1
00:00:01,310 --> 00:00:03,830
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله والصلاة والسلام

2
00:00:03,830 --> 00:00:08,830
على رسول الله بنرحب فيكوا بناتنا العزيزات في هذا

3
00:00:08,830 --> 00:00:15,150
الفصل الثاني من سنة أولى ومع مادة التفاضل  بامأذن الله

4
00:00:15,150 --> 00:00:21,690
1401 طبعا المادة معانا أربع ساعات بالأسبوع والآن

5
00:00:21,690 --> 00:00:25,910
نبدأ بشابتر سبعة اللي هو بحكي عن ال Transcendental 

6
00:00:25,910 --> 00:00:30,130
Functions  وعرفنا إيش يعني Transcendental Function

7
00:00:30,130 --> 00:00:35,490
أخذناه في Calculus A اللي هو الاقترانات الغير 

8
00:00:35,490 --> 00:00:39,710
جبرية وأخذنا من هذه الأنواع ال functions نوع اللي

9
00:00:39,710 --> 00:00:44,890
هو ال trigonometric functions راح ناخذ section 7-1

10
00:00:44,890 --> 00:00:50,850
موضوع ال section section 7-1 

11
00:00:53,920 --> 00:00:58,400
اللي هو الـ Transcendental اللي هو بيحكي عن Inverse

12
00:00:58,400 --> 00:01:01,420
قبل ما ندخل بال Transcendental Function طبعا بنتعرف

13
00:01:01,420 --> 00:01:05,940
على ال Inverse Function والمشتقات تبع ال Inverse 

14
00:01:05,940 --> 00:01:09,940
Function الآن عشان نعرف ال Inverse Function لازم

15
00:01:09,940 --> 00:01:13,300
نعرف أول شيء نوع من ال function بنسميه one to one

16
00:01:13,300 --> 00:01:16,800
one to one function في عندنا ال function اسمها one

17
00:01:16,800 --> 00:01:20,180
to one function يعني واحد لواحد الآن إيش يعني one

18
00:01:20,180 --> 00:01:23,800
to one function بنقول ال function if F of X is one

19
00:01:23,800 --> 00:01:31,520
to one بعدد أو واحد لواحد on a domain D إذا كانت F

20
00:01:31,520 --> 00:01:35,480
of X واحد لا تساوي F of X اتنين whenever X

21
00:01:35,480 --> 00:01:38,980
واحد لا تساوي X اتنين يعني لو أخدنا أي عنصرين غير

22
00:01:38,980 --> 00:01:43,640
متساويين صورهم بتكون غير متساوية وبالتالي لأي

23
00:01:43,640 --> 00:01:48,540
عنصرين غير متساويين بيروحوا لصور غير متساوية يعني

24
00:01:48,540 --> 00:01:53,850
كل عنصر له صورة واحدة فقط ما فيش عنصرين بياخدوا نفس

25
00:01:53,850 --> 00:01:58,310
الصورة يعني إذا كان بعبارة أخرى نفس العبارة السابقة

26
00:01:58,310 --> 00:02:02,550
إذا كان f of x1 تساوي f of x2 يعني الصور متساوية

27
00:02:02,550 --> 00:02:07,490
لازم العناصر تكون متساوية then x1 يساوي x2 وهذا

28
00:02:07,490 --> 00:02:12,630
اللي أسهل باستخدامها بحل الأسئلة في حل الأسئلة

29
00:02:12,630 --> 00:02:16,830
يعني بأخذ f of x1 تساوي f of x2 وبثبت أن x1 يساوي

30
00:02:16,830 --> 00:02:22,480
x2 هذا إيش التعريف يعني كل عنصر له صورة واحدة فقط

31
00:02:22,480 --> 00:02:27,480
بالتالي بتكون ال function is one to one مثال f of

32
00:02:27,480 --> 00:02:30,280
x تساوي جذر ال x بدنا نثبت أن ال function هادي 

33
00:02:30,280 --> 00:02:32,880
one to one على ال domain تبعها اللي هو من صفر إلى

34
00:02:32,880 --> 00:02:40,020
ما لا نهاية لو أخدت عنصرين x1 و x2 هي فاصلة بنحطها

35
00:02:40,020 --> 00:02:44,660
x1 و x2 ب any two numbers in zero وما لا نهاية

36
00:02:44,660 --> 00:02:50,790
في ال domain وأخذنا f of x1 يساوي f of x2 بدنا نثبت 

