إذا فشلت اختبار المشتقة الثانية بنرجع لمين لاختبار
المشتقة الأولى لكن إحنا في شغلنا في الأمثلة مش
هنحاول نستخدم هذا إلا عند الضرورة ولا أظن أنه يلزم
بس بيلزم لمن لم يكن يقوم بالاستخدام و لمن لم يكن
يقوم بالاستخدام يعني في الغالب أثناء الشغل العملي
هستخدم اختبار المشتقة الأولى لمواضيع النهايات
العظمى والصغرى المعالية هستخدم اختبار المشتقة
الثانية لقياس الـconcavity لدالة ما طيب الآن وصلنا
إلى السؤال اللي إحنا بدنا إياه ضروري جدا كيف بدنا نرسم
المنحنيات مشان نجاوب على هذا السؤال بدنا نعمل اللي
هو عدة خطوات الخطوة الأولى بتقول لي ما يأتي بدنا
find the intercepts with the coordinate axes يعني
بدنا نجيب تقاطع المنحنى تبعنا مع محوري الإحداثيات
كيف بنحصل عليها؟ بحط مرة x بـ zero بجيب قيمة y بحط Y
بـ zero و بجيب قيمة X إن أمكن، إذا مش ممكن، بلاش يعني
إذا العملية شاقة أو صعبة، انسى الموضوع، اللي
السهلة، جيبها صعبة، سيبك منها يبقى الخطوة الأولى،
بدي أجيب نقاط تقاطع المنحنى مع محوري الإحداثيات
النقطة الثانية، بدي أجيب الـasymptotes إذا كانت
موجودة يعني لو كانت الـfunction العادية فيها عندي
asymptote لأ، ما عنديش الاسمتوت، يبقى مش مطالب فيهم،
يبقى أنا مطالب في الاسمتوت إذا كان عندي ده الـ
rational function فيها بسط ومقام، بدي أشوف في
عندي horizontal اسمتوت أم لا، في عندي oblique
اسمتوت أم لا، في عندي vertical اسمتوت أم لا، التي
سابقة دراستها مش في chapter تلاتة، في chapter
اتنين، مظبوط يبقى مدرس في chapter اتنين لازم أن هي
و عندها رسم في chapter أربعة النقطة التالتة بدي
أجيب المشتقة الأولى والثانية، طبعا المشتقة الأولى
منها بجيب الـ interval of increasing و الـ interval
of decreasing زي ما شوفنا في المحاضرة الماضية و
بجيب منها الـ local maximum و الـ local minimum
المشتقة الثانية بجيب منها الـ concave up و الـ
concave down لسه ما أخذناش مثال على تعيين الـ concave
up و الـ concave down لكن اتكلمنا عنها كنظرية في
المرة الماضية و كذلك من خلالها بدنا نحسب الـ
inflection point يبقى من خلال المشتقة الأولى بكون
جيبت أربعة اللي هو الـ local extremely فترات
التزايد والتناقص و الـ local extreme وهذا من وين؟ من
المشتقة الأولى خمسة بدي أجيبها من وين؟ من المشتقة
الثانية يعني ليس بضروري أجيب التنتين ورا بعض لأ
بجيب المشتقة الأولى وبعدين هيك بجيب الـ interval
increasing and decreasing و الـ local maximum و الـ
local minimum بعد هيك بروح بجيب المشتقة الثانية و
بروح بشوف الـ concavity للمنحنى و الـ reflection
points إن وجدت نقوة السلسة والاخيرة كل المعلومات
اللي جمعتها دي بتروح أستخدمها في الرسم أو هي اللي
هتسهلي عملية الرسم بدون ما أروح أعمل جدول زي ما
كنا في الثانوية حط جدول حط قيم السيناتات لقيم
الصادات أبدأ أرسم النقط و أوصل بينهم هذا كلام عفى
عليه الزمن لأ إن خلال فترات التزايد والتناقص
والـlocal maximum والـconcavity والـinfliction
points والتقاطع مع محاور الإحداثيات بتروح أرسم من
الرسمة تبعت هذه المسألة طيب لحد هنا stop انتهى
الجزء النظري تبع هذا الـsection لم يبقى إلا مجموعة
من الأمثلة لكن ضايل نقطة نظرية ببدأ أقولها لك في
حينها طبعا مش موجودة في الكتاب، لكن هي بتلزمني عند
عملية الرسم أول مثال بقول sketch the graph of the
following functions و أعطاني دالة Y تساوي X تكعيب
ناقص تلاتة X زائد تلاتة يبقى هذا منحنى من الدرجة
الثالثة لا في جسمه مطول ولا غيره يبقى أول خطوة بدي
أروح أجيب نقاط تقاطع المنحنى مع محوري الإحداثيات
إذا لو حطيت الـ X تساوي Zero بده تبقى الـ Y تساوي قد
إيش معناه هذا الكلام؟ إن النقطة Zero تلاتة lie on
the graph of الـ function F يبقى النقطة 0 3 طب لو
حطيت Y بـ 0 بصير صعب حالها يقول ليه شغال بحالي ليس
بالضرورة السهلة بيشتغلها مش السهلة بدنا إياها يبقى
انتهينا من الخطوة الأولى الخطوة الثانية جالي هتل
الـ asymptotes إن وجد هدفي الـ asymptote لو بدأ أخد
الـ limit لما الـ X تروح لما لا نهاية تطلع مع لا
نهاية أنا ما عنديش في المقام حتى أقول أخد الـ limit
لما بتروح ليمين وأبلغي يعني ما عنديش functional
function يبقى الخطوة هذه أنسى الموضوع اللي هو
الـassumption يبقى بداجي لمين للخطوة التالتة
المشتقة يبقى باجي بقوله الـ y prime يساوي تلاتة X
تربيع ناقص تلاتة يعني تلاتة في X تربيع ناقص واحد
يعني تلاتة يعني يساوي تلاتة في X ناقص واحد في X
