1
00:00:20,690 --> 00:00:24,770
بسم الله الرحمن الرحيم عودنا على البدء في المحاضرات في

2
00:00:24,770 --> 00:00:29,010
الفترة الصباحية كتبنا نظرية عبارة عن ست نقاط

3
00:00:29,010 --> 00:00:33,450
نقطتين كانتا مبرهناتين سابقا في موضوع ال isomorphism

4
00:00:33,450 --> 00:00:38,870
مبرهننا نقطتين وهذه هي النقطة الخامسة يبقى النقطة

5
00:00:38,870 --> 00:00:42,430
الخامسة بتقول إنه phi of a بدو يساوي phi of b if

6
00:00:42,430 --> 00:00:46,990
and only if ال a في ال kernel بدو يساوي ال b في ال

7
00:00:46,990 --> 00:00:52,660
kernel يبقى بدنا نبرهن صحة هذه النقطة فباجي بقول له

8
00:00:52,660 --> 00:00:59,340
ال proof لو كان ال phi of a بده يساوي ال phi of b

9
00:00:59,340 --> 00:01:06,210
هذا الكلام صحيح if and only if لو ضربنا في المعكوس

10
00:01:06,210 --> 00:01:11,990
تبعها من جهة الشمال بيكون مين؟ بيكون phi of b

11
00:01:11,990 --> 00:01:18,190
لكل inverse في phi of a بدو يساوي ال identity

12
00:01:18,190 --> 00:01:25,690
element تبع من؟ تبع الـG bar لأن phi of a وفي phi of b

13
00:01:25,690 --> 00:01:32,440
موجودة تاتوين في الـG bar الكلام هذا صحيح if and

14
00:01:32,440 --> 00:01:48,720
only if الكلام

15
00:01:48,720 --> 00:01:53,570
هذا صحيح if and only if الـ Phi أول ما أخذناها هو

16
00:01:53,570 --> 00:02:03,110
Homomorphism، إذا phi of b inverse a بدل

17
00:02:03,110 --> 00:02:08,650
سبب من الـ Identity Element تبع الـ G¯  إيش تفسيرك

18
00:02:08,650 --> 00:02:13,810
لهذه العبارة phi لما أثرت على element أعطتني ال

19
00:02:13,810 --> 00:02:17,510
identity element يبقى هذا ال element وين موجود؟ ال

20
00:02:17,510 --> 00:02:22,950
kernel يبقى هذا .. والله هذا معناته if and only if

21
00:02:22,950 --> 00:02:28,770
كله ماشيين ب if and only if ال b inverse a موجود

22
00:02:28,770 --> 00:02:35,190
في ال kernel للـphi معنـى هذا الكلام أن الـb inverse

23
00:02:35,190 --> 00:02:41,030
a في الـkernel للـphi بده يساوي الـkernel للـphi

24
00:02:41,030 --> 00:02:46,350
itself لو ضربنا الطرفين في الـb من جهتي الشمال

25
00:02:46,350 --> 00:02:50,650
يبقى بصير if and only if الـa في الkernel للـphi

26
00:02:50,650 --> 00:02:56,130
بده يساوي b في الkernel للـphi أظن وهو المطلوب

27
00:02:56,130 --> 00:03:05,820
النقطة السادسة النقطة السادسة بتقول ما يأتي لو كان

28
00:03:05,820 --> 00:03:12,220
الـ phi of g بده يساوي الـ g prime ال phi of g بده

29
00:03:12,220 --> 00:03:20,470
يساوي ال g prime الـphi inverse of g' بدو يساوي الـg

30
00:03:20,470 --> 00:03:24,430
في الـKernel للـphi وراح المعرفة هذه كل الـx اللي

31
00:03:24,430 --> 00:03:27,750
موجودة في g بيحيط الـphi of x بدو يساوي مين؟ بدو

32
00:03:27,750 --> 00:03:33,490
يساوي g' بدنا نروح نثبت صحة هذا الكلام النقطة هذه

33
00:03:33,490 --> 00:03:38,030
تعال نشوف إيش مفهومها قبل ما نبرهن بدنا نفهم ما

34
00:03:38,030 --> 00:03:42,770
هو موضوع هذه النقطة شوف يا سيدي إحنا عندنا phi من

35
00:03:42,770 --> 00:03:48,150
ال group g إلى ال group g bar تمام قال لي phi of g

36
00:03:48,150 --> 00:03:52,200
بده يساوي g prime يقول لي g prime وين موجودة؟ في الـg

37
00:03:52,200 --> 00:03:56,840
bar والـg هذه موجودة في الـg طيب كويس إذا هذه

38
00:03:56,840 --> 00:04:02,140
معلومة الآن إيش بقول لي بقى؟ بدي يكون الـphi inverse

39
00:04:02,140 --> 00:04:07,960
للـg prime تساوي g مضروبة في ال kernel يعني لما نأخذ phi

40
00:04:07,960 --> 00:04:11,260
inverse للطرفين مش هروح أقول phi inverse of g

41
00:04:11,260 --> 00:04:16,930
prime تساوي g ليش؟ ليش؟ لأنها كانت one to one صحيح هذا

42
00:04:16,930 --> 00:04:20,250
ليس isomorphism، إن هؤلاء عبارة عن مجموعة من

43
00:04:20,250 --> 00:04:24,690
النقاط صورتهم الـIdentity. إذن عندما أدخل للعكس،

44
00:04:24,690 --> 00:04:28,170
فإن الـphi inverse لهذا العلم سيكون مجموعة من

45
00:04:28,170 --> 00:04:33,490
النقاط وليس نقطة واحدة. وهذا ما سنثبته بعد قليل في

46
00:04:33,490 --> 00:04:38,420
النظرية القادمة. يبقى phi inverse g prime يبقى مين

47
00:04:38,420 --> 00:04:41,680
يساوي g في ال kernel اللي في هذا اللي عايزين إن تبدو

48
00:04:41,680 --> 00:04:45,340
هدول two sets are equal يبقى بدي اروح أأخذ element

49
00:04:45,340 --> 00:04:48,800
هنا أثبت إنه موجود هنا وأعمل الأعمال العكسية آخذ

50
00:04:48,800 --> 00:04:52,840
element هنا وأثبت إنه موجود هنا يبقى مشان هيك

51
00:04:52,840 --> 00:04:59,900
باجي أقول له let ال x موجودة في phi inverse g prime

52
00:05:01,340 --> 00:05:09,260
طبعا يبقى لو أثرت بمين؟ ب phi على الطرفين بصير phi

53
00:05:09,260 --> 00:05:17,880
of x بدها تساوي g prime طيب هذا معناه إنه phi of x

54
00:05:17,880 --> 00:05:24,500
يساوي أظن g prime مواطعه ما أقدرش ب phi of g يبقى هذا

55
00:05:24,500 --> 00:05:31,090
phi of g بالشكل اللي عندنا هنا طيب لو رحت من هذا

56
00:05:31,090 --> 00:05:37,250
الكلام ضربت الطرفين في معكوس هذا ال element يبقى

57
00:05:37,250 --> 00:05:45,810
بده يصير phi of g الكل inverse في ال

58
00:05:45,810 --> 00:05:50,290
phi of x بده يساوي الطرف اليمين اللي هو ال

59
00:05:50,290 --> 00:05:56,610
identity element تبع g bar تبع ال g بعضه بنفس المفهوم

