1
00:00:22,140 --> 00:00:26,780
بسم الله الرحمن الرحيم المرة اللي فاتت أعطينا

2
00:00:26,780 --> 00:00:31,760
ساعتين فيه اللي هو الـ chapter 7 اللي بتحدث عن

3
00:00:31,760 --> 00:00:38,300
Cosets and Lagrange theorem، و عرفنا الـ coset و

4
00:00:38,300 --> 00:00:42,520
حسبنا الـ cosets لمجموعة من الـ subgroups يعني

5
00:00:42,520 --> 00:00:47,080
أعطينا بدل المثال ثلاثة ثم انتقلنا بعد ذلك إلى

6
00:00:47,080 --> 00:00:51,500
Lagrange theorem وهذه النظرية في الجبر مشهورة في

7
00:00:51,500 --> 00:00:56,980
كل كتب الجبر نظرية

8
00:00:56,980 --> 00:01:00,320
Lagrange ما بعرف إيش كان نص اللي قاعد بيقرا هذا

9
00:01:00,320 --> 00:01:04,450
إيش كان نص Lagrange theorem يعني؟ طبعا جى finite

10
00:01:04,450 --> 00:01:10,310
group هذه البداية وبعدها بصرشو اه

11
00:01:10,310 --> 00:01:13,570
اشتر

12
00:01:13,570 --> 00:01:23,130
نظرية لاجرانج إيش كان نصنا طريقة Lagrange؟ هاي

13
00:01:23,130 --> 00:01:27,570
بدر أضائلكوا يعني الطريقة Lagrange theorem بيقول

14
00:01:27,570 --> 00:01:31,870
لو أخدت أي subgroup من الـ group اللي عندك فإن الـ

15
00:01:31,870 --> 00:01:36,170
order للـ subgroup يقسم الـ order للـ group وهذا ما

16
00:01:36,170 --> 00:01:40,560
برهنّاه في المرة الماضية يعني لو أنا عندي group G

17
00:01:40,560 --> 00:01:45,360
و أخدت any subgroup إن شاء الله لـ trivial subgroup

18
00:01:45,360 --> 00:01:50,060
كويس؟ يبقى الـ order لهذه الـ subgroup بيقسم الـ

19
00:01:50,060 --> 00:01:54,760
order للي group تمام؟ هذا كان نص نظرية Lagrange

20
00:01:54,760 --> 00:02:00,360
أعطينا عليها بدل المثال اثنين الآن بدنا نيجي لأول

21
00:02:00,360 --> 00:02:04,380
Corollary عندنا مجموعة من الـ corollaries على نظرية

22
00:02:04,380 --> 00:02:08,890
Lagrange يعني مجموعة من النتائج النتيجة الأولى بيقول

23
00:02:08,890 --> 00:02:12,950
في الـ finite group the order of each element of

24
00:02:12,950 --> 00:02:16,170
the group divides the order of the group that is

25
00:02:16,170 --> 00:02:21,030
لو كان عندي element x موجود في الـ group g يبقى الـ

26
00:02:21,030 --> 00:02:26,050
order لـ x بدّه يقسمين بدّه يقسم الـ order لـ g يعني

27
00:02:26,050 --> 00:02:30,270
لاجرانج قال لي الـ order تبع الـ sub group بيقسمين

28
00:02:30,270 --> 00:02:34,370
الـ order للـ group النتيجة هذه تقول لي لأ الـ order

29
00:02:34,370 --> 00:02:37,790
للـ element كذلك لأي element في الـ group بدّه يقسم

30
00:02:37,790 --> 00:02:43,070
إياه بدّه يقسم الـ order للـ group بدنا نبرهن صحة هذا

31
00:02:43,070 --> 00:02:48,130
الكلام مشان نبرهن صحة هذا الكلام بدي أقول له افترض

32
00:02:48,130 --> 00:02:54,530
أن X هذا موجود في الـ group بدي أثبت أن الـ order

33
00:02:54,530 --> 00:02:58,710
لهذا الـ element بدّه يقسم إياه الـ order للـ group

34
00:02:58,710 --> 00:03:06,550
بقول له ماشي then الـ H هذه اللي بدي أخدها subgroup

35
00:03:06,550 --> 00:03:14,810
اللي عبارة عن الـ subgroup generated by X تمام هذه

36
00:03:14,810 --> 00:03:24,610
الآن subgroup الـ H هذه is a subgroup of G طيب

37
00:03:24,610 --> 00:03:29,290
تمام بالـ Lagrange theorem الـ order لـ H بدّه يقسم

38
00:03:29,290 --> 00:03:36,020
من الـ order لـ G يبقى بروح بقوله هنا by Lagrange

39
00:03:36,020 --> 00:03:39,400
theorem

40
00:03:39,400 --> 00:03:51,300
الـ order للـ H divides الـ order لـ G طيب لما تبقى

41
00:03:51,300 --> 00:03:55,160
هذه الـ cyclic شو علاقة ما بين الـ order لـ H و الـ

42
00:03:55,160 --> 00:04:03,270
order لـ X متساوية بقوله هنا بطء ولكن الـ order لـ H

43
00:04:03,270 --> 00:04:10,070
بدّه يساوي الـ order لـ X يبقى هذا بدّه يعطيني بدل ما

44
00:04:10,070 --> 00:04:13,810
يقول الـ order تبع الـ H بدّه يقسم الـ G بدّه يشيل الـ

45
00:04:13,810 --> 00:04:17,970
order تبع الـ H و يكتب بداله الـ order لـ X

46
00:04:17,970 --> 00:04:24,500
divides الـ order لـ G وكان الله بالسر علينا إذا من

47
00:04:24,500 --> 00:04:28,980
الآن أساعد إن بديك تعرف إن لو عندي group خدت منها

48
00:04:28,980 --> 00:04:32,540
subgroup يبقى الـ order لهذا الـ subgroup يقسم لـ