زائد واحد تمام يبقى المشتقة زي ما ينتشر الـ
polynomial إذا معرفة for all X يبقى الـ critical
points باجيبهم فقط من خلال إنه أساوي هذه بقد إيش
بصفر انسى ما قالش لي اتلي critical لكن اللي أزمة
بالضارة بجيبها يبقى باجي بقوله بدي أشوف الإشارات
يبقى بروح بقوله بدي إشارة تلاتة في X ناقص واحد و
بقوله هذا الـ real line و هذا النقطة اللي هي main
لإن واحد بعد الواحد positive و قبلها negative يعني
لو حطيت قيم الـ X بعد الواحد زي اتنين تلاتة أربعة
بلاقي النتيجة موجبة دائما وأبدا لو حطيت قبل الواحد
زي Zero سالب واحد سالب اتنين الأخر بلاقيها سالبة
بعد ذلك بدنا نروح ناخد إشارة القوس الثاني اللي هو
X زائد واحد بياخد الـ zero تبع وين؟ عند السالب واحد
بعد السالب واحد positive و قبل السالب واحد معله
negative الآن بدي أجي أخد إشارة حاصل الضرب حاصل
الضرب اللي هو مين؟ تلاتة في x ناقص واحد في x زائد
واحد وهذا الـ real line وهذه الحدود الإقليمية اللي
عندنا لمن؟ لحاصل الضرب، يبقى هذه عند الواحد وهذه
عند السالب واحد الاثنين مضروبات في بعض ضربهم وبدي أضرب
الإشارات في بعض ضربهم يبقى هنا زائد هنا ناقص هنا
زائد يبقى في هذه الفترة كانت الدالة increasing هنا
صارت decreasing هنا رجعت increasing إذا بروح بقوله
ما يأتي
بعدين بقوله الـ F is increasing دالة تزايدية on
الفترة من سلب infinity لغاية سلب واحد and on و
كذلك على الفترة من واحد لغاية infinity الـ F is
decreasing ده تناقصية على الفترة من سالب واحد
لغاية واحد بعد هيك بدي Local Maximum و Local
Minimum بدي أخد F of سالب واحد يساوي برجع على رأس
المسألة من فوق وبعوض فيها يبقى سالب واحد تكعيب
سالب تلاتة في سالب واحد زائد تلاتة ويساوي سالب
واحد زائد تلاتة زائد تلاتة ويساوي قد إيش خمسة بعد ذلك
البداية يأخذ الـ F of واحد واحد تكعيب ناقص ثلاثة في
واحد زائد تلاتة ويساوي كم؟ واحد إذا بجي بقوله الـ F
has local maximum كم؟ خمسة at x يساوي سالب واحد and
local minimum اللي هو local minimum واحد at x
يساوي قد إيش؟ واحد إذا إنتهينا من مين؟ من الـ local
extrema ولا من الـ increasing و الـ decreasing؟ بيجي
بعد ذلك الـ concavity و الـ inflection points وهذا
يعتبر أول مثال على الـ concavity و الـ inflection
points إذا بدي أجي على مين؟ على المشتقة الأولى
اللي عندنا، شو بدي أعملها؟ بدي أجيب المشتقة
الثانية، إذا بروح باخد الـ F بابلي برايم of X اللي
بيجداش؟ ستة X والتلاتة مع السلامة يبقى هذه بدها
تساوي Zero only at X يساوي جداش Zero إذن احتمالي
الـ Zero هذه تبقى Inflection Point فيه احتمال الله
أعلم قد يكون وقد لا يكون، تمام؟ إذا بدنا نروح
ندرس إشارة اللي هو الـ 6X ما عنديش غيرها هذه الـ zero
بتاخد الـ zero لو جيت بعد الـ zero القيمة هذه مالها
موجبة يبقى هذه موجبة لو جيت قبل الـ zero يعني
المشتقة الثانية سالبة بقى يبقى المنحنى concave
down الثانية موجبة يبقى المنحنى concave up تمام؟
إذا بروح بقول ما يأتي
طبعا الدالة polynomial فهي متصلة على كل real line
بلا استثناء
is concave down on من سلب infinity لغاية zero and
concave up on الفترة من zero لغاية infinity الدالة
معرفة عند الـ Zero يبقى مجال معرفة يعني الدالة
متصلة عند الـ Zero والدالة غيرت اتجاه الـ Concavity
إذا في Inflection point يبقى الـ F is continuous
for all X معناته إنها كون الـ F is continuous at x
يساوي زيرو and
الـ F it change its concavity at
هنا بده يعطينا there is an inflection point
تلاتة هذا معناه زيرو وتلاتة is an inflection
point طيب
تمام خلصنا
المغنقة في حالة الـ increasing و الـ decreasing قلنا
فقط إذا المشتق أكبر من zero على الـ open interval
يبقى increasing أو decreasing على الـ closed
interval بس في الـ concurrent انسى الموضوع بس باخد
الفترة لأن عند هذه النقطة بصير انقلاب ما بقدر
تعتبرها مع الأولى ولا بتقدر تعتبرها مع مين؟ مع
الثانية طيب هيك إحنا جبنا كل المعلومات من خلال هذه
المعلومات بدنا نروح نرسم الرسمة فبجي بقول هذه
المحاور اللي عندنا هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي Zero عندما ترسم أول خطوة ترسمها هي
الاسمتوتز، لو ما عنديش اسمتوتز، يبقى ثاني الخطوة
بدور على الـ local maximum و الـ local minimum، يبقى
إحنا عندنا local maximum خمسة يعني عندي السلب
واحد وخمسة، وين السلب واحد؟ يبقى باجي بقول له هي
النقطة، هي السلب واحد وبدأ أطلع خمسة، يبقى هذه