37
00:02:50,790 --> 00:02:55,090
أن f of x1 يساوي f of x2 أول شيء بنأخذ بنعوض f of x1

38
00:02:55,090 --> 00:02:59,090
بنروح بنعوض هنا جذر الـ x1 f of x2 بنعوض بدل الـ

39
00:02:59,090 --> 00:03:03,050
x، x2 بتصبح جذر الـ x2 الآن بدنا نعمل عادي عملية

40
00:03:03,050 --> 00:03:06,590
جبرية بحيث إنه نتوصل أن f of x1 يساوي f of x2

41
00:03:06,590 --> 00:03:10,430
العملية الجبرية هي بتربيع الطرفين تربيع الطرفين

42
00:03:10,430 --> 00:03:14,650
بنحصل على أن x1 يساوي x2 وبالتالي f is

43
00:03:14,650 --> 00:03:21,400
one to one على الـ domain طبعا مثال آخر show that f 

44
00:03:21,400 --> 00:03:24,600
of x تساوي 1 ناقص 1 على x is one to one 

45
00:03:24,600 --> 00:03:29,620
function هنا كتبنا one to one بالأرقام طبعا هذه

46
00:03:29,620 --> 00:03:32,560
one to one بكل الأعداد الحقيقية مع عدد صفر

47
00:03:32,560 --> 00:03:36,340
domainها يعني domainها لو أخذنا x واحد و x اتنين ب

48
00:03:36,340 --> 00:03:41,510
any two numbers in R R ناقص صفر مع عدد صفر طبعا أو

49
00:03:41,510 --> 00:03:45,530
أخذنا f of x1 لا تساوي f .. عفوا .. f of x1 تساوي

50
00:03:45,530 --> 00:03:51,410
f of x2 صورتين متساويتين بنعوض f of x1 1 ناقص

51
00:03:51,410 --> 00:03:56,070
1 على x1 f of x2 1 ناقص 1 على x2 وبنحل

52
00:03:56,070 --> 00:04:01,270
المعادلة هذه وبدنا نشوف هل بنوصل x1 تساوي x2 الآن

53
00:04:01,270 --> 00:04:04,690
1 بتروح مع 1 بضل ناقص 1 على x1 يساوي ناقص

54
00:04:04,690 --> 00:04:08,530
1 على x2 بنضرب في ناقص نتوصل أن 1 على x1

55
00:04:08,530 --> 00:04:14,140
يساوي 1 على x2 بنقلب الطرفين بنوصل أن x1 يساوي 

56
00:04:14,140 --> 00:04:15,180
x2

57
00:04:19,600 --> 00:04:23,300
في المثالين لاحظنا إنه لو أخدت صورتين متساويتين

58
00:04:23,300 --> 00:04:28,200
بتطلع العناصر متساوية ولازم آخذ صورتين عشوائيين

59
00:04:28,200 --> 00:04:34,880
يعني ما بصيرش أروح ماخدة let f of x1 == x2 آخذ 

60
00:04:34,880 --> 00:04:40,980
رقمين x1 و x2 لأ لازم x1 و x2 ب any two numbers في

61
00:04:40,980 --> 00:04:46,130
الـ domain show that f of x show whether f of x هو sin

62
00:04:46,130 --> 00:04:49,870
x و x من 0 إلى π is one to one هنا أشوف هل ال sin

63
00:04:49,870 --> 00:04:53,390
في الربع الأول والثاني one to one ولا لأ طبعا احنا

64
00:04:53,390 --> 00:04:57,830
من معرفتنا لل sin بنعرف أن sin لأي زاوية

65
00:04:57,830 --> 00:05:02,250
بالربع الأول هي نفسها ال sin للزاوية مكملتها

66
00:05:02,250 --> 00:05:05,830
بالربع الثاني يعني لو جيبنا أي زاوية بالربع الأول

67
00:05:06,190 --> 00:05:09,610
يعني π على 4 مكملتها بالربع الثاني 3π على

68
00:05:09,610 --> 00:05:13,530
4 قيمة ال sin لهم لهذول الزاويتين متساويتين

69
00:05:13,530 --> 00:05:17,990
إذا في حالة ما بدي أشوف أن ال function is not one

