بسم الله الرحمن الرحيم نواصل ما ابتدأنا به
المحاضرة الماضية فكان في المحاضرة الماضية أخر
تعريف درسناه أو ذكرناه قدامنا هو استخدام المساحة
في حساب قيمة التكاملفلو كانت الدالة دالة متصلة
وقابلة للتكامل على فترة a وb فإن قيمة هذا التكامل
من a إلى b هو عبارة عن المساحة المحصورة بين هذا
المنحنى ومحور x على الفترة a وb هذا آخر definition
كان مكتوب معاك المرة الماضية وهيبدأ ناخد أمثلة
تطبيقية على استخدام هذا التعريبالسؤال بيقول لـ
graph the integrands يبقى أرسم الدوال المراد
تكاملة واستخدم المساحة عشان تحسب كل من التكاملات
التالية بالداجة الآن لتكامل الأول
بنرسم المنحنة اللي عندنا هذا اللي هو الـ Integrand
الدلة المراد تكاملة الدلة اللي عندنا هي مين؟ Y
تساوي الجذر التربية إلى ستاشر ناقص X تربية
دائرة تمام بس هاد ربع دائرة نص دائرة دائرة كلها
الله أعلم اللي بدي أحكمها حدود التكامل اللي عندنا
إذا لو جيت أرسم هذه الدائرة دائرة بتاخد الشكل
التالي هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي
هي Zeroيبقى هذه الدائرة مركزها نقطة الاصب و نص خطر
هيساوي أربع أساط، ممتاز جدا، لكن التكامل من أين
إلى أين؟ من سالب أربعة إلى زيرو، يبقى هاي عندي
سالب أربعة وهي عندي زيرو، وهنا عندي مام، اللي هو
الأربعة، يبقى الدائرة بالشكل اللي عندنا من سالب
أربعة لغاية زيرو، الباقي ماليش علاقة فيهما خلّاني
اوقف؟ ما خلّاني اوقف هو حدود التكامل من ناقص 4 إلى
0 فتوقفنا فصار عندى هذا الجزء فقط لا غير ماعنديش
غير هذاهذه قداش تمثل بالنسبة للدائرة ربع الدائرة
إذا بناء عليه بصير عندنا تكامل من سالب أربعة إلى
زيرو للجذر التربيه الى ستاشر ناقص X تربيه دي X بدي
ساوي الرابع ال area of the circle يبقى هذه أربعة
يبقى مساحة الجزء المظلل يساوي 4πي وهو قيمة التكامل
يبقى أنا حصلت على قيمة التكامل بدون ما أكامل عن
طريق حساب من؟ عن طريق حساب المساحة تبقى لـ
Definition تبع المرة الماضية
نمر بيه ال F of X بدي يسوي 2 ناقص absolute value ل
X تمام؟ بدنا نروح نرسم رسمة هذه الدالة يبقى لو
روحنا رسمنا رسمة الدالة هذه بقول هذا محور X وهذا
محور Y وهذه نقطة الأصل اللي هي Zero absolute value
ل X اللي بالشكل اللي عندنا هناتمام؟ لكن ايش سبقها؟
يبقى بتنج اللي بيصير وين؟ الى أسفل، يبقى هذه بدها
تصير الى أسفل بالشكل لأن هذا يبقى هذا راحه وهذا
الله سهل عليه مع السلامة
الرسم اللي قدامنا هذه هي من 0 لل 2 وهي رسمة 2 ناقص
absolute value لمن؟ لل Xقال لي بدي اتكامل عليها من
وين؟ من سالب واحد إلى واحد، يبقى النقطة هذه كده يا
شبابمتأكدين ان هذه واحد يبقى هذه اتنين و سالب
اتنين يبقى النقطة هذه سالب اتنين و النقطة هذه
اتنين ليش؟ لأن لو حطيت هذه ب zero بصير absolute
value ل X ساو اتنين يعني X باتنين و سالب اتنين لكن
احنا عند التكمل من سالب واحد الى واحد يبقى السالب
واحد بياتجني في المنتصف هنا و واحد بياتجني في
المنتصف هنايبقى لو جيت طالع رأسي ومن هنا جيت طالع
رأسي بالشكل اللي عندها ده، يبقى المساحة المطلوبة
هي المساحة اللي عندها دي كلها، هذه المساحة
المطلوبة، ترى؟ طيب، شو الشكل هذه؟
هذه اتصالات اتصالات اتصالات اتصالات اتصالات
اتصالات اتصالات اتصالات
اتصالاتعشان اذكر فيكم مساحة شبه المنحرف؟
القاعدة المتوسطة في الارتفاع يعني مجموعة القاعدتين
المتوازيتين على اتنين مضروب في مين؟ في الارتفاع.
إذا بدنا نحدد. بدأ أجيب مساحة واحد فيهم. بدأ أجيب
مساحة هذا و مساحة هذا و نروح نضربه في كم؟ في
اتنين، بيكون جيبنا المساحة المطلوبة. المسافة من
هنا لهنا كم؟ واحد. تمام تمام. إذا بدي أعرف كم
المسافة اللي عندناالمسافة هذه من هنا لهنا اللي
هيقداش 2 يبقى ضالة هذه هذه عبارة عن F of سالب واحد
يبقى باجي بقوله ال F of سالب واحد بديه يساوي 2
سالب سالب absolute value لمن؟ لسالب واحد يبقى هذه
بيساوي 2 سالب واحد وتساوي واحد إذن الطول هذا يساوي
واحدوالطول هذا كله يساوي كده؟ يساوي 2 إذا بقدر
أقول التكامل اللي عندنا من سالب 1 إلى 1 للي 2 ناقص
absolute value لل X DX يساوي هذا 2 في مساحة شبه
المنحرف الأول مساحة شبه المنحرف اللي هو عبارة عن
مجموع القاعدتين المتوازيتينمقسوما على اتنين يبقى
هذه القاعدة الأولى اللي هي واحد هذه القاعدة
التانية اتنين في البعد بينهم اللي هو قد ياش واحد
يبقى الجواب يساوي قد ياش يساوي تلاتة إذا قيمة هذا
التكامل يساوي تلاتة حسبته بدون أن أقوم بإجراء
عملية التكامل ولكن عن طريق من؟ عن طريق المساحةطيب
بدنا نجي للمثل بتابعتنا هذا يبقى بدنا نروح نرسم
هذه الدالة يبقى ال F of X عندي اللي عبارة عن واحد
زائد الجذر التربية لواحد زائد X تربيةأمثل واحد لأن
هذا يبقى واحد ناقص X تربية وليست واحد زاد X تربية
صح هو هم لا شباب يبقى واحد ناقص X تربيةيبقى الجدر
التربية لو واحد ناقص X تربية يبقى انا اعرف معادلة