السلب واحد وخمسة، يبقى فيها عندي local maximum،
هاي حاطط جوس local maximum في عندي local minimum
عنده نقطة واحد وواحد يبقى باجي النقطة هي النقطة
واحد وهي النقطة الثانية اللي هنا واحد يبقى هذه
واحد وواحد عند local minimum بالشكل اللي عندنا هذا
بعد هيك تعاليش بيقول لي بيقول لي إن الـ F
دل تزايدية من سالب infinity لغاية سالب واحد من
سالب infinity لغاية سالب واحد يبقى دل تزايدية يبقى
المعناته بيجي من تحتنا وضل طالع لغايتها، يبقى
المنحنى هذا بيجيني بالشكل هذا هاي وهيك، دلتة
زيودية، تمام؟ جالي من سالب واحد إلى واحد،
decreasing يبقى الدالة تناقصية، إذا المنحنى هيجيني
هكذا، بالضبط تماما. وبعد ذلك، جالي من واحد إلى
انفينيتي، الدالة كمان تزايدية، يبقى الدالة بتبقى
طالعة إلى ما
الفرحان Y تساوي هذا سؤال اتنين Y تساوي واحد زائد X
تربيع على واحد ناقص X تربيع السؤال
هو هل الدالة معرفة عند الواحد والسالب واحد؟ يبقى
هدول مش هيظهرولي أثناء الرسم يبقى هنا بقوله هذه ال
X ممنوعة تساوي واحد والـ X ممنوعة تساوي سالب واحد
لإن عند هذين الدالة is undefined غير معرفة
طيب بدنا نبدأ نجيب تقاطعاتها مع محوري الإحداثيات
يبقى بدي أجي أخد أنه لو كانت الـ X تساوي Zero ثم Y
تساوي كده؟ واحد
يبقى الـ Y هو اللي بتساوي 0 واحد زي الـ X تربيع ممكن
تساوي 0 يبقى has no solution لا يمكن لمجموعة
كميتين موجبتين أن يساوي صفرا وبالتالي انسى الموضوع
يبقى هاي جبت النقطة هذه واحدة فقط اللي هو 01 on
the graph يبقى هذه النقطة تقع وين تقع على الملحنة
طيب نبدأ الآن نشغل شغلنا في الاشتقاق لكن قلت لك
المرة الماضية إذا عندك دالة numerator و دالة مقام و
درجة الـ numerator أكبر من أو تساوي المقام يبقى أول خطوة
نفضل نعملها قسمة مطولة إذا بيدوّح أجسم الـ X تربيع
زائد واحد على مين؟ على ناقص X تربيع زائد واحد طبعا
أي واحد ناقص X تربيع أنا ناقص X تربيع زي واحد X
تربيع على ناقص X تربيع فيها كم؟ ناقص واحد بيبقى في
سالب X تربيع X تربيع وهنا كم؟ سالب واحد هذه موجبة
بيصير سالبة وهذه بيصير موجبة بيبقى لدي كم؟ إذا صرت
الدالة Y تساوي سالب واحد زائد اتنين على واحد ناقص
X تربيع أو ممكن تحطها على الشكل التالي زائد اتنين
هذه الفرق بين المربعين واحد ناقص X في واحد زائد X
يبقى هي حطيناها بالشكل اللي عندنا هذا يبقى بعد ما
جيبنا النقاط التقاطع أو نقطة التقاطع مع محاور
الإحداثية الـ (0,1) بدأ أجيب من المشتقة الأولى أو
قبلها بدأ أجيب من الـ Asymptotes يبقى باجي بقوله
في عندي Obligate asymptote؟ لأ لإن درجة البسط
درجة المقام ماهياش أعلى منها بمقدار واحد يبقى بتروح
أدور وين؟ على الـ horizontal يبقى بدي أخد limit للـ Y
لما الـ X بدها تروح لزائد أو ناقص infinity أي من
التنتين يبقى هذا الكلام بدي يساوي limit لما الـ X
بدي تروح لزائد أو ناقص infinity طبعا هتحطيني نفس
النتيجة من البسط polynomial والمقام polynomial
يبقى واحد زائد X تربيع على واحد ناقص X تربيع بروح
نقسم كله من البسط والمقام على يبقى X تربيع يبقى هذا
الكلام limit لما الـ X بده يروح لزائد أو ناقص
infinity لواحد على X تربيع زائد واحد واحد على X
تربيع ناقص واحد يبقى النتيجة كده؟ سالب واحد طبعا
هذا بالزيرو وهذا بالزيرو يبقى كده؟ يبقى سالب واحد
يبقى كذلك Y تساوي سالب واحد is a horizontal
asymptote
تمام تمام
الرقم اللي يجعل المقام يساوي 0 إذا احتمال X يساوي
واحد وكذلك X يساوي سالب واحد هذين يكونوا Vertical
Asymptotes إذا بتروح أخد limit لما الـ X بده يساوي
بده تروح لسالب واحد مثلا من جهة اليمين اليمين لل
function اللي عندنا هذه اليمين سالب واحد زائد اتنين
على واحد ناقص x في واحد زائد x هو يساوي المقدار
الثابت هذا مالوش دعوة وهذا زائد اتنين على احنا
رايحين اللي يسلب واحد من جهات اليمين تمام؟ إذا هذا
هذا ماعندوش مشكلة في هذه الحالة، يبقى هذا بظل واحد
سالب سالب واحد، مصبوط؟ يبقى هذا بصير واحد زائد
واحد، لما أروحلي سالب واحد من جهة اليمين يعني أكبر
من سالب واحد يعني سالب تسعة من عشرة مثلا إذا هذا
بيبقى very small positive يبقى very small positive
quantity هذا بيقدّش بصغير
بينفينيتي يبقى سالب واحد زائد انفينيتي بقدّاش
بينفينيتي يبقى بناء عليه الـ X يساوي سالب واحد is a
vertical asymptote وليس بالضرورة انك تروح تحسبها
من وين؟ من عندي الشمال احنا نقول هادي أو هادي سيال
ليس بدنا نروح نحسب الاتنين إذا لو روحت أخدت limit
لما الـ X بدأ تروح للواحد مثلا من جهة الشمال اللي