70
00:05:17,990 --> 00:05:21,330
to one يعني بمجرد أني أطلع عليها بعرف أن ال

71
00:05:21,330 --> 00:05:24,230
function is not one to one فكيف بدي أثبتها؟ بدي

72
00:05:24,230 --> 00:05:27,450
أجيب بمثال يبقى إثبات ال function العكس أنها not

73
00:05:27,450 --> 00:05:31,410
one to one يكفي أني أجيب مثال لكن إذا كنت أثبت أن

74
00:05:31,410 --> 00:05:36,000
ال function is one to one بنعرفش إلا غير بالتعريف

75
00:05:36,000 --> 00:05:42,080
لأي يعني لأي عنصرين x1 و x2 عشوائية يبقى في هذه

76
00:05:42,080 --> 00:05:45,340
الحالة it is enough here to give an example يبقى

77
00:05:45,340 --> 00:05:48,500
في حالة أني بدي أثبت بدي أشوفها هي أو أنا عرفت

78
00:05:48,500 --> 00:05:52,580
أنها هي one not one to one لكن بس بدي أثبته يكفي

79
00:05:52,580 --> 00:05:56,240
أني أجيب مثال فبقولنا أي زاوية مكملتها هم غير

80
00:05:56,240 --> 00:06:00,420
متساويتين لكن ال sin لهم متساوي لهذول الزاويتين

81
00:06:00,420 --> 00:06:03,620
اللي يساوي 1 على جذر 2 وبالتالي ال F is not

82
00:06:03,620 --> 00:06:08,680
one to one مثلا مثال آخر show whether f of x تساوي 

83
00:06:08,680 --> 00:06:12,360
3 ناقص 2 x تربيع نشوف هل هي one to one ولا 

84
00:06:12,360 --> 00:06:16,060
لأ؟ طبعا بمجرد النظر بنلاحظ أن فيها x

85
00:06:16,060 --> 00:06:20,520
تربيع إذا عوضت بعدد سالب أو عوضت بعدد موجب بيطلعوا

86
00:06:20,520 --> 00:06:26,300
زي بعض، إذا ممكن أجيب عناصر كثيرة وما ينطبقش عليها

87
00:06:26,300 --> 00:06:29,060
ال definition يبقى برضه في هذه الحالة يكفي أن أنا 

88
00:06:29,060 --> 00:06:33,100
أجيب مثال وأي مثال ممكن نجيبه مثلا ناقص 1 لا

89
00:06:33,100 --> 00:06:36,780
تساوي 1 لكن f of سالب 1 تساوي 1 اللي هي

90
00:06:36,780 --> 00:06:41,060
نفسها f of 1 بالتعويض هنا لأنها صورة الـ 1

91
00:06:41,060 --> 00:06:44,940
وصورة الـ سالب 1 زي بعض إذا ال function f is

92
00:06:44,940 --> 00:06:51,180
not one to one طيب هذه طريقة إذا هذه التعريف نثبت

93
00:06:51,180 --> 00:06:53,220
أن ال function one to one أو not one to one 

94
00:06:53,220 --> 00:06:58,070
باستخدام التعريف طب في هنا طريقة ثانية لإثبات أنها

95
00:06:58,070 --> 00:07:01,370
ليست one-to-one أو one-to-one اللي بيسموها 

96
00:07:01,370 --> 00:07:06,230
الـ horizontal line test اللي هو اختبار الخط الأفقي 

97
00:07:06,230 --> 00:07:09,890
for one-to-one functions لو أخذنا أي function f of

98
00:07:09,890 --> 00:07:13,630
x بتكون one-to-one if and only if يعني إذا وإذا

99
00:07:13,630 --> 00:07:17,730
فقط the graph its graph يعني اللي هو رسمته 

100
00:07:17,730 --> 00:07:23,820
intersects each horizontal line at most once رسم

101
00:07:23,820 --> 00:07:28,580
المنحنى تبع الـ function بيقطع الـ horizontal line 

102
00:07:28,580 --> 00:07:32,920
بالكثير بنقطة واحدة يعني طبعا هذه الطريقة تستخدم 

103
00:07:32,920 --> 00:07:36,340
لل functions فقط اللي احنا نعرف نرسمها أما 

104
00:07:36,340 --> 00:07:38,880
function أنا ما أعرفش أرسمها ما نستخدمش هذه الطريقة

105
00:07:38,880 --> 00:07:41,760
يعني ال x تكعيب مثلا نعرف نرسمها نروح رسمين

106
00:07:41,760 --> 00:07:47,160
function x تكعيب لأن أي خط أفقي لو رسمنا خطوط أفقية