ايش بروح بقول غطي الواحد لان هذا مالوش دعوة يبقى
اصل هو Y تسوى الجدر التربية لو واحد ناقص X تربية
معادلة ايش؟دائرة ممتاز جدا يبقى دائرة هذه بس مش
عارف نص ولا تلت ولا ربع الله أعلم يبقى لو جينرس
منها بتاخد الشكل التالي يبقى هذا محور X وهذا محور
Y وهذا نقطة الأصل اللي هي Zeroالدائرة اللي عندها
دي نص خطرة جداش و مركزها نقطة الأصل يبقى لو جيت
قلت هذه النقطة اللي هي واحد يبقى الدائرة هتيجيك
بالشكل اللي عندها ده بقى لاعرفش نكمل والله مانكملش
تعالى نشوف حدود التكامل جال من عندنا ناقص واحد
لغايةيبقى من عند الناقص واحد لغاية واحد يبقى يا
اما نصف الدائرة العلوي يا اما نصف الدائرة السفلي
هيكم سالب واحد إلى واحد تمام لكن لو اجي الإشارة
اللي جاب لي الجذر إشارةموجة بقى بيبقى من النصف
العليو وليس النصف السفلي يبقى الرسم اللي أنا رسمها
هذه هي الجدر التربية إلى واحد ناقص X تربية طيب هذه
الدالة شو عملناها shift إلى أعلى بمقدار واحد يبقى
بإننا نمسك هذه الدائرة كلها ونعملها إزاحة إلى أعلى
بمقدار واحد يبقى توصل لهناإتنين يبقى لو جيت تخيلت
فيه خط أفقي هيك بالشكل اللي عندنا هذا يبقى بنتجينا
دائرة هيك بهذا الشكل تمام؟ أو من هنا بهذا الشكل
يبقى هي الدائرة اللي عندنا بالشكل اللي عندنا هنا
يبقى الجزء المنقط الصفلي هذا صار مالوش وجود أبداً
يبقى هي الرصنة بتبعتنا يبقى هذي form اللي هي y
تساوي واحد زائد الجدر التربية لواحد ناقص x تربية
بالشكل اللي عندنا هذا طيب هذا المنحنى اللي فوق
الدائرةحصر مساحة بينه بين محور X يبقى لو جيت نزلتك
عمود على سالب واحد وهنا عمود على واحد يبقى صار
عندنا في مساحة مستطيل هنا زائد مساحة من نصف
الدائرة اللي عندناإذا قيمة التكامل تساوي مساحة
المستطيل زائد مساحة الدائرة ليش ان التكامل قال
المساحة اللي موجودة ما بين المنحناء محور X بقوله
تمام إذا التكامل من سالب واحد إلى واحد للواحد زائد
الجدر التربية إلى واحد ناقص X تربية كله في دي X
بده يساوي ال areaof the rectangle المستطيل
زائد ال area of the circle و الله نص ال area of
the circle يبقى هذا الكلام بده يساوي مسحت المستطيل
الطول في العرض العرض قداش
الارض والطول يبقى المسافة هذه كلها من هنا إلى هنا
اتنين هذه واحدة و هذه واحدة يبقى هذا اتنينيبقى هذا
الكلام بده يساوي اتنين الطول في العرض اللي هو قداش
واحد صحيح زائد هذه النص مساحة الدائرة ودائرة الطه
ونق قداش مسافة من هنا لهنا اللي هو واحد يبقى واحد
تربيع يبقى النتيجة اتنين زائد باي على اتنين او
انشرتم فيقولوا اربعأصبعي كله على اتنين، اللي هي
المساحة المطلوبة. أيوة. اتكمل دائرة نفسي. إيش رأيك
أنت؟ ما عارفش اتكمل الدائرة. إيش رأيك في هذه؟
مش هيها ولا رابعة دائرة انت
بتعرف تكملها تبقى لها دي حتى هذه اللحظة ما شاء
الله في كل كل أسباب نكملها لك وبدغشش اكملها الحين
حط لل X يسوى أربعة صين ثيتاتعويضة تتكامل معاك بطير
الجذر بتقدر تتكاملها لسه هذا خارج نطاق دراستك ان
شاء الله او مرحبا بك في calculus بيه لكن احنا
بنحسب قيمة التكامل هذا عن طريق من؟ عن طريق المساحة
لسه احنا في اول الطريق فيا لبعض التكاملات اللي
بنستخدمها كثير اللي عندك هنا some basic integrals
بعض التكاملات الأساسية اللى هتمر معانا كتير و لابد
منها بنواصل حكينا في نفس الموضوع وبندى لها some
basic integrals بعض التكاملات الأساسية اللى هتمر
معانا كتير خلال هذا sectionتكمل أول تكمل من Zero
إلى بي لل X DX يبقى النتيجة بي تربيه على اتنين
منذكر بالثانوية بقيني اقول X تربيه على اتنين و
بنعوض بالقيم اللي فوق ناقص اللي تحت اللي تحت بصير
Zero يبقى بي تربيه عليها على اتنين لو بدل Zero
حطينا رقم تاني وليكن Aيبقى integration من a إلى b
إلى x dx بنفس الطريقة يبقى b تربية على اتنين ناقص
a تربية على اتنين يبقى هذه الزادة يعني اللي جاب
الأبناء بسالب a تربية على اتنين يعني بنعوض بالقيمة
اللي فوق ناقص القيمة المتعة لو بدل ال x كانت x
تربية تكمل x تربية برع ناشر
يبقى النتيجة بالقيم اللى فوق ناقص اللى تحت يبقى B
تكيب على تلاتة ناقص A تكيب على تلاتة والـA أقل من
مين من B يعني ال index اللى تحت في التكامل أصغر من
مين من ال index اللى فوق دائما عرضا النقطة الرابعة
لو كان تكامل على constant بقول يبقى ال constant في
طول ال interval C في ال B ناقص
الاربع نقاط هذول خليهم في دماغك نبدأ نشتغل عليهم
عملياهو راح قال لي احسبلي كل من التكاملات التالية
واطني التكامل لرقم ايه فبجي بقوله تكامل لرقم ايه
اللي يتكامل من 2 5 ل X تكييب DXطبقًا للكلام اللي
هو قاله في رقم تلاتة يبقى باجي بقوله X تربية يبقى
X تربية اللي هي رقم تلاتة زي ما قلنا يبقى هذه بدها
تساوي خمس تكييب على تلاتة ناقص اتنين تكييب على
تلاتةيعني كأنه هذا تلت عامل مشترك وخمسة تكييب ليه؟
مية خمسة وعشرين ناقص اتنين تكييب ليه جداش؟ تمانية.
