بسم الله الرحمن الرحيم نعود ثانية إلى إكمال ما
بدأنا به حيث تركتكم بعد أنهينا الـ chapter
subgroups والأستاذ محمود شرح لكم chapterين اللي هو
الـ cyclic groups و كذلك الـ permutations groups إذا
نصل الآن إلى الـ isomorphism بالبلدي هيك الـ
isomorphism عبارة عن function بس مش ما بين two
sets ما بين two groups بده تحقق ليه ثلاثة شروط
يبقى function وزيادة على ذلك بده تحقق ثلاث شروط
الشرط الأول هذه الـ function بده تبقى one to one
الشرط الثاني بده تبقى onto الشرط الثالث بده تحقق
الخاصية اللي عندنا هذه هذه التعريف يقول إن ايزو
مورفزم isomorphism بالعربي هيك التشاكل النماطي أو
التشابه النماطي ولان هنقول لك ايش معناها من
الناحية الرياضية بس اصبر علينا شوية يبقى أنا ايزو
مورفزم في حديله رمز في من الـ group جي لـ group جي بار
is one to one function يبقى function وكذلك one to
one from جي onto جي بار مش to جي بار يا شباب onto
onto جي بار such that بحيث أن الـPhi of A بيبقى
يساوي Phi of A في Phi of B يعني تأثير الـPhi على
حاصل الضرب الـtwo elements A وB بيبقى يساوي تأثير
الـPhi علي A مضروبا في تأثير الـPhi علي B دي ربالك
بديفهم كل شيء في مكانه كيف كل شيء في مكانه الآن
الـA و الـB وين موجودات؟ في جي جي عليها operation
غير الـ operation اللي على جي بار وبالتالي لما اقول
a بي اللي بينهم operation تبعت من تبعت الـ جي لكن
لما اقول في of ا في في of بي الـ operation اللي
بينهم ايه الـ operation تبعت من تبعت جي بار لما اقول
two elements في جي بار هدول a وb two elements في g
لما اقول a في b الـ operation بينهم
تبعت جي بار طيب الان لو كان five من جي إلى جي بار
هو عبارة عن isomorphism بقدر اقول عن جي و جي بار
are isomorphic يبقى الـ two groups دول في تشابه
رياضي، تشابه نماطي، تشاكل نماطي فيما بينهم وباكتب
الـ isomorphism مش باكتبه يساوي باكتبه جي و خطين
متعرجين بالشكل هادى جي بار و تقرا جي isomorphic لـ
جي بار طيب بالمعنى الرياضي ايش يعني معنى isomorphism
أو G isomorphic لـ G bar لاحظ من خلال التعريف لما
يقول الـ group هذي و الـ group هذي في function بينهم
one to one and onto السؤال الأول هل سيختلف عدد
العناصر في الـ group الأولى عن عدد عناصر الـ group
التانية؟ في اختلاف؟ لأ لإن واحد لواحد اتنين الـ
domain بيغطي جميع عناصر جي مدام أنت بيغطي جميع
عناصر جي بار و لا واحد زي التاني يبقى بناء عندي
عدد عناصر جي يساوي عدد عناصر جي بار عدد الـ subgroup
في G يساوي عدد الـ subgroup في G bar عدد العناصر
التي لها نفس الـ order في G يساوي عدد العناصر التي
لها نفس الـ order من G bar بمعنى لو عندي 6 عناصر الـ
order يساوي 4 في G لازم اجد 6 عناصر الـ order يساوي 4
في G bar لو عندي 10 عناصر في G الـ order يساوي 2
لازم اجد 10 عناصر في G bar الـ order يساوي 2 لو كانت
الـ group Cyclic هذه التانية Cyclic لو كانت Abelian
التانية Abelian يعني بمعنى هيك بالبلدي الـ two
groups اللي اتنية اللي لهم نفس الخواص الرياضية
يعني كل ما تعرفه اللي عن الـ group ينطبق على الأولى
الريكولوجيا ينطبق على مين؟ على الثانية هذي non
-abelian إذا التانية non-abelian متنفعش واحدة