107
00:07:47,160 --> 00:07:50,780
كثيرة لهذه ال function كل الخطوط الأفقية تقطع الـ

108
00:07:50,780 --> 00:07:54,060
function بنقطة واحدة فقط وبالتالي على طول بقول الـ

109
00:07:54,060 --> 00:07:58,020
function هذي is one to one مثلا مثال آخر الـ

110
00:07:58,020 --> 00:08:01,420
function جذر ال x بنعرف نرسمها بنروح رسمين جذر ال

111
00:08:01,420 --> 00:08:06,680
x لو أجيت رسمت أي خط أفقي أي خط أفقي بلاقي بيقطع

112
00:08:06,680 --> 00:08:10,860
ال function بنقطة واحدة فقط فبهذه الحالة بنقول أن

113
00:08:10,860 --> 00:08:17,310
ال function هذي is one to one نجي للـ function x

114
00:08:17,310 --> 00:08:20,830
تربيع الـ function x تربيع اللي هي رسمتها لو أجيت

115
00:08:20,830 --> 00:08:24,610
لخط أفقي بنلاقي أن الـ function بترفق قطعها

116
00:08:24,610 --> 00:08:28,650
بنقطتين طبعا هنا أي خط أفقي ما عدا هذا ما عدا الـ x

117
00:08:28,650 --> 00:08:31,650
أكس يقطع بنقطة واحدة طبعا لو أبدا تكون الـ

118
00:08:31,650 --> 00:08:35,370
function is not one to one يكفي خط واحد لكن إذا

119
00:08:35,370 --> 00:08:38,650
كانت one to one لازم تكون كل الخطوط كل الخطوط

120
00:08:38,650 --> 00:08:43,450
شايفين ال x واحد و x اتنين أي أعداد تنتمي للدنيا

121
00:08:43,550 --> 00:08:46,870
لكن في حالة none to one to one يكفي أن أجيب مثال

122
00:08:46,870 --> 00:08:51,090
واحد فقط بتكون ال function is not one to one يبقى

123
00:08:51,090 --> 00:08:55,090
يكفي هنا خط واحد لقيته بيقطع بأكثر من نقطة يبقى 

124
00:08:55,090 --> 00:08:57,830
طول بيقول ال function is not one to one وهي ال

125
00:08:57,830 --> 00:09:00,610
sin المثال اللي أخذناه في π على 6 و π على 

126
00:09:00,610 --> 00:09:05,620
π على 6 أي زاوية مكملتها بياخد نفس القيمة لو

127
00:09:05,620 --> 00:09:10,080
بدون الـ π يعني 6 و 5 يكفي أني أرسم الـ 

128
00:09:10,080 --> 00:09:14,140
sine وأجيب خط أفقي بنلاقي الخط الأفقي يقطع الـ

129
00:09:14,140 --> 00:09:17,540
function بنقطتين يبقى بنقول الـ sine is not one to

130
00:09:17,540 --> 00:09:19,840
one طبعا من 0 إلى π 

131
00:09:22,930 --> 00:09:26,890
مثال بقول use the graph of f to show that f is one 

132
00:09:26,890 --> 00:09:29,610
to one or not الـ function تبعتي piecewise

133
00:09:29,610 --> 00:09:32,990
function معرفة على فترتين 2 ناقص x تربيع و x 

134
00:09:32,990 --> 00:09:36,790
أقل أو يساوي 1 و x تربيع x أكبر من 1 يعني بنرسم

135
00:09:36,790 --> 00:09:41,090
هذه الـ function x تربيع وبعدين نعكسها وبعدين 

136
00:09:41,090 --> 00:09:46,610
نعملها shift up 2 ناقص x تربيع اللي هي لتحتها

137
00:09:47,010 --> 00:09:50,610
الآن لتحت وبعدين هادي بنعملها shift up 2 يبقى

138
00:09:50,610 --> 00:09:54,270
بتيجي إيش بالشكل هذا وبس لعند الواحد ما بدناش نكمله 

139
00:09:54,270 --> 00:09:57,870
لعند الواحد وبنوقف الآن الأكبر من 1 x تربيع

140
00:09:57,870 --> 00:10:01,150
طبعا ال x تربيع من هنا بتيجي x تربيع وبتطلع لفوق

