بسم الله الرحمن الرحيم فبنكمل الآن ما ابتدأناه في
section خمسة اتنين المرة الماضية اخر حاجة اتكلمناه
هي على الريمان صم ولم نعطي مثال على ذلك وقلنالكوا
المثال بده نص ساعة فهيبنى ناخد من الآن هذا المثال
وبهذا المثال ينتهي هذا ال section وينتقل ال
section اللى وراه اللى يعتمد عليه كذلكيبقى الريمان
صان مهم جدا في خمسة اتنين وخمسة تلاتة
المطلوب الأول يقول هاتلي الصيغة for the remand sum
لمجموع ريمان اللى بنحصل عليه لما نجسم الفترة اللى
عندنا الى n equal sub intervals الى مجموعة عددها n
من الفترات الجزئية المتساوية ثم نستخدم ال right
hand in point for each CK تمام هذا المطلوب الأول
مطلوب الثاني جليهات لل limit للمقدار اللي بيطلع
عندك لما ال N بده تروح للمالة نهايةهذه ال limit
بتعطينا فعلا مساحة الحقيقية المحصورة بين المنحنة
ومحور X على الفترة من 0 لغاية 3 خلّينا نذكر شو كان
ريمان صاممجموع المربع سام او مربع رول او مربع رول
او
مربع رولسب قولنا هو summation من k تساوية 1 لغاية
ال N لل F of Ck Delta Xk وقلنا هو عبارة عن F of C1
Delta X1 زي F of C2 Delta X2 زي F of Cn Delta Xn
هذا ما قلناه المرة الماضية بدنا نعطي مثال عليهبس
الفرق بين هال مثال وما قولنا المرة الماضية قولنا
لك ال interval لما نعملها partition ليس بالضرورة
ال sub interval يكونوا مالهم متساويات، هذا السؤال
قال لي لأ خدهم متساوياتطيب نتيجة لو أخدها مش
متساويات بيزهجوني في الاحسابات بس لما أخدهم
متساويات بيصير أسهل كتير في عملية الحساب فإيش بقول
يجسم الفترة اللي عندك A إلى N من الفترات الجزئية
المتساوية وخدلي ال CK قولنا المرة اللي فاتت ال CK
بتاخدها داخل ال intervalفي اول interval ماشي داخل
ال interval ماشي في نهاية ال interval ماشي انا
بقول خدها في نهاية main ال end point عشان نشوف هذا
الكلام على الطبيعة بدنا نروح نرسم رسمة المسألة
اللي عندنا يبقى لو جينا يقولنا هذا محور X وهذا
محور Y الدالة اللي عندنا F of X يسوى X تقريبا يبقى
Parabola F of X يسوى X تقريبا زاد واحد shift إلى
أعلى بمقدار واحديبقى بدأجي أقول هي ال parabola
اللي علناها ذلكيبقى هذه النقطة هي واحد وهذه زيرو
وانا بدي على الفترة فقط من غاية واحد لغاية تلاتة
بعد التلاتة ماليش علاقة فيه جابلي ال zero ماليوش
علاقة طبعا لو جميت جيت كملت ال parabola بصير
بالشكل اننا ماليش علاقة فيها احنا بس بدنا نتقيد من
وين لوين من zero إلى تلاتة اذا بدي اجسم الفترة من
zero إلى تلاتة ل in equal subيبقى الـ Zero هذي بده
يسميها mean الـ X non بده ياخد هنا X one هنا بده
ياخد X two اللي هي جدها تماما هنا بده ياخد X three
و هكذا لغاية ما نصل الى XN minus ال one والتلاتة
اللي هي main ال XNيبقى هذه النقطة اللى عندنا جسمنا
هذا مساحة الى الأقسام او ما يشبه المستطيلات اللى
انت شفها وكلها ايه جت بعضها يعني delta x واحد جت
delta x اتنين جت delta x اتنين جت delta x اتنين جت
delta x اتنين جت delta x اتنين جت deltaهذه المسافة
Delta X2 هذه المسافة Delta X3 و هكذا تمام؟ طيب
بدنا نيجي ل .. يبقى بالدقج أقول the width of
each sub interval
دلتا اكس بده يساوي طول المسافة كلها على عدد
التقسيمات تلاتة نقص زيرو على ان اللي هو جد ياشي
تلاتة على ان إذا دلتا اكس هذه بتلاتة على ان دلتا
اكس هذه بتلاتة على ان دلتا اكس هذه بتلاتة على ان
إلى آخرينهيجب ان نجسم الفترة الى N من ال equal sub
intervals زى ما انت شايف
X2 هي عبارة عن C2 X3 عبارة عن مين؟ C3 طيب السؤال
هو حد بيقدر أقول يجدش طول تبع C1 Delta X اللي هو 3
على M طيب C2
يعني اتنين دلت اكس مظبوط اتنين دلت اكس يبقى ال C1
هذه بدها تساوي تلاتة على اكس او تساوي دلت اكس
مباشرةC1 بيبقى تساوي Delta X C2 باتنين Delta X من
هنا لهنا اتنين Delta X هي المسافة هذه كلها هذه
اليمين اللي هي C2 طيب C3 تلاتة Delta X يبقى هذه
تلاتة Delta X طيب
ان دلتا اكس ان دلتا اكس يبقى هذه بدها تساوي الـCN
انه الـN في دلتا اكس خليلي هذه المعلومات لزمانيبقى
انا بدي اجيب له الريمان .. من هنا بدأنا اللي هي
النقطة A بدي اجيب له الريمان صم اللي ادناله الرمز
SP يبقى اقول هذا المرة اللي فده الصماش من K to C
واحد لغاية N لمن لل F of C K Delta X Kالان قولنا
Delta X كلهم جات بعضهم يعني Delta X واحد هي نفس
Delta X اتنين هي نفس Delta X تلاتة اذا هذا لو
فاكرتوا ايش بداتي اقول F of C1 في Delta X زائد F
of C2 في Delta X زائد ونظل ماشي لغاية F of CN تمين
في Delta X يبقى هذا مجموع الريمان صممالدالي احطه
على الطبيعة اشوفه قداش يساوي اظن Delta X Delta X
Delta X مقدر اخدها اعمل مشارك من الكل بدل ما كل
مرة ازهجنا لأ لأ انا برا من الكل Delta X بضل جوا
قداش F of C1 C1 يبقى قداش Delta X يبقى هنا F of
Delta Xزي F of C2 C2 بيبقى داش ب2 Delta X يبقى 2
Delta X F of C3 3 Delta X يبقى F of 3 Delta X زي
ده نظل ماشيل لغاية ما نوصل لآخر حد F of C N يبقى N
في Delta Xيبقى F of N في Delta X بالشكل اللي عندنا
هذا هاي جفالنا لهو طيب تمام هذا الكلام بده يساوي
بدالي اشوف هنا Delta X اللي هو جداش تلاتة على N
يبقى هذه تلاتة على N الان هذه ال F of Delta X اللي
هو تلاتة على Mال F of اتنين Delta X يبجى اتنين في
تلاتة على N زاد ال F of تلاتة بمين في تلاتة على M
زاد زاد ال F of N في تلاتة على N بالشكل العامطبعا
طبعا عندي f of m تساوى جدّا يعني ال f لما تأثر على
ال element يساوي مربع هذا ال element زائد واحد اذا
هذا الكلام بده يساوي تلاتة على ان اللي برا خليها
زي مين يبقى f of هذا ال element يساوي مربع هذا ال