هي النقطة التانية معناها تخلصنا من السالب واحد بدأ
نروح لمن؟ للواحد لمن؟ لسالب واحد زائد اتنين على
واحد ناقص X في واحد زائد X يبقى هذا الكلام يساوي
سالب واحد زائد اتنين على. احنا رايحين للواحد من جهة
الشمال. من جهة الشمال يعني اقل من واحد بكثير. يبقى
القوس هذا very small positive. يبقى هذا very small
positive quantity. تمام؟
وهذا واحد زائد واحد طيب، لاحظ في الحالة الأولى لما
قلنا سالب واحد من جهة اليمين سالب واحد من جهة
اليمين يعني سالب تسعة من عشرة لما جهتها الجثة ده
سالب تسعة بقال very small positive وهذا صار سالب
واحد وهنا واحد يعني سالب سالب واحد صار موجب بواحد
وبالتالي أتتني من نفس النتيجة يبقى هذه أتتني سالب
واحد زائد infinity اللي هو infinity معناته الخطين
اللي اتنين هدول are vertical asymptotes يبقى الـ X
يساوي سالب واحد and الـ X بده يساوي واحد are two
vertical asymptotes
يبقى خلاصنا قصة الـ Asymptotes، بدنا نروح لمين
الآن؟ للاشتقاق، يبقى بالدليل الـY'Y أساوي
ممكن نشتق من هذه أو من هذه تماما، لكن لو
نشتقّ منها، ده أسهل شوية، مصبوط؟ يعني هذه كأنها
مشتقة السالب واحد مع السلامة، وبضالي اتنين مالكش
دعوة، وهذا السالب واحد على المقدار تربيع، واحد على
واحد ناقص X تربيع الكل تربيع في مشتقة مداخل القوس
وجدّاش سالب اتنين X، مظبوط؟ يبقى النتيجة صارت أربع
X على واحد ناقص X تربيع لكل تربيع هذه لو سويتها
بالـ Zero معناته ان X تساوي قدّاش؟ يبقى هذا بده يعطيلك
أن X أو خلاص مش لازم ان هذي Critical Points قد
تكون Local Maximum أو قد تكون Local Minimum إذا
بدنا نروح نبحث الإشارات نبحث الإشارات هذه لو روحت
قلت لك أربعة X على واحد ناقص X في واحد زائد X لكل
تربيع يبقى هذه تربيع وهذه إيه؟ تربيع إذا بدي أروح
أخد إشارة الأربعة X وهذا اللي يا الله إني بتاخد الـ
zero تبعها وين؟ عند الـ zero بعد الـ zero positive
وقبل الـ zero إيه؟ نقات، نجي نأخذ إشارة واحد ناقص X
لكل تربيع، إذا أخذت Zero تبعها وين؟ عند الواحد،
بعد الواحد positive، وقبل الواحد positive لأنها
كمية مربعة لكن لو ماكنتش تربيع لأصبحت بعد الواحد
سالب وقبل الواحد موجب تمام؟ طيب يبقى بدّاجي أخد
إشارة الواحد زائد x لكل تربيع تاخد الـ zero تباعها
وين؟ عند السالب واحد بعده برضه positive وجاب له
positive لأن كمية مربعة بدي أخد إشارة الآن اللي هو
أربعة X على واحد ناقص X الكل تربيع واحد زائد X
الكل تربيع ونيجي نحدد الحدود الإقليمية
الأولى positive والثانية negative والثالثة negative
والرابعة negative يبقى الدالة كانت نازلة وظلت نازلة
وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت
نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة
وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت
نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظل
الفترة من عند السالب infinity لغاية قدّاش؟ سالب واحد
as an open interval لأن عند السالب واحد الدالة مش
معرفة حط معاها اتحاد سالب واحد وzero وبدنا نقفلها
من عند الـ zero لأن ده اللي عندها معرفة بعد هيك الـ
if is increasing ده اللي تنقصيه على الفترة من عند
الـ zero لغاية الواحد عند الواحد مش معرفة اتحاد
الواحد و infinity طيب في عندي local maximum هل يوجد
local maximum؟ الله يبعث لك الله يقول ماعنديش إلا
local minimum وين؟ عند zero عند zero حسبناها عند
zero طلعت واي بقدّاش؟ واحد يبقى باجي بقوله الـ F
has local minimum واحد at x يساوي زيرو وانتهينا منها
.الآن الـ increase والـ decrease اللي خلصنا منه
يبقى بدنا نروح لمين؟ للمشتقة الثانية. واين المشتقة
اللي اشتقناها احنا اصلا؟ اللي هي هذه. مصبوط؟ اللي هي
اللي بدّي أروح اشتغل هذه بتطلع روحي، بس هذه أسهل كتير
. مصبوط؟ يبقى بدي أروح أجيبله المشتقة الثانية من
هذه هيها. هذا الجذر اللي بده أخذه هو المشتق اللي
هو اللي بده أجيبه هو المشتق الثاني يبقى باجي بقوله
يبقى الـ Y double prime يبقى المقام أي تربيع؟ في مشتقة
البسط اللي هو باربع ناقص البسط في مشتقة المقام
الأس في القوس مرفوع لنفس الأس مطروح من واحد في
مشتقة مداخل القوس يبقى هذه المقام في مشتقة البسط
ناقص البسط في مشتقة المقام الأس في القوس مرفوع
لنفس الأس مطروح منه واحد في مشتقة مداخل القوس كل
هذا maximum على واحد ناقص X تربيع لكل أس أربعة طيب
تعال نشوف كيف بدأت أصف هذه
إذا بقدر أخد اتنين في اتنين كمان بأربع عامل مشترك
