بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية اخر حاجة
اتكلمنا فيها اعطينا definition لل center لل group
بنعيد هذا ال definition ومن ثم ناخد نظرية عليه
فقلنا المرة اللي فاتت ان ال center تبع ال group G
هديله رمز Z of G وقلنا هو كل العلاصر ال A اللي
موجودة في G بحيث ان ال AX بده يساوي ال XA لكل ال X
اللي belongs to main to group Gإذا ما معنى الـ
Center تبع الـ Group؟ معنى الـ Center تبع الـ
Group هو كل ال elements اللي كميوتس عمّا بقية
عناصر الـ Group يعني لو أخدت element لجيته كميوتس
مع جميع عناصر الـ Group بقول هذا من الـ Center
اللي بعد اللي بعد لغاية ما طلع كل العناصر اللي
بتكون كميوتس مع جميع عناصر الـ Groupيبقى هذول
بيكونول مين؟ بيكونول ال center تبع ال group أبسط
الأشياء ال identity element موجود في مين؟ في ال
center تبع ال group لأن ال identity elements
commutes with all elements of G يبقى كل العناصر
اللي موجودة في G و اللي بتبقى commutes مع أي عنصر
موجود في G يبقى هذا بسميه ال center of Gالان في
نظرية بتقول الـ center هذا هو الـ subgroup فبدنا
نروح نبره انصحة هذا الكلام يبقى النظرية بتقول ما
يأتي theorem z
of g the
center of
a groupG is a
subgroup of
G
يبقى انا مشان اثبت انه ال 6 المعرفة بالشكل هنا
subgroup من لجروب الأساسية دي بدي اثبت النقطتين
اول شئ انه Z of G none empty الأمر الثاني بدي اثبت
انه انه اي عنصر لو أخدته او اي عنصرين لو أخدته من
ال center بدي يكون الأول في معكوس الثاني موجود
وين؟ موجود في ال centerيبقى أول شي أنا أدعي ان ال
z of g is non-empty وهذه هي النقطة الأولى في
البرهان non-empty ليش؟ becauseالـ E موجود في الـ Z
of G لأيش؟ لأن الـ E X بده يساوي X E لكل الـ X
اللي موجود لأن الـ E X بده يساوي الـ X في الـ E
لكل الـ X اللي موجودة في G بلا استثناءيبقى نظرا
لإنه يحقق الخاصية تبع الـ center تبع ال group إذا
على الأقل فيها element واحد اللي هو ال E الآن
بتروح اخد two elements النقطة الثانية let a و b
belongs to z of gلما أقول two elements هدول
موجودات في Z of G يبقى بد يكون عندنا ال A X بد
يساوي ال X A and ال B X بد يساوي X B لكل ال X اللي
موجود في G بي less تتنعى
يبقى هذا ال element موجود في ال center إذا بدي
أحقق للخاصية اللي فوق تبعت ال center بي موجود في
ال center إذا بدي أحقق لنفس الخاصية يبقى أنا أخدت
عنصرين موجودات في ال center تبع ال group بدي أثبت
إن الأول في معكوسي ثاني موجود في مين في ال center
بمعنى آخرأريد أن أثبت أن a b inverse x هو x a b
inverse لكل x موجودة في g بلا استثناء يبقى بداجي
أقول له consider خد أن a b inverse x
بتشوف هذا بدي أثبت و بدي أثبت و بدي أثبت
و بدي أثبت و بدي أثبت و بدي أثبت و بدي أثبت و بدي
أثبت و بدي أثبت و بدي أثبت
يبقى هذا الكلام بده يساوي بدي أحاول أربط ما بين ال
X و ال B اللي عندنا يبقى لو جيت قولت هذا A B
inverse ال X أخدتها X inverse inverse طبعا برهنها
سابقا يبقى هذا الكلام بده يساوي A فاهمين؟ فبصير X
inverse B لكل inverseهذه انفرس وهذه انفرس يبقى
رجعتهم للأصل اللي بتبعهم بالشكل اللي عندنا هذا طيب
الآن P موجودة في ال center ولا لأ يبقى commutes مع
ال X وال X انفرس لأنها موجودة في ال center يعني
commutes مع any element موجود في ال group G يبقى