element زائد واحد يبقى تلاتة على ان الكل تربيع
زائد واحدمش اللي بعده زائد مربع هذا يبقى اتنين
تربيع ثلاثة على ان الكل تربيع زائد واحدةليه جلال
يبعدوا؟ مربع هذا تلاتة تربيع تلاتة على إن الكل
تربيع زائد واحد ان تبقى الماشيين يبقى زائد زائد ان
تربيع تلاتة على إن الكل تربيع زائد واحديبقى انا
عوضت عويض مباشر في مين في الدالة الأصلية اللى فوق
هل هي ماضلش عليا اللى احسب الحسابات ده بيقول خلصنا
باجي بقولك كويس يبقى تلاتة على ان ادي برا زي مين
شو رايك في الترمات اللى عندنا هذه طلعلي في هذه و
هذه و هذه و هذهتلاتة على ان الكل تربيع هذا عام
المشترك منهم كلهم يبقى هاي تاخد تلاتة على ان الكل
تربيع عام المشترك فضل عندي جد واحد يعني واحد تربيع
زائد اتنين تربيع زائد تلاتة تربيع زائد ان تربيعايش
ضال عندى؟ واحد زائد واحد زائد واحد زائد واحد يبقى
زائد واحد زائد واحد زائد زائد واحد هى كام مرة هدول
ان عددهم يساوي ان تمام؟ اذا بداتي افك هذا المقار
واشوفه كده يساوي هذا الكلام يساويقال لعلي في هذا
هذا تلاتة تربيع بتسعة في تلاتة سبعة وعشرين على ان
تكعيب يبقى هذا سبعة وعشرين على ان تكعيب فيه هذا من
هو يا جباب؟ مش هذا submission على كتربية؟سكت الشاب
مش هتصمش على كتر بيه واخدنا الوصيه ان فين زي
الواحد في اتنين ان زي الواحد على ستة مظبوط اذا هذا
كله بده اشيله و اكتب بداله ان فين زي الواحد في
اتنين ان زي الواحد على ستة by line دي تلاتة على ان
بده اضربها في مجموع هدولزائد تلاتة على N في N تمام
هذول مجموعة كلهم يساوي N طب تعالوا نختصر
الاكتسارات اللي عندنا و نشوف يبقى أصبح شكل ال S P
على شكل التالت هذه بتروح ال N مع ال N تقريب بظل N
تربيةوالتلاتة فيها اتنين ع التلاتة فيها جداد تسعة
يبقى بظل عند هنا فوق تسعة و بظل عند هنا M زائد
واحد اتنين M زائد واحد على اتنين M تربيع هذا بظل
فيها M تربيع وهذا بظل فيها اتنين وهذا M مع M تصبح
جداد زائد تلاتة بهذا الشكلطيب هذه بدي أحاول أصيغها
صياغة أخرى فبجي بقول هذه تسعة على اتنين ان تربية
فيه اتنين ان تربية زائد تلاتة ان زائد واحد زائد
برة تلاتة يعني يا شباب هذا بالصير كان تاني بالصير
كان تاني هذه تسعة فيههذه بدخلها جوا بصير واحد زائد
ثلاثة ثلاثة على اتنين انتربيع زائد واحد على اتنين
انتربيع اختصارات مافيش يبقى هذه الزائد ثلاثة بده
ادخل التسعة جوا يبقى هذه بصير ايشبصير هذه كلها هي
ثلاثة M هذه ثلاثة M على اتنين M طيب يفجر بيصير
تسعة زائد ثلاثة M زائد بتمر في تسعة له سبعة وعشرين
سبعة وعشرين M زائد تسعة كله على اتنين M تربيع زائد
ثلاثةيبقى النتيجة النهائية بالصيرة معشقة زائد سبعة
وعشرين N زائد تسعة عشرة Nالمطلوب الأول جالي هات
لمين الريمان صم للمجموع اللي هيبقى هذا شكل الريمان
صم اللي هو جداش اتناشر زي سبعة وعشرين N زي تسعة
على اتنين N تربية تمام خلصنا المطلوب الأول المطلوب
التانيبقول هتل ال limit لما ال N بدها تروح لمالة
نهاية للنتيجة اللى حصلت عليها يعني ايش معناه لو
زاد عدد التقسيمات الى مالة نهاية احنا لما خدنا CK
هنا C1 هنا يبقى السعر عندنا المستطيل هنا يا شباب
صار عندك المستطيل هذا، صار عندك المستطيل هذا، يعني
احنا جيبنا المساحة وزيادة شوية، لو زاد عدد
التقسيمات إلى ما لا نهاية، يبقى المساحةبصير تقترب
من المساحة الحقيقية أو هي المساحة الحقيقية بالضبط
وبالتالي كل الزيادات اللي فوق هذه بتبقى راحة
ماضلش، إلها وجود يبقى بدنا نقوله ال area المطلوبة
نمرى بـ ال area المطلوبة تساوي limit لل S P لما ال
N بدها تروح لوين؟ للماء لنهايةيبقى هذه ال limit
لما ال N بدأ تروح للملة نهاية لل 12 زائد 27 N زائد
9 على 2 N ترابيع نهاية المقدار الثابت بالمقدار
الثابت كده نهاية المقدار هذا كله؟0 لأن درجة الـ
Bus أقل من درجة المقام يبقى زائد Zero يسوى كم؟ 12
يبقى المساحة الحقيقية ما بين الدالة F of X أو X
تربية ومحور السينات أو محور X المساحة يتمثل 12 من
وحدات المساحةهل عندك أي سؤال هنا؟ هعطيك مثال بعد
قليل زيها نفس الفكرة اه طيب انا كنت طالع اعمل كل
هذا؟ ففي طريقة اخرى لو كنت تقولي مثلا سينجر سينجر
تساوي هو أول أنصف زائد فقدر فضلية تلاتة على أنف
كتر كتر كتر كتر كتر كتر كتر كتر كتر
بتجيب كلام غير هذا؟ ولا بسيط ولا حاجة، انت من أول
بدأ حط ال delta X، حط التلت على N بس يا أخويا أنا
بفهم أنت فيه، و بعدين انت تكتبلي أي شروع صح
ماعنديش مشكلةأنا بحللك حلة نموذجيا بحيث مايظلش لا
شيردة ولا وردة انت بعدين حر زي ما بدك تفعل تمام؟
يبقى لحد هنا بكون انتهى هذا ال section وإليكم
أرقام المسائل ال exercises خمسة اتنين يبقى
exercises خمسة اتنين المسائل التالية من واحد لخمسة
واربعين ال odd
العربية الموجودة في
المدينة العربية السعودية
لتال اف اف اكس بيه function defined on a closed
interval فترة مغلقة a و b
X0 X1 X2 Xn-1 Xn is a partition is a partition of
the closed interval a وb we define the integral we
define the
Integral of F منعرف التكامل على F over ال A و ال B
على الفترة A و B by تكامل
من A الى B ال F of X DX يسوى ال limit لما ال norm
بتابع ال P بده يروح لل Zero ال summation من K بده
تسوى واحد لغاية ال N لل F of C K Delta X K
provided the
limit
exist not
ملاحظة
if we chose if
we chose a partition with
n equal
sub intervals and equal sub intervals then the
width of
each sub interval is
delta X سوى B ناقص ال A على N answer
the
above answer the above definition
بكم بيصبح على الشكل التالي تكامل من a إلى b لل F
of x dx بدي يساوي limit ال norm ل P بدي اروح لل