المية وخمسة وعشرين بتشيل منهم تمانية بيبقى لجداش؟
مية وسبعة عشر على جداش على تلاتة. بتيجي؟ تلاتة في
تلاتة بتسعة، بتيجي.يبقى هنا بصير تلاتة و سبعة و
اتنين او تلاتة فيها تسعة يبقى النتيجة تساوي تسعة و
تلاتين نمرة B نمرة B قال تكمل من Zero لواحد لاتنين
X ناقص X تكعيب DXحسب خواص التكامل بقدر أجازة
التكامل هذا إلى تكاملين والمقدار الثابت بقوله برة
يبقى هذا الكلام يساوي 2 تكامل من 0 إلى 1 لل X DX
ناقص تكامل من 0 إلى 1 لل X تكعيب DXالإثنان مالكش
دعوة وهذه عبارة عن الاكس اللي هي عبارة عن اكس
تربية بده اشيل اكس وحط مكانه واحد يبقى واحد تربية
عليها على الإثنان كونها زرع يبقى مطبق عليها من؟
القاعدة الأولىخلاصنا منها نجي للي بعدها يبقى هاي
اتنين وهادي ناقص بنفس الطريقة يبقى أس أربع على
أربع يبقى واحد أس أربع على أربع يبقى هذا الكلام
بده يسهل مص مع اتنين الله يسهل عليها واحد تربيع
اللي هو بواحدنقص واحد اقص اربعة اللي هو واحد على
اربعة يبقى واحد ناقص ربع اللي هو تلات اربعةنجي
للنقطة رقم C بيقوللي تكامل من واحد للاتنين لل X
على اتنين زائد اتنين X على اتنين زائد اتنين كله
بالنسبة إلى من؟ إلى DX بقدر اجزء هذا التكامل إلى
تكاملينيبقى هذا الكلام بده يسون نص برا وتكامل من
واحد لليتنين لل X DX زائد تكامل من واحد لليتنين
لليتنين DXهذا الكلام يساوي مص خليك ثابت برا بيظهر
لنا من هذا ال X من القاعدة الرقم اتنين تمام؟ يبقاش
باجي بقوله هذه في اتنين تربية عالمية على اتنين
ناقص واحد تربية على الاتنين اللي بعده زاد فاللي
علله القاعدة رقم اربعةيبقى تكامل المقدار ثابت يبقى
المقدار الثابت زي ما هو في الـB ناقص الـA يبقى هذا
الكلام بده يساوي هذا نص زي ما هوببقى لإن اتنين
تربية على اتنين يعني اربعة على الاتنين اللي يبقى
جديش باتنين ناقص واحد تربية اللي هو واحد اللي هو
جديش نص زائد بلّع لإن اتنين ناقص واحد بواحد في
اتنين باتنين يبقى يساويهنا نص في اتنين ناقص نص
بيظل واحد و نص يعني كده ايش؟ تلاتة على اتنين وهنا
زائد اتنين ويساوي تلاتة ربع زائد اتنين يبقى احداشر
على اربعة شكلها نهنةلا يزال في ال section باقي
باقي نقطة أخيرة النقطة الأخيرة بتتحدث عن ال
average value لدولار نعطي تعريف ثم مثال عليها
definition if
ال if is integrable
ده اللي قابل الاتكامل على الفترة المغلقة A وB then
it's average then it's average average
أو mean يمكن نسميها average value
on the closed interval a وb is defined as average
لدالة f بده ساوي واحد على b ناقص ال a تكمل من a
إلى b للf of x dx example
Find the average value of the function لدالة
F of X يساوي X ناقص واحد لكل تربيع over الفترة
Zero وتلاتة
نعود للتعريف اللي كنا نكتبه يبقى قال لو كانت
الدالة قابلة لتكمل على الفترة المغلقة A وB then
its average أو its mean يعني المتوسط تبع الدالة أو
المعدل تبع الدالة القيمة
المتوسطة للدالة على الفترة A وB is defined as
هدّيلها الرمز average لف a v بينقصين f يبقى اختصار
the average of the function f average لف واحد على
b ناقص ال a لتكامل من a إلى b لل f of x dx يعني
ايه؟يعني بدنا نروح نكمل الدالة على الفترة هذه كلها
ثم نقسم نتيجة التكمل على طول الدالة تكمل يعني ايش؟
مساحةيعني بدى اقسم جداش المساحة اللى طلعت عندي على
طول ال interval بطلع عندى 100 بطلع عندى اللى ال
average value او ال mean value ل100 لل function
اللى عندنا يعني برجع مرة تانية بقول ال average
value لدل F على الفترة المغلقة A وBهي عبارة عن
واحد على بي نقص اللي هي تكامل من A إلى B لل F of X
DX يعني تكامل يتدالى مقسوما على مين على طول
الانترال واحد على بي نقص ال A يعني التكامل كله
مقسوما على طول الفترة من A إلى B اللي هو B نقص ال
A نجي نظر مثال عامل يقول هات ال average value
لدالة F of X سوى X نقص واحد لكل تربيع على الفترة
من Zero إلى تلاتةيبقى باجي بقوله الـ Average لدلة
F بده يساوي واحد على تلاتة ناقص Zero تكامل من Zero
لغاية تلاتة لل X ناقص واحد لكل تربيع DXتمام طيب
هذه تساوي اللي هي تلت تكامل من zero إلى تلتة بده
افك التربيه هذا يبقى x تربيه نقص 2x زائد واحد كله
في dx يبقى هذا الكلام يساوي تلت فيه التكامل بده
وزرهيبقى تكامل من Zero إلى تلاتة لل X تربيه DX
ناقص اتنين تكامل من Zero إلى تلاتة لل X DX زائد
تكامل من Zero إلى تلاتة لل واحد في Main في DX
بالشكل اللي عندنا هذا طيب هذا الكلام بده يسوى
تلاتة فيبدا جلودة هذا هو القاعدة رقم تلاتة اللي
كانت قبل قليل يبقى هذا شو بيصير بيصير تلاتة تكعيب
على تلاتة قلصنا منها الان ناقص اتنين مالكش دعوة
هذه لو كانت اكس تربيع على اتنين يعني تلاتة تربيع
على اتنين يبقى تلاتة تربيع على اتنيناللي بعدها
زائد ال constant C في تلاتة ناقص zero هاي جفلنا
الجوز تمام؟ يبقى هاي التلت اللي برا تلاتة مع تلاتة
بتروح بظل تسعةنقص اتنين مع اتنين بيروح بيظل كمان
تسعة زائد تلاتة هذه مع هذه الله يسهل عليها بل تلت
في تلاتة يبقى ال average value للدالة على كل
الفترة هذه تساوي مين؟ تساوي واحد، صحيح انتهينا من