هذا الكلام بده يساوي A و هنا B X انفرس الكل انفرس
ليش هذا الخطوة عملتها؟ لأن بي موجودة في الـ Center
يبقى هذه الـ Sense بي موجودة في الـ Center تبع الـ
G هذا الكلام بده يساوي لو جيتلي هذا الآن بده أطبق
عليها تعريف المعكوس لحظة حصل ضرب two elements يبقى
هذا بيصير A في X
إنفرس إنفرس وهنا اللي هو بي انفرس يبقى وزعة ال
inverse لكل واحدة من هدول يبقى هذه ابتنقلة يبقى
هذه إيش بصير ax في ال b inverseالان انا عندى من
المعطيات ان a x يساوي main x a يبقى هذا الكلام بدي
يعطينا x a في ال b inverse ليش هذا ال sense ال a
موجودة في ال center تبع ال gطيب هذا الكلام بده
يساوي من خاصية ال associativity XAB inverse بالشكل
اللي عندناطب ايش اللي عملته انا حتى اللحظة اخدت a
b inverse x لجيته يساوي x a b inverse هذا الكلام
صحيح لكل ال x اللي موجودة في g plus تتنى ايش
تفسيرك لهذا الكلام يبقى ال a b inverse موجود وين
في ال center تبع ال group وبالتالي ال center عبارة
عن sub groupيبقى هنا سوا ال a b inverse belongs لل
z of g and hence ومن ثم ال z of g is a subgroup من
g وهو المطلوب
يبقى من الآن فصاعدا ال center تبع ال group هو sub
group من من ال group الأساسية طيب يا شباب في عندنا
سؤال السؤال لو كانت جي أبيليان جي أبيليان يبقى ال
center تبع ال group بيكون كل group يبقى هذه اكتبها
ملاحظة not fالـ G is abelian then ال center تبع
الـ G بده يسوي الـ G itself كلها بلا استثناء نبدأ
ناخد أمثلة examples أول مثال بيقول let ال G هي ال
generalLinear group of two by two matrices over R
Then بدنا Z of G بد Z of G هو عبارة عن مين أنا
أدعي أن Z of G كل المصوفة على صيغة A 00A و بحيث ال
A موجود في Rوالـ A هذا لا يساوي Zero الكلام
هذا صحيح ولا ما هو مش صحيح الله وعلا أنا أدعي
ادعاء باجي بقول والله إذا لقيت هذا المصوفات كلهم
اللي موجودة في Z of G commutes with any element في
ال general linear غروب يصيب كلامنا صحيح من اليمين
ومن الشمال ماطلة يبقى كلامنا معله غير صحيحلذلك
بأجي بقولك هذا الكلام because بدي أجي ال element
اللي موجود في ال center a zero zero a بدي أضربه في
أي element موجود في ال general linear group بدي
أخد b, c, d, f مثلا بديش اكتب ال a بلاش تقولي ايه
هذا هو ال identity elementإذا هذه لو جيت ضربتها
بدها تساوي الصف الأول في العمود الأول اللي هو AB
الصف الأول في العمود الثاني يبقى بAC الصف الثاني
في العمود الأول يبقى بAD الصف الثاني في العمود
الثاني بAFاللي بقدر اكتبها a في b,c,d,f الان بداتي
اخدله اللي هو b,c,d,f في ال a,0,0,aيبقى هذا معناه
صف الأول في العمود الأول BA الصف الأول في العمود
الثاني CA الصف الثاني في العمود الأول DA الصف
الثاني في العمود الثاني يبقى FAلو أخدت ال a من كل
element موجود داخل المصوفة بيظهر لنا مين بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
ما دام اريكوا المعناته فعلا هذا يمثل main ال
center او المصفوفة اللي عندنا هذه هي element موجود
وان موجود في ال center هذا بدي اعطيلك ان any
element
in z of g is in the form على الشكل اللي هو a zero
zero aوالـ A does not equal to zero يبقى من الأن
فصاعدا لما بد ال center لل general linear group of
two by two matrices over R بيكون عندي واحد زيرو
زيرو واحد اتنين زيرو زيرو واحد مص زيرو زيرو واحد
