:42:27,110 --> 00:42:31,850
g اللي موجود في G is the smallest positive integer

385
00:42:31,850 --> 00:42:37,870
in such that الـ g n بده يساوي e وله نفس الرمز

386
00:42:37,870 --> 00:42:41,750
الـ order للـ element g بده يساوي مين؟ بده يساوي ال

387
00:42:41,750 --> 00:42:46,770
n استنى شوية طيب أنا افترض بقدر آخد أي عنصر

388
00:42:46,770 --> 00:42:52,290
من الـ group مين ما كان يسميته ايه؟ رفعتله أس

389
00:42:52,290 --> 00:42:57,850
عشرين لقيته الـ identity element إذا الـ order لإيه

390
00:42:57,850 --> 00:43:05,060
يساوي عشرين؟ قد يكون وقد لا يكون كيف قد يكون؟ احنا

391
00:43:05,060 --> 00:43:08,600
قلنا the smallest positive integer يمكن في رقم تحت

392
00:43:08,600 --> 00:43:13,320
العشرين زي عشرة يكون A أس عشرة يساوي الـ identity

393
00:43:13,320 --> 00:43:17,600
فإن كان A أس عشرة يساوي الـ identity إذا A أس

394
00:43:17,600 --> 00:43:20,720
عشرين يساوي الـ identity A أس ثلاثين يساوي ال

395
00:43:20,720 --> 00:43:26,800
identity A أس خمسين يبقى أصغر رقم إن بحطه كأس

396
00:43:26,800 --> 00:43:30,990
لهذا الـ element بده يعطيه الـ identity إن حدث ذلك

397
00:43:30,990 --> 00:43:35,150
يبقى هذا الرقم هو الـ order تبع مين؟ تبع هذا ال

398
00:43:35,150 --> 00:43:39,190
element يبقى لو قال show that the order of this

399
00:43:39,190 --> 00:43:45,410
element is كذا أو رقم تمام أحط أس لهذا الرقم يطلع

400
00:43:45,410 --> 00:43:50,040
الـ identity ما أقدرش أقول هذا هو الـ order يا الـ order

401
00:43:50,040 --> 00:43:55,380
يا أقل منه إذا بدأ أستبعد اللي أقل منه يبقى إجباري

402
00:43:55,380 --> 00:43:59,080
بيصير هذا يا إما هذا هو الـ order و هنشوف هذا الكلام

403
00:43:59,080 --> 00:44:05,000
من خلال المسائل يبقى بديك تعرف أن الـ order لهذا ال

404
00:44:05,000 --> 00:44:11,040
element أقل عدد صحيح موجب بحط أس لهذا الـ element

405
00:44:11,040 --> 00:44:15,490
بيعطيني الـ Identity اللي جاي غيره ما ليش علاقة فيهم

406
00:44:15,490 --> 00:44:21,630
و قدام شوية هنقول لك أن الـ order هذا بيقسم أي رقم

407
00:44:21,630 --> 00:44:25,490
ثاني يحطه كأسه يطلع لنا الـ identity ما علينا

408
00:44:25,490 --> 00:44:29,870
لسه بعيد عننا شوية يبقى باجي بقول الـ order لل

409
00:44:29,870 --> 00:44:36,290
element g هو أصغر smallest و positive integer in

410
00:44:36,290 --> 00:44:40,290
such that g to the power n بده يساوي الـ e وله

411
00:44:40,290 --> 00:44:46,630
الرمز جي بين خطين وقول الرمز هذا يقرأ الـ order لـ g

412
00:44:46,630 --> 00:44:50,690
وليس الـ absolute value لـ g الـ absolute للكل كلاس مش 

413
00:44:50,690 --> 00:44:54,930
للجبر يبقى هنا بنقول اه بنقول الـ order لـ g يساوي

414
00:44:54,930 --> 00:45:00,230
مين؟ يساوي الـ n طيب ممكن لـ group زي ما شوفنا في

415
00:45:00,230 --> 00:45:05,160
الأمثلة على group تبقى العملية عملية جمع طيب لو

416
00:45:05,160 --> 00:45:10,780
كانت عملية جمع ايش بصير شكل هذا الـ element يبقى لو

417
00:45:10,780 --> 00:45:14,520
كانت الـ operation على G هو الجمع إذا الـ element

418
00:45:14,520 --> 00:45:19,320
هذا بيصير in G يساوي الـ identity element تحت عملية

419
00:45:19,320 --> 00:45:23,140
الجمع اللي هو main اللي هو الـ zero يبقى الـ G to