49
00:04:32,540 --> 00:04:37,180
group وفي المقابل لو كان عندي أي element x موجود

50
00:04:37,180 --> 00:04:41,920
في الـ group g يبقى الـ order لـ x كمان يقسم الـ

51
00:04:41,920 --> 00:04:46,200
order لـ g نيجي لـ الـ corollary الثانية

52
00:04:50,810 --> 00:04:57,570
Corollary اثنين بتقول a group of a prime order a

53
00:04:57,570 --> 00:05:08,570
group of a prime order is

54
00:05:08,570 --> 00:05:10,230
cyclic

55
00:05:13,050 --> 00:05:19,910
يعني أي group الـ order لها بتكون الـ prime اثنين،

56
00:05:19,910 --> 00:05:24,450
ثلاثة، خمسة، سبعة، أحد عشر، ثلاثة عشر دائما تبقى

57
00:05:24,450 --> 00:05:29,710
Cyclic وإذا Cyclic يبقى abelian لأنه أخدناه قبل ذلك

58
00:05:29,710 --> 00:05:35,950
في chapter 4 أن any cyclic group is abelian لكن العكس

59
00:05:35,950 --> 00:05:40,310
ما هوّاش صحيح طيب a group of a prime order is

60
00:05:40,310 --> 00:05:44,850
cyclic بدنا نروح نثبت هذا الكلام بدي أجي أقوله

61
00:05:44,850 --> 00:06:02,150
assume that افترض أن الـ g is a group with order P

62
00:06:02,150 --> 00:06:10,640
that is that is الـ

63
00:06:10,640 --> 00:06:19,540
order لـ g بدّه يساوي الـ P and الـ P is prime

64
00:06:19,540 --> 00:06:25,600
يبقى الـ order لـ g هو عبارة عن عدد أول اثنين

65
00:06:25,600 --> 00:06:30,520
ثلاثة خمسة سبعة أحد عشر ثلاثة عشر سبعة عشر تسعة عشر زي

66
00:06:30,520 --> 00:06:37,650
ما بدّك يبقى g group with order P و الـ P هذا عبارة

67
00:06:37,650 --> 00:06:42,990
عن a prime number كويس؟ بدي أثبت أن هذا الـ group

68
00:06:42,990 --> 00:06:48,470
دائما و أبدا تبقى Cyclic، كويس؟ يبقى بدي أجي أقوله

69
00:06:48,470 --> 00:06:56,210
خذ لي عنصر a موجود في G طب العنصر a هذا بيولد لي الـ

70
00:06:56,210 --> 00:06:57,650
subgroup ولا لأ؟

71
00:07:00,140 --> 00:07:03,500
أي element في الجروب بيولد ليه subgroup صحيح ولا

72
00:07:03,500 --> 00:07:07,240
لأ؟ يمكن يكون فيش فيها إلا الـ identity يمكن عنصرين

73
00:07:07,240 --> 00:07:12,260
يمكن ثلاثة يمكن أربعة إلى آخره تمام يبقى little a

74
00:07:12,260 --> 00:07:23,880
belongs to g then هذه هي is a is a cyclic subgroup

75
00:07:26,920 --> 00:07:35,500
cyclic subgroup of G يبقى

76
00:07:35,500 --> 00:07:43,660
الـ order لها يقسم من الـ order لـ G يبقى then الـ

77
00:07:43,660 --> 00:07:48,520
order للـ subgroup generated by A divides

78
00:07:51,870 --> 00:07:59,770
divide الـ order لـ g اللي بدّه يساوي الـ P إيش قواسم

79
00:07:59,770 --> 00:08:08,310
الـ P واحد و الـ P itself يبقى هنّا لو قلنا little a

80
00:08:08,310 --> 00:08:14,750
belongs to g و قلنا الـ a لا يساوي الـ identity كمان

81
00:08:14,750 --> 00:08:20,410
أضيف عليها أن الـ a لا يساوي الـ identity حتى لا نقع

82
00:08:20,410 --> 00:08:26,920
في أي مشكلة بعد ذلك تمام طيب يبقى الـ order لـ g

83
00:08:26,920 --> 00:08:33,460
بدّه يساوي الـ P معناه هذا الكلام أن الـ order لـ الـ

84
00:08:33,460 --> 00:08:39,920
subgroup generated by A بدّه يساوي واحد or P يبقى

85
00:08:39,920 --> 00:08:46,060
هاي القواسم اللي بتقسم الـ P الآن هل يمكن لهذا الـ

86
00:08:46,060 --> 00:08:51,020
order أنّه يساوي واحد لأ لأنه اشتراط مع أن الـ e لا

87
00:08:51,020 --> 00:08:58,970
يساوي الـ identity بقول له ولكن الـ order للـ subgroup

88
00:08:58,970 --> 00:09:05,210
generated by a لا يمكن أن يساوي الواحد السبب لأنّ

89
00:09:05,210 --> 00:09:11,470
الـ a does not equal to e يبقى هذا شو بدّه يعطينا

90
00:09:11,470 --> 00:09:15,530
هذا بدّه يعطينا أن الـ order للـ subgroup generated

91
00:09:15,530 --> 00:09:21,050
by a بدّه يساوي 100 بدّه يساوي الـ P طب هذا إيش بدّه

92
00:09:21,050 --> 00:09:25,750
يعطينا صار الـ order لهذه الـ sub group بدّه يساوي الـ

93
00:09:25,750 --> 00:09:29,850
P يبقى الـ sub group هذه عبارة عن مين عبارة عن G

94
00:09:29,850 --> 00:09:36,510
itself تمام يبقى هذا بدّه يعطينا أن الـ sub group

95
00:09:36,510 --> 00:09:41,610
generated by A هي عبارة عن مين الـ G itself لأنّ الـ

96
00:09:41,610 --> 00:09:45,550
order لـ G بدّه يساوي الـ P و الـ order للـ sub group

