بسم الله الرحمن الرحيم مناصرة العيد نقول كل عام و
أنتم بخير و تقبل الله مننا و منكم صالح الأعمال و
جعل هذا العيد في ميزان حسناتنا يوم القيامةيوم لا
ينفع ماله ولا بنون إلا من قطع الله بقلبه سليم نرجع
لموضوعنا طبعا انتهينا المرة الماضية من implicit
differentiation اللي هو التفابل أضمنه ال section
اللي بعده تلاتة و تمانية من شطبه بروح إلى تلاتة
تسعة اللي هو linearizations and differentials طبعا
linearization جاء من كلمة linear
الدالة خطية عند نقطة طيب شو السبب السبب أحيانا ال
function اللي عندنا بيكون صعب التعامل معاها فيمكن
استبدالها عند نقطة مابدالة خطية تكافئها طبعا بيكون
هناك خطأ بسيط جدا يمكن التغاضي عنه ومن هنا سمنها
approximating function الدالة التقريبية
approximating function يبقى الدالة التقريبية تكافئ
الدالة الأصلية مع فارق في الخطأ بسيط جدا يمكن
التغاضي عنهبالمهم كيف نعمل الدالة اللى عندنا دالة
خطية كيف يمكن تحويل هذه الدالة إلى دالة خطية هذا
ما يتحدث عنه التعريف الأول اللى أمامنا التعريف
بيقول ما يأتيإذا الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي
A، إذا الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي A، إذا
الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي A، إذا الدالة
قابلة الاشتقاق عند X يساوي A، إذا الدالة قابلة
الاشتقاق عند X يساوي A، إذا الدالة قابلة الاشتقاق
عند X يساوي A، إذا الدالة قابلة الاشتقاق عند X
يساوي A، إذا الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي A،
إذا الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي A، إذا
الدالة قابلة الاشتقاق عند X يساوي A، إذا الدال
يساوي F of A قيمة الدالة عند A زائد قيمة مشتقة
الدالة عند A مضروبة في X ناقص اللي هي طبعا الشباب
هذه قيمة عددية وهذه قيمة عددية X من الدرجة الأولى
يبقى صارت دالة خطية لأنها معدلة من الدرجة الأولى
ومن هنا سمنها Linear Approximation التقريب الخطي
يبقى هذا is the linearization of f at x يساوي إيه
هو جعل الدالة خطية عند النقطة x يساوي إيه ال L of
x بدل منقول linearization of approximating
function اصطد على تسميته the standard linear
approximation يعني هذا متعرف عليه دوليا في كل كتب
الرياضيةللدالة F عند النقطة X يساوي A النقطة X
يساوي A بنسميها مركز التقريب is called the center
of approximation يعني مركز التقريب اللي قربنا فيه
الدالة الأصلية إلى مين؟ إلى الدالة الخاطيةنذهب
لأمثلة كيف نحسب الدالة الخطية لدالة تمها عند نقطة
بقول هاتل ال linearization اللي هو رمز L of X اللي
فوق عنها هذا لمين لكل من الدوال التالي عند النقطة
المعطال F of X يساوي الجدر التربية ل X تربية زائد
تسعة عند النقطة A تساوي سالب أربعة تبلة F of X
يساوي X عند النقطة A يساوي Yيبقى مطلوب حساب قيمة
الدالة عند النقطة المعطاة اتنين بإن قيمة مشتقة
الدالة عند النقطة المعطاة إذا لو جيت للنقطة الأولى
اللي هي A معناته بدي أحسب F of سالب أربعةيبقى هذا
بدي يساوي ل square root لسالب أربعة لكل تربية زائد
تسعة طبعا ستة عشر زائد تسعة خمسة وعشرين تحت الجذر
بتطلع بقدر خمسة بعد هيك بدنا نروح نجيب f prime of
x يبقى مشتقة الجذر بواحد على اتنين الجذر تربية
زائد تسعة في مشتقة ما تحتالجذر X تربيه ب2X ومشتقة
التسعة ب0 لإنها constant يبقى النتيجة X على الجذر
التربيه ل X تربيه زائد تسعة بالشكل اللي أنها دهزي
9 طبعا بيحسب قداش القيمة اللي عندنا هذه f prime of
سالب أربع
يبقى بناء على الـ Linear Approximation أو الدالة
التقريبية L of X بيساوي ال F of سالب أربعة زي F
prime of سالب أربعة في ال X ناقص ناقص أربعةيبقى
بنتيجة F of سلب أربعة اللي هي أنا قداش خمسة بعد
هيك F prime of سلب أربعة اللي هي سلب أربعة أخمس
يبقى سلب أربعة أخمس كله في X زائد من زائد أربعة
يبقى هذا معناه ما يأتي ان ال L of X
بدها تساوي اللي هو الخمسة سالب أربع أخماس X نضرب
هذه جوا بصير سالب ستاشر على خمسة يبقى معناه هذا
الكلام ان ال L of X بدها تساوي الرقم اللي عندنا ده
خمس عدد صحيح بده تسييل منه ناقص ستاشر على خمسة
نقطة تسعة على خمسةيبقى هذا الكلام بتساوي تسعة
أخماس ناقص أربع أخماس X هذا الشكل ال linearization
لهذه الدالة وزي ما انت شايف هي دالة خطية يعني دالة
من الدرجة الأولى بالنسبة لمن؟ بالنسبة للمتغير X
طيب نيجي لنمرى V من السؤالنمر بيه من السؤال قال لي
F of X يساوي تان ال X يبقى احنا ال F of X يساوي
تان ال X هذا معناته ان ال F of Pi بدي يساوي تان ال
Pi تان ال Pi بقدرش0 تمام بدنا نجيب F prime of X
تفاضل التان ب سك Square X بدنا نجيب F prime of Pi
يساوي سك تربيه الـPi تمام بدنا نيجي لسك تربيه
الـPi سك الـPi اللي مقلوب الكوصين يعني كإن واحد
على كوصين كوصين مية تمانين-1 تربيع يبقى النتيجة
تساوي واحد لكل تربيع يعني واحد حسبناها إذا ال L of
X لهذه الدالة بده يساوي F of Pi زائد F prime of Pi
في X ناقص ال Piهذا سيعطينا ان ال L of X يساوي ال F
of Y عندنا هي فوق اللي هي ب Zero و بعدها زاد ال F
prime of Y هو واحد فى قداش فى X ناقص بي يبقى
الجواب X ناقص بي يبقى هى ده اللى خطيه طبعا بيكون
اصلاوبالتالي دالة دالة من الدرجة الأولى السؤال
الثاني نمر أيه؟ بيقول لما يقول show that the
linearization show that the linearization
of
الـ function f of x يساوي واحد زائد الـ x كله to
the power k at x يساوي zero is L of x يساوي واحد
زائد k في x نمرا
بيه use
استخدم النقطة الأولى عندك to find an
approximation to
find an approximation for the following
f of x يساوي واحد على الجذر التربيعي لواحد زائد x
نقطة ثانية f of xيساوي أربع زائد تلاتة X كل هذا
الكلام أسطلت نمرى الـC use
approximation use
approximationواحد زائد X to the power K يساوي
تقريبا يساوي تقريبا اللي هو واحد زائد K X to
estimate
تستمتع الجذر التالت لـ 1.009
هذا
بتصلي حاليا يا شباب L of X يساوي تقريبا 1 زائد K
في X بدل يساوي يساوي تقريبا
سؤال مرة تانية سؤال عبارة عن ثلاث نقاط النقطة
الأولى بيقول يبين لإن ال linearization لل F of X
تساوي واحد زائد X كله to the power K عند X يساوي
Zero وL of X يساوي واحد زائد X النقطة الثانية
بيقول استخدم الحلق رقم A مشان توجد تقريب لكل دالة
منها تين الدالتينالنقطة تبتدى use approximation
اللى حصلنا عليه فى الحالة اى مش هنجيب قداش قيمة
الجدرى التالت للواحد وتسعة من الف يعنى بنعرف قداش
الجدرى التالت لهذا العدلبنقول له بسيطة هنمسك
المطاليب هذا واحد واحد اول مطلوب الاول بدنا نجيب
ال linearization لهذه الدالة ونثبت انه ال
linearization بده يسوى واحد زائد K X تقريبا بقوله
كويس يبقى اول شيء بدنا نجيب له F of ZeroF of zero
بدها تساوي واحد زائد زيرو كله to the power of K
يعني واحد to the power of K اللي هو بقدرش بواحد
تمام بدنا نجيب F prime of X نشتق الدالة الاسفى
القوس مرفوعة لنفس الاص مطروح من واحد مضروب فى
مشتقة مداخل القوس لو جداش واحد صحيح طب لنحسب جداش
المشتقة عند ال zero هذا بده يعطينا ان ال F prime
of zero كما لهاش دعوة واحد زائد زيرو أس كماقاس
واحد
يبقى هذا الكلام يبدأ يساوي كي في واحد ويبدأ يساوي
كدهشنجي الان لل linearization لل f of x يساوي ال f
of zero زائد ال f prime of zero في ال x ناقص ال
zeroيبقى ال linearization المطلوب L of X يبدو
يساوي F of Zero عندي بواحد يبقى ايه الواحد؟ Y زائد
الان F prime of Zero هيبقى كده ايش؟ ب K يبقى هذا
اللي هو main K K في مين؟ في ال X ناقص ال Zero اللي
هي ب X X أظن و هو المطلوب؟يبقى linearization يبقى
1 زائد KX اللي هو المطلوب الأول نمرة B نمرة
B نقطتين نجي للنقطة الأولى في الأولالنقطة الأولى
بيقول استخدم الجزء الاول ال part a مشان تجيب ال
approximation للدالة اللى عندنا هادى انا مشان
اجيبك درق اللى هو ال approximation لهذه الدالة
معناه ده بدي احط الدالة هادى على مينعلى الصيغة
اللي عندي مشان أستخدمها صحيح ولا لأ يبقى احنا
عندنا ال F of X اللي هي يسوى واحد على الجذر
التربيه إلى مين لقداش لواحد زاد اكساللي بقدر اقول
واحد زائد اكس اوس قداش اوس سالب نص اص نص نطلع فوق
بصير اوس سالب نص الان صارت هذه على الصيغة اللي
هناك بس ال K سالب السالب والله موجب انا لم اشترط
على K سالب والله موجب يبقى اي ريال number يكون
عندنا اذا بناء انا اليسارة الدالي هذي فيلميابنفس
الصيغة اللي عندنا هذه يبقى اللي استخدم هذا علشان
نجيب ال approximation بديرش لسه اشتق و اعوض ان لأ
لأ هي جاهزة الصيغة من part a يبقى باجي بقوله from
part a من الجزء aالـ L of X بده يساوي واحد زائد K
اللي هو ناقص نص في الـ X، بصبوط؟ واحد زائد K X،
الـ K عندي بسالم نص، يبقى النتيجة يساوي واحد ناقص
X على اتنين، يبقى هذا ال linearization دي يعني
الدالة
لو أربعة زائد تلاتة X أربعة زائد تلاتة X كله أسطل
عشان أستخدم ال approximation يعني هذه بدل الأربعة
بديها كم؟ بديها واحد، صحيح إذا المسألة هذه بقدر
أكتبها على الشكل التالي هذا أربعة في واحدزائد تلت
ربع X وهذا كله أس تلت
لو دخلت الارباجي هو بتعود المثلة كما كانت يعني
معناه هذا الكلام هذه أربعة أس طلت في واحد زائد
تلاتة X على أربعة أس قدر أس طلت تمام تمام نجي ال
approximation اللي عندنا يبقى ال L of X يساوي أظن
الأربعة أس طلت مليش دعوةصحيح ولا لأ؟ ال
approximation بتعمل لمين؟ لدالة لأن هذه يبقى هذه
واحد زائد كداش K عندي؟ تلت كداش ال X؟ تلاتة X على
أربعيعني أجاني بدل ال X ثلاثة X على أربعة يبقى
بحطها بكاملها كما هي نجي نشوف في اختصارات ولا
مافيش؟ اه والله في هذه مع هذه يبقى آلة المسألة إلى
أربعة أس تلت في واحد زائد ل X على أربعةهذا هو
الهدف من هذا السؤال كيف تحور مسألتك بحيث تكون على
الصيغة هذه وإذا حورتها وجعلتها على الصيغة هذه
بتقدر تجيب ال linear approximation بالنسبة لها
يبقى انتهينا من المطلوب التاني النمرة B اللي
استخدمنا فيه نمرة Aنمرة C بيقول استخدم نفس ال
approximation مشان تجيبلي الجذري التالت لوحد وتسعة
من عشرة يبقى باجي لنمرة C فكرة نمرة C زي فكرة نمرة
B ببطالةحط المسألة اللى عندك في صيغة اللى هو ال
inner approximation يبقى باجي بقول انا عند الجدر
التالت ل 1009 تمام يعني هذا كأنه 1009 أسطول يبقى
أسكي صار عندي أي أسكي بل ال bingosين بيداكوا تبقى
على صيغة مجموعة كميتيناحدهما واحد صحيح والتانية X
باجي بقول الواحد و التسعة من الف دي بقدر اقول هي
واحد زائد Zero Zero تسعة من الف و هاي كمان Zero
جابلها
أس طلت يبقى هذه الأس طلت يبقى الواحد هو الواحد
وتسعة من الف كانها مين هي ال X بالضبط تماما يبقى
النتيجة هذه بدا ساوي واحد زائد ال K بقداش طلت وال
X زيرو زيرو تسعة بالشكل اللي عندهايبقى هذا الكلام
يبدو يساوي واحد زاد، تلت في هذه بيصير Zero، Zero
تلتتسعة لتلاتة، اللي بتلاتة بيصير بدل ما هي تسعة
من ألف صارت تلاتة من ألف، ان بقى الواحد يبقى
الجواب بيطلع واحد point zero zero تلاتة، إذا
الجدرى التالت لواحد و تسعة من ألف هو واحد و تلاتة
من الف فعلاًهذا الان لو ضربت في نفسها تلت مرات
فتحصل
على واحد و تسعة منك طيب هذا اللي هو مثال تطبيقي
برضه على linearizationحتى الآن كله بناخد أمثلة على
النقطة الأولى من العنوان اللي احنا عارفينه اللي هو
الكون linearization and differentials التفاضلات
يبقى بنجي نعطي تعريف للتفاضلة ثم نروح نحسب بعض
الأمثلة عليها أو ناخد بعض الأمثلة عليها يبقى
definition let
الـ y تساوي f of x بـ a differentiable function
التفاضلة DX تفاضلة DX is an independent variable
متغير
مستقل and the differential
والتفاضة dy is the dependent variable
بدي يساوي f prime of x dx example
find
the differential dy
للعملات التالية
دالة الأولى Y تساوي Xفي الجدرى التربية الى واحد
ناقص X تربية دالة التانية Y تساوي 6 X تربية ناقص
واحد دالة التالتة X Y تربية ناقص أربعة X از تلاتة
على اتنيننقص Y يساوي كده؟ يساوي Zero نرجع
للتعريف اللي قلناه ده مرة ثانية يبقى ال definition
بيقول ما يأتي افترض ان Y تساوي F of X ده لقابل
للاشتقاءالتفاضلة DX هي متغير
مستقل وكذلك التفاضلة DY هي متغير مستقل يعني اتنين
بيعتمدوا على بعض وبالتالي DY بيكون F' of X DX سؤال
من أين لك هذا خلي بالك هناالآن لما نقول y تساوي f
of x و جينا و قولنا لك اشتق ايش بتقولين دي y by دي
x يساوي f prime of x علموك في الثانوية العامة ان
هذا رمز لا يمكن فاصلة يدل على مين يدل على المشتقة
الأولى قلوا لكوا هيك مظبوطقالولكوا لهاك لإن لو
كانت لسه أقول قصيرة شوية و بيخافوايبقى دال مع دال
بيبقى Y على X لكن الحقيقة انه يمكن فصله بقدر اقول
اضرب في DX بيصير
واتنين العلاقة فيما بينهما هو dy يسوى f prime of x
dx هي اللي كتبناها هنا، يريدوا يعرفوا أصلها جاء من
أين؟ أصلها جاء من المشتقة الأولىأو من الـfirst
derivative للـfunction y تساوي f of x المثال بيقول
لي هاتلي اللي هو ال differential dy for the
following functions يبقى أنا بدي أجيبله الـdy
معناته بدي المشتقة واضغفه في من؟ في الـdx بكون
حصلنا على المطلوب بقولك كويسيبقى انا بدى اجيبله dy
الشكل اللى عنه هذا بجيبله الاشتقاق قادر وبعد ما
خلص بضربه في من؟ في الـ x يبقى هذه تعتبر function
وهذه function تانية اذا هذه مشتقة حاصل ضرب دالتين
يبقى الدالة الاولى فى مشتقة الدالة الثانيةإتنين
الجذر التربيعي لواحد ناقص X تربية في مشتقة ما تحت
الجذر له سالب اتنين X تمام؟ هذا الأولى في مشتقة
مين؟ الثانيةزائد ثانية في مشتقة الأولى واحد ناقص X
تربية ومشتقة الأولى واحد يبقى كله هدف في DX نختصر
الاختصارات بصير DY يساويإتنين مع اتنين مع السلامة
بظل سالب X تربية على الجذري التربية لواحد ناقص X
تربية زائد الجذري التربية لواحد ناقص X تربية كل
هذا الكلام بالنسبة إلى مين؟ كل هذاممكن اعملها
توحيد للمقامات وبالتالي ممكن ابسطها اكثر من ذلك
اذا لو قلت كله على الجذر التربية لو واحد ناقص X
تربية بضل عندى هنا ناقص X تربية والجذر مع الجذر
بطير بالشكل اللى عندنا هذا وكله فاهمين؟فى الـDX
يبقى واحد ناقص اتنين X تربيع على الجذر التربيعى
لواحد ناقص X تربيع DX يبقى هذا شكل التفاضلة DY
بدلالة main بدلالة F prime of X وكذلك بدلالة
التفاضلة DX هذا النقطة الأولى نقطة الثانيةالنقطة
الثانية أبداً دالة واحدة مش حصل ضرب دلتين يبقى
باجي بقوله dy يساوي تفاضل السك بسك الزاوية في تاني
الزاوية في تفاضل الزاوية اللي هو جداش بتنين اكس
فاهمين؟ بدي اكس اختصارات مافيش خليها زي ما هي وروح
وخليها نمر تلاتةأه نمرة تلاتة هذا اشتقاق ضمنى، اذا
بدنا نجيبله dy بدلالة x بواسطة الاشتقاق الضمنى،
يبقى بده افضل كل شيء في ما كانه مع مراعاة قواعد
الاشتقاق اللى اتعلمناها قبل العيد في المحاضرة
الماضية، يبقى بده اجي للدلة اللى عندناهي الدالة
مرة تانية x y تربية ناقص أربعة x أس تلاتة على
اتنين ناقص y تساوي زيرو بدنا نبدأ نشتق يبقى هذه
function وهذه function تانية إذا هذه مشتقة حاصل
ضرب دالتين الدالة الأولى في مشتقة الدالة الثانية
اتنين y أيوةفي dy على dx مش هيك اتعلمناها طيب تمام
يبقى هذه الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد
الدالة الثانية في مشتقة الأولى اللي هو الجدية
أقواحاً طيب هذه ناقص اللي هو أربع في تلاتة على
اتنين في اكس أس قداش أس نص ناقص dy على dx يساوي
زين ماخلصناش بدروح أضرب كله في dx من أوله إلى آخره
تبقى لو ضربت في DX بصير اتنين X Y DY زي Y ترابيع
DX تمام ناقص اتنين في تلاتة بستة X أص نص X أص نص
في DX ناقص DY بده ساوي زيرضربت المعادلة من أولها
لآخرها في DX هنا راح ال DX هنا جتني DX هنا جتني من
DX طب اللي فيهم DY دخليهم مع بعض و اللي فيهم DX
دخليهم مع بعضإذا لو جيت أخدت هذه بصير اتنين XY
ناقص واحد في DY هدول هنقولهم عليه الشكة التانية
واخد DX عام المشترك يبقى ستة جذر ال X ناقص Y تربيع
كله في من؟ في DXطب احنا بدنا dy يبقى بنقسم على
مين؟ على المقدار اللي عندنا يبقى بيصير عندنا dy
يسوى ستة جذر ال X ناقص Y تربيع على اتنين XY ناقص
واحد كله في DXيبقى يجسمنا الطرفين على هذا المقطار
وبالتالي جبت التفاضل دي واي بدلالة التفاضل دي إكس
السؤال
و ليه؟ من جل و من يوم بدأت أتعلم اشتقاق في
الثانوية العامة و إلى يومنا هذاهل اخدت ان الدالة
في متغيرين ولا الدالة Y في متغير واحد؟ لكن مرحبا
بك في Calculus C نعطيك الدالة مش في تلت متغيرات في
N من المتغير بدل 1، 10، 15، كده ما بدكتمام؟ يبقى
هذا لسه فيه Calculus B دالة في متغير واحد والـC هو
الدالة في المتغيرات لسه في قدامك مرحلة قبل أن تصل
أو قبل أن نصل إلى الإجابة على سؤالك وهذا نسميه
اشتقاقا جزئيا partial differentiation تمام؟ لسه
بعيد عنك هذا
مارك if y تساوي f of x and if the variable
إذا كلمة x تتغير
تتغير
في نقطة x من نقطة x إلى نقطة x زائد dx ثم
نقطة الأولى مقدرة
التغيير في F
F of X naught زائد Delta X ناقص F of X naught
النقطة
الثانية The value of
The
value of DF
at X node as DF بدي ساوي F prime of X node في DX
نقطة تالتة
approximation
error
is absolute value لدلتا F ناقص DF وكل
هذا وين وانت كاين وين
كل اللي كتبناها دو توقيت كايد اللي بيقول خليا دول
العزيزي
السلام عليكم و رحمه الله
أخر نقطة في ال section اللي بيننا اللي هو remark
اللي قدامنا هذي remark بتقول ما يأتي بيقول لو كانت
ال y ده اللي في x وكان ال variable x اذا it
changed عند النقطة x0 من x0 إلى x0 زائد dxيبقى
المنحنة تغير من عنده نقطة x node إلى نقطة x node
زائد x بمقدار dx يعني لو وصلنا من هذه النقطة إلى
هذه النقطة بيكون مقدار التغير اللي حصل في x node
لأن هذا نقطة الأصل هي zero هذه المسافة اللي كانت
هي x node صارت المسافة هذه كلها من هنا لهنا
يبقى هذه النقطة كإنها اكس نود زائد DX و F of X نود
زائد DX عنا بالشكل هذا و إحداثيات النقطة المين
اللي عندنا بقول ايش then
مقدار التغير في F نظراً لإن تغير X node من X node
إلى X node زائد DX معناته فهذه كانت F of X node
يعني اذا حصل تغير في F مقداره Delta F وين Delta F
المسافة هذه هيا علمتك عليها اقول لك Delta F يبقى
هذه Delta F وهذه Delta X Delta X اعطيتها الرمز مين
DX يعني ال DX صارت هي المسافة من هنا لغاية هنا
المسافة بين النقطتين يبقى DF هي المسافة من هنا
لهنا وهي الفرق بين مين بين المسافتين يبقى Delta F
ل F of X نول زائد DX ناقص F of X نولهذه من هنا
لهنا لل F of X node وهذه من هنا لهنا لل F of X
node وهذه من هنا لهنا لل F of X node لكن هذه كلها
F of X node زائد DX لو طرحنا التنتمة البعض بنحصل
على المسافة هذه اللي قلنا عليها مين Delta F يبقى
Delta F ل F of X node زائد DX ناقص F of X node
بعملك the value of DF مقدار التفابله DF عند ال X
node هي DF يساوي F prime of X node DX على الخريطة
وين ال DF فادت طلع ليههذه المشتقة تعني ميل المماثل
المنحنى يبقى هي المماثل لو جاني عنده النقطة هذه هي
الرأسي إذا بصير هبهها اللي هو ظل الزاوية هذه يعني
قيمة المشتقة لولا إذا صارت هذه المسافة هي ظل
الزاوية اللي عندها هذا الهدف yf prime of x not
whenمضروبة في DX طبعا الزاوية هذه تساوي الزاوية
هذه بالتناظر مظبوط لأن هذا الخط أفقي وهذا الخط
أفقي الزاوية هذه هي الزاوية هذه بالضبط تماما كويس
يبقى مقدار ال DF هي F prime of X not the man في ال
DX طب هل القمتين بتساوي هدول؟هل الـ Delta F هي D
F؟ لأ، في خطأ بمقدار هذا المقدار، يبقى هذا الخطأ
هو الفرق ما بين الاتنين، الفرق ما بين Delta F وD F
مذكرين لما قلنا متوسط معدل التغير ومعدل التغير
متوسط معدل التغير ديلتا F على دلتا X لكن معدل
التغير هو limit المقدار هذا لما دلتا X بده تروح
لوينللـ Zero هذا اللي قلناه يبجى هنا صار فيه خطأ
مقدار الخطأ هو الفرق ما بين Delta F و D F اطرح
Delta F بده اشيل منها D F بيبقى مقدار الخطأ اللي
عندنا لهو هذا اليزرق اخدت Absolute Value لانه ممكن
يكون D F أكبر من Delta F لأن ع رسمتنا هنا Delta F
أكبر من مين؟ من D F طبعاحسب المادة اللى تكون
تزايدية او تناقصية مثلا طب نعطي مثال عددي كيف
بنستخدم الشغلات هذه يبقى example بيقول
let ال F of X بده يساوي X Square زائد 2XX² زائد
اتنين X والـ X ناد يساوي واحد والـ DX يساوي Zero
واحد من عشرة Find
نمرة
A بدنا Delta Fنمر الـB نمر الـC
نمر الـC نمر الـC نمر الـC نمر الـC نمر الـD
سؤال مرة تانية ماعطينا f of x تساوي x squared زائد
اتنين x ماعطينا النقطة x naught تساوي واحد ماعطينا
dx اللي هو واحد من عشرة يعني مقدار التغيرمن x node
إلى x node زاية dx اللي هو جداش واحد من عشره من
مقدار ال dx جاليهات ليه جداش مقدار delta f جداش
مقدار df عند x node يساوي واحد جداش مقدار ال error
في هذه الحالة بقوله بسيطة بنرجع ل delta f معناته
بدي احسب له f of x node زاية dx واطرح منها f of x
nodeأذا بقوله delta F يساوي F of X0 زائد DXنقص ال
F of X node يبقى Delta F اللي احنا بدنا إياها F of
.. كداش ال X node عندنا؟ بواحد، زاد Zero واحد من
عشرة، تمام؟ يعني ناقص ال F of واحد F of X nodeالـ
F of واحد و واحد من عشرة ناقص F of واحد و يساوي F
of واحد و واحد من عشرة بده شيل كل X وحط مكانها
واحد و واحد من عشرةيبقى ده واحد وواحد من عشرة لكل
ترابية زي دي اتنين في واحد وواحد من عشرة هذا كله
لسه مان F of واحد واحد من عشرة ناقص F of واحد ناقص
F of واحد اللي واحد ترابية زي دي اتنين في واحد
يبقى هاي اللي بنطلعهم من بعض يبقى سعر ال delta F
بده يساويواحد وواحد من عشرة يبقى واحد وواحد من
عشرة يبقى واحد وواحد من عشرة يبقى واحد وواحد من
عشرة يبقى واحد وواحد من عشرة يبقى واحد وهذه تلاتة
واحد واربعين من مائة يبقى تلاتة واحد واربعين من
مائة ناقص تلاتة يبقى النتيجة واحد واربعين من مائة
مقدار التغير في Delta F خلصنا المطلوب الأول بدنا
نيجي للمطلوب التاني اللي هو Nemra Bنمر بيه جليهات
لقداش DF عند X node يساوات برجع لل DF يبقى انا عند
ال DF هي عبارة عن F prime of X node في مينفالـDX
هي ال F of X معناته بدي اشتقها و اعوض عند X none
يبقى هذا الكلام بده يساوي اتنين X زائد اتنين كل
هذا الكلام عند X يساوي كده؟ واحد مضروب في مين؟ في
الـDX الـDX ميعطيني يهالي و قداشيبقى هاي zero واحد
من عشرة عوض بهذه يبقى تنين زائد اتنينتنين زائد
اتنين كل هذا الكلام مضروب في Zero واحد من عشرة
يبقى هذا الكلام بده يساوي اربعة مضروب في Zero واحد
من عشرة يبقى اضرب في اربعة بصير Zero اربعة من عشرة
تمام جيبنا له قداش مقدار DF الان بدنا نجيب له قداش
مقدار ال error يبقى بدأ اروح لنمرسي بداجي اقوله ال
error اللي هو delta F ناقص DF absolute value يعني
ال error دائما هو انه هيطلع بالموجة لانه ماخدله
أبسلوت فاليو يبقى هي أبسلوت فاليو Delta F طلعناها
في الأول Zero واحد وأربع من مية ناقص DF طلعناها
اللي هي Zero وأربعة من عشرة بضل قدوش واحد من مية
يبقى Zero Zeroأربعة من أشهر تاني أربعين من مائة
نترحى من واحد من أربعين نترحى من أربعين نترحى من
أربعين نترحى من أربعين نترحى من أربعين نترحى من
أربعين نترحى من أربعين نترحى من
أربعين نتتلاتة تسعة المسائل التالية من واحد لتلتاش
الأد ومن
اربعتاش لستاش
و كذلك من سبعتاش لغاية تلاتة وتلاتين، سبعتاش لغاية
تلاتين برضه الأد
طيب لحد هنا انتهى هذا section وبانتهاء هذا section
ينتهي هذا chapter والان ننتقل الى ال chapter اللذي
يليه وهو تطبيقات على المشتق الأولى يعني انتهينا من
عملية الاشتقاء والان بدنا نجي لتطبيقات على
المشتقاتهذا ال chapter يتحدث عن الرسم البياني لل
functions بس مش هي نرسم الرسم رسما دقيقا بدنا نعرف
فترات التزايد و فترات التناقص و القيم العظمى و
الصغرى المحلية و قداش ال absolute maximum و ال
absolute minimum لذلكوقال واجتشكن كيف up و واجتشكن
كيف down ووين ال inflection point وكل هالشغلات هذي
هو ما سندرسه في أول ثلاث sessions بعد هيك بنروح
لعملية الرسم يعني مش من البداية بدنا نبدأ نرسم
يبقى chapter أربعة اللي هو applications
applications
of
أيه ال derivatives applications
of derivatives بدنا نيجي لأول section اللي هو
أربعة واحد extreme values
extreme values of functions
بنعطي تعريف للـ Extreme Values وبعدين بنشوف كيف
بنحسبها Definition let
ال F be a function with domain
D
ال F has an
absolute maximum
value
on D at C اللي موجودة الـ interval D if إذا كان ال
F of X أقل من أو يساوي ال F of C ال F of X أقل من
أو يساوي ال F of X for all X اللي موجودة في Dand
has an absolute minimum
value
on
F of X أكبر من أو يساوي F of C for all X موجودة في
D
The absolute maximumThe
absolute maximum and absolute minimum values are
called absolute
extrema salute extrema and ال
maximum and ال minimum values
are called
Extreme values of
the function f
طبعا في فرق شاسعة ما بين ال absolute maximum و ال
local maximum absolute minimum و local minimumزي
ما هنشوف اليوم ناخد ال absolute maximum لما نوصل
ال local maximum و ال local minimum ستجد الفرق
الشاسع ما بين الاتنين
يبقى الشبكة الأربعة اللي بين إيدينا هذا اللي هو
تطبيقات على المشتقات احنا نبدأ أول شي بال extreme
values of functions إيش يعني معناه extreme values
بالعربي؟ القيم
القصوى، قيم القصوى، قيم القصوى، قيم القصوى، قيم
القصوى، قيم القصوى، قيم القصوىقصوة يعني عالية جدا،
مش ممكن نقول قيم الدنيا مثلا قيم
المطلق، absolute يعني مطلق، أنا قولت extreme، إيش
معناها؟
نقطة لا يمكن منها يتعدى، على أي حالالترجمة الحرفية
إما قصوى أو متطرفة، مش يعني إرهابية، لأ لأ متطرف،
مالاش دعوة بالإرهابيةكويس؟ يبقى ال extreme values
إما قيم قصوى أو قيم متطرفة للدالة، متطرفة مش يعني
مقصودة في الطرفين، قد تكون في الطرفين و قد تكون في
الداخل، احتماليا وردات كما سنرى بعد قليليقول افترض
ان F عبارة عن دالة و ال domain تبع هذه الدالة هو D
يبقى انا مقيد بال domain تبع هذه الدالة هو D ال F
has an absolute maximum value قيمة مطلقة عظمةعلى
مين؟ على الـ domain D at C الموجودة في D إذا كانت
الـ F of X أقل من أو يساوي F of C لكل الـ X
الموجودة في Dيبقى لو أخدت أي قيمة أخرى غير هذه
الـC على كل الـD، بتكون هذه مالها أكبر ما يمكن طيب
التاني بيقول، and has an absolute minimum value
يبقى قيمة همطلقة صغرة أو دنيا أو على الـD and الـC
اللي موجودة في Dالـ F of X أكبر من أي قيمة أخرى
إذا كانت جميع قيم الدالة عند X بتبقى أكبر دائما أو
أبدا من مين من قيمة الدالة عند C يعني قيمة الدالة
عند C أقل من جميع مين القيم الأخرى السؤال اللي بدي
أطرحه من خلال هذا التعريب هل هناك أكثر من absolute
maximum للدالة؟
بهمنيش الموقع، بهمنيش الموقع يعني لا يوجد غيرها
لإن قال لي for all x اللي موجودة وياه في دي يعني
على كل ال domain تبعي دي بتبقى هذه أكبر واحدة فيهم
بغض النظر سواء أجت في الطرف والله في الداخل،
بهمنيش يعني إن أجت في طرف ال domain من اليمين أو
طرف الشمال أو الداخل، بهمنيش الموقعبهم انه لا توجد
الا absolute maximum عظمة واحدة وكذلك ماعنديش الا
absolute minimum واحدة فقط لا غير كما سنرى بعد
قليل من خلال الأمثلة يبقى التعريف بيقول لما نكون
عندي absolute maximum بدتكون هذه أكبر قيمة للدالة
أي قيمة أخرى للدالة بدتكونولمّا ربنا يحط فيها
البركة بيصير جدها، صح ولا لا؟ يعني ممكن .. ممكن
أجد في موقع آخر absolute maximum، لكن ليه تبقى
نفسي القيمة؟ يبقى ماليش إلا قيمة واحدة، لكن قد
أجدها فيها أكثر من موقع، أجدها أكتر من موقع
ماعنديش مشكلة، لكن بتظلهي مافيش إلا غيرها حتى وإن
كانت في أكثرها من موقع تمام؟ طيب كمعنى قيمة الصغرة
بنفس الطريقة قد أجد قيمة الصغرة في أكثر من موقع
لكنها ليست قيمة مختلفة بتأخذ ميا نفس القيمة اللي
عندنا هذهالنقطة التانية ال absolute maximum وال
absolute minimum values بسميهم absolute extrema
extrema يعني جمع extreme بدل ما اقول extreme تبقى
maximum اول ما بقول extreme وخلاص يبقى called
absolute extremeabsolute maximum او absolute ..
يعني مثلا لما نقعد على ده يمكن مالاجيش فيهالا
أبسلوت ماكسما ولا أبسلونة أقول له has no absolute
maximum and no absolute من الله بقول له has no
absolute extrema وخلاص، بدى أفهم أنه لا عندي قيم
عظمى مطلقة، غولية ولا حتى سفلة، تمام؟ طب النقطة
الثانية، and ال maximum and minimum values are
called extreme valuesالقيم العظمى والقيم الصغراء
دي بسميها اللي هي القيم المتطرفة أو القيم القصوى
لمين لذنها الان بدنا نشوف كيف بدنا ندور على ال
absolute maximum و ال absolute minimum من خلال عدة
أمثلة يبقى find the absolute extrema
على الفترة المعطاعة
أي graph and graph the function رسم لي كذلك الدلة
نمرة واحد F of X يساوي اما واحد على X لما سالب
واحد اقل من او يساوي Xأقل من مين؟ أقل من الـ Zero
النقطة الثانية جذر ال X لما ال X أكبر من أو تساوي
ال Zero وأقل من أو تساوي مين؟ أقل من أو تساوي
أربعةيبقى اما هذه او هذه نمرى بى او النقطة الثانية
ال F of X بدى يساوي اربعة ناقص X تربية لما سالب
تلاتة اقل من او يساوي X اقل من او يساوي واحد نمرى
تلاتة ال F of Xتساوي الجذر التربيعي لاربع ناقص X
تربيع
اربع نقص X تربية نقص اتنين اقل من X اقل من اتنين
يبقى اربع ال F of X بدي ساوي تلاتة sign ال X و ال
X محصورة ما بين ال zero و ما بين اتنين by خمسة F
of X يساويabsolute value ل X ناقص اتنين اقل
من او يساوي X اقل من infinity F of X يساوي X تكعيب
زائد واحد
سؤال يعطيني بدل الدالة الستة وقال للست دول هدول
بدك ترسمهم وعلى ال domain تبعهم المحدد بدك تعرف
ليه ال absolute x مثلا كان absolute maximum أو
absolute minimum لهذه الدالة بقولها بسيطة هي
solution نجلة من لنقطة الأولىيقول F of X يساوي
واحدة، اه هذه دالة مجزقة من جزئين وليس جزءا واحدا
يعني لو رسمنا هذه الدالة بقول له هذه المحور X وهذه
محور Y وهذه نقطة الأصل اللي هي Zeroقبل او الرسم
الجزء الاول من سالب واحد درجة زمان طبعا واحد على
الاكس جزء على اليمين وجزء على الشمال بس الجزء اللي
على اليمين بديه الشياءأنا فقط جددهم من سالب واحد
إلى زيرو وإن السالب واحد هي السالب واحد لو إلا
زيرو خلال الفترة هذه طيب الدالة هذه لو كانت x
بسالب واحد بتكون هذا جداش واحد على سالب واحد اللي
هو بسالب واحديبقى قيمة الدالة بتبقى هنا ب-1 يبقى
هنا المنحنة بيكون جاي في الأصل بالشكل اللي عناها
دايقتمام و بيجي نازل هنا هذا هنا بصير غامق ليش انه
هذا ال domain تبع الدالة و هذا كله مش موجود يبقى
انا اخدت من هنا و جيت نازل بهذا الشكل
بعدين جاء الجزء التاني هو جذر ال X من Zero لغاية
أربعة يبقى لو جيت هنا واحد وهنا اتنين هالمد هذا
على استقالته يكون هنا تلاتة وهنا أربعة جذر ال X
بيكون بالشكل اللي عندنا هذا تمام عند الأربعة بيكون
واجف هنا يبقى هذه النقطة اللي هي أربعة وقدرو اتنين
يبقى هنا بدى يكون اتنين و هنا بدى يكون قداش اللى
هو واحد تمام تمام هى رسم الرسمة رسمنا الرسمة بدي
اجيبله قداش ال absolute maximum و ال absolute
minimum ان وجده قداش اعلى قيمة او اكبر قيمة تقدها
الدالة اللى هو الاتنينيبقى باجي بقوله هنا ال F has
absolute maximum اتنين ات اكس يساوي كده اش؟ اربع
في عندي absolute minimum
ماعنديش absolute minimum لإيش؟ لأن الدلة تنزل إلى
أين؟ للثالث بإنفنتاين ال F has no absolute minimum
مالهاش مالهاش بلاشطيب نجي للدالة التانية الدالة
التانية أربعة ناقص X تربية ومن سالب تلاتة لغاية
واحد طبعا هذه معادلة عياشي شيل الأربعة أو شيل واحد
يبقى فوق الساعة X تربية اللي هي برابط مفتوح إلى
أعلى سالب مجلوب إلى أسفل أربعة بنعمل shift إلى
أعلى بمقدار أربعة يبقى لو جيت للمحاور هذههذا رقم
اتنين لو جيت رسمته بدي اقول هذا محور X هذا محور Y
هذا نقطة الاصل هي Zero وهذا النقطة اليمين هي أربعة
المنحنة بده يجي ننزل هيك ومن هنا بده يجي هي عند
مين اللي هي الواحد يبقى هنا عندنا سالب واحد و هنا
سالب اتنين لإن عند سالب اتنين بصير قيمة الدلج اداش
زيرو يبقى قال لي بدك تبقى ماشي ل Y سالب تلاتة يبقى
هذا سالب تلاتة و أنزل لحد هنا فقط لغاية يبقى كل ال
term اللي تحت ماعنديهش وهنا اللي هو أخر قيمة
بياخدها المنحنة يبقى هذا المنحنة فقط اللي عندي
خطة الغامضة اذا
اقصى قيمة بياخدها وين عند ال zero وهي اربعة و اقل
قيمة بياخدها عند السالب تلاتة وهي سالب خمسة يبقى
باجي بقوله هنا ال Fالـ F has absolute maximum
أربعة at x يساوي زيرو يبقى ال absolute maximum ما
جاش في الطرفين وإنما جواين في الداخل داخل ال
domain ال F has absolute minimumأذا قمنا بإزالة X
وضعها في مكانها سالب ثلاثة تصبح تسعة يبقى أربعة
ناقص تسعة يبقى خمسة اللي هو الأربعة ناقص تلاتة
تربيع هي ناقص تلاتة تربيع ويسوى سالب خمسة at X
يسوى سالب تلاتةالدالة التالتة F of X سوى الجدر
التربية لاربع ناقص X تربية وحصارها من سنة باتنين
لاتنين من هذه الدائرة يبقى هذه دائرة بس موجودة
عنده نصف العلوي لإن الجدر ماقدموش إشارةسالبة يبقى
باجي بقوله لو جيت رسمتها هتاخد الشكل التالي هذا
محور X هذا محور Y وهنا المنحنة بتجينا بالشكل هذا
هيك تمام بس ايش هذاماعنديش يساوي و هنا ماعنديش
يساوي يبقى بالشكل اللي عندنا هذا تمام و هذا zero و
هذه دائرة نصف خطرة كده؟ نين تمام طيب ايش عند هنا؟
أبسلوت مقسمم اتنين
أت اكس يساوي زير ال F has no absolute minimum
ماعنديش absolute minimum نجي للأربع تلاتة sign ال
X وال X من زير و اتنين يعني كل ال period تبعت ال
sign فجباجي بقوله كويس هذا المنحنةوهذا محور X وهذا
محور Y هذا واحد وهذا اتنين وهذا تلتة وهنا هي سالب
واحد وهنا هي سالب اتنين وهنا له سالب تلتة يبقى هذا
الخط اللي عندنا وهذا الخط التاني اللي عندناوهو
الخط الوهمي ال sign أصلا محصولة بين مين ومين سالب
واحد وواحد المنظر بقى تلاتة سير من سالب تلاتة زي
السؤال اللي جاكمه في الامتحانبيدّو ال range لإنك
طلعت اتنين من ال sign ال X صلب واحد و واحد تضرب
فيه سلب اتنين صارت من سلب اتنين الاتنين اذا احنا
هنا من سلب تلاتة الى تلاتة يبقى المنحنة هيبدأ من
عند ال zeroو يطلع و يجي نازل تاني اك و يجي طالع بس
لحد اتنين باي يبقى هاي zero هاي باي على اتنين هنا
باي هنا تلاتة باي على اتنين هنا اتنين باي يبقى انا
تقيت بال domain اللي قال عليه تمام؟ اذا هذه هه
اللي هي mainاللي هي النقطة باي على اتنين وهذه
النقطة اللي عندها أخد أقل قيمة عندها اللي هي main
سالب باي على اتنين يبقى فيه عندنا عزيزي absolute
maximum وفيه absolute minimum يبقى باجي بقوله ال F
has absolute maximum تلاتة at x يسوى باى على اتنين
ال F has absolute minimum سالب تلاتة at x يسوى
تلاتة باى على اتنين
ممتاز جدا بدل ما هي من zero ل باى على اتنين لاتنين
باى بتدخليها من zero لاربع باى ماشي او من سالب
اتنين باى لاتنين باى هل ستتغير ال absolute maximum
و ال absolute minimum لما تتغير بصير فيه اكثر من
موقع الاكثر من موقع لكن كله بيجيب نفس النتيجة
وهو الـSin عمره ما يختلفوا؟ كل يعني موجة قصدا، كل
موجة قالعة ونازلة، ممتاز جدا، وين أكبر واحدة فيهم؟
طبعا هي الـAbsolute maximum، وين أقل واحدة فيهم؟
بيكون هي الـAbsolute minimumأه طبيعي أه الباقي
بيصير local ان اتكلمتش لسه عن ال local أه كل
absolute maximum ممكن يكون local إن كان في الداخل
لكن العكس مش صحيح ايه نعم طيب نيجي لمين للنقطة
الخامسة يبقى النقطة الخامسةنقطة الخامسة بيقول f of
x سواء absolute بل ال X ناقص اتنين يبقى هذه
المحاولهذا محور X وهذا محور Y absolute value X
نزلها لتحت بالمقدار كم؟ سالي باتنين بس ايش؟ من جهة
اليمين على اطلاقها الله يسهل عليها، موحوين ماتروح،
بس من جهة الشمال لحد وين؟ لحد سالي باتنين بالشكل
اللي قلنا، لا تتعدىلإيش؟ لإن عند سالي باتنين بيصير
موجة باتنين نقظين Zero يبقى بالشكل اللي عندنا هذا،
هاه إيش رأيك؟ فش إيش؟ فش absolute maximum، لكن في
absolute minimum، يبقى ال F هذا absolute minimum
سالي باتنين at x يسوى Zeroالـ F has no absolute
maximum ماعنديش طيب السادسة هذا
محور X هذا محور Y هذه الـ Zero وهذا مين اللي هو
الواحد اتخيل انه عندي خط وهمي بالشكل اللي قالنا
يبقى ده اللي اصلا ال F of X الساوي X تكييب عملنا
له shift الى اعلى بمقدار واحد صحيح يبقى المنحنة
بده يجينا بالشكل هذا يبقى
هذا اللي هو ال F of X
يبدو يساوي اكس تكريب زائد واحد ايش رايك؟ no
absolute extrema يبقى ال F has no absolute extrema
يعني لا عندي absolute maximum ولا عندي absolute
minimum لمين لل function اللي عندنا
أخر نقطة في محاضرة اليوم في RM F
ال
F is
continuous continuous on a closed interval
closed interval a و b then
الـ F attains
attains
both an
absolute
maximum value capital
MAnd an absolute minimum value small m in the
closed interval ARB
Thank you
استخدام البرنامج البرنامج البرنامج
عشان نتمنى من الجواي فينا نعمل أكتر .. أكتر ..
أكتر
بنجد ال extreme value theorem نظرية القيام القصوى
أو القيام المتطرفة بقول لو كانت الدالة دالة متصلة
على closed interval then ال F attains يعني يحرز
بالعربي
يحرز both an absolute maximum value M and an
absolute minimum value M small في الفترة هذه A وB
يبقى لو الدالة دالة متصلة على فترة مغلقة خلال هذه
الفترة ممكن أن تحرز الدالة absolute maximum وكذلك
تحرز main absolute minimum الا إذا كانتكونوستانت
فانكشن كونوستانت فانكشن كونوستانت
فانكشن كونوستانت فانكشن كونوستانت فانكشن كونوستانت
فانكشن
الـ Absolute maximum ممكن يكون في طرف الدالة وممكن
يكون في طرف ال domain تبع الدالة وممكن يكون داخل
ال domain تبع هذه الدالة لو نظرنا للرسمة الأولى
يبقى ال absolute maximum حصل عند النقطة X1 لكن ال
absolute minimum حصل عند نقطة X2عنده نقطة X2 يبقى
من هنا صار إحداث النقطة دي اللي فوق هي X1 و M يبقى
ال M هو ال absolute maximumيبقى ال absolute
maximum و ال absolute .. و هذه النقطة الاهداثي
تبعها x اتنين و M اسمها طبعا ال M هنا السالبة تمام
يبقى ال absolute maximum و ال absolute minimum in
terror points يبقى ال absolute extrema
are at in terror
يبقى عند نقاط داخلية لل domain تبع الدالة هنا ال
absolute maximum وال absolute minimum وين at end
points عند الطرفين يبقى هنا ال absolute extrema at
the end points
وين عند الـ A و الـ B و أجت ال maximum في الطرف
الأول و أجت ال minimum وين في الطرف الثاني بلغتنا
القديمة ده اللي هذه increasing و الله decreasing
ده التناقصية نجي على الدالة اللي عندنا هذه ال
absolute minimumفي بداية الـ interval وال absolute
maximum داخل الفترة يبقى هنا ال absolute minimum M
at interior point
ال absolute minimum لأ مش ال interior point at end
point
at end point اللي في الطرف الشمال و ال absolute
maximum at
interior point يبقى عند النقطة الداخلية تالر ال
minimum عند النقطة الداخلية و ال maximumعن الطرف
تبعها هنا ال absolute minimum at interior point ال
absolute
يختلف الوضع من دالة إلى دالة أخرىقد يكون نقطة
طرفية وقد يكون نقطة داخلية عند الحسابات ان شاء
الله بيصير خير هذا بيفهمنا ايش بيفهمنا انه انا لما
بروح احاسب ال absolute maximum و ال absolute
minimum بدي اجيب قيمة الدالة عند طرفي ال interval
المعرف عليها من هذه ال functionثم اروح ادور على ال
extreme values في الداخل غير الطرفين و هذا ما
سنتحدث عنه ان شاء الله في المحاضرة القادمة