المرة اللي فاتت أو في المحاضرة السابقة عرفنا ال
cluster point وأخذنا أمثلة كيف نجيب ال cluster
points لمجموعة معينة ووجدنا عند المثال الثالث
المثال الثالث show that
zero is the only cluster
point of
the set A
كل واحد على N حيث N that's a number دكتور هذا
مثال ثاني أخذناها ده؟ لأ لأ اللي أخذناه اللي هو ال
.. هناخدها هناخدها هناخدها في .. هنا هنا .. هنا
هنا اثنين
أن Zero is a cluster point ثلاثة
دلتا أكبر من الصفر Be given by Archimedean
property
يوجد N تنتمي إلى N بحيث أن واحد على N
أصغر من دلتا hence
الدلتا نيبر هو صفر لو
أخذت xN هو واحد على N فهذا ينتمي إلى
المجموعة A وانت ليه لا ال delta number هنا ل ..
أو ال x هذا المفروض دلتا ال delta number هو ده
اسمه
أسوأ؟ إذن
هذا لا أي سؤال خالد
الدلتا نبر هود للصفر اللي هي الفترة المفتوحة من
سالب دلتا إلى دلتا
فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من صفر
فواحد على N ينتمي للـDelta neighborhood للصفر
وواحد على N ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون
أثبتنا أنه لأي دلتا أكبر من الصفر أو أي دلتا
neighborhood للصفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن
الصفر ال
X إن جلدها تساوي صفر لاتصار الصفر وبالتالي إذا
هذا يثبت الصفر is a cluster point of
الست إذا هذا يثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه
cluster points أخرى؟
إذا كانت X لا تساوي صفر، فهي ليست مجموعة من A
فحاسبكم
أنتم تكتبوا البرهان
هي صفر وهي واحد وهي نصف وهي ثلث وهي واحد على N وهي
واحد على N زائد واحد وهكذا
فهنا ثاني two cases case one أن x تنتمي إلى a و
الحالة الثانية case two أن x لا تنتمي إلى a ال x
دي مش تساوي صفر احنا already اثبتنا أن الصفر
cluster point طيب افرض X مش تساوي صفر إذا X ممكن
تساوي واحد أو نصف أو ثلث أو واحد على N for some N
صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تمثل أي
فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر
الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي دلتا
neighborhood للعنصر مثلًا الثلث بقدر ألاقي دلتا
neighborhood
العنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر
بين ثلث ربع ثلث ونصف وباخد نصف المسافة دلتا فبيصير
عندي هنا دلتا نبر هود للثلث وبتقاطعش مع المجموعة A
بالمرة أو في نقطة مختلفة عن الثلث وبالتالي لو كانت
ال X موجودة في A زي الثلث مثلًا فال X ليست cluster
point الآن ال X لا تنتمي ل A؟ ال X لا تنتمي ل
A؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من صفر أو X
ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و
أقرب عنصر لها من اليمين وأقرب عنصر لها من
اليسار وباخد نصف المسافة دلتا أو إبسيلون وبكون
دلتا نبر هود ل X هذا دلتا نبر هود مش هيتقاطع مع ال A و
بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point
ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون
على شمال الصفر أو على يمين الواحد فلو كانت على يمين
الواحد خد نصف المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبر
هود ل X مابتقاطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت
cluster هنا لو كانت X أصغر من صفر فخد نصف المسافة
بين X و 0 على إنها دلتا وبالتالي كون delta
neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع
A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل
الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش
موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster
point okay إذا zero is the only النقطة الوحيدة مافيش
نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت
مثال آخر f
i بساوي ال
unit technological interval and
IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then
every x تنتمي ل I is a cluster point a cluster
point of IQ
إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل
الأعداد النسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر
لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي
cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density
theorem proof use
the density theorem فحاسبكم
انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخذتي أن أي
أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I
من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X
كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد النسبية
في I ففي عندي ثلاثة حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر
من واحد يعني نقطة داخلية ليست نقطة طرفها طبعًا هي
لو أخذت أي دلتا عدد موجب وكونت دلتا
neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا
هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة
مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟ وبالتالي أي
دلتا neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ
في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثافة
وبالتالي حسب التعريف إذا ال X هذه اللي هي نقطة
داخلية is a cluster point لمن؟
للمجموعة IQ لو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف
الحالة الثانية لما x تكون هي صفر لما x تكون بساوي
صفر وخدي أي دلتا neighborhood لأن هاي سالب دلتا
موجب دلتا فالفترة
هذه تتقطع يعني
هاي دلتا هادي دلتا و هادي نقطة صفر الآن الفترة
هذه بقدر ألاقي فيها rational number حسب مباريك
الكثافة موجود بين صفر و دلتا و ال rational number
هذا موجود في ال unit closed interval وبالتالي كل
دلتا neighborhood للصفر يتقاطع
مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي
الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تثبتوا بالواحد
cluster point لأن أي دلتا neighborhood للواحد
هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا
في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational
number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد
وبالتالي ال دلتا neighborhood هذا مركزه واحد و
نصف قطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن
الواحد وبالتالي واحد cluster point الآن لأن هسيبكم
تكتبوا البرهان بالتفصيل
Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster
points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو
كان عنوان ال section تبعنا إذا
هنا definition
دع الـ f يكون دالة من a إلى r دالة
