بسم الله الرحمن الرحيم عودنا على البدء في المحاضرات في
الفترة الصباحية كتبنا نظرية عبارة عن ست نقاط
نقطتين كانتا مبرهناتين سابقا في موضوع ال isomorphism
مبرهننا نقطتين وهذه هي النقطة الخامسة يبقى النقطة
الخامسة بتقول إنه phi of a بدو يساوي phi of b if
and only if ال a في ال kernel بدو يساوي ال b في ال
kernel يبقى بدنا نبرهن صحة هذه النقطة فباجي بقول له
ال proof لو كان ال phi of a بده يساوي ال phi of b
هذا الكلام صحيح if and only if لو ضربنا في المعكوس
تبعها من جهة الشمال بيكون مين؟ بيكون phi of b
لكل inverse في phi of a بدو يساوي ال identity
element تبع من؟ تبع الـG bar لأن phi of a وفي phi of b
موجودة تاتوين في الـG bar الكلام هذا صحيح if and
only if الكلام
هذا صحيح if and only if الـ Phi أول ما أخذناها هو
Homomorphism، إذا phi of b inverse a بدل
سبب من الـ Identity Element تبع الـ G¯ إيش تفسيرك
لهذه العبارة phi لما أثرت على element أعطتني ال
identity element يبقى هذا ال element وين موجود؟ ال
kernel يبقى هذا .. والله هذا معناته if and only if
كله ماشيين ب if and only if ال b inverse a موجود
في ال kernel للـphi معنـى هذا الكلام أن الـb inverse
a في الـkernel للـphi بده يساوي الـkernel للـphi
itself لو ضربنا الطرفين في الـb من جهتي الشمال
يبقى بصير if and only if الـa في الkernel للـphi
بده يساوي b في الkernel للـphi أظن وهو المطلوب
النقطة السادسة النقطة السادسة بتقول ما يأتي لو كان
الـ phi of g بده يساوي الـ g prime ال phi of g بده
يساوي ال g prime الـphi inverse of g' بدو يساوي الـg
في الـKernel للـphi وراح المعرفة هذه كل الـx اللي
موجودة في g بيحيط الـphi of x بدو يساوي مين؟ بدو
يساوي g' بدنا نروح نثبت صحة هذا الكلام النقطة هذه
تعال نشوف إيش مفهومها قبل ما نبرهن بدنا نفهم ما
هو موضوع هذه النقطة شوف يا سيدي إحنا عندنا phi من
ال group g إلى ال group g bar تمام قال لي phi of g
بده يساوي g prime يقول لي g prime وين موجودة؟ في الـg
bar والـg هذه موجودة في الـg طيب كويس إذا هذه
معلومة الآن إيش بقول لي بقى؟ بدي يكون الـphi inverse
للـg prime تساوي g مضروبة في ال kernel يعني لما نأخذ phi
inverse للطرفين مش هروح أقول phi inverse of g
prime تساوي g ليش؟ ليش؟ لأنها كانت one to one صحيح هذا
ليس isomorphism، إن هؤلاء عبارة عن مجموعة من
النقاط صورتهم الـIdentity. إذن عندما أدخل للعكس،
فإن الـphi inverse لهذا العلم سيكون مجموعة من
النقاط وليس نقطة واحدة. وهذا ما سنثبته بعد قليل في
النظرية القادمة. يبقى phi inverse g prime يبقى مين
يساوي g في ال kernel اللي في هذا اللي عايزين إن تبدو
هدول two sets are equal يبقى بدي اروح أأخذ element
هنا أثبت إنه موجود هنا وأعمل الأعمال العكسية آخذ
element هنا وأثبت إنه موجود هنا يبقى مشان هيك
باجي أقول له let ال x موجودة في phi inverse g prime
طبعا يبقى لو أثرت بمين؟ ب phi على الطرفين بصير phi
of x بدها تساوي g prime طيب هذا معناه إنه phi of x
يساوي أظن g prime مواطعه ما أقدرش ب phi of g يبقى هذا
phi of g بالشكل اللي عندنا هنا طيب لو رحت من هذا