60
00:05:56,610 --> 00:06:02,810
هذا إيش معناه؟ معناه إنه phi of g inverse في phi

61
00:06:02,810 --> 00:06:08,310
of x بده يساوي ال identity element تبع ال g bar أو

62
00:06:08,310 --> 00:06:15,250
إن شئتم فقولوا phi of g inverse x بده يساوي ال

63
00:06:15,250 --> 00:06:20,470
identity element تبع ال g bar معنى هذا الكلام أن

64
00:06:20,470 --> 00:06:24,690
هذا ال element بين القوسين وين موجود؟ في ال kernel

65
00:06:24,690 --> 00:06:29,690
لأنه صورته ال identity يبقى بده يصير g inverse x

66
00:06:29,690 --> 00:06:36,490
موجود في ال kernel للـphi طب لو ضربت الطرفين في g

67
00:06:36,490 --> 00:06:42,130
من جهة الشمال يبقى بظل x موجود في ال g في

68
00:06:42,130 --> 00:06:48,480
ال kernel للـphi يبقى أنا أخذت x موجود في ال phi

69
00:06:48,480 --> 00:06:53,940
inverse للـg' لقيته موجود وين؟ في g في ال kernel

70
00:06:53,940 --> 00:07:00,020
معناته الست الأولانية subset من الست الثانية يبقى

71
00:07:00,020 --> 00:07:08,060
هنا phi inverse of g' subset من مين؟ من ال g في

72
00:07:08,060 --> 00:07:13,580
ال kernel للـphi اعتبر هذه هي النقطة الأولى بالدرجة

73
00:07:13,580 --> 00:07:21,300
للنقطة الثانية on the other hand بالدرجة

74
00:07:21,300 --> 00:07:28,940
يأخذ x موجودة في ال g في ال kernel للـphi خذ لل x

75
00:07:28,940 --> 00:07:35,380
موجودة في ال g في ال kernel للـphi إذا كنت أثبت إن

76
00:07:35,380 --> 00:07:39,700
ال x هذه موجودة هنا بيكون تم المطلوب يكون انتهينا

77
00:07:39,700 --> 00:07:45,600
من المسألة اللي عندنا يبقى then ال x هذه يا شباب

78
00:07:45,600 --> 00:07:51,200
بقدر أقول هي ال g مضروبة في element من مين؟ من

79
00:07:51,200 --> 00:07:59,080
ال kernel تبع الـphi وليكن اللي هو k يبقى x بدأت

80
00:07:59,080 --> 00:08:09,660
تساوي gk for some for some k اللي موجودة في ال kernel

81
00:08:09,660 --> 00:08:17,100
ل phi طيب شو رأيك أثر على التنتين ب phi يبقى إيش بده

82
00:08:17,100 --> 00:08:25,960
يصير؟ بده يصير phi of x بده يساوي phi of g في phi of k يعني

83
00:08:25,960 --> 00:08:32,540
معنى هذا الكلام إنه phi of x بده يساوي phi of g في

84
00:08:32,540 --> 00:08:42,240
phi of .. اللي هو small k هذا الكلام يساوي أو هذا

85
00:08:42,240 --> 00:08:49,680
بده يعطينا الطرف الشمال phi of x الطرف اليمين phi

86
00:08:49,680 --> 00:08:55,860
of g كده معطى من رأس المسألة؟ g prime يبقى

87
00:08:55,860 --> 00:09:04,900
هذا phi of g بده يساوي g prime طيب phi of k كده إيش؟

88
00:09:04,900 --> 00:09:10,080
طلع ليه هنا؟ إحنا جبناها من وين ال k هذا؟ موجودة

89
00:09:10,080 --> 00:09:13,200
في ال kernel for some k الموجودة في ال kernel

90
00:09:13,200 --> 00:09:18,880
يبقى phi of k بقد إيش؟ بال identity يبقى هذا بال

91
00:09:18,880 --> 00:09:27,880
identity تبع ال g bar ليش؟ since اللي هو ال k هذه

92
00:09:27,880 --> 00:09:33,300
موجودة في ال kernel للـphi النظر اللي موجودة هنا

93
00:09:33,300 --> 00:09:39,400
بتعطينا ال identity element يبقى هنا الساعة ال

94
00:09:39,400 --> 00:09:45,860
phi of x بده يساوي من ال g' ليش؟ إن ال g' موجودة

95
00:09:45,860 --> 00:09:50,380
في g' وال identity هي تبع ال g' يبقى حاصل الضرب

96
00:09:50,380 --> 00:09:58,050
بيعطينا من g' يبقى معنى هذا الكلام إن ال x بتكون

97
00:09:58,050 --> 00:10:06,270
موجودة في ال phi inverse of g' لاحظ ما يأتي إيش

98
00:10:06,270 --> 00:10:11,070
كتبت أنا السطر الأخير أنا وصلت لغاية هنا phi of x

99
00:10:11,070 --> 00:10:15,470
بده يساوي g' في ال identity يبقى phi of x بده

100
00:10:15,470 --> 00:10:22,230
يساوي g' إيش رحت كتبتي؟ يبقى ال x ما كتبتش تساوي في

101
00:10:22,230 --> 00:10:27,490
inverse of g' كتبت ال x موجودة في ال phi inverse of g'

102
00:10:27,890 --> 00:10:33,270
ليش؟ إن ال phi inverse of g' عدة نقاط مش نقطة واحدة لو

103
00:10:33,270 --> 00:10:39,650
كانت نقطة واحدة لكتبت إيش؟ لكتبت اليساوي تمام إذا x

104
00:10:41,450 --> 00:10:43,270
ماشي ولو وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

105
00:10:43,270 --> 00:10:44,270
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

106
00:10:44,270 --> 00:10:44,630
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

107
00:10:44,630 --> 00:10:45,630
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

108
00:10:45,630 --> 00:10:47,230
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

109
00:10:47,230 --> 00:10:50,470
وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت وانت

110
00:10:50,470 --> 00:10:54,770
وانت وانت وانت وانت 

111
00:11:02,630 --> 00:11:07,710
اللي هو subset من مين؟ من ال phi inverse of g

112
00:11:07,710 --> 00:11:12,990
prime وهذه العلاقة رقم اتنين يبقى باجي بقول from

113
00:11:12,990 --> 00:11:23,810
واحد and اتنين we have إن ال phi inverse of g

114
00:11:23,810 --> 00:11:28,510
prime بده يساوي g في ال kernel للـphi

115
00:11:34,710 --> 00:11:38,890
نعطيك مثال توضيح على ذلك لأن هي خلصت النظرية

116
00:11:38,890 --> 00:11:44,870
example بقول

117
00:11:44,870 --> 00:11:49,610
suppose that

118
00:11:49,610 --> 00:12:01,130
افترض أن phi من z ثلاثين إلى z ثلاثين A

119
00:12:01,130 --> 00:12:07,730
homomorphism suppose that phi is a homomorphism

120
00:12:07,730 --> 00:12:12,510
and ال kernel

121
00:12:12,510 --> 00:12:22,390
للفاي هي العناصر zero و عشرة و عشرين بيقول ل f إذا

122
00:12:22,390 --> 00:12:30,290
كان ال phi ل 23 هي عبارة عن 9 السؤال هو

123
00:12:30,290 --> 00:12:33,990
determine

124
00:12:33,990 --> 00:12:38,510
all

125
00:12:41,760 --> 00:12:51,300
elements that map maps to تسعة كل ال elements اللي 