420
00:45:23,140 --> 00:45:26,840
the power n يساوي الـ identity بترجم إلى in G

421
00:45:26,840 --> 00:45:31,480
يساوي main الـ zero بشرط تبقى العملية المعرفة على

422
00:45:31,480 --> 00:45:36,980
الـ group هي عملية الجمع العادية طيب بدنا ال

423
00:45:36,980 --> 00:45:41,900
identity element ايه بدنا نعرف قداش الـ order أصغر

424
00:45:41,900 --> 00:45:46,220
رقم بحطه للـ g بيطلع الـ e مين واحد يساوي e

425
00:45:46,220 --> 00:45:50,880
واحد يساوي مين واحد إذا الـ order لأي identity

426
00:45:50,880 --> 00:45:53,600
element مهما كان شكل الـ group

427
00:46:11,020 --> 00:46:19,800
لو لم أجد عدد صحيح فأضعه كأسه g يعطينا الـ identity

428
00:46:19,800 --> 00:46:25,040
elementيقول g أس مية ما طلعش الـ identity element

429
00:46:25,040 --> 00:46:29,100
يقول g أس مليون ما طلعش الـ identity كل ما يجي

430
00:46:29,100 --> 00:46:32,740
ذالك رقم ما يطلعش الـ identity element يبقى في هذه

431
00:46:32,740 --> 00:46:37,820
الحالة الـ order لـ g قداش بيكون مالانهاية يبقى باجي

432
00:46:37,820 --> 00:46:42,880
بقول الـ element هذا is of infinite order يبقى ال

433
00:46:42,880 --> 00:46:48,820
order لهذا الـ element بيكون infinite وقد تستغربوا

434
00:46:48,820 --> 00:46:53,000
أنه ممكن يكون واحنا بنشتغل هيك في الـ groups

435
00:46:53,000 --> 00:46:57,720
element أخذه في الـ group الـ order له finite اتنين

436
00:46:57,720 --> 00:47:01,520
ثلاثة عشر جد ما يكونوا element ثاني الـ order له 

437
00:47:01,520 --> 00:47:07,120
finite أضرب اتنين في بعض يطلع الـ order infinite

438
00:47:09,630 --> 00:47:13,130
طبعا أنت مش تغربين لكن هنعطيكم مثال إن شاء الله

439
00:47:13,130 --> 00:47:16,830
نوضح فيه هذا الكلام يعني إن كان الـ order لل

440
00:47:16,830 --> 00:47:21,470
element finite والـ order الثاني finite لو ضربت

441
00:47:21,470 --> 00:47:25,030
اتنين في بعض بالـ operation start طلع element جديد

442
00:47:25,030 --> 00:47:29,910
الـ element الجديد ليس بضرورة أن يكون finite وربما

443
00:47:29,910 --> 00:47:36,270
infinite وخاصة في موضوع المصفوفات طيب نبدأ ناخد

444
00:47:36,270 --> 00:47:42,220
بعض الأمثلة على هذه التعريف مشان يثبت هذه المعلومات

445
00:47:42,220 --> 00:47:50,340
ولو على الأقل مثالا واحدا يبقى examples أول مثال

446
00:47:50,340 --> 00:47:59,440
بيقول الـ let الـ G يساوي U 15 يبقى بدنا عناصر

447
00:47:59,440 --> 00:48:05,120
الـ U 15 شبه مين الـ 1 والـ 2 والـ 3 منهم

448
00:48:05,960 --> 00:48:16,160
الـ 4 والـ 5 والـ 6 والـ 7 والـ 8 والـ 9 والـ 10

449
00:48:16,160 --> 00:48:25,120
الـ 11 والـ 12 والـ 13 وكمان 14 يبقى هاي

450
00:48:25,120 --> 00:48:32,240
كتبتله الـ U 15 طيب بناء عليه الـ order لـ U

451
00:48:32,240 --> 00:48:38,520
15 أنا بقول 15 ولا لأ لأ، وش جاب الـ 5؟ عد

452
00:48:38,520 --> 00:48:41,640
العناصر 1، 2، 3، 4، 5، 6،

453
00:48:41,640 --> 00:48:46,220
7، 8 يبقى الـ order اللي أجيبه يساوي 8

454
00:48:46,220 --> 00:48:53,560
طيب لو بدي أجيب الـ order للواحد قداش؟

455
00:48:53,560 --> 00:48:57,500
واحد لأن هذا هو الـ identity element يبقى الـ order