zero ال summation من K تساوي واحد لغاية ال Nللـ F
of C K Delta X K ويسوي limit لما ال norm بتابع ال
P يروح لل Zero لصميشة من K تسوى واحد لغاية ال N
لمن؟
لل F of C Kالـ B نقص الـ A على N يساوي الـ B نقص
الـ A في limit لما الـ N tends to infinity للـ
summation من A من K equal one to N لواحد على N F
of C K example
استخدم ريمان صام استخدم
ريمان صام لتطور الانتقال
تكامل من 0 للإتنين لإتنين X زائد واحد DX
هنا نحاول نفهم ما هو مكتوب قدامنا هذا على الصبر
طبعا احنا في نهاية ال chapter الماضي اتكلمنا عن ال
indefinite integral اللي هو التكامل غير المحدود
بنحط اشارة التكامل بدون اللي هو حد علوي للتكامل
وحد السفلي للتكامل وشوفنا كده بنكمل الدوال
المختلفةللـ definite integrals يعني التكاملات
المحدودة تكامل بس من كامل على فترة من كذا إلى كذا
يبقى هذا ما نسميه تكامل محدود نعطي تعريف لهذا
التكامل المحدود فباجي بقول افترض ان f of x هي
عبارة عن ده لو معرف على ال closed interval a وb ال
interval هذه روحنا عملنا لها partitionزي ما انت
شايفين مثل ما كان في السؤال اللي جابله ومثل ما كان
في الجزء النظري اللي جابله ال partition هذا عامل
معاه على الفترة a وb بيقولي we define the integral
or دالة f على الفترة a وb byبنحط إشارة تكمل بالشكل
اللى عندنا لل F of X DX بهذا الشكل ال هدى شوف شو
معنى هدى من ناحية رياضية أو كيف بدنا نربط موضوع
التكمل المحدود بريمان صم الذي أشرنا إليه في نهاية
المحاضرة ماضية و قبل قليل كذلكهذا هو الريمان صم
مظبوط إذا الريمان صم اللي بحصل عليه بدي أخدله ال
limit لما ال norm بتابع ال P بده يروح لوين ل zero
ال norm بتابع ال P المرة اللي فاتت عرفنا انه لما
نيجي نجسم ال interval ايه و بيجسمها إلى مجموعة من
ال sub intervalsأطول واحدة فيهم بنسميها norm ل P
طبعا طيب بيقول هذا بتاخد ال limit لما norm ل P بده
يروح ل zero يعني لما أطول فترة بده تروح ل وين ل
zero طب ما هو اذا أطول فترة لها تروح ل zero يبقى
الفترة الأصغر منها تروح ل zero طبيعيطبعا إذا احنا
متعمدين لما قلنا نور P بدي روح ل Zero يعني لما
أكبر Delta X موجودة عندي بدي تقول ل Zero يبقى
Delta X اللي أصغر منها الأخر هتروح ل Zero من باب
أو لا طبعا طب السؤال هو متى يحدث ذلك يعني ممكنش ال
نور P بدي روح ل Zero في شغل مكافئة لأ نعم في شغل
مكافئة لأهل هى لو قلت norm P في السؤال الماضى في
نهاية المحافظة، قلنا 1 و 1 من عشرة، مظبوط، لو ال N
هذه كل واحدة قسمتها اتنين، بصير نص تقريبا، و
انتقلت نص، لو قسمتها اربعة، بصير ربعة، و هكذا،
يعني كل ما زيد عدد التقسيمات، كل ما المساحة اللى
جبتها زيادةأو المساحة اللي تركتها بتجل مصغور بتجل
يعني بكون انا حصلت لما ال N تكبر بدرجة كبيرة جدا
بحصل على المساحة الحقيقية المحصورة بين المنحنة
ومحور X وهذاما سنشير إليه بعلى أنه هو التكامل لدى
ال F of X على الفترة اللى عدنا من A إلى B إذا لما
نقل يقول تكامل من A إلى B لل F of X DX معناته ال
limit للريمان sum لما ال norm لل P بده يروح ل0
بشرط إن ال limit هذه ما لها exist طيب هذه لو كانت
التقسيمات غير متساوية لو حدثوكانت التقسيمات
متساوية زي ما في المثال اللي كان قبل قليل يبقى هذا
بدها تصير if we chose لل partition with n equal
sub interval thenأي sub interval بدي يكون الارض
تبعها او الاتساع تبعها ال width هو delta x بدي نقص
a على n يعني طول الفترة اللي لنا مقسومة عالمين على
عدد التقسيمات دي بدي يصير b نقص a على n وبالتالي
التعريف اللي فوق بدي يصبح على الشكل التالي تكمل ما
نشدعه بالتقسيماتLimit f of z كدلتا اكس ك لما النور
بتابع ال P بيكون سواء زير وهذا يبقى مكتوب فوق
مظبوط لكن لما صاروا كلهم جد بعض يبقى دلتا اكس ك
صارت دلتا اكس وان هي دلتا اكس اثنين وان هي دلتا
اكس ثلاث يبقى انا شيلناها وقلنا بدلها دلتا اكس
يبقى هذه ها اللي عندنا هذه بالضبط هذه كأنها
كل واحدة جدت تانية كل واحدة من هدول جدت تانية فصار
F of C كافة Delta X جداشة Delta X هي عبارة عن P
نقص ال A على M هذا الكلام يسمى P نقص A رقم
خلّيك برا ال limit هيطلعنا برا ال limit
هذا المثال يحدث
إذا عدد التقسيمات ألوان لما لا نهاية، يعني عندما
يكون لدي مالة نهاية من التقسيمات بسيرة طول النار
المتبع الـP بيساوي Zero، يبقى النار المتبع الـP
بيساوي Zero، وبالتالي Delta اللي أغر منه بيبدأ
تروح كملمينلـ 0 ومن هنا بقول الصيغة المكافئة لهذه
الصيغة هي B نقص الـ A limit لما ال N بتروح ل المال
انه هي لصة ماشي ل واحد على N F of CK F of CK هي
هذا طلع برا بيبقى اللي عندى هنا جداش واحد على N
يبقى هي الواحد على N وهي ال F of CK وهي ال B نقص
ال A والنور اللي فيه بده يروح ل 0 لكافئة N بده
تروح لمين للمال انه هي في المثال السابق المطموب
الثاني كان في المثال السابققلنا هات ال area وهي ال
limit لما ال N بدها تروح لوين للمالة نهائية بتعطيك
المساحة الحقيقية
المتغير ليس الكرستان، مش بقول زاد عدد التقسيمات
إلى مال نهاية المقدار ثابت هو P ناقص الـA طول
الـInterval من أول الـInterval إلى أخر
الـInterval، A وB يبقى طولها جديد، P ناقص الـA طول
الـInterval، هذا ثابت، لكن التقسيمات أنا بدي
أغيرها و أجعلها تزيد إلى أين؟ ممكن أجسمها لفترة أو
تانيةممكن اقسم ل 3 فترات ممكن ل 4 فترات ممكن ل 100
فترة ممكن ل مليون فترة او هكذا وبالتالي الان ليست
ثابتة جداش بقسم جداش بتقترب من المساحة الحقيقية
المساحة الحقيقية بحصلها بالضبط وقتاش لما الان بده
تروح لوين يعني اذا زاد عدد التقسيمات ووصلها الى
مالة نهاية يمكن بصير ال limit للريمان صم اللي هو