126
00:12:51,300 --> 00:13:02,040
هم maps to تسعة السؤال

127
00:13:02,040 --> 00:13:06,480
مرة تانية فيها النفاي من Z 30 ل Z 30

128
00:13:06,480 --> 00:13:10,870
homomorphism وهذا حسبنا له كيرن اللي جينا كيرنه

129
00:13:10,870 --> 00:13:16,190
zero وعشرة وعشرين هذه معلومة وزيادة على ذلك five

130
00:13:16,190 --> 00:13:20,590
of تلاتة وعشرين يساوي تسعة قال لي هاتلي كل ال

131
00:13:20,590 --> 00:13:25,250
elements اللي maps to تسعة يعني بدي كل العناصر

132
00:13:25,250 --> 00:13:29,810
اللي في زد تلاتين واللي صارتهم بتكون مان تسعة يعني

133
00:13:29,810 --> 00:13:33,750
مش ع جد تلاتة وعشرين يبقى باقي ال elements اللي

134
00:13:33,750 --> 00:13:39,990
وصرتهم بتكون تسعة تطلعلي في النقطة الأخيرة رقم ستة

135
00:13:39,990 --> 00:13:45,270
وخليها في دماغك أنا عندي في of G يساوي G prime كأنه

136
00:13:45,270 --> 00:13:50,030
G هذه main تلاتة وعشرين وال G prime هي main التسعة

137
00:13:50,030 --> 00:13:55,510
يبقى ال في inverse of G prime بده يساوي ال G في ال

138
00:13:55,510 --> 00:14:00,750
kernel للفي يبقى بناء عليه أنا عندي فاي of تلاتة

139
00:14:00,750 --> 00:14:07,250
وعشرين يساوي تسعة شو رايك آخذ معكوس الفاي للطرفين

140
00:14:07,250 --> 00:14:14,370
يبقى ايش بصير عندي بصير الفاي inverse of تسعة بده

141
00:14:14,370 --> 00:14:18,930
يساوي ال element اللي عندنا اللي هو تلاتة وعشرين

142
00:14:18,930 --> 00:14:27,530
في ال kernel للفايتمام؟ لكن لما كانت العملية عملية

143
00:14:27,530 --> 00:14:31,890
جامعة إذا ما بكتبش تلاتة وعشرين مضروبة في ال

144
00:14:31,890 --> 00:14:37,990
kernel وإنما بكتب تلاتة وعشرين زائد ال kernel لمن؟

145
00:14:37,990 --> 00:14:44,890
لل في يبقى هذا الكلام بدرساوي تلاتة وعشرين زائد ال

146
00:14:44,890 --> 00:14:53,110
kernel لل في هي موجود فوق يبقى zero وعشرة وعشرين مش

147
00:14:53,110 --> 00:14:57,070
تروح تقول هنا فاينفرس وتسعة الفاينفرس وتضرع

148
00:14:57,070 --> 00:14:57,650
الفاينفرس وتضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

149
00:14:57,650 --> 00:14:57,950
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

150
00:14:57,950 --> 00:14:58,630
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

151
00:14:58,630 --> 00:14:59,010
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

152
00:14:59,010 --> 00:15:01,730
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

153
00:15:01,730 --> 00:15:07,210
الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع الفاينفرس تضرع

154
00:15:07,210 --> 00:15:14,830
الفاينفرس تضرع الفاينفرس

155
00:15:14,830 --> 00:15:18,880
تفي المثل لأن ال operation عملية جمع هذا الكلام

156
00:15:18,880 --> 00:15:22,460
بده يساوي بده يجمع كل عنصر مع نظيره يبقى هذا

157
00:15:22,460 --> 00:15:27,460
تلاتة وعشرين تلاتة وعشرين وعشرة تلاتة وتلاتين في

158
00:15:27,460 --> 00:15:32,980
زد تلاتين بيطلع تلاتة وتلاتين واربعين في زي التلاتين

159
00:15:32,980 --> 00:15:37,340
بيطلع تلاتاش بيطلع تلاتاش إذا العناصر لو صرتهم

160
00:15:37,340 --> 00:15:42,140
تسعة هي تلاتة وعشرين وهي معطاة وكذلك في of تلاتة

161
00:15:42,140 --> 00:15:46,160
وفي of تلاتاش هي اللي بتساويهم هي اللي بتساوي تسعة

162
00:15:46,160 --> 00:15:52,240
يبقى دير بالك من هذه النقطة ننتقل الآن إلى النظرية

163
00:15:52,240 --> 00:15:56,480
التالية يبقى بالداجي ل theorem

164
00:15:59,090 --> 00:16:07,770
هذه نظرية بتتحدث عن properties of

165
00:16:07,770 --> 00:16:15,270
subgroups under

166
00:16:15,270 --> 00:16:18,470
homomorphism

167
00:16:27,200 --> 00:16:36,600
تنص على مياتي لت الفاي ب homomorphism

168
00:16:36,600 --> 00:16:47,240
from a group g to a group g bar

169
00:17:02,150 --> 00:17:10,650
النقطة الأولى فاي اف اتش كابتل اتش اللي هي كل

170
00:17:10,650 --> 00:17:19,080
العناصر في اف اتش بحيث الاتش موجودة في الاتش is a

171
00:17:19,080 --> 00:17:24,240
subgroup من الـ G bar يبقى هذه ال subgroup من ال G

172
00:17:24,240 --> 00:17:34,120
bar النقطة الثانية لو كانت ال H Cyclic F ال H is

173
00:17:34,120 --> 00:17:43,340
Cyclic لو كانت ال H Cyclic then Phi of H صورتها is

174
00:17:43,340 --> 00:17:56,420
Cyclic النقطة التالتة لو كانت ال h is abelian then

175
00:17:56,420 --> 00:18:04,740
لو five of h is abelian five of h is abelian

176
00:18:04,740 --> 00:18:14,120
النقطة الرابعة لو كانت الـ H is a normal subgroup

177
00:18:14,120 --> 00:18:25,200
من G then Phi of H is a normal subgroup من Phi of

178
00:18:25,200 --> 00:18:28,620
G النقطة

179
00:18:28,620 --> 00:18:42,540
الخامسة إذا كانت أعضاء كيرنال فيا هي نة ثم فيا ثم

180
00:18:42,540 --> 00:18:56,080
فيا هي نة إلى واحدة نة إلى واحدة مابينج من

181
00:18:58,300 --> 00:19:10,500
from g to phi of g النقطة

182
00:19:10,500 --> 00:19:22,480
السادسة بيقول if ال order لل H كان يساوي N then ال

183
00:19:22,480 --> 00:19:27,420
order لل phi of H بده يقسم

184
00:19:29,960 --> 00:19:33,980
الـ N النقطة

185
00:19:33,980 --> 00:19:46,000
السابعة بيقول لي if ال K bar if ال K bar is a

186
00:19:46,000 --> 00:19:55,620
subgroup من ال G bar then الـ Phi inverse of الـ K

187
00:19:55,620 --> 00:20:05,940
bar اللي هو كل ال K اللي موجودة في G such that Phi

188
00:20:05,940 --> 00:20:16,410
of K Phi of K موجودة في ال K bar ما لها هذه is a