cyclic والتانية لأ واحدة abelian والتانية لأ واحدة
finite والتانية infinite برضه لأ لو فيها عدد عناصر
يساوي infinite بجهد فيها عدد عناصر يساوي infinite
وهكذا يبقى بناء عليه لما أقول في isomorphism ما بين
two groups يبقى الـ two groups اللي لهم جميع
الخواص الرياضية بالضبط تماما الخواص اللي في
الـ group الأولى تنطبق تماما على الـ group التاني وإن
كانت العناصر مختلفة ما بين الاتنين وكانت الـ binary
operation على الأولى تختلف عن الـ binary operation
عن مين؟ عن الـ group التاني وهكذا يبقى هذا اللي بدي ايه
المعنى اللي بدي اترسخه في دماغك عن معنى الـ
isomorphism أظن واضح كلامي نبدأ ناخد مجموعة من
الأمثلة على الـ isomorphism أول مثال بيقول define a
function define a function فاي من الـ R تحت عملية
الجامعة لـ R plus تحت عملية الضرب باي فاي
of X بده يساوي 2 to the power X لكل الـ X اللي
موجودة في R هنا show that phi is an isomorphism مرة
تانية أحنا قلنا في التعريف أربع شروط للايزمورفزية
function هذي الـ function one to one هذي الـ
function one to .. الـ function اللي عندنا تحقق
الخاصية هذه طبعا؟ طيب قال لي define a function
يبقى ريحني من مين؟ من الشرط اللي هو قال لي خدها الـ
function هذهمعرفة من R تحت عملية الجامعة إلى R
Plus تحت عملية الضرب يبقى هذه جميع الأعداد
الحقيقية بلا استثناء تحت عملية الجامعة هذه عملية
مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط تحت عملية
الضرب قال يعرف الـ function Phi of X بدل يساوي 2X لكل
X الموجودة في R الآن بدي أسأل السؤال التالي هل الـ
function هذي فعلا هذي معرفة من R عليها عملية الجمع
إلى R plus تحت عملية الضرب أم لا باجي بقول الـ X
هذي موجود وين هنا إذا قد يكون موجب وقد يكون سالب و
قد يكون صفر تمام ما هي صوت صوت 2 to the power
X هل 2 to the power X موجودة في R plus يعني
2 to the power X لا بتاخد Zero ولا بتاخد قيمة
سالبة طبعا الـ exponential function دائما وأبدا
أقل من Zero عمرها ما بتكون أقل من Zero سواء كان U of
X والله A to the power X لو رجعت لرسمتها دائما
أعلى محور X يبقى أقل من Zero إذا كلامنا هذا
تعريفنا سليم مائة بالمائة يبقى ايش ضايل علينا؟ one
to one and one to one نرجع لمبادئ الرياضية لما
بنقول one to one بالبلدي العناصر المختلفة لها صور
مختلفة يعني لو أخدت x1 لا يساوي x2 بدي أثبت أن الـ
f of x1 لا يساوي الـ f of x2 أو الـ contrapositive
ايها لو كان الـ f of x1 بدي يساوي f of x2 بدي أثبت
أن الـ x1 يساوي x2 إن حدث ذلك يبقى الـ function one
to one يبقى بدي أثبت له الخطوة الأولى في is one to
one مشان هيك بداجي أقول له assume اللي هو main في of
x يساوي في of y إذا قررت أثبت له إن الـ X بدها
تساوي Y بيتم المطلوب طيب فاي أوف X هي كده يا شباب؟
2 أص X فاي أوف Y 2 أص Y لما يكون الطرفين
متساوين وتتساوى الأساسات يبقى الأساس متساوية واحد
تاني ما عجبوش كلامي قال خد لن للطرفين بنقول له ماشي
لو أخدنا لن للطرفين بيصير X في لن 2 يساوي Y في
لن 2 لو قسمنا الطرفين على الـ ln 2 هذا
بيعطينا مين؟ إنه الـ X يساوي الـ Y مدام الـ X يساوي الـ
Y يبقى Phi is one to one الآن بدنا نيجي نثبت إن
Phi is onto مش هنثبت إنه في is onto بضروحه آخد عنصر