الكلام ضربت الطرفين في معكوس هذا ال element يبقى
بده يصير phi of g الكل inverse في ال
phi of x بده يساوي الطرف اليمين اللي هو ال
identity element تبع g bar تبع ال g بعضه بنفس المفهوم
هذا إيش معناه؟ معناه إنه phi of g inverse في phi
of x بده يساوي ال identity element تبع ال g bar أو
إن شئتم فقولوا phi of g inverse x بده يساوي ال
identity element تبع ال g bar معنى هذا الكلام أن
هذا ال element بين القوسين وين موجود؟ في ال kernel
لأنه صورته ال identity يبقى بده يصير g inverse x
موجود في ال kernel للـphi طب لو ضربت الطرفين في g
من جهة الشمال يبقى بظل x موجود في ال g في
ال kernel للـphi يبقى أنا أخذت x موجود في ال phi
inverse للـg' لقيته موجود وين؟ في g في ال kernel
معناته الست الأولانية subset من الست الثانية يبقى
هنا phi inverse of g' subset من مين؟ من ال g في
ال kernel للـphi اعتبر هذه هي النقطة الأولى بالدرجة
للنقطة الثانية on the other hand بالدرجة
يأخذ x موجودة في ال g في ال kernel للـphi خذ لل x
موجودة في ال g في ال kernel للـphi إذا كنت أثبت إن
ال x هذه موجودة هنا بيكون تم المطلوب يكون انتهينا
من المسألة اللي عندنا يبقى then ال x هذه يا شباب
بقدر أقول هي ال g مضروبة في element من مين؟ من
ال kernel تبع الـphi وليكن اللي هو k يبقى x بدأت
تساوي gk for some for some k اللي موجودة في ال kernel
ل phi طيب شو رأيك أثر على التنتين ب phi يبقى إيش بده
يصير؟ بده يصير phi of x بده يساوي phi of g في phi of k يعني
معنى هذا الكلام إنه phi of x بده يساوي phi of g في
phi of .. اللي هو small k هذا الكلام يساوي أو هذا
بده يعطينا الطرف الشمال phi of x الطرف اليمين phi
of g كده معطى من رأس المسألة؟ g prime يبقى
هذا phi of g بده يساوي g prime طيب phi of k كده إيش؟
طلع ليه هنا؟ إحنا جبناها من وين ال k هذا؟ موجودة
في ال kernel for some k الموجودة في ال kernel
يبقى phi of k بقد إيش؟ بال identity يبقى هذا بال
identity تبع ال g bar ليش؟ since اللي هو ال k هذه
موجودة في ال kernel للـphi النظر اللي موجودة هنا
بتعطينا ال identity element يبقى هنا الساعة ال
phi of x بده يساوي من ال g' ليش؟ إن ال g' موجودة
في g' وال identity هي تبع ال g' يبقى حاصل الضرب
بيعطينا من g' يبقى معنى هذا الكلام إن ال x بتكون
موجودة في ال phi inverse of g' لاحظ ما يأتي إيش
كتبت أنا السطر الأخير أنا وصلت لغاية هنا phi of x
بده يساوي g' في ال identity يبقى phi of x بده
يساوي g' إيش رحت كتبتي؟ يبقى ال x ما كتبتش تساوي في
inverse of g' كتبت ال x موجودة في ال phi inverse of g'
ليش؟ إن ال phi inverse of g' عدة نقاط مش نقطة واحدة لو
كانت نقطة واحدة لكتبت إيش؟ لكتبت اليساوي تمام إذا x
ماشي ولو وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت
وانت وانت وانت وانت
اللي هو subset من مين؟ من ال phi inverse of g
prime وهذه العلاقة رقم اتنين يبقى باجي بقول from
واحد and اتنين we have إن ال phi inverse of g
prime بده يساوي g في ال kernel للـphi
نعطيك مثال توضيح على ذلك لأن هي خلصت النظرية
example بقول
suppose that