141
00:10:01,150 --> 00:10:05,390
طبعا هذا الجزء بدناش إياه فقط بدنا الجزء الأكبر من

142
00:10:05,390 --> 00:10:09,210
واحد راح يكون بهذا الشكل الآن بدنا نشوف هل هذا ال

143
00:10:09,210 --> 00:10:12,010
function one to one ولا لا؟ إذا كان وجدت خط واحد

144
00:10:12,010 --> 00:10:15,130
فقط يقطع الـ function بأكثر من نقطة بتكون not one 

145
00:10:15,130 --> 00:10:19,090
to one. الآن لو أتيت عملت خط هنا، بنلاقي أنه يقطع

146
00:10:19,090 --> 00:10:21,970
الـ function بثلاث نقاط، وبالتالي في هذه الحالة

147
00:10:21,970 --> 00:10:25,190
بنقول not one to one. طب ها، في عندنا خط هنا يقطعه 

148
00:10:25,190 --> 00:10:28,370
بنقطة واحدة، إيش معناه؟ لأ، ما نفعش، لازم إذا كانت

149
00:10:28,370 --> 00:10:32,130
one to one، لازم كل الخطوط تقطع بنقطة واحدة فقط،

150
00:10:32,130 --> 00:10:35,250
لو لقيت خط واحد يقطعه بأكثر من نقطة، بنقول أن الـ

151
00:10:35,250 --> 00:10:37,370
function is not one to one.

152
00:10:43,590 --> 00:10:50,190
هنا بقية الـ .. نجي هنا بقية الـ .. احنا حكينا كيف

153
00:10:50,190 --> 00:10:53,430
نُفلت one to one أو لأ عن طريق التعريف عن طريق 

154
00:10:53,430 --> 00:10:57,030
الرسم. نمر ثلاثة عن طريق أن الـ function increasing

155
00:10:57,030 --> 00:11:00,310
أو decreasing. يعني لو كانت الـ function increasing

156
00:11:00,310 --> 00:11:03,950
فقط فقط تزيد بها، يعني الـ function هيش بس تزايدية 

157
00:11:03,950 --> 00:11:07,390
بتمشي هيك وبتضلها ماشية تزايدية، الآن هي دي

158
00:11:07,390 --> 00:11:11,470
التزايدية. لو جيت أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط

159
00:11:11,470 --> 00:11:14,490
وبالتالي بتكون الـ function one to one. طب لو كانت

160
00:11:14,490 --> 00:11:17,550
تناقصية، يعني تناقصية، يعني بتمشي وبتضلها ماشية

161
00:11:17,550 --> 00:11:21,870
تناقصية، بتنقص بتنقص ما تعودش تزيد. مدام هي بس تناقصية

162
00:11:21,870 --> 00:11:25,170
يبقى أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط. لكن لو كانت 

163
00:11:25,170 --> 00:11:28,770
تناقصية وبعدين تزايدية زي الـ X تربيع، ممكن تقطع

164
00:11:28,770 --> 00:11:33,410
بأكثر من نقطة. وبالتالي إذا كانت الـ function

165
00:11:33,410 --> 00:11:35,890
increasing كمان هده على الرسم، كمان على الـ

166
00:11:35,890 --> 00:11:38,090
definition برضه بتطلع نفس الشيء. إيش معنى

167
00:11:38,090 --> 00:11:41,630
increasing؟ يعني بالـ definition تبع الـ calculus

168
00:11:41,630 --> 00:11:48,110
F of X2 أكبر من X1 إذا كانت X2 أكبر من X1، يعني

169
00:11:48,110 --> 00:11:51,590
أكبر بتظل أكبر بتكون increasing، و أكبر بتصير إذا 

170
00:11:51,590 --> 00:11:55,370
كانت هنا أكبر، أكبر، وهنا أقل، بتكون decreasing.