97
00:09:45,550 --> 00:09:50,080
هذا بدّه يساوي الـ P يبقى الاثنين are equal يبقى هذا

98
00:09:50,080 --> 00:09:59,080
معناه إيش؟ معناه إنّ الـ g لـ group الـ G is cyclic لو

99
00:09:59,080 --> 00:10:02,780
كان السؤال أثبتها إنها abelian، بدي أثبتها إنها

100
00:10:02,780 --> 00:10:08,180
الـ cyclic ومن ثم بقول لما دام cyclic، يبقى abelian

101
00:10:08,180 --> 00:10:12,780
هذه الـ corollary رقم اثنين، بدنا نروح للـ corollary رقم

102
00:10:12,780 --> 00:10:16,420
ثلاثة يبقى الـ corollary

103
00:10:18,200 --> 00:10:24,040
رقم ثلاثة أو النتيجة رقم ثلاثة بتقول little g be a

104
00:10:24,040 --> 00:10:34,440
finite group little g be a finite group يبقى

105
00:10:34,440 --> 00:10:42,020
group محدودة العدد من العناصر little g be a finite

106
00:10:42,020 --> 00:10:45,220
group and let and

107
00:10:51,350 --> 00:10:57,830
يبقى الـ a أصل order لـ g يبقى الـ a أصل order

108
00:10:57,830 --> 00:11:01,430
لـ g يبقى الـ a أصل order لـ g

109
00:11:09,240 --> 00:11:13,740
يعني لو أخدت أي element من الـ group و حطيت له أس

110
00:11:13,740 --> 00:11:18,920
الـ order تبع الـ group دائما و أبدا بدّه يساوي الـ

111
00:11:18,920 --> 00:11:28,960
identity طيب

112
00:11:28,960 --> 00:11:34,990
كويس نشوف نؤكد على صحة ما تكلّمنا نقول إيش احنا عندنا

113
00:11:34,990 --> 00:11:39,410
g finite group و الـ a belongs to g قال لي أثبت أن

114
00:11:39,410 --> 00:11:43,890
الـ a مرفوعة للأردر السابع الـ g بتساوي مين الـ

115
00:11:43,890 --> 00:11:47,430
identity element الـ a لو جيت على الـ a corollary

116
00:11:47,430 --> 00:11:53,770
one يبقى الـ order للـ a بتقسمين الـ order لـ g يبقى

117
00:11:53,770 --> 00:11:59,970
by a corollary one

118
00:12:01,250 --> 00:12:10,590
الـ order للـ a divides الـ order للـ g هذا معناته

119
00:12:10,590 --> 00:12:16,390
أن الـ order للـ g بدّه يساوي الـ order للـ a في رقم و

120
00:12:16,390 --> 00:12:25,970
ليكن k for some positive integer

121
00:12:25,970 --> 00:12:27,990
k

122
00:12:29,620 --> 00:12:35,640
for some positive integer k الآن أنا بدي أثبت

123
00:12:35,640 --> 00:12:43,060
أن الـ a مرفوعة للأس اللي هو الـ order للـ g بدّه 

124
00:12:43,060 --> 00:12:48,220
يساوي الـ identity بناء عليها بقدر أقول هذا ايه الـ

125
00:12:48,220 --> 00:12:54,260
order للـ g اللي هو عبارة عن الـ order للـ a مضروب في

126
00:12:54,260 --> 00:13:01,570
مين مضروب في K هذا معناه أن ال A مرفوعة لل order

127
00:13:01,570 --> 00:13:08,350
تبع ال A كل هذا أس K طب ال A لما يكون مرفوع لل

128
00:13:08,350 --> 00:13:13,070
order تبعه كده بيعطينا ال identity يبقى هذا

129
00:13:13,070 --> 00:13:17,310
بيعطينا ال identity أس K ال identity أس K بيعطينا

130
00:13:17,310 --> 00:13:23,230
من ال identity يبقى بناء علي أسار ال A أس ال order

131
00:13:23,230 --> 00:13:27,970
لل G دائما و أبدا بدي يعطينا ماذا؟ بدي يعطينا ال

132
00:13:27,970 --> 00:13:33,850
identity element تمام بدي أخاطر قبل مفروض نعطي بعض

133
00:13:33,850 --> 00:13:39,310
الأمثلة على هذه ال crawlers بدنا نيجي لأول مثال

134
00:13:39,310 --> 00:13:42,090
examples او example one

135
00:13:45,840 --> 00:13:52,120
example one بيقول show that

136
00:13:52,120 --> 00:14:00,260
بيّن لي أن every group

137
00:14:00,260 --> 00:14:09,300
of order less than or equal to 5

138
00:14:16,890 --> 00:14:32,590
less than or equal to five is abelian يعني

139
00:14:32,590 --> 00:14:35,550
بنثبت أن أي group

140
00:14:38,460 --> 00:14:43,920
الـ order تبعها بده يساوي خمسة دائما و أبدا أو أقل

141
00:14:43,920 --> 00:14:47,440
من خمسة is abelian يعني لو عندي group فيها عنصر

142
00:14:47,440 --> 00:14:51,540
واحد أو group فيها عنصرين أو group فيها ثلاثة عناصر

143
00:14:51,540 --> 00:14:55,880
أو أربعة عناصر أو خمسة عناصر كل هذه الأنموعة من ال

144
00:14:55,880 --> 00:15:01,600
group تبقى دائما و أبدا abelian طيب الآن solution

145
00:15:06,050 --> 00:15:11,890
أخذ الآن لو ال order اللي جى هو عبارة عن واحد يعني

146
00:15:11,890 --> 00:15:15,930
ايش فيها فقط ال identity element و ال identity

147
00:15:15,930 --> 00:15:21,310
الموجودة مع نفسه صحيح ولا لأ يبقى أبيل يعني يبقى