افترض أن phi من z ثلاثين إلى z ثلاثين A
homomorphism suppose that phi is a homomorphism
and ال kernel
للفاي هي العناصر zero و عشرة و عشرين بيقول ل f إذا
كان ال phi ل 23 هي عبارة عن 9 السؤال هو
determine
all
elements that map maps to تسعة كل ال elements اللي
هم maps to تسعة السؤال
مرة تانية فيها النفاي من Z 30 ل Z 30
homomorphism وهذا حسبنا له كيرن اللي جينا كيرنه
zero وعشرة وعشرين هذه معلومة وزيادة على ذلك five
of تلاتة وعشرين يساوي تسعة قال لي هاتلي كل ال
elements اللي maps to تسعة يعني بدي كل العناصر
اللي في زد تلاتين واللي صارتهم بتكون مان تسعة يعني
مش ع جد تلاتة وعشرين يبقى باقي ال elements اللي
وصرتهم بتكون تسعة تطلعلي في النقطة الأخيرة رقم ستة
وخليها في دماغك أنا عندي في of G يساوي G prime كأنه
G هذه main تلاتة وعشرين وال G prime هي main التسعة
يبقى ال في inverse of G prime بده يساوي ال G في ال
kernel للفي يبقى بناء عليه أنا عندي فاي of تلاتة
وعشرين يساوي تسعة شو رايك آخذ معكوس الفاي للطرفين
يبقى ايش بصير عندي بصير الفاي inverse of تسعة بده
يساوي ال element اللي عندنا اللي هو تلاتة وعشرين
في ال kernel للفايتمام؟ لكن لما كانت العملية عملية
جامعة إذا ما بكتبش تلاتة وعشرين مضروبة في ال
kernel وإنما بكتب تلاتة وعشرين زائد ال kernel لمن؟
لل في يبقى هذا الكلام بدرساوي تلاتة وعشرين زائد ال
kernel لل في هي موجود فوق يبقى zero وعشرة وعشرين مش
تروح تقول هنا فاينفرس وتسعة الفاينفرس وتضرع
الفاينفرس وتضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع
الفاينفرس تضرع الفاينفرس
تفي المثل لأن ال operation عملية جمع هذا الكلام
بده يساوي بده يجمع كل عنصر مع نظيره يبقى هذا
تلاتة وعشرين تلاتة وعشرين وعشرة تلاتة وتلاتين في
زد تلاتين بيطلع تلاتة وتلاتين واربعين في زي التلاتين
بيطلع تلاتاش بيطلع تلاتاش إذا العناصر لو صرتهم
تسعة هي تلاتة وعشرين وهي معطاة وكذلك في of تلاتة
وفي of تلاتاش هي اللي بتساويهم هي اللي بتساوي تسعة
يبقى دير بالك من هذه النقطة ننتقل الآن إلى النظرية
التالية يبقى بالداجي ل theorem
هذه نظرية بتتحدث عن properties of
subgroups under
homomorphism
تنص على مياتي لت الفاي ب homomorphism
from a group g to a group g bar
النقطة الأولى فاي اف اتش كابتل اتش اللي هي كل
العناصر في اف اتش بحيث الاتش موجودة في الاتش is a
subgroup من الـ G bar يبقى هذه ال subgroup من ال G
bar النقطة الثانية لو كانت ال H Cyclic F ال H is
Cyclic لو كانت ال H Cyclic then Phi of H صورتها is
Cyclic النقطة التالتة لو كانت ال h is abelian then
لو five of h is abelian five of h is abelian
النقطة الرابعة لو كانت الـ H is a normal subgroup
من G then Phi of H is a normal subgroup من Phi of
G النقطة
الخامسة إذا كانت أعضاء كيرنال فيا هي نة ثم فيا ثم
فيا هي نة إلى واحدة نة إلى واحدة مابينج من
from g to phi of g النقطة
السادسة بيقول if ال order لل H كان يساوي N then ال
order لل phi of H بده يقسم
الـ N النقطة
السابعة بيقول لي if ال K bar if ال K bar is a
subgroup من ال G bar then الـ Phi inverse of الـ K