171
00:11:55,990 --> 00:12:00,750
إذا أكبر أو أقل في الحالتين أنه لا يساوي، لا يساوي

172
00:12:00,750 --> 00:12:03,950
معناه ذلك أن الـ function is one to one. إذا الـ

173
00:12:03,950 --> 00:12:06,990
functions الـ increasing والـ decreasing are one to

174
00:12:06,990 --> 00:12:10,710
one. إذا كانت طب الـ function increasing وعودت رجعت

175
00:12:10,710 --> 00:12:14,050
decreasing، ممكن تكون one to one وممكن لأ على حسب

176
00:12:14,050 --> 00:12:19,230
الرسمة. مثلا show that f of x تساوي x أس خمسة على أربعة 

177
00:12:19,230 --> 00:12:22,630
is one to one on its domain. الآن بنستخدم الـ

178
00:12:22,630 --> 00:12:25,610
increasing and decreasing. بجيب f prime of x، خمسة

179
00:12:25,610 --> 00:12:28,650
على أربع x أس أربعة. طبعا x أس أربعة يعني الجذر الرابع

180
00:12:28,650 --> 00:12:32,630
دائما موجب، وبالتالي f prime دائما موجبة. إذا الـ

181
00:12:32,630 --> 00:12:36,150
f تبعتي increasing for all x in its domain اللي هو 

182
00:12:36,150 --> 00:12:39,870
من صفر إلى ما لا نهاية. إذا الـ function تبعتي is one to

183
00:12:39,870 --> 00:12:46,170
one. مثال آخر، f of x تساوي ناقص tan x من ناقص بي على 

184
00:12:46,170 --> 00:12:49,450
2 إلى بي على 2. الآن بنجيبها عن طريق الـ derivative

185
00:12:49,450 --> 00:12:52,650
الـ increasing والـ decreasing، بنقول f prime تساوي

186
00:12:52,650 --> 00:12:56,470
تفاضل الـ tan، sec تربيع، وهي السالب طبعا. الـ sec تربيع 

187
00:12:56,470 --> 00:12:59,750
تربيع لأنها تربيع دائما موجبة وفيه أن سالب هنا

188
00:12:59,750 --> 00:13:02,950
يبقى هذه سالبة دائما. يعني الـ function f is

189
00:13:02,950 --> 00:13:06,950
decreasing. إذن الـ function f is one to one. فالآن 

190
00:13:06,950 --> 00:13:09,750
ملخص هذا الكلام، كيف أنا بدي أثبت one to one؟ بدي

191
00:13:09,750 --> 00:13:13,050
أستخدم الطرق التالية، أول شيء أني أنا أشوفها

192
00:13:13,050 --> 00:13:16,570
increasing أو decreasing. إذا كانت يا increasing أو 

193
00:13:16,570 --> 00:13:20,750
decreasing واحدة منهم على on its domain، بتكون الـ

194
00:13:20,750 --> 00:13:23,630
function is one to one. هذه أول طريقة بستخدمها، يعني

195
00:13:23,630 --> 00:13:26,610
أول ما ببدأ ببدأ بالـ increasing والـ decreasing. لو

196
00:13:26,610 --> 00:13:29,910
كانت مرات decreasing ومرات increasing، بروح بشوف

197
00:13:29,910 --> 00:13:32,910
يا بستخدم الـ graph. إذا كانت هي الـ function سهل

198
00:13:32,910 --> 00:13:36,030
رسمتها، إذا كان صعب رسمتها، ما بستخدمش الـ graph، بروح 

199
00:13:36,030 --> 00:13:37,830
برجع للـ definition.

200
00:13:41,040 --> 00:13:44,460
فالآن نرجع لهذه الصفحة اللي هي بدنا نحكي عن الـ

201
00:13:44,460 --> 00:13:47,780
inverse function. الآن خلصنا الـ one to one وعرفنا

202
00:13:47,780 --> 00:13:50,500
كيف نثبت أن الـ function is one to one. الآن الـ

203
00:13:50,500 --> 00:13:53,560
function one to one هذه بتلزمنا أن نعرف إيش هي الـ

204
00:13:53,560 --> 00:13:55,900
inverse function. إيش الـ inverse function هي 

205
00:13:55,900 --> 00:14:00,560
الاقترانات المعكوسة، معكوس مش مقلوب. في شيء اسمه

206
00:14:00,560 --> 00:14:04,100
مقلوب وفي معكوس. مقلوب يعني واحد على، معكوس لأ،

207
00:14:04,100 --> 00:14:07,600
معكوس يعني إيش؟ يعني بأخذ الـ function، الـ function

208
00:14:07,600 --> 00:14:12,560
بتاخد العنصر وبتوديه لصورته، الـ inverse بتاخد

209
00:14:12,560 --> 00:14:13,760
الصورة و بترجعها للـ answer. 