يعني بقدر أخد أربعة في واحد ناقص X تربيع عامل
مشترك كدهش مضال لإن هنا واحد ناقص X تربيع فقط،
نيجي هنا الجذر هذا راح والأربعة دي راحت ضل سالب في
سالب موجب وعندك X تربيع، يبقى ضل عند هنا موجب أربع
X تربيع مظبوط هيك؟ هذه الأربعة عادي برا بقال عندك
اتنين في اتنين بأربع X في X ب X تربيع والسالب
في سالب بموجب تمام؟ كل هذا على مين؟ على واحد ناقص
X تربيع لكل قوس أربعة أظن الجذر هذا بيروح مع
الأربعة اللي تحت هذه وبالتالي بتصفى المسألة إلى
أربعة في مين؟ في واحد زائد ثلاثة X تربيع على واحد
ناقص X تربيع الكل تكعيب طيب تمام هذه لو سويتها بال
zero بتجيب لي نتيجة Has no solution يبقى الآن لو قلت
له yw prime يساوي أربعة في واحد زائد ثلاثة x تربيع
على مين؟ على واحد ناقص x الكل تكعيب واحد زائد x الكل
تكعيب هذه تساوي zero has no solution بتجيب ليش ولا
قيمة ليش؟ لأن لا يمكن لمجموعة كميتين موجبتين
انها تساوي Zero يبقى هذه مالهاش حل بالبلد هيك لو
سويتها بالـ Zero يبقى تصير ثلاثة X تربيع زائد واحد
يساوي Zero يبقى ثلاثة X تربيع يساوي سالب واحد هل
يُعقل كمية مربعة تساوي قيمة سالبة؟ يبقى هذه لا حلول
على الريال في الـ complex ماشي إلا حل بس في
الريال عندنا مالهاش حل تماما هل الـ X يساوي سالب
واحد والـ X يساوي واحد ممكن يكون inflection point؟
لأنها غير معرفة عندهم يبقى معناها خليني أدرس
الإشارات اللي عندنا ونشوف لون بدنا نوصل يبقى أنا
أو because دوري because ال
F is not continuous
مع الاكس يساوي سالب واحد عند الاكس يساوي واحد
مشان نرسم يبقى احنا عندنا y تساوي سالب واحد
horizontal واحد و سالب واحد اللي هو ال vertical
asymptotes وعند المنحنية مرضه نقطة zero واحد
خلّي بالك هنا قبل
قليل في السؤال اللي جابله أول شغلة بنفسه من ال
asymptotes يبقى أنا عند ال asymptote ال X يساوي
واحد و سالب واحد يبقى لو روحت قلت هذا الخط الرأسي
اللي هو من ال X يساوي واحد وجيت من الناحية التانية
وعلى نفس البعد وقلت هذا ال X يساوي سالب واحد فيه
كمان horizontal asymptote Y يساوي سالب واحد يبقى
هناك هذا الخط المنقط ل Y تساوي سالب واحد يبقى
هدول ال asymptotes اللي عندنا بعد هيك جال لي في
عندي local minimum عند ال zero والواحد يبقى عند ال
zero والواحد في عندي local minimum يبقى المنحنة
هيكون مفتوح إلى أعلى بهذا الشكل غير هيك انسى طيب هي
عندنا النقطة سالب واحد وهي عندنا النقطة واحد من
سالب واحد إلى زيرو هل الدالة تزايدية ولا تناقصية
يبقى من سالب واحد إلى زيرو الدالة decreasing طيب
تناقصية وهذا ال asymptote إذا بتبقى نازلة مع مين؟
مع ال asymptote جاية مع ال asymptote منفر وأجت
نازلة بهذا الشكل من Zero لواحد ما لها increasing
يبقى increasing و بتيجي تطلع مع ال asymptote بهذا
الشكل طيب نجي نكمل الآن لو جيت من سالب infinity
لغاية سالب واحد من سالب infinity لسالب واحد
decreasing الدالة تناقصية تناقصية بس أنا مش عارف
هل هي فوق ولا تحت مشان أعرف فوق ولا تحت بروح أنا
بحسبها مثلا عندي سالب اثنين أشوف أين تجي عند السلم
هل فوق إذا فوق بيكون خلاص أنت هنا من الجسر تحت
يبقى أنت هنا يبقى بتروح أشيبله F في جداش وسالب
اثنين يبقى بد ال F of سالب اثنين يبقى واحد ناقص
اثنين لكل تربيع زائد اثنين لكل تربيع على واحد ناقص
ناقص اثنين لكل تربيع مش هذي مثلة ايه ال canon يبقى
هذا الكلام بده يساوي واحد زائد أربعة على واحد ناقص
أربعة يبقى الجواب يساوي الناقص خمسة على ثلاثة يبقى خمسة
على ثلاثة والسالب واحد وثلثين طيب هي السالب واحد
عندنا يبقى بدي أنزل كمان شوية يبقى بتجيلك النقطة
اللي هي عندنا هذه تمام؟ جالي هذا على هذه الفترة
decreasing، الدالة تناقصية، خلي بالك هنا، ممكن
أقول decreasing هك؟ صح؟ وممكن أقول decreasing هك؟
أريد أن أعرف من هؤلاء هؤلاء هو الـ Concave Up وهو
الـ Concave Down فأنا أرى الـ Concave على الفترة
من سالب Infinity لسالب واحد يبقى من سالب Infinity
لسالب واحد Concave Down فأنا أريد أن تكون الرسمة
من؟ اللي عندنا بالشكل هذا فأنا أريد أن تأتي الرسمة
مع الـ Asymptotic بالشكل هذا وتمشي مع الاسمتوت
التاني بهذا الشكل تمام؟
طيب، الآن بدي أجي للجزء الثاني من الرسمة، بدي أشوف
بعد الواحد زي اثنين، شو بدي يكون شكل الدالة؟ يبقى
خمسة على جداش، خمسة على ثلاثة بس
Concave تعلّي عليها من واحد إلى انفينيتي وبعد من
واحد إلى انفينيتي اللي هو اللي جافه به is concave
down على الفترة هذه وكذلك على الفترة اللي عندنا
هذه يبقى concave down لو روحت حصها بده تيجي النقطة