bar اللي هو كل ال K اللي موجودة في G such that Phi
of K Phi of K موجودة في ال K bar ما لها هذه is a
subgroup of G يبقى هذه is a subgroup of G النقطة
الثامنة بقول لو كان ال K bar is a normal subgroup
if ال K bar is a normal subgroup من ال G bar then
then الـ Phi inverse of K bar هذه
كل العناصر K اللي موجودة في G بحيث ان Phi of K
موجود في K bar
النقطة التاسعة والأخيرة بقول لو كانت الفاي is onto
f الفاي is onto لو كانت الـphi صندوق الـ and
الكيرنل
للـphi بده يساوي الـ identity element تبع الـG
من اين الى اين من جيه لجيه بار من جيه
لجيه بار
Nigel will prove the
parts الواحد واتنين and تلاتة are identical
to
are identical to the probes of أربعة
واتنين and واحد of
theorem of theorem ستة تلاتة بصفحات
مية وسبعة وعشرين respectively
نرجع ثاني للنظرية اللي احنا كاتبينها نحاول نقرأها
كمان مرة نتفهم كل ما فيها بعد هيك بنروح إلى
البرهان المرة اللي فاتت النظرية اللي فاتت كانت
بيشتغل على ال elements homomorphism على ال
elements هنا ال subgroups under ال homomorphism
يجيب جال ال homomorphism يشتغل عالميا على ال
subgroups وليس على ال elements مقول لو كانت فاي من
جي إلى جي بار هي hemomorphism وكانت ال H subgroup
من جي then فاي of H، H هذه sub set من مين أو
subgroup من جي إذا صورتها إذا كنت أريد أن تكون
موجودة في جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في
جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في
جي بار من الجيل المقابل يبقى ال subgroup صورتها
subgroup أخرى تحت تأثير ال homomorphism الناحية
الثانية لو كانت هذه ال subgroup cyclic يبقى صورتها
كمان cyclic يعني ليست فقط subgroup و كذلك cycle
group طب لو كانت ال H abelian يبقى صورتها كذلك ما
لها abelian group هذول واحد واتنين وتلاتة برهنهم
قبل هيك في النظرية اللي في صفحة 127 نظرية 6 3 لذلك
النقطة الأولى مكافئة هي نفس النقطة 4 في النظرية
النقطة 2 هي 2 النقطة 3 هي نقطة 1 لو رجعنا لهذه
النظرية في صحفة 127 من الكتاب نجد التلاتة اللي
عندنا هذا نجي للربع الرابع بيقول لو كانت ال H
normal subgroup يجي صورتها normal في صورة ال G
كلها لأن ال Phi of G ليس بالضرورة أن تغطي كل
عناصر G برشوية منهم وممكن تغطيهم كلهم سيان سواء
كان لكن احنا in general بيقول لأ طيب يبقى لو كانت
هذه normal صورتها normal في صورة G طب لو كان ال
kernel في N من العناصر ال order له يساوي N يبقى ال
N هدول بدهم يروحوا لوين؟
لوين؟ للـ identity ممتاز جدا يبقى آثار ال
homomorphism N to 1 التلاتة أو الأربعة أو العشرة
راحوا العنصر واحد يبقى بقول عشرة to one مش one to
one بقول الأربعة to one أو الخمسة to one أو الستة
جدما يكون ال order one to one mapping من ال G on
two انتوا هادي دي بالك مش هنقول انتوا انه وخلاص
وننسى لابد تغطي جميع عناصر five of G وهذا اللي
مطلوب مش روح نبره ان هدى وننسى هدى لأ لأ لأ هدول
نقطتين وليست نقطة واحدة السادسة لو كان ال order ل
in بده يساوي ال H يبقى ال order للصورة بده يقسم ال
order تبع من؟ تبع ال H أظن حلينا مثال شبيه بوا قبل