واحد على مية زيرو زيرو واحد على مية و هكذايبقى كل
العناصر القطرة الرئيسى بيكون عناصرهم متساوية وهذه
بقينا نسميها في ال linear algebra بقيناها نسميها
المصوفة شو اسمها؟ مصوفة الواحدة قطرية
لما العناصر القطرة الرئيسى يكونوا متساوية بقيناش
نسميها مثلثية
بنسميها scalar matrix او مقياسية
لو كان القطرين غير متسوين بيقول دياجون الماتريك
دياجون الماتريك هي فعلا دياجون الماتريك في المصحوف
القطرية بس إذا تسابق عناصر القطر الرئيسي بنسميها
scalar matrixيبقى كل scalar matrix في ال general
linear group of two by two matrices بيكونولي main
بيكونولي ال center لل group اللي عندنا طيب نمرتنا
example two بدنا z of D4 يساوي أكيد ال R node منهم
هذا كل مجمع ليه لأنه ال identityحد بيقدر يجيبلي
كمان element اخر تسعين commutes مع الكل تسعين
commutes مع المية وتمانين ومع الميتين وسبعين مع ال
rotations نعم لكن مع ال reflections ليس صحيحا
واثبتلك ان ر تسعين في H ليسوا ال H في R تسعين
وحسبتهم لك انتالـ R180 فقط لا غير يبقى هذه والـ
R180 فقط لا غير يبقى هدول بس عناصر الـ Center تبعي
الـ D4 غير هيك مافيش ولا elements طبعا لو رجعت
للجدول اللي في الصفحة واحدة و تلاتين الكليتابل للـ
D4بتلاقي ان ال R180 هي ال commutes مع جميع عناصر
D4 بالاضافة الى ال identity element اللي هو main
اللي هو Arnold يبقى هذول ال two elements هم اللي
commutes مع جميع عناصر D4 فقط لا غير طيب إيش رأيك
بدي أعمملك هالشغل هذه بدل ما أاخد D4 بدي أاخد DN
يبقى الآن in general لو
أخدت ال Z of DMهذه أحد أمرين يا إما الارنود والار
مية و تمانين فقط يا إما الارنود السؤال هو متى يحدث
هذا و متى يحدث هذا الان في D4 الرقم هذا زوجي والله
فردي زوجييبقى هذا يحدث لو كان ال in فرديا يبقى هنا
هذا الكلام if in is even او هذا if ال in is odd
فقط لا غير طبعا يمكن يسأل واحد بعض منكم لماذا هذا
الكلام
الإجابة بدنا نعطي تفسير ليش هذا الكلام مافيش غرض
يبقى اكتب لي this is because يبقى this is because
هذا الكلام لإنه this is because every rotation in
DN
is a power is a power of
R تلت مية و ستين على N and
rotations and rotations commute
and the rotations commute with each other with
each other نجي
الان لو كان حاصل ضبر rotation في reflection بدا
اقولك بدا اعطي تسمية التالية little r b any
rotation in DN and let ال F be any reflection برضه
in DN in DN
مرة أخرى ندعي أن الـ Center تبع ال group D ان سواء
كانت D3، D4، D5، D6، جد ما يكون يكون طبعا ال N هذه
أكبر من أو تساوي تلاتة ال N اللي عندنا أكبر من أو
تساوي تلاتة يعني ممكن يكون مثلث منتظم مربع منتظم
مخلص منتظم مسدس منتظم إلى آخرهمإذا والله ال N
موجبة زي D4, D6, D8, D10 إلى آخره يبقى العناصر
اللي في ال center بس Arnold و R180 الأقل لو كانت
ال N فردي تلاتة خمسة سبعة تسعة إلى آخره يبقى لا
يوجد في ال center إلا عنصر الوحدة اللي همين Arnold
ليش هذا؟لأن أي روتاشن يتعامل مع أي روتاشن أخر مثلا
في D4 اذا قلت لك R90 يتعامل مع R180 ويتعامل مع
R270 وR270 يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270
وR270 يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270 وR270
يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270 وR270 يتعامل
مع R270 وR270 يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270