في R plus وأثبت إنه له اصل في R إن حدث ذلك بصير
الـ Phi is onto يبقى بدي اجي اقول له لاتفترض أن الـ Y
موجودة في الـ R plus يبقى الـY هذي أكبر من الـ0 ولا
أقل من الـ0؟ يبقى هذا يعطيك أن الـY أكبر من الـ0
يعني الـY هذي موجبة مدام موجبة يبقى الـlog Y
للأساس 2 exist ولا does not exist؟ exist لأن
اللوغاريتم مش معرف إلا لقيمة موجبة لكن لو قلت له
Y هذه موجودة في R بصير كلامي هذا ماله مش صحيح لأنه
قد تكون exist وقد لا تكون exist لكن كونها موجبة
يبقى هذا exist مدام exist يبقى بدي أروح أسمي تسمية
لغة Y للأساس 2 بدي أسمي X مثلا لو رجعنا لـ
calculus P بدي اكتب الـ log بدلالة الـ ln يبقى هذا
len y على len 2 بده يساوي ال x لو ضربنا ضرب تبادل
يبقى len y يساوي ال x في len 2 لو استخدمت خواص ال
len يبقى len y بده يساوي len اثنين أس x مظبوط
أيه؟ يبقى بناء عليه لو رفعت اثنين كأس للعدد أيه؟
بيصير y يساوي قداش اثنين أس x اثنين أس x مين
هي هذه حسب التعريف مش عبارة عن five of x إذا أي
element y موجود في الـ R بلس لإنّ أصل x موجود في
الـ R معناه هذا الكلام أنّ الـ R موجود في الـ R طيب
خلصنا ال condition الثاني بدنا نروح لل condition
الثاني يبقى باجي بقوله لو كان ال x و y موجودة في
الـ R then بدي أخد في of خلي بالك هنا بدي أخد x في y
والله x زائد y يبقى ال operation هنا ال operation
اللي موجودة في ال group الأولى ال operation اللي
عنده زائد يبقى بقوله في x زائد y وليست x في y لأنّ
ال operation ما بين ال a و ال b هي ال operation
اللي موجودة في جروب الأولى ال operation اللي موجودة
عنده هي الجامعة يبقى حسب التعريف هذا بدل يساوي اثنين
أس x زائد y أو اثنين أس x في اثنين أس y هذا الكلام
يساوي رياضياً كلام سليم 100% يبقى هنا اللي بينهم
صلة عملية ضرب وليست عملية جمع
يبقى تحقق ال condition main الثاني يبقى بناء عليه
φ is an isomorphism φ is an isomorphism أحد
يلقي تساؤل هنا علي صوتك بس اه
لما قلنا لغة why الأساس اثنين exist ليش؟ لأنّ y
قيمة موجبة لو كانت صفر أو سالبة فاللغة غير معرفة
تمام؟ يبقى أنا عندي رقم موجب أخذ اللغة للأساس
اثنين ليش اثنين؟ أنا متعمد أخذ اثنين لأنّ لو كانت
المسألة five of x صارت ثلاثة of x سوف أقول له while
أساس ثلاثة لو كانت أربعة سوف أقول له أساس أربعة و
هكذا لكي نصل إلى اثنين of x خلاص واضحة ليش أخذنا
هذه يبقى exist لأنّ هذه greater than zero و روحت
قلت هذه كل عدد أيش ما تطلع سميتها x تمام عملت
الشغل الرياضي تبع ال calculus لغاية ما وصلت لمين
وصلت لل y يساوي 2 و 6 اللي هي φ of x نجي نأخذ
كمان مثال ثاني مثال اثنين
بقول let g be a cyclic group let g be a cyclic
group of order n of order n let g bar صارت z n of
أثبت لي أنّ الـ G isomorphic لمن؟ لـ ZN G
isomorphic ل ZN نرجع
لسؤالنا مرة ثانية بقول ياخذ الـG الـcyclic group
الـorder لها يساوي m مادام الـcyclic على الأقل
فيها كم generator؟ اثنين generator ومعكسه تمام؟
ما بناش المعكس احنا مكفين واحد بدي أفترض أنّ فيها
generator وليكن a يبقى باجي بقوله since الـG is
cyclic يبقى نحن لدينا أنّ الـ G هذه بدها تساوي ال
identity و ال a و ال a تربيع و نظل ماشيين لغاية