210
00:14:16,470 --> 00:14:20,330
لأن عشان تكون الـ if inverse هذه موجودة لازم تكون

211
00:14:20,330 --> 00:14:22,690
الـ function تبعتي one to one. يبقى بالأول support

212
00:14:22,690 --> 00:14:26,990
that لازم شرط ضروري أن الـ function if is one to

213
00:14:26,990 --> 00:14:30,650
one. ولقيت بنشوف ليش الشرط هذا on its domain D with 

214
00:14:30,650 --> 00:14:34,390
range R. يعني الـ domain تبعها D with range R. الـ

215
00:14:34,390 --> 00:14:37,330
inverse function اللي بدنا نرمز لها بالرمز if

216
00:14:37,330 --> 00:14:41,750
inverse، if ناقص واحد. وما نرمز لهاش if ناقص واحد أو

217
00:14:41,750 --> 00:14:47,440
if plus سالب واحد. لأ، هذه لفظة F inverse وليست أسية

218
00:14:47,440 --> 00:14:50,840
يعني هذه ليست أس، يعني هذه لا تساوي واحد على F 

219
00:14:50,840 --> 00:14:56,020
وإنما هي مجرد رمز للـ F inverse. إيش الـ F inverse 

220
00:14:56,020 --> 00:14:59,120
تعريفها؟ تعالوا نشوف على الرسمة، إذا كانت الـ

221
00:14:59,120 --> 00:15:03,360
function F بتاخد العناصر من المجموعة دي وبتوديها 

222
00:15:03,360 --> 00:15:06,080
للمجموعة R اللي هي الـ range، والمجموعة دي هي الـ

223
00:15:06,080 --> 00:15:10,760
domain، هي domain الـ F وهي range الـ F. والـ function

224
00:15:10,760 --> 00:15:13,630
كانت one to one، إيش يعني one to one؟ يعني كل عنصر 

225
00:15:13,630 --> 00:15:17,170
بيروح لصورة واحدة فقط. كل عنصر لصورة واحدة، كل عنصر

226
00:15:17,170 --> 00:15:21,890
لصورة واحدة بهذا الشكل. فـ الـ F inverse في هذه

227
00:15:21,890 --> 00:15:24,730
الحالة بتبقى موجودة. يعني الـ F inverse إيش بتعمل؟

228
00:15:24,730 --> 00:15:28,630
بتاخد العناصر من الـ range من هنا وبتوديهم لمين؟

229
00:15:28,630 --> 00:15:32,830
للـ domain. يعني بالعكس، بتنشي بتاخد الـ B و بترجعها

230
00:15:32,830 --> 00:15:36,850
للـ A. الـ F بتاخد الـ A بتوديها لـ B، الـ F inverse

231
00:15:36,850 --> 00:15:42,690
بتاخد الـ B بترجعها إيش؟ للـ A، و بترجعها للـ A. طيب ما

232
00:15:42,690 --> 00:15:45,790
هي الـ F inverse؟ ممكن تاخد الـ P وترجعها للـ A. ليش 

233
00:15:45,790 --> 00:15:50,210
شرط الـ F أنها تكون one to one؟ تعالوا نشوف ليش،

234
00:15:50,210 --> 00:15:52,770
إذا كانت الـ F مش one to one، إيش يعني مش one to

235
00:15:52,770 --> 00:15:56,450
one؟ يعني ممكن عنصرين يكونوا لهم صورة واحدة فقط

236
00:15:56,790 --> 00:16:02,810
يعني A1 مثلا، وهذه A2 كلهم تكون صورتهم B. فإذا كانت 

237
00:16:02,810 --> 00:16:05,450
الصورة B، لأن F inverse بدها تاخد الـ B لوين 

238
00:16:05,450 --> 00:16:11,130
ترجعها؟ بدها ترجعها لعنصرين، هذه وهذه. طب بنفع يعني 

239
00:16:11,130 --> 00:16:14,370
F inverse في هذه الحالة هل بتكون function؟ إذا كانت

240
00:16:14,370 --> 00:16:18,030
أخذت العنصر ورجعته إلى صورتين؟ بتبطل الـ function،

241
00:16:18,030 --> 00:16:22,180
بتصير فقط هي عبارة عن relation. هي عبارة عن علاقة

242
00:16:22,180 --> 00:16:26,920
وليست اقتران. لذلك عشان تكون اقتران لازم هذه لما

243
00:16:26,920 --> 00:16:30,700
نرجعها نرجعها لعنصر واحد. لما نرجعها لأكثر من عنصر