المقدر هذا وهذا بيعطيني المساحة الحقيقيةوبالتالي
بيعطيني قيمة من؟ قيمة التكامل اللي عندنا الان مثلا
بقول استخدم ريمان صم مشان تحسبلي قداش قيمة التكامل
المحدود من 0 ل 2 ل 2 X زائد 1 ولم يقول خد CK في
نهاية ال interval ولا في نص ال interval ولا في
بداية ال interval يبقى انت لك الحرية خد ال CK وان
ما بدكأذا خدت في أول interval أو في نصف ال
interval أو في نهاية ال interval كله هيعطيك نفس
النتيجة لما تاخد ال limit طبعا هطلع اذا ما بين
الأفر ثم اللي هو ثم هطلع شكلين مختلفين لكن لما
تاخد ال limit لهم تطلع من نفس النتيجة طبعا طيب
يبقى مقيدنيش يبقى أنا لي الحرية كل اللي مقدر أقوله
بده أجيب قداش طول ال delta Xيبقى انا اول ما ببدأ
بجي بقوله انا عندي ال delta x هاي ال delta x بده
يساوي اللي هو b ناقص a على n يبقى اتنين ناقص zero
على n يبقى اتنين ناقص zero على مين على n يبقى
اتنين على n هذا شكل من ال delta xلو جيت قلت هاي
هيك الرسمة و قلنا هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة
الأصل هذا أصل الدالة و F of X سوى 2X و الواحد ما
هو هذا shift إلى أعلى بالمقدار الواحد تمام يبقى
بداية أقوله ل 2X اللي هو الخط المستقيم لأن لو كانت
X ب Zero فالY بواحد يبقى النقطة اللي عندنا هذهيبقى
هذا النقطة اللي هو واحد هو هذا الخط اللي عندنا y
تساوي اتنين x زائد واحد و بدك تفيه فقط لحد قداشر
لحد اتنين بهذا الشكل من zero للاتنين يبقى انا بدي
بس المساحة اللي تحت المنحنةعلى الفترة من 0 و 2
يعني المساحة المحصورة بين المنحنة ومحور X على
الفترة من 0 لغاية 2 بدي اعمل تقسيمات عندي يبقى بدي
اقول هذه X1 وهذه X2 وهذه X3 كلهم جد بعض التقسيمات
اللي عندنا لغاية ماوصل لإتنين اللي هي جداش XNوالـ
Zero اليمين X نوت يبقى هذه اليمين Delta X وهذه
Delta X وهذه Delta X
الان بدى احاول مش ان اثبتك معلومة السؤال اللى فات
بدى اعمل هذا السؤال بنفس الطريقة يبقى بداجى اقول
take خدلي اللى هو C1 او CK at the end of H او at
the right end at the right end right
end of each sub interval
يبقى بيصير C1 هذي X1 عبارة عن مين؟ C1 قداش طول C1
هو Delta X نيجي CX2 بيصير هي C2 قداش C2 المسافة
هذه كلها يبقى 2 Delta X X3 بيبقى تسوى C3 بيبقى
تسوى 3 Delta X وهكذا طيبيبقى لان بقدر اجيب له اللي
هو الريمان صم SP يبقى هذا الكلام بده يساوي F of C1
في Delta Xزائد F of C2 في Delta X زائد F of C3 في
Delta X زائد زائد F of C N F of C N كله في من؟ في
Delta X طيب هذا الكلام بده يساوي Delta X خليها برا
بدا يجي للفه في C1 C1 هي عبارة عن مين؟ عن Delta X
أو بدنا نسأل صاحبنا اللي تو Delta X بداش عندنا؟ 2
على N يعني ها دي 2 على N ها دي ايه؟ 2 في 2 على N
ها دي 3 في 2 على N and so onيبجي على طول الخط يبجي
على طول
الخط يبجي على طول الخط يبجي على طول الخط يبجي على
على طول الخط يبجي على طول الخط يبجي على طول الخط
يبجي على طول الخط يبجي على طول الخط يبجي على طول
على طول الخط يبجي على طول الخط يبجي على طول الخط
يبجي على طول الخط يبجي على طول الخط يبجي
على طول الخط يبجي على
طول الخهذه ثلاثة في اتنين
على N وهذه F of N في اتنين على N بالشكل اللي انها
هنا
الان دلتا اكس اخدتها براتمام؟ شيلت الـC1 و الـC2 و
الـC3 و الـCN و حطيت قيمة فالكتاب ده نعم تمام؟
يبقى هذا الكلام بده يساوي بده يساوي Delta X اللي
هو جداش ب 2 على N وهذا الجزء بده أشوف جداش قيمة
الدالة هنا وين الدالة هيها يبقى بده أشيل كل X و
أحط مكانها 2 على N يبقى هذه 2 اللي برا وهذه 2 على
Nتمام؟ يبقى هذه اتنين اللي برا وهي اتنين .. اه
نشيلها زائد واحد يبقى
هذه زائد واحد، زائد هذه اتنين اللي برا وهذه اتنين
في اتنين على ان زائد واحد، زائدأتنين في تلاتة في
اتنين على ان زائد واحد زائد زائد اخر حاجة اتنين في
ان في اتنين على ان زائد واحد طيب هذا الكلام يساوي
اتنين على ان هي هبرة نيجي لهذه هذه عبارة عن قداش
اربع عالان زاد اتنين في اربع عالانطبعا زيادة واحد
خلّي الواحد الاخر مش مشكلة يبقى يد اتنين في أربعة
على N زائد اللي هو تلاتة في أربعة على N زائد زائد
N في أربعة على N زائد واحد زائد واحد زائد واحد
الشكل اللي عندنا هناهذه كتابة المجموعة كلها هذا
الكلام يساوي 2 على N فى 4 على N بدي أخدها عامل
مشترك بيبقى لدي واحد زائدي اتنين زائد تلاتة زائد N
زائد 2 على N اللي برا هذا المجموعة مجدد كله Nطيب
هذا الكلام بده يساوي اتنين في اربع تمانية على N
ترمية فيه هذا summation على مين على K اول
summation ناخدها واحد زي اتنين زي تلاتة زي N اللي
هو summation على K من K تساوي واحد لغاية ال N وهذا
اللي هو عبارة عن N في N زي واحد كله على اتنين
نختصر الان الان مع الان و اتنين مع هدى بيبقى
الجداش اربعة يبقى واتس ساوي اربعة على ان في جداش
في ان زائد واحدراحت هذه، ضالت أربعة، راحت اتنين،
راحت هذا الان زائد واحد على مين؟ على الان، هذه
أربعة على الان، ضال عندي مين زائدي اتنين، يبقى
نفسيها، هذه لو دخلت الان جوا، بضال عندي قداش،
أربعة فقط لغير، زائد، هذه بصير أربعة على ان، أربعة
على انزائد اتنين طيب تمام يبقى هذا شكل الريمان صام
تمام اللي هو قداش يعني ستة زائد اربع على ان شكل
الريمان صامأنا بدي التكامل من Zero لغاية اتنين
للاتنين X زائد واحد كله دي X يبقى ال limit لما ال
Intensity to infinity للريمان sum اللي بيطلع عندنا
هذا جدوش الريمان sum اللي هو ستة زائد أربعة على N
و يساوي جدوش ستة طب ايش رأيك بيتأكد الحل صح ولا
غلطكامل هذا على السريع تكامل هذا X تربيع وتكامل
هذا ب X X تربيع زائد X عند اتنين باربع زائد اتنين