ال a m ناقص ال one مظبوط كما فهمت من الشطر قبل
السابق الـcyclic subgroups يبقى هذه كإنّها group
generated by a مكتوبة بالشكل اللي عندنا هنا هاي
الـcyclic group و ال order اللي هيساوي n ال element
الأخر يصير am ناقص واحد لأنّ an بدو يساوي ال
identity element قال لي خذ الجيبار تساوي ZN خليني
أسألكم السؤال التالي ZN ال operation اللي عليها
الجامع ولا ضرب حسب ما أخذناه في تعريف ال groups
جامع ممتاز أعطيني بقى حط لي المعلومة هذه في يدك في
دماغك لأنّ جامع موديولو n كل n بتبدأ الدورة من جديد
طب كويس قال لي أثبت لي أنّ اثنين هذول ايزو مورفكت
إذا أنا بدي أروح أعرف function من الجروب الأولى
إلى الجروب الثانية ونشوف هذه ال function هل هي one
to one و one to two بتخدم الخاصية اللي عندنا هذه
ولا لأ إذا بدي أروح أقوله define
function φ من g إلى z n باي عشان تبقى function
تتأثر على العنصر اللي في g من g a يبقى a
الشكل العنصر اللي هنا a ال power معينة يبقى a to
the power k مثلاً طبعاً k محصورة ما بين ال zero و ما
بين ال n ناقص ال one ما بين ال zero و ما
بين ال n ناقص ال one بدها تساوي مين؟ بدها تساوي
عنصر في z n بقدر أقول k itself و ال k هذا أكبر من
أو يساوي zero أقل من n بيصير الكلام هكذا صح ولا
غلط؟ صح 100% لأنّ k محصورة بين ال zero و ال n يبقى
واحد من هذول ak اللي عندنا هذه هي element من z n
لأنّ عناصر الـ z n 0,1,2,3 لغاية n ناقص الـ 1 مظبوط
يبقى هذا التعريف سليم مائة مائة ك function الآن
بدي أثبت أنّ هذه one to one يبقى بدي أثبت له أنّ φ
is one to one مشان هيك بدي أخذ صورتين متساويتين أو
صورتين متساويتين يبقى باجي بقوله assume φ of ak
تساوي φ of aj مثلاً عشان أثبت أنّ الـ ak بده يساوي
الـ aj كويس يبقى حسب ال definition φ of ak اللي
هي بقداش k φ of aj اللي هي بقداش j أو إن شئتم
فقولوا k ناقص ال j بده يساوي قداش zero أو إن شئتم
فقولوا a to the k ناقص ال j بده يساوي a to the
zero أو بمعنى آخر الـ ak في الـ a ناقص الـ j بده
يساوي ال identity لأنّ ال element مرفوع للـ o zero
دائماً و أبداً بده يساوي ال identity تبع ال group طب
لو ضربت الطرفين في aj بيصير عندي هنا قداش بيضل في
الطرف الشمالي أيه k بده يساوي aj أظن و هو
المطلوب يبقى أخذ صورتين متساويتين أثبت أنّ الأصل
متساوي يبقى φ is one to one يبقى بدي آجي أثبت أنّ
φ is onto
مشان هيك بيروح ياخذ element وين في z n يبقى هنا let
k موجود في z n then ال
k هذا أكبر من أو يساوي zero أقل من ال n هذا يعني أنّ
الـ a to the power of k موجود في g؟ سكت الناس طلع
لتعريف الـ d هذا يعني أنّ a to the power of k موجود
في g ولا لا؟ يعني الـ φ هتأثر عليه صحيح ولا لا؟
يبقى هذا معناه أنّ k صارت تساوي φ of ak يبقى ال
element k اللي أخذته في z n لقيت له أصل ak موجود
في g معناه هذا الكلام أنّ φ is on to الآن دلت
خاصية الأخيرة finally بدي φ of بدي أخذ two
elements ak في ag مثلاً يبقى هذا element من g و
هذا element ثاني من g تمام؟ يبقى هذا الكلام بدو
يساوي نظراً لإنّ هذا بدو يساوي φ ak زائد j صار هذا
كله element واحد حسب التعريف يبقى هذا الكلام تبع
ال φ بدو يساوي k زائد j هذا الكلام بدو يساوي ال k
هي φ of k و هذه z φ of aj حسب التعريف طبعاً ال