244
00:16:30,700 --> 00:16:33,740
وبالتالي لازم الـ function f تكون one to one. إذا 

245
00:16:33,740 --> 00:16:37,980
كانت not one to one، فتكون الـ f inverse ممكن ما

246
00:16:37,980 --> 00:16:43,440
تكونش function، فقط علاقة. عشان تكون f inverse

247
00:16:43,440 --> 00:16:46,900
function واحنا بدنا إياها function، فبالتالي لازم الـ

248
00:16:46,900 --> 00:16:51,800
function f تبعتي تكون one to one. إذا الـ F of A

249
00:16:51,800 --> 00:16:56,120
تساوي B، إذا الـ F inverse بتاخد الـ B و بترجعها لـ A.

250
00:16:56,120 --> 00:16:59,980
يعني F inverse of B يساوي A. في هذه الحالة الـ F

251
00:16:59,980 --> 00:17:04,120
inverse الـ domain تبعها هو عبارة عن الـ range R الـ

252
00:17:04,120 --> 00:17:07,400
range تبع الـ F. والـ range تبع الـ F inverse هو 

253
00:17:07,400 --> 00:17:10,400
domain الـ F. يعني بيبدلوا بعض، الـ domain والـ range

254
00:17:10,400 --> 00:17:16,230
الـ D والـ R للـ F بيصير الـ R هي الـ domain للـ F

255
00:17:16,230 --> 00:17:23,810
inverse، و D هي الـ range لـ F inverse. لو جينا نعمل

256
00:17:23,810 --> 00:17:30,270
composite بين الـ F inverse والـ F of X، فالـ F بتاخد الـ

257
00:17:30,270 --> 00:17:35,150
X لـ F of X، فالـ F inverse بتاخد الـ F of X و بترجع لـ 

258
00:17:35,150 --> 00:17:37,850
X. يبقى الـ composite بينهم هو X. يبقى بنرجع في 

259
00:17:37,850 --> 00:17:41,410
النهاية هو X، نفس الشيء لو بدينا بالـ Y. فالـ F

260
00:17:41,410 --> 00:17:45,930
inverse بتاخد الـ Y زي هنا، بتاخد الـ Y وبتوديها لمين 

261
00:17:45,930 --> 00:17:50,850
لـ F inverse of Y، الـ F بتاخد هذا الـ F inverse of Y 

262
00:17:50,850 --> 00:17:56,430
و بترجع لمين؟ لهذا العنصر المسمى Y. الـ F بتاخد الـ X

263
00:17:56,830 --> 00:18:01,450
و بتوديها لـ F of X، الـ F inverse بتاخد الـ F of X و

264
00:18:01,450 --> 00:18:05,070
بترجعها لهذا اللي هو مين؟ هذا إيش اسمه؟ اسمه X طبعا.

265
00:18:05,070 --> 00:18:08,850
يبقى أي composite بين الـ F inverse والـ F أو F

266
00:18:08,850 --> 00:18:12,130
composite F inverse بتطلع إيش؟ نفس الـ answer Y. 

267
00:18:12,130 --> 00:18:17,330
بترجع لـ Y، والـ X برجع لـ X. طبعا هنا X، الـ F بتاخد كل

268
00:18:17,330 --> 00:18:21,550
الـ X الموجودة في domainها، والـ Y هي موجودة كل الـ Y

269
00:18:21,550 --> 00:18:25,190
الموجودة في الـ domain تبع الـ F inverse أو الـ range

270
00:18:25,190 --> 00:18:26,250
تبع الـ F.

271
00:18:29,920 --> 00:18:34,380
هذه الملاحظة قلناها، وبعدين قلنا اللي هي الـ

272
00:18:34,380 --> 00:18:37,940
increasing والـ decreasing. طبعا هنا الـ increasing 

273
00:18:37,940 --> 00:18:41,960
والـ decreasing functions has inverse. أي function

274
00:18:41,960 --> 00:18:44,680
increasing يبقى فيه أنها inverse. أي function

275
00:18:44,680 --> 00:18:48,660
decreasing فهي أنها inverse لأنهم أصلا one to one.

276
00:18:48,660 --> 00:18:53,660
وبكذا بنكون خلصنا الجزء الأول من section 7-1 بنكمله

277
00:18:53,660 --> 00:18:55,080
في المحاضرة القادمة إن شاء الله.