ناقص Zero Zero يبقى دياشر اربع زائد اتنين و ستة
يبقى كلام سريع مائة بالمئة
يبقى من الأن فصاعدا قيمة التكامل المحدود هو ال
limit لل remansam سواء أخد upper bound ولا lower
bound سيئا هذي والله هذي بتفرقش عنها خد كمان مثال
صغير express
Limit لصميش من K تساوي واحد لغاية ال N ل C K تربيع
ناقص ثلاثة C K في Delta X K
حيث ال P is a partition ال
P is a partition of the interval لناقص
سبعة وخمسة as
Definite Integral
بقول في المثال اعبر عن ال limit لريمان صم اللي
قدامك هذا حيث ال P هي partition على ال interval as
definite integral يعني بديش اشوف الصيغة اللي عنها
دي وانما بدي اشوفها ك ايه ك definite integral
هنقول ببسيطة الان هذا اللي هو ال limit لما ال norm
لل P بدي روح لوين لل zero شكل اللي عنهالمن؟ لـ
summation من K تساوي واحد لغاية N ل C K تربيع ناقص
ثلاثة C K في Delta X K يساوي تكامل من أين لو اننا
شباب؟ من سالب سبعة لغاية خمسةيبقى الفترة من سالب
سبعة لغاية خمسة بدنا ال F of X يبقى ال F of X في
DX يبقى تكامل من ناقص سبعة إلى خمسة من واحد بده
أجيب له ال F of X
يبقى هذه كإنها X تربيع ناقص تلاتة X بس شار لل X
وحط مكانها مين؟ حط مكانها الـ CK يبقى الدالة هذه
هي X تربيع ناقص تلاتة X
بنجي لنظرية theorem بيقول
ال F
is continuous function on the closed interval a و
b then تكامل من a إلى b لل f of x dx exists that
isأي أن الـ F is integrable على
الفترة A وB نعود
للتعريف أو للنظرية التي كتبناهاطبعا لو أخدنا دالة
مع الدالة هذه قد تكون قابلة للاشتقاق و قد لا تكون
قابلة للاشتقاق في المقابل قد تكون قابلة للتكاملوقد
لا تكون قابلة للتكمل الشرط واحد ان تكون قابلة
للتكمل هو الشرط بس تبقى دالة متاصلة continuous
function يبقى بقول ايه؟ لو دالة دالة متاصلة على
الفترة a وb يبقى التكمل على هذه الفترة exist وفي
هذه الحالة بقول ان الدالة قابلة للتكمل على الفترة
a وb يبقى لو سؤال سؤال هل الدالة هذه؟قابلة للتكامل
على فترة ما ولا لا بقى جيبها اتطالع والله إذا كان
الدالة دالة متصلة على هذه الفترة إذا هي دالة قابلة
للتكامل بس ابحث ال continuity لها ماشي طيب نجي
الآن لخواص التكامل المحدود يبقى ال properties
properties of definite integrals
خاصة
كامل المحدود بيقول لو كانت الدالة F و كذلك الدالة
G are integrable
functions دوال قابلة للتكامل functions of a وb
then النقطة
الأولى تكامل من b إلى aلل F of X DX يسوى ناقص
تكامل من A إلى B لل F of X DX نمره اتنين تكامل من
A إلى A لل F of X DX يسوى Zero تلاتة
تكامل من A إلى B للـK في الـF of X DX يساوي K
تكامل من A للـF of X DX where
حيث الـK is constant الفاصية
الرابعة
خاصية الرارة بيقول تكامل من A إلى B لل F of X زائد
أو ناقص G of X كله في DX بيسوي تكامل من A إلى B لل
F of X DX زائد أو ناقص تكامل من A إلى B لل G of X
DX
خاصية الخامسة تكامل من A إلى B لل F of X DX زائد
تكامل من B إلى C لل F of X DX سوى تكامل من A إلى C
لل F of X DX خاصية ما قبل الأخيرة ال minimumلدالة
F في الـ B ناقص الـ A أقل من أو يساوي تكامل من A
إلى B لل F of X DX أقل من أو يساوي ال maximum
لدالة F في الـ B ناقص الـ A قصية السابعة والأخيرة
if f of x greater than or equal to g of x على
الفترة المغلقة a و b then تكامل من a إلى b لل f of
x dx أكبر من أو يسوى تكامل من a إلى b لل g of x dx
also
وكذلك if ال F of X greater than or equal to zero
على الفترة المغلقة A وB then تكامل من A إلى B لل F
of X DX greater than or equal to zero
نزل لخواص التكامل المحدود هذه الخواص نفس الخواص
اللى أخدتها في الثانوية العامة هي هي لم نأتي بجديد
بدنا نوضح هذه الخواص فببدأ بما يأتي بقول لو كان
عندي دلتين F وجيه كل واحدة فيهم قابلة للتكامل على
نفس الفترةيبقى تنتين integrable على الفترة A وB
الدالة الأولى قبل التكامل على فترة A وB الدالة
التانية قبل التكامل على نفس الفترة A وB إن حدث ذلك
فإن تكامل من B إلى A لل F of X DX يسوى السالب
تكامل من A إلى B للF of X DXيعني لو عندك تكامل إذا
لو قلبت حدية تكامل واحد مكان التاني تعطيك نفس
النتيجة بس بإشارة سالبة يبقى نفس النتيجة بس بإشارة
سالبة يبقى إذا قلبنا حد التكامل السفلي عطنا مكان
العلوي والعلوي مكان السفلي بيعطيني نفس النتيجة بس
بإشارة مخالفة يعني لو كانت النتيجة أصلا سالبة بصير
موجبة
النقطة الثانية قال يتكامل من A إلى A ل F of X DX
سوى قدر؟ Zero بالبلد يبقى جينا نقول إذا تساوى حد
التكاملفإن قيمة التكامل تساوي الصفر مش هيكون اقول
في الثانوية يبقى انا الحد السفلي هو نفس الحد
العليا تكامل من اتنين لاتنين ل F of X DX بساوي
Zero تكامل من عشر على عشر ل F of X DX يعني انا
مامشيتش ولا خطوة ضليت في مكاني من A ل A نفس الرقم
ماخدتش فترةيبقى النتيجة تساوي 0 التكامل هذا بيقول
يتكامل مقدار ثابت في دلة يساوي المقدار الثابت في
تكامل الدلة
أبدًا يعني التكامل هخش على الدالة الأولى و يخش على
الدالة التانية في حالة الجامعة و الطرح ياكوا ثم
ياكوا يضربوا الجسم مش صحيح يبقى صحيح فقط في حالة
الجامعة و الطرح فقط لا غير طيب نيجي نقطة الخامس
تكامل A إلى B ال F of X DX زي تكامل B إلى C لل F
of X DX يساوي تكامل من A إلى C لل F of X DXيعني
يمكن تجزية التكامل إلى مجموعة تكاملين يعني لو جيت
قلت على سبيل المثال ان احنا عندنا دالة هذا محور X
وهذا محور ورسمنا منحنى الدالة هذا كان ايه ابتديت
من عند النقطة A وانتهيت على سبيل المثال عند النقطة