هذا ال section وعليكم ال exercises ل section خمسة
تلاتة
Exercises خمسة تلاتة المسائل التالية من واحد لتسعة
و ستين الاد من واحد لتسعة و ستين الاد و من تلاتة و
سبعين لتمانين
قبل الحقيقة ما يخش في section خمسة أربعة ياجوا بعض
الطلاب وسألوني في تكامل لcos x أس تسعمية يعني
تفاضل cos x تفاضل الرقم تسعمية وتسعة وتسعينيعني زي
الانتخابات العربية، تمام؟ أنا بتعطيك قاعدة لمشتقة
ال sine وال cosine مهما كان الرقم اللي عندك تسعة
مية و تسعة و تسعين، تسعة تلاف، ميت ألف، قد ما
يكون، بتعطيك القاعدة التالية، القاعدة هذه بتقول لي
ما ياتي نمرة واحدبد المشتقة رقم N الـDN على DXN
لمين لصين ال X؟ كويس، هذه إلها أحد أمرين يا إما
ناقص واحد قس N ناقص واحد على اتنين ليه قصين ال X
إذا كان ال N is odd؟يا إما ناقص واحد أس N على
اتنين لصين ال X لما ال N is evenالقاعدة الثانية
بدي المشتقة النونية لل x in ل cosine ال x اللي كان
عليها السؤال في الكتاب تمام يبقى هذه كمان أحد
أمرين يا إما ناقص واحد أس n زائد واحد على اتنين
لصين ال x لما ال n is odd يا إما ناقص واحد أس n
على اتنين
سؤال موجود في الكتاب سقسن تلاتة خمسة سؤال تسعة
وخمسينيبقى سؤال تسعة و خمسين من section تلاتة خمسة
طلب المشتق رقم تلت تسعات لمن؟
ل cosine ال X شكله أن هذا كان السؤال
هذا الكلام بده يساوي بجيب اطلع الرقم اللي عند مين
odd وانا عندي هذه ال cosine ولو كانت ال N أزد يبقى
هي النتيجة يبقى بقوله ناقص واحد أس تسعة تسعة تسعة
زائد واحد على اتنين
تلات تسعة زياد واحد كدهش؟ الف على اتنين خمسمية عدد
زوجي والله فاردين سالب واحد قص عدد زوجي واحد في
صين ال X صين ال X يبقى عرفت من وين الكتاب جاب
الجواب صين ال X يبقى هذه خدها قاعدة دائما و أبدا
معاك واستعملها لل sign و ال cosine مهما كان الأس
الف مليونتسعات، خمسمية، زي ما بدك، كويس؟ يبقى هذه
صحيحة in general ننتقل الآن لل section اللي بعده
اللي هو section خمسة أربع وهذا ال section very
important ولا يخلو الامتحان النهائي دائما وأبدا من
سؤال عليه
هذا خلاص نمسح؟ شوية؟ خليه شويتين و لا يهمك يبقى
بدنا نيدي خمسة أربعة The Fundamental
Theorem
of Calculus
قبل ان ناخد هذه النظرية ناخد نظرية اخرى نظرية
القيمة المتوسطة for definite integrals
بتقول ما يأتي if ال if is continuous دالة
متصلة على الفترة المغلقة a و b then at some point
at some point c
اللي موجودة في الفترة المغلقة A وB ال
F of C بده يساوي واحد على B ناقص ال A تكامل من A
إلى B لل F of X DX
طبعا احنا خدنا ال fundamental theorem of calculus
لمين؟ لـ derivatives قبل ذلك تمام؟ هذه لمين؟ لـ
definite integrals لتكاملات المحدودة اطلعلي في
النص تبع هذه النظرية واطلعلي في تعريف ال average
value اللي قبل قليل شوف له ميات نفس الشيء و الله
بختلفوا عن بعضطلع عليه فيه كويس فتح في التعريف و
طلع في النظرية هذه هناك بيقول ال average تبع
الدالة F يساوي واحد علبي نقص لف تكمل A علبي لF of
X DX هذه بيقول لو كانت الدالة دالة متواصلة الفترة
لازم تلاقي نقطة sum يعني مش كل النقارةيعني ممكن
تكون نقطة لازم تلاقي some point هتلاقي نقطة موجودة
في ال interval a و b بحيث ال f of c بدو يسوى 1 على
b نقص ال a في التكامل من a إلى b لل f of x dx حد
بديكم يقدر يقولي يعني ما هو المقصود من هذه النظرية
يعني ايش جصد يقولي بالظبط هيكمن خلال النص اللى
قدامنا ايه الطرق المتصل .. بدي واحد يحكي مش بديش
مجموعة واحد يحكي من أجل ان نتناقش هنا ويقول انه في
اي طرق متصل فيه نقطة فيها نقطة فيها وعن ذلك
المساحةيعني المعدل او المعدل ال average تبع الدالة
بيحصل او بيحدث عند نقطة يعني لازم الاجي النقطة في
ال domain تبع الدالة عند هذه النقطة بيحصل من ال
average هذا قال في average و سكت لكن ماقالش وين
بيحصل اجت هذه النقطة جلت لل average بيحصل عند
النقطة C بالضبط تماما
أنا ممكن أصيغ هذه بصيغة أخرى، ما هي الصيغة الأخرى؟
ممكن اقول لك هذه اذا تكامل من a الى b لل f of x دي
x بده يساوي مين اللي هو ال b ناقص ال a في ال f of
c صح
ضربت الطرفين في b ناقص ال a بس مش أكتر
هذا التكامل من A الى B لل F of X DX شو يسوي
التكامل؟ ال average تبع الدالة مضروب فى طول الفترة
يبقى هذه أفادتني كمان شغلة تانية ان قيمة التكامل
من A إلى B هو عبارة عن ال average تبع الدالة مش ال
F of C هو ال average تبع الدالة ال average تبع
الدالة بيبقى تضربه بس في طول الفترة بيعطيك فعلا
قيمة هذا من هذا التكامل هذا اللي قصدنا من هذا نعطي
مثال توضيح
بقول let ال F of X تساوي اللي هو ال X تربيع و ال X
هذه موجودة في الفترة من Zero من Zero لغاية تسعة
المطلوب
الأول بقول find
On the given interval يعني كأننا بناخد مثال تاني
على ال average مطموعة ثانيةبقول find a point find
a point c in الفترة المغلقة zero وتسعة at which
the given function at which the given function
الدلة المعطاةأخذ هذا القيم عادي
يبقى هذا السؤال على النظرية هذه وعلى مين على ال
average اللي قبل قليل نقطة الأولى المطولة قال لي
هاتلي ال average جداش تبع ال function اتنين هاتلي