456
00:48:57,500 --> 00:49:03,630
للواحد يساوي واحد طيب بدي الـ order لليتنين؟ شوف عاد

457
00:49:03,630 --> 00:49:07,570
نضرب اتنين في نفسه كام مرة حتى يطلع عندي ال

458
00:49:07,570 --> 00:49:11,230
identity element طبعا هنا عملية ضرب العادية 2

459
00:49:11,230 --> 00:49:19,370
في 2 في 2 اساس 4 في 2 ب 8 في

460
00:49:19,370 --> 00:49:24,070
2 ب 16 شيله هنا و 15 بضل اللي يقولوا

461
00:49:24,070 --> 00:49:29,400
حد يبقى الـ order اللي جديش 4 يبقى الـ order لل

462
00:49:29,400 --> 00:49:36,220
2 يساوي 4 because شو السبب إن 2 أس

463
00:49:36,220 --> 00:49:42,660
1 يساوي 2 2 تربيع يساوي 4

464
00:49:42,660 --> 00:49:49,020
تكعيب يساوي 8 2 أس 4 يساوي 16

465
00:49:49,020 --> 00:49:55,150
modulo 15 يبقى هذا الكلام يساوي 1 هذا بدي

466
00:49:55,150 --> 00:50:00,770
أعطيك إن الـ order لليتنين هو 4 طيب الـ order

467
00:50:00,770 --> 00:50:08,110
لـ 4 similarly الـ order لـ 4 بده يساوي 2

468
00:50:08,110 --> 00:50:13,750
ليش لإنه 4 في 4 ب 16 modulo 15 ب 1

469
00:50:13,750 --> 00:50:17,870
عم يبقى ب 2 طيب لو روحتي وقلت لك الـ order ل

470
00:50:17,870 --> 00:50:27,030
7 بدنا نعرف في هذا قد ايه يبقى بالضبط 7 أس 1

471
00:50:27,030 --> 00:50:30,290
يساوي

472
00:50:30,290 --> 00:50:36,770
7 هو 7 تربيع يساوي 49 modulo

473
00:50:36,770 --> 00:50:43,200
15 15 في 3 ب 45 يطلع 4 طيب

474
00:50:43,200 --> 00:50:50,160
لو جيت قلت لك 7 تكعيب يبقى يساوي 7 مضروبة في

475
00:50:50,160 --> 00:50:55,770
4 modulo 15 4 في 7 ب 28

476
00:50:55,770 --> 00:50:57,190
28 28 28 28

477
00:50:57,190 --> 00:51:01,690
28 28 28 28 28 28 28 28

478
00:51:01,690 --> 00:51:06,870
28 28

479
00:51:06,870 --> 00:51:10,250
28 28 28 28 28 28 28 28

480
00:51:10,250 --> 00:51:10,430
28 28 28 28 28 28 28 28

481
00:51:10,430 --> 00:51:11,310
28 28 28 28 28 28 28 28

482
00:51:11,310 --> 00:51:11,770
28 28 28 28 28 28 28 28

483
00:51:11,770 --> 00:51:14,370
28 28 28 28 28 28 28 28

484
00:51:14,370 --> 00:51:21,670
28 28 28 يبقى بناء عليه إن الـ order ل

485
00:51:21,670 --> 00:51:28,430
7 بده يساوي قداش بده يساوي 4 وهكذا طيب

486
00:51:28,430 --> 00:51:35,250
الـ 8 8 في 8 ب 64 شيل الـ 60

487
00:51:35,250 --> 00:51:39,810
لأنه مضاعف لـ 15 بتظل 4 في 8 ب 32 و

488
00:51:39,810 --> 00:51:45,130
30 شيل 30 بتظل 2 في 8 ب 16 يبقى

489
00:51:45,130 --> 00:51:51,460
الـ order لـ 8 بقداش 4 يبقى similarly كمان

490
00:51:51,460 --> 00:52:00,140
الـ order لـ 8 بده يساوي كذلك 4 وهكذا طيب خلينا نسأل

491
00:52:00,140 --> 00:52:06,740
الـ order لـ 11 11

492
00:52:06,740 --> 00:52:14,040
و 11 121 121 مش بتكسبها 15 لأنها بتكسبها 30 و 30

493
00:52:14,040 --> 00:52:20,250
يبقى يبقى 1 يبقى الـ order للإحداش هو 2 وال

494
00:52:20,250 --> 00:52:27,710
order للإحداش بده يساوي 2 فقط وهكذا يلا بنكمل

495
00:52:27,710 --> 00:52:29,070
إن شاء الله بعد الظهر