شوية الآن لو كانت كيابار subgroup من جيبار يبقى
صورتها subgroup ولو كانت هذه ال subgroup normal
يبقى صورتها normal اتنين هذول بنقدر ندمجهم بـ band
واحد
النقطة الأخيرة لو كانت Phi is onto والـ Kernel
مافيش فيه إلا الـ Identity Element يبقى الـ Phi
عبارة عن إيش؟ Isomorphism طب هي أعطاني Phi أنتم
و أعطاني هنا Phi همومورفزم بقى عليه باسمين يعني لو
أثبتت أن Phi one to one بيكون خلصنا من الموضوع
بيكون خلاص انتهينا منه يبقى بس مطلوب أثبت أن Phi
one to one طيب نيجي للبرهان يبقى أول ثلاث نقاط
تفاجئنا عليهم نيجي للرابعة الرابعة H Normal بدي أثبت
أن الـ Phi of H هذي إيه اللي همالها normal
subgroup من main من الـ Phi of G لذلك بدي أروح
أخدلي element في H و أخد element من G و أشوف لوين
بده يوصل هالدنيا هذه يبقى باجي بقوله هنا لو أخدنا
الـ G موجود في G و أخدنا الـ H موجود في H then إيش
شرايك في الـ GHG inverse؟
بينتمي لمين؟ أيوة يبقى هذا belongs to H السبب
because أن الـ H is a normal subgroup من G طب احنا
لما نتكلم على Phiات يبقى نبدأ ناخد الـ Phiات هنا يبقى
لو روحت أخدت الـ phi of GHG inverse هيكون موجود في
الـ phi of H طب الـ Phi homomorphism يبقى بدي أفك
هدول يبقاش بصير أن ها Phi of G Phi of H Phi of G
inverse هذا موجود في مين؟ في الـ Phi of H طيب، ألسا
هذا Phi of G Phi of H Phi of G لكل Inverse موجود
في Phi of H تعالوا نشوف تعالوا نشوف هذا وين موجود يا
شباب؟ في الـ Phi of G يبقى هذا belongs to Phi of G
طيب هذا Phi of H belongs to Phi of H هذا بـ belongs
to Phi of G صح؟ طيب ممتاز جدا يبقى الآن أنا هاي
اللي بدفتها الـ normality يبقى أخدت element من هنا
و element من هنا ضربت الـ element من هنا في الـ
element من هنا في معكوس هذا الـ element لجته موجود
في Phi H يبقى إيش تفتيرك لهذا الكلام أن Phi H is
normal يبقى هذا بده يعطينا الـ Phi of H is a normal
subgroup من من الـ Phi of G طبعا رب واحد فيكم قاعد
بيفكر هيك و قال لي طب استنى شوية أنت جبت نص البرهان
و أين النص الثاني بقوله إيش النص الثاني قال لي الـ
Phi of H is a subgroup بقوله اه ما هي هو عندك رقم
واحد هذا مطلوب، هيبقى باعتباره مثبت، هيبقى مثبت
معاك وإن لم يكن مثبتًا، لأثبتناه أولًا، ثم أثبتنا
مين؟ الـ Normality يبقى هي الكلام صحيح، هذا النقطة
أربعة بدنا نروح للنقطة رقم خمسة النقطة رقم خمسة
بتقول لي لو كان assume
إذا أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت
أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن
أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن
أردت أن أردت أن الـ Kernel لـ Phi يجب أن يساوي،
يجب أن أضع فيه N من العناصر، أظن أن الـ Identity
تبع الـ G منهم يبقى G منهم، ويجب أن أقول G1 و G2
ويبقى مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة
مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة
مازالة مازالة مازالة مازاليبقى let الكلام then هذا
إيش معناه؟ معناه أن الـ Phi of الـ identity element
تبع الـ G بده يساوي الـ identity element تبع الـ G