تحت وبالتالي بده يجيك المنحنة بالشكل اللي أنا معه
ال asymptote ماشي بهذا الشكل يبقى هي الرسمة اللي
أنا طبعا لو جيت حسبتها هتعطيك نفس النتيجة اللي
عندك هذه يعني لو جينا قولنا ال F of 2 هتلاقيها
كمان ناقص خمسة على ثلاثة وبالتالي المنحنة صار أن
كله تحت بهذا الشكل من
هنا نعطي تعريف جديد اللي وعدناكوا فيه قبل قليل
Definition آه آه هذا كان في الكتاب في الطابعة
التاسعة بس في الطابعة العاشرة مش موجود لكن هنعطيه
عليها رسومات موجودة في التمرين بنعطيك يام عشان نشوف
كيف بنعمل الرسومات هذه the graph of the continuous
function y تساوي f of x has a cusp على x
بديو ساوي C if the concavity is
the same on
both sides
of C and either اما
النقطة الأولى اللي هو ال limit للـ F prime of X لما
الـ X بده يروح الى C من جهة الشمال بده يساوي
Infinity and limit لل F prime of X لما الـ X بده
يروح لـ C من جهة اليمين بده يساوي سالب Infinity or
نقطة ثانية limit لما ال X بده يروح ل C من جهة
الشمال لل F prime of X بده يساوي سالب infinity and
limit لما ال X بده يروح ل C من جهة اليمين لل F
prime of X يساوي infinity
طبعا لو روحنا ورسمنا الرسم هذه نقول بالشكل ان هذا
هذا محور X هذا محور Y هذه النقطة اللي هي Zero ممكن
المنحنة يجيلك بالشكل اللي عندك هذا
يبقى طبعا هنا بيكون الكاسب وهنا هذه النقطة اللي
عندنا اللي هو نقطة C وهنا ال limit لل F prime of X
لما ال X بدها تروح الى C من جهة الشمال بده يساوي
infinity وهنا ال limit لل F prime of X لما ال X بده
يروح ل C من جهة اليمين بدها تساوي سالب infinity أو
ممكن يكون بالشكل اللي عندك هذا محور X وهذا Y وهذا
Zero منحنا جالك كيك ورجع طالع هيك يبقى هذه النقطة
اللي هي C هنا ال limit لل F prime of X لما ال X بده
يروح ل C من جهة الشمال يساوي سالب Infinity أو هنا
ال limit لل F prime of X لما ال X بده يروح ل C من
جهة اليمين بده يساوي من؟ بده يساوي Infinity وهذا
كمان هنا اللي هو الكاسب
نعود للتعريف اللي قبل أن نأخذ مثال على ذلك التعريف
يقول الـ graph of the continuous function يبقى
الشرط الأساسي أن تبقى ده اللي متصل أو Y to the
power of X لديه كسب وعند X يساوي C if the
concavity is the same in both sides of C and يبقى
دالة دالة متصلة على طرفين النقطة المنحنة يا
إما concave up يا إما concave down طلع لهنا هذا
الفرع مفتوح لوين وهذا مفتوح لوين إلى أعلى يبقى هنا
على طرفين نقطة C مفتوح إلى أعلى أو عند النقطة C
الفرع مفتوح لوين إلى أسفل وهذا مفتوح لوين إلى أسفل
يبقى عند طرفين الكاصب الدالة متصلة وعند الطرفين
الدالة إما concave up أو concave down يبقى هذه
الشرطين الثالث لو روحت أخدت limit للمشتقة عند نقطة
الكاصب لما روحلها من طرف الشمال يا إما هتعطيني
infinity، يا إما هتعطيني السالب infinity، بتفرقش
عنا، تطلع في الحالة الأولى أعطبطني infinity
بالموجب، ليش؟ لأن الدالة دالة تزايدية، تمام؟ إذا
المشتقة بتبقى أكبر من ال zero، يبقى ال limit تبعها
بتعطيني infinity في الحالة هذه للجزء الثاني بيكون
ال limit لما تذهب إلى C من جهة اليمين بتبقى ال F
from تناقصية فتعطي من السالب infinity أو في البداية
ممكن تبقى تناقصية تعطي من السالب infinity والثانية
تزايدية تعطي من ال infinity يعني بمعنى آخر بعد ما
ألاقي على طرفين نقطة لها نفس ال concavity بتروح أخد
limit ال F prime لما ال X بده تروح ل C من جهة
الشمال إن طلعت من جهة الشمال بده تساوي ال infinity
لازم تطلع من جهة اليمين جداش سالب infinity وإن
طلعت من جهة الشمال بسالب infinity لازم تطلع من جهة
اليمين يعني أنا بتساوي أربعة limits ولا اثنين؟ اثنين
فقط لا غير، لأنه قال لي هذه or، يا إما الحالة
الأولى يا إما من الحالة الثانية، يبقى درجات
ال concavity على الشجتين نفس الشيء مفتوحة إلى أعلى أو
مفتوحة إلى أسفل بروح باخد ال limit للمشتقة لما ال
X بدها تروح إلى C من جهة الشمال لجاتها infinity
إذا من جهة اليمين بسالب infinity لجاتها من جهة
الشمال بسالب infinity إذا من جهة يعني واحدة منهم بس
يا إما الحالة الأولى يا إما الحالة الثانية وهيها
قدامك على الرسم والآن هنثبتلك هذه المعلومة بمثال
يبقى بداجي أخد example ثلاثة بقول
sketch the graph
F of X يساوي X أس ثلثين X أس ثلثين X ناقص خمسة
يبقى مضاجي كعدد ما أنا ما بعرفش لكسب ولا غيره أنا
بدي أخد مثال وبدي أحل زي ما كنت بحل في المثالين