189
00:20:16,410 --> 00:20:28,390
subgroup of G يبقى هذه is a subgroup of G النقطة

190
00:20:28,390 --> 00:20:35,370
الثامنة بقول لو كان ال K bar is a normal subgroup

191
00:20:35,370 --> 00:20:43,010
if ال K bar is a normal subgroup من ال G bar then

192
00:20:45,860 --> 00:20:54,920
then الـ Phi inverse of K bar هذه

193
00:20:54,920 --> 00:21:04,360
كل العناصر K اللي موجودة في G بحيث ان Phi of K

194
00:21:04,360 --> 00:21:07,620
موجود في K bar

195
00:21:24,440 --> 00:21:31,720
النقطة التاسعة والأخيرة بقول لو كانت الفاي is onto

196
00:21:31,720 --> 00:21:39,240
f الفاي is onto لو كانت الـphi صندوق الـ and

197
00:21:39,240 --> 00:21:42,260
الكيرنل

198
00:21:42,260 --> 00:21:49,120
للـphi بده يساوي الـ identity element تبع الـG

199
00:22:03,460 --> 00:22:14,140
من اين الى اين من جيه لجيه بار من جيه

200
00:22:14,140 --> 00:22:16,980
لجيه بار

201
00:22:41,150 --> 00:22:48,850
Nigel will prove the

202
00:22:48,850 --> 00:23:02,990
parts الواحد واتنين and تلاتة are identical

203
00:23:02,990 --> 00:23:05,510
to

204
00:23:07,260 --> 00:23:17,740
are identical to the probes of أربعة

205
00:23:17,740 --> 00:23:27,640
واتنين and واحد of

206
00:23:27,640 --> 00:23:40,060
theorem of theorem ستة تلاتة بصفحات

207
00:23:40,060 --> 00:23:44,540
مية وسبعة وعشرين respectively

208
00:24:12,850 --> 00:24:16,630
نرجع ثاني للنظرية اللي احنا كاتبينها نحاول نقرأها

209
00:24:16,630 --> 00:24:21,250
كمان مرة نتفهم كل ما فيها بعد هيك بنروح إلى

210
00:24:21,250 --> 00:24:26,610
البرهان المرة اللي فاتت النظرية اللي فاتت كانت

211
00:24:26,610 --> 00:24:29,610
بيشتغل على ال elements homomorphism على ال

212
00:24:29,610 --> 00:24:34,010
elements هنا ال subgroups under ال homomorphism

213
00:24:34,010 --> 00:24:36,970
يجيب جال ال homomorphism يشتغل عالميا على ال

214
00:24:36,970 --> 00:24:41,500
subgroups وليس على ال elements مقول لو كانت فاي من

215
00:24:41,500 --> 00:24:46,180
جي إلى جي بار هي hemomorphism وكانت ال H subgroup

216
00:24:46,180 --> 00:24:52,620
من جي then فاي of H، H هذه sub set من مين أو

217
00:24:52,620 --> 00:24:56,260
subgroup من جي إذا صورتها إذا كنت أريد أن تكون

218
00:24:56,260 --> 00:25:02,380
موجودة في جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في

219
00:25:02,380 --> 00:25:06,980
جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في جي بار في

220
00:25:06,980 --> 00:25:13,870
جي بار من الجيل المقابل يبقى ال subgroup صورتها

221
00:25:13,870 --> 00:25:18,130
subgroup أخرى تحت تأثير ال homomorphism الناحية

222
00:25:18,130 --> 00:25:22,650
الثانية لو كانت هذه ال subgroup cyclic يبقى صورتها

223
00:25:22,650 --> 00:25:27,570
كمان cyclic يعني ليست فقط subgroup و كذلك cycle

224
00:25:27,570 --> 00:25:32,530
group طب لو كانت ال H abelian يبقى صورتها كذلك ما

225
00:25:32,530 --> 00:25:37,520
لها abelian group هذول واحد واتنين وتلاتة برهنهم

226
00:25:37,520 --> 00:25:43,680
قبل هيك في النظرية اللي في صفحة 127 نظرية 6 3 لذلك

227
00:25:43,680 --> 00:25:48,000
النقطة الأولى مكافئة هي نفس النقطة 4 في النظرية

228
00:25:48,000 --> 00:25:53,670
النقطة 2 هي 2 النقطة 3 هي نقطة 1 لو رجعنا لهذه

229
00:25:53,670 --> 00:25:57,530
النظرية في صحفة 127 من الكتاب نجد التلاتة اللي

230
00:25:57,530 --> 00:26:01,410
عندنا هذا نجي للربع الرابع بيقول لو كانت ال H

231
00:26:01,410 --> 00:26:06,990
normal subgroup يجي صورتها normal في صورة ال G

232
00:26:06,990 --> 00:26:12,810
كلها لأن ال Phi of G ليس بالضرورة أن تغطي كل

233
00:26:12,810 --> 00:26:17,730
عناصر G برشوية منهم وممكن تغطيهم كلهم سيان سواء

234
00:26:17,730 --> 00:26:21,840
كان لكن احنا in general بيقول لأ طيب يبقى لو كانت

235
00:26:21,840 --> 00:26:27,620
هذه normal صورتها normal في صورة G طب لو كان ال

236
00:26:27,620 --> 00:26:33,200
kernel في N من العناصر ال order له يساوي N يبقى ال

237
00:26:33,200 --> 00:26:35,300
N هدول بدهم يروحوا لوين؟

238
00:26:37,710 --> 00:26:42,050
لوين؟ للـ identity ممتاز جدا يبقى آثار ال

239
00:26:42,050 --> 00:26:47,010
homomorphism N to 1 التلاتة أو الأربعة أو العشرة

240
00:26:47,010 --> 00:26:50,490
راحوا العنصر واحد يبقى بقول عشرة to one مش one to

241
00:26:50,490 --> 00:26:54,950
one بقول الأربعة to one أو الخمسة to one أو الستة

242
00:26:54,950 --> 00:26:59,950
جدما يكون ال order one to one mapping من ال G on

243
00:26:59,950 --> 00:27:04,840
two انتوا هادي دي بالك مش هنقول انتوا انه وخلاص

244
00:27:04,840 --> 00:27:09,280
وننسى لابد تغطي جميع عناصر five of G وهذا اللي

245
00:27:09,280 --> 00:27:12,540
مطلوب مش روح نبره ان هدى وننسى هدى لأ لأ لأ هدول

246
00:27:12,540 --> 00:27:18,020
نقطتين وليست نقطة واحدة السادسة لو كان ال order ل

247
00:27:18,020 --> 00:27:23,620
in بده يساوي ال H يبقى ال order للصورة بده يقسم ال

248
00:27:23,620 --> 00:27:28,640
order تبع من؟ تبع ال H أظن حلينا مثال شبيه بوا قبل

249
00:27:28,640 --> 00:27:36,540
شوية الآن لو كانت كيابار subgroup من جيبار يبقى

250
00:27:36,540 --> 00:27:40,780
صورتها subgroup ولو كانت هذه ال subgroup normal 

251
00:27:40,780 --> 00:27:46,400
يبقى صورتها normal اتنين هذول بنقدر ندمجهم بـ band

