بسم الله الرحمن الرحيم المرة اللى فاتت انتهينا من
section 4.2 اللى هو ال main value theorem والاسئلة
اللى عليها والان بننتقل الى section 4.3 وهو ال
monotonic functions and the first derivative test
يعني الدوال الرتيبة وكذلك اللى هو اختبار المشتقة
الأولىتعريف الـ monotonic function أو الدالة
الرتيبة فبجي بقول الدالة f of x اللى بتبقى تزايدية
أو تناقصية على فترة ما بسميها monotonic function
على تلك الفترةيبقى أنا بدي أحد أمرين، يا إما
تزايدية، يا إما مش الأثنين مع بعض، واحد بس، كاتب
or طلع هي or، هذه أو تلك، يا إما تزايدية على كل
الفترة، يبدأ بقول عليها monotonic أو تناقصية على
كل الفترةبقول عنها monotonic لكن تزاديه وتنقصيه في
نفس الفترة ليست monotonic نعطي مثال توضيح على ذلك
لو خدت الدالة F of X يساوي من X تربية الدالة هذه
معروفة ورسمناها قبل ذلك عدة مرات فلو قلت هذا محور
X وهذا محور Y وجيت رسمت الدالة Y تساوي X تربيةهذا
الـ Zero لو جيت من سالب Infinity لغاية Zero ده
لمالها يجب نزول يبقى Decreasing يبقى على هذا الجزء
ده Decreasing يبقى معناته Monotonic على الفترة من
سالب Infinity لغايةزيرو بعد ذلك الان لو جيت من ال
zero لغاية infinity بلاجي الدالة تزايدية يبقى هنا
increasing يبقى الدالة decreasing على الفترة من
سلب infinity إلى zero و increasing على الفترة من
zero لغاية infinity اذا على الفترة من سلب infinity
إلى zero بقدر اقول عنها monotonic functionعلى
الفترة من 0 إلى infinity بقدر أقول عنها monotonic
function لكن على الفترة كلها من سلب infinity إلى
infinity not monotonic لأن شوية عليها increasing و
شوية decreasing احنا نقول انها increasing على طول
او decreasing على طولالدالة F of X يساوي تربية
مونوتونك من سالب Infinity لغاية Zero وكذلك
مونوتونك على الفترة من Zero إلى Infinity لكنها
ليست مونوتونك على الفترة من وين من سالب Infinity
إلى Infinity يبقى هذا تعريف المونوتونك ب function
ومثال بسيط
نعود لـ Crawler الثلاثة طبعا اللى خدنا المرة اللى
فات نظرية ال mean value theorem و two crawlers
عليها تمام هذه ال crawlery رقم ثلاثة مشان طبق ال
mean value theorem قلنا بدنا دلة تبقى دلة متصلة
على ال closed interval و قبل اشتقاق على ال open
interval a و bمن هنا نجوى للافتراض أن الدالة
فبإستمر على الـClosed Interval وقابلة للاشتقاء على
الفترة المفتوحة أي وبيها الشروط الـMean Value
Theorem، إن حدث ذلك يبقى في هذه الحالةإذا الـ F'
of X أكبر من Zero على كل الفترة بقول الدالة دالة
تزايدية يبقى على كل ال X اللي موجودة في ال
interval A وB يبقى ال F دالة تزايدية على كل closed
interval A وB يعني كأن ال domain تبعهالـ closed
interval او continuous على الفترة المغلقة ا و بيو
differentiable على ال open interval
وإذا كانت f prime أقل من 0 يبقى سالب يبقى الدالة
مالها تناقصي يبقى decreasing function على الفترة
اللي لنا مية a وb يبقى أنا الآن جيب تعريف جديد غير
اللي أخدناه في ال chapter الأول في ال chapter
الأول مش هنجيب الدالة increasing على الفترة اللي
بتاخد two elements عشوائيةإذا كان X1 أقل من X2 إذا
كان X1 أقل من X2 إذا كان
X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل
من X2 إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل من X2
إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان
X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان X1 أقل
من X2 إذا كان X1 أقل من X2 إذا كان Xأذا لما جيت
أستخدم المشتقة في هذه الحالة بقول إذا المشتقة موجب
يبقى الدالة تزايدية وإذا المشتقة سلب يبقى يقول
الدالة تناقصية نعطي مثال توضيحي بيقول لو كان f of
x يساوي x plus 4 نقص 4x تكيب زي 4x تربية بدى
شغلتين الشغلة الأولى بدى ال critical points لهذه
الدالة f النقاط الحرجة وبدى فترات التزيد والتناقص
لمينلهذه الدالة يبقى الدالة الأساسية اللى عندنا f
of x يساوي x to the power 4 minus 4x to the power
3 زائد 4x square لو جينا نشتق هذه الدالة يبقى ال f
prime of x يساويأربعة إكس تكييب ناقص اتناشر إكس
تربية زائد تمانية إكس هذه المشتقة تبعتها لكن بدي
أشوف هل بقدر أحللها و لا بقدرش تعالوا نشوف واضح
أنه في عامل مشترك اللي همين أربعة إكس إذا لو جينا
أخدنا أربعة إكس عامل مشترك بيظل عندي إكس تربية
ناقص تلاتة إكسزائد اتنين اللي بين قوسين إذا ممكن
نحلله بنروح نحلله اللي حاصل ضرب قوسين يبقى هاي اكس
هاي اكس هاي واحد هاي اتنين هاي ناقص ناقص تلاتة اكس
يبقى التحليل سليم مائة بالمائةيبقى اشتقانا، من
خلال هذا الاشتقاق بدأ أجيب ال critical points ال
critical points هي قيم X اللي بتخلي المشتقة صفر أو
المشتقة غير معرفة، هذه المشتقة polynomial إذا لا
يمكن أن تكون غير معرفة في يوم من الأيامصحيح؟ إذا
ما بضلش عندي إلا أسويها بالـ 0 وبالتالي أطلع ال
critical points إذا لو جيت سويت هذه بالـ 0 بصير
عندنا ميم ان ال X تسوي 0 و X يسوي 1 و X يسوي 2
هدول هم من are the critical
يبقى هذه النقاط الحرجة لمين لهذه ال function وهو
المطلوب الأول من المسألة اللي عندنا بعدين جليتلي
فترات التزايد والتناقص مشان أجيب فترات التزايد
والتناقص بدي أروح أدرس إشارة المشتقة اللي عندنا
مشان أدرس إشارة المشتقة بدي أروح أدرس إشارة كل
term من ال termات التلاتةاللي عندنا هذه يبقى بتروح
هاجي اقوله بدي إشارة ال term الأول اللي هو قداش 4x
هذا بياخد الصفر وين عند x السفر قداش؟ Zero بعد ال
zero positiveوالله خلّيها نجيب ال zero اللي هنا
شوية خلّي هذا ال zero هنا و قبل ال zero ماله
negative بعد هيك بدأ أروح أخد إشارة ال terminal x
ناقص واحد بياخد ال zero تبع وين؟ عند ال واحد بعد
ال واحد كذلك positive و قبل ال واحد ماله negative
لو جيت اخد اشارة الجوس التالت لول اكس ناقص اتنين
يبقى بياخد زيرو تبع وين عند اتنين بعد اتنين زي
تلاتة اربعة خمسة بلاقي قيمة القوس بالموجب وقبل
اتنين بلاقي كل قيمة الجوس ماله بالسالب بعدك بداجي
اخد اشارة حصل ضرب اربعة اكسفي اكس ناقص واحد في اكس
ناقص اتنين واجي اقول هذا ال real line واروح احدد
الحدود الإقليمية اللي موجودة عندنا يبقى لو جيت هذا
الخط اللي هو اتنينوهذا الخط الراسي الـ X عنده
بواحد وهذا الخط اللي عندنا الـ X عنده بقداش بزيرو
الثلاثة تقوس مضروبة في بعض يبقى بدي أضرب الإشارات
التلاتة في بعض ضرب يبقى هنا بالموجة هنا سالم هنا
موجة هنا سالميبقى ضغط الإشارات سالب في سالب بموجب
في سالب بسالب موجب في سالب بسالب سالب في سالب
بموجب موجب في موجب بموجب في سالب بسالب كل موجب
يبقى كل موجب، ممتاز، يبقى هذه إشارة مين؟إشارة
المشتقة طلع هنا المشتقة ما لها سالي بيبقى الدالة
كانت decreasing دناقصية يعني الدالة نزلة إلى أسفل
الإشارة صارت موجة بيبقى increasing الدالة صعدة إلى
أعلى سالي بيبقى decreasing إلى أسفل موجة بيبقى
increasing إلى أعلىإذا بقدر أحدد فترات التزايد
والتناقص لمين لدالة العلم هدفه بروح بقول لما ياتي
ال F is increasing دالة تزايدية on على الفترة
الأولى من صفر لغاية واحد وكذلك على الفترة من اندي
اتنين لغاية كدهش infinity بعد ايه؟الـ F is
decreasing دالة تناقصية على الفترة من سالب
infinity لغاية الـ zero and on وعلى الفترة من أند
الواحد لغاية كداش لغاية اتنين يبقى هذا مثال بسيط
حسبنا من خلاله ال critical points لدالة همهوحسبنا
فترات التزايد والتناقص وطبقنا التعريف اللي لنا
تطبيقا مباشرا يعني الدالة على هذه الفترة كانت
مونوتونك على الفترة هذه مونوتونك على الفترة هذه
مونوتونك على الفترة هذه مونوتونك لكن ال domain
تبعها كلها not monotonicننتقل الأن إلى نقطة ثانية
وأخيرة في هذا ال section
النقطة بين حدد ال first derivative test لل local
extreme values يبقى ال first derivative test
for local extrema يعني ال local extreme values
بيقول هذا ما يأتي suppose that افترض انه ال c is a
critical point افترض ان ال c هي نقطة حريجة of a
continuous
فنكشن F لدالة F and ال F is differentiable
دالة قابلة الاشتراك at every point عند كل نقطة in
some
interval in some interval containing
C except possibly except
possibly at C itself
مرة واحد if ال if prime it change from negative
to positive at c then
الـ F لديه مقاومة مقاومة في الـ C نمرة
اتنين F F برايم تتغير من مقاومة مقاومة مقاومة
مقاومة في الـ C فالـ F لديه مقاومة مقاومة مقاومة
في الـ C
نقطة الثالثة والاخيرة F ال F prime does not change
does not change its
sign
at C then ال F has no local extrema at C
السلام عليكم
حسناً
عليه بركلةبنجي نقل ال test derivative test اختبار
المشتقة الأولى لل local extreme values لمواقع
النهايات العظمى والصغرى المحلية بقول يفترض ان C is
a critical point يبقى C هذه النقطة حرجة لدالة من
لدالة متصلة F ونفترض ان الدالة F قابل اشتراء
للاشتقاق عند كل نقطة in someinterval containing z
يبقى ليس بالضرورة على كل ال domain وإنما عالميا
على جزء من ال domain containing z except possibly
at z itself معدى عند z itself إيش يعني معدى z
itself يعني ده لو ممكن تكون غير قابلة للاشتقاق عند
z ممكن تكون قابلة للاشتقاقأو ممكن تكون غير قابلة
لإشتقاء عند الـC لأن الـcritical point هي النقطة
التي في الـprime موجودة أو لا موجودة في الـprime
بس بحيث النقطة تكون موجودة في دميان الدالة يبقى
هذه المقصود ما عدا عند الـC itself يعني عند الـC
itself ممكن الدالة تكون غير قابلة للإشتقاء ابن
جلان إذا والله المشتقة الأولى غيرت إشارتها من سالب
إلى موجبمن negative إلى positive عند النقطة C يبقى
ال F has a local minimum تعالى نشوف هذا على
الطبيعة قبل ما نتقل إلى النقطة الثانية الدالة
بتغير إشارتها من negative إلى positive بعدين بتطلع
على الدالة الدالة هنا تزايدية بلت هنا كما المالها
تزايدية ماتغيرتشيبقى هنا في هذه المنطقة F أكبر من
الـ 0 و هنا F أكبر من الـ 0 لو جيت على المنطقة من
هنا لغاية هنا يبقى F أقل من الـ 0يبقى هنا ال F'
أقل من ال 0 لو جيت على المنطقة هذه بلاقي أن F'
أكبر من ال 0 لو جيت على المنطقة هذه بلاقي F' أقل
من ال 0 لأنه تناقصية لو جيت على الجزء من هنا لهنا
كمان F' مالها أقل من ال 0 إيش بقوله هنا إذا F'
غيرت شرطها من negative إلى positiveكانت دالة
تناقصية و رجعة الطلاقة التزاودية Local Minimum
يبقى Local Minimum عند الـ C يبقى عندنا Local
Minimum في هذه الحالة الـ F' of C تلاتة بده يساوي
مين؟ بده يساوي Zero في عندي غيرها Local Minimum؟من
خلال الرسم في local minimum اللي هي مين هذه النقطة
يبقى هنا هذه كمان local minimum بس مافيش تغيير
عندها تمام؟ يبقى رغم أنها نقطة بداية من البداية
يبقى هذه local minimum اتا كويس؟ لكن هذه ليست نقطة
موجودة في الداخل انت تقول غيرت إشرتها من كذا إلى
كذايبقى لو كانت نقطة في الداخل وتغيرت من سالب إلى
موجة بقول هنا local minimum هذه local minimum ليش؟
لأنها أقل قيمة بتاخدها للدالة من عند أول نقطة
لغاية مين لو جيت قلت هذه افترض ان هذه أول نقطة في
ال interval A وهذه أخر نقطة في ال interval Bلو جيت
حوالين الـA لقيت هذه أقل قيمة لدى اللي يبقى هذه
الـlocal minimum من أول section أخدناه اللي هو
section 4-1 طيب في عندي كمان local minimum تاني
ماعنديش لكن هذه هو كمان local minimum بس إيش هذه
نقطة طرفية in point تمام؟ أيوة
لا local minimum ولا local maximum، لا بقدرش ولا
حاجة، ايوة نقدر من هذا الاتباه نعرف اي واحدة هي ال
absolute و ال local minimum؟ هنجي لل absolute، بس
استغلني شوية، هنقول، نشير إليهاطيب بس خلص ال local
بعدين بروح لل absolute لسه احنا اتكلمنا على النقطة
الأولى بدنا نجل أعلى من إذا ال F prime غيرت شريطها
من positive إلى negative يعني كانت الدالة تزايدية
ثم راجعت أصبحت تناقصية بقى هنا تزايدية هنا تزايدية
هذه الاصطناعات المهمة لكنها ليست لوكال ماكسيممم
ولا حتى لوكال مينيما يبقى بقدر أقول لا إكستريما
ماعنديش في هذه يبقى هذه عند هذه النقطة بقول لا
إكستريما
الدالة كانت تزايدية positive و رجعت negative
local maximum اذا هذه النقطة ال local maximum
بيحصل عندها وعندي f prime of c2 بده يساوي قداش بده
يساوي zero تمام في كمان اه في هي الدالة التزايدية
ورجعت صارت تنقصية كانت positive ورجعت negative
يبقى عند النقطة هذه ايش في عندي local
حسب التعريف النقطة هذه كانت تناقصية وظلت تناقصية
يبقى ماعنديش لا local maximum ولا local minimum
نجي للنقطة التانية إذا f prime ماعيرتش إشارتها عند
c يبقى ماعنديش has no local extrema يعني ماعنديش
لا local maximum ولا local minimum طب إيش رأيك عند
النقطة هذه؟الـ F' of C4 is undefined يبقى ماهياش
معرفة لأن عندي أكاسب هنا طيب إذا النقطة هذه بيقول
إذا F ماغيرتش إشارتها يبقى no local extrema يبقى
هاي no local extrema وهنا كذلك no local extrema
يبقى ماعنديش كذا لك رغم انه f prime of c خمسة بده
يساوي قداش بده يساوي zero يبقى صار local minimum
local minimum local minimum local maximum local
maximum no local extrema no local extrema خلصنا من
قصة ال local واحد سأل قال طيب ال absolute بقوله
بدنا نرجع بالذاكرة إلى section 4-1بتداجي على الـ
Interval كلها من A إلى B أقل قيمة بيقول عنها
Absolute minimum أكبر قيمة Absolute maximum إذا
هذه كمان إيش بيكون Absolute minimum لإيش إن هذه
أقل قيمة؟ هذه هنا كمان ما لها Absolute maximum
لإيش؟ لأن أكبر قيمة موجودة لويا للدالةحد له اي
تساؤل اخر؟ ايوة. الدكتور بالنسبة ليه مثل التعريف
الأول؟ مش هو حاجات اللي نفترانها؟ monotonic
التعريف الأول. لأ هذا اللي مكتوب يعني. هذا اللي
التالي يعني. ايوة، هذا، ايوة. قصد اللي هو ال
support يعني ال .. ال support. طيب انا كنت ريوز
على ال closed و differential على ال open. طب ليش
قال in some terms و لا كنتاني؟مش قولناها يا شباب؟
قولناها و هنقولها كمان مرة مش أنا خاطر، شو اسمك
أنت؟تبقى ادم زائد اذا كان ادم زائد تبقى ادم
زائد
اذا كان ادم زائد تبقى ادم زائد اذا كان ادم زائد
تبقى ادم زائد اذا كان ادم زائد تبقى ادم زائد اذا
كان ادم زائد تبقى ادم زائد تبقى ادم زائد تبقى ادم
زائد تبقى ادم زائد تبقى ادم زائد تبقى ادم زائد
تبقى ادم زائد تبقى ادم زائد تبقىواضحة هي مكتوبة
مكتوبة انا بدي اياها differentiable على ال open
interval هذه مقعدة عندها C تسيلفي ممكن ما تبقاش
differentiable هي لو جيت حولها differentiable
اتدالى مقعدة من مقعدة عند ال C4 عند ال C4 اتدالى
غير قابل الاشتقال واضحة تمام طيب حاجة ضالة بدي
اسأل تاني طب بنروح الآن لالامثلة
طيب قبل الامثلة شاية الكلام اللي قلته هنا بدي أحطه
لك هنا على الطبيعة السؤال أيه قبله؟ اتطلع ليه هنا
المشتقة كانت نازله بعد هيك اتطلعتيه بيه عند ال
zero إيش بدي أكون؟ الان كانت الصعادة مشتقة أكبر من
zero صارت أقل من ال zero يبقى عند الواحد local
maximum الان عند اتنان مشتقة كانت سالفة صارت موجة
بيبقى local minimum و هكذايبقى هايه على الطبيعة من
خلال المثال أسرع يعني أنا مافضيش أمسحها متعمد حتى
أحاول أربط لك هذه فيها والآن بدنا نعطي أمثلة
مختلفة على الكلام الذي تعرضنا له فضل
مش عنده نقطة هادى، شطة الـ C4 مش معرفة؟ مش معرفة
الـ C4؟ المشتقة مش معرفة، الدالة معرفة، الدالة
متصلة لكن المشتقة غير موجودة عشان هيكون ال local
maximum؟ ال local maximum طبيعي لإنها معرفةالمشتقة
ليه مش معرفة الدالة معرفة يعني الدالة دالة متصلة
لكنها غير قابلة لاشتقاق بسبب وجود التأسباب خلاص؟
حد بيسأل تاني؟ هذه رسمة
F of X لكن لو أخدت الفترة هذه بلقى ال F Prime أكبر
من Zero عليهالو أخدت الفترة التانية هذه بلاج ال F'
أكبر من ال zero لو أخدت الفترة التالتة بلاج ال F'
أقل من ال zero يعني ليش ان الدالة تناقصية طبق
التعريف اللي احنا جاي ليله طبعا؟ طيب نرجع الآن
ناخد مثال example
for the following functions for the following
functions لكل من الدوالة التالية نمرأة a find find
the intervals of
the intervalsin which the function in which the
function is increasing
and
decreasing بدنا فترات التزايد والتناقص
identify the local extreme values the
local extrema وخلصنا بالاختصار هيكد if any if
any saying
saying where they
occur نمرسي
which if any of
the
F of X يساوي 2X تكييب ناقص 18X
سؤال مرة ثانية نعطي مجموعة من الدوال بدل الدالة
أربعة دوال و لكل دالة من هذه الدوال نحسب تلت شغلات
الشغلة الأولى نجيب فترات التزايد والتناقص لكل دالة
من هذه الدوال الشغلة المطموبة تانية identified a
local extraتحددني النهايات العظمة والصغرة المحلية
لهذه الدوال if any ان وجدت مش موجودة مسامحينك فيها
saying where they occur وين بتحصل هذه يعني بتقولي
نهاية العظمة مثلا كذا عند النقطة الفلانية النهاية
الصغرة كذا عند النقطة الفلانية يعني بنحدد مواضع
نهايات العظمة والصغرةبعد ذلك which if any in if
any يعني إيه النوجبات of the extreme values are
absolute mean من ال extreme values اللي بتبقى
absolute maximum أو absolute minimum يعطيني أول
دالة من هذه الدوالة اللي هو 2x كب نقص 18x قداشة ال
domain تبعها هذهكل real number يبقى أنا بقوله هنا
domain ال F يساوي من سالب infinity ل infinity يعني
ماعنديش end points ال domain كله على طاقم، بقوله
كويسيبقى بدي ابدا بال F prime of X 6X تربيه ناقص
تمانتاش يعني 6 بضل X تربيه ناقص تلاتة يعني 6 في X
ناقص جدر تلاتة في X زائد جدر تلاتةيبقى هذا الشكل
المشتقة بالشكل اللي عندنا هذا روحنا حللنا حللنا
إلى حاصل ضرب قوسين زي ما انت شايف المشتقة
polynomial يبقى ال domain تبعها كمان مين كل ال
real line بالاستثناء تمام يبقى حكاية انا غير معرف
احطها ع شجريبقى ما أقدرش أجيب ال critical points
إلا إذا سويتها بالصفر فقط لا غير ماعنديش غير هيك
يبقى بالي بقوله هذا الكلام يساوي Zero إذا لما
يساوي Zero هذا بده يعطيلك إن X يساوي سالب جذر
تلاتة and ال X بده يساوي جذر تلاتة are the only
critical
يبقى انا جبتله الـ critical بس حتى الآن ماجبتلهش
فترات التزايد والتناقص يبقى بده ياخد إشارة الأقواص
اللي عندنا يبقى بده يروح ويقوله بده ياخد إشارة 6
في X ناقص جذر 3 ويغيرني الله يعني بتاخد ال zero
تبعها وين؟عن جذر التلاتة، لو جيت بعد جذر التلاتة،
الجثة ده بيكون بعد جذر التلاتة، يعني أكبر من جذر
التلاتة بيكون موجب وقبله بصير سالمالان لو جيت اخدت
اشارة ال X زائد جذر تلاتة بياخد ال zero تبع وين
عند سالب جذر تلاتة بعدها موجب و قبلها سالب الان
انا بدي اشارة حاصل ضرب القوسينX ناقص جدر تلاتة في
ستة في X زائد جدر تلاتة وادى ال real line وبدنا
نيجي نحدد الحدود الإقليمية يبقى انقسم ال domain
إلى ثلاثة مناطقهذه جذرية تلاتة وهنا سالب جذرية
تلاتة الجثين مضربات في بعض ضرب يبقى نضرب الإشارات
ضرب سالب في سالب بموجب سالب في موجب بسالب موجب في
موجب بموجب يبقى هنا الدالة المشتقة موجبة يبقى
الدالة كانتincreasing يبقى تدلع الصعيدة الى اعلى
هنا السالبة يبقى صارت مالها decreasing هنا موجة
بيبقى عادة طلعت الى اعلى اذا المطلوب الاول نمر ايه
بقول ال F is increasing
on الفترة من سالب infinity لأن ال domain كل ال
real line بيلاسق الفترة لأن من سالب infinity لغاية
سالب جذر تلاتة and on كذلك اللي هو جذر تلاتة
closed ومن هنا closed من جذر تلاتة لغاية infinity
يبقى حددنا فترة التزايد ضايلة فترة التناقص يبقى
باجي بقوله ان ال F is decreasing يبقى دالة تناقصية
على الفترة من سالف جذر تلاتة إلى جذر تلاتة بالضبط
تماما خلصنا المطلوب الأول بدنا نيجي لمطلوب التاني
نمر بيههو حدد لي ال local extreme values واضح انه
عندى هنا localتغيرت الإشارة من positive إلى
negative يبقى maximum هنا تغيرت من negative إلى
positive يبقى minimum تمام إذا بدنا نحسب F of سالب
جذر تلاتة ويساوي 2 في سالب جذر تلاتة لكل تكيب سالب
تمانتاشر في سالب جذر تلاتة ويساويهذه بتعطيني اللي
هو السالب ستة جذر تلاتة وهذه بتعطيني تمانتاشر جذر
تلاتة ويساوي اتناشر جذر تلاتة بدنا نحسبله ال F of
جذر تلاتة يبقى هذه بدها تساوي اتنين في جذر تلاتة
لكل تكيب نقص تمانتاشر في جذر تلاتةالجواب يساوي ستة
جذر تلاتة ناقص تمانتاشر جذر تلاتة ويساوي ناقص
اتناشر جذر تلاتة
الـ F has a local maximum 12 جدر تلاتة at x يساوي
سالف جدر تلاتة
الجذر ثلاثة انتهينا من المطلوب الثاني يبقى يا شباب
أنا بكتب هذا اللي بالأحمر بناء على النتاج اللي
عندي مش عند القيمة حسب ما هو في الجدول هنا قلنا
local maximum هنا local minimum وبناء عليه قلت
local maximum عند السالب تلاتة وlocal minimum عند
الجذر تلاتةالمطلوب نمرى c قال which if any of the
extreme values are absolute يبقى انا عندي قيمتين
ممن هم absolute ولا واحدة لأنه ماعنديش end points
interval ماشية لغاية سلب infinity و لغاية موجة ب
infinity يبقى نمرى c ال f has no absolute
extrema because
ال F has no end points او ال domain تبع ال F has
no end points عليك انتهى السؤال نروح ناخد السؤال
الثاني السؤال
الثانيالـ F of X تساوي اللي هو مين؟ X تربيع ناقص
تلاتة على X ناقص اتنين والـ X لا تساوي اتنين
طبعا الدالة غير معرفة عند اتنين لكن الدمين بيصير
من سالب infinity لغاية اتنين و من اتنين ل infinity
يبقى باجي بقوله domain الدالة F من سالب infinity
لغاية اتنين اتحاد اتنين و infinityطب بنجيب ال
interval of increasing and decreasing ممكن اشتق
المقام في مشتقة ال bus لكن في واحد يقولي انا بسش
لأ اسهل من هناك بقولتله كده بقالي بقسم جسمه مطولة
و بعد هيك بروح بشتق بقوله والله كلامك مظهر بقسم
جسمه مطولة ماجتيش اذا درجة ال bus اكبر من او تساوي
درجاتأذا هذه المثالة بقدر أقول x تربيع ناقص تلاتة
بدي أجسمها عمليا على x ناقص اتنين فيها x بx تربيع
ناقص اتنين x زاد بصير ناقص وهذه زاد هذه مع السلامة
بضل اتنين x ناقص تلاتةالباقي من الدرجة الأولى
والمقسم عليه من الدرجة الأولى بنواصل عملية القسمة
يبقى 2x على x فيها جداش 2 2 في x ب2x وناقص هنا
جداشأربعة هذي زاد و هذي زاد هذول مع السلامة بيظل
جداش واحد يبقى خلاص طب الله يعطيك العافية لإن
الباقي من الدرجة الصفرية و المقصوم عليها من الدرجة
الثانية يبقى باجي بقوله ال F of Xيقول اكس تربيه
ناقص تلاتة على اكس ناقص اتنين بدي اكتبها بشكل اخر
اكس زائد اتنين زائد واحد على اكس ناقص اتنين يبقى
هذه اسهلة في الشغل منين من الشكل اللي عندنا هذا
يبقى خلاص باشتغل دوري الحين طبعا هذا شباب ايش كنا
بنسميه ابلاج السمتت وهذا ايش كنا بنسميهأكس يساوى
اتنين، Vertical بس بعد ما تفحصوا، طب فيه
horizontal أسمت؟ لأ لإن ضررية ال bus أعلى من ضررية
المقام ال limit بتعطيني infinity وبالتالي نقبلك،
طب احنا هذا بدنا إيش نرسم اليوم، مش شغلتنا الرسم
اليوم، تمام؟شغلتنا بس بيجي فترات التزايد والتناقص
إذا بدي أجي للنقطة A بدي ال F prime of X مشتاقة
هذه بواحد واتنين مع السلامة وهذه X ناقص اتنين لكل
تربيةبنوحد المقامات يبقى x ناقص اتنين لكل تربية
بيصير x ناقص اتنين لكل تربية ناقص واحد طيب نفك هذا
البص بيصير x تربيةناقص أربعة X زائد أربعة ناقص
واحد على X ناقص اتنين لكل تربية يعني X تربية ناقص
أربعة X زائد تلاتة على X ناقص اتنين لكل تربية هذه
يمكن تحليلها يبقى صار ال F prime of X هو X ناقص
واحدفي x ناقص تلاتة على x ناقص اتنين الكل تربيع
الان باجي بقوله ال X تساوي واحد وال X تساوي تلاتة
هما مين ال critical بس ماقالليش هات ال critical
قاللي هاتلي ال interval إذا مافيش داعي أقلب حالي و
أقول له هذا ال critical لو لأ بدي أشوف إشارات
الأقواص دغري مباشرة تمام؟ إذا باجي بقوله بيداجي
أخد إشارة القوس الأول X ناقص واحدهذا الـ real line
بياخد الـ zero تبعه عند الواحد بعد الواحد positive
و قبل الواحد negative بدا ياخد إشارة اللي هو ال X
ناقص تلاتة هذا الخط اللي عندنا هذا هو بياخد ال
zero تبعه أين؟ عند التلاتة بعد التلاتة موجب و قبله
ما شاء الله negativeبدأ ياخد إشارة ال X ناقص اتنين
لكل تربيع، بعدين بقول له هذا بياخد ال zero تبقى
وين؟ عند اتنين، بعد اتنين موجب و جابلهموجب كمال
انه كمية مربع تمام؟ بعد هيك بدنا إشارة اللي هو X
ناقص واحد في ال X ناقص تلاتة على X ناقص اتنين لكل
تربية وهذا ال line اللي عندنا و جينا نحدد الحدود
الإقليمية فيما بينهما بالشكل اللي عندنا هذاتمام؟
طيب هي التلاتة وهي اتنين وهي الواحد طلعله هنا كلها
موجب وهنا سالب وهنا سالب وهنا موجب يعني الدالة
كانت increasing صارت decreasing بقيت decreasing
صارت increasing بالشكل اللي لدينا هنا
يبقى باجي بقولله ال F is increasing دلتة زيودية on
الفترة من سالب infinity لغاية الواحد و closed عند
الواحد and on و كذلك من عند التلاتة لغاية infinity
بعدها ال F is decreasing on دالة تناقصية على
الفترة من عند الواحد لغاية اتنين مفتوحة من عند
اتنين ليش ان الدالة غير معرفة عند اتنين اتحاد
اتنين و تلاتة بالشكل اللي عندنا هنا مين
اللي بيحكي
طيب نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر
بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر
بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيه نمر بيههنا فيه لأ هنا
local minimum إذا بدنا نحسبله فقط F of واحد و F of
تلاتة يبقى بادي باخدله F of واحد F of واحد يساوي
هاي واحد تربيع ناقص تلاتة على واحد ناقص اتنين
بيبقى لنا ناقص اتنين على ناقص واحد يساوي اتنين
وبدنا ال F of تلاتة ويسوي تلاتة تربيع ناقص تلاتة
على تلاتة ناقص اتنين يبقى تسعة ناقص تلاتة لهو ستة
على واحد ويسوي ستة يبقى ال F has local maximum
local maximum يتنين at x يساوي واحد and local
minimum ستة at x يساوي تلاتة واحد يقول طب هو ال
minimum ستة و ال maximum بنفع يكون اتنينانا هذه
قيم ليش منحنا ممكن يكون جوس تحت و جوس فوق صحيح انا
بيبقى صارت اللي فوق هذه local maximum و هذه اللي
تحت local minimum بهمناش يبقى انا بكتب نتاج مثل ما
بطلعها ايه تماما نجي لنمرى دى، نمرى دى بيقول مين
من ال local maximum و ال local minimum تبقى
absolute بيقولوا الله تعالى هنا جايين من وين احنا؟
ماعنديش end point، سواء عندي اتنين الدالة غير
معرفة يبقى باجي بقول ال F has no absolute extrema
because domain
الـ F has no end points ماعنديش طب السؤال التالت
السؤال التالت بيقول F of X يساوي
X أسطل تين فمين في X زائد خمسة
كويس طب إيه إيش رأيك؟ هذه بدل ما هي حاصل ضرب دلت
خلنا نفكها وخلاص يعني هذه بيصير X أس جديش خمسة ع
تلاتة زي خمسة X أس طولتينبدنا ال F prime of X يبقى
يساوي خمس أتلات X أس تلتين زائد عشر أتلات X أساليب
تلتمظبوط هيك؟ طب بدنا نجيب ال critical points او
بدي اكتب هذه الشكلة كويس مشان اقدر احدد الإشارات
بقولوا هذه بسيطة يبقى هذه خمسة على تلاتة X أس
طولتين زائد عشرة على تلاتة X أس طولتينأكس أس سالب
تلت نزلتها تحت صارت مين بالمعجب إذا هذا كله بقدر
أقول تلاتة أكس أس تلت عامل مشترك من الكل على تلاتة
بضلش اللي عندي خمسة أكس أس تلت في أكس أس تلتين بضل
خمسة أكسفقط لغاية تلتين زائد تلت تلاتة ع تلاتة
يعني واحد صحيح وهنا زائد عشرة او خمسة في X زائد
اتنين على تلاتة X قص تلت طب يبقى ال critical
points من و من؟ساوي باتنين ومين؟ و Zero لأن عند ال
Zero المشتقة غير معرفة يبقى لو سويت بال Zero البص
هو بالساوي Zero وبالتالي ال critical point CX ساوي
ساوي باتنين وكذلك X يساوي Zero أيضا ماحطيتش ان هذا
السؤال اللي جابله انا قلت ال A6 local maximumأنا
قلت و حكيتها بس أنت كنت في مجال آخر و بده أعيدها
برضه مش هانخطك، شو اسمك أنت؟ تامر جرادة، احنا في
السؤال السابق و ليس في السؤال هذا طيب، على أي حال،
شوفت الرسمة إيش كانت عندك هنا؟ إيش في عند الواحد؟
F' غيرت إشرتها من موجة بيها السلبية، إيش عندك؟هنا
لف ويرش من سالب لأ موجة بيبقاش عندك عندك تلاتة
طلعت ستة مظبوط ولا من عشان هذه اتنين و هذه ستة ستة
مستقلة مش جزلك هذا في عندك أبلجز سم تطلع ورا سم
تجوز بتطلع فوقو جوس بيطلع تحت يبقى هذه local
maximum و هذه اللي فوق بيصير local minimum
قاعدناها كمان مرة عليها اللي عند الرسم برضه في ال
section القادم اللي سنبدأه بعد قليل هتشوف شغلات زي
كدهتشوف شغلات عملية نرجع لسؤالنا يا شباب احنا
جيبنا المشتقة الأولى و أصبحت المشتقة الأولى على
الشكل خمسة في X زائد اتنين على تلاتة X أس طول تبقى
ال critical point يسالب اتنين و Zero إذا بتشوف
إشارة كل term من هدين ال termينإذا لو جيت Gulf بدى
أخد إشارة خمسة في X زائد اتنين هذا ال real line
بياخد ال zero تبع وين؟ عند السالب اتنين بعد السالب
اتنين ايش بتكون القيمة؟ و قبله؟طيب بدل ياخد إشارة
اللي هو تلاتة إكسوس طول بياخد ال zero تبع وين؟ عند
ال zero بعد ال zero و قبل ال zero طيب الدمين تبع
ده اللي هد مين؟كل الار بلا استثناء يبقى لا عندي
مشكلة في هذه الحالة إذا بدي إشارة خمسة في إكس زائد
اتنين على تلاتة إكس أس طول و هذا ال real line و
بدي نيجي نحدد الحدود الإقليمية أي سالب اتنين أو أي
زيرو هنا موجب هنا سالب هنا موجبسالب على سالب
بموجب، موجب على سالب بسالب، موجب على موجب بموجب.
يبقى الدالة كانت increasing. إيش صارت؟ decreasing.
إيش رجعت؟ increasing. يبقى يا تمر يا جرادة إيش
رأيك؟ عندي السالب اتنين هنا، إيش فيه؟وعندي zero
بدنا نحسب قيمة ده لو جد ما تطلع تطلع بهمناش طبعا
اذا بدنا نروح نحسب F of سالي باتنين يبقى بدنا نيجي
ناخد F of سالي باتنين يبقى هذا الكلام بده يساوي
سالي باتنين أس تلتين في سالي باتنين زائد خمسةطب
كويس هذا بده يعطينا مين؟ بده يعطينا تلاتة هذا
الجذر التالت لسلب اتنين تربية سلب اتنين تربية
مافقداش، يبقى الجذر التالت لاربعة، يبقى تلاتة
الجذر تلاتة الجذر تالتلأربعة تمام بدنا نيجي نحسب F
of Zero Background Zero يبقى بعدي بقوله ال F has
local maximum تلاتة الجدرى التالت لأربعة X يساوي
سالي باتنين ال F has local minimum Zero
السؤال هو في عندي absolute maximum او minimum؟ لأ
لان ماعنديش end points
طيب نجلع نمسي if has no absolute extrema because
ال domain بتبع ال if has no end points
طيب نيجي هذا السؤال التالت نيجي لهذا السؤال الرابع
والاخير في هذا ال section ايه السؤال؟ طيب مثلا لو
انا افتراض ال minimum او ال maximum ساعدنا هي أفضل
حاجة، كيف؟ لو ايه؟ ال minimum القيمة ال minimum
value أو ال absolute مثلا
مش رايك تصبر شوية بس ناخد المثال الأخير هذا، بس
خليك محتفظ بالسؤال، يمكن نجاوب عليه في السؤال
الأخيرقبل التكمل يالا اكتبلي هذا f of x بده يساوي
اللي هو ال X تكيب ناقص تلاتة X تربيع و سالب
infinity اقل من ال X اقل من او يساوي تلاتة
بنجيب الـ f prime of x يبقى تلاتة x تربيه ناقص ستة
x في عندي عامل مشترك اللي هو قداش تلاتة x بيظل x
ناقص اتنين يبقى ال critical points هي zero و اتنين
فقط لا غير مظبوط يبقى احنا بدنا نبحث الإشاراتيبقى
بد إشارة 3x بقوله بتاخد ال zero تبعه أين؟ عند ال
zero و بعد ال zero؟ موجب و قبل ال zero؟ طب على
إطلاق هو الله محدودةبدي اقضى فعندي التلاتة ممنوع
تتحدى التلاتة تتعدى ماعنديش بعد التلاتة دلها تمام
بجهة دي ليست طبعا بس من عن جهة الشمال على إطلاقها
الله سهل علينا نجلب من سالب infinity لغاية مين
لغاية التلاتة بعد هيك بدي إشارة X ناقص 2 تاخد ال
zero تبعها وين عند 2 بعد 2و تلاتة بدي اوقف و قبل
هي set بالشكل اللي انها ده بعد هيك بدي اشارة تلاتة
x في x ناقص اتنين و بنيجي الى الحدود الاقليمية
يبقى هي zeroهو اي اتنين وهو اي مين تلاتة بعد
التلاتة ماعنديش يبقى هذا الجثيم مضربات في بعض ضرب
يبقى سالب يبقى موجب اتدالة increasing صارت
decreasing رجعت increasing يبقى بقدر اقول ماتي
نمرة ايه ال F is increasing onمن سالب infinity
لغاية من ال zero and on وكذلك من الاتنين لغاية
التلاتة
الآن ال F is decreasing ده لتناقصية على الفترة من
Zero لغاية كده اش لغاية اتنين خلصنا المطلوب الأول
بنالي جه نحسبله ال F of نمرة بي ال F of Zero ال F
of Zero تساوي Zero والتانية ال F of اتنينF of
اتنين يساوي اتنين تكعيب ناقص تلاتة في اتنين ترابيع
تمام؟ طيب هذه بتصير تمانية ناقص اتناشر و يساوي
قداشر؟ ناقص اربع اذا عندي zero في عندي ايش؟ في
عندي zero في local maximum يبقى if has local
maximum0 at x يساوي 0 تمام؟ طب إيش رأيك عند
التلاتة؟ طيب عند التلاتة بدنا نجيبله كمان F of
تلاتة يبقى بصير عندي يساوي تلاتة
تلاتة في تلاتة تكيب ناقص تلاتة في تلاتة تربيعفى
اشتلاتها الصحية يبقى النتيجة كده؟ Zero كذلك يبقى
بعد يبقى يقول الـ F has a local maximum Zero at X
يساوي Zero and ال X يساوي تلاتة يبقى موقعين فيهم
local maximum طيب ال F has local
لوكال مينيمم عندي اتنين سالب اربع ات اكس يسمى
لقداش اتنين يبقى جيبنا ال local maximum يبقى لل
absolute نمرسى في absolute maximum؟ فيه
تلاتة ولا لا؟ لأن هذه الدلجة من تحت increasing
صعدت لغاية zero نزلت عند اتنين لمين لسالب اربعة
تحت رجعت طلعت لمين؟ ايش رايك بال zero هذه بالصير؟
absolute maximum يبقى عندي موقعين لل absolute
maximum برضه بجي بقول ال F has absolute maximum
أت اكس يساوي زيرو and ال X يساوي تلاتة فيه عندي
absolute minimum لإنه جاي من وين من تحت من سالب
infinity وضله طالع على ال zero نزلت لسالب أربع
ورجع طالع لتلتر يعني عندي absolute maximum ولا
يوجد absolute minimum يبقى ال F has
أجابنا سؤالك؟ و لا لسه؟ وصلت؟ الحمد لله ذلك ما كنا
نبغي
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بعدها نجي ل exercises أربعة تلاتة هكتب عليك فوق
هنا يبقى exercises أربعة تلاتة المسائل التالية
اللي من واحد لتسعة وتلاتين الأد من واحد لتسعة
وتلاتين الأدو من واحد و أربعين لواحد و خمسين من
واحد و أربعين لواحد و خمسين كمان ال odd و part
part a و b a و b فقط لا غيرو من تلاتة و خمسين
لتسعة و خمسين من تلاتة و خمسين لتسعة و خمسين الاد
part F فقط لغير و من واحد و ستين لسبعين من واحد و
ستين لسبعين كلهم بلا استثناء
طيب ننتقل الان الى ال section اللى يليه وهو
section اربعة اربعة يبقى section اربعة اربعة بتحدث
عن شغلتين ال concavity concavity and ال curve
sketching
الرسم البياني للمنحنيات نعطي تعريف لل Concavity في
الأول وبعد ذلك بروح للباقي The graph of
a differentiable function Y تساوي F of X is
المرة واحد Concave up on an open interval I
if ال F' is increasing on I
نمره اتنين concave down على ال open interval I فال
F' is decreasing on I that
is I N نمره
احد Fالـ F double prime greater than zero on I
then
the graph of Fثم graph of F over I is concave up
نمره
اتنين F ال F double prime اقل من ال zero on I ثم
graph of F is concave
down
if ال F is continuous on an open interval
containing
X
node and if ال F
تتغير الاتجاه من
الهيئة
الهيئة الهيئة الهيئة الهيئة الهيئة
الهيئة الهيئة الهيئة الهيئة الهيئة الهيئة
و F of X0 is called an inflection
point
of F
ماذا بحق الجحيم
يا رجل ..
الجد هو يبقى اتراك فترة يكون من يمين و من اليسار،
اي جد يكون من يمين و من اليسار، لكن يكون closed
هذا المتقبل دالة مجزة صح ولا لأ؟ اه لأ، المتقبل
دالة مجزة إلى جزئين، المتقبل دالة مجزة إلى جزئين،
منقول عن طرفين الفترة الدالة غير معرفة، صحيح ولا
لأ؟ منقول مشتقة، المشتقة غير معرفة، مظبوط؟ من
استبعد الطرفين، لأنه لما أوقف عنده احتمال يكون
كبير فيه discontinuityعن طرفين الفترة احتمالها
تمام وبالتالي انا باستبعد الطرفين حتى ماوجعش في
مشاكل مظبوط اسمه
يا راجل
لو كانت دالة عزيزي polynomial فمعرفة عليها كل real
line دخلت الطرفين و الله قلت الطرفين مش سببش عندي
مشكلة خالص بس لما تبقى دالة مجزلة احتمال المشكلة
تكون موجودة احتمال كبير كمان
أف و فكس يساوي كده؟ أف و فكس يساوي اكس تربيع اكس
تربيع ماشية الله هاي بها ال domain كل ال real line
والله انت حجزت عند الواحد و اتنين عند الواحد و
اتنين عند الواحد و اتنين ممتاز جدا يبقى السارات
تلاتة اكس تربيع تلاتة اكس تربيع يبقى السارة عند
الواحد معرفة و عند اتنين معرفة وبالتالي دخلت في ال
interview والله والله قررتها لا يؤثر عندي بصير
المشتقة معرفة عند الواحد و عند اتنينهذا كله مثلا
ماعنديش مشكلة بس لما تبقى دالة مجزة إلى جزءين بصير
اللي احتمال المشاكل او ثلاثة جزء او اربع تصير
المشاكل عند الأطراف ممكنك لايستبعد الأطراف ورايا
دماغك هذا كل ما في الأمر طب نرجع لسؤالنا هذا ال
section اللي بين ادينا اللي هو section 4 4 con kvt
اللي هو mainالتقاعر او التحدب للمنحنة تمام؟ and ال
curve sketching ورسم المنحنيات يبقى احنا في هذا
section بنستخدم كل ما سبق الدراسة وفي section 4.1
و4.2 و4.3 في رسم المنحنيات وخاصةلـ critical points
وفترات التزايد والتناقص وكذلك ال local maximum و
ال local minimum يبقى احنا بنستخدم كل ما سبق
دراسته في الرسمبنذهب فقط للأول ونعرف الـ Concavity
لمنحنة كيف بدي أحصل عليه وبعد ذلك نشوف كيف بدنا
نعملها فبعدين بقول graph of a differentiable
function y تساوي f of x isconcave up على فترة I
ولم اقول انها مقفلة او مفتوحة او مفتوحة او مفتوحة
او مفتوحة او مفتوحة او مفتوحة او مفتوحة او مفتوحة
او مفتوحة او مفتوحة او مفتوو بقول لك ده لكن cave
up if ال if increasing بحاجة تضيق المشتقة يبقى
كلامي صح ولا غلط؟ غلط يبقى صح صح وخد بالك من
النقطة هذه إذا المشتقة كانت تزايدية يعني إيش؟ يعني
المشتقة الثانية بتكون أكبر من ال zero صح ولا ..
بقول لك ده لا increasing إذا المشتقة تبعتها كانت
أكبر من ال zero يبقى ال if prime increasing إذا
مشتقتهااللي صارت المشتقة الثانية بتبقى أكبر من مين
من ال zero يبقى الدالة بيقول هيكون curve up
المنحنة مفتوح إلى أعلى إذا كانت ال F prime
increasing إذا كانت الدالة إذا كانت مشتقة هذه
الدالة خلال هذه الفترة كانت المشتقة تزايد مش
الدالة مشتقة الدالة كانت تزايدياconcave down يعني
إلى أسفل إذا كانت المشتقة خلالها decreasing يبقى
إذا كانت مشتقة الدالة تناقصية وليست الدالة مشتقة
الدالة تناقصية طيب بدي أعيد صياغة الكلام اللي قلته
بناحية رياضية ثانيةفبعدين بقول ايه ده اللي بتبقى
cone curve up اذا المشتق الثاني اكبر من مين من ال
zero ما هي هذه الترجمة ان ال F prime increasing صح
ولا لأ مش قبل شوية اخدنا اذا المش F prime اكبر من
ال zero يبقى ال F increasingهنا إذا الـ f double
prime أكبر من 0 يبقى الـ f prime increasing يبقى
أكبر من الـ 0 الـ graph of f over a is concave up
يبقى مفتوح إلى أعلى الآن لو كانت المشتقة الثانية
أقل من الـ 0 على الفترة I يبقى ال graph of it
بديكون ماله concave downالكتاب بيسمي الشرطين هدول
هيك بيسميهم second derivative
test
for concavity
يبقى المشتاقة الثانية لقياس تقار و تحدب المنحنة
لكن ال first derivative تستخدم لمن؟ لتحديد ال
local maximum و ال local من فوق ال local extreme
value أيه الفرق في ما بينهما؟ طيب إذا المنحنة
بالشكل إن هذا طلع إن هذا كنك يابوينهذا concave
وين؟ فعندي النقطة اللي عندنا هذه انتقل من concave
up إلى concave من concave down إلى concave up
النقطة اللي هذه بنسميها نقطة انقلاب للمنحنةيبقى
inflection point يبقى ال inflection point بدي
شرطين لها حتى تتحقق أول شي بدي تبقى دالة متاصلة
عند هذه النقطة الشرط الثاني بدي اتجاه ال concavity
يتغير من down إلى up أو من up إلى down طلع عند
النقطة الثانية هذه كان concave up صار concave down
يبقى بادلة تاني بيقول إذا ال F كانت دالة متاصلة
على ال open interval التي تحتوي على مين؟ على X0
يبقى أنا عندي في فترة تحتوي على نقطة زي النقطة
هذه، كويس؟ تمام، إيش حصل؟ دالة دالة متاصلةand if
it changes the direction of its concavity under X0
عند X0 الدالة غيرت اتجاه الconcavity تبعها يبقى في
هذه الحالة بقول النقطة X0 و F of X0 بسميها
inflection point دي ما كان ممكن ماتلاقيش التعريف
تبعي هو اللي منصوص عالي في الكتاب يكون الكتاب
ماتلاقي كتبه من نص آخر لكن هذا أدق نص لايمكن يخر
منه الميه زي ما بقولهيبقى انا عشان يكون عندي
inflection point على المنحنة بدي اتحقق شرطين
الاتصال تبع الدلة عند هذه النقطة اتنين بدي اتغير
اتجاه ال connectivity لهذه الدلة ال inflection
point بتحصل وين؟بتدور عليها وين يعني؟ في مكانين
اللي المشتقة الثاني عنده يساوي zero او المشتقة
الثانية تبقى غير معرفة زي ال local maximum و ال
local minimum بدور عليها وين؟ اذا المشتقة الأولى
صفر او المشتقة الأولى غير معرفة؟ اذا المشتقة
الثانية بدل من المشتقة الأولى طيب السؤال هولو كانت
المشتقة ثانية تساوي zero او المشتقة الثانية ما هي
معروفة يعني ضروري الاقي inflection point لأ لأ ليس
بالضرورة يبقى ليس بالضرورة اذا بتطلع بقى قبل ما
نكمل هنالو جيت الفترة من هنا لهنا الفترة اللي
عندنا هذه مفتوح الى أعلى والله الى أسفل الى أعلى
يبقى هذه المرحلة بقول عليها كن كبط
طيب هذه من هنا لغاية هنا concave down يبقى مفتوح
لها لفترة هذه concave up هذه concave down
هذه النقطة وهذه النقطة وهذه النقطة اكس واحد و اكس
اتنين و اكس تلاتة عندهم في انفليكشن point يبقى هذه
point يبقى هدول نقاط انقلاب للمنحنى مين هما اللي
هي النقطة اللي عندك هذه و النقطة هذه و النقطة هذه
و كذلك النقطة اللي عندك مين النقطة هذه طبعا هذه
بقدرش أتأكد منها لأن ماعنديش منحنى بعدها يبقى هذه
بقدرش أتأكد منها بالضبط الآنإلا إذا خلّيت القوس
ينزل شوية ماشي الحال، لكن أنا بقول هاي كل اللي
بقدر أقوله، هدول واحدة، اتين، اتين، تلاتة متأكد
منهم، هد مش متأكد منها، يبقى بقول عندي النقطة
التلاتة هدول فيها عندي main inflection pointهي
concave up، concave down، concave up، concave down
يبقى هذه الفترة جسمت عليها التقسيمات هذه السؤال هو
لو كانت المشتقة تساوي zero المشتقة الثانية هل من
الضروري يكون في عندي inflection point الإجابة ليس
بالضرورة نعطيك هالملاحظة هذه وبها ننهي المحاضرة
الملاحظة بتقول ما يأتي
إذا yw' تساوي 0 فهو
ليس صحيح
through that must there is
an inflection point
there is an inflection point for example
كشغلة توضيحية على ذلك ال Y تساوي X أُص أربعة لو
بدى تجيب المشتقة الأولى بتعطيك أربعة X تكيب مشتقة
ثانية بتساوي اتناشر X تربيع وهذه تساوي Zero at X
يساوي Zeroلو جينا رسمنا هذه بقول هي المنحنة كويس
يبقى هذا محور X و هذا Y طبعا رسمناها قبل هيك يبقى
المنحنة بدي أجيلك هيك هذا Y تساوي X أُص أربع
المشكلة عن وين عند ال zero الآن قبل ال zero
المنحنة كانت كيف وين؟بعد الـ zero مغيرش يبقى هذه
هذا الجزء مفتوح
الى أعلى و هذا كمان concave up يعني الدالة عند ال
zero صحيح دالة متصلة بس لم تغير اتجاه ال concavity
يبقى وبالتالي ليست inflection point يبقى ساوي zero
butالاكس تساوي زيرو مالها
is
not
an inflection point
لأن الـ wireprime لا يتغير
صورتها
يبقى مفيش handy inflection point وصلنا ل الأمثلة
خلّي الأمثلة للمرة القادمة ان شاء الله