operation بينهم هي عملية جامعة لأنّ z n ال
operation اللي عليها جامعة يبقى تحققت الخاصية مع
أنّ هذا الكلام φ is an isomorphism يبقى دص وهكذا
φ is an isomorphism
خذ لي ال exercise هذا يك علك تمرن يدك فيه if g is
infinite .. infinite cyclic
group .. cyclic group then الـ g isomorphic
إلى z سأعطيك
الـ function و أنت تثبت one to one و تحقق الخاصية
يبقى بدك تأخذ لي φ من z إلى g جلبت الوضع اني فوق
أخذتها من g ل z n هنا بدي أخليها من z إلى g
define by
φ of k بدي يساوي a to the power k
أثبت لي أنّ هذه one to one و one to خاصية ال
isomorphism نأخذ المثال رقم ثلاثة أيش
رأيك فيه ستة؟ مين عناصرها؟
واحد اثنين ثلاثة أربعة خمسة في غيرهم؟ السؤال هو هل
هذه group Cyclic؟ كيف
لا؟ خمسة و صفر و واحد خمسة و واحد و خمسة خمسة
تربيع خمسة وعشرين شيل منهم أربعة ستات بيظل ال
identity يبقى الخمسة generator مظبوط يبقى هذه is
cyclic group شوف ليه بالله هذه isomorphic لـ Z5 ولا
لأ الأولى كام عنصر فيها والتانية والأولى is cyclic
والتانية Zn Cyclic اصلا انهم عليها عملية الجمع اذا
Z2 Cyclic Z3 Cyclic Z4 Cyclic
طيب واني الـ Cyclic group is Abelian يبقى هذي
Abelian هذي Abelian الـ order للخمسة يساوي اثنين
والـ order للواحد كذلك يساوي اثنين لأن هذا ما فيش
فيها إلا العنصر 0 و 1 مظبوط هيك؟ طيب شوف ليه كمان and
لو أخدتيه U10 شوف هالي اللي هي عبارة عن واحد،
ثلاثة، سبعة، تسعة شوف هالي isomorphic لـ Z4 أم
لا؟
الـ U10 ايزو مورفك لـ Z4 ولا لأ ها هذي Cyclic ولا
لأ طيب تعال نشوف هذي Cyclic ولا لأ نشوف فيها
Generator ولا لأ ثلاثة أس واحد بثلاثة ثلاثة أس اثنين بواحد
بثلاثة ثلاثة أس ثلاثة بتسعة ثلاثة أس أربعة بسبعة وعشرين
بشيل عشرين بيظل سبعة ثلاثة أس أربعة بواحد و ثمانين
ثمان عشرات بواحد يبقى الـ Cyclic والثلاثة
generator أحدكم يقدر يجيب الجنريتر الثاني هو السبعة
لكن تسعة ما هو Generator لأن تسعة أس واحد بتسعة و
ثمانين تسعة تربيع بالـ identity لكن ثلاثة أس أربعة
هو اللي بالـ identity يبقى هذي الـ Cyclic يبقى هذي
isomorphic كمان لـ Z4 طيب السؤال هو but هل
اليوم ماشي اللي هو U12 واحد و خمسة و سبعة و
أحد عشر هل هذه isomorphic لـ Z4؟
هل هذه Cyclic ولا لا؟ هل هذه Cyclic؟
خمسة وعشرين كده؟ خمسة في خمسة بخمسة وعشرين شيلهم
اثنا عشر يصير الـ identity يبقى خمسة تربيع بالـ
identity سبعة تربيع بالـ identity تسعة وأربعين
ثمانية وأربعين ومضال واحد أحد عشر في أحد عشر مية
واحد وعشرين على اثنا عشر مضال واحد يبقى مش فيها ولا
generator يبقى هذه is not isomorphic because السبب
أن Z4 is cyclic but و لكن U12 is not cyclic
طيب U18
Isomorphic لـ Z6 نقول
لك مين اليو 18 يكون ثمانية عشر اللي هي تساوي العناصر
واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة،
ثمانية، تسعة، عشرة، أحد عشر، اثنا عشر، ثلاثة عشر،
أربعة عشر، خمسة عشر، ستة عشر، سبعة عشر كم عنصر هذول؟ ستة
هل هذه isomorphic لـ Z6 ولا لا؟
طيب
يلا افحص براحتك في الدار isomorphic لـ Z6 ليش؟
أن هذه Cyclic وهذه كمان Cyclic يبقى قد ايه بدناش
اثنين Generator بيكفي واحد جيبلي واحد منهم
Generator بتجيب يولد كل العناصر ايه؟ مثال