252
00:27:46,400 --> 00:27:47,060
واحد

253
00:28:06,500 --> 00:28:12,150
النقطة الأخيرة لو كانت Phi is onto والـ Kernel

254
00:28:12,150 --> 00:28:15,930
مافيش فيه إلا الـ Identity Element يبقى الـ Phi

255
00:28:15,930 --> 00:28:20,970
عبارة عن إيش؟ Isomorphism طب هي أعطاني Phi أنتم

256
00:28:20,970 --> 00:28:25,710
و أعطاني هنا Phi همومورفزم بقى عليه باسمين يعني لو

257
00:28:25,710 --> 00:28:29,470
أثبتت أن Phi one to one بيكون خلصنا من الموضوع

258
00:28:29,470 --> 00:28:33,910
بيكون خلاص انتهينا منه يبقى بس مطلوب أثبت أن Phi

259
00:28:33,910 --> 00:28:38,240
one to one طيب نيجي للبرهان يبقى أول ثلاث نقاط

260
00:28:38,240 --> 00:28:42,260
تفاجئنا عليهم نيجي للرابعة الرابعة H Normal بدي أثبت

261
00:28:42,260 --> 00:28:46,760
أن الـ Phi of H هذي إيه اللي همالها normal

262
00:28:46,760 --> 00:28:51,700
subgroup من main من الـ Phi of G لذلك بدي أروح

263
00:28:51,700 --> 00:28:57,080
أخدلي element في H و أخد element من G و أشوف لوين

264
00:28:57,080 --> 00:29:03,160
بده يوصل هالدنيا هذه يبقى باجي بقوله هنا لو أخدنا

265
00:29:03,160 --> 00:29:15,050
الـ G موجود في G و أخدنا الـ H موجود في H then إيش

266
00:29:15,050 --> 00:29:18,710
شرايك في الـ GHG inverse؟

267
00:29:22,660 --> 00:29:29,260
بينتمي لمين؟ أيوة يبقى هذا belongs to H السبب

268
00:29:29,260 --> 00:29:35,860
because أن الـ H is a normal subgroup من G طب احنا

269
00:29:35,860 --> 00:29:40,260
لما نتكلم على Phiات يبقى نبدأ ناخد الـ Phiات هنا يبقى

270
00:29:40,260 --> 00:29:47,560
لو روحت أخدت الـ phi of GHG inverse هيكون موجود في

271
00:29:47,560 --> 00:29:55,310
الـ phi of H طب الـ Phi homomorphism يبقى بدي أفك

272
00:29:55,310 --> 00:30:04,710
هدول يبقاش بصير أن ها Phi of G Phi of H Phi of G

273
00:30:04,710 --> 00:30:14,450
inverse هذا موجود في مين؟ في الـ Phi of H طيب، ألسا

274
00:30:14,450 --> 00:30:23,910
هذا Phi of G Phi of H Phi of G لكل Inverse موجود

275
00:30:23,910 --> 00:30:30,950
في Phi of H تعالوا نشوف تعالوا نشوف هذا وين موجود يا

276
00:30:30,950 --> 00:30:37,790
شباب؟ في الـ Phi of G يبقى هذا belongs to Phi of G

277
00:30:37,790 --> 00:30:46,670
طيب هذا Phi of H belongs to Phi of H هذا بـ belongs

278
00:30:46,670 --> 00:30:54,540
to Phi of G صح؟ طيب ممتاز جدا يبقى الآن أنا هاي

279
00:30:54,540 --> 00:30:59,000
اللي بدفتها الـ normality يبقى أخدت element من هنا

280
00:30:59,000 --> 00:31:03,220
و element من هنا ضربت الـ element من هنا في الـ

281
00:31:03,220 --> 00:31:07,180
element من هنا في معكوس هذا الـ element لجته موجود

282
00:31:07,180 --> 00:31:12,760
في Phi H يبقى إيش تفتيرك لهذا الكلام أن Phi H is

283
00:31:12,760 --> 00:31:18,830
normal يبقى هذا بده يعطينا الـ Phi of H is a normal

284
00:31:18,830 --> 00:31:24,670
subgroup من من الـ Phi of G طبعا رب واحد فيكم قاعد

285
00:31:24,670 --> 00:31:28,910
بيفكر هيك و قال لي طب استنى شوية أنت جبت نص البرهان

286
00:31:28,910 --> 00:31:32,890
و أين النص الثاني بقوله إيش النص الثاني قال لي الـ

287
00:31:32,890 --> 00:31:36,070
Phi of H is a subgroup بقوله اه ما هي هو عندك رقم

288
00:31:36,070 --> 00:31:40,110
واحد هذا مطلوب، هيبقى باعتباره مثبت، هيبقى مثبت

289
00:31:40,110 --> 00:31:45,790
معاك وإن لم يكن مثبتًا، لأثبتناه أولًا، ثم أثبتنا

290
00:31:45,790 --> 00:31:50,430
مين؟ الـ Normality يبقى هي الكلام صحيح، هذا النقطة

291
00:31:50,430 --> 00:31:55,370
أربعة بدنا نروح للنقطة رقم خمسة النقطة رقم خمسة

292
00:31:55,370 --> 00:31:58,770
بتقول لي لو كان assume

293
00:32:23,000 --> 00:32:24,960
إذا أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت

294
00:32:24,960 --> 00:32:25,500
أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن

295
00:32:25,500 --> 00:32:25,840
أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن أردت أن

296
00:32:25,840 --> 00:32:30,720
أردت أن أردت أن الـ Kernel لـ Phi يجب أن يساوي،

297
00:32:30,720 --> 00:32:34,320
يجب أن أضع فيه N من العناصر، أظن أن الـ Identity

298
00:32:34,320 --> 00:32:41,520
تبع الـ G منهم يبقى G منهم، ويجب أن أقول G1 و G2

299
00:32:41,520 --> 00:32:43,280
ويبقى مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة

300
00:32:43,280 --> 00:32:43,920
مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة

301
00:32:43,920 --> 00:32:48,960
مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة

302
00:32:48,960 --> 00:32:49,280
مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة

303
00:32:49,280 --> 00:32:49,320
مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة مازالة

304
00:32:49,320 --> 00:32:53,270
مازالة مازالة مازالة مازاليبقى let الكلام then هذا

305
00:32:53,270 --> 00:32:59,450
إيش معناه؟ معناه أن الـ Phi of الـ identity element

306
00:32:59,450 --> 00:33:03,510
تبع الـ G بده يساوي الـ identity element تبع الـ G

307
00:33:03,510 --> 00:33:09,430
bar والـ Phi of G1 بده يساوي الـ identity element

308
00:33:09,430 --> 00:33:15,110
تبع الـ G bar والـ Phi of G2 بده يساوي الـ identity

309
00:33:15,110 --> 00:33:20,820
element تبع الـ G bar والـ Phi of G N minus الـ one

310
00:33:20,820 --> 00:33:26,600
بده يساوي الـ identity تبع الـ G bar يبقى أنا صار

311
00:33:26,600 --> 00:33:30,980
عندي N من العناصر لهم صورة واحدة يبقى الـ Phi is

312
00:33:30,980 --> 00:33:41,960
into one يبقى هذا this means that أن الـ Phi is

313
00:33:41,960 --> 00:33:45,440
into one

314
00:33:52,040 --> 00:34:02,440
يبقى هايات مثلا من G لـ G من from G to G bar ولم