ال average بيحصل وين عند اي نقطة على الفترة من
zero الى تسعة بيحصل هذا مين هذا ال average بنقوله
بسيطة اي solution
بدنا ال average تبع الدالة بقول له ال average تبع
الدالة F يسوى واحد على B ناقص ال A يبقى تسعة ناقص
Zero تكامل من Zero إلى تسعة لل F of X DX يعني X
تربيه DX شكر ال average؟ طيب هذا الكلام يساوي
يبقى تسعة تكييب على تلاتة يبقى هذه تسعة تكييب على
مين؟ على تلاتةأظن تسعة مع تسعة تكعيب يبقى كم؟ تسعة
تربيع يبقى تسعة تربيع على تلاتة يعني واحد و تمانين
على تلاتة يعني كم؟ سبعة و عشرين يبقى ال average
تبع الدالة على الفترة من صفر لتسعة هو سبعة و عشرين
ايش بيقول ليه؟قال يشوف ال average هذا وين بيحصل
find the point C هتلي النقطة C اللي موجودة في ال
interval هذه اللي ال average هذا بيحصل عندها بقوله
بسيطة هي النظرية قدامنا هي عندك ال F of C اللي
يجداش بدها ساوي واحد على B ناقص ال A تكامل من A
إلى B لل F of X DXمش هذا هو ال average طيب هذا بده
يعطينا mean ال F of C هي ال F of X معطعة يبقى بده
يشيل X ويحط مكانها مين؟ C يبقى هذا معناته C تربيع
هذا عبارة عن ال average يبقى بده يساوي ال average
ل$Fمظبوط؟ لأنه تعريف من؟ تعريف الـ Leverage طب هذا
احنا حسبناه فوق طالع كدهش؟ سبعة و عشرين، اذا هذا
معناه ان الـC تربية بده يساوي سبعة و عشرين هذا
معناه ان الـC بده يساوي زائد او ناقص تلاتة جذر
تلاتة، طب سالب تلاتة جذر التلاتة موجودة في الفترة؟
إذا هذه مرفوضة يبقى هنا سة C تساوي تلاتة جذر تلاتة
اللي موجودة في الفترة Zero وتسعة والاخر مالها
مرفوضة لإنها مش موجودة داخل هذه الفترة تقدر
تقول C تساوي becauseيعني احنا رفضنا التانية اللي
هو C تساوي سالب تلاتة جذر تلاتة but not belong ل
ال interval 0 9 يعني أخدنا الأولى و هملنا التانية
لإنها مش موجودة داخل هذه الفترة ابنجي الآن للنظرية
اللي احنا حاطينها العنوان اللي فوق تبع هذا section
اللي ال fundamental theorem of calculusنجي الأن لـ
Fundamental Theorem
of
Calculus Part
1 هنقسمها
إلى جزئين، فنجي للجزء الأولبتقول لما ياتي لو كانت
ال F is continuous
على ال closed interval a و b
Capital F of X يساوي تكامل من A إلى X لل F of T دي
تي لل F of T دي تي
is continuous is continuous onالـ class interval a
و b and differentiable
على الفترة المفتوحة a و b and ال f prime of
x بدي سوى d على dxلتكامل من A إلى X للـF of T دي T
ويساوي F of X لأن
هنا نحن نتكلم عن نظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
Fundamental theorem of calculus الجزء الأولبقول لو
كانت الدالة F small continuous على الفترة المغلقة
A وB وكان capital F هو عبارة عن تكامل ال F small
على الفترة من A إلى X يبقى مرة تانية بقول لو كانت
F small دالة متصلة على الفترة المغلقة A وBيبقى
capital F of X كانت كذلك تسوي تكامل من A إلى X لل
F of T DT يعني تكامل محدود على الفترة من A إلى X
كانت دالة متصلة كذلك على الفترة الـA وB المغلقة
وقابلة للتفاضل على الفترة المفتوحة يبقى ال F prime
of X يبقى يسوي D على DX لهذا التكامل يبقى شو
بيعمل؟التفاضل ده هيلغي التكمل وترجع الدالة الى
أصلها اللي هي main f of x طلعليها كويس تحت ال a
مقدار ثابت ال a constantوالـ X هو المتغير لما انا
اجي أفاضلها بطير يتكامل فبتظهر F of X الدالة من
الدالة الأصلية والله هذه بسيطة جدا يعني لو قلت لك
تكامل من عشرة لل X لل F of X دي X وبدي اجي أفاضلها
يبقى بتقول الجواب هو F of X قد ما تكون تكون،
مظبوط؟ بناء على هذه النظرية السؤال هولو بدل ال X
هذا اللي فوق كانت دالة في X مش X كانت G of X كي
بنسويه بقولك ولا حاجة بيصير بيصير طبقة لتشين رول
بتقولي F of G of X في G prime of X يبقى هذه بدي
اقول كأنها result نتيجة او crollery نتيجة عليها اه
لو جيه تقول crollery
نتيجة الرقم واحد لو بدي D على DX لتكامل من A للـG
of X لل F of T DT بقوله بسيطة جدا طبقا للكلام اللي
فوق F of G of X مضروبة في مشتقة الـG طبقا للـchain
rule اللي هو G prime of X تمام؟أجي واحد تاني قال
لي ايش رأيك لو خلتي التكامل هذا زي ما هو بدل
constant حطيت دالة تانية في X كيف بنسوّمها؟ بسيطة
جدا ايه اللي عملت دالة اللي فوق؟ قلت عمل دالة اللي
تساعد بإشارة مخالفة كيف يعني؟ يعني D على DXلتكامل
من H of X لل G of X لل F of T ديبدي افاضي ليه
التكمل مش بدي اتكامل و بعدين اتفاضل لأ انا بدي
افاضي التكمل مباشرة يبقى باجي بقوله هذا الجزء اللي
فوق هو اللي رمناه واحد يبقى باجي بقوله هذا هو f of
g of x في ال g prime of x ناقص ماحدش أحسن من حد
اللي عملته للدلة اللي فوق يطلع تعمله للدلة اللي
تحت يبقى بروح بقوله ال fof H of X في H prime of X
سؤال
على هذا الـ Fundamental بتكرر كتير في الامتحانات
تمام؟ يبقى ركزي كويسة، الآن بدنا نيجي ناخد أمثلة
مختلفة، طبعا الكتاب ما جالش للنتيجة الأولى ولا
التانية اللي كانت، حط مسائل عليها حط النظرية ومن
ضمن المسائل حط مسائل على نتيجتها الأتنين هذو
نبدأ في الأمثلة يبقى example one