148
00:15:21,310 --> 00:15:27,180
هنا بدأ أخد النقطة الأولى لو كان ال order لل G

149
00:15:27,180 --> 00:15:33,360
بده يساوي واحد صحيح then ال G بده يساوي ال identity

150
00:15:33,360 --> 00:15:42,340
فقط لا غير و هذا بده يعطينا أن ال G is abelian طيب

151
00:15:42,340 --> 00:15:51,100
لو كان ال order لل G بده يساوي اثنين و ثلاثة or

152
00:15:51,100 --> 00:15:59,130
خمسة يبقى كل هما دول مالهم primes then ال order لل

153
00:15:59,130 --> 00:16:05,970
G is prime في الحالات الثلاثة ايش بيقول ال crawler

154
00:16:05,970 --> 00:16:10,790
اثنين ال group of prime order is cyclic يبقى هذا

155
00:16:10,790 --> 00:16:17,250
بده يعطينا أن ال G is cyclic طب و إذا ال G is

156
00:16:17,250 --> 00:16:18,910
cyclic أبيليان يعني

157
00:16:23,770 --> 00:16:29,690
يبقى الآن اثبتنا أن في حالة الواحد و الاثنين و الثلاثة

158
00:16:29,690 --> 00:16:34,710
والخمسة أبيليان ضلت ايه؟ ضلت الأربعة يبقى بداجي

159
00:16:34,710 --> 00:16:41,010
أقول له هنا لو كان ال order لل G بده يساوي أربعة

160
00:16:44,930 --> 00:16:51,590
لو افترضت أن ال order للجي يكون 4 لو أخذت أي non

161
00:16:51,590 --> 00:16:56,470
identity element في ال group جي كده احتمال ال

162
00:16:56,470 --> 00:17:02,890
order يكون له واحد استبعدناه أنا قلت non identity

163
00:17:02,890 --> 00:17:07,750
ليه بيبقى فيش إلا اثنين أو أربعة طب لو كان ال

164
00:17:07,750 --> 00:17:14,810
order لل element يساوي 4 بيكون generator لـ G لأن ال

165
00:17:14,810 --> 00:17:17,990
order يبقى الـ G الـ cyclic وبالتالي أبدا طلت

166
00:17:17,990 --> 00:17:24,390
المشكلة وين عند اثنين فبداش أقول له هنا if يبقى if

167
00:17:24,390 --> 00:17:33,590
ال order لـ G بده يساوي أربعة then any non identity

168
00:17:33,590 --> 00:17:39,490
element has

169
00:17:40,760 --> 00:17:44,540
order اثنين

170
00:17:44,540 --> 00:17:50,560
أو أربعة if

171
00:17:50,560 --> 00:18:01,960
order لأ بدو يساوي أربعة then order لأ بدو يساوي 

172
00:18:01,960 --> 00:18:09,370
order لـ G معنى هذا الكلام أن الـ G هذه بدها تساوي ل

173
00:18:09,370 --> 00:18:16,010
group generated by A هذا يعني أن الـ G هو Cyclic

174
00:18:16,010 --> 00:18:25,910
و هذا يعني أن الـ G هو Abelian بلت مشكلتنا وين؟

175
00:18:25,910 --> 00:18:40,540
أيوة يبقى لو كان الـ A موجود في G with ال order للـ A

176
00:18:40,540 --> 00:18:48,760
بده يساوي اثنين then ال A تربيع بده يساوي ال

177
00:18:48,760 --> 00:18:55,660
identity مظبوط يعني ال A صار بده يساوي ال A

178
00:18:55,660 --> 00:18:56,060
inverse

179
00:19:01,020 --> 00:19:07,280
يبقى أنا باخد two elements من G و أثبت أن ال X في

180
00:19:07,280 --> 00:19:12,460
Y بيساوي ال Y X باستخدام المعلومة اللي عندنا هذا

181
00:19:12,460 --> 00:19:19,100
يبقى بروح اقول له افترض أن ال X و ال Y عناصر موجودة

182
00:19:19,100 --> 00:19:19,580
عندنا

183
00:19:37,640 --> 00:19:47,160
بدايه اقول له let ال X و ال Y موجودة في G then ال X

184
00:19:47,160 --> 00:19:56,920
Y موجودة في G if ال order لل X Y يساوي اثنين then

185
00:19:56,920 --> 00:20:05,460
ال X Y لكل تربيع يساوي من؟ يساوي ال identity طب ال

186
00:20:05,460 --> 00:20:11,760
X Y تربيع هذا بقدر أقول X تربيع Y تربيع لا تبقى

187
00:20:11,760 --> 00:20:16,980
بيلا ما هي أشباه لاني بقدرش مظبوط لكن كل اللي بقدر

188
00:20:16,980 --> 00:20:23,960
أقول له then اللي هو من ال X Y في ال X Y يساوي ال

189
00:20:23,960 --> 00:20:31,570
identity تمام طب لو ضربت الطرفين في y inverse من

190
00:20:31,570 --> 00:20:39,630
جهة اليمين يبقى بيصير عندي x y x بده يساوي e في y

191
00:20:39,630 --> 00:20:45,010
inverse اللي هو بمين؟ ب y inverse طب اضرب كمان في

192
00:20:45,010 --> 00:20:51,350
x inverse من جهة اليمين هذا يعني أن ال x في y بده

193
00:20:51,350 --> 00:20:57,090
يساوي ال y inverse في ال x inverse الآن احنا قلنا

194
00:20:57,090 --> 00:21:02,790
هنا ايش أن ال element اللي ال order له يساوي اثنين

195
00:21:02,790 --> 00:21:09,650
ال element يساوي معكوسه تمام طيب بناء عليه هذا بده

196
00:21:09,650 --> 00:21:16,030
يعطينا أن ال x في ال y بده يساوي من ال y في ال x