bar والـ Phi of G1 بده يساوي الـ identity element
تبع الـ G bar والـ Phi of G2 بده يساوي الـ identity
element تبع الـ G bar والـ Phi of G N minus الـ one
بده يساوي الـ identity تبع الـ G bar يبقى أنا صار
عندي N من العناصر لهم صورة واحدة يبقى الـ Phi is
into one يبقى هذا this means that أن الـ Phi is
into one
يبقى هايات مثلا من G لـ G من from G to G bar ولم
أقول unto G bar يبقى دي قصة الـ onto هذه بدها
إثبات يبقى بدأ أروح أخد element في Phi of G و
أثبت أنه له أصل وين في G طيب كويس اه مش بدنا نثبت
أنها onto لـ G bar لأ في of G هي من عناصر G bar
جزء منها لكن هل تسويها أو لا تسويها قد يكون و قد
لا يكون يعني يا شباب لو اتخيلنا أن هذه كلها هي G
bar و أنا عندي Phi من الـ G من الـ G إلى الـ G bar يمكن
هدول هذا كله يطلع هو Phi of G لكن هذا هنا مافيش ولا
عنصر تمام يبقى جزء بقول لذلك أنا مركز على Phi of G
on to Phi of G يعني كل element في هذه الـ set بدي
أثبت أنه له أصل وين في G كويس لذلك مضاجي أقوله
خدلي y الآن بدي أثبت له أن فاي is onto يبقى بداجة
أقوله let مثلا y belongs to فاي of g فاي of كابتل
G تمام؟ then الـ y هذه بدها تساوي فاي of g for some
g اللي موجودة في G مصبوط هيك يبقى أنا أخدت element
في الصورة و روحت أخدت element من هنا يبقى الـ five
ده سواء five of g for some أيوة طيب أنا بدي إيش الـ
element اللي أخدته في الـ five of g بدي أثبت أنه له
أصل في g أو له أصول ممكن يكون أصول مش أصل ممكن يكون
كتار أنتم أثبتنا أن أنتم يبقى أصول وليس أصل تمام
يبقى الـ Phi inverse يبقى بناء على لو أخدت الـ Phi inverse
of Y يبقى الـ Phi inverse of Y عشان بده يساوي G في الـ
Kernel ها دي ربالك يبقى هذا بده يساوي الـ Phi
inverse of Y بده يساوي الـ G في الـ Kernel لمين؟ في
الـ Kernel للـ Phi معناه هذا الكلام أنه طبعا Phi
inverse of Y مش عنصر واحد لو بدي أشتغل حرفي لو
بقول عنصر واحد لكن هذه عناصر وبالتالي كثير من
العناصر اللي هو الـ Y هذه قد يكون هو صورتها فبجي
بقوله يبقى الـ order للـ Phi inverse of Y بده يساوي
الـ order للـ G في الـ kernel للـ Phi. مظبوط ولا لا؟
طب إيش العلاقة؟ الآن هذا ليس left coset G في
الـ Kernel الـ Phi مش left coset صح ولا لا؟ طب إذا الـ
order إيه اللي هيساوي الـ order لـ الـ subgroup نفسه
يبقى هذا الكلام بدي يساوي الـ order للـ Kernel الـ Phi
اللي هو جداش الـ N يعني معنى هذا الكلام إن الـ Y
اللي عندي أخدت هذه لجتلها أصول عددهم N تمام يبقى
on to يبقى this means that .. يبقى this means that
أن
الـ Phi maps in elements from
G to Y اللي موجود وين في G bar أو موجود في Phi
of G بالتحديد موجود في Phi of G so Phi is onto طيب،
هذه النقطة إيه؟ النقطة الخامسة اللي خاطر مدام حلنا
زيها يبقى النقطة السادسة هذه أقول لكم exercise طبعا
مبرهنة في الكتاب، بس بعمل restriction على الـ Phi
يعني بيخليهاش على إطلاقها، بس على عناصر إيش، يبقى
يا ريت من الكتاب تروح تجرها وترتب أمورها الآن كي
بار سابق روب من G bar يبقى Phi inverse of K بده
أثبتها سابق روب من مين؟ من الـ G طيب مشان أثبتها