بقول find the derivative of the following
functions find the derivatives of the following
functions نمر ايه؟
Y تساويY تساوي التكامل من X الى 1 ل T cos T dt
بدنا
نشتق هذه الدالة فاجب أن نتطلع في هذه النظرية
والنتاج لا شبه النظرية ولا شبه النتاج لأنه متغير
تحت مش فوق لكن احنا نخدم الخواص التكامل المحدودإنه
بقدر أقلب حدود التكمل و أحط إشارة سالب بقوله كويس
يبقى solutionيبقى باجي بقوله ال Y يساوي سالب تكامل
من واحد الى X ل T Cos T DT يبقى اللي فوق بس قلبت
حدود التكامل و حطيت اشارة سالب الان بقدر اشتق يبقى
هذه قال هات ال derivative يبقى Y prime يساوي سالب
مالكش دعوةمش هروح اكمل هذى طب انا هقولك ده لابتجه
اعرفش اتكملها تمام الا اذا كنت خبيرا فى التكمل اه
ممكن تكملها وبعدين تفاضل لكن احنا مابتناش نضيع
وقتك لأ انا مابتش تقدورى باجى بقطل عليه فوق X يبقى
هذى مباشر على مين على النظر يبقى ماعليك الا تشيل
كل T و تحط مكانها مين X لدالة اللى عندك يبقى
الدالة T Cos T يبقى سالب X Cos X الله يعطيك
العافية خلصهايبقى هاي المشتقة تمام طيب نمر بي
انتقل شوية نمر بي بيقولي Y يساوي تكامل من جدر ال X
لغاية ال zero ل sign T تربيع DT
قبل ما اشتق بدي ارتب المثال اللي عندي اظن ولا واحد
بيقدر يكملها هذه ولا انا كمان بهذا الشكل sin t
تربيع ولا واحد فين بيقدر يكملها يبقى باجي بقوله
هذه سالب تكامل من zero الى جدر ال X ل sin t تربيع
DTأنا بدى أشتق يبقى Y' يساوي سالب برا مالكش دعوة
تمام يبقى ماعليه اللي أشيل كل T و أحط مكانها جذر
ال X يبقى ال sign لجذر ال X الكل تاربية في مشتقة
جذر ال X هالمرة هذه بدى أكتبها لك تفصيلا مشان اه
ماتوهش تاني مرةخلصنا يبقى هاي المشتقة يبقى النتيجة
تساوي سالب sign ال X مشتقة جذر ال X اللي هو اتنين
او واحد على اتنين جذر ال X يبقى هاي النتيجة اللي
عندنا نعم ليش جذر X بتتربط مش انت تحت الجذر و
طلعتهابطيلة الجدر مباشرة يبقى عندك جدر ال X و بدك
تروح اتربعه نمر ال C بيقول Y يساوي تكامل من 2 إلى
سك X التي ناقص 1 على T
يبقى بدنا ايه؟ بدنا الروح نشتق، جاهزين، هذا مافيش
فيها شيء يبقى هذا الكلام بده يعطيلك Y' تساوي بدك
تشيل كل T و تحط مكانها سك ال X يبقى هاي سك ال X
ناقص واحد على سك ال X في مشتقة سك ال X، بقدرش
مشتقة سك ال X؟انت قدمت امتحان اليوم يبقى هذا سك ال
X في تان ال X تمام في اختصارات بنحاول نختصر يبقى
انا بده افك الجثة بده ادخل السك جوه بده اخلي التان
برا يبقى بصير عندي سك تربيع ال X ناقص واحد في تان
ال X سك تربيع ناقص واحدتان تربيع يبقى تان تربيع ال
X في تان ال X ويساوي تان تكييب ال X طيب
النمرة دينمره دي بيقول لي Y يسوى تكامل من تاني ال
X لإتنين X التي الجدرى التربية لواحد زائد T تربية
DT يبقى هذه علامة على النتيجة رقم اتنينيبقى بدهش
اقوله ال Y' تساوي بده أشيل كل T و أحط مكانها 2X
يبقى هذا 2X في الجذر التربيعي اللي هو 1 زائد 4X
تربيع
نقص تان ال X في الجذر التربيعي ناقص تان ال X في
الجذر التربيعي ناقص تان ال X في الجذر التربيعيبسك
تربيع ال X نعيد ترتيبها يبقى اربعة X واحد زائد
اربعة X تربيع ناخص واحد زائد تان تربيع سك تربيع
تطلع من تحت الجدر بسك يبقى بصيغة تان ال X في سك
تكعيب ال X الله عطاك العافية خلصك نمر أيه؟نمر أيه
بيقولي Y تساوي X تربيع تكامل من اتنين ل X تربيع ل
cosine T تكعيب كله DT ايوة
استنى شوية يعني هذه ولا زي السؤال من المثال اللي
جابها اه ممتاز جدايبقى هذه تعتبر function وهذه
كلها function تانية إذا هذه مشتقة حاصل ضرب دالتين
يبقى احنا بدنا ال y prime يبقى باجي بقوله ال y
prime يساوي الدالة الأولى في مشتقة الدالة تانية
بدي أشيل كل T و أحط مكانها X تربيع يبقى cosine X
تربيع الكلتكيب في مشتقة الدالة اللى فوق الهو بقدرش
باتنين X خلصنا الجزء الاولهذا الأول يبقى في مشتقة
الثاني خلاصنا من تمام مية لمية زائد مشتقة الأول
قداش اتنين X في تكامل من اتنين لل X تربيع ل cosine
T تكعيب DT
يبقى هذه اتنين اكس تكعيب cosine اكس أُس ستة زائد
اتنين اكستكامل من اتنين لل X تربية لكو صين T تكيب
DT يبقى إذا عندك حاصل ضرب دالتين بدك تروح تستخدم
مشتقة حاصل ضرب دالتين حسب ما اتعلمت في chapter
تلاتة طيب هذا هو المثال الأول ننتقل الآن للمثال
رقم اتنينيبقى example two بيقول
if y تساوي صين ال X تكامل من كتان ال X إلى تان ال
X لواحد على واحد زائد T تربيع DT
بنفس الطريقة في السؤال اللي قبل قليل هذه تعتبر
function وهذه كلها function تانيةاذا انا مشتقت
ايه؟ اصل ضرب دالي تاني يبقى بالدي ال Y prime سنة
الدالة الأولى تمام؟ في مشتقت الدالة الثانية يبقى
هاي فتح نقص الدالة الثانية بدي أشيل كل T و أحط
مكانها تان ال X يبقى واحد على واحد زائد تان تربيع
ال X في مشتقت التان جداش؟تربيع ال X خلصنا الدالة
اللى فوق اللى عملنا الدالة اللى فوق بدنا نعمل
الدالة اللى تاعة واحد على واحد زائد كتان تربيع ال
X في طفول كتان بسالب كسكن تربيع ال X خلصنا هذا لسه
الأول في مشتقة الثانية زائد الثانية في مشتقة
الأولى زائدالأولى اللى مشتقتها cosine ال X في
تكامل لكتان ال X إلى تان ال X واحد زائد T تقريبا