Cيبقى لو كان عندي نقطة B في الطريق هكذا يبقى
التكامل من A إلى B يعطي المساحة هذا التكامل من B
إلى C يعطي المساحة هذه إذا هو عبارة عن التكامل من
A إلى C مباشرة يبقى هذا المقصود اللي هو التكامل
اللي عندكالنقطة السادسة وهي المهمة ال minimum تبع
الدالة f لو ضربته في قول ال intervalهيكون اقل من
او يسوي تكامل من a الى b لل f of x dx اقل من يسوي
maximum للدالة f ميا في طول ال interval فمثلا لو
جيه تقولش لك هذا ا هذا محور x وهذا محور y وافترض
الدالة ماشية بالشكل العلن هذايبقى هذا Y تساوي F of
X وهذا Y تساوي F of X تمام؟ الدالة هذه، هذه نقطة A
وهذه Main وهذه نقطة B المنوعة متابعة ده اللي بيحصل
وين؟ براسمتنا هذه، ممكن يكون بهاحاسس الدالة
تزايدية أو تناقصية ممكن يكون نازل من فوق لتحت يبقى
ال maximum بيحصل في الأول و ال minimum بيحصل في
الآخر يختلف من رسمة لأخرى يبقى هذا بيعطيني ال
minimum تبع الدالة F اللي هو ال F في هذا بيعطيني
ال maximum تبع من الدالة فلما يقول ال minimum تبع
الدالة في ال B ناقص اللي هي ال B ناقص اللي هي
للمسافة هذهالمسافة هذه لو جيتها خط من هنا خط أفقي
بالشكل اللي عناها ال minimum تبع الدالة فيه هذا
فمين في P نقص ال A بيعطيني مساحة المستاطيل المضلة
لهذا صحيح ولا لأ طيب لو أخدت ال maximum تبع الدالة
اللي هو مينالبعد هذا كله، لو جيت قلت كمان زي هيك،
الشكل اللي عندها هذا، يبقى هذا هيعطيلي مساحة
المستطيل الكبيرلكن التكامل على المنحنة بيعطيه
المسافة اللي تحته، المسافة هذه أكبر من المستوطين
الصغير وأقل من المستوطين الكبير، إذا صار التكامل
على الدالة اللي عندنا هذه محصور ما بين ال minimum
لدالة F ال B نقص ال A وما بين ال maximum لدالة F
ال B نقص ال Aهذا عليه أسئلة كثيرة عندك في الكتاب
زي ما هنشوف الآن بعض الأمثلة بعد قليل الخاصية
السابعة والاخيرة بيقول لو كانت ال F of X أكبر من G
of X على فترة ما، كيف يعني؟ يعني لو جيت قلت هذا
المنحنةوهذا محور X وهذا محور Y وهذا النقطة الدالية
لـ0 قال لي على الفترة A وB الـF of X أكبر من مين؟
من الـG of X يبقى لو كان هذا منحنا الدالة وY تساوي
F of X جيت لمنحنا الدالة التانية وليكن بالشكل اللي
عندك هذا يبقى هذا Y تساوي G of Xأخذت فترة من الـA
مثلا لغاية الـB يبقى في هذه الحالة الفترة A وB
دائما و أبدا F of X أكبر من مين؟ من الـG of X بقول
إيه أن أنت كامل عدل، الأولى أكبر من أنت كامل عدل؟
طبيعي جداً لإن اتكمل على الدلة لو هعطيك المساحة
هذه كلها و اتكمل على الدلة اني اعطيك المساحة دي
يبقى هذا وضع طبيعي تمام يبقى هذه هي الخاصية رقم
سبعة بتاخد حالة خاصة منها لو كان جيوفكس بزيرو يبقى
لو كان الفوفكس أكبر من أو يساوي زيرو على الفترة
اللي عندنايبقى التكامل على الدالة دي أكبر من أو
يساوي مين؟ Zero يعني هذه حالة خاصة من مين؟ من اللي
فوق يعني التكامل على الدالة الموجبة دائما أو أبدا
بيعطيني قيمة موجبة الآن بهمني كيفية استخدام هذه
الخواص كيف أستخدم هذه الخواص عند حل المسائل
المختلفة؟ يبقى هذا اللي بدنا نتعرض له الآنأول مثال
بيقول ما يأتي example one بيقول ما يأتي if ال
if and ال g are integrable functions integrable
functions andوفي نفس الوقت كان تكامل من واحد إلى
اتنين لل F of X DX بده يساوي سالب أربعة وتكامل من
واحد إلى خمسة لل F of X DX بده يساوي ستة and تكامل
من واحد إلى خمسة للـ G of X DX بده يسوى تمانية
Find the value of بدنا قيمة كله مما يأتي
نمر آي بدنا تكامل من اتنين لغاية واحد لثالث اتنين
F of X DX نمر بيه بدنا تكامل من اتنين إلى خمسة
لخمسة F of X DX نمر سيه بدنا تكامل من واحد إلى
خمسةلمن لا تلاتة f of x ناقص g of x كله في dx
طلعلي في المنصلة كويس بيقول لي ده ال F و G دوال
قابل للتكامل ماتيني قيمة التكامل على F من واحد إلى
اتنين بسالف اربعة تكامل واحد إلى خمسة اللي F of X
يساوي ستة تكامل على G of X من واحد إلى خمسة يساوي
تمانية جالي هاتلي قيمة من التكامل كل تكامل من
التكاملات الثلاثة اللي أمامنا انا عندي خواصب ده
حاول استعمل الخواصب بقدر الإمكان باجي بطلعالاندكس
اللي تحت التكامل اللي تحت هو من الكبير واللي فوق
صغير دائما وأبدا بارتب التكامل لحياتي يكون الاندكس
اللي تحت هو الصغير والاندكس اللي فوق هو الكبير
يبقى بناء عليه هدف بقلب حدود التكاملبقول الخاصية
الأولى مسحناها إذا بتقلب حدود التكامل تجيك إشارة
سالم يبقى هذا هو عبارة عن تكمل من 1 لليتنين
لليتنين f of x dxخاصية تالتة بيقول إذا عندك مقدار
ثابت بتطلعه برا تمام يبقى باجي بقوله يا اتنين خليك
برا و تكامل من واحد للي اتنين لل F of X DX يساوي
اتنين اظن معطف تكام واحد للي اتنين ل F of X DX
يساوي اتنين سالب اربعة يبقى سالب اربعة يبقى
النتيجة تساوي كده سالب تمانية نيجي لنمرمينمرة
بيقول بدي تكامل من اتنين لخمسة لخمسة F of X DX
باجي بقوله هيتكامل من اتنين الى خمسة لخمسة F of X
DX يساوي خمسة مقدار ثابت بقوله برا يبجي من اتنين
الى خمسةللـ F of X DX باجي على التكاملات اللي عندي
ماعنديش ولا تكامل من اتنين الى خمسة يبقى استخدم
عجلك بقول له اه استنى شوية خلي هذا على شجرة انا
عندي تكامل من واحد الى خمسةللـ f of x dx معروفة
قيمته صحيح ولا لا لو بسته بقول اه بنقدر نجزق هذا
التكامل لتكاملينلأن أنا عندي تكامل من واحد لإتنين
و اللي مقلوب من إتنين إذا بجهزه تكامل تبعي إلى
تكاملين طبقا للخاصية رقم خمسة إذا بقدر أقول هذا هو
تكامل من واحد للإتنين لل F of X DX زي التكامل من
إتنين للخمسة لل F of X DX صحيح ولا لأ؟ أنا بدي هذا
التكاملمظبوط يبقى باجي بيقول له هذا بده يعطينا ميم
يعطينا ما يأتيالتكامل الأول 6 يبقى هاي 6 U7
التكامل التاني جداش سالب 4 زي تكامل من 2 إلى 5 لل
F of X DX يبقى هذا بده يعطيلك انه تكامل من 2 إلى 5
لل F of X DX ضيف 4 على الطرفين يبقى بده يعطيك جداش
10
ماذا ما عرفناها يبقى هذا بده يعطيك انه تكامل من
اتنين الى خمسة لخمسة F of X DX بده يساوي خمسة اللي
برا في هذا التكامل هذا التكامل قداش عشرة يبقى
يساوي خمسين يبقى قيمة هذا التكامل يساوي خمسين
نمر الـ C يعطيني مجموع تكاملين، إذا بقدر أوزع
التكامل لكل من هما طبق للخاصية رقم أربع، تمام؟
فباجي بقوله ما يأتي، أنا عندي تكامل من واحد إلى
خمسة لمين؟ لتلاتة، F of X ناقص الـ G of X كل هذا
الكلام DX يساويبدي اوزع التكامل لكل واحد واطلع
التلاتة من التكامل الاول برة يبقى هاي تلاتة برة
وهاي تكامل من واحد الى خمسة لل F of X DX ناقص
تكامل من واحد الى خمسة لل G of X DX Y الساوي هاي
تلاتةتكمل من واحد إلى خمسة عماطة اللي هو جداش ستة
يبقى بصير هذا تلاتة في ستةنقص تكبر واحد الى خمسة
الجيل اللي هو جداش تمانية يبقى تلاتة في ستة في
تمانتاش ناقص تمانية يبقى نتيجة تساوي جداش عشرة
يبقى هذا مثال على كيفية استخدام الخواص المختلفة
لكن حتى اللحظة اللي هي أهم خاصية فيهم لحد تلان ما
استخدمنهاش طبعا طيب ولا يهمك هناك مزيد من الأمثلة
عشان نستخدمها
Example 2 مقول
find and upper bound and
lower bound
Upper bound and lower bound for the integral
لتكامل
تكامل من باية على أربعة لباية على تلاتة لكوصين X
في DX كوصين X في DX
بقول هاتلي حد علوي و حد سفلي للتكامل اللى عندنا
هذا يعني بدي اجيبليه رقامين بحيث قيمة هذا التكامل
تكون محصورة بينهم ولم يقول كامل صح ولا لا طب باجي
بطلع في الخواصة اللى عندى من واحد لغاية سبعةأول
ميجي فالى مين؟ ستة لإن ستة هي اللى بيقول التكوين
محصور بين قيمتين يبقى لما اقول انا بدي تكوينكصور
محصور بين upper bound و lower bound يعني حد عليه
حد simply إذا مليش الخاصية رقم ستة إذا مشان أجيب
الخاصية رقم ستة بدي أشوف ال minimum تبع الدالة F و
طول الفترة سهلبايع ثلاثة نقص بايع على أربع و بدي
اشوف ال maximum تبع الدالة F اه معناته الدالة هذه
بدي اشوف هل هي increasing و الله decreasing و يمكن
ما تكونش الله أعلم نعم نعرف و يمكن increasing و
decreasing الله أعلم يبقى انا كل اللي عندي بقوله
ان ال F of X الهدنمية اللي هي cos Xبدي اشوف على
الفترة اللي عندنا هل اتدى ل increasing و لا
decreasing طب ليش increasing و لا decreasing؟ لأن
إذا تزايدية يبقى ال minimum في الأول و ال maximum
في الآخر و إذا decreasing يبقى ال maximum في الأول
و ال minimum في الآخر، مظبوط او لا؟ طيب يبقى هذا
الكلام بدي اعطيك ان f prime of x يساوي سالب sin x
طب كويسهذه القيمة على الفترة من باية لأربعة لباية
على تلاتة يعني من خمسة واربعين درجة لغاية الستين
في أي الأربعةالأول يعني ال sign هذا موجب دائما و
أبدا وهذا مسوق بمين بشرة سالب يقول ايش بصير سالب
معناه هذا الكلام انه أقل من ال zero لكل ال X اللي
موجودة من πاي على أربعة لغاية جداش لباية تلاتة
معناته ان الدالة هذه مالها
تنقصية على الفترة من Pi على 4 لغاية Pi على 3يبقى
انا استنتاجها رياضيا دون ان انظر الى الرسم تبعها
لكن لو رجعت للرسمة و صحيح بتبدأ من عندي zero و
بتنزل لغاية باي و هى نازلة، مظبوط ولا لا؟ يبقى
احنا في الرابع الأول يبقى هى كانت decreasing
بالفعل كانت decreasingما علينا ممكن تبقى أي دللة
يبقى انستنتجها رياضيا او لو ان انا عارف رسمتها
وسميت حالة مش عارف الرسمة بتاعتها يبقى محصورة بين
باي على اربعة لغاية باي على تلتة مادام decreasing
تناقصية هي decreasing اذا ال maximum بيحصل وين؟عند
البداية عند ال by على أربع و ال minimum بيحصل عند
النهاية يبقى باجي بقوله إذا ال maximum لدلة F هو
عبارة عن ال maximum للقصائم ال Xهذا اوكر بيحدث ات
من اكس يساوي decreasing يعني نازلة من فوق يبقى عند
ال by على اربع عند البداية و ليس عند النهايةهذا
بده يعطيك انه cosine باي على اربع جدش بده يساوي
جتا خمسة واربعين بواحد على جدر اتنين الان بالدج ال
minimum تبع الدلة F هو عبارة عن ال minimum تبع ال
cosine Xوهذا بيحدث عند x يساوي كده؟ بيعة تلاتة هذا
بيقدر يعطيك ان ال cosine بيعة تلاتة جتا تلاتين
جتا ستين اللي هو بنص طبعا الان بدي اقول الخاصية
تبعتنا تبعتنا بتقول ال minimum تبعت ال F في ال B
ناقص ال A اللي هي باية تلاتة ناقص باية على أربع
أقل من أو يسوى تكامل من باية على أربع لباية تلاتة
لكوصين ال X DX أقل من maximumالدالة F في مين؟ في
الـ πايعة تلاتة ناقص الـ πايع على أربع بقوله كويس
ال minimum تبع الدالة F كده إيش؟ نص يبقى هذا نص
وهذه بايع تلاتة ناقص بايع الأربع مضاعف المشترك
أتناش يبقى أربع ناقص تلاتة بيظل بس بايع على أتناش
باية على أتناشر أقل من تكامل من باية على أربع
لغاية باية على تلاتة لكوسين ال X DX وهذه أقل من أو
يساوي ال maximum تبعهاالـ maximum تبعد ده الافة
اللي أنا جدوش واحد على جذري اتنين يبقى واحد على
جذري اتنين في ال by على اتن عشر ايش قال له؟ بدي
upper bound و lower bound لهذا التكامل يبقى باجي
بقوله the upper bound of the integral
القيمة الأولى و الله التانية يبقى باي على اتناشر
جذري اتنين and the lower bound is باي على اربع
وعشرين
طيب نعطيك كمان مثال find
the values of a and b such that بحيث
انالـ A أقل من أو يساوي تكامل من سلب واحد إلى واحد
للجذر التربيهي لواحد زائد X أربعة DX أقل من أو
يساوي من الـ B أظن
نفس فكرة السؤال السابقنفس الفكرة لكن اختلاف في
الشكل و سنجد اختلاف في المضمون و لو انها نفس
الفكرة كيف؟ قال هاتل قيم a و b بحيث a أقل من أو
يسوى التكامل أقل من أو يسوى لم يقل هاتل قيمة
التكامل اتنين ولا واحد هي كبيرة في كامل الدالة هذه
حتى اللحظةوحتى لما تخلص Calculusيا وانت بتعرفش
تكملها كمان لكن بعديك مرحبا بكم تكملها تمام؟ طيب
بهمنيش مجليش كامل جليبييل لي ان هذا التكامل محصور
يعني بدك تجيبلي الرقمين التكامل هذا أبدا دايما
محصور ما بين الاتنين بقوله كويس بدنا نيجي نجيب له
قيمة ا و بمش هنجيب له قيمة ا و ب بدي اشوف زي اللي
جابله هل هي increasing ولا decreasing ولا شو القصة
بالظبط بقوله بسيطة احنا عندنا ال F of X يساوي
الجدر التربية إلى واحد زي دكسوس أربعلو اشتقناها
يبقى هذا بدي اعطيك f prime of x يبقى واحد على
اتنين الجذر التربيعي لواحد زي x أُص أربعة في مشتقة
ما داخل الجذر اربعة x تكييب يبقى اتنين x تكييب على
الجذر التربيعي لواحد زي x أُص أربعةيبقى هذه
المشتقة in general أنا مقيد للفترة من سالب واحد
إلى واحد وماليش دعوة في الباقي، مظبوط؟ بقولك
كويسة، هذا لو جيت قلت هذا ال real line وهذا سالب
واحد وهنا zero وهنا واحد، تمام؟ الآن المقام عمره
بياخد إشارة سالب؟يبقى ال X سالب هو الله موجبة
وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة
هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله
موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة
وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة
هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله
موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة
وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة
هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله
موجبة وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة
وموجبة هو الله موجبة وموجبة هو الله موجبة
وموجالـ F' of X أكبر من الـ Zero على الفترة من
عندي الـ Zero لغاية مين؟ لغاية الواحد، معناته الـ
F is decreasingدالة تناقصية on الفترة من سالب واحد
لغاية مين is zero and increasing دالة تزايدية على
الفترة من عند ال zero لغاية مين لغاية الواحدتبقى
في لحظة ما من سالب واحد الى زيرو كانت decreasing
كانت نازلة و بعدها صارت ايه؟ صارت طالع بالشكل اللي
عندنا لكن احنا مقيدين فقط من سالب واحد الى واحد
ماعناش علاقة بعد واحد و ماعناش علاقة قبل واحد بقول
طيب مدام هيك لما تبقى انتباهي بدي اشوف قداش ال F
of واحد وال F of سالب واحدطب اطلع في الدالة هذه ال
F of واحد وال F of سالب واحد يبقى
ال F of سالب واحد هو نفس ال F of واحد هو الجذر
التربيه الواحد زائد واحد يساوي جذر اتنين يبقى عند
اول النقطة هذه قيمة الدالة جذر اتنين وعند النهاية
جذر اتنينيبقى عند السلب واحد تبقى جدر اتنين وعند
الواحد تبقى جدر اتنين يعني كانت فوق كويس بس هذي
نزلت بده يشوف نزلت لوين بده يروح لل F of Zero ال F
of Zero اللي هو الجدر التربية اللي هو واحد زائد
Zero يعني واحد طب جدر اتنين بقداشاحد واربع من
العاشرة تقريبا و الهدى واحد يبقى ال minimum اللى
دالة بيحصل وين و مقداره و ال maximum تبع الدالة
جذرتنه و بيحصل عنده نقطتين عند السلب واحد واحديبقى
باجي بقوله ال maximum لدلة f بده يساوي جذر اتنين
at x يساوي سالب واحد and at x يساوي واحد and ال
minimum لدلة f بده يساوي واحد at x يساوي زيرا اذا
بده ارجع للخاصية تبعتيالـ Minimum لدالة F مضروب في
الـ B ناقص الـ A الـ B اللي هي واحد ناقص لناقص
واحدأقل من أو يسوى تكامل من سلب واحد إلى واحد
للجدر التربية لواحد زي X أس 4DX أقل من أو يسوى ال
maximum لدلة F في الواحد ناقص ناقص واحدطبعا نجي ال
minimum لده ال F ال minimum لده ال F اللي هو جداش
واحد يبقى هنا واحد في اتنين اقل من او يسوى تكامل
من سالب واحد الى واحد للجذر التربيه الواحد زاد X
وصة اربعة DX اقل من او يسوى ال maximum اللي هو جذر
اتنين في جداش في اتنين اتنين جذر اتنينيبقى الصورة
تكون هذه a وهذه مين ال b يبقى هذا معناته ان ال a
تساوي اتنين and ال b يساوي اتنين جدري اتنين نفس
الفكرة بس السؤال اللي جابله كان increasing على قول
او decreasing هذه مرة increasing ومرة decreasing
digital area under
under the
graph of a non-negative
function definition
Y تساوي F of X is non negative and
integrable
وقابلة للتكامل over a closed interval
closed interval a و b then the area then the area
under
the
curve under the curve y تساوي f of xو X
Axis over A و B تكامل
من A إلى B لل F of X DX
لما نرسم ال function قد تكون اعلى ال X axisوقد
تكون أسفل الـ x-axis وقد يكون جزء أعلى الـ x-axis
وجزء أسفل الـ x-axis موضوعنا هنا لو كانت الدالة
أعلى الـ x-axis والباقي له كلام في المحاضرة
القادمة ان شاء الله تعالى أو التي تليها خلينا بس
ال area under the graph of the non negative
function non negative يعني الدالة لا تاخد قيمة إلا
أكبر من مين؟ من الـ Zero طبعا بقول لو كان Y تساوي
F of X is non-negative and integrable على ال
closed interval A وB then the area under the curve
المساحة الموجودة تحت المنحنة Y تساوي F of X بينها
وبين محور X على الفترة من A إلى B هو تكاملمن A إلى
B لل F of X DX يبقى معنى هذا الكلام طبقًا لهذا ال
definition المعنى الهندسي للتكامل من A إلى B لل F
of X DX هو المساحة المحصورة بين المنحنة ومحور X
على الفترة من A إلى B يعني يمكن استخدام المساحة في
معرفة قيمة التكامل دون إجراء عملية التكاملوهذا ما
سنعرفه في الأمثلة في المحاضرة القادمة