السابق روب بده أثبته conditions يبقى بدي أروح لمين؟
للنقطة السابعة مشان أروح للنقطة السابعة بدي أثبت
هذه Phi inverse subgroup من مين؟ من الـ G هذا اللي
عايزيني أثبته مشان هيك بدي أثبت له أن هذه non-empty
و لو أخدت عنصرين منها بدي أثبت أن الأول في معكوس الثاني موجود فيها وبالتالي بيصير a subgroup
وبالتالي بيصير a subgroup
يبقى بضاجي أقول له assume أفترض أن الـ K bar هي
عبارة عن subgroup من الـ G bar يبقى
هذه subgroup من الـ G bar then الـ Phi inverse of K
bar is non-empty
الـ Phi of الـ Identity تبع الـ G بده يعطيني مين
الـ Identity تبع من؟ تبع الـ G bar يعني إيش؟ هذا
بده يعطيك أن الـ Phi Inverse of الـ Identity تبع
الـ G Bar بدي أسوي الـ Identity Element تبع الـ G
مظبوط؟ يبقى معنا هذا الكلام إن الـ Identity تبع
الـ G موجود في الـ Phi Inverse of الـ K Bar بعد
هيك بتروح أخد two elements الـ X و الـ Y موجودة في
الـ Phi inverse of الـ K bar معنى هذا الكلام أن
الـ X بده يساوي Phi inverse of K1 مثلا و الـ Y بده
يساوي Phi inverse of K2
كويس يبقى بدي أروح أخد الـ X Y inverse أشوف هل
موجودة هنا ولا لأ إذا طلعت موجودة بيكون كفى الله
المؤمنين يبقى بدي أروح أخد له الـ X Y inverse يبقى
أو الـ Phi خلّي
أشوف الـ X Y inverse يبقى الـ X اللي عبارة عن Phi
inverse of الكوانفي الـ Phi inverse of K2 لكل
inverse يبقى هذا الكلام بده يساوي هذا
الكلام بده يساوي Phi inverse of K1 في Phi inverse
of K2 inverse هذا الكلام بده يساوي في انفرس of K1
K2 انفرس هذا كله مين؟ اللي هو الـ X Y inverse هل
هذا الآن موجود في الـ Phi inverse of K bar؟ ليش؟
لأن هدول حاصل ضربهم موجود في K bar لأن أول ما جينا
كنا K bar ما لها subgroup من G بقى closed under
multiplication يبقى هذا موجود في الـPhi inverse of
K bar يبقى بناء عليه الـPhi inverse of K bar is a
subgroup من جيه؟ من G وانتهينا منها بدنا نروح
للنقطة اللي بعدها وهي خاصية ال normality أيوة عرف
لو ماكنتش homomorphism أمرها ما بيصير كلامها ده
صحيح وحسب
التعريف اللي عندك حسب التعريف يعني عرفنا الـPhi
Inverse وين عرفناه والله مسحنا.. مسحنا.. لا
أيوة أيوة كل الـK اللي موجودة في جبهات الـPhi of K
موجودة وين؟ في الـK bar أيوة
تاني تاني سؤالك سطر التاني هنا لفوق اه اه
هذا يا ابني أنا بقول يساوي ال identity تبع ال جي
بار اثر على الطرفين بالفاي انفرس لا مانعثرنا بفعل
مش هتاطنين ال identity يعني اللي هو .. هذا لو كنت
أريد مورفزم، عنصر واحد. أنا بهمني العنصر، بدي أجيب
عنصر، بديش أجيب كثير، بكفيني منك عنصر، هذا همشي أن
أثبت أنها non-empty، تمام؟ طيب، أنا إلي وجهة نظر
أخرى، إلي وجهة نظر أخرى في هذا الكلام، يعني لو
بدنا نشك في هذا هل هو homomorphism ولا لا، بنقدر
نقول الخطوة هذه استني شوية، الحين لو جيت هنا فاي of
ال X Y inverse أليست هي فاي لفاي inverse of K1 K2
inverse صح ولا لا أثر هنا بفاي و أثر هنا بفاي يبقى
النتيجة
K1 K2 Inverse اللي موجودة في الـK bar صح ولا لا
يبقى صار عندك اللي هو ال X Y inverse موجودة ال X Y
inverse بدها تساوي اللي بدها تساوي أو هذه مو ..