DT هنا ايه الترتيبيبقى ال Y' يساوي صين X فيه واحد
زائد تان تربيع سك تربيع مع سك تربيع بواحد يبقى هذا
الله يسهل عليك مع السلامة بواحد صحيح وهي ناقصناقص
مع ناقص بزائد تمام واحد زائد كتان تربية كسكت تربية
مع كسكت تربية مع السلامة يبقى صارب واحد بالشكل
اللي عندنا ما شاء الله ليه انا كبير انا طلعت ولا
حاجة يبقى هنا زائد cosine ال Xتكامل لكتان ال X إلى
تان ال X واحد على واحد زائد T تربية DT واحد زائد
واحد يسوى اتنين يبقى اتنين sin X زائد cos X تكامل
كتان ال X لتان ال X لواحد زائد T تربيع DT خلصنا
المطلوب الأول قال لي احسبلي المشتق هذي وين عند X
يسوى باي على مين على أربعة إذا هشيل كل X و أحط
مكانها باية على أربعة يبقى ال Y prime عند ال باية
على أربعة بده يساويSin باية على أربعة يعني جيب
الخمسة وأربعين جداش؟ واحد على جذر اتنين يبقى اتنين
في واحد على جذر اتنينزيت كوصاين الواحد على جدري
اتنين تمام وظل الخمسة واربعين يبقى صار هذا واحد
وظل تمام الخمسة واربعين واحد على واحد زائد T ترميع
DT أول خاصية أخدناها من خواص التكمل الحدود أنه إذا
تساوى حدات تكملفإن قيمة التكمل تساوي يبقى هذا كله
بسلامته مع السلامة ب zero يبقى الجواب اتنين على
جذر اتنينطب ايش رايك لو ضربت في جذر اتنين و جسمت
على جذر اتنين فى اتنين على اتنين تحت الجذر بيبقى
القداش جذر اتنين هو الجواب يبقى يا اما اتنين على
جذر اتنين يا اما جذر اتنين اي واحدة فيهم بتقدر دور
المطلوب
هذا السؤال مرة جيبناه في احدى الامتحانات لنشوفك
ليش لأن هذا جاب ال fundamental theorem و جاب
الخواص تبع التكاملات المحدودة لنشوفك بتعرف تطبق
الخواص ولا لا
بنا نيجي للجزء الثاني من ال fundamental theorem
يبقى بنا نيجي لل fundamental theorem
part two اللي
هم يسميها the calculation
النظرية الحسابات بتقول لما ياتي if ال if is
continuous at every point في
الفترة a و b andcapital F is an antiderivative of
ال F على الفترة المغلقة A وB then تكامل
من A إلى B لل F of X DX بدي يسوي capital F of X من
عند ال A لغاية ال B ويسوي F of B ناقص F of A
Example
Calculate
The following integrals
احسب
للتكاملات التالية نمر واحد تكمل من zero لواحد لل X
تربيع زائد جدر ال X في DX
الجزء الأول من fundamental theorem of calculus كان
بتكلم عن التفاضل للتكامل المحدود عندي تكامل محدود
لدالة لو بدناانفاض لهذا التكامل الجزء الثاني بتكلم
عن كيفية حساب التكامل المحدود لدالة ما يعني كيفية
تحسب هذا التكامل عمليا بدون ما نحسب مساحة ولا نحسب
ال average ولا غيره دورة كامل بقول لو كانت الدالة
دالة متصلة عند كل نقطة في ال interval a وbوكان
capital F هو الـ antiderivative لدالة F على الفترة
المغلقة A وBيبقى تكامل من A إلى B لل F of X DX هو
عبارة عن كابتل F of X اللي قلنا عليها بروح بنعوض
في النتيجة اللي حصلت عندنا القيمة العلوية ناقص
القيمة السفلية يبقى هي اللي بتقوله من هنا سمنها ال
calculation theorem نظرية الحسابات يعني كيف بدك
تحسب التكامل المحدود عملياًيبقى هاي المقصود من هذه
النظرية طبعا قبل قلي كنا بنشغل الشغل هاد بس ايش
أخدنا ال sum basic integral للأربع تكاملات و بكنا
بنستخدمها اللي هاي من هنا بطل بدنا نكمل و نعود
دغري على طول القط تمام نعطي بعض الأمثلة جالي
أحسبلي كل من تكاملات التالية و أطاني أول تكامل هذا
بقوله دغري هذا الكلام بده يساوي تكامل من zero إلى
واحد لل X تربية زائد X أص نص
X تركيب على تلاتة X تركيب على تلاتة X تركيب على
تلاتة
لإتنين كل هذا الكلام من Zero لغاية كده اش واحد
يبقى لو بدي احسبه عملي بقول هذا الكلام بده يساوي
هاي X تكييب على تلاتة زي طولتين X أس تلاتة على
اتنين من Zero لغاية واحد يبقى انا بتعود بالقيم
اللي فوق ناقص القيم اللي تحت يبقى واحد تكييبعلى
تلاتة زي دي اتنين على تلاتة لواحد أس تلاتة على
اتنين هيعوضها بمين بالقيمة اللي فوق لل F of B يبقى
ناقص ال F of A يبقى ناقص Zero ناقص Zero طبعا طيب
هذا الكلام بده يساوي اظن ان هذا تلت مظبوط و هذا
تلتينبطلع واحد صحيح طيب نجي ناخد كمان مثال نمر
اتنين بدنا تكامل لمين؟ لواحد زائد cosine ال X
تكامل من Zero إلى Pi لواحد زائد cosine ال X DX
خلّي
ملاك هناهذا تكامل يستوي تكامل واحد بقداش تكامل
cosine من ورا الى ورازيرو لغاية باي نجي نعوض بحدود
التكامل يبقى باي زائد صين البي ناقص زيرو ناقص صين
الزيرو و يساوي باي قداش صين البي زيرو و صين الزيرو
يبقى هذا كله باي فقط والباقي كله بأصفر بروح مع
السلامة example three
بنتكامل من واحد لغاية اتنين لل X زائد واحد على X
الكل ترابيع DX كيف نتكامل هذا
فك التربية مش هيك طيب هذا الكلام بده يصير تكمل من
واحد للاتنين لل X تربية زائد اتنين فقط صح ولا لأ
حصل ضربهما زائد واحد على X تربية كله في DXيعني كأن
المسألة هي تكامل من واحد إلى اتنين لل X تربية زائد
اتنين زائد X أُس ناقص اتنين DX هالحيط بدنا نكامل
يبقى هذه تساوي X تكيب على تلاتة زائد اتنين X ناقص
X أُس ناقص واحد صحيح؟
بلاش هاي زائد وهي على ناقص واحد والكلام هذا من