وR270 يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270 وR270
يتعامل مع R270 وR270 يتعامل مع R270
وR2يبقى ده كميوس باجي بقوله بدي اجي اخد R هي any
rotation يعني جربلك الفكرة لو كان ال D4 عندنا يبقى
ال R هادي اما R تسعين او مية و تمانين او ميتين و
سبعين اي واحدة منهم تمام؟يبقى ال F في كذلك any
reflection أي انقلاب سواء كان H و لا V و لا D و لا
D' أي واحدة منهم مكتوب معاك ان reflection ضرب
rotation يساوي rotation ضرب reflection كله بيعطيني
reflection ماقولش يساوي يعني على كل الأمرين بطلعلي
reflectionلو ضربت rotation في reflection بده
يطلعلي reflection، لو ضربت reflection في rotation
بده يطلعلي reflection على كلا الأمرين و مكتوبة
معاك هذه كتبناها قبل ذلك
أي rotation في ديو 4 هو power of r 360 على n ايش
360 على n باجي بقول اه لو كانت n تساوي 4 مثلا يبقى
360 على 4 فيها جداش 90 اذا ال rotation الواحدة
بتسعين درجةهذا لما يكون مربع طب لو كان مثلث بدي
اقسم على تلاتة يبقى ال rotation مقداش مية و عشرين
درجة لو كان مخمس لو كان مسدس منتظر يبقى تلاتمية و
ستين على ست اللي فيه مقداش ستين يبقى بصير عندي R
نوت R ستين R مية و عشرين R مية و تمانين R متينو40
R300 R node وهكذا يبقى هكذا تكتب من العناصر وبعدين
بروح بدور من ال reflections إلى آخرين ما علينا
يبقى المقصود من R360 على N أطلع جداش مقدار الزاوية
اللي بأعملبها الدورالة المضلع المنتظم اللي عندي
مين مكان ايه يكون تمام اي rotation هديها الرمز R
اي reflection هديها ايه هديها الرمز R تمام طيب
الان rotation بدي اقول any rotation في reflection
بيعطينا reflection او اي reflection في rotation
بيعطينا reflection
ارنود ال identity element اتحرك مع اي element اخر
في ال group ارنود هو دوران بصفر درجةيبقى هذا هو ال
identity element كنت حاضر يوم شرحنا ال D4 هذه؟
بعوض الله طيب ولا قريتها كمان؟ ماشي طيب هذه دلوقتي
عمود فقري روح اقراها تاني غلبتك حاجة حتى و تعالي
نشرحلك ماعناش مشكلة المهم لأن هذه عمود فقري كل
شوية لجروب و هيطلعانة بدنا نشتغل عليها تمام؟ طيب
نرجع لموضوعنا احنا بندعي الان ان ال center لدى N
اذا كانت N عددا زوجين ماعنديش الا Arnold وR180
واذا كان فاردي ماعنديش الا من Arnold الان بنقول ال
rotation ب commutes مع اي rotation اخرى وضربتلك من
93 مع 180 مع 270 كلهم commutes هدول مع بعض مع ال
Arnold كمان اللي هو ال identityالان اي rotation
حديها الرمز R اي reflection حديها الرمز F الان
احنا سابقا برضه باجي بقول since اللي هو ال R في F
is a reflection
هذه reflection يعني حاصر ضرب ال rotation في ال
reflection بيعطيني reflection أو العكس لو كان F في
R كمان بيعطينا مين reflection و ما إلى ذلك يبقى
نظرا لإن ال R في F is a reflection معناته هذا
العنصر معكسه قداشي بيعطينا معكس العنصر هذاأرجع ال
D4 مش ال D4 قولنا H تربيعه يسوى ال identity يبقى
ال H inverse يبقى كده بال H itself يبقى هو معكوس
لنفسه يبقى في هذه لأ it's a reflection we have
يبقى بده يصير ال RF بده يسوى ال RF لكل inverseيبقى
باجي بقول يبقى صار الار اف بده يساوي الار اف في
الكل انفرست وبلغة ال F inverse هذا هو ال F inverse
في الار انفرست بلغة المعكوس بتنقل بيقول معكوس
الأول للآخر طب ال F reflection لما تبقى ال F