315
00:34:02,440 --> 00:34:09,970
أقول unto G bar يبقى دي قصة الـ onto هذه بدها

316
00:34:09,970 --> 00:34:15,270
إثبات يبقى بدأ أروح أخد element في Phi of G و

317
00:34:15,270 --> 00:34:24,870
أثبت أنه له أصل وين في G طيب كويس اه مش بدنا نثبت

318
00:34:24,870 --> 00:34:30,760
أنها onto لـ G bar لأ في of G هي من عناصر G bar

319
00:34:30,760 --> 00:34:35,380
جزء منها لكن هل تسويها أو لا تسويها قد يكون و قد

320
00:34:35,380 --> 00:34:41,120
لا يكون يعني يا شباب لو اتخيلنا أن هذه كلها هي G

321
00:34:41,120 --> 00:34:49,500
bar و أنا عندي Phi من الـ G من الـ G إلى الـ G bar يمكن

322
00:34:49,500 --> 00:34:57,460
هدول هذا كله يطلع هو Phi of G لكن هذا هنا مافيش ولا

323
00:34:57,460 --> 00:35:04,100
عنصر تمام يبقى جزء بقول لذلك أنا مركز على Phi of G

324
00:35:04,100 --> 00:35:10,160
on to Phi of G يعني كل element في هذه الـ set بدي

325
00:35:10,160 --> 00:35:15,580
أثبت أنه له أصل وين في G كويس لذلك مضاجي أقوله

326
00:35:15,580 --> 00:35:25,360
خدلي y الآن بدي أثبت له أن فاي is onto يبقى بداجة

327
00:35:25,360 --> 00:35:34,880
أقوله let مثلا y belongs to فاي of g فاي of كابتل

328
00:35:34,880 --> 00:35:44,120
G تمام؟ then الـ y هذه بدها تساوي فاي of g for some

329
00:35:44,120 --> 00:35:52,310
g اللي موجودة في G مصبوط هيك يبقى أنا أخدت element

330
00:35:52,310 --> 00:35:56,610
في الصورة و روحت أخدت element من هنا يبقى الـ five

331
00:35:56,610 --> 00:36:02,890
ده سواء five of g for some أيوة طيب أنا بدي إيش الـ

332
00:36:02,890 --> 00:36:07,490
element اللي أخدته في الـ five of g بدي أثبت أنه له

333
00:36:07,490 --> 00:36:13,810
أصل في g أو له أصول ممكن يكون أصول مش أصل ممكن يكون

334
00:36:13,810 --> 00:36:20,230
كتار أنتم أثبتنا أن أنتم يبقى أصول وليس أصل تمام

335
00:36:20,230 --> 00:36:29,110
يبقى الـ Phi inverse يبقى بناء على لو أخدت الـ Phi inverse

336
00:36:29,110 --> 00:36:35,230
of Y يبقى الـ Phi inverse of Y عشان بده يساوي G في الـ

337
00:36:35,230 --> 00:36:40,450
Kernel ها دي ربالك يبقى هذا بده يساوي الـ Phi

338
00:36:40,450 --> 00:36:46,970
inverse of Y بده يساوي الـ G في الـ Kernel لمين؟ في

339
00:36:46,970 --> 00:36:52,490
الـ Kernel للـ Phi معناه هذا الكلام أنه طبعا Phi

340
00:36:52,490 --> 00:36:57,850
inverse of Y مش عنصر واحد لو بدي أشتغل حرفي لو

341
00:36:57,850 --> 00:37:02,830
بقول عنصر واحد لكن هذه عناصر وبالتالي كثير من

342
00:37:02,830 --> 00:37:08,390
العناصر اللي هو الـ Y هذه قد يكون هو صورتها فبجي

343
00:37:08,390 --> 00:37:15,650
بقوله يبقى الـ order للـ Phi inverse of Y بده يساوي

344
00:37:15,650 --> 00:37:22,990
الـ order للـ G في الـ kernel للـ Phi. مظبوط ولا لا؟

345
00:37:22,990 --> 00:37:29,150
طب إيش العلاقة؟ الآن هذا ليس left coset G في

346
00:37:29,150 --> 00:37:33,350
الـ Kernel الـ Phi مش left coset صح ولا لا؟ طب إذا الـ

347
00:37:33,350 --> 00:37:37,990
order إيه اللي هيساوي الـ order لـ الـ subgroup نفسه

348
00:37:37,990 --> 00:37:43,090
يبقى هذا الكلام بدي يساوي الـ order للـ Kernel الـ Phi

349
00:37:43,090 --> 00:37:49,190
اللي هو جداش الـ N يعني معنى هذا الكلام إن الـ Y

350
00:37:49,190 --> 00:37:55,770
اللي عندي أخدت هذه لجتلها أصول عددهم N تمام يبقى

351
00:37:55,770 --> 00:38:04,900
on to يبقى this means that .. يبقى this means that

352
00:38:04,900 --> 00:38:08,240
أن

353
00:38:08,240 --> 00:38:16,600
الـ Phi maps in elements from

354
00:38:18,360 --> 00:38:26,080
G to Y اللي موجود وين في G bar أو موجود في Phi

355
00:38:26,080 --> 00:38:37,560
of G بالتحديد موجود في Phi of G so Phi is onto طيب،

356
00:38:37,560 --> 00:38:43,320
هذه النقطة إيه؟ النقطة الخامسة اللي خاطر مدام حلنا

357
00:38:43,320 --> 00:38:48,680
زيها يبقى النقطة السادسة هذه أقول لكم exercise طبعا

358
00:38:48,680 --> 00:38:52,780
مبرهنة في الكتاب، بس بعمل restriction على الـ Phi

359
00:38:52,780 --> 00:38:56,700
يعني بيخليهاش على إطلاقها، بس على عناصر إيش، يبقى

360
00:38:56,700 --> 00:39:02,300
يا ريت من الكتاب تروح تجرها وترتب أمورها الآن كي

361
00:39:02,300 --> 00:39:07,660
بار سابق روب من G bar يبقى Phi inverse of K بده

362
00:39:07,660 --> 00:39:12,780
أثبتها سابق روب من مين؟ من الـ G طيب مشان أثبتها

363
00:39:12,780 --> 00:39:18,600
السابق روب بده أثبته conditions يبقى بدي أروح لمين؟

364
00:39:18,600 --> 00:39:24,620
للنقطة السابعة مشان أروح للنقطة السابعة بدي أثبت

365
00:39:24,620 --> 00:39:31,160
هذه Phi inverse subgroup من مين؟ من الـ G هذا اللي

366
00:39:31,160 --> 00:39:35,460
عايزيني أثبته مشان هيك بدي أثبت له أن هذه non-empty

367
00:39:35,460 --> 00:39:39,000
و لو أخدت عنصرين منها بدي أثبت أن الأول في معكوس الثاني موجود فيها وبالتالي بيصير a subgroup

368
00:39:39,000 --> 00:39:43,020
وبالتالي بيصير a subgroup

369
00:39:45,060 --> 00:39:52,840
يبقى بضاجي أقول له assume أفترض أن الـ K bar هي

370
00:39:52,840 --> 00:40:01,600
عبارة عن subgroup من الـ G bar يبقى

371
00:40:01,600 --> 00:40:10,020
هذه subgroup من الـ G bar then الـ Phi inverse of K