واحد لإتنين يعني كأنها X تكييب على تلاتة زائد
اتنين X ناقص واحد على X من واحد لغاية اتنين بتدعوك
بالقيمة اللي فوق اتنين تكييب بقداشتمانية ع تلاتة
زائد أربع ناقص نصف هيعوضنا القيمة اللي فوق ناقص
القيمة اللي تحت يبقى ناقص واحد تكيب ع تلاتة اللي
هو بواحد ناقص اتنين في واحد باتنين ناقص بيصير زائد
واحد ع واحد اللي هو بواحدواضحة؟ واضح طيب نيجي نجمع
هدول هذا الكلام يساوي عندك أربعة صحيح واحد خمسة
وناقص اتنين بيظل تلاتة عدد صحيح وعندك هنا ناقص تلت
و تمانية ع تلاتة بيظل سبعة تلاتة ناقص نص زائد سبعة
على تلاتة ناقص نص مظبوط هيك؟الاربعة و سالب اتنين و
واحد خمسة و اتنين تلاتة سالب تلت و تمانية ع تلاتة
بيبقى سبعة تلاتة هو يناقص نص زي مهم المضاعف
المشترك للكل كله قداش ستة في تلاتة تمانتاش ستة ع
تلاتة في اتنين في سبعة اربعة اتاش ستة على اتنين
اللي هو بتلاتةاربعتاش و تمانتاش بقداش اتنين و
تلاتين شيل منهم تلاتة بظل تسعة و عشرين على ستة
قيمة هذا التكامل طيب هذا النقطة التالتة النقطة
الرابعةبنتكامل من Zero لغاية Pi على ستة لسك ال X
زائد تاني ال X لكل تربيع DX يساوي
تكامل من Zero لPi على ستة شو رأيك في هذا نفك
التربيع يبقاش بصير بصير سك تربيع ال Xزي دي اتنين
سك ال X في تان ال X زي التان تربيع ال X كله
بالنسبة الى DX اظن هذه بقدر اكملها و هذه بقدر
اكملها و التان تربيعبحول في دلالة سك تربيع ناقص
واحد يبقى هذه تكامل من zero ل by على ستة ل سك
تربيع ال X زائد اتنين سك ال X في تان ال X زائد سك
تربيع ال X ناقص واحد كله في DXعندي سك تربيه وعندي
سك تربيه بيصير كده؟ نان سكت كل هذا قبل التكامل
يبقى هاي التكامل من Zero لPi على ستة لاتنين سك
تربيه ال X زيدي اتنين سك ال X في تاني ال X ناقص
واحد كله DX هذا الكلام يساويإن كامل يتنم لكش ده و
تكامل سكتة ربيع X اللي هو سكتك أيه بعد تلاتة؟ تان
يعني؟ طب صح صح كويس تفضل تان بسكت ربيع إذا انت
كامل السكت ربيع بتان ال Xزائد اتنان وتكامل سك في
تان بسك ال X وهذا ناقص X والحكي هذا كله من عند ال
zero لغاية باي على ستة يبقى هذا يساوي اتنان بدنا
نيجي لظل التلاتين درجة يعني جا تلاتين على جتا
تلاتينواحد على جذر تلاتة الكل اه واحد على جذر
تلاتة بس يبقى هذا واحد على جذر تلاتة زائد اتنين سك
ال X يعني واحد على cosine ال X cosine التلاتين في
جذر تلاتة يعني اتنين على جذر تلاتةيبقى في اتنين
على جدر تلاتة ناقص باي على ستة هاي خلصنا القيمة
اللي فوق ناقص اللي تحت يبقى ناقص تاني زيرو بزيرو و
سك زيرو بواحد وضل زائد لهمين زيرو
ما هو واحد في اتنين؟ خلّي بالك هنا، هذه ناقص
اتنين، هذه ناقص اتنين، هذه ناقص اتنين، هذه ناقص
اتنين، هذه ناقص اتنين، هذه ناقص اكويس؟ يبقى ده شو
بيصير؟ بيصير اتنين على جذر تلاتة زاد اربع على جذر
تلاتة ناقص باية على ستة ناقص اتنين ويساوي هدول ستة
على جذر تلاتة ستة على جذر تلاتة ناقص باية على ستة
ناقص اتنينهذه لو ضربت في جذر تلاتة وقسمتها على جذر
تلاتة بصير اتنين جذر تلاتة ناقص باية على ستة ناقص
اتنين طيب هذا تكمل رقم اربع تكمل رقم خمسةخمسة
بيقول تكامل من باي على اتنين لغاية باي لصين اتنين
X على اتنين صين ال X كوالب النسبة الى DX
هذه اتنين صين مع اتنين صين تكامل ال cosine بصين ال
X فقط لغير من باي على اتنين الى باي يبقى صين ال
باي ناقص صين ال باي على اتنين صين باي صين باي على
اتنين جات الصين جات الصين يبقى واحد ولا بنص
أخر تكامل رقم ستة اللي هو تكامل من zero لغاية باي
لنص ل cosine ال X زائد absolute value ل cosine ال
X في DX
كوصين او absolute value لكوصين مشكلة دي ولا لا او
او
او او او او او او او او او او او او او او او او او
او او او او او او او او او او او او او او او
تكامل من zero إلى πاية على اتنين لنص في cos x زائد
absolute value لcos xكله في DX زائد تكامل من باي
على اتنين إلى باي لنص في cosine ال X زائد absolute
value ل cosine ال X كله ل DX خلي بالك هذا السؤال
في الكتاب في الآخر بس طبعا يبقى هذا الكلام بده
يساوي هي تكامل من zero ل باي على اتنين ل نصهذا
الربع الأول كل النسبة المثلثية موجبة إذا هذا ال
absolute كتبت و الله شلته مابتفرجش مصبوط ولا لا
يبقى بصير cosine ال x زائد cosine ال x في dxزي
التكامل من باي على اتنين إلى باي لنص في cosine ال
X هذا الرابع الرابع ال cosine سالب يبقى بشيل ال
absolute و بكتب سالب cosine ال X كله في DX اظن هذا
راح ب zeroمظبوط؟ يبقى بضل باسمين ال term الأول فقط
لا غير
طيب هذا الكلام بده يساوي integration من zero لغاية
باي على اتنين لكوصين ال X DX فقط لغير اتنين مع نص
بيروح و بيبقى كوصين ال Xيبقى هذا صين ال X من Zero
لغاية باي على اتنين يبقى صين باي على اتنين ناقص
صين ال Zero صين ال Zero ب Zero و صين باي على اتنين
يبقى داشلو كان عندك absolute value طلعلي فيه هذا
المثال absolute value أول ما بفكر كيف بدي أتخلص من
ال absolute value بطلع لحدود التكامل و بشوف وين
الأبدال هذه اللي داخلة absolute موجبة و اكتشفت كون
سالبة و بنال عليها بنشتغللا يزال في في ال section
نقطة ليه total area للمرة القادمة ان شاء الله
تعالى