197
00:21:17,170 --> 00:21:23,450
يعني شيلت كل X وحطيت بدلها X وشيلت كل Y وحطيت

198
00:21:23,450 --> 00:21:31,830
بدلها Y هذا يعني أن ال G is abelian يبقى معنى هذا

199
00:21:31,830 --> 00:21:35,950
الكلام أن الـ G abelian سواء كان ال order لها

200
00:21:35,950 --> 00:21:39,470
واحد ولا اثنين ولا ثلاثة ولا أربعة ولا خمسة من

201
00:21:39,470 --> 00:21:44,470
الآن فصاعدا بدك تاخدها قاعدة أي group ال order

202
00:21:44,470 --> 00:21:48,750
اللي هيساوي خمسة أو أقل من خمسة يبقى هذه ال group

203
00:21:48,750 --> 00:21:54,330
عبارة عن abelian group خد كمان مثال، المثال هذا هو

204
00:21:54,330 --> 00:22:02,450
أحد أسئلة الكتاب يبقى example two example 2 هو

205
00:22:02,450 --> 00:22:10,690
عبارة عن سؤال 26 من الكتاب بيقول let g

206
00:22:10,690 --> 00:22:25,890
be a group of order 25 prove that

207
00:22:25,890 --> 00:22:34,580
أثبت أن الـ G is cyclic

208
00:22:34,580 --> 00:22:40,580
or الـ

209
00:22:40,580 --> 00:22:48,600
G أس خمسة بده يساوي ال identity for all G اللي

210
00:22:48,600 --> 00:22:49,720
belongs to G

211
00:23:04,000 --> 00:23:09,320
خلّيني أبقى معناه هنا السؤال مرة ثانية أنا عندي

212
00:23:09,320 --> 00:23:14,300
group فيها خمسة وعشرين عنصر ال order لها يساوي خمسة

213
00:23:14,300 --> 00:23:20,800
وعشرين قال لي بتثبت أن جي هذه Cyclic يا إما الجي

214
00:23:20,800 --> 00:23:24,940
أس خمسة بده يساوي ال identity لكل الجي اللي belongs

215
00:23:24,940 --> 00:23:30,640
to جي إذا أنا بدي استبعد واحد وأثبت مين لأنه قال

216
00:23:30,640 --> 00:23:35,230
لي or هذا أو هذا يبقى أنا لو روحته قلت له هنا

217
00:23:35,230 --> 00:23:46,330
assume افترض أن ال G is non-cyclic ماهي 

218
00:23:46,330 --> 00:23:54,310
cyclic and ال order لل G بده يساوي خمسة وعشرين

219
00:23:54,310 --> 00:24:01,760
يبقاش بتثبت يا شباب ال جي أس خمسة يساوي من ال identity

220
00:24:01,760 --> 00:24:06,500
element الآن ال G موجود في G يبقى ال order له

221
00:24:06,500 --> 00:24:14,680
يقسم من الخمسة و العشرين يبقى هنا since لما أن ال G

222
00:24:14,680 --> 00:24:19,660
belongs to G ال order لل G divide

223
00:24:21,710 --> 00:24:26,870
اللي هو الخمسة و العشرين معنى هذا الكلام أن ال order

224
00:24:26,870 --> 00:24:35,230
لل G يا إما واحد يا إما خمسة or خمسة و عشرين بنستبعد

225
00:24:35,230 --> 00:24:40,550
لخمسة و عشرين لأن لو كان ال order خمسة و عشرين لصار ال

226
00:24:40,550 --> 00:24:45,630
G Cyclic قال لا هي ما هي ال Cyclic إذا لا يمكن

227
00:24:45,630 --> 00:24:52,330
لل order تبع ال element هذا أنه يساوي من ال order ل

228
00:24:52,330 --> 00:24:56,110
G small هذا يا شباب مش جي كتر ال جي كتر هي خمسة و عشرين

229
00:24:56,110 --> 00:25:00,050
ال order لل element يا بده يساوي واحد يا إما خمسة

230
00:25:00,050 --> 00:25:06,310
يا إما خمسة و عشرين الآن أنا باجي بقول له ال order لل

231
00:25:06,310 --> 00:25:13,770
G بده يساوي خمسة و عشرين impossible هذا الكلام غير

232
00:25:13,770 --> 00:25:26,190
ممكن because السبب أن ال G is not cyclic يبقى الـ G

233
00:25:26,190 --> 00:25:30,690
ما هيش Cycle طيب استبعدنا منين؟ الخمسة و العشرين

234
00:25:30,690 --> 00:25:36,250
ضلت عندنا الـ G ال order له بده يساوي واحد بده

235
00:25:36,250 --> 00:25:45,550
يساوي خمسة الآن لو كان ال order لو كان ال order لل G

236
00:25:45,550 --> 00:25:51,260
بده يساوي واحد then لما يكون ال order اللي جي بده

237
00:25:51,260 --> 00:25:54,680
يساوي واحد يبقى مين هي جي هذه ال identity element

238
00:25:54,680 --> 00:26:01,260
يبقى then الجي بدها تساوي ال identity element يبقى

239
00:26:01,260 --> 00:26:07,660
الجي أس خمسة بده يساوي ال identity element أس خمسة

240
00:26:07,660 --> 00:26:12,600
يبقى جي أس خمسة ال identity أس خمسة من بال

241
00:26:12,600 --> 00:26:19,940
identity وهو المطلوب الحالة الثانية لو كان ال

242
00:26:19,940 --> 00:26:26,180
order للـ G بده يساوي خمسة then الـ G أس خمسة بده

243
00:26:26,180 --> 00:26:32,180
يساوي ال identity و هو المطلوب يبقى بناء عليه مدام

244
00:26:32,180 --> 00:26:37,200
الـ G non-cyclic الـ G أس خمسة بده يساوي ال

245
00:26:37,200 --> 00:26:41,140
identity element دائما و أبدا

246
00:27:02,160 --> 00:27:09,020
طب ننتقل إلى تعريف جديد أو لكرولري رقم أربعة كرولري

247
00:27:09,020 --> 00:27:18,180
رقم أربعة بسموها

248
00:27:18,180 --> 00:27:23,420
Fermat Fermat's

249
00:27:23,420 --> 00:27:26,260
little theorem

250
00:27:31,620 --> 00:27:39,240
نصها كالتالي بيقول for every integer a for every

251
00:27:39,240 --> 00:27:56,220
integer a and every prime p and every prime p الـ a

252
00:27:56,220 --> 00:28:05,260
to the power p modulo p بدو يساوي الـ a modulo p

253
00:28:05,260 --> 00:28:08,480
بدنا

254
00:28:08,480 --> 00:28:11,720
نبرهن صحّيتها ل proof

255
00:28:16,540 --> 00:28:21,300
هذه سمّيت باسم Fermat's Little Theorem لأنّ الاكتشاف هذه الشغلة

256
00:28:21,300 --> 00:28:26,420
وسمّيت Little لأنّي بُصغّر الرقم الكبير أنا عندي رقم

257
00:28:26,420 --> 00:28:32,620
كبير ضخم بُصغّره على طول الخط يعني بجيب رقم مكافئ له

258
00:28:32,620 --> 00:28:38,980
في حالة إذا كان المقياس هو P فبقول أي integer A و

259
00:28:38,980 --> 00:28:43,630
every prime P الـ A to the power of P modulo P

260
00:28:43,630 --> 00:28:49,090
اللاّحظ الـ modulo P هو الأس اللي عندي هذا و هذا

261
00:28:49,090 --> 00:28:54,040
لازم يكون الـ prime number شرط أساسي مش أي رقم إن

262
00:28:54,040 --> 00:28:59,300
حدث ذلك يبقى بقوله هذا a modulo p يعني هذا الـ p

263
00:28:59,300 --> 00:29:03,800
بكون اتخلّصت منها وبالتالي الرقم الضخم هذا صغّرته

264
00:29:03,800 --> 00:29:08,260
إلى رقم a modulo p الـ a هذه يمكن تكون أكبر من الـ p

265
00:29:08,260 --> 00:29:12,980
ويمكن تكون أصغر من الـ p محطّ الشرط عندي كل اللي 

266
00:29:12,980 --> 00:29:17,480
حطّوا أنّ integer و الـ p is a prime نروح نسبة صحة

267
00:29:17,480 --> 00:29:22,090
هذا الكلام بأني بدي أخد حالتين الحالة الأولى لو كان

268
00:29:22,090 --> 00:29:27,790
الـ A أقل من P و الحالة الثانية لو كان الـ A أكبر من

269
00:29:27,790 --> 00:29:34,610
P بدي أدرس إيه الحالة الثانية طب لو يساوي لو الـ A يساوي

270
00:29:34,610 --> 00:29:38,790
الـ P يبقى من 100 لما يبقى Zero بدي أساوي Zero على

271
00:29:38,790 --> 00:29:43,710
طول الخطّ طيب يبقى بدي أجي يبقى ما عنديش مشكلة في

272
00:29:43,710 --> 00:29:47,930
حالة الـ Zero ليش بصراحة خلاص Zero بساوي Zero طيب

273
00:29:47,930 --> 00:29:59,460
بدي أخد F الـ P less than 0 لأ

274
00:29:59,460 --> 00:30:08,740
لو كان less than A لو كان F الـ A less than P لو

275
00:30:08,740 --> 00:30:19,080
كان الـ A أقل من P then الـ P الـ .. الـ A هذه بتكون

276
00:30:19,080 --> 00:30:25,500
موجودة في مجموعة الأعداد 1 و 2 و 3 و

277
00:30:25,500 --> 00:30:33,740
لغاية P minus الـ 1 أكيد مية المية مدام A integer

278
00:30:33,740 --> 00:30:38,820
أصغر من P يبقى A موجود في المجموعة هذه طب مين هي

279
00:30:38,820 --> 00:30:46,580
المجموعة هذه مش UP يبقى هذه اللي هي تساوي UP

280
00:30:49,020 --> 00:30:59,020
يبقى معنى هذا الكلام أنّ الـ a موجود في الـ U P طيب

281
00:30:59,020 --> 00:31:08,500
يبقى قداش الـ order لـ U P نقص واحد، كويس هذا بيقين

282
00:31:08,500 --> 00:31:20,930
اللي عندي الـ order لـ U P بيساوي P ناقص واحد طبعًا طيب

283
00:31:20,930 --> 00:31:26,950
الآن أنّ يأتي crawler فيهم هذه اللي قالت لي اه

284
00:31:26,950 --> 00:31:31,070
مشحناها اللي هو a أو زي ما أظنّ الـ crawler رقم 3

285
00:31:31,070 --> 00:31:36,270
الـ a أو الـ order للـ a بدو يساوي الـ ID 3 طيب

286
00:31:36,270 --> 00:31:43,790
هنا from crawler ثلاثة

287
00:31:43,790 --> 00:31:52,450
أي element بدي أخد مرفوع للـ order تبع الـ U P بدي

288
00:31:52,450 --> 00:32:00,810
يساوي الـ identity اللي هو 1 هذا الكلام

289
00:32:00,810 --> 00:32:06,510
إيش معناه؟ معناه الـ A أس الـ P ناقص 1 بدو يساوي

290
00:32:06,510 --> 00:32:15,030
1 طيب لو ضربت الطرفين في A إيش بيصير عندي؟ A أس

291
00:32:15,030 --> 00:32:21,900
P بدو يساوي الـ A يبقى معناه هذا الكلام أنّ a is p

292
00:32:21,900 --> 00:32:28,960
modulo p بدو يساوي a modulo p مادة ما الرقمين هذا

293
00:32:28,960 --> 00:32:33,320
اللي بيساووا بعض إذا بدي يكون هذا modulo p بدو يساوي

294
00:32:33,320 --> 00:32:38,060
هذا modulo p تمامًا وهو المطلوب هذا لو كانت إيش الـ

295
00:32:38,060 --> 00:32:44,840
a أقل من p طب لو كانت الـ a أكبر من p يبقى f الـ a

296
00:32:44,840 --> 00:32:46,940
greater than p

297
00:32:51,570 --> 00:32:57,570
يعني الـ A هذه P زائد شوية 2 P زائد شوية 3 P

298
00:32:57,570 --> 00:33:01,970
20 P زائد زائد شوية تمام يبقى بالـ division

299
00:33:01,970 --> 00:33:09,730
algorithm بقول له then الـ A هذا بدو يساوي الـ M P

300
00:33:09,730 --> 00:33:15,870
زائد الـ R يعني مضاعفة الـ P زائد الـ R و الـ R هذه

301
00:33:15,870 --> 00:33:25,010
أكبر من أو تساوي Zero أقل من مين؟ أقل من P طيب لو

302
00:33:25,010 --> 00:33:31,190
جيت مدام عرفت زيك اللي هو أخدت الآن الـ A modulo P

303
00:33:31,190 --> 00:33:39,730
كده إيش بدو يساوي؟ R أنا عندي الـ A بدو يساوي MP زي

304
00:33:39,730 --> 00:33:43,630
ده أنا أخدت الـ A modulo P بقى مضاعفات الـ P بطيّرها

305
00:33:43,630 --> 00:33:49,810
إيش بيظهر عندي؟ بيظهر عندي R يبقى هذا بيبقى عندي مين؟

306
00:33:49,810 --> 00:33:56,570
بيبقى عندي R فقط لا غير طيب الآن الـ R محصورة من

307
00:33:56,570 --> 00:34:01,590
أين إلى أين؟ من Zero إلى P وأنا جايل أنّ الـ A

308
00:34:01,590 --> 00:34:08,210
modulo P بدو يساوي الـ R الـ R يعني موجودة وين؟ في الـ

309
00:34:08,210 --> 00:34:17,490
U P صح ولا لا؟ موجودة في الـ U P ليش؟ لأنّها محصورة

310
00:34:17,490 --> 00:34:25,050
من صفر إلى P طبعًا طيب مدام محصورة هذه تساوي هذه

311
00:34:25,050 --> 00:34:31,030
وهذه موجودة هنا إذا automatic على طول الخط إيش قلنا

312
00:34:31,030 --> 00:34:35,970
هنا لو كان في البرهان الأول بقول لما تبقى الـ a

313
00:34:35,970 --> 00:34:41,750
موجودة في الـ U P استنتجنا أنّ هذا الكلام ما له صحيح

314
00:34:41,750 --> 00:34:52,610
تمام يبقى باجي بقول from the above from من البرهان

315
00:34:52,610 --> 00:35:00,500
أعلاه يبقى الـ a modulo p modulo p بدو يساوي a أس p

316
00:35:00,500 --> 00:35:07,300
modulo p وانتهينا منها يبقى على كلّ الأمر يعني سواء

317
00:35:07,300 --> 00:35:12,360
كان الـ a أكبر من p ولا أصغر من p فإنّ الـ a to the

318
00:35:12,360 --> 00:35:18,220
power p modulo p بدو يساوي منها الـ a modulo p حد

319
00:35:18,220 --> 00:35:24,110
يلاقي أيّ استفسار هنا طب نحاول نعطي أكثر من مثال على

320
00:35:24,110 --> 00:35:30,770
هذه النقطة المثال الأول يبقى

321
00:35:30,770 --> 00:35:41,150
examples find

322
00:35:41,150 --> 00:35:54,640
the exact value متجدّدش القيمة الحقيقية of 15

323
00:35:54,640 --> 00:36:04,480
أس 11 modulo 11 of وهذا يجب أن أعتبرها إيه

324
00:36:04,480 --> 00:36:11,760
ويجب أن نأتي إلى الـ B يجب أن يكون 7 أس 13

325
00:36:11,760 --> 00:36:15,880
modulo 11

326
00:36:29,550 --> 00:36:35,690
خلّي أبقى لك هنا بقول هات للقيمة الحقيقية للـ 15

327
00:36:35,690 --> 00:36:41,550
أس 11 modulo 11 وكذلك 7 أس 13 modulo

328
00:36:41,550 --> 00:36:47,610
11 الحل كالتالي بيروح أخد إيه؟ نمر إيه؟ نمر

329
00:36:47,610 --> 00:36:54,530
إيه؟ بدي أخد له الـ 15 أس 11 modulo 11

330
00:36:54,530 --> 00:37:01,420
النتج 15 modulo 11 صحّيك يا شباب

331
00:37:05,780 --> 00:37:11,120
لو كان هذا P و هذا P يتماثل نفس بعض يبقى هذا يقول

332
00:37:11,120 --> 00:37:17,060
إلى E modulo P يبقى أنا عندي 15 و 11 modulo

333
00:37:17,060 --> 00:37:20,380
11 يبقى أنا عندي 15 modulo 11 يبقى أنا

334
00:37:20,380 --> 00:37:20,420
عندي 15 modulo 11 يبقى أنا عندي 15

335
00:37:20,420 --> 00:37:23,320
modulo 11 هي 15 modulo 11 15 modulo

336
00:37:23,320 --> 00:37:28,240
11 أكبر من الـ 11 إذا بدي أشيل منها الـ 11 أو

337
00:37:28,240 --> 00:37:32,840
مضاعفات الـ 11 كدهش بطلع يبقى النتيجة تساوي 4

338
00:37:33,130 --> 00:37:39,010
يبقى هذا سؤال direct مباشر لكن قد يكون السؤال غير

339
00:37:39,010 --> 00:37:46,030
مباشر غير مباشر كيف؟ زي ما قال لي 7 أس 13

340
00:37:46,030 --> 00:37:56,510
modulo 11 بدو يساوي يعني

341
00:37:56,510 --> 00:37:59,850
ما نفعش أقول الجواب اللي هو 7 modulo 11؟

342
00:37:59,850 --> 00:38:02,290
خلط؟

343
00:38:03,320 --> 00:38:09,060
غلط ونصف بدو يكون الرقم هذا الأس هو المقياس اللي

344
00:38:09,060 --> 00:38:15,220
عندي طيب يعني إيش؟ يعني 7 أس 13 بدي أكتبها

345
00:38:15,220 --> 00:38:21,920
بدلالة 7 أس 11 يبقى هذه بدها تساوي 7 أس

346
00:38:21,920 --> 00:38:30,490
11 كدهش بيظلّ 7 تربيع كلّ modulo 11 هذه هي

347
00:38:30,490 --> 00:38:37,810
عبارة عن 7 أس 11 modulo 11 مضروبة في

348
00:38:37,810 --> 00:38:46,530
من في 7 تربيع modulo 11 يبقى حولتها إلى حصل

349
00:38:46,530 --> 00:38:50,850
ضرب الرقمين اللي عندنا الآن من Fermat's Little Theorem هذه

350
00:38:50,850 --> 00:38:55,210
شكلها شكل Fermat's Little Theorem يبقى هذا 7 modulo

351
00:38:55,210 --> 00:39:01,570
11 يبقى هنا 7 modulo 11 من Fermat's

352
00:39:01,570 --> 00:39:07,610
Little Theorem وهذه 7 تربيع يعني 49 modulo

353
00:39:07,610 --> 00:39:14,600
من 11 يبقى هذا الكلام يساوي الآن هذه الـ 7

354
00:39:14,600 --> 00:39:20,400
modulo 11 لأنّ 49 modulo 11 فيها

355
00:39:20,400 --> 00:39:27,020
قداش؟ لأنّ 11 في 4 من 49 بيظلّ 5

356
00:39:27,020 --> 00:39:34,180
يبقى مضروبة في من؟ مضروبة في 5 modulo 11

357
00:39:37,280 --> 00:39:44,860
35 عبارة

358
00:39:44,860 --> 00:39:51,290
عن 11 في 3 33 زائد 2 يبقى

359
00:39:51,290 --> 00:39:56,130
النتج كله يساوي 2 يبقى هالرقم الضخم اللي

360
00:39:56,130 --> 00:40:00,650
عندنا هذا اللي هو 7 أس 13 يعني بدي أضرب

361
00:40:00,650 --> 00:40:04,990
7 في نفسها 13 مرة وأجيبلها الموديل

362
00:40:04,990 --> 00:40:09,150
11 اختصرناها وقلنا ناتج يساوي قداش؟ يساوي

363
00:40:09,150 --> 00:40:11,490
2 على طول الخطّ

364
00:40:16,940 --> 00:40:24,100
تحسب شو ما عليكش قيود مدام أنت ماشي سليم يبقى احسب

365
00:40:24,100 --> 00:40:29,680
اللي بدك ياه متى لازم القمع عارف قصده لو حطينا

366
00:40:29,680 --> 00:40:35,960
element وحطينا له قوّة كبير وبتصغّر هذا القوّة قصده اه

367
00:40:35,960 --> 00:40:43,830
طيب في عندنا خد بالك شغلة بدي أشير إليها نظرية

368
00:40:43,830 --> 00:40:50,950
Lagrange بتقول الـ order للـ subgroup بيقسم من؟

369
00:40:50,950 --> 00:40:57,230
بيقسم لـ group السؤال هو هل في هذه الحلقة كلّ قاسم

370
00:40:57,230 --> 00:41:03,490
لـ group بديّه جاب له subgroup؟ بالتأكيد؟ يعني عكس

371
00:41:03,490 --> 00:41:08,550
النظرية صحية؟ في شفتر 4 هيك؟ طيب

372
00:41:13,820 --> 00:41:20,700
هذا كلامك مش صحيح بدليل مثال 5 على الـ section

373
00:41:20,700 --> 00:41:25,480
الآن وصلنا له لأنّ عكس نظرية Lagrange غير صحيح

374
00:41:25,480 --> 00:41:30,100
وعندك مثال تطلع عليه في الكتاب اللي هو مثال 5

375
00:41:30,100 --> 00:41:37,280
بالكتاب يعني .. يعني .. يعني لو عندي قواسم للـ order 

376
00:41:37,280 --> 00:41:41,780
تبع الـ .. تبع الـ group ليس بالضرورة أنه الذي يأتي الـ

377
00:41:41,780 --> 00:41:47,220
sub group الـ order الذي  هيسوي هذا القواسم قد .. يا

378
00:41:47,220 --> 00:41:53,010
شيخ أنت اسمعني شوية بقى ..أحنا بيقول ما يأتي أنا

379
00:41:53,010 --> 00:41:56,750
وك تفهم أن عكس نظرية لاجرانج ليس صحيح في حالة ما هو

380
00:41:56,750 --> 00:42:01,310
عكس نظرية لاجرانج لو جبت قواسم الـ order ليلي جروب

381
00:42:01,310 --> 00:42:07,090
ليس بالضرورة كل قاسم يجيب له sub group قد يكون و قد

382
00:42:07,090 --> 00:42:11,110
لا يكون ممكن بعض القواسم يجيلهم sub group يحمل نفس

383
00:42:11,110 --> 00:42:15,200
الـ order لكن بعض الآخر ممكن ما يجي له أعطى مثال

384
00:42:15,200 --> 00:42:20,940
عندك الـ اللي هو على الـ A4 تمام؟ يبقى ما عليك إلا أن

385
00:42:20,940 --> 00:42:26,320
تطلع على هذا المثال و لنا إلى ذلك عودة إن شاء الله

386
00:42:26,320 --> 00:42:28,500
على نفس الموضوع في المحاضرة القادمة