بسم الله الرحمن الرحيم عودة على بداية المرة اللي
فاتت بدأنا في التكاملات المحدودة كيف بدنا نكامل
تكاملات محدودة باستخدام التعويض وبتغيير حدود
التكامل طبقا للتعويض اللي بيعطيها وعطينا على ذلك
مجموعة من الأمثلة ونحن نكمل هذه الأمثلة أخذنا ستة
أمثلة وهذا هو المثال رقم سبعة بقول يتكامل من الصفر
اللي هيتبعي على أربع لتان تكعيب سكتر بيه ال X DX
طبعا مباشرة هيك بقدرش لكن بقدر أعمل تعويضة محددة
باجي بطلع في المثل اللي عندي والتان كده تفاضلها؟
سكتر بيع موجودة إذا اللي بدي أشيله وأغيره بدي
أشيل التان وأحط بدلها دل جديدة إذا لو حطيت ال T
تساوي تان ال X يبقى ال DT بدي أساوي سكتر بيع ال X
DX إذا ممكن أشيل سكتر بيع ال X DX هذه وقت بدلها DT
يبقى آلة المسألة إلى تكامل ل T تكعيب DT بقيت حدود
التكامل بدي أغير حدود التكامل صفقة لهذه التعويضة
الجديدة فبجي بقول لما تبقى ال X باي على أربعة
يبقى ال T هنا تساوي واحد يبقى ال X ب zero
يبقى T تساوي zero إذا غيرنا حدود التكامل طبق
لمين؟ طبق التعويضة الجديدة اللي حطيناها يبقى هذا
النتيجة تساوي T أس أربعة على أربعة والكلام من zero
لغاية واحد يبقى هذا الكلام يساوي ربع في
واحد أس أربعة ناقص Zero أس أربعة اللي هو Zero واحد
أس أربعة باربع يبقى النتيجة تساوي ربع التكامل اللي
بعده تكامل رقم ثمانية يبقى integration من سالب واحد
لغاية سالب نص
طيب، بعدي بتطلع في المثل اللي عندي، شو اللي وضعه
غير طبيعي في المثل أو اللي مصعب شكلها؟ الزاوية
تبع الصين، يبقى الزاوية هي اللي مصعبة المثل، نهيك
على أنه مشتقة الزاوية بتعطينا مين؟ ال term اللي
بره يبقى بدي اكتب المثلة بشكل لطيف أو سهل جدا يبقى
بدي أشيل كل هذا وبدي احط ال X يساوي واحد زائد واحد
على T لو جينا اشتقيناها يبقى DX بدي أساوي سالب واحد
على T تربيع DT أو بقدر أقول سالب DX بدي أساوي T
السالب اثنين DT إذا بقدر T السالب اثنين هذه مع DT
أشيلها وأكتف بدل جديد سالب DX يبقى هاي السالب بدي
أخده برا وهاي تكامل وهادي ال sign تربيع ال X كله
في DX بقيت حدود التكامل لما تبقى ال X يساوي سالب T
تساوي سالب نص يبقى سالب نص بصير هذي فوق باتنين
اثنين بالسالب يبقى واحد سالب اثنين مضل قداش سالب
واحد يبقى هذي بيصير سالب واحد ولما تبقى T بسالب
واحد بصير ال term هذا كله بسالب واحد يبقى كله بصير
Zero يبقى من Zero ل سالب واحد ل main لل sign تربيع
ال X DX واضح أن ال index الكبير هو اللي تحته
والصغير هو ال fourth يبقى بنجلب حدود التكامل وبنضيع
الإشارة اللي عندنا طبقا لأول خاصية من خاصة
تكامل المحدود يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل من
سالب واحد لغاية Zero ل sign تربيع ال X DX
يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل من سالب واحد لغاية
Zero لنص في واحد ناقص cosine اثنين ال X DX من
المستطابقات تبعات حساب المثلثات sin تربيع ال X هو
نص في واحد ناقص cosine اثنين X يبقى النص هذا بدي
يظل برا وعندك هذا جزء تكامل الواحد ب X وتكامل ال
cosine ب sin اثنين X على اثنين والكلام من سالب واحد
لغاية ال Zero يبقى يا نص خليك برا وبدنا نبدأ نعوض
بحدود التكامل يبقى Zero و Sin Zero Zero كذلك يبقى
هاي Zero ناقص Zero ناقص بدا ابدأ اعوض بالقيمة اللي
تحت يبقى ال X بدي أشيله أو اكتبه لجداش ناقص واحد
وهي الناقص اللي عندنا بدي أشيل ال X واحطه مكان
جداش سالب واحد يبقى بصير سالب اثنين يبقى ال sign
لسالب اثنين على اثنين بالشكل اللي عندنا هذا تمام
يبقى هذا الكلام بده يساوي هذا النص اللي برا وده
دخل السلب اللي عندها ده يوم بصير عندي واحد ناقص
sign اثنين على اثنين بالشكل اللي عندنا طبعا ال
sign odd السلب بطلع برا بصير موجب في سلب مضروب برا
يبقى بصير سالب يبقى واحد ناقص sign اثنين على اثنين
انت هنا مثلا بدك تكتب لي نص ناقص ربع sign اثنين
سيانة بتفرجش يبقى هذه لو قلت نص ناقص ربع sign
اثنين هذه هي نتيجة من التكامل طيب، الآن في عندنا
كمان مثال آخر غير هذه الأنواع من الأمثلة وهذا
المثال جئنا به في إحدى الامتحانات السابقة يبقى
كمان example بيقول
use the integral استخدم التكامل
تكامل من واحد لغاية اثنين للـ F of Z DZ بده يساوي
ثلاثة to find
the value of مشان تحسبلي قداش قيمة تكامل من نص
لغاية واحد لواحد على X تربيع F of واحد على X نفس
يبقى شكل هذا المثال يختلف عن شكل سابقاته من الأمثلة
قبل أن نتكامل ونتكامل على طول الخط هذا بيقول
استخدم هذا التكامل يبقى هذا معطى للحصول على قيمة
التكامل هذا باجي بطلع في التكامل اللي عندي وهذا
بيختلف كليا عن بعض لكن هذا مقطع إذا ما لي علاقة
فيه لما بلزمني بستخدمه بلزمنيش ما بستخدموش إذا
مشكلتنا مع مين؟ مع هذا التكامل مشان اشتغل هذا
التكامل في شغل غير طبيعي الغير طبيعي واحد على X
طبيعي ولا واحد على X؟ واحد على X، واحد على
X، واحد على X، واحد على X، واحد على X،
واحد على X، واحد على X، واحد على X، واحد على
X، واحد على X، واحد على X، واحد على X،
واحد على X، واحد على X، واحد على X، واحد على
X، واحد على X، واحد على X، واحد على X،
واحد على X، واحد على X، واحد على X، واحد على
X، واحد على X، واحد على X، لو مثلا حطيت هنا Z
تساوي واحد على X أو T أو W أو اللي بدك إياه يبقى
بدنا نيجي نشتقه يبقى DZ يساوي سالب واحد على X
تربيع دي واحد على X تربيع موجودة عندي بس سالب ما عنديش
يبقى بضرب الطرفين بإشارة سالب يبقى بصير عندي سالب DZ
يساوي واحد على X تربيع DX إذا الواحد على X تربيع هذه
كلها مع ال DX كلها تبع المسألة بقدر أشيلها وأكتب
بدالها سالب DZ يبقى صارت مسألة تكامل من نص لغاية
واحد لواحد على X تربيع لل F of واحد على X DX
يساوي تكامل F of Z تمام واحد على X تربيع DX بدأت
بهذه السالب برا وهذه يمين DX يبقى صار شكل المثل
اللي عنده هناك اللي هو الشكل هذا بالشكل الجديد إلا
أنه لكن بنروح نغير حدود التكامل طبقا للتعويض اللي
احنا حاطينا فباجي بقول لو كانت ال X بواحد يبقى Z
بواحد طب لو كانت ال X باثنين بصير واحد على نص
بتنجلبه بصير جداش باثنين بالشكل اللي عنها ده طيب
الآن صار الرقم الكبير تحت والرقم الصغير فوق في
حدود التكامل من شكل بهذه المواد على limits of
integration وبالتالي طبقا للخاصية الأولى من خاصة
تكامل المحدود بيطير إشارة السالب يبقى هذا بيصير
تكامل من 1 ل 2 لل F of Z DZ أظن هذا موضوع خلصنا يبقى
هذا الكلام بده يساوي ثلاثة بدون ما تكمل طيب فيه
قاعدة بتسهل لي عملية حساب بعض التكاملات الصعبة
شوية هذه النظرية بتقول لي ما يأتي بتقول
الـ F بـ continuous
function اللي متصلة on the symmetric interval
اللي
هو سالب a و a النقطة
الأولى if
الـ F is even دالة زوجية then تكامل من سالب A إلى A
لل F of X DX يساوي اثنين تكامل من Zero إلى A لل F
of X DX النقطة الثانية الـ F is odd then تكامل من
سالب A إلى A لل F of X DX بدي أساوي كده؟ بدي أساوي
Zero Example Find
the value of the following integrals Find the value
of the following integrals
التكاملات
التالية
تكامل الأول بدنا تكامل من سالب اثنين إلى اثنين
لثلاثة X على تسعة زائد X تربيع الكل تربيع DX نرجع
لهذه النظرية مرة ثانية ونحاول نفهم هذه النظرية
مشان نشوف كيف بدنا نطبقها بقول افترض الدالة F دالة
متصلة على الفترة المتماثلة ناقص a و a لما أقول
symmetric interval يعني من عند Zero على اليمين جد
اللي من عند Zero على الشمال بالضبط تماما فلما أقول
من ناقص a إلى a يبقى الصفر يجي وين في منتصف الفترة
يعني الفترة المتماثلة على طرفي Zero أو على طرفي
محور Y يبقى هاي المقصود في هذه الكتابة تالك ما قص A
و A يعني الرقم اللي عندنا هنا هو نفس الرقم هذا بس
بإشارة مخالفة يبقى هذه بسميها الـ Symmetric
Interval بقول والله إذا دالة كانت even يبقى تكامل
من ناقص A إلى A لل F of X DX يساوي اثنين التكامل من
Zero إلى A لل F of X DX السؤال لماذا؟ وماذا نستفيد
من ذلك؟ خلي بالك معاك يبقى ليش تكامل من سالب A إلى
A لل F of X DX يساوي 2 تكامل من 0 إلى A لل F of X
DX نرجع بالذاكرة إلى أول chapter درسنا فيه
Calculus A لما أقول even function يعني المنحنى
مالهم متماثل
بالنسبة لمين؟ لمحور ويمجد النص الرسمى اللى على
اليمين زى نص الرسمى اللى وين يعنى المساحة اللى
حصرها المنحنى على يمين المحور Y بينه وبين محور X جد
المساحة اللي حصرها المنحنة على الشمال محور Y بينه
وبين محور X تمام؟ إذا مدام المساحتين كانوا بعضيا
يكفيني حساب مساحة واحدة بضرب منين في اثنين من هنا
قولنا هذا بدي يساوي اثنين التكامل على نص في الفترة
مدام في تمثل اللي على اليمين زي اللي على الشمال
يبقى المساحة الأولى جد المساحة الثانية يبقى يكفيني
حساب واحدة فيهم بروح مضروبة في مهم في اثنين يبقى
هذا يساوي اثنين تكامل من Zero إلى A لل F of X DX
يبقى هاي أجابنا على السؤال الأول ليش هذا التكامل
يساوي التكامل الثاني سؤال الثاني قلنا ماذا نستفيد
من ذلك؟ أيهم السهل؟ اللي لما تكمل الدالة لو تروح
تعوض بالقيمة اللي فوق والقيمة اللي تحت والله لما
تبقى اللي تحت زيرو السهل ليه؟ لما تبقى زيرو السهل
يبقى المقصود هو من ذلك تبسيط عملية إجراء التكامل
تمام؟ يبقى هاي المقصود فيه طيب هذا بالنسبة
للنقطة الأولى النقطة الثانية قال لو كانت الدالة
odd يبقى قيمة التكامل تساوي صفر شو المعنى الهندسي لل
odd function يعني المنحنى متماثل حول ال origin يبقى
أي نقطة إحداثيتها a و b بديكون لها نقطة سالب a و
سالب b يعني الجزء اللي فوق اللي أعلى محور X بديكون
فيه جزء مقابله أسفل محور X يعني لو المنحنى في
الربع الأول بديكون المنحنى الثاني في الربع الثالث
تربية تربية تمام السالب هذا بقدر أقوله شرفني برا
وبصير عندي هاي تلاتة X وهذه تسعة زي X تربيع لكل
تربيع يبقى odd والله even odd function لإن F of
سالب X سوى سالب F of X يبقى هذه odd يبقى هذه
النتيجة كده؟يساوي زيرو لان
التلاتة اكس على تسعة زائد اكس تربيع تربيع is an
odd function يبقى نظرا لإنها دالة فردية فقيمة
التكامل يتساوي صفر بدون إجراء عملية التكامل يبقى
أعوض مباشرة بدون ما أقوم بعملية التكامل نمر اتنين
بدنا تكامل من سالب باي على أربعة إلى باي على أربعة
للـ X تربيه زائد سك تربيه الـ X كله في DX
باجي بتطلع برضه بنفس الطريقة الرقم اللي فوق هو نفس
الرقم اللي تحت بس بإشارة هي بإشارة مخالفة
ماعنديش إلا تنتين even والاربعة odd يبقى اللي قلنا
الـ sec والـ cos هي الـ even فقط يبقى ليس تحكيش غير
تعرف يبقى الـ sec وعكس اللي هو الـ cos هم التنتين even
وباقي الأربعة odd يبقى هذا even تمام؟ والـ X
تربيع؟يبقى معناته هذا الكلام يساوي 2 تكامل من 0 ل
5 على 4 يبقى هذا الكلام يساوي 2 تكامل من 0 ل 5 على
4 ل X تربيع زائد سك تربيع X DX
اللي مايعرفش بشيل كل X و بحط مكانها سالب X تربية
بتبقى كما هي هذي ال cycle ناقص X لكل تربية هي
بcycle X تربية بتبقى تربية كما هي بنال عليها صارت
هذه even function يبقى و هذا الكلام بده يسوى اتنين
فيه بدك تعمل هذه الدالة يبقى X تكيب على تلاتة زائد
تان الـ X من و لا وين من Zero لغاية Pi على أربع
تمام؟ يبقى هذا اتنين برا مالوش دعوة وهذه بدي أشيل
الـ X و أحط مكانها باي على اربعة فهيصير باي تكعيب على
اربعة وستين مظبوط؟ يبقى هذه باي تكعيب على اربعة
وستين في تلاتة والخمسه واربعين بواحد ناقص عوضنا من
القيم اللي فوق ناقص اللي تحت Zero و تاني Zero ب
Zero يبقى ناقص ال Zero يبقى النتيجة تساوي باي
تكعيب على عندك هنا اربعة و ستين اربعة و ستين في
تلاتة اللي هو قداش تلاتة في اربعة باطناش و تلاتة
بازمية و اتنين و تسعين يبقى هذا لأ هو بقى اتنين و
تلاتين هذه اتنين و تلاتين في تلاتة ليه بستة و
تسعين مظلوم يبقى هذه ستة و تسعين و هنا زائد اتنين
يبقى هذا قيمة التكامل اللي عندنا طب احنا حتى الآن
يا شباب لو رجعت للعنوان تبع section 5-6 لحتى الآن
احنا كل اللي اشتغلناه على النقطة الأولى من العنوان
وهو الـ substitution لكن الـ area between two curves
لم نتعرض لها بأي مثال حتى هذه اللحظة لذن قبل ان تضع
أي مثال يجب ان تضع قاعدة المساحة المحصورة بين
المنحنيات ومن ثم نذهب ناخد امثلة عليها يجب ان
اعطيها definition أكثر definition if
الـ f والـ g are continuous functions
F of X أكبر من أو يساوي الـ G of X أثره خلال الفترة
المغلقة A وB
النطاق بين الثقافات
بين الثقافات y تساوي f of x و y تساوي g of x from
a
to be is defined
as
من عرفة كتالي الـ area a يسوى تكامل من a إلى b للـ f
of x منعقص الـ g of x dx
بنرجع للتعريف مرة تانية قال إذا عندك ذالة f و g و
اتين اتين دوال متصلة دوال متصلة يعني قابلة للتكامل
طيب في اندي كونديشن حطوا ان الـ f of x أكبر من الـ g
of x على كل الفترة من a إلى b يعني دائما و أبدا الـ
f of x بتاخد قيم أكبر من القيم اللي تاخدها g of x
على الفترة بعد الـ a والـ b مالاش علاقة فيها او قبلها
انا ماخد فترة من a إلى b فلو جيت قلت افترض على
سبيل المثال ان هذه الدالة y تساوي f of x أجدت دالة
g of x بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذه y تساوي g of
x روحت أنا أخدت الفترة على سبيل المثال من عند
النقطة a لعند النقطة b بالشكل اللي عندنا هذا جهة
طالع هيك جهة طالع هيك يبقى انحصرت المسافة ما بين
الاتنين اللي هي المسافة اللي عندنا هذه يبقى هذه هي
الـ area a الآن انا لو كاملت على الـ F of X بيعطيني
المساحة هذه كلها أسفل المنحنة ومحور X المظلة زائد
المنطقة البيضة هذه تمام؟ لو كاملت على الـ G of X
بيعطيني المساحة اللى تحت المنحنة اللى المنطقة
البيضة لو طرحت الـ two two من بعض بتظلها المنطقة
المظللة يبقى الشدد area يبقى المنطقة اللي حاطط
عليها خطورة إذا مساحة هذه المنطقة هو تكامل الدالة
الأولى ناقص تكامل الدالة الثانية يبقى التكامل نفسه
على الفترة من a إلى b يبقى على الفترة من عند الـ a
لغاية من لغاية الـ b إذا بقول له لأ يبقى من البداية
تكامل الـ F of X ناقص الـ G of X و بروح بكامل على
فترة من A إلى B بيعطيني قداش المساحة اللي موجودة
عندنا طيب هذا لو كانت الدالة F of X فوق و G of X
تحت طب افترض واحدة على اليمين و واحدة على الشمال
لاحظ التكامل هنا بالنسبة لمين؟ لو كانت واحدة على
اليمين و واحدة على الشمال كيف نعمل تكامل بالنسبة
لماين إلى واي يبقى باجي بقوله similarly يعني بنفس
الطريقة الـ area ايه بقدر اقول تكامل من C إلى D للـ
F of Y ناقص الـ G of Y كل هذا في DY كيف كتالة افترض
ان هذا منحنى محور X وهذا Y وهذا نقطة الاصل الهيمين
Zero افترض كانت عند الدالة بهذا الشكل هذا المنحنى
Y تساوي F او X مقطع على صيغة X تساوي F of Y جيت على
منحنى ثانى نفترض ان هذا المنحنى كان بالشكل اللى
عندنا هذا يبقى هذا X يساوي G of Y تمام وانا روحت
اخدت المنطقة من نقطة التقاطة مثلا ها لغاية النقطة
اللي عندها دي و قلت هذه C وهذه D و جيت رسمت خط
أفقي بالشكل اللي عندها ده يبقى المساحة اللي محصورة
بين المنحنيين هي المنطقة المظللة اللي عندها دي
تمام يبقى بدى اعرف قدش المنطقة المظلة لأ يبقى صارت
كأنه هذه هي الدالة الكبيرة وهذه هي مين الدالة
الصغيرة على الفترة من وين لوين من C إلى D يعني
صارت F of Y أكبر من مين من G of Y أو بالبلد هيك
اللي على إيدك اليمين ناقص اللي على إيدك الشمال
بتجيبها بالضبط تماما يبقى من المثل الـ area يبدو
سوية كامل من C إلى D للـ F of Y ناقص G of Y السؤال
هو لو جاني السؤال بيقولي كامل بالنسبة لـ X والله
كامل بالنسبة لـ Y بيقولي في المثلة لا بحكيش أبدا،
بيعطيك السؤال وانت حار كامل بالنسبة لـ X كامل
بالنسبة لـ Y، هذا شأنك، مالو يشتغل فيك، خلاص؟ حد
يلعب يتساول هنا؟ طيب، الأن لم يبقى إلا مجموعة من
الأمثلة على هذا الـ definition وحنعطي أمثلة بحيث
مرة نكمل بالنسبة إلى Y و أحيانا نكمل بالنسبة إلى X
كله بيرجع لطبيعة المسألة اللي موجودة نبدأ ناخد
أمثلة و بنيجي للمثال الأول يبقى example one
والمغلقة بيه او المحدودة بيه By the following
Y تساوي X ترابيع ناقص اتنين Y يساوي اتنين
المساحة المحصورة بين كل من المنحنيات والمستقيمات
الاتية نمر ايام اعطيني منحنى والتاني خط مستقيم اذا
اول خطة بنعملها بنحاول نرسم الرسم اللي عندنا هذه
ومن خلالها نحدد حدود التكامل طبعا هو بطنيش حدود
التكامل لحالك انت بدك تستنتج حدود التكامل من خلال
الرسم وبدك تعرف تتكامل بالنسبة ليكسب بالنسبة أو
بالنسبة إلى Y يبقى لو جينا للرسمة اللي عندنا هذه
وروح نقول هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل
اللي هي Zero لو جيت للمنحنة Y تساوي X تربية ناقص
اتنين و Y تساوي X تربيع تربيع مفتوحة إلى أعلى وتمر
بنقطة الأصل سالب اتنين يبقى Shift إلى أسفل بمقدار
اتنين يبقى هنا المنحنة بدى ينزل الى أسفل بمقدار
اتنين والبرابله بدى تصير بالشكل اللى قلناه هنا طيب
هذا اللي هو Y يساوي X ربيع ناقص اتنين المنحنى
التاني هو خط مستقيم Y تساوي اتنين خط يوازي محور X
ويبعد عنه مسافة مقدارها اتنين يبقى هذا الخط Y
تساوي مين؟ Y تساوي اتنين اذا المنطقة اللي بدنا
ياها هي المحصورة بين المنحنيين الاتنين هدول اللي
هي المنطقة المظللة واضح انه في منحنى فوق كبير و
اللي تحت يعتبر مان صغير يعني منحنى هي فوق و منحنى
تاني تحت اذا انا بدي اطبق من القاعدة الأولى يعني
التكامل بتكون من نسبة لمن؟ من نسبة لمحور X بس مش
هان اطبق هذه بدي اعرف الـ X بده تتغير من ويلة وين
باجي على أول نقطة هناها و بدي اعرف قداش قيمة X هنا
و بدي اجي على اخر نقطة في المساحة اللي عنده و بدي
اعرف قداش X بدها تكون عند هذه النقطة هذه النقطة
وهذه النقطة هي نقاط تقاطع المنحنة مع من؟ مع الخط
المستقيم اذا مش هنجيب الأحداثيات، بدتي أحلي
المعادلتين هدول مع بعض، هنا عندي Y وهنا Y، يبقى
بدي أساوي التنتين بمن؟ بعضهم، يبقى بدي أروح أحط
solution
يبقى بضع X تربيع ناقص اتنين يساوي كم؟ اتنين يبقى X
تربيع تساوي اربعة معناته ان الـ X يساوي زائد او
ناقص اتنين اذا النقف اللي على شمال الـ zero هذا
سالب اتنين واللي على يمين الـ zero هذا كم؟ اتنين
يبقى أقل قيمة للمنطق المضلل لـ X هي سالب اتنين و
أكبر قيمة تاخدها X على المنطق المضلل هو عبارة من
اتنين إذا بناء عليه بقول الـ area A يستوي تكامل من
سالب اتنين إلى اتنين الدالة الكبيرة هي الدالة اللي
فوق الـ y تساوي كداش؟ اتنين الدالة الصغيرة اللي
تحتها الـ X تربيع ناقص اتنين كل اللي عندها ده هنجيبها
بالنسبة لمن؟ بالنسبة إلى DX اللي بكتب هذا الكلام
صحيح بظل الكلام اللي باقي كله كلام فارغ، شغل
روتيني عادي جدا، تمام؟ يبقى احنا بدنا نروح نكامل
هذه ونجي نقول هذه من سالب اتنين إلى اتنين، لو
فكتها بصير اربعة ناقص extra بدي، تمام؟ قبل ما
كامل، هذه الدالة even والله odd خلص يبقى 2 تكامل
على نصف الفترة يبقى هذا 2 تكامل من 0 إلى 2 للـ 4
ناقص X تربيع دي ستطلع هنا هاي الخط بجسمها إلى نصين
ما لهم زي بعض يبقى روحان كامل 2 هيها برا هذه 4X
ناقص X تكعيب على 3 كله من صفر لغاية اتنين يبقى هذه
اتنين و بتعوض اتنين في اربعة بتمانية ناقص تمانية
على تلاتة ناقص Zero كل هذا ب Zero على أي حال تلاتة
في تمانية باربع وعشرين ناقص تمانية بدل قدر 16 على
مستقيمين X يساوي سالب اثنين و X يساوي اثنين X
يساوي سالب اثنين يبقى هذا الخط الطالع رأسي هكذا
والخط الثاني X يساوي اثنين وهو الخط اللي عندنا هذا
تمام يبقى هذا X يساوي اثنين وهذا X يساوي سالب
اثنين يبقى صار هل هناك ما بين X يساوي 2 ومساحة
ثانية فيه محصورة بينه وبين المنحنيات؟ لا ثلاثة
اتقطعوا في نفس مين؟ في نفس النقطة إذا ما عنديش
مساحة محددة مع الخط الرأسي الأول لكن مع الخط
الرأسي الثاني صار عندي مساحة محددة يبقى أنا في
عندي المساحة دي محصورة ما بين خطين من الخطوط
المستقيمة
المساحة المحصورة بين خطين مستقيمين ومنحنى المساحة
المحصورة بين الخطين
المستقيمين ومنحنى المستقيمين
الخط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط
رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي
يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط
رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي
يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط
رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي
يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط رأسي يتخيل خط
رأسي يتبقى هذا كل منحنى كل واحد كتب عليه معادلة
إذا ما عندناش مساحة واحدة وإنما عندنا مجموع مساحتين صح
ولا لا؟ أيوة طب اثنين بدنا نكمل بالنسبة لـ X ولا
بالنسبة لـ Y تعال نشوف كل مساحة من هذه المساحات لو
جيت للمساحة اللي عندنا هذه يبقى في منحنى فوق وفي
منحنى تحت هنا في منحنى فوق وفي منحنى تحت لكن لو
جيتي يمين وشمال اه ممكن ممكن يا مشوال بياخد تروح
ترسم خط أفقي بيصير هذا على اليمين وهذا على الشمال
وهذا على اليمين وهذا على الشمال يبدو يتكاملينو
بعد هيك هذه يمين وشمال ما عنديش مش هتظبط هذه لذلك
أفضل حاجة خلص بالنسبة لـ X وانسى الموضوع تمام يبقى
بروح بكمل إس الـ X بس بدي اروح احدد حدود التكوين
بدي اعرف قد ايش الإحداثيات تبع نقطة التقاطع هنا يعني
قد ايش قيم هذه معروفة هذه المعروفة أو هذه
المعروفة أو هذه المعروفة
أو هذه المعروفة أو هذه المعروفة أو هذه المعروفة أو
هذه المعروفة أو هذه المعروفة أو هذه المعروفة أو
هذه المعروفة ا
بدي آخذ أربعة ناقص X تربيع يساوي اثنين ناقص X بدي
أعملها معادلة صفرية لهذه الشغلة الثانية بيصير X
تربيع بالموجب ناقص X زي ما هي ما تغيرتي أربعة
بتجيلك بالسالب وعندك اثنين بيظل سالب اثنين يساوي
زيرو
هنا X وهنا X وهنا اثنين وهنا واحد وهنا سالب
وهنا موجب يبقى ناقص اثنين X وزاد X يبقى ناقص
X يبقى بناء عليه الـ X الأولى ساوي سالب واحد
والـ X الثانية ساوي قد ايش؟ اثنين فعلاً نقطة التقاطع
الأولى سالب واحد ونقطة التقاطع الثانية قد ايش؟ اثنين
هي مع الخط والمنحنى يبقى عند اثنين يبقى معناته
عندي تكاملين يبقى الـ area المطلوبة الـ area من سالب اثنين
لغاية سالب واحد
يبقى الخط المستقيم هذا اللي فوق اللي هو 2 ناقص X
اثنين ناقص X ناقص المنحنى اللي تحت هذا اللي هو
أربعة ناقص X تربيع يبقى أربعة ناقص X تربيع وهي
الجزء ودي بالك وانت بتشتغل مش هحط السالب للأربعة و
تسيب الثانية يبقى السالب وبتحط الدالة بالكامل اللي
بين الجزئين مشان شرط السالب تدخل على term من هذه
ترميزة اللي بيساووا بعضكم أو بروح بغلّط الإشارة وبيظل
يخبص وهدّاك وبتطلع اليوم ما عمّشت بصواب هدا ايه نطلع
جواب طيب يبقى هذا الكلام بدو يساوي تكامل من سالب
اثنين إلى سالب واحد لمين؟ لل اثنين ناقص X ناقص أربعة
زائد X تربيع كله بالنسبة لـ DX من ناقص اثنين
لناقص واحد X تربيع موجبة وهي ناقص X ناقص أربعة
زي دي اثنين بيظل قد ايش؟ ناقص اثنين كله بالنسبة لـ
DX بدنا نيجي اه لسه عملنا هيك لسه في تكامل ثاني
خليها واحد طيب خليها واحد ولا يهمك هذه واحد
خلينا ماشيين يبقى هذه A واحد وهذه A اثنين يبقى بدنا
نحسب هذه يبقى بيصير X تكعيب على 3 ناقص X تربيع على 2
ناقص 2X كله من سالب 2 لغاية سالب 1 عوض بالقيمة اللي
فوق يا شباب يبقى ناقص واحد تكعيب اللي هو ناقص واحد
يبقى ناقص طول اللي بعدها ناقص واحد تربيع اللي هو
واحد على اثنين والناقص هذه بتظلها زي ما هي النص
هذه زائد اثنين خلصنا القيمة اللي فوق ناقص افتح قوس
هنا هذا بتعطيك ناقص ثمانية على ثلاثة يبقى ناقص
ثمانية على ثلاثة هذي بيصير أربعة على اثنين اللي هو
بيقدرش باثنين بالسالب وهي سالب اثنين هذي بيبقى
زائد أربعة يبقى زائد أربعة يبقى النتيجة كالتالي وهي
سالب طول وهي سالب نصف وهي زائد اثنين وهي زائد
ثمانية ثلاثة وهي زائد اثنين وانا ناقص أربعة طلّعلي
هذه وهذه بطل قد ايش؟ سبعة على ثلاثة يبقى هذه يساوي
سبعة على ثلاثة وناقص نصف ما فيش غيره وهذه ناقص نصف
بطل عندي اثنين واثنين أربعة مع الأربعة مع السلامة
يبقى هذه سالب أربعة مع اثنين ومع اثنين يبقى كله
على قد ايش؟ على ستة ستة على ثلاثة في اثنين في سبعة
بـ 14 ناقص ستة على اثنين فيها الثلاثة في واحد
بثلاثة يبقى النتيجة يساوي 11 على 6 بنروح نجيب
اثنين للمساحة الثانية يبقى تكامل من سالب واحد
لغاية اثنين الدالة اللي فوق ناقص الدالة اللي تحت
يبقى أربعة ناقص X تربيع ناقص الدالة اللي تحت لها
اثنين ناقص X كله بالنسبة لـ DX يبقى تكامل من
سالب واحد لغاية اثنين لمين؟ لل أربعة ناقص X تربيع
ناقص اثنين زائد الـ X كل هذا الكلام بالنسبة لـ DX
ويساوي ناقص اثنين وزائد أربعة بيقول قد ايش؟ اثنين تكامل
من سالب واحد لاثنين ل اثنين زائد X ناقص X تربيع كله
بالنسبة لـ DX يبقى النتيجة 2X X تربيع على 2 ناقص
X تكعيب على 3 كله من ناقص 1 لغاية 2
يبقى هذه النتيجة تساوي اثنين في اثنين بأربعة زائد
أربعة على اثنين باثنين ناقص ثمانية على ثلاثة ثمانية
على ثلاثة ناقص يفتح قوس نعوض بالقيمة هذه اللي هي
ناقص اثنين وهنا زائد نصف وعندك هنا ناقص وناقص
بيصير زائد ثلاثة هذي بيصير ستة ناقص ثمانية على ثلاثة
وهنا زائد اثنين وناقص نصف ناقص ثلث ويساوي اثنين
وستة ثمانية عندك ناقص ثمانية على ثلاثة وناقص ثلث
بناقص تسعة على ثلاثة يعني قد ايش؟ ناقص ثلاثة وبيظل
عندك هنا ناقص نصف يبقى هاي اثنين وستة ثمانية ثمانية
بدي أشيل منهم ثلاثة بضل قد ايش؟ بضل اللي هو خمسة
يساوي خمسة ناقص نصف الآن بدي المساحة الكلية يبقى الـ
area اللي بدو اياها A يساوي A1 زائد A2 A1 طلعناها
قد ايش؟ بـ 11 على 6 زائد 9 على 2 كله على 6 بضل 11
زائد 6 على 2 ديال 3 في 9 بـ 27 يبقى ثمانية
وثلاثين على ستة أو 29 على 3 هذه
المساحة الكلية المطلوبة
أيوة
وين واي تساوي سالب واحد؟ واي تساوي
سالب واحد بده يجيلك هنا.
كيف العملية
ليست سهلة بدو يصير عندك واي تساوي سالب أدتك كمان
مساحة هيك هيك هيك تمام؟ وبعدين تمدوا على
استقامته في كمان هذه مساحة وبعدين تمدوا على هذه
وهنا كمان مساحة وتمدوا هنا وهنا كمان مساحة إن شاء
الله للعصر بنخلص اليوم
بيصير ما له قيمة ما له أي اعتبار إن احنا بندور
المساحة المحصورة بين المنحنيات بتطلعش منها إلا إذا
قال لي بين X يساوي Zero وY يساوي Zero اه تدخل
المحاور معاه ما جاليش يبقى أنا مقيد بس بالمنحنيات
اللي بنوصل عليها غير هيك ما لك علاقة فيه طبعا طيب
هذا نمرة B من المثلة نمرة C نمرة الـ C بيقول يا سيدي
X يساوي Y تربيع and X يساوي Y زائد اثنين
يبقى بنروح نرسم المثلة مشان نعرف شو شكلها بالضبط
يبقى باجي بقول هاي المحاور هذا محور X هذا محور Y
هذه نقطة الأصل اللي هي Zero X يساوي Y تربيع هو
قنابلة مفتوح جهة اليمين يبقى هذا ال parabola لأن X
بدو يساوي 100Y تربيع يبقى هذا ال X بدو يساوي Y تربيع
بداية للخط المستقيم لأن لو كانت Y بـ 0 X بـ 2 يبقى لو
جيت قلت هاي اثنين لو كانت X بـ 0 وY بسالب اثنين X
بـ 0 وY بسالب اثنين X بـ 0 وY بسالب اثنين X بـ 0
وY بسالب اثنين X بـ 0 وY بسالب اثنين X بـ 0 وY
بسال اثنين X بـ 0 وY بسالب اثنين X بـ 0 وY
بسالبو بمد الخط على استقامته يبقى هذا اللي هو
تقاطع مع المنحنى يبقى المنطقة المظللة هذه هي
المنطقة المحصورة ما بين المنحنى اللي عندنا والخط
المستقيم يبقى الخط المستقيم هذا X يساوي Y زائد 2 Y
المنحنى اللي يفوت هو X يساوي Y تربيع بالشكل اللي
عندنا
تمام طيب واضح انه لو تيجي تقوله هذه فوق هذه تحت
هنا تنتل بيصيروا فوق بعض بيصير واحد على يمين واحد
على شمال مش هتظبط معاه لكن واضح انه الخط هذا على
اليمين وهذا الجزء منه منحنى وين عليه شمال يعني
واحد جهة ايدي شمال وواحد جهة ايدي اليمين إذا هنا
التكامل بيشير بالنسبة لـ Y يبقى بروح بقول لو بدي
أعرف قد ايش أقل قيمة بتاخذها Y وقد ايش أكبر قيمة هنا
بتاخذها من Y يبقى معناته بدي أحل المعادلتين هدول
مع بعض يبقى عندي Y تربيع بدها تساوي الـ Y زائد
اثنين او الـ Y تربيع ناقص Y ناقص اثنين بدها تساوي 566 00:5
لو جئت للمنحنى الأول هذا محور X وهذا محور Y وهذا
نقطة الأصل، المنحدر هو X يساوي Y تربيع، رسمناه قبل
قليل بالشكل اللي عندنا هذا، يبقى هذا الـ X يساوي Y
تربيع، المنحنى الثاني هذا عبارة عن إيش؟ عبارة عن x
بده يساوي سالب اثنين Y تربيع زائد ثلاثة، يعني هذا
لو رحت قعدت أكتبه مرة ثانية بمين؟ بـ X يساوي سالب
اثنين Y تربيع زائد ثلاثة، بقول: واسة اثنين والثلاثة
يبقى Y تساوي، X يساوي سالب Y تربيع، يبقى هذا بس
بعدين أقلبه وين؟ على الشجة الثانية، طيب اثنين هذه
بتخليه يقرب على المنحنى أو يبعد، الرقم اللي عندي
تمام، الثلاثة هي Shift بس، إن من الـ Shift إلى أعلى
الرسم يمين وشمال، إذا الـ Shift جهة اليمين بمقدار
ثلاثة، يبقى المنحنى على اليسار هكذا، وسأعمل Shift
للخلف بمقدار 3، لماذا؟ لأن لو كانت Y بـ 0 يبقى X بـ 3
يبقى هذا X بـ 3 وY بـ 0، والـ parabola ستصبح بالشكل
اللي عندنا هذا، هكذا، طبعًا يبقى هذا المنحنى اللي هو X
يساوي سالب اثنين Y تربيع زائد ثلاثة، إذا المنطقة
اللي بينهم هي المنطقة المظللة اللي عندنا، أيوة،
وشايف
المنحنى اللي عندك ولا لا، حق واي بزيرو قداش تكون
سمعت بالـ Shift تبع الدالة لما كانت Y تساوي مثلًا X
تربيع أو X كام، يبقى Shift إلى أعلى، إذا الرقم لـ Y
بيصير Shift جهة اليمين أو جهة اليسار حسب القيمة
تبعته، طيب إذا ما أنت مش عارف الـ Shift ولا حاجة
بقول له: حط الـ Y بـ 0 وشوف X وين بتروح، يبقى بنحدد
القيمة في هذه الحالة
كيف؟ المثل معطلك X يساوي Y كيف
مش مفروض؟ ثلاث معروفات هي X يساوي Y، ثلاث بدكش حط
لـ Y تساوي جذر X، جذر X معروف هي جذر X الموجب وجذر X
الثاني، صحيح ولا لأ؟ ما عندكش خبر، مش مشكلة، طيب خليك
معنا يا شباب، يبقى هاي رسمنا الـ X يساوي Y تربيع، و
المنحنى الثاني X زائد 2Y تربيع يساوي 3، رسمناها يبقى
المنطقة المظللة هي المنطقة بين المنحنيين، واضح أن في
منحنى عندي على اليمين، ومنحنى ثاني وين؟ على اليسار
يبقى أنا بدي أقل قيمة بتاخدها Y، أكبر قيمة هنا
بتاخدها مين؟
يبقى أنا عند X يساوي Y تربيع وعندي X الثانية ناقص
اثنين Y تربيع زائد ثلاثة، يبقى Y تربيع
يساوي اثنين Y تربيع زائد ثلاثة، يبقى Y تساوي زائد
أو ناقص، إذا هذه سالب واحد وهذه مين؟ وهذه واحد يبقى
النقطة إن هذه سالب واحد والنقطة هذه واحد يبقى الـ
area اللي عندنا بدأت تساوي تكامل من سالب واحد إلى
واحد، الدالة اللي على اليمين اللي هي اثنين Y تربيع
زائد ثلاثة ناقص الدالة اللي على اليسار اللي هي مين؟
X يساوي Y تربيع، كل هذا بالنسبة لمين؟ إلى dY، سالب
اثنين Y تربيع زي الثلاث سالب Y تربيع، يبقى كأن
المسألة تكامل من سالب واحد إلى واحد لمين؟ لثلاثة ناقص
ثلاثة Y تربيع، كلّه بالنسبة إلى dY، يبقى
even function، ممكن أقول من الصفر لغاية كده؟ لغاية
واحدة، أنسى مش مشكلة، فالمساحة اللي فوق واضحة إنها
جد المساحة اللي تحت، يعني لو أخذت واحدة وضربتها في
اثنين بيمشي الحال، إيجى في بلد كان فيها مجاش، ما عندناش
مشكلة، يبقى لو خليتها زي ما هي، مجاش في باقي، بقول له:
هذه ثلاثة Y ناقص Y تكعيبها على ثلاثة، بتروح وبظل
المساحة من سالب واحد لغاية قداش؟ واحد، يبقى بدّه
يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة، هذه Y تكعيبها على ثلاثة، بتروح مع
ثلاثة، يبقى عند الواحد ثلاثة ناقص واحد، ناقص هنا بصير
ناقص ثلاثة وهنا يا سيد العزيز ناقص واحد بصير زائد
واحد، يبقى الجواب بيصير ثلاثة ناقص واحد زائد ثلاثة
كمان ناقص واحد، يبقى النتيجة كم؟ أربعة، يبقى قيمة
المساحة تساوي أربعة، هذا نمر إيه من المثلة؟ نمر ب
نمر ب، يبقى Y تساوي X تربيع، and يبقى Y ناقص X
تربيع زائد 4X
هذه برضه معادلة من الدرجة الثانية في X يبقى هذه
Parabola، وهذه كذلك Parabola بس هذه الـ vertex تبعها
نقطة، هذه معمولة لها إيه؟ شوف، بدي أحدد وين الـ
vertex تبع هذه الـ Parabola، فأروح بعمل إكمال المربع
هذه قد إيش بدها مشان يصير إكمال المربع؟
يبقى هذا الكلام يصبح على الشكل التالي: عندك الـ Y
يساوي ناقص X تربيع زائد 4X ناقص 4 زائد 4، أو بمعنى
آخر هذه ها ها بدّه يصير Y ناقص أربعة بده يساوي هاي
ناقص أخذناه عامل مشترك، بظل X تربيع ناقص أربعة X
زائد أربعة، هذه الأربعة نعشج هذه، هدول الثلاثة أخذنا
منهم سالب عامل مشترك، يبقى بصير الـ Y ناقص أربعة
يساوي الـ X ناقص اثنين لكل تربيع، يبقى هذه البارابولا
والـ vertex تبعها هي بين 2 و4، يبقى أنا لو رحت
رسمت الرسمة اللي عندنا هذه فبدي بقوله: هذا محور X
وهذا محور Y، وهذه نقطة الأصل اللي هي Zero، البارابولا
الأولى Y تساوي X تربيع، يبقى Y تساوي X تربيع،
البارابولا اللي عندنا هذه هيك، يبقى هذه اللي هي هذه
فوق X يساوي Y تربيع، هذه Y تساوي X تربيع، بتدخل الـ
parabola الثانية، الـ vertex تبعها اللي هو اثنين
وأربعة، يبقى اتحرك اثنين هنا على اليمين، وده يطلع
فوق قداش؟ أربعة، يبقى هذه النقطة اثنين وأربعة، طب ليش
أجت على المنحنى ولم أجت فوق أو أجت تحت، لأن Y تساوي
X تساوي اثنين، لما الـ X تساوي اثنين بتبقى أربعة، إذا
انتقى على مين؟ على المنحنى بالضبط، تمام، طيب هذا الـ
vertex تبع اثنين وأربعة، open up ولا open down؟
open down بسبب الإشارة السلبية، اثنين يا مربى نقطة
الأصل والله، ليه يا مربى نقطة الأصل؟ طلع المعادلة لو
حطيت X بـ Zero، Y بقدّيش؟ يبقى دي مربى نقطة الأصل غصب
من علمه يرضى، يبقى الـ parabola هذه بدها تيجي بالشكل
اللي عندنا هذا، ومن هنا parabola بالشكل هذا، ومن هنا
parabola بالشكل هذا، يبقى البارابولا إلى أسفل،
البارابولا
إذا المنطقة اللي بينهم هي
هذا المنطقة المظللة بين الاثنين هي المنطقة المطلوبة
الـ X هتتغير من أين لأين؟ وإذا أنا أريد نسبة Y من
صفر لغاية أربعة، أيام، طيب أيهم أفضل: كامل بالنسبة لـ
X ولا بالنسبة لـ Y؟ أنفع الشجتين، بس الـ X أسهل كثير
لأن الـ X لسه بيتحول، وتاخد جذر وجثة طويلة، يبقى
أنا لو جئت وقلت الـ area A بدّه يساوي تكامل الـ X
هتتغير من صفر لين؟ لغاية الاثنين، بدي الدالة اللي
فوق، الدالة اللي فوق اللي هو المنحنى اللي عندها ده
Y يساوي ناقص X تربيع زي تربيع، هذه الدالة اللي فوق
والـ X تربيع هي من الدالة اللي تحت، يبقى لناقص X
تربيع زائد أربعة X، هذه كلها ناقص الـ X تربيع اللي هي
الدالة الثانية، كلها بالنسبة لمين؟ بالنسبة إلى dX
يبقى هذا الكلام بيساوي تكامل من صفر لـ اثنين للـ أربعة
X ناقص اثنين X تربيع، كل هذا الكلام بالنسبة لمين؟
إلى dX، يبقى هذا بدّه يساوي اللي هو اثنين X تربيع
ناقص اثنينين X تكعيب من صفر لغاية اثنين، يبقى هنا
ثمانية ناقص هنا ثمانية، 16 على ثلاثة ناقص الـ
Zero، يبقى هذا كله على ثلاثة في ثمانية، 24
من 16 بيظل ثمانية على ثلاثة فقط لا غير، يبقى لما
ترسم صح أو تحدد حدود التكامل صح، باقي الشغل كله
بيصير شغل روتيني أيضًا
أنا بقول لك: الامتحانات اللي بخليها لك بقسمها لك، لكن
الامتحانات اللي بقسمها لك بقسمها لك، إيه نعم؟ لو
طلعت على الامتحانات السابقة، هتلاقي بعض المسائل
اللي على الموضوع هذا، ما رسمينها، ومظللينها مش
هأقول لك هي المساحة اللي بدنا يعني، أيوة، كده؟ الرسم
الثاني، كده؟
هي رسمة قدامك
رسمة المنحنى الثانية ما أنتشرش اللي سوناه مش هي
المنحنى، روحت أملت وأكمل المربع لغاية ما وصلت لهنا
هذه parabola، بسمعولي لو شيلت الأربعة واثنين بصير Y
تساوي سالب X تربيع، parabola إلى أسفل، بس ممكن
تسمعوليها زاحة لليمين وزاحة لأعلى مشان الـ vertex
اثنين وأربعة، وبالتالي صلة بسيطة جدًا، طيب الـ هذا
نمر ب من السؤال، كان بدنا نروح لنمر C، نمر C
بقول لي: Y تساوي X تكعيب، and
ثلاثة X تربيعها ناقص Y يساوي أربعة
يبقى بنروح نرسم الرسم اللي عندنا بس قبل أنا أرسمها
ها دي ها ها، بقدر أحطها في الشكل الطبيعي تبعها يبقى
لو جبت الـ Y على اليمين والأربعة شمال بصير Y
يساوي ثلاثة X تربيع وناقص أربعة، أبدأ برضه هذه الـ
parabola، شيل الأربعة وشيل الثلاثة، بصير Y تساوي X
تربيع، ثلاثة بتتجرّب على محور Y، سالب أربعة، شفت الأصل
بمقدار أربعة، إذا لو جئت رسمت الرسم اللي عندنا
الرسم بالشكل هذا، هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة
الأصل اللي هي Zero، طلع لي كويسة، النقطة الأولى Y
تساوي X تكعيب، مشهور عند المنحنى ومعروف، يبقى المنحنى
بدّه يجيك X
يبقى هذا المنحنى Y تساوي X تكعيب، بتجي للمنحنى لأن Y
تساوي X تربيع، الـ parabola إلى أعلى ثلاثة يبقى
بتجرب على محور Y سالب أربعة، يبقى Shift إلى أسفل
بمقدار سالب أربعة، إذا لو رحت قلت: هذه اللي هي
main سالب أربعة، والـ parabola بتجي أرسمها يبقى الـ
parabola بتاخذ الشكل التالي اللي عندنا هيك، وبتجي
تاخذ الشكل هذا
المساحة الموجودة بين المنحنيين هي المساحة اللي
عندنا هنا
واضح أن هناك منحنى أعلى ومنحنى أسفل، هذا المنحنى
الأسفل يساوي ثلاثة X تربيع ناقص أربعة، ومنحنى
الأعلى Y تساوي X تكعيب، إذا هذا تكامل بالنسبة لـ X
إذا بيلزمني أعرف قدر أقل قيمة لـ X هنا وقدر أكبر
قيمة لـ X هنا، بتروح أحل المعادلتين مع بعض بالنسبة
لمين؟ إلى X، يبقى بالدرجة أقول X تكعيب يساوي ثلاثة X
تربيع ناقص أربعة، أو X تكعيب ناقص ثلاثة X، اص أربعة
زائد أربعة يساوي Zero، X تربيع زائد أربعة يساوي
Zero، نقدر نحللها هيك؟ نسأل الموضوع، اه، يبقى هذه
معادلة من الدرجة الثالثة، يبقى شغل مخك مين
قال لك: not exist يا شاطر أنت؟ هو اللي وجهك
ترابيع ناقص x ناقص اثنين كله بده يساوي قداش بده
يساوي زيرو الحين هذه بقدر أحللها يبقى هذه x ناقص
اثنين وهذا قوس وهذا قوس ويساوي زيرو x1 2 ناقص زائد
صار القوس هذا هو نفس القوس هذا يبقى صار عندي x ناقص
2 لكل تربيع في x زائد واحد بده يساوي zero هذا
معناه أن x بده يساوي 2 والـx بده يساوي سالب واحد
إذا النقطة هذه سالب واحد والنقطة هذه 2 يعني
النقطة دي لما أقول X ناقص اثنين لكل تربيع يعني طلعت
نفس النقطة بس إيه مكررة مرتين تمام يبقى معنا هذا
الكلام بدي أقوله الـarea إيه بده يساوي تكامل من عند
السالب واحد لغاية الاثنين الدالة اللي فوق هي من X
تكعيب ناقص الدالة التي تحتها ثلاثه X تربيع ناقص أربعة Y
تساوي ثلاثة X تربيع ناقص أربعة ثلاثة X تربيع ناقص
أربعة كله بالنسبة لمين إلى DX يبقى هذا الكلام
يساوي تكامل من سالب واحد لاثنين للـ X تكعيب ناقص
ثلاثة X تربيع زائد أربعة كله بالنسبة إلى DX
كامل يبقى X أس أربعة على أربعة ناقص x تكعيب على 3
مع 3 زائد 4x كله من ناقص 1 لغاية 2 نعوض بالقيمة
اللي فوق ناقص القيمة اللي تحت يبقى يساوي 16 على 4
ناقص ثمانية زائد ثمانية ناقص قوس هنا بصير ربع وهنا
زائد واحد وهنا ناقص أربعة هذه ستصبح ثمانية وثمانية
مع السلامة هذه ستصبح أربعة ناقص ربع ناقص واحد زائد
أربعة أربعة وأربعة ثمانية ثمانية بدنا نشيل منها
واحد بضل سبعه ناقص ربع يعني ستة وثلاثة أرباع يعني
سبعة وعشرين على قداش على أربعة
المثال الأخير بيقول
example 3 find the area
enclosed
by
the
y-axis
والـcurve هو المنحنى x يساوي y ناقص واحد لكل
تربيع و الـx يساوي ثلاثة ناقص الـy and الـx يساوي
اثنين جذر الـy as shown in the figure كما هو مبين
بالشكل وراح يرسم لي طبعا هذا سؤال في الكتاب راح
يرسم لي هذا الشكل اللي محصور بين هذه المنحنيات وطلب
مساحة هذا الشكل
السلام عليكم ورحمة الله
الله أكبر الله أكبر الله أكبر
قال لي أوجد لي مساحة المنطقة المغلقة بمحور Y يبقى
محور Y أحد المنحنيات X يساوي Y ناقص واحد لكل تربيع
و X يساوي ثلاثة ناقص Y و X يساوي اثنين جذر الـY
يبقى المساحة اللي بينهم هي المساحة المظللة اللي
عندنا هذه وقال لي هنا النقطة بقى لدي الواحد تمام
طبعا الكتاب حط السؤال ورسم لك الرسمة وقال لك هات لي
المساحة اللي عندنا بقول لك بسيطة منحنى لو جيت قلت
اللي تحت واللي فوق صار اللي فوق منحنيين واللي
تحت منحنى واحد صحيح إذا ما ظبطتش لو جيت اللي
على اليمين واللي على اليسار بيصيروا اثنين على
اليمين وخط على اليسار وبعدين واحد فباجي من
الخربطة هذه لكن لو جيت قلت بتهيئ الجسم هذا المنحنى
إلى منطقتين بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هاي المنطقة
و
المنطقة الثانية عندما أخذ هذه المنطقة وأخذ هذه
المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ
هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة و
أخذ هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ هذه
المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ
هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة وأخذ هذه المنطقة
يبقى أنا عندي هنا x يساوي y ناقص واحد لكل تربيع
وعندي x يساوي ثلاثة ناقص y يبقى بقدر أجيب قيمة y
بس أنا لازم لي قيمة x وليس قيمة y إذا
أنا هنا بقدر أقول المنحنى الأول X يساوي Y ناقص
واحد لكل تربيع والمنحنى الثاني X يساوي ثلاثة ناقص
Y حليت بالنسبة لـX في الأول وحليت بالنسبة لـY في
الأول لا تفرق عندنا هذه والله هذه السيان يبقى احنا
لو جينا قلنا بدي أخليها زي ما هي مثلا يبقى الـY
ناقص واحد لكل تربيع تساوي ثلاثة ناقص Y أو بمعنى آخر
Y تربيع ناقص اثنين Y زائد واحد يساوي ثلاثة ناقص Y
ممكن نعملها معادلة صفرية بصير Y تربيع هات Y هنا
بصير موجبة بصير ناقص Y هات هات هنا بصير سالب ثلاثة
مع واحد بيبقى سالب اثنين يساوي زيرو هذه لو راحت
حليتها كقوسين يساوي زيرو يبقى هنا Y هنا Y واحد
اثنين سالب اللي هو اثنين Y وموجبة بيبقى سالب Y
مظبوط إذا أنا عندي Y سالب واحد و Y اثنين يبقى هنا y
يساوي سالب واحد و y تساوي اثنين يبقى أنا أنا حليت
الاثنين هدول مع بعض مرة بدهم يتقاطع عند y تساوي
سالب واحد ومرة عند y تساوي من الاثنين إذا للإحداث
النقطة هذه بيكون قداش لاثنين هذا المنحنى لو كملته
أجه هيتقاطع مع مين؟ مع الخط عند نقطة Y تساوي سالب
واحد إذا ما لي علاقة فيه يبقى أنا إلي علاقة في الـ
Y تساوي مين؟ اثنين لو جيت أخذت Y تساوي 2 وعوضت بها
في أي من المعادلتين يبقى هذا بيعطيك أن X بيساوي
ثلاثة ناقص اثنين اللي هو قداش واحد إذا إحداث النقطة
هذه هو واحد واثنين يبقى X عند هنا بقداش تساوي
واحد بالدالي النقطة اللي عندنا هذه كمان بدي أعرف
قداش القيمة بتاعتها
يبقى بدي أعرف قداش لحظاتي معناته بدي أحل معادلة
المنحنى هذا مع مين مع معادلة المنحنى اللي عندنا
هذا هذا المنحنى اللي همين X بده يساوي ثلاثة ناقص Y
and الـX بده يساوي اثنين جذر الـY بقدر أقول هذه why
تساوي؟ ثلاثة ناقص X ثلاثة ناقص X and هذه لو جيت
ربعت الطرفين بصير Y يساوي ربع الـX يبقى Y تساوي
ربع الـX تربيع يبقى لو حليت الاثنين مع بعض ربع X
تربيع بدها تساوي ثلاثة ناقص X أضرب كله في أربعة
بيصير عندك مين X تربيع يساوي اثنا عشر ناقص أربعة X
يبقى هذا الكلام بيصير X تربيع زائد أربعة X ناقص
اثنا عشر يساوي كده؟ يساوي Zero نحلل هذا الكلام كقوسين
يساوي Zero يبقى هنا X هنا X هذه ستة في اثنين ستة
في اثنين هذه زائد وهذه ناقص زائد ستة X وناقص اثنين
X يبقى زائد أربعة X يبقى بناء عليه الـX بده
يساوي اثنين والـX بده يساوي سالب ستة يبقى هذا
الكلام لو كملنا المنحنى لو أجي معه هذا هيتقطع
عند السالب ستة ما لي علاقة فيها إيه اللي علاقة في
قداش؟ فيه للاثنين يبقى بصير التكامل عندنا بهذا
الشكل يبقى الآن حددت حدود التكامل قسمت المنطقة إلى
منطقتين إذا بقدر أحسب قداش قيمة هذه المساحة
المحصورة بين المنحنيين فبروح بقول له الـA to Z
تكامل من عند الـzero لغاية الواحد من الـzero
لغاية الواحد الدالة اللي فوق آه هذه مرتبناش هذه
بدها تصير جذر الـX بده يساوي Y ناقص واحد طبعا هأحمل
الـY السالبة
يبقى هذا معناه أن Y تساوي جذر الـX زائد واحديبقى
الدالة اللي فوق هذه Y تساوي جذر الـX زائد واحد هي
الدالة اللي فوق يبقى جذر الـX زائد واحد ناقص
الدالة اللي تحت هذه طلعناها كده؟ ربع X تربيع يبقى
ناقص ربع X تربيع كله بالنسبة إلى DX زائد تكامل
المنطقة الثانية من واحد لاثنين الدالة اللي فوق
هذه يقول أنه يساوي ثلاثة ناقص X ثلاثة ناقص X ناقص
اللي هو ربع X تربيع يبقى ناقص ربع X تربيع كله
بالنسبة إلى DX يبقى
هذه الـarea إيه تساوي من درجة التكامل الأول يبقى
هذا طول تان
زي الاكس ناقص x تكعيب على قداش على الاثنا عشر
الحكاية دي من عند الـzero لغاية الواحد نجي للتكامل
اللي بعده ثلاثة x ناقص x تربيع على اثنين ناقص x
تكعيب على الاثنا عشر كل هذا الكلام من الواحد لغاية
اثنين يبقى هذا بده يساوي ثلاثة على اثنين زائد واحد ناقص واحد
على الاثنا عشر والـzero الباقي كله بيطير بـzero نجي
لبعدها زائد اثنين في ثلاثة بستة وهنا ناقص اثنين وهنا
هنا ناقص ثمانية على الاثنا عشر فيها اثنين على ثلاثة
خلصنا الـterm اللي فوق ناقص الـterm اللي تحت
ثلاثة ناقص نصف ناقص واحد على الاثنا عشر هذا الكلام
يساوي كل term
هذه اثنين على ثلاثة مع سالب اثنين على ثلاثة وعندك هنا
سبعة وسالب اثنين بضل خمسة خمسة ناقص واحد على
الاثنا عشر مع يا راجل ناقص ثلاثة زائد نصف زائد واحد
على الاثنا عشر ناقص واحد على اثنا عشر وزائد واحد على
اثنا عشر بيروح بيضل عندنا قداش اثنين ونصف يبقى خمسة
على اثنين مقدار هذه المساحة تمام؟ طيب لحد هنا
انتهى الـsection اللي هو خمسة ستة يليكم أرقام
المسائل يبقى exercises خمسة ستة المسائل التالية
واحد لتسعة
وستين يعني واحد لتسعة وستين والأخرى من ثلاثة وسبعين
لغاية ثمانية وسبعين وكذلك
من ثمانين لتسعين