السابقين هذه الدالة بقدر أكتبها على الشكل التالي X
أس ثلاثة على اثنين؟ ناقص خمسة X أس ثلثين الآن لو كانت ال X
تساوي زيرو then كده ال Y؟ ساوي زيرو طيب لو كانت ال
Y تساوي 0 then بصير X أس ثلثين فاهمين في X ناقص
خمسة تساوي Zero هذا بده يعطيلك ان X يساوي Zero و X
يساوي قداش خمسة معناته أنا من الحالتين بجيب ثلاث
نقط ولا اثنين بس يا راجي قولوا غير اطلعوا فيها كويس
اثنين لأن الحالة الأولى هي الحالة الثانية هذه يبقى
هنا the points النقاط Zero و Zero
بعد ذلك بدي أدي الخطوة اللي بعدها فيه عندي
asymptote هنا أه ماعنديش ماعندي بصيغة وبمقام يبقى
انسى قصة الاسم تت يبقى بناء عليه بدي أروح أجيب له
ال F prime of X مباشرة يبقى خمسة على ثلاثة X أس
ثلثين ناقص عشرة على ثلاثة X أس سالب ثلث أو خمسة X
أس ثلثين على ثلاثة ناقص عشرة على ثلاثة X أس ثلث أو
لو حطيت المقامات للكل ثلاثة X أس ثلث بصير أن هنا
خمسة X ناقص عشرة أو خمسة X ناقص اثنين على ثلاثة X
أس ثلث
احنا ايش كتبناها؟ صفر وخمسة وصفر صفر، أه الثانية
عند X تساوي، أه خمسة وصفر ثانية خمسة وزيرو، مظبوط
كلامك صحيح، تحصل فحسن العائلات عادي جدا، أه نعم
قال صلى الله عليه وسلم رفعن أمتي الخطأ والنسيان
وما استكره عليه نرجع ثاني يبقى بتروح تشوف إشارة كل
term من هذه ال termات يبقى بتروح تأخد إشارة اللي هو
من خمسة في X ناقص اثنين بتاخد ال zero تبعها وين عند
اثنين بعد اثنين positive وقبلها negative طبعا ال
domain تبع الدومين يا شباب
كله بالاستثناء كل الريال يبقى ما عندي مشكلة في هذه
الحالة بروح بقوله بدي آخد إشارة ثلاثة X و أس ثلث
وهذا الريال اللي هي اللي بتاخد ال zero تبعها وهي
عند ال Zero بعد ال Zero positive وقبلها negative
بالدالي أخد إشارة خمسة في X ناقص اثنين على ثلاثة
X وثلث وهذا ال real line ونحدد الحدود الإقليمية
ومنها نحدد main نحدد الإشارات هي Zero هي اثنين
مجسمات على بعض قسمة يبقى موجب على موجب بموجب سالب 5
إذا بدي أروح أشوف إشارة هذا المقدار يبقى بدي أروح أخد
إشارة عشرة في X زائد واحد بتاخد الصفر تبعها وين؟
عند السالب واحد بعد السالب واحد موجبة وقبل السالب
واحد سالبة، بدي ياخد إشارة المقدار تسعة اكس أس أربعة
على تلاتة وهذا اللي بتاخد الصفر تبعها وين؟ عند
الصفر يبقى بعد الصفر موجب وقبل الصفر سالب
التالت لـ X أس أربعة سالب ولا موجب؟ موجب سالب يبقى
كله موجب يمين الصفر وشمال الصفر تمام؟ يبقى
بدي أجي أخد إشارة المقدار عشرة X زائد واحد على تسعة
X أس أربعة على تلاتة هذا الـ real line وهذه الحدود
الإقليمية لأنها سالب واحد وهذه positive وهذه كمان
positive وهذه negative يبقى concave down, concave
up, concave up يبقى عند السالب واحد فقط هو الـ
inflection point لأن الدالة دالة متصلة وعند السالب
واحد الدالة معرفة وغيرت اتجاه من الـ concavity يبقى
بدي أروح أجيب له الـ F of سالب واحد، بدي ارجع لوين
لرأس المثل، هيبقى سالب واحد أس اثنين في سالب واحد
سالب خمسة هذا الجذر التالت لـ-1 تربيع اللي هو بواحد
يبقى الجواب جداش سالب ستة يبقى الـ F has an
inflection point اللي إحداثياته تبعها اللي هو سالب
واحد وسالب ستة حددت الـ inflection point اه ما قلناش
الـ concave طيب يلا الـ if أو the graph of if is
concave down on من سالب infinity لغاية سالب واحد
and ما فيش غيرها
and concave up on سالب واحد وصفر اتحاد صفر و
infinity طيب،
إذا عند الصفر، في احتمال يكون في عندي كسَب، مش
عارف، بقول لك أبداً الدالة عند Zero دالة متصلة، اثنين
الدالة ما غيّرتش اتجاه الـ concavity على يميني الصفر
وعلى شمالي الصفر إذا عشان أتأكد إنه في عندي كسَب
مطلوب إيجاد limit للمشتقة عند الـ X بدأت تروح لـ
Zero من اليمين أو من الشمال طيب إذا بدي أروح أخد الـ
F' موجودة عندنا اه هي موجودة هي وين هي؟ يبقى بدي
أخذ limit للـ F prime of X لما الـ X بدها تروح لـ Zero
من جهة الشمال يبقى هذه الـ limit لما الـ X بدها تروح
لـ Zero من جهة الشمال لخمسة في X ناقص اثنين على
تلاتة X أس تلاتة يساوي خمسة على تلاتة ما لهاش دورة
وهذه لما الـ X بدها تروح لـ Zero من جهة الشمال يبقى
البسط بضل قداش ناقص اثنين، Zero من جهة الشمال
معناته very small negative يبقى very small نجاتيف
اييه quantity تمام، نجاتيف على نجاتيف ايش بيصير
positive يبقى جداش
بتروح تاخد limit للـ F prime of X لما الـ X بده يروح
لـ 0 من جهة اليمين يبقى limit لما الـ X بده يروح لـ 0
من جهة اليمين X ناقص اثنين على تلاتة X أس تلاتة