اثنين هذا؟ any operation قلت Cyclic ايش ما كانت
تكون لم أحدد قلت تجرب و Cyclic تمام؟ وبالتالي أي
عملية؟
علي صوتك شوية لا
أنت أنت لما Z5 فيها كام عنصر؟ خمس عناصر Z
6 فيها ست عناصر وهكذا كيف واحدة فيها ست عناصر و
واحدة خمس عناصر فيها ايزو مورف فيهم؟ أبسط الأشياء
قلت لك أول ما بديت عدد العناصر في الجروب الأولى جد
عدد العناصر في الجروب الثاني اختلفوا العناصر ما فيش
isomorphism وأنت مغمق بدون نقاش تمام؟ إذا عدد
العناصر في الجروب الأولى يختلف عن عدد العناصر في
الجروب الثاني there is no isomorphism between two
groups ما فيش بالمرة حد بدي أسأل ثاني طيب نجيب لك
مثال من نوعين جديد مثال أربعة مثال
أربعة بيقول let الـ G هي الـ special linear group of
two by two matrices over R وهي كل المصوفات اللي على
الشكل A, B, C, D بحيث أن الـ A, D ناقص الـ B, C بدها تساوي
الواحد الصحيح let الـ M be any two by two matrix
matrix
with a determinant لـ M لا يساوي Zero define
A mapping Define A mapping Phi M
من G إلى G by Phi M of A يساوي M A M-1 لكل
الـ A اللي موجودة في G show that الـ
Phi M is an isomorphism
نرجع مرة ثانية أخذ لجروب جيله الـ special linear
group of two by two matrices over R وهي كل
المصفوفات لنظامها اثنين في اثنين بعيادة المحدد
تبعها بدها تساوي واحد صحيح قال افترض انه عندي
مصفوفة من نظامها اثنين في اثنين ومحددها لا يساوي
zero لم أقول واحد صحيح الـ M ليس بالضرورة محددها
يساوي واحد صحيح قلت M محدد تبعها ليه يساوي Zero عرفت
Function Phi M من G إلى G by Phi M of A يساوي M A M
-1 لكل الـ A اللي موجودة في G بيقول أن Phi M
is an isomorphism النقطة الأولى بتتأكد هل الـ
function اللي عرفتها تعريفي صحيح ولا لأ بمعنى آخر
والله إذا طلع محدد المصوفة هذه بواحد صحيح معناته
المصفوفة هذه موجودة في G فعلا يبقى تعريفي هذا من G
لـ G بيصير كلام سليم ليش؟ لأن ايه اللي عندي هذه أنا
ماخدها من G يعني المحدد تبعها بقد ايه بواحد صحيح نحن
متأكدين منه لكن الـ M بعرفش أنا تمام؟ إذا بدي أثبت
أول شيء أن الـ Phi is well defined يعني معرفة
تعريفا صحيحا فبناجي بقوله هنا الـ Phi is well
defined well defined يعني معرفة تعريفا صحيحا
بمعنى آخر بدي أثبت أن هذا element موجود في الـ G
لذلك بدي أخذ الـ determinant لـ M A M-1 بدي
أرجع لمين؟ للـ linear algebra يبقى هذا معناته الـ
determinant لـ M في الـ determinant لـ A في الـ
determinant لـ M-1 الآن الـ determinant يعني
قيمة حقيقية يعني ثلاث قيم حقيقية مضروبة في بعضها
والقيم الحقيقية commutative يبقى هذا الكلام بدها
يساوي الـ determinant لـ M في الـ determinant لـ M
-1 في الـ determinant لـ A أو بقدر أقول الـ
determinant لـ M في الـ M-1 في الـ determinant
لـ A هذا الكلام يساوي المصوفة في معكوسة المعكوسة
موجودة هنا ولا لا؟ موجودة لأن أنا جايل أن المحدد
لا يساوي zero إذا المصوفة في معكوسها بتعطيني مصوفة
الوحدة يبقى هذا الـ determinant لمصفوفة الوحدة في الـ
determinant لـ a الآن الـ determinant لمصفوفة الوحدة
بقد ايه بواحد الـ determinant لـ a, a موجودة في g, g
هي المحدد تبعها بقد ايه بواحد يبقى في واحد الجواب
يساوي قد ايه واحد يبقى هنا الساعة الـ M A M-1