reflection يبقى F square قداش مديوطن يا شباباللي
هنضل هو ال identity يعني لو جيت قلت ال identity
يبقى ال F بالصير هي ال F inverse ولا لا يعني لو
ضربت الطرفين في ال F inverse من جهة اليمين او من
جهة الشماليبقى هنا بظل قداش بظل F والطرف اليامين
هي G F inverse مكتوب معاك هذا V تربية تسوى ال
identity في D4 يبقى V بتسوى V inverse H تربية تسوى
ال identity يبقى H تسوى H inverse D تربية تسوى ال
identity يبقى D بتسوى D ال inverse وD prime زيهم
يبقى كل هذا مكتوب معاك يوم أخدنا D4يبقى بناء عليه
لما كانت ال F هي reflection يبقى ال F و ال F
inverse الشي العلاقة بينهما اتنين are ال F و ال F
inverse ال reflection
ماذا يحصل علاقة بينهم؟ علاقة تساوي يعني بقدر أشيل
ال F و أحط مكانها F inverse و بقدر أشيل F inverse
و أحط مكانها ال F هيها قدامك هي على اللوح مكتوبة
يبقى بقدر بناء عليه أقول هذه هي ال F R inverse طيب
استنى شوية
مصبوط هكذا؟
طيب هذا كلام صحيح if and only if ال R F بدها تساوي
وين الار اف هيها؟ كده اش طالع بيساوي؟ اف ار انفرس،
مظبوط؟ يبقى هذه اف ار اف بدي ساوي ال .. اذا كانت
الار اف بدي ساوي الاف ار طيب وين الاف ار؟ طيب
خليها ماشيةبنجب نقول هذا الكلام الـ RF بدي ساوي
الـ
FR inverse بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام
صحيء إذا كان الـ RF بدي ساومين الـ FR inverseطيب
الان انا بقدر اشيل ال F و احط مكانها من ال F
inverse و ارجعها كيف ده سيه لحظة شوية طيب عندك ال
RF يسوى ال FR inverse مظبوط ال R كما نسميه اذا كان
ال FR بديه يسوى اذا كان ال FR بديه يسوى RF استنى
شوية اذا كان ال F
فار فار فار فار فار فار فار فار فار فار فار
الـ R F Inverse لأيش؟ لأن الـ F هي تساوي مين؟
تساوي الـ F Inverse itself تمام؟ يبقى هذا بيساوي
الـ R Inverse F itself يبقى أصار F R Inverse
يبقى فان ال F R بدينا فيها بدي يساوي R F وهذا R F
اللي عندنا يساوي F R Inverse هذي بدي يساوي F R
Inverse هي الكلام صحيح يبقى أنا بديت هدول التنين
كموسي ده كان ال F R بدي يساوي من R Fهذا الكلام
يساوي هاي RF من فوق شيلتها و جيبت بدالها مين؟ F R
inverse يبقى اطلعلي لهذه و اطلعلي لهذه تمام؟ بال
lift cancellation law يبقى هذه ال F بتروح مع هذه
بظل F and only F ال R بدها تساوي R inverseإذا كان
الـR يسوى الـR inverse الـR يسوى
الـR inverse بس في حالة الـ180 يبقى هذا معناه أن R
تسوى R 180 درجة وهذا الكلام صحيح لو كانت الـN is
even فقط this is a trueفالن is even يبقى بناء عليه
z of d فالz of dn بدي يسوى رن ورمية و تمانين في
حالة الزوجي والارنود في حالة من في حالة الفرديطب
فينا تعريف جديد برضه جريب من ال center بس بيسميه
centralizer يبقى definition let
ال a be a fixed element
of
a group G
the centralizer of
ال element a اللي موجود في g هديله الرمز center of
a
is the set of all elements the set of all elements
in G that commute with
A with
A that is
Centralizer لإيه كل العناصر جي اللي موجودة في جي
بحيث ان جي في ايه ساوي ايه في جي
نعود للتعريف اللي قلناه و نعود له تاني و نشوف شو
بيقولالتعريف بيقول خدلي a fixed element من ال
group g بيبقى أخدت عنصر من g سميته a the
centralizer of a اللي موجود فيه g يبقى أنا بدى
أدور على العناصر اللي بتبقى commutes مع a فقط وبدى
أسميهم ال centralizer بهذا ال element aبتعطيه C of