على تلاتة ما لهاش دور وهذا بيبقى ناقص اثنين على Zero
من جهة اليمين يعني very small positive quantity
يبقى النتيجة ده قداش بتساوي يبقى من الاثنين هدول
ونفس الـ concavity على يمين الصفر هذا بده يعطيك
ان هناك كسَب at x يساوي Zero اظن هيك احنا خلصنا مش
ضايق إلا الرسم مش هيك يبقى بدنا نشيل المشتقة هذه
هيك وهذه معاها ونيجي نرسم رسمتنا خلي
بالأعلى كده يبقى هي المحاور
هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل اللي هي
Zero، الـ symptom ما عندناش تمام يبقى أول شغلة بنرسم الـ
local maximum والـ local minimum عند local maximum
وين عند الـ Zero يبقى Zero واتنين عند Zero فيه كسَب
يبقى بالدرسية الرأس مدبب بالشكل اللي عندنا هنا بعد
ذلك إذا كان عندنا local minimum عند x يساوي 2 له
سالب 4 و6 من 10 يبقى عند x يساوي 2 هذا واحد وهذا
اثنين بدي أنزل لسالب يبقى هذا اثنين وسالب 4 و6
من 10 وبدي أصبح المنحنى إلى أعلى طيب تمام الآن بدي
أجي من سالب infinity لغاية الـ zero بدي أشوف هل هي
increasing اه من سالب infinity لغاية الـ zero
increasing اه يبقى هذه كلها بيبقى increasing بس
ايش عندي في عندي inflection point وين عندي السالب
واحد وسالب ستة وين السالب واحد؟ هاي سالب واحد وبدي
أنزل سالب ستة هنا يجي هذه السالب واحد وسالب ستة
جاب لي السالب واحد جاب لي السالب واحد بدي أشوف
الـ concavity يبقى من سالب infinity لسالب واحد
concave down يبقى المنحنى كان concave down الشكل
اللي عندنا هذا تمام؟ ومن عند السالب واحد لغاية
الستة concave up
يبقى concave up بالشكل اللي عندنا هنا يبقى النقطة
هذه صارت inflection
point للنقطة اللي عندنا قبلها concave down بعدها
concave up بعدها الآن من zero لـ infinity concave
up وين راح تكون curve up من zero كذلك لوين لغاية
infinity مدام من zero infinity تكون curve up يبقى
هذا بدي يظل نازل هيك وهذا بدي يظل طالع إلى ما شاء
الله لكن جالي في نقطة تقاطع طلعناها قداش؟ هذه اظن
كانت خمسة وzero يبقى هذه النقطة كانت خمسة و Zero و
هذا يبقى كيف up لاحظ increasing من سالب infinity
إلى سالب واحد هل من اثنين إلى infinity increasing
ولا لا؟ تعال نشوف increasing من اثنين لإنفينتي
سليمة هل decreasing من Zero لغاية اثنين ولا لا؟
يبقى decreasing من Zero لغاية اثنين يبقى رسمتي
سليمة مائة بالمائة
اللي حكمني النقطة هذه إن عند النقطة على يمينها
وعلى شمالها لها نفس الـ concave مش تقول لما
نعرفنا الكسَب وقلنا دالة دالة متصلة عند النقطة وعلى
يمينها وعلى شمالها لها نفس الـ concavity هذه مش
بمزاجي باخد من عندي لا لحكمتنا النقطة هذه وهكذا،
تمام؟ حاجة لو هي تساوي التاني قبل ما نروح للمثال
اللي بعده ايه؟ السؤال لأنه عرفنا للكسَب قلنا بنجيب
الـ limit للـ F prime لازم تطلع عند الـ zero اه،
إذا من اليمين مثلًا infinity من الشمال سالب
infinity طب لو طلع من اليمين ومن الشمال infinity
infinity لا يا أخو ده ممتاز ممتاز عارف ليش؟
لأن لما أقول لك F prime يعني المماس limit للمماس،
اطلع لهذا لو جيت اللي قلت المماس هنا بيكون
المماس سالب ولا لا لكن لو جيت للمماثل اللي عندك
هذا بيعمل لك زاوية موجبة إذا لا يمكن لازم واحد إن
كان الأول infinity الثاني سالب من الفترة طلعوا
اثنين infinity ما فيش كسَب أصلاً
اسمع يا ابني انت معيار أيوة ايش
يعني بالاسم المحوركس أنا باخد limit للـ F prime ايش
ما يكون شكل هيكون مش فيش حد اسم المحوركس ومحور اكس
أنا باخد limit للـ function لما الـ X بده تروح لهذا
الرقم اللي عنده المشكلة
ايش أنت أنت من الرسمة؟ أنا بقول لك يا راني الـ limit
للمشتقة بقول الـ limit للرسمة يا راني الـ limit
للمشتقة تبع الدالة.
ايش أنت أنت يعني؟ مرسومة
وخالصة ايه؟ اسمع اسمع اسمع تعال على الرسمة
هنا ايه الحاجب نانيه؟ هاي الرسمة قدامك يعني لو
عندي رسم زي محور ... زي محور X هيك؟ هي هي محور X
هيو
خط مستقيم يعني؟ مستقيم ومطلق ماشي يعني اللي هي
ايه؟ يعني أنت أسألك هاي الـ absolute value اسمها
يا ابنيها هاي الـ absolute value اللي قاعد تسأل
عليها صح؟ هذا absolute value X وهذا محور X وهذا
محور Y بدك تاخد limit لـ absolute value X لكي
تروح لوين؟
الخط هذا بيبقى ماشي إلى ما شاء الله إلى أن يرفع
الله الأرض ومن علينا يعني الـ X بدأت تروح لسالب
Infinity لما الـ X بدأت تروح لسالب Infinity بدأت
يكون الناتج Infinity ولو راحت الـ X للـ Infinity
بدأت تروح كمان هذه للـ Infinity على الشجتين خلاص؟