372
00:40:10,020 --> 00:40:14,180
bar is non-empty

373
00:40:20,320 --> 00:40:25,200
الـ Phi of الـ Identity تبع الـ G بده يعطيني مين

374
00:40:25,200 --> 00:40:33,300
الـ Identity تبع من؟ تبع الـ G bar يعني إيش؟ هذا

375
00:40:33,300 --> 00:40:43,430
بده يعطيك أن الـ Phi Inverse of الـ Identity تبع 

376
00:40:43,430 --> 00:40:48,190
الـ G Bar بدي أسوي الـ Identity Element تبع الـ G

377
00:40:48,190 --> 00:40:55,030
مظبوط؟ يبقى معنا هذا الكلام إن الـ Identity تبع

378
00:40:55,030 --> 00:41:02,830
الـ G موجود في الـ Phi Inverse of الـ K Bar بعد

379
00:41:02,830 --> 00:41:10,120
هيك بتروح أخد two elements الـ X و الـ Y موجودة في

380
00:41:10,120 --> 00:41:18,780
الـ Phi inverse of الـ K bar معنى هذا الكلام أن

381
00:41:18,780 --> 00:41:28,520
الـ X بده يساوي Phi inverse of K1 مثلا و الـ Y بده 

382
00:41:28,520 --> 00:41:32,800
يساوي Phi inverse of K2

383
00:41:36,280 --> 00:41:42,310
كويس يبقى بدي أروح أخد الـ X Y inverse أشوف هل

384
00:41:42,310 --> 00:41:45,930
موجودة هنا ولا لأ إذا طلعت موجودة بيكون كفى الله

385
00:41:45,930 --> 00:41:53,370
المؤمنين يبقى بدي أروح أخد له الـ X Y inverse يبقى

386
00:41:53,370 --> 00:41:59,190
أو الـ Phi خلّي 

387
00:41:59,190 --> 00:42:03,610
أشوف الـ X Y inverse يبقى الـ X اللي عبارة عن Phi

388
00:42:03,610 --> 00:42:12,100
inverse of الكوانفي الـ Phi inverse of K2 لكل

389
00:42:12,100 --> 00:42:25,400
inverse يبقى هذا الكلام بده يساوي هذا

390
00:42:25,400 --> 00:42:31,900
الكلام بده يساوي Phi inverse of K1 في Phi inverse

391
00:42:31,900 --> 00:42:40,870
of K2 inverse هذا الكلام بده يساوي في انفرس of K1

392
00:42:40,870 --> 00:42:49,640
K2 انفرس هذا كله مين؟ اللي هو الـ X Y inverse هل

393
00:42:49,640 --> 00:43:00,080
هذا الآن موجود في الـ Phi inverse of K bar؟ ليش؟

394
00:43:00,080 --> 00:43:04,740
لأن هدول حاصل ضربهم موجود في K bar لأن أول ما جينا

395
00:43:04,740 --> 00:43:09,220
كنا K bar ما لها subgroup من G بقى closed under

396
00:43:09,220 --> 00:43:13,480
multiplication يبقى هذا موجود في الـPhi inverse of

397
00:43:13,480 --> 00:43:22,060
K bar يبقى بناء عليه الـPhi inverse of K bar is a 

398
00:43:22,060 --> 00:43:27,160
subgroup من جيه؟ من G وانتهينا منها بدنا نروح

399
00:43:27,160 --> 00:43:36,840
للنقطة اللي بعدها وهي خاصية ال normality أيوة عرف

400
00:43:36,840 --> 00:43:42,730
لو ماكنتش homomorphism أمرها ما بيصير كلامها ده

401
00:43:42,730 --> 00:43:51,470
صحيح وحسب

402
00:43:51,470 --> 00:43:55,670
التعريف اللي عندك حسب التعريف يعني عرفنا الـPhi

403
00:43:55,670 --> 00:44:00,210
Inverse وين عرفناه والله مسحنا.. مسحنا.. لا

404
00:44:00,210 --> 00:44:04,230
أيوة أيوة كل الـK اللي موجودة في جبهات الـPhi of K

405
00:44:04,230 --> 00:44:07,670
موجودة وين؟ في الـK bar أيوة

406
00:44:14,620 --> 00:44:30,300
تاني تاني سؤالك سطر التاني هنا لفوق اه اه

407
00:44:30,300 --> 00:44:37,200
هذا يا ابني أنا بقول يساوي ال identity تبع ال جي

408
00:44:37,200 --> 00:44:42,220
بار اثر على الطرفين بالفاي انفرس لا مانعثرنا بفعل

409
00:44:42,220 --> 00:44:46,900
مش هتاطنين ال identity يعني اللي هو .. هذا لو كنت

410
00:44:46,900 --> 00:44:51,000
أريد مورفزم، عنصر واحد. أنا بهمني العنصر، بدي أجيب

411
00:44:51,000 --> 00:44:55,000
عنصر، بديش أجيب كثير، بكفيني منك عنصر، هذا همشي أن

412
00:44:55,000 --> 00:45:02,260
أثبت أنها non-empty، تمام؟ طيب، أنا إلي وجهة نظر

413
00:45:02,260 --> 00:45:07,980
أخرى، إلي وجهة نظر أخرى في هذا الكلام، يعني لو

414
00:45:07,980 --> 00:45:12,820
بدنا نشك في هذا هل هو homomorphism ولا لا، بنقدر

415
00:45:12,820 --> 00:45:18,450
نقول الخطوة هذه استني شوية، الحين لو جيت هنا فاي of

416
00:45:18,450 --> 00:45:26,950
ال X Y inverse أليست هي فاي لفاي inverse of K1 K2

417
00:45:26,950 --> 00:45:35,530
inverse صح ولا لا أثر هنا بفاي و أثر هنا بفاي يبقى

418
00:45:35,530 --> 00:45:40,250
النتيجة

419
00:45:40,250 --> 00:45:47,640
K1 K2 Inverse اللي موجودة في الـK bar صح ولا لا

420
00:45:47,640 --> 00:45:55,440
يبقى صار عندك اللي هو ال X Y inverse موجودة ال X Y

421
00:45:55,440 --> 00:46:05,560
inverse بدها تساوي اللي بدها تساوي أو هذه مو ..

422
00:46:05,560 --> 00:46:11,190
استني شوية بدي ألغي هذه ألغيتها بمين أثرت عليها فهي

423
00:46:11,190 --> 00:46:16,070
أصبحت X Y inverse بدي أجيبها هنا يبقى بدها تساوي

424
00:46:16,070 --> 00:46:24,030
الـ Phi of الـ K واحد K اتنين inverse اللي هي هذه

425
00:46:24,030 --> 00:46:32,490
موجودة في المين في ال Phi of Phi of K وPhi of K

426
00:46:32,490 --> 00:46:43,590
Phi of K لأ احنا احنا خليك معايا احنا خليك .. هاي

427
00:46:43,590 --> 00:46:49,270
اللي وصلنا X Y inverse بده يساوي في انفرست ل K1 K2

428
00:46:49,270 --> 00:46:53,830
بده اثر هنا بفي و اثر هنا بفي هاي اثرنا بفي و

429
00:46:53,830 --> 00:46:59,390
اثرنا هنا بفي هذه هتلغي التانية بصير اللي هو X Y

430
00:46:59,390 --> 00:47:06,100
inverse بده يساوي في of K1 K2 inverse تمام؟ يبقى