استني شوية بدي ألغي هذه ألغيتها بمين أثرت عليها فهي
أصبحت X Y inverse بدي أجيبها هنا يبقى بدها تساوي
الـ Phi of الـ K واحد K اتنين inverse اللي هي هذه
موجودة في المين في ال Phi of Phi of K وPhi of K
Phi of K لأ احنا احنا خليك معايا احنا خليك .. هاي
اللي وصلنا X Y inverse بده يساوي في انفرست ل K1 K2
بده اثر هنا بفي و اثر هنا بفي هاي اثرنا بفي و
اثرنا هنا بفي هذه هتلغي التانية بصير اللي هو X Y
inverse بده يساوي في of K1 K2 inverse تمام؟ يبقى
هذه موجودة في Phi of K و Phi of K لحظة
شوية عندك اعتراض على هذه العبارة؟ الخطوة اللي بعدها
تمام أنا جيت اثره بفاي على XY inverse طب هدى تساوي
هدى مشينا لغاية هنا لو قلنا مش عارفين هي
homomorphism ولا لأ يبقى كان صار كل الشغل هدى مش
صحيح إذا هي homomorphism غصب على ما يرضى وإلا كان
هذا الكلام .. لقد قلت ال inverse صح لكن مصير هذا
الكلام صحيح ليس صحيحا إلا إذا كانت homomorphism
تمام؟ على .. أيوة ال homomorphism مش ضروري يكون
مدبن صحيح لما تجيب في انفص بطل افتران أصلا مصير
الواحد اللي عند الصور مظبوط مش متبطل اختراع أصلا مش
متبطل homomorphism متبطل اختراع معرف أصلا تصير
الصورة العنصر اللي هو أكثر من الصورة فكيف أنت
بتاخد اللي هو أكثر من الصورة العنصر اللي هو أكثر
من الصورة احنا بنحكي homomorphism وليس function
إذا قلنا function ماهو isomorphism function يعني
مية المية بس ال homomorphism قد يكون و قد لا يكون
أه قد يكون و قد لا يكون تمام طيب احنا هذه النقطة
رقم قداش هي سبعة النقطة هذه رقم سبعة رقم سبعة
ماشيين كله صح وهذه تمام واخدنا x y inverse و أثرنا
عليها بفاية و طلع ك واحد كتنين اللي موجودة في ك
مظبوط يبقى من هذا الكلام بنقدر نقول X Y inverse
موجودة في الـ Phi في ال Phi of K صحيح يبقى بنقول
هنا النقطة الأخيرة أن ال X Y inverse هذه موجودة في
ال Phi inverse في ال Phi inverse في ال Phi inverse
of K بار اللي فوق بالظبط تماما خلاص يبقى ليش يعيدها
هذي كلها مالاش نزول هي ال X Y انفرست موجودة في
الفاي انفرست هذا كله زيادة صوتنا هذه الخطوة زيادة
تمام يبقى موجودة في الـ Phi inverse of K bar يبقى
بناء اللي عليه Phi inverse of K bar is a subgroup
يبقى هنا Phi inverse of K bar is a subgroup من
مين؟ من ال G بدنا نيجي للنقطة الثامنة خلي بالك
معايا النقطة الثامنة اللي جبناها هذه الـ subgroup
من G بنا نثبت أنها normal بس بشرط أن ال K bar
normal من G يبقى باجي بقوله assume افترض أن ال K
bar is a normal subgroup من G bar بالدالي اثبت أن
الفاي
انفرس of K bar is a normal subgroup من من من ال G
كويس لذلك بدروع أخد let الجي موجودة في جي and ال X
موجود في الفاي انفرس of الكبار then الجي موجودة في
الجي و الـ X هذه بدها تساوي في انفرس في انفرس of K
على سبيل المثال يبقى هذا معناه أن جي موجود في جي
and فاي of اكس فاي of اكس بده يساوي كم؟ بده يساوي
كم طب لو أخدت الجي اكس جي انفرس مشان اثبات ال
normality واخد تأثير الـ Phi عليها يبقى هذا الكلام
بدل يساوي Phi of G Phi of X Phi of G inverse يبقى
هذا الكلام بدل يساوي Phi of G Phi of X اللي هي
main اللي هي اب K Phi of X اللي هي و ال K normal
اللي هو K و الـ Phi هذه of G لكل inverse بالشكل اللي
عندنا هنا تمام؟ الحين هذه موجودة في G وهذه موجودة
في الـPhi inverse of K وهذه موجودة في G أخدنا
تأثير الـPhi عليهم وطلع عندنا هذا الـElement وهذا
وهذا الـK bar أنا جال عليها normal يبقى لو أخدت
element من G bar هذا موجود في G bar وهذا موجود في
جي بار وهذا موجود في الفاي انفرس هذا موجود في
الفاي انفرس of K إذا هذا كله موجود في الفاي انفرس
of K بار بالشكل اللي عندنا K بار يبقى بناء عليه
الفاي
إنفرست من K بار هو عضو عام من جيه