في أين a مجموعة جزئية من r و c مجموعة جزئية من الـ
set A
العدد number L هو ليمت
للـ دالة
f at
x بس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon
أكبر من صفر يوجد دلتا تعتمد على إبسيلون عدد موجب
بحيث أنه لكل x تنتمي إلى a والمسافة بين .. وال X
هذا يختلف عن ال C والمسافة بينها وبين ال C أصغر
من دلتا لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L
أصغر من دلتا إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميه أنا
بسميه إبسيلون دلتا definition إبسيلون دلتا
definition of limit للـ
limit of a function الـ Limit لـ function f of x
بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x
and x = C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب
لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على
إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال
domain تبع ال function و X هذه مختلفة لا تساوي C
يعني المتباينة هذه معناها X لا تساوي C إذاً لكل x في
A مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من
دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من
إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر
فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند
النقطة c
من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case
in this case we
say انه if converges if converges to the number L
at X = C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل
F of X لما X تقول إلى C = L أو ممكن نكتب limit
F as X tends to C = L أو ممكن نكتب
أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل
هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x
= c
ف limit f of x as x tends to c does not exist،
يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f
diverges، diverges at x = c
الآن نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه
النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit
فlimit هذه لازم تكون unique ال
function if from A to R can have only
والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit
of a sequence we use epsilon over two argument
استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على
اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon
أكبر
من السفر ب given since
طب
خليني الأول أبرهان النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه
two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends
to c = عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x
tends to c = عدد تاني الاتنين وعشان أثبت
النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 = ال4
فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given
since مما أننا فرضين أن ال limit لأف as x tends to
c = الواحد then by definition by epsilon
delta definition of limit there exists delta one
depends on epsilon positive number بحيث أنه لو كان
x ينتمي إلى a و |x - c| أصغر من delta
one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن |f of x
- l one| أصغر من epsilon على 2 عشان الاستنتاج
هذا واحد
Also ايضا احنا
فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to
c = عدد تاني ال اتنين then
for the same for same epsilon أكبر من ستة نفس ال
epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X
and X = C = L2 نجد Delta 2 تعتمد على
Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث
أنه لو كان X ينتمي إلى A و |X - C| أصغر
من Delta 2 أكبر من 0 فهذا أكيد بيقدّي أنه |
f of x - L2| أصغر من epsilon على 2 ال sum ال
implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L
Delta = ال minimum ل delta واحد و delta اتنين
طبعا هذا بيطلع عدد
موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا
دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين
يعتمدوا على ابسلون then
by
واحد and اتنين نحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى
a و |x - c| أصغر من delta أكبر من سفر
فهذا هيقدر أن |L1 - L2| = |
L1 - F of X + F of X - L2| إذا انطلعت
أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع
باستخدام ال triangle inequality بالترائنجل الـ
equality لـ | مجموعة حاجتين أصغر من
لو يساوي |L1 - F of X| + |F
of X - L2| الآن
باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta
هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنين وبالتالي
الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال
implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و |x
- c| أصغر من delta واحد فانا بقدم ال |
value هذه أصغر من epsilon على 2 كذلك باستخدام ال
implication 2 أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum
لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال
implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و |
x - c| أصغر من delta 2 فال | ل f
of x - l2| < epsilon على 2 هذا بيساوي
epsilon إذا أنا طلع عندي أثبتت أن |L1 -
L2| < إبسلون طبعا أكيد أكبر من أو يساوي سفر و
الآن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one
hand هنا ال epsilon was arbitrary given الإبسلون
was arbitrarily يعني نقول since this holds for
every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course
بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو يساوي سفر و
أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي
أن a = سفر أخد ايه هنا الـ | ل L1
- L2| فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي
قدر انه |L1 - L2| = سفر وبالتالي
بيطلع عندى L1 = L2 وهو المطلوب إذا أنا فرقت إن
الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two
limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function
إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،
بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟
ناخد ملاحظة هنا الـ
epsilon delta definition of limit of a function f
from a to r
the inequality المتباينة
اللي هي |x - c| > 0 <
دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن |x
- c| لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا
يعني أن X لا تساