بسم الله الرحمن الرحيم عودة على بدء المرة اللي
فاتت بدأنا في التكاملات المحدودة كيف بدنا نكامل
تكاملات محدودة باستخدام التعويض وبتغيير حدود
التكامل طبقا للتعويض اللي بيعطيها وعطينا على ذلك
مجموعة من الأمثلة وانان بنكمل هذه الأمثلةأخدنا ستة
أمثلة وهذا هو المثال رقم سبعة بقول يتكامل من الصفر
اللي هيتبعي على أربع لتان تكيب سكتر بيه ال X DX
طبعا مباشرة هيك بقدرش لكن بقدر أعمل تعويضة محددة
باجي بطلع في المثل اللي عندى و التان كده تفاضلها؟
سكتر بيع موجودة إذا اللي بدي أشيله و أغيره بدي
أشيل التان و أحط بدلها دل جديدة إذا لو حطيت ال T
تساوي تان ال X يبقى ال DT بدي أساوي سكتر بيع ال X
DX إذا ممكن أشيل سكتر بيع ال X DX هذه وقت بدلها DT
يبقى آلة المسألة الى تكامل ل T تكعيب DT بقيت حدود
التكامل بدي أغير حدود التكامل صفقة لهذه التعويضة
الجديدةفبجي بقول لما تبقى ال X باي على أربعة ضل
الخمسة واربعين يبقى ال T هنا تساوي واحد ضل ال zero
ب zero يبقى T تساوي zero إذا غيرنا حدود التكمل طبق
لمين؟ طبق التعويضة الجديدة اللي حاطناها يبقى هذا
النتيجة تساوي T أس أربعة على أربعة والكلام من zero
لغاية 13لغاية واحد يبقى هذا الكلام يساوي ربع في
واحد أس أربع ناقص Zero أس أربع اللي هو Zero واحد
أس أربع باربع يبقى النتيجة تساوي ربع التكامل اللي
بعده تكامل رقم تمانيةيبقى integration من سالب واحد
لغاية سالب نص
طيب، بعدي بتطلع في المثل اللي عندي، شو اللي وضعه
غير طبيعي في المثل أو اللي مصعب شكلها؟ الزاوية
تبعت الصين، يبقى الزاوية هي اللي مصعبة المثل، نهيك
على انه مشتقت الزاوية بتعطينا مين؟ ال term اللي
برايبقى بدي اكتب المثلة بشكل لطيف أو سهل جدا يبقى
بدي اشيل كل هذا و بدي احط ال X يسوى واحد زائد واحد
على T لو جينا اشتقناها يبقى DX بدي اساوي سالب واحد
على T تربية DTأو بقدر أقول سالب DX بدي أساوي T
السالب اتنين DT إذا بقدر T السالب اتنين هذه مع DT
أشيلها و أكتف بدل جديد سالب DX يبقى هاي السالب بدي
أخده برا و هاي تكامل و هادي ال sign تربيع ال X كله
في DXبقيت حدود التكامل لما تبقى ال X يساوي سالب T
تساوي سالب نص يبقى سالب نص بصير هذي فوق باتنين
اتنين بالسالب يبقى واحد سالب اتنين مضل قداش سالب
واحد يبقى هذي بيصير سالب واحد و لما تبقى T بسالب
واحد بصير ال term هذا كله بسالب واحد يبقى كله بصير
Zeroيبقى من zero ل سالب واحد ل main لل sign تربيع
ال X DX واضح ان ال index الكبير هو اللي تحته
والصغير هو ال fourth يبقى بنجلب حدود التكامل و
بنضيع الإشارة اللي عندنا طبقا لأول خاصية من خاصة
تكامل المحدود يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل من
سالب واحد لغاية zero ل sign تربيع ال X DX
يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل من سالب واحد لغاية
Zero لنص في واحد ناقص cosine اتنين ال X DXمن
المستطابقات تبعات حساب المثلثات sin تربيه ال X هو
نص في واحد ناقص cosine اتنين X يبقى النص هذا بدي
يظل برا و عندك هذا جزء تكامل الواحد ب X وتكامل ال
cosine بsin اتنين X على اتنين والكلام من سالب واحد
لغاية ال zeroيبقى يا نص خلّيك برا و بدنا نبدأ نعوض
بحدود التكامل يبقى Zero و Sin Zero Zero كذلك يبقى
هاي Zero ناقص Zero ناقصبدا ابدأ اعوض بالقيمة اللى
تحتى يبقى ال X بدي اشيله لأو اكتبه لجداش ناقص واحد
وهي الناقص اللى عندنا بدي اشيل ال X و احطه مكان
جداش سالب واحد يبقى بصير سالي باتنين يبقى ال sign
لسالي باتنين على اتنين بالشكل اللى عندنا هذا تمام
يبقى هذا الكلام بده يساوي هذا النص اللي برا وده
دخل السلب اللي عندها ده يوم بصير عندي واحد ناقص
sign اتنين على اتنين بالشكل اللي عندنا طبعا ال
sign odd السلب بطلع برا بصير موجب في سلب مضروب برا
يبقى بصير سلب يبقى واحد ناقص sign اتنين على اتنين
انت هنا مثلا بدك تكتب لي نص ناقص ربع sign اتنين
سيانة بتفرجش يبقى هذه لو قلت نص ناقص ربع sign
اتنين هذه هي نتيجة من التكاملطيب، الآن في عندنا
كمان مثال آخر غير هذه الأنواع من الأمثلة و هذا
المثال جئنا به في إحدى الامتحانات السابقة يبقى
كمان example بيقول
use the integral استخدم التكامل
تكامل من واحد لغاية اتنينللـ F of Z DZ بده يساوي
تلاتة to find
the value of مشان تحسبلي قداش قيمة تكامل من نص
لغاية واحد لواحد على X تربية F of واحد على X نقس
يبقى شكل هذا المثال يختلف عن شكل سابقاته من الأمثل
قبل أن نتكامل و نتكامل على طول الخط هذا بيقول
استخدم هذا التكامل يبقى هذا معطيان للحصول على قيمة
التكامل هذاباجي باطلع في التكامل اللي عندي وهذا
بختلفه كليا عن بعض، لكن هذا مقطع إذا ماليش علاقة
فيه لما بلزمني بستخدمه، بلزمنيش بستخدموش، إذا
مشكلتنا مع مين؟ مع هذا التكاملمشان اشتغل هذا
التكامل في شغل غير طبيعى، الغير طبيعى واحد على اكس
طبيعى ولا واحد على اكس؟ واحد على اكس، واحد على
اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس،
واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على
اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس،
واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على
اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس،
واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على اكس، واحد على
اكس، واحد على اكس، واحد على اكس،لو مثلا حطيت هنا Z
تساوي واحد على X أو T أو W أو اللي بدك هيه يبقى
بدنا نيجي نشتقه يبقى DZ يساوي سالب واحد على X
تربيه دي1 على X تربية موجودة عندى بس سلب ماعنديش
يبقى بضرب الطرفين بإشارة سلب يبقى بصير عندى سلب DZ
يسوى 1 على X تربية DX إذا ال 1 على X تربية هذه
كلها مع ال DX كلها تبعت المسألة بقدر أشيلها و أكتب
بدالها سلب DZيبقى صارت مسألة تكامل من نص لغاية
واحد للواحد على اكس تربيع لل F of واحد على اكس DX
يسوى تكامل F of Z تمام واحد على اكس تربيع DX بدأت
بهذه السانب برا وهذه يمين DX يبقى صار شكل المثل
اللي عنده هناك اللي هو الشكل هذا بالشكل الجديد الا
انهلكن بناروح نغير حدود التكامل طبقا للتعويض اللي
احنا حاطينا فباجي بقول لو كانت ال X بواحد يبقى Z
بواحد طب لو كانت ال X باتنين بصير واحد على نص
بتنجلبه بصير جداش بالاتنين بالشكل اللي عنها دهطيب
الان صار الرقم الكبير تحت والرقم الصغير فوق في
حدود التكامل من شكل بهذه المواد على limits of
integration وبالتالي طبقا للخاصية الأولى من خاصة
تكامل المحدود بيطير إشارة السالب يبقى هذا بيصير
تكامل من 1 ل2 لل F of Z DZ أظن هذا موضوعخلصنا يبقى
هذا الكلام بده يساوي تلاتة بدون ماتكمل طيب فيه
قاعدة بتسهل لي عملية حساب بعض التكاملات الصعبة
شوية هذه النظرية بتقول لي ما يأتي بتقولت
ال F ب continuous
function دا اللي متصلة on the symmetric interval
اللي
هو سالب a و a النقطة
الأولى if
الـ F is even دالة زوجية then تكامل من سلب A إلى A
لل F of X DX يساوي اتنين تكامل من Zero إلى A لل F
of X DX النقطة الثانيةالـ F is odd then تكامل من
سلب A إلى A لل F of X DX بدي ساوي كده؟ بدي ساوي
Zero Example Find
the value of the following integrals Find thevalue
of the following integrals
التكاملات
التالية
تكامل الأول بدنا تكامل من سالب اتنين إلى اتنين
لتلاتة X على تسعة زائد X ترابيع لكل ترابيع DX نرجع
لهذه النظرية مرة ثانيةو نحاول نفهم هذه النظرية
مشان نشوف كيف بدنا نطبقهابقول افترض الدالة F دالة
متصلة على الفترة المتماثلة ناقص a و a لما اقول
symmetric interval يعني من عند zero على اليمين جد
اللي من عند zero على الشمال بالضبط تماما فلما اقول
من ناقص a إلى a يبقى الصفر يجي وين في منتصف الفترة
يعني الفترة المتماثلةعلى طرفي Zero أو على طرفي
محور Y يبقى هاي المقصود في هذه الكتابة تالك ماقص A
وA يعني الرقم اللي عندنا هنا هو نفس الرقم هذا بس
بإشارة مخالفةيبقى هذه بسميها الـ Symmetric
Interval بقول والله إذا دالة كانت even يبقى تكامل
من ناقص A إلى A لل F of X DX يسوى اتنين التكامل من
Zero إلى A لل F of X DX السؤال لماذا؟ وماذا نستفيد
من ذلك؟ خلي بالك معاكيبقى ليش تكامل من سالب A إلى
A لل F of X DX يسوي 2 تكامل من 0 إلى A لل F of X
DX نرجع بالذاكرة إلى أول chapter درسنا فيه
Calculus A لما أقول even function يعني المنحنى
مالهمو تماثل
بالنسبة لمين؟ لمحور ويمجد النص الرسمى اللى على
اليمين زى نص الرسمى اللى وين يعنى المساحة اللى
حصرها المنحنى على يمين المحورY بينه بين محور X جد
المساحة اللي حصرها المنحنة على الشمال محور Y بينه
بين محور X تمام؟ إذا مدام المساحتين كانوا بعضيا
يكفيني حساب مساحة واحدة بضرب منين في اتنين من هنا
قولنا هذا بدي يسوى اتنين التكامل على نص في الفترة
مدام في تمثل اللي على اليمين زي اللي على الشمال
يبقى المساحة الأولى جد المساحةالثانية يبقى يكفيني
حساب واحدة فيهم بروح مضروبة في مهم في اتنين يبقى
هذا يسوى اتنين تكامل من Zero إلى A لل F of X DX
يبقى هاي أجابنا على السؤال الأول ليش هذا التكامل
يسوى التكامل الثانيسؤال الثاني، قلنا ماذا نستفيد
من ذلك؟ أيهما السل؟ اللي لما تكمل الدل لو تروح
تعوض بالقمة اللي فوق والقمة اللي تحت، والله لما
تبقى اللي تحت زيرو السل ليه؟ لما تبقى زيرو السل
يبقى المقصود هو من ذلك تبسيط عملية إجراء التكامل،
تمام؟ يبقى هاي المقصود فيه، طيب، هذا بالنسبة
للنقطة الأولى، النقطة الثانيةقال لو كانت الدالة
odd يبقى قيمة التكمل تساوي صفرشو المعنى الهندسي لل
odd function يعني المنحنى متمثل حول ال origin يبقى
أى نقطة إحدثيتها a و b بديكون إلها نقطة سالب a و
سالب b يعني الجزء اللى فوق اللى أعلى محور X بديكون
فيه جزء أقباله أسفل محور X يعني لو المنحنى في
الربع الأول بديكون المنحنى التاني في الربع التالت
لو كان منحنى في الرابع الثاني، فهو يكون في الرابع
الرابع للجبال وهكذا، يعني في جزء محصور بين منحنى
ومحور X positive area وفي جزء تاني negative area،
يبقى لو جمعت التنتينبطلع صفر انا مش طالب ال total
area total area يسوى اتنين مساحة واحدة فيهم مظبوط
بس انا مش طالب ال total area بدي اكمل و بدي اعرف
كدهش نتيجة التكمل و ليس حساب ال total area يبقى
التكمل في هذا الحالة بدي سوى مين بدي سوى 0 يبقى
هذا ببسط لعملية الحسابة الطلة فالضالة اذا الرقم
اللي تحت التكمل هو نفس الرقم اللي فوق بإشارة
مخالفةيبقى ماجي بطلع والله إذا اتدالى even يبقى
اتنين في التكامل على نصف الفترة وإذا اتدالى يبقى
قيمة التكامل يساوي صفر بدون ما أروح أحسب و أخبص و
أجيب أما أجيب الاخرين فضل
وهذا موجب بناخد الـ Absolute Value زي ما قلنا في
المحاضرة الماضية بدي الـ Total Area بحسب أو بجسم
اللي الفترة طبقا لأسفار الدالة وبكمل على كل منطقة
وبعدين باخد الـ Absolute Value بكون جبت المساحة
الحقيقية طيب نرجع لتطبيق مباشر على هذه النظرية
جالهات لقيمة كل من التكاملات التالية وعطاني دالة
بهذا الشكل بدأ اكمل هذه الدالة بقول بسيطة بطلع في
حدود التكامل اللي فوق زي اللي تحت بالضبط تماما
الدالة هذه odd ولا even واضحة
مثل الشمس even هذاعندك ال F of X بده يساوي تلاتة X
على تسعة زائد X تربية لكل تربية بدك F of سالب X
يبقى تلاتة في سالب X على تسعة زائد سالب X لكل
تربية تربيةتمام السالب هذا بقدر أقوله شرفني برا
وبصير عندي هاي تلاتة X وهذه تسعة زي X تربيع لكل
تربيع يبقى odd والله even odd function لإن F of
سالب X سوى سالب F of X يبقى هذه odd يبقى هذه
النتيجة كده؟يساوي زيرو لان
التلاتة اكس على تسعة زائد اكس تربيع تربيع is an
odd functionيبقى نظرا لإنها دالة فردية فقيمة
التكامل يتساوي صفر بدون إجراء عملية التكامل يبقى
أعوض مباشرة بدون ما أقوم بعملية التكامل نمر اتنين
بدنا تكامل من سالب باي على أربعة إلى باي على أربعة
لل X تربيه زائد سك تربيه ال X كله في DX
باجي بتطلع برضه بنفس الطريقة الرقم اللي فوق هو نفس
الرقم اللي تحت بس بإشارة هي بإشارة مخالفة
ماعنديش إلا تنتين even والاربعة odd يبقى اللي قلنا
السك والكسين هي ال even فقط يبقى ليس تحكيش غير
تعرف يبقى السك وعكس اللي هو الكسين هم التنتين even
وباقي الأربعة odd يبقى هذا even تمام؟ والاكس
تربيع؟يبقى معناته هذا الكلام يساوي 2 تكامل من 0 ل
5 على 4 يبقى هذا الكلام يساوي 2 تكامل من 0 ل 5 على
4 ل X تربيع زائد سك تربيع X DX
اللي مايعرفش بشيل كل X و بحط مكانها سالب X تربية
بتبقى كما هي هذي ال cycle ناقص X لكل تربية هي
بcycle X تربية بتبقى تربية كما هي بنال عليها صارت
هذه even functionيبقى و هذا الكلام بده يسوى اتنين
فيه بدك تعمل هذه الدالة يبقى X تكيب على تلاتة زائد
تاني ال X من و لا وين من Zero لغاية Pi على أربع
تمام؟ يبقى هذا اتنين برا مالوش دعوة وهذه بدي أشيل
ال X و أحط مكانها باي على اربعة فهيصير بايتكيب على
اربعة وستين مظبوط؟ يبقى هذه بايتكيب على اربعة
وستين في تلاتةوالخمسة واربعين بواحد ناقص عوضنا من
القيم اللي فوق ناقص اللي تحت Zero و تاني Zero ب
Zero يبقى ناقص ال Zero يبقى النتيجة تساوي باي
تكعيب علىعندك هنا اربعة و ستين اربعة و ستين في
تلاتة اللي هو قداش تلاتة في اربعة باطناش و تلاتة
بازمية و اتنين و تسعين يبقى هذا لأ هو بقى اتنين و
تلاتين هذه اتنين و تلاتين في تلاتة ليه بستة و
تسعين مظلوم يبقى هذه ستة و تسعين و هنا زائد اتنين
يبقى هذا قيمة التكامل اللي عندناطب احنا حتى الآن
يا شباب لو رجعت للعنوان تبع section 5-6 لحتى الآن
احنا كل اللي اشتغلناه على النقطة الأولى من العنوان
وهو ال substitution لكن ال area between two curves
لم نتعرض لها بأي مثال حتى هذه اللحظةلذن قبل ان تضع
اي مثال يجب ان تضع قاعدة المساحة المحصورة بين
المنحنيات ومن ثم نذهب ناخد امثلة عليها يجب ان
اعطيها definition اكتري definition if
ال if and ال g are continuous functions
F of X أكبر من أو يساوي الـG of X أثره خلال الفترة
المغلقة A وB
النطاق بين الثقافات
بين الثقافات y تساوي f of x و y تساوي g of x from
a
to be is defined
as
من عرفة كتالي ال area a يسوى تكامل من a إلى b لل f
of x منعقص ال g of x dx
بنرجع للتعريف مرة تانية قال إذا عندك ذالة f و g و
اتين اتين دوال متصلة دوال متصلة يعني قابلة للتكامل
طيب في اندي كونديشن حطوا ان ال f of x أكبر من ال g
of x على كل الفترة من a إلى b يعني دائما و أبدا ال
f of x بتاخد قيمأكبر من القيم اللي تاخدها g of x
على الفترة بعد ال a والb مالاش علاقة فيها او قبلها
انا ماخد فترة من a إلى b فلو جيت قلت افترض على
سبيل المثال ان هذه الدالة y تساوي f of xأجدت دالة
g of x بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذه y تساوي g of
x روحت أنا أخدت الفترة على سبيل المثال من عند
النقطة a لعند النقطة b بالشكل اللي عندنا هذا جهة
طالع هيك جهة طالع هيكيبقى انحصرت المسافة ما بين
الاتنين اللي هي المسافة اللي عندنا هذه يبقى هذه هي
ال area aالان انا لو كاملت على ال F of X بيعطيني
المساحة هذه كلها أسفل المنحنة ومحور X المظلة زائد
المنطقة البيضة هذه تمام؟ لو كاملت على ال G of X
بيعطيني المساحة اللى تحت المنحنة اللى المنطقة
البيضة لو طرحت ال two two من بعضبتظلها المنطقة
المظللة يبقى الشدد area يبقى المنطقة اللي حاطط
عليها خطورة إذا مساحة هذه المنطقة هو تكامل الدالة
الأولى ناقص تكامل الدالة الثانية يبقى التكامل نفسه
على الفترة من a إلى b يبقى على الفترة من عند ال a
لغاية من لغاية ال bأذا بقول له لأ يبقى من البداية
تكامل ال F of X ناقص ال G of X و بروح بكامل على
فترة من A إلى B بيعطيني قداش المساحة اللي موجودة
عندنا طيب هذا لو كانت الدالة F of X فوق و G of X
تحت طب افترض واحدة على اليمين و واحدة على الشمال
لاحظ التكامل هنا بالنسبة لمين؟لو كانت واحدة على
اليمين و واحدة على الشمال كيف نعمل تكامل بالنسبة
لماين إلى واي يبقى باجي بقوله similarly يعني بنفس
الطريقة ال area ايه بقدر اقول تكامل من C إلى D لل
F of Y ناقص ال G of Y كل هذا في DY كيف كتالةافترض
ان هذا منحنى محور X وهذا Y وهذا نقطة الاصل الهيمين
Zero افترض كانت عند الدالة بهذا الشكل هذا المنحنى
Y تساوي F او X مقطع على صيغة X تساوي F of Yجيت على
منحنى ثانى نفترض ان هذا المنحنى كان بالشكل اللى
عندنا هذا يبقى هذا X يساوي G of Y تمام وانا روحت
اخدت المنطقةمن نقطة التقاطة مثلا ها لغاية النقطة
اللي عندها دي و قلت هذه C وهذه D و جيت رسمت خط
أفقي بالشكل اللي عندها ده يبقى المساحة اللي محصورة
بين المنحنيين هي المنطقة المظللة اللي عندها دي
تماميبقى بدى اعرف قدش المنطقة المظلة لأ يبقى صارت
كأنه هذه هي الدالة الكبيرة وهذه هي مين الدالة
الصغيرة على الفترة من وين لوين من C إلى D يعني
صارت F of Y أكبر من مينمن G of Y أو بالبلد هيك
اللي على إيدك اليمين ناقص اللي على إيدك الشمال
بتجيبها بالضبط تماما يبقى من المثل ال area يبدو
سوية كامل من C إلى D لل F of Y ناقص G of Y السؤال
هو لو جاني السؤال بيقولي كامل بالنسبة ل X والله
كامل بالنسبة ل Y بيقولي في المثلةلا بحكيش أبدا،
بيعطيك السؤال وانت حار كامل بالنسبة ل X كامل
بالنسبة ل Y، هذا شأنك، مالو يشتغل فيك، خلاص؟ حد
يلعب يتساول هنا؟طيب، الأن لم يبقى إلا مجموعة من
الأمثلة على هذا ال definition وحنعطي أمثلة بحيث
مرة نكمل بالنسبة إلى Y و أحيانا نكمل بالنسبة إلى X
كله بيرجع لطبيعة المسألة اللي موجودة نبدأ ناخد
أمثلة و بنيجي للمثال الأول يبقى example one
والمغلقة بيه او المحدودة بيه By the following
Y تساوي X ترابيع ناقص اتنين Y يساوي اتنين
المساحة المحصورة بين كل من المنحنيات والمستقيمات
الاتية نمر ايام اعطيني منحنى والتاني خط مستقيم اذا
اول خطة بنعملها بنحاول نرسم الرسم اللي عندنا هذه
ومن خلالها نحدد حدود التكامل طبعا هو بطنيش حدود
التكامل لحالك انت بدك تستنتج حدود التكامل من خلال
الرسم وبدك تعرف تتكامل بالنسبة ليكسب بالنسبةأو
بالنسبة إلى Y يبقى لو جينا للرسمة اللي عندنا هذه
وروح نقول هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل
اللي هي Zero لو جيت للمنحنة Y تساوي X تربية ناقص
اتنين وY تساوي X تربية ترابه لمفتوحة إلى أعلى وتمر
بنقطة الأصل سالي باتنين يبقى Shift إلى أسفل بمقدار
اتنينيبقى هنا المنحنة بدى ينزل الى أسفل بمقدار
اتنين والبرابله بدى تصير بالشكل اللى قلناه هنا طيب
هذا اللى هو Y يساوي X ربيع ناقص اتنينالمنحنى
التانى هو خط مستقيم Y تساوي اتنين خط يوازي محور X
ويبعد عنه مسافة مقدارها اتنين يبقى هذا الخط Y
تساوي مين؟ Y تساوي اتنين اذا المنطقة اللى بدنا
ياها هي المحصورة بين المنحنيين الاتنين هدول اللى
هي المنطقة المظللةواضح انه في منحنى فوق كبير و
اللي تحت يعتبر مان صغير يعني منحنى هي فوق و منحنى
تاني تحتإذا انا بدى اطبق من القاعدة الأولى يعني
التكمل بتكون من نسبة لمن؟ من نسبة لمحور X بس مش
هان اطبق هذه بدي اعرف ال X بده تتغير من ويلة وين
باجي على أول نقطة هناها و بدي اعرف قداش قيمة X هنا
و بدي اجي على اخر نقطة في المساحة اللي عنده و بدي
اعرف قداش X بدها تكون عند هذه النقطةهذه النقطة
وهذه النقطة هي نقاط تقاطع المنحنة مع من؟ مع الخط
المستقيم إذا مش هنجيب الأحداثيات، بدتي أحلي
المعادلتين هدول مع بعض، هنا عندي Y وهنا Y، يبقى
بدي أساوي التنتين بمن؟ بعضهم، يبقى بدي أروح أحط
solution
يبقى بضع X تربيع ناقص اتنين يساوي كم؟ اتنين يبقى X
تربيع تساوي اربعة معناته ان ال X يساوي زائد او
ناقص اتنين اذا النقف اللي على شمال ال zero هذا
سالب اتنين واللي على يمين ال zero هذا كم؟ اتنين
يبقى أقل قيمة للمنطق المضلل لـ X هي سالب اتنين و
أكبر قيمة تاخدها X على المنطق المضلل هو عبارة من
اتنين إذا بناء عليه بقول ال area A يستوي تكامل من
سالب اتنين إلى اتنينالدالة الكبيرة هي الدالة اللى
فوق الـ UY تساوي كداش؟ اتنين الدالة الصغيرة اللى
تحتها الـ X تربيع ناقص اتنين كل اللى عندها دهاج
بالنسبة لمن؟ بالنسبة إلى DXاللي بكتب هذا الكلام
صحيح بظل الكلام اللي باقي كله كلام فارغ، شغل
روتيني عادي جدا، تمام؟ يبقى احنا بدنا نروح نكامل
هذه ونجي نقول هذه من سالي باتنين إلى اتنين، لو
فكتها بصير اربعة ناقص extra بادي، تمام؟ قبل ما
كامل، هذه الدالة even والله oddخلص يبقى 2 تكامل
على نصف الفترة يبقى هذا 2 تكامل من 0 إلى 2 لل 4
ناقص X تربية دي ستطلع هنا هاي الخط بجسمها إلى نصين
ما لهم زي بعض يبقى روحان كامل 2 هيها برا هذه 4X
ناقص X تكيب على 3كله من صفر لغاية اتنين يبقى هذه
اتنين وبتعوب اتنين في اربعة بتمانية ناقص تمانية
على تلاتة ناقص Zero كل هذا ب Zeroعلى أي حال تلاتة
في تمانية باربع وعشرين ناقص تمانية بدل قدر 16 على
تلاتة يبقى اتنين في ستاشر على تلاتة يبقى اتنين
وتلاتين على تلاتة ال area المطلوبة نجي لنمرى بيه
نمر بيه؟ بيقول لي Y تساوي أربعة ناقص X تربيع وال Y
تساوي اتنين ناقص X وال X يساوي سالب اتنين و X
يساوي اتنين
هذا السؤال جئنا به في احدى الامتحانات قبل يمكن
اربع سنين تقريبا
المثال الأول ماحش الكامل بالنسبة للأصحاب اللي
قاعدين فيه انك واقف استخدامهم صحيح؟ ميشان الكامل
بالنسبة لو بدك معادلة او بدك تجيب منحنى على اليمين
ومنحنى على الشمال وين المنحنى اللي على اليمين وين
على الشمال؟ فيه؟
ما هو بالنسبة للأول، معناته منحنى بدي يكون على
اليمين ومنحنى على الشمال، فيه عندنا؟ عندنا،
وبالتالي مستخدم كلامي مش صحيح، خلاص ما؟ طيب، ندي
له المثل اللي عندنا هذا، يبقى هذا مش خط مستخدم
منحنى، هذا تلت خطوط مستخدمه منحنى، يبقى ربنا يرسله
الله أعلم كيف تكون هذا مش هيك باجي بقوله كويس
بالضبط على الرسم اللي عندنا باجي بقوله هذا المحور
هذا محور X وهذا اللي عندنا اللي هو main وهذا اللي
هو محور Yطيب بيجي على المنحنة الأول أربعة ناقص X
تربيع يبقى X تربيع إلى أسفل وشفر إلى أعلى بمقدار
أربعة يبقى لو جيت للمنحنة هذا يبقى المنحنة
بالشكل هذا يبقى
هذا المنحنة Y يساوي أربعة ناقص X تربيعبعد ذلك اذا
كان عندك خط مستقيم y تساوي اتنين ناقص ال x بقول لو
كانت x بيزيرو يبقى y باتنين لو كانت x بيزيرو y
باتنين يعني في نص المسافة فوق اربعة يبقى هات اتنين
واللي بعدهلو كانت Y ب0 يبقى X ب2
يبقى النقطتين الاتنين يقعني على الخط المستقيم إذا
بجيب المصدر هك و بوصل ما بين النقطتين هدول و بمد
هذا على استقالة ماخلصناش جال بعد هيك في عندك خطين
مستقيمين X يساوي سالب اتنين و X يساوي اتنين X
يساوي سالب اتنين يبقى هذا الخط الطالع رأسي دوري هك
والخط التاني X يساوي اتنين وهو الخط اللي عندنا هذا
تمام يبقى هذا X يساوي اتنين وهذا X يساوي سالب
اتنين يبقى صارتهل هناك ما بين X يساوي 2 ومساحة
تانية فيه محصورة بينه بين المنحنيات؟ لأ التلاتة
اتقطعوا في نفس مين؟ في نفس النقطة إذا ماعنديش
مساحة محددة مع الخط الرأسي الأول لكن مع الخط
الرأسي التاني صار عندي مساحة محددة يبقى أنا في
عندي المساحة دي محصورة ما بين خطين من الخطوط
المستقيمة
المساحة المحصورة بين خطين مستقيمين ومنحنة المساحة
المحصورة بين الخطين
المستقيمين ومنحنة المستقيمين
الخط المالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط
مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي
يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط
مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي
يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط
مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي
يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط مالي يتخيل خط
مالي يتيبقى هذا كل منحنط كل واحد كتب عليه معادلة
إذا ماعناش مساحة واحدة وانما عندنا مجموعمساحتين صح
ولا لا؟ ايوة طب اتنين بدنا نكمل بالنسبة ل X ولا
بالنسبة ل Y تعالى نشوف كل مساحة من هذه المساحات لو
جيت للمساحة اللى عندنا هذه يبقى فى منحنى فوق وفى
منحنى تحت هنا فى منحنى فوق وفى منحنى تحت لكن لو
جيتى يمين وشمال اه ممكنممكن يا مشوال بياخد تروح
ترسم خط أفق بيصير هذا على اليمين و هذا على الشمال
و هذا على اليمين و هذا على الشمال يبدو يتكاملينو
بعد هيك هذه يمين و شمال ماعنديش مش هتظبط هذه لذلك
افضل حاجة خلص بالنسبة ل X و انسى الموضوع تمام يبقى
بروح بكمل اس ال X بس بدي اروح احدد حدود التكوين
بدي اعرف قداش الاحداث تبع نقطة التقاطع هنا يعني
قداش قيم دسك هذه معروفةهذه المعروفة او هذه
المعروفة او هذه المعروفة
او هذه المعروفة او هذه المعروفة او هذه المعروفة او
هذه المعروفة او هذه المعروفة او هذه المعروفة او
هذه المعروفة ا
بدي اخد اربعة ناقص X تربيع يساوي اتنين ناقص X بدي
اعملها معادلة صفريهات لهذه الشجة التانية بيصير X
تربيع بالموجة ناقص X زي ما هي ماتغيراتي اربعة
بتجيلك بالسالب و عندك اتنين بيظل سالب اتنين يساوي
زيرو
هنا اكس وهنا اكس وهنا اتنين وهنا واحد وهنا سالب
وهنا مجد يبقى ناقص اتنين اكس وزاد اكس يبقى ناقص
اكس يبقى بناء عليه الاكس الاولى ساوي سالب واحد
والاكس التانى ساوي قداشرإتنين فعلا نقطة التقاطع
الأولى سالب واحد ونقطة التقاطع التانية جداش اتنين
هي مع الخط والمنحنى يبقى عند اتنين يبقى معناته
عندي تكاملين يبقى ال area المطلوبة ال areaمن سلب 2
لغاية سلب 1
يبقى الخط المستقيم هذا اللي فوق اللي هو 2 ناقص X
أتنين ناقص X ناقص المنحنى اللى تحت هذا اللى همين
أربعة ناقص X تربية يبقى أربعة ناقص X تربية وهي
الجزء ودير بالك وانت بتشتغل مش هحط السلب للأربعة و
تسيب التانية يبقى السلب و بتحط الدالة بالكام اللى
بين الجزين مشان شرط السلب تدخل على term من هذه
ترميزة اللى بيسووا بعضكواو بروح بغلط الاشارة و بظل
يخبص و هداك و بتطلع اليوم ماعمش بصبوط هدا إيه نطلع
جواب طيب يبقى هذا الكلام بد يساوي تكامل من سالب
اتنين إلى سالب واحد لمن؟ للاتنين ناقص X ناقص أربعة
زائد X تربيع كله بالنسبة إلى DX من ناقص اتنين
لناقص واحداكس تربية موجبة وهي ناقص اكس ناقص اربعة
زي دي اتنين بيظل جداش ناقص اتنين كله بالنسبة الى
DX بدنا نيجي اه لسه عملنا هيك لسه في تكامل تاني
خلي ا واحد طيب خلي ا واحد ولا يهمك هذه ا واحد
خلينا ماشيين يبقى هذه ا واحد وهذه ا اتنينيبقى بدنا
نحسب هذه يبقى بصير x تكيب على 3 ناقص x تربيع على 2
ناقص 2x كله من سلب 2 لراية سلب 1عوض بالقيمة اللي
فوق يا شباب يبقى ناقص واحد تكييب اللي هو ناقص واحد
يبقى ناقص طول اللي بعدها ناقص واحد تربيع اللي هو
واحد على اتنين والناقص هذه بتظلها زي ما هي النص
هذه زائد اتنين خلصنا القيمة اللي فوق ناقص افتح قوس
هنا هذا بتعطيك ناقص تمانية على تلاتة يبقى ناقص
تمانية على تلاتة هذي بيصير اربعة على اتنين اللي هو
بيقدرش باتنين بالسالب وهي سالب اتنين هذي بيبقى
زائد اربعة يبقى زائد اربعةيبقى النتيجة كالتالت وهي
سالب طول وهي سالب نص وهي زائد اتنين وهي زائد
تمانية تلاتة وهي زائد اتنين وانا ناقص اربعطلّعلي
هذه وهذه بطل قداش سبعة على تلاتة يبقى هذه يساوي
سبعة على تلاتة وناقص نص مافيش غيره وهذه ناقص نص
بطل عندى اتنين واتنين اربعة مع الأربعة مع السلامة
يبقى هذه سالب أربع مع اتنين و مع اتنين يبقى كله
على قداش على ستة ستة على تلاتة في اتنين في سبعة
باربعتاش نقص ستة على اتنين فيها التلاتة في واحد
بتلاتة يبقى النتيجة يسوى احداشر على ستةبنروح نجيب
اتنين للمساحة الثانية يبقى تكامل من سالب واحد
لغاية اتنين الدالة اللى فوق ناقص الدالة اللى تحت
يبقى اربعة ناقص X تربية ناقص الدالة اللى تحت له
لاتنين ناقص X كله بالنسبة الى DX يبقى تكامل من
سالب واحد لغاية اتنينللمين للاربع ناقص X تربية
ناقص اتنين زائد ال X كل هذا الكلام بالنسبة إلى DX
ويساوينقص اتنين وزايد اربع بيقول قداش اتنين تكامل
من سلب واحد لاتنين لاتنين زايد X ناقص X تربيع كله
بالنسبة الى DX يبقى النتيجة 2X X تربيع على 2 ناقص
X تكيب على 3 كله من ناقص 1 لغاية 2
يبقى هذه النتيجة تساوي اتنين في اتنين باربع زائد
اربع على اتنين باتنين ناقص تمانية على تلاتة تمانية
على تلاتة ناقص يفتح جوز نعود بالقيمة هذه اللي هي
ناقص اتنين و هنا زائد نص و عندك هنا ناقص و ناقص
بيصير زائد تلتهذا بيصير ستة ناقص تمانية على تلاتة
و هنا زائد اتنين و ناقص نص ناقص تلت و يساوي اتنين
و ستة تمانية عندك ناقص تمانية على تلاتة و ناقص تلت
بناقص تسع على تلاتة يعني قداش ناقص تلاتة و بيظل
عندك هنا ناقص نصيبقى هاي اتنين وستة تمانية تمانية
بدي اشيل منهم تلاتة بضل قداش بضل اللي هو خمسة
يساوي خمسة ناطص نصف الان بدي المساحة الكليةيبقى ال
area اللي بدوا إياها A يسوى A1 زائد A2 A1 طلعناها
مداشر ب 11 عالى 6 زائد 9 عالى 2 كله عالى 6 بضل 11
زائد 6 عالى 2 ديال 3 في 9بسبعة و عشرين يبقى تمانية
و تلاتين على ستة أو تسعة و عشر على تلاتة هذه
المساحة الكلية المطلوبة
أيوة
وين وي تسوي سالب واحد؟ وي تسوي
سالب واحد، بده يجيلك هنا.
كيف؟ العملية
ليست سهلة، بده يصير عندك وي تسوي سالب أدتك، كمان
مساحة، هيك، هيك، هيكتمام؟ وبعدين تمدوا على
استقانته، فيه كمان هذه مساحة وبعدين تمدوا على هذه
وهنا كمان مساحة وتمدوا هنا وهنا كمان مساحة ان شاء
الله للعصر بنخلص اليوم
بصير ملوش قيمة، ملوش اي اعتبار، ان احنا بندور
المساحة المحصورة بين المنحنات، بتطلعش منها إلا إذا
قال لي بين X يساوي Zero و Y يساوي Zero، اه تدخل
المحاور معاه، مجاليش يبقى أنا مقيد بس بالمنحنات
اللي بنوصل عليها، غيريك مليش علاقة فيه، طبعا، طيب
هذا نمرة B من المثلة نمرة Cنمر ال C بيقول يا سيدي
X يساوي Y تربية and ال X يساوي Y زائد اتنين
يبقى بناروح نرسم المثلة مشان نعرف شو شكلها بالضبط
يبقى باجي بقول هاي المحاور هذا محور X هذا محور Y
هذا نقطة الأصل اللي هي Zero X يسوى Y تربية هو
قنابلة مفتوح جهتي اليمينيبقى هذا ال parabola لأن x
بدي يسوى 100y تربيع يبقى هذا ال x بدي يسوى y تربيع
بداية للخط المستقيم لأن لو كانت y ب0x ب2 يبقى لو
جيت قلت هاي اتنينلو كانت X بزير و Y بسالب اتنين X
بزير و Y بسالب اتنين X بزير و Y بسالب اتنين X بزير
و Y بسالب اتنين X بزير و Y بسالب اتنين X بزير و Y
بسالب اتنين X بزير و Y بسالب اتنين X بزير و Y
بسالبو بمد الخط على استقامته يبقى هذا اللي هو
تقاطع مع المنحنة يبقى المنطقة المظلة لهذه هي
المنطقة المحصورة ما بين المنحنة اللي عندنا و الخط
المستقيم يبقى الخط المستقيم هذا X يساوي Y زائد 2Y
المنحنى اللي يفوت هو X يساوي Y تربيه بالشكل اللي
عندنا
تمام طيب واضح انه لو تيجي تقوله هذه فوق هذه تحت
هنا تنتل بيصيروا جبال بعض بيصير واحد على يمين واحد
على شمال مش هتظبط معاه لكن واضح انه الخط هذا على
اليمين وهذا الجزء منه منحنى وين عليه شمال يعني
واحد جهة إيدي شمال وواحد جهة إيدياليمين إذا هنا
التكامل بيشير بالنسبة ل Y يبقى بروح بقول لو بدي
أعرف قداش أقل قيمة بتاخدها Y و قداش أكبر قيمة هنا
بتاخدها من Y يبقى معناته بدي أحل المعادلاتين هدول
مع بعضيبقى عندي y تربية بدها تساوي ال y زائدي
اتنين او ال y تربية ناقص y ناقص اتنين بده يساوي
zero وهي قوسين بده يساوي zero يبقى هنا y هنا y هنا
واحد هنا اتنين سالف موجةيبقى موجة بواي و سالب
اتنين واي بيظل سالب واي مظبوط إذا واي تسوى سالب
واحد و واي تسوى قداش اتنين يبقى النقطة هذه سالب
واحد و النقطة هذه قداش اتنينيبقى ال area اللي بدنا
ياها هي تكامل من سالب واحد لغاية مين دالية اتنين
الدالة اللي على اليمين واضح انها Y زي D2 الدالة
اللي على الشمال الييمين Y تربيع كله بالنسبة إلى
مين إلى DYالان التكامل هذا حددت حدود التكامل صح
يبقى الباقي كله بيصير شغل روتيني فقط لغاية يبقى
هذا الكلام بيصير Y تربيه على 2 زي 2Y ناقص Y تكعيب
على 3 كله من سالب 1 لغاية 2نعوض بالقيمة اللى فوق
ناقص القيمة اللى تحت يبقى بيصير اربع على اتنين
باتنين زائد اربع ناقص تمانية على تلاتة ناقص
افتحانوز هنا ناقص واحد تربية لو واحد بيبقى عندي نص
وهنا ناقص اتنين تمام وهنا ناقص واحد بيصير ناقص مع
ناقص بيصير زائد طلت بالشكل اللي عنها يبقى النتيجة
اتنين واربعة ستة ناقص تمانية على تلاتة ناقص نص
زائد اتنين ناقص طلت ويساويتمنية تمنية تمنية
تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية
تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية تمنية
هذا النوع الأول من المسائل اللي هو المساحة
المحصورة بين منحنى وخط مستقيم ممكن أن تكون المساحة
موجودة بين منحنيين وليس بين منحنى وخط مستقيم إذا
نذهب إلى المثال رقم 2
بقول find the
area of the region enclosed by
the following curves
بندى المساحة المحصورة ما بين المنحنيات القاتلة نمر
A X يساوي Y تربيع and X زائد 2Y تربيع بده يساوي
كده؟ بده يساوي 3
هذه المساحة الموجودة بين المنحنات X يساوي Y تربيع
و X زائد 2Y تربيع يساوي 3بنروح نرسم كل منحنى من
هذه المنحنيات مشان نعرف انها مكمل بالنسبة ل X و
بالنسبة ل Y و نحدد النقاط اللي هي حدود التكامل اذا
لو جيت للمنحنى الأول هذا محور X وهذا محور Y وهذا
نقطة الأصل Zالمنحدر هو X يسوى Y تربيع رسمناه قبل
قليل بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا ال X يسوى Y
تربيعالمنحنى الثانى هذا عبارة عن ايش؟ عبارة عن x
بده يساوي سالب اتنين y تربية زائد تلاتة يعني هذا
لو روحت قعدت كتابته مرة تانية بمين؟ ب x يساوي سالب
اتنين y تربية زائد تلاتة بقول واسة اتنين والتلاتة
يبقى Y تساوي X يساوي سالب Y تربيع يبقى هذا بس
بعدين اقلبه وين؟ ع الشجة التانية طيب اتنين هذه
بتخليه يقرب على المنحنى او يبعد الرقم اللي عندي
تمام التلاتة هي shift بس ان من ال shift الى اعلى
الرسم يمين وشمال اذا ال shift جهة اليمين بمقدار
تلاتةيبقى المنحنة على الإشمال هكذا و سأعمل shift
للخلف بمقدار 3 لماذا؟ لأن لو كانت Y ب0 يبقى X ب3
يبقى هذا X ب3 و Y ب0 و الparabola ستصبح بالشكل
اللي عندنا هذا هكذاطبعا يبقى هذا المنحنى اللي هو X
يساوي سالب اتنين Y تربيع زائد تلاتة اذا المنطقة
اللي بينهم هي المنطقة المضللة اللي عندنا ايوة
وشايف
المنحنى اللي عندك ولا لا حق واي بزير قداشك تكون
سمعت بالـ shift تبع الدالة لما كانت y تساوي مثلا x
سربيع او x كام يبقى shift الى اعلى اذا الرقم ل y
بصير shift جهة اليمين او جهة الشمال حسب القيمة
تبعته طيب اذا ماانت مش عارف ال shift ولا حاجة
بقوله حط ال y ب 0 وشوف x وين بتروح يبقى بنحدد
القيمة في هذه الحالة
كيف؟ المثل معطلك X يساوي Y كيف
مش مفروض؟ تلتان معروفات هي X يساوي Y تلتان بدكش حط
ل Y تساوي جدر X جدر X معروف هي جدر X الموجب وجدر X
الثاني صحيح ولا لأ؟ ماعكش خبر مش مشكلةطيب خليكم
معنا يا شباب يبقى هاي رسمنا ال X يساوي Y تربية و
المنحنة تاني X زائد 2Y تربية يساوي 3 رسمناها يبقى
المنطقة المظلة هي المنطقة بين المنحنيين واضح ان في
منحنة عندي على اليمين ومنحنة تاني وين على الشمال
يبقى انا بدي اقل قيمة بتاخدها Y اكبر قيمة هنا
بتاخدها مين
يبقى انا عند X يساوي Y تربية وعندي X التانية ناقص
اتنين Y تربية زائد تلاتة يبقى Y تربية
يساوي اتنين Y تربية زائد تلاتة يبقى Y تساوي زائد
او ناقصإذا هذه سالب واحد وهذه مين وهذه واحد يبقى
النقطة ان هذه سالب واحد والنقطة هذه واحد يبقى ال
area اللي عندنا بدأ تساوي تكمل من سالب واحد إلى
واحد الدالة اللي على اليمين اللي هي اتنين Y تربية
زائد تلاتة ناقص الدالة اللي على الشمال اللي هي مين
x يساوي y تربيع كل هذا بالنسبة لمين الى dy سالب
اتنين y تربيع زي التلاتة سالب y تربيع يبقى كأن
المسألة تكامل من سالب واحد الى واحد لمين لتلاتةنقص
ثلاثة Y تربيع كله بالنسبة الى D1 يبقى
even function ممكن اقول من الصفرلغاية كده؟ لغاية
واحدة انسى مش مشكلة فالمساحة اللى فوق واضحة انها
جد المساحة اللى تحت يعني لو خدت واحدة وضربتها في
اتنين بمشي الحال اجى فى بلد كان فيها مجاش ماعناش
مشكلة يبقى لو خلتها زى ما هو مجاش فى باقيبقول له
هذه تلاتة Y ناقص Y تكيبها تلاتة بتروح و بظل
المساحة من سالب واحد لغاية قداش واحد يبقى بده
يساوي تلاتة ناقص تلاتة هذه Y تكيبها تلاتة بتروح مع
تلاتة يبقى عند الواحد تلاتة ناقص واحد ناقصهنا بصير
ناقص تلاتة وهنا يا سيد العزيز ناقص واحد بصير زائد
واحد يبقى الجواب بيصير تلاتة ناقص واحد زائد تلاتة
كمان ناقص واحد يبقى النتيجة كم؟ أربع يبقى قيمة
المساحة تساوي أربع هذا نمر ايه من المثلة؟ نمر بيه
نمر بيبقى يبقى y تساوي x تربيع and يبقى y ناقص x
تربيع زائد 4x
هذه برضه معادلة من درجة ثانية في X يبقى هذه
Parabola وهذه كذلك Parabola بس هذه ال vertex تبعها
نقطة هذه معمولة لها إيه؟ شوف، بدي أحدد وين ال
vertex تبع هذه ال Parabola فاروح بعمل إكمال المربع
هذه قد إيش بدها مشان يصير إكمال المربع؟
يبقى هذا الكلام يصبح على الشكل التالي عندك ال Y
يسوى ناقص X تربيع زائد 4 X ناقص 4 زائد 4أو بمعنى
آخر هذه ها ها بد يصير y ناقص أربعة بد يساوي هاي
ناقص أخدناه عام المشترك بظال x تربيه ناقص أربعة x
زائد أربعة هذه الأربعة نعشج هذه هدول التلاتة أخدنا
منهم سالب عام المشترك يبقى بصير ال y ناقص أربعة
يساوي ال x ناقص اتنين لكل تربيهيبقى هذه البرابولة
و ال vertex تبعها هي بين 2 و 4 يبقى انا لو روحت
رسمت الرسمة اللي عندنا هذه فبدي بقوله هذا محور X
وهذا محور Y وهذه نقطة الأصل اللي هي Zero البرابولة
الأولى Y تساوي X تربيع يبقى Y تساوي X تربيع
البرابولة اللي عندنا هذه هيكيبقى هذه اللي هي هذه
فوق X يساوي Y تربيع هذه Y تساوي X تربيعبتدخل ال
parabola التانية ال vertex تبعها اللي هو اتنين
واربعة يبقى اتحرك اتنين هنا على اليمين وده يطالع
فوق اداش اربعة يبقى هذه النقطة اتنين واربعة طب ليش
اجت على المنحنة ولم تجت فوق او جت تحت لأن y تساوي
x تساوي اتنين لما ال x تساوي اتنين تبقى اربعة إذا
انتقى على مين على المنحنة بالضبط تماماطيب هذا ال
vertex تبع اتنين و اربعة open up ولا open down
open down بسبب الإشارة السلبية اتنين يا مربى نقطة
الاصل والله ليه يا مربى نقطة الاصل طلع المعادلة لو
حطيت x ب zero y بقدرش يبقى دي مربى نقطة الاصل غصب
من علمه يرضى يبقى ال parabola هذه بدها تيجي بالشكل
اللي عندنا هذاو من هنا فرابولة بالشكل هذا و من هنا
فرابولة بالشكل هذا يبقى الفرابولة إلى أسفل
الفرابولة
إذا المنطقة اللي بينهم هي
هذا المنطقة المظلة بين الاتنين هي المنطقة المطلوبة
ال X هتتغير من اين لين و اذا انا اريد نسبة Y من
صفر لغاية اربعة ايام طيب ايهم افضل كامل بالنسبة ل
X ولا بالنسبة ل Y انفع الشجتين بس ال X أسهل كتير
لان ال X لسه بيتحول و تاخد جذر و جثة طويلة يبقى
انا لو جيت و قلت ال area Aبدي يساوي تكامل ال X
هتتغير من صفر لين لغاية الاتنين بدي الدالة اللي
فوق الدالة اللي فوق اللي هو المنحنة اللي عندها ده
Y يساوي ناقص X تربيع زي دربيع هذه الدالة اللي فوق
وال X تربيع هي من الدالة اللي تحت يبقى لناقص X
تربيعزائد أربعة X هذه كلها ناقص ال X تربية اللي هي
الدالة التانية كلها بالنسبة إلى مين بالنسبة إلى DX
يبقى هذا الكلام بيساوي تكامل من صفر لإتنين للاربعة
X ناقص اتنين X تربية كل هذا الكلام بالنسبة إلى مين
إلى DXيبقى هذا بده يساوي اللي هو اتنين X تربية
ناقص طولتين X تكيب من صفر لغاية اتنين يبقى هنا
تمانية ناقص هنا تمانية ستاشر على تلاتة ناقص ال
zeroيبقى هذا كله على تلاتة في تمانية باربعة وإشرين
من ستاشر بيظل تمانية على تلاتة فقط لا غير يبقى لما
ترسم صح أو تحدد حدود التكمل صح، باقي الشغل كله
بيصير شغل روتيني أيضا
أنا بقولك الامتحانات اللي بخليها لك بقسمها لك، لكن
الامتحانات اللي بقسمها لك بقسمها لك، ايه نعم؟ لو
طلعت على الامتحانات السابقة، هتلاقي بعض المسائل
اللي على الموضوع هذا ما الرسمينها، ومظللينها مش
هقولك هي المساحة اللي بدنا يعني، ايوة، كده؟ الرسم
التاني، كده؟
هي رسمة قدامك
رسمة المنحنة التانية ما انتشرفش اللي سوناه مش هي
المنحنة روحت املت و اكمل المربع لغاية ما وصلت لهنا
هذه برابولة بسمعولي لو شيلت الاربعة و اتنين بصير Y
تساوي سالب X تربيع برابولة الى أسفل بس ممكن
تسمعليها زاحة لليمين و زاحة لأعلى مشان الverse X
اتنين و اربعة وبالتالي صلة بسيطة جدا طيب ال هذا
نمر بي من السؤال كان بدنا نروح لنمره C نمره C
بقولي Y تساوي X كيب and
تلاتة X تربيها ناقص Y يساوي اربعة
يبقى بنروح نرسم الرسم اللى عندنا بس قبل انا ارسمها
ها دي ها ها بقدر احطها فى الشكل الطبيعى تبعها يبقى
لو جبت ال Y على اليمين والاربعة الشمال بصير Y
يساوي تلاتة X تربية وناقص اربعة أبدا برضه هذه ال
parabola شيل الاربعة وشيل التلاتة بصير Y تساوي X
تربيةتلاتة تتجرب على محور Y سالب اربعة شفت الاصل
بمقدار اربعة اذا لو جيت رسمت الرسم اللي عندنا
الرسم بالشكل هذا هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة
الاصل اللي هي Zero طلعلي كويسة النقطة الأولى Y
تساوي X تكيب مشهور عند المنحنة ومعروف يبقى المنحنة
بده يجيلك X
يبقى هذا المنحنى Y تساوي X تكيببتجي للمنحنة لأن Y
تساوي X تربيه ال Parabola إلى أعلى تلاتة يبقى
بتجرب على محور Y سالب أربعة يبقى shift إلى أسفل
بمقدار سالب أربعة إذا لو روحت قولت هذه اللي هي
main سالب أربعة و ال parabola بتجي أرسمها يبقى ال
parabola بتاخد الشكل التالي اللي عندنا هيك و بتجي
تاخد الشكل هذا
المساحة الموجودة بين المنحنيين هي المساحة اللي
عندنا هنا
واضح أن هناك منحنى أعلى ومنحنى أسفل هذا المنحنى
الأسفل يساوي تلاتة X تربية ناقص أربعة ومنحنى
الأعلى Y تساوي X تتانية إذا هذا تكمل بالنسبة ل X
إذا بلزمني أعرف قدر أقل قيمة ل X هنا وقدر أكبر
قيمة ل X هنابتروح احل المعادلاتين مع بعض بالنسبة
لمين الى X يبقى بالدرجة اقول X تكيب يساوي تلاتة X
تربيع ناقص أربعة او X تكيب ناقص تلاتة X أُص أربعة
زائد أربعة يساوي Zero X تربيع زائد أربعة يساوي
Zeroنقدر نحللها هيك؟ نسأل الموضوع، اه يبقى هذه
معادلة من الدرجة التالتة يبقى شغل مخك مين
قالك not exist يا شاطر انت؟ هو اللي وجهك الامتعان
وقلتلنا does not exist هو اللي بقولك العلامة does
not exist نفس الإجابة
طبعا شو بيزددى؟ بدي أنزل الدرجة بتاعتها من الدرجة
التالتة للدرجة التانية اتفكرا اولا كي بتروح على ال
constant و بتشوف قواسم ال constant واحد سالب واحد
اتنين سالب اتنين اربعة سالب اربعة يبقى ان عندي ستة
قواسم واحد منهم لازم يحقق المعادلةبقول جرب الواحد
والسالب واحد انسى الموضوع تمام والله يمكن يجيبوها
لو قلت هنا واحد واربع خمس سالب تسبطش لو قلت سالب
واحد بصير سالب واحد و هدى السالب تلاته بصير سالب
اه والله سالب واحد تيجي بنفع
ماذا لو انا
انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا
اناequation one سميه لهذا ال equation one يعني
معنى هذا الكلام ان ال X نقص اتنين هو احد العوامل
للمعادلة يبقى هنا ال X نقص اتنين is a factor of
equation oneماذا يعني factor of equation one؟ يعني
لو جسمت المعادلة هذه على x نقص اتنين تقبل القسمة
بدون باقيطيب تعالى اتأكد كلامنا صحيح و الله كله
كلام اذا بتروح اقسم اللى عندنا اللى هو main x تكيب
ناقص قداش اتنين ناقص تلاتة x تربية ناقص تلاتة زائد
اربعة كله على x ناقص اتنينبعدين بقولوا x تكييب على
x فيها كده؟ x تربيه طيب x تربيه في x بx تكييب نقص
اتنين x تربيه زائد بصير نقص وهذه زائد مع سلامة
زائد اتنين x تربيه بظل سالب x تربيه زائد اربعةسالب
X تربيع على X بظال جديش سالب X سالب X تربيع زائد
2X زائد ناقص مع السلامة بظال ناقص 2X زائد جديش
أربعة الباقي من الدرجة الأولى والمقصوم عليه من
الدرجة الأولى يبقى بنواصل عملية القسمة يبقى ناقص
اتنين X على X بثالث اتنين بثالث اتنين X زائد أربعة
زائد ناقص بصير Zero فعلا هي قسمت بدون باقييبقى
مسألتي هذه هاها بصير على الشكل التالي هذا المثل
بصير أخدت x ناقص اتنين طالع النتج عندي قداش x
ترابيع ناقص xنقص اتنين كله بده يساوي قداش بده
يساوي زيرو الحين هذه بقدر احللها يبقى هذه x نقص
اتنين وهذا قص وهذا قص ويساوي زيرو x1 2 ناقص زاد
صار الجث هذا هو نفس الجث هذا يبقى صار عندي x ناقص
2 لكل تربية في x زائد واحد بده يساوي zero هذا
معناه ان x بده يساوي 2 والx بده يساوي جدال سالب
واحد إذا النقطة هذه سالب واحد والنقطة هذه 8يعني
النقطة دي لما أقول X نقص اتنين لكل تربية يعني طلعت
نفس النقطة بس إيه مكررة مرتم تمام يبقى معنا هذا
الكلام بدي أقوله ال area إيه بده سوى تكامل من عند
السلب واحد لغاية الإتنين الدالة اللي فوق هي من X
تكيمنقص الدلة التي تحتلت تلاتة X تربية ناقص أربعةY
تساوي تلاتة X تربية ناقص أربعة تلاتة X تربية ناقص
أربعة كله بالنسبة لمين إلى DX يبقى هذا الكلام
يساوي تكامل من سلب واحد لاتنين لل X تكيب ناقص
تلاتة X تربية زائد أربعة كله بالنسبة إلى DX ان
كامل يبقى X أقصى أربعة على أربعةنقص x تكيب على 3
مع 3 زائد 4x كله من ناقص 1 لغاية 2نعود بالقيمة
اللى فوق ناقص القيمة اللى تحت يبقى يساوي 16 على 4
ناقص تمانية زائد تمانية ناقص قوس هنا بصير ربع وهنا
زائد واحد وهنا ناقص أربعةهذه ستصبح تمانية و تمانية
مع السلامة هذه ستصبح أربعة ناقص ربع ناقص واحد زائد
أربعة أربعة و أربعة تمانية تمانية بدنا نشيل منها
واحد ثبال سبعة ناقص ربع يعني ستة و تلت أربع يعني
سبعة و عشرين على قداش على أربعة
المثال الأخير بيقول
example 3 find the area
enclosed
by
the
y-axis
والـ curve هو المنحنة x يساوي y ناقص واحد لكل
تربيع و ال x يساوي تلاتة ناقص ال y and ال x يساوي
اتنين جذر ال yas shown in the figure كما هو مبين
بالشكل وراح رسملي طبعا هذا سؤال في الكتاب راح
رسملي هذا الشكل اللي محصور بين هذه المنحنيات وطلب
مساحة هذا الشكل
السلام عليكم و رحمه الله
الله أكبر الله أكبر الله أكبر
قال لي اتلي مساحة المنطقة المغلقة بمحور Y يبقى
محور Y احد المنحنيات X يساوي Y ناقص واحد لكل تربيع
و X يساوي تلاتة ناقص Y و X يساوي اتنين جذر ال Y
يبقى المساحة اللي بينهم هي المساحة المظللة اللي
عندنا هذه و قال لي هنا النقطة بقى لدي الواحد تمام
طبعا الكتاب حط السؤال و رسمك الرسمة و قولك هات ليه
المساحة اللى عندنا بقوله بسيطة منحنى لو جيت قولت
اللى تحت و اللى فوق صار اللى فوق منحنيات اتنين و
اللى تحت منحنى واحد صحيح إذا ماتظبطشلو جيت اللى
علي اليمين و اللى علي الإشمال بيصيروا اتنين علي
اليمين و خط علي الإشمال و بعدين واحد فاجهي من
الخربطة هذه لكن لو جيت قلت بتهيأجسم هذا المنحنى
إلى منطقتين بالشكل اللى عندنا هذا يبقى هاي المنطقة
و
المنطقة التانيةعندما أخذ هذه المنطقة و أخذ هذه
المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد
هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و
أخد هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد هذه
المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد
هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة و أخد هذه المنطقة
يبقى انا عند هنا x يساوي y ناقص واحد لكل تربية
وعندي x يساوي تلاتة ناقص y يبقى بقدر اجيب قيمة y
بس انا لازمالي mainلازمالى قيمة X وليس قيمة Y اذا
انا هنا بقدر اقول المنحنى الاول X يساوي Y ناقص
واحد لكل تربية والمنحنى التانى X يساوي تلاتة ناقص
Yحلّيت بالنسبة ل X في الأول وحلّيت بالنسبة ل Y في
الأول، لا تفرق عننا هذي والله هذي السيان يبقى احنا
لو جينا قولنا بدي أخليها زي ما هي مثلا يبقى ال Y
ناقص واحد لكل تربية تسوى تلاتة ناقص Yأو بمعنى آخر
Y تربية ناقص اتنين Y زائد واحد يساوي تلاتة ناقص Y
ممكن نعملها معادلة صفرية بصير Y تربية هات Y هنا
بصير موجة بصير ناقص Y هات هات هنا بصير سالبتلاتة
مع واحد بيبقى سالب اتنين يساوي زيرو هذه لو روحت
حللتها كقوسين يساوي زيرو يبقى هنا Y هنا Y واحد
اتنين سالب اللي هو اتنين Y وموجة بيبقى سالب Y
مظبوط اذا انا عندي Y سالب واحد وY اتنينيبقى هنا y
يساوي سالب واحد و y تساوي اتنين يبقى انا انا حلت
الاتنين هدول مع بعض مرة بدهم يتقفع عند y تساوي
سالب واحد و مرة عند y تساوي من الاتنينإذا للإحداث
النقطة هذه بيكون جداش لإتنين هذا المنحنى لو كملته
أجه هيتقاطع مع مين؟ مع الخط عنده نقطة Y تساوي سالب
واحد إذا ماليش علاقة فيه يبقى أنا إليه علاقة في ال
Y تساوي مين؟ إتنينلو جيت أخدت Y تساوي 2 و عوضت بها
في أي من المعادلتين يبقى هذا بيعطيك ان X بيساوي
تلاتة نقص اتنين اللي هو قداش واحد إذا إحداث النقطة
هذه هو واحد و اتنين يبقى X عند هنا بقداش تساوي
واحد بالدالي النقطة اللي عندنا هذه كمان بدي أعرف
قداش القيمة بتبعتها
يبقى بدى اعرف جداش لحظاتى معناته بدى احل معادلة
المنحنى هذا مع مين مع معادلة المنحنى اللى عندنا
هذا هذا المنحنى اللى همين X بده يساوي تلاتة ناقص Y
and ال X بده يساوي اتنين جذر ال Yبقدر اقول هذه why
تساوي؟تلاتة ناقص X تلاتة ناقص X and هذه لو جيت
ربعت الطرفين بصير Y يساوي ربع ال X يبقى Y تساوي
ربع ال X تربية يبقى لو حلت الاتنين مع بعض ربع X
تربية بدها تساوي تلاتة ناقص Xأضرب كله في أربعة
بيصير عندك مين X تربية يساوي اتناشر ناقص أربعة X
يبقى هذا الكلام بيصير X تربية زائد أربعة X ناقص
اتناشر يساوي كده؟ يساوي Zeroنحلل هذا الكلام كقوسين
يساوي Zero يبقى هنا X هنا X هذي ستة في اتنين ستة
في اتنين هذي زائد و هذي نقص زائد ستة X و نقص اتنين
X يبقى زائد اربع X يبقى بناء ان عليه ال X بده
يساوي اتنين و ال X بده يساوي سالب ستةيبقى هذا
الكلام، لو كملنا المنحة، لو أجى معاه، هذا هيتقطع
عند السلف ستة، ماليش علاقة فيها، إيه اللي علاقة في
جداش؟ فيه ليتنين، يبقى بصير التكامل عندنا بهذا
الشكليبقى الآن حددت حدود التكامل، قسمت المنطقة إلى
منطقتين، إذا بقدر أحسب قداش قيمة هذه المساحة
المحصورة بين المنحنيين، فبروح بقوله الـ A to Z
تكامل من عند ال zero لغاية ال واحد من ال zero
لغاية ال واحد الدالة اللى فوق اه هذه مرتبناش هذه
بدها تصير جذر ال X بده ساوي Y ناقص واحد طبعا هحمل
ال Y السالبة
يبقى هذا معناه ان Y تساوي جذر ال X زائد واحديبقى
الدالة اللي فوق هذه Y تساوي جدر ال X زائد واحد هي
الدالة اللي فوق، يبقى جدر ال X زائد واحد ناقص
الدالة اللي تحت، هذه طلعناها كده؟رابع X تربيع يبقى
ناقص رابع X تربيع كله بالنسبة إلى DX زائد تكمل
المنطقة الثانية من واحد لغاية اتنينالدالة اللى فوق
هذى يقول انه يسوى تلاتة ناقص X تلاتة ناقص X ناقص
اللى هو ربع X تربيع يبقى ناقص ربع X تربيع كله
بالنسبة إلى DX يبقى
هذه ال area ايه تساوي من درجة التكمل الأول يبقى
هذا طول تان
زي الاكس ناقص اكس تكييب على جداش على الاطناع
الحكاية ده من عند ال zero لغاية الواحد نجي للتكامل
اللي بعده ثلاثة اكسنقص x تربيه على اتنين نقص x
تكيب على الاطمعاش كل هذا الكلام من الواحد لغاية
اتنين يبقى هذا بده يساوي تلتين زائد واحد ناقص واحد
على الاطمعاش و ال zero ال باقي كله بطير ب zeroنجي
لبعدها زائد اتنين في تلاتة بستة و هنا ناقص اتنين و
هنا ناقص تمانية على الاتماشر فيها اتنين على تلاتة
خلّصنا ال term اللي فوق ناقص ال term اللي تحت
تلاتة ناقص نص ناقص واحد على الاطمعاش هذا الكلام
يساوي كل term
هذه اتنين ع تلاتة مع سالب اتنين ع تلاتة و عندك هنا
سبعة و سالب اتنين بيضال خمسة خمسة نقص واحد ع
الاطماناسمع يا راجل ناقص ثلاثة زائد نص زائد واحد
على الاطناش ناقص واحد على اطناش وزائد واحد على
اطناش بيروح بيضل عندنا جداش اتنين و نص يبقى خمسة
على اتنين مقدار هذه المساحة، تمام؟طيب لحد هنا
انتهى ال section اللي هو خمسة ستة ويليكم أرقام
المسائل يبقى exercises خمسة ستة المسائل التالية
واحد لتسعة
وستين يعني واحد لتسعة وستين الأدومن تلاتة وسبعين
لغاية تمانية وسبعين وكذلك
من تمانية لتسعين