431
00:47:06,100 --> 00:47:20,100
هذه موجودة في Phi of K و Phi of K لحظة

432
00:47:20,100 --> 00:47:25,880
شوية عندك اعتراض على هذه العبارة؟ الخطوة اللي بعدها

433
00:47:25,880 --> 00:47:31,680
تمام أنا جيت اثره بفاي على XY inverse طب هدى تساوي

434
00:47:31,680 --> 00:47:35,460
هدى مشينا لغاية هنا لو قلنا مش عارفين هي

435
00:47:35,460 --> 00:47:40,240
homomorphism ولا لأ يبقى كان صار كل الشغل هدى مش

436
00:47:40,240 --> 00:47:45,350
صحيح إذا هي homomorphism غصب على ما يرضى وإلا كان

437
00:47:45,350 --> 00:47:48,530
هذا الكلام .. لقد قلت ال inverse صح لكن مصير هذا

438
00:47:48,530 --> 00:47:52,910
الكلام صحيح ليس صحيحا إلا إذا كانت homomorphism

439
00:47:52,910 --> 00:48:00,130
تمام؟ على .. أيوة ال homomorphism مش ضروري يكون

440
00:48:00,130 --> 00:48:04,010
مدبن صحيح لما تجيب في انفص بطل افتران أصلا مصير

441
00:48:04,010 --> 00:48:08,490
الواحد اللي عند الصور مظبوط مش متبطل اختراع أصلا مش

442
00:48:08,490 --> 00:48:12,350
متبطل homomorphism متبطل اختراع معرف أصلا تصير

443
00:48:12,350 --> 00:48:15,470
الصورة العنصر اللي هو أكثر من الصورة فكيف أنت

444
00:48:15,470 --> 00:48:18,130
بتاخد اللي هو أكثر من الصورة العنصر اللي هو أكثر

445
00:48:18,130 --> 00:48:21,210
من الصورة احنا بنحكي homomorphism وليس function

446
00:48:21,210 --> 00:48:27,050
إذا قلنا function ماهو isomorphism function يعني

447
00:48:27,050 --> 00:48:30,230
مية المية بس ال homomorphism قد يكون و قد لا يكون

448
00:48:31,440 --> 00:48:36,400
أه قد يكون و قد لا يكون تمام طيب احنا هذه النقطة

449
00:48:36,400 --> 00:48:42,740
رقم قداش هي سبعة النقطة هذه رقم سبعة رقم سبعة

450
00:48:42,740 --> 00:48:50,600
ماشيين كله صح وهذه تمام واخدنا x y inverse و أثرنا

451
00:48:50,600 --> 00:48:55,180
عليها بفاية و طلع ك واحد كتنين اللي موجودة في ك

452
00:48:55,180 --> 00:49:01,270
مظبوط يبقى من هذا الكلام بنقدر نقول X Y inverse

453
00:49:01,270 --> 00:49:08,490
موجودة في الـ Phi في ال Phi of K صحيح يبقى بنقول

454
00:49:08,490 --> 00:49:16,550
هنا النقطة الأخيرة أن ال X Y inverse هذه موجودة في

455
00:49:16,550 --> 00:49:25,650
ال Phi inverse في ال Phi inverse في ال Phi inverse

456
00:49:25,650 --> 00:49:31,360
of K بار اللي فوق بالظبط تماما خلاص يبقى ليش يعيدها

457
00:49:31,360 --> 00:49:36,220
هذي كلها مالاش نزول هي ال X Y انفرست موجودة في

458
00:49:36,220 --> 00:49:40,840
الفاي انفرست هذا كله زيادة صوتنا هذه الخطوة زيادة

459
00:49:40,840 --> 00:49:45,660
تمام يبقى موجودة في الـ Phi inverse of K bar يبقى

460
00:49:45,660 --> 00:49:50,920
بناء اللي عليه Phi inverse of K bar is a subgroup

461
00:49:50,920 --> 00:49:59,100
يبقى هنا Phi inverse of K bar is a subgroup من

462
00:49:59,100 --> 00:50:05,840
مين؟ من ال G بدنا نيجي للنقطة الثامنة خلي بالك

463
00:50:05,840 --> 00:50:10,900
معايا النقطة الثامنة اللي جبناها هذه الـ subgroup

464
00:50:10,900 --> 00:50:16,160
من G بنا نثبت أنها normal بس بشرط أن ال K bar

465
00:50:16,160 --> 00:50:23,320
normal من G يبقى باجي بقوله assume افترض أن ال K

466
00:50:23,320 --> 00:50:30,840
bar is a normal subgroup من G bar بالدالي اثبت أن

467
00:50:30,840 --> 00:50:38,520
الفاي

468
00:50:38,520 --> 00:50:49,580
انفرس of K bar is a normal subgroup من من من ال G

469
00:50:50,950 --> 00:51:00,270
كويس لذلك بدروع أخد let الجي موجودة في جي and ال X

470
00:51:00,270 --> 00:51:11,210
موجود في الفاي انفرس of الكبار then الجي موجودة في

471
00:51:11,210 --> 00:51:20,950
الجي و الـ X هذه بدها تساوي في انفرس في انفرس of K

472
00:51:20,950 --> 00:51:29,760
على سبيل المثال يبقى هذا معناه أن جي موجود في جي

473
00:51:29,760 --> 00:51:37,360
and فاي of اكس فاي of اكس بده يساوي كم؟ بده يساوي

474
00:51:37,360 --> 00:51:44,700
كم طب لو أخدت الجي اكس جي انفرس مشان اثبات ال

475
00:51:44,700 --> 00:51:51,000
normality واخد تأثير الـ Phi عليها يبقى هذا الكلام

476
00:51:51,000 --> 00:51:59,700
بدل يساوي Phi of G Phi of X Phi of G inverse يبقى

477
00:51:59,700 --> 00:52:06,420
هذا الكلام بدل يساوي Phi of G Phi of X اللي هي

478
00:52:06,420 --> 00:52:12,400
main اللي هي اب K Phi of X اللي هي و ال K normal

479
00:52:12,400 --> 00:52:21,200
اللي هو K و الـ Phi هذه of G لكل inverse بالشكل اللي

480
00:52:21,200 --> 00:52:28,620
عندنا هنا تمام؟ الحين هذه موجودة في G وهذه موجودة

481
00:52:28,620 --> 00:52:36,240
في الـPhi inverse of K وهذه موجودة في G أخدنا

482
00:52:36,240 --> 00:52:41,720
تأثير الـPhi عليهم وطلع عندنا هذا الـElement وهذا

483
00:52:41,720 --> 00:52:49,100
وهذا الـK bar أنا جال عليها normal يبقى لو أخدت

484
00:52:49,100 --> 00:52:56,580
element من G bar هذا موجود في G bar وهذا موجود في

485
00:52:56,580 --> 00:53:04,000
جي بار وهذا موجود في الفاي انفرس هذا موجود في

486
00:53:04,000 --> 00:53:10,460
الفاي انفرس of K إذا هذا كله موجود في الفاي انفرس

487
00:53:10,460 --> 00:53:17,680
of K بار بالشكل اللي عندنا K بار يبقى بناء عليه

488
00:53:17,680 --> 00:53:21,500
الفاي

489
00:53:21,890 --> 00:53:30,270
إنفرست من K بار هو عضو عام من جيه