belongs to g يبقى تعريفي هذا معله تعريفا صحيحا
الآن بدي أثبت أن فاي is one to one حاجة أقوله as
you فاي M طبعا هنا assume أن فاي M of A فاي M of A
بدها تساوي فاي M of B طبعا
A و B مصفوفات في g يبقى هذول بيبقى يساووا بعض ثم
فاي M of A M A M-1 M B M-1 طيب بالـ right
cancellation لو والـ left cancellation لو هذا
بيعطينا أن A تساوي B لذلك فاي is one to one يبقى
بداجي اخذ الان يبقى
بداجي اخذ الان يبقى بداجي
اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان
يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي
اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان
يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي اخذ الان يبقى بداجي
اخذ الان يبقى
بداجي ا
الـ B هذه بقدر اكتبها على الشكل التالي M M-1
B M M-1 بنفع ولا ما بنفعش هذه مين الـ identity
وهذه مين خلص يبقى بالضبط المصوفة هذه بـ B كما هي
هذه بقدر أكتبها على الشكل التالي M في M inverse
بيه M و هنا M inverse من خاصية ال associativity
يبقى فاصلتي التلاتة هدول لحالي إيش رأيك هدول بدي
اسمهم تسمية جديدة M ام انفرس هذه كل التلاتة حصل ضرب
سميته إيه يبقى بناء عليه هذا الكلام بـدر ساوي من
بـدر ساوي في ام او إيه يبقى المصوفة بيه اللي خدتها
لأجيتلها أصل إيه يبقى بناء عليه الـfi m is onto
يبقى المصحوفة B اللي أخدتها عشوائيا في ال special
linear group of two by two matrices over R لجت لها
أصل اللي هو A موجودة من مين هي A والـ A اللي هي M
inverse ب M طب خليني أسأل السؤال التالي هل عملية
الضرب هذه ممكن أتم
بالتم ولا بالتم مش؟ بالتم لأن كله نظام اتنين في
اتنين أنا فرضت أن من البداية ال M اتنين باتنين
matrix و determinant لا يساوي صفر إذا كل واحدة
فيهم نظام اتنين في اتنين ولو اختلف النظام يمكن ما
نقدرش نضرب يمكن نقدر ويمكن ما نقدرش لكن هاد
اتنينات كله إذا عملية الضرب possible وبالتالي no
problem يمكن بكلامنا وشغلنا مية مية بقيت عندنا
النقطة الأخيرة finally النقطة الأخيرة بدي آخد five
m of a b
عاملية ضرب المصفوفة يبقى هذا يا شباب بدأ تساوي M A
B M inverse هذه
K بدأ تيجي في of A في في of V مش جاية هذه ولا لا
لكن لو دخلت مصوفة الوحدة في الموضوع ما فيش مشكلة أن
مصوفة الوحدة ضربها في المصوفة بتعطينا نفس المصوفة
لكن هذا بقدر أكتبه M A و بدي أدخل M inverse M وهذه
ال B وهذه ال B اللي عندنا وهذه ال M inverse هذه
عبارة عن مصفوفة الواحدة يبقى مصففتين مصففتين
مصففين مصففين مصففين مصففين مصففين مصففين مصففين
مصففين مصففين مصففين مصففين يبقى تحققت الخاصية يبقى
بقدر أقوله thus و هكذا فاي ام is an isomorphism طب
example خمسة في شيء؟ لأ بس مش هنشتغل سؤال هل ال S
تلاتة هكم عنصر فيها؟ ستة، مظبوط؟ three factorial
تلاتة في اتنين في واحد يبقى ست عناصر هل هذه
isomorphic ل Z6؟
أيوة ممتازة زد ستة كوميوتاتيف أبدأ ليه لك ال S3 is
not هادي cyclic هادي not cyclic وهكذا يبقى هادي is
not isomorphic to z6 because جيب ليه ولو سبب واحد
بديش أسباب كتيرة رغم أن هذه فيها ست عناصر وهذه
فيها ست عناصر يبقى because ال S3 is not cyclic but
ولكن Z6 اللي هو subgroup of Y1 is cyclic
بنكمل إن شاء الله بعد الظهر