A يبقى C of A the centralizer of the element A مين
هي؟ هي كل العناصر اللي موجودة في G that commutes
with A اللي بتعمل عملية تبديل فقط مع العنصر A مش
مع باقي عناصريبقى فيه فرق ما بين الـcenter
والـcentralizer الـelement اللي موجود في الـcenter
commutes مع جميع عناصر A مع جميع عناصر الجروب G
لكن الـcentralizer ليه؟ بس العناصر ي commutes مع
مين؟ مع A فقط لغيروالذالك قلنا الـ Centralizer لكل
العناصر اللي موجودة في جيه اللي بتبقى commutes مع
مين مع ايه فقط بناء على ذلك سنطرح بعض الأسئلة
السؤال الأول مين
اللي أكبر ال center ولا ال centralizer في ال group
العادىالـ Center أكبر يعني بلاقي في عناصر أكتر من
عناصر الـ Centralizer لإيه؟
طيب سؤال سؤال بدي أجيب نفس السؤال بصيغة أخرى لو
أخد element في ال center تبع ال group بلاجيه في ال
centralizer تبع ال ايه؟ بلاجية طب نعمل العملية
العكسية بدي أخد element في ال centralizer هل
بلاجيه موجود في ال center؟
يعني قد يكون و قد لا يكون موجود، مظبوط؟ إذا صار ال
center صغير لأنه بدكم يسمع جميع عناصر جهة بس هدا
كم يسمع عنصر واحد فقط يبقى ال center هيكون في
عناصر كتيرة بدليل أخدت أوسع عنصر من ال center
وجدته موجود في ال centralizerلكن اذا ذهبت لختم
الـcentralizer ليس بالضرورة ان يكون وين في
الـcenter يبقى اول ملاحظة ان الـcenter تبع لجروب
هو الـsubset من الـcentralizer تمام؟ يبقى باجي
بقوله هنا note
النقطة الأولى ال center تبع ال group G subset من
ال
centralizer ل A و ال A عنصر موجود في جي مش ال A و
لا ال B و ال C يعني هذا كلام صحيح لكل ال A اللي
موجود في جي بدل هيك بقول لكل ال A اللي موجودة في
جييعني لو روحت لأى عنصر غيرت لإيه بعنصر تانى و
جبتله ال centralizer بلاج ال center subset منه و
روحت جبت ال centralizer لعنصر تالت و جبت ال
central group بلاج ال central subset من ال
centralizer للعنصر التالت و هكذاهى اللى قصدناه من
هنا طيب كمان سؤال لو كانت ال جي أبيليان قداش ال
centralizer لل إيه؟ جي جي كلها طب و ال center؟ جي
كلهايبقى صرت سما بين الـ Central و الـ Centralizer
يبقى إذا كانت الـ G Abelian فإن الـ Center يسوى
الـ Centralizer و يسوى الجروب G كله لكن لو ماكنتش
Abelian بيظل الـ Center تبع الجروب هو الـ Subset
قد يسوى و قد لا يسوى تمام؟ يبقى بناء عليه بقول هذه
النقطة الأولى النقطة التانية F G is AbelianThen
الـ Center تبع لـ Group G هو بالضبط الـ
Centralizer لـ A لكل الـ A اللي موجودة في G وهذا
بده يساوي G itself هذا في حالة ما تكون A ما تكون
Abelian Group طيب ناخد مثال بسيط example let
الـ G تسوي الـ D4 الـ D4 ثم بدّي
الـ Centralizer للـ R نوت مين بيطلع دي كلها طيب هل
هو الـ Centralizer للـ R 180صحيح لغرمية ابنكم يسمع
الكل يريد عن جديكوا بس و هذا بدي يسوي D4 كله يبقى
هذا بدي يعطينا D4 كله طب لو بدي ال centralizer لل
R90 هل
هذا هو ال centralizer لل R270؟
انظروا معاكوسه طب بد العناصر تبعتهم مين هم ارنود و
R180 و ال R90 كمان لأن ال R90 يسمع نفسه صحيح ولا
لا؟ ضل عليك كمان واحد بسحد معاه الجدول يطلع لبسه
فتش الجدول و بتعرف الإجابة منه في صفحة واحد و
تلاتين يبقى لو رجعنا بنلاقي بس اللي هي ال R ميتين
و سبعين يبقى هذه ال R ميتين و سبعينهذا الكلام يعني
ايش مين بدي اعطيه لك؟ بدي اعطيه لك ال subgroup
generated by R 90 وفي نفس الوقت هي ال subgroup
generated by R 270 مظبوط؟ R 90 R 90 تربية 180 R 90
تكيب 270 R أسبوع أربعة بال identityيبقى لو بدى
اجيب كمان الـcentralizer لمين للـH يبقى
الـcentralizer للـH اللى عندنا هذه يبقى هذا بده
يعطيلك الـR non والـR100U80
والـH وحط عليها الـV كمان
أليس هذا هو الـcentralizer للـ V كذلك؟ لو الجدول
معاك كان عرفت لحالك جدول في صفحة واحد و تلاتيه
بالمثل لو روحنا جيبنا الـcentralizer ل D
الـcentralizer ل D هو عبارة عن الـR node والـR مية
و تمانين والـD itself والـD primeهذا سيكون الـ
Centralizer لـ D' من هذا الكلام بقدر استنتج ان H
في V سيكون V في H و بقدر استنتج من هذا اللي تحت ان
D D' سيكون D' D يبقى هذا استنتاج من خلال الكلام
اللي عندنا هنا
الآن اخر نظرية موجودة في هذا ال chapter وهي ان ال
centralizer عبارة عن subgroup يبقى theorem for
any element a اللي موجود في جيب ال centralizer ل a
is a subgroup من G من من من من من
من من من من من من من من من من من من من من من من من
من من من من من من من من من من من من
من من من من من من من من من من من من من من من من من
من من من من من من من من من من من
من من من
النقطة الثانية بداية ياخد letعشان ناخد ال a و نقول
x y لت ال x y موجود في ال centralizer ل a then ال
x a بده ساوي ال a x and ال y a بده ساوي ال a y ايش
بدنا نثبت؟بنثبت ان الـxy inverse موجود في
الـcentralizer لإيه يعني بنثبت ان الـxy inverse a
بدو يساوي الaxy inverse يبقى فرضنا هدول الاتنين
بيساووا بعض يبقى now لو أجى أخدت الـya بدو يساوي
الayهذا بدى يعطينا شرايك بدى اضرب في ال y inverse
من جهة اليمين يبقى بيصير y a y inverse يساوي قداش
يساوي ال a بدى اضرب في y inverse من جهة الشمال
يبقى لو ضربت من جهة الشمال بيظل a y inverse تساوي
y inverse في aيبقى ايش معنى هذا الكلام ان ال y
inverse موجود في ال centralizer لإيه هذا معناه ان
ال y inverse موجود في ال centralizer لإيه يبقى
بناء عليهالـ element y موجود في الـ centralizer
لإيه إذا معكسه يكون كذلك موجود في الـ centralizer
لإيه هذا معناته أن y inverse موجود في الـ
centralizer لإيه واعتبر لهذه الهيمينةالنقطة الأولى
يبقى نكتب الكلمة اللى قولناها يبقى this means that
هذا يعني ان if ال y موجود في ال centralizer ل a
thenالـ Y موجود في الـ Centralizer لـ
A ثم الـ Y Inverse ثم أو الـ Y موجودة في الـ
Centralizer لـ A Inverse لا لا الـ Y Inverse
موجودة في الـ Centralizer لـ Aتمام الان لو جيت
قولتلك consider خدلي اللي هو ال X Y inverse A هذا
الكلام بده يساويإذا قدرت أثبت ان الـ x y inverse a
بيكون a x y inverse بيتم المطلوب يبقى هذا x y
inverse ال a بقدر أكتبها a inverse inverse يبقى
هذا الكلام بيكون x و هنا a inverse y الكل inverse
مظبوط
يعني جمعت هنا ال inverse inverse رجعتهم لأصلهم
واحدة بالشكل هنا الان انا عندي هنا a inverse
مكتوبا اه سنة سنة شوية ايش اللي سويتها a inverse y
طيب هنا قلت دي اسم الالكترون موجود في ال
centralizer then y inverse موجود
كيف؟ بدي واحد بس يحكي، واحد يحكي بقى، ايه؟ اه،
يعني هيك، برضه مظبوط، ممكن ناخد x,y وممكن ناخد x,y
inverse مرة واحد، عشقتين، يا ناس بضرورة، ممكن
استفيد من هذه، ان الـA
على أي حال بنكمل المرة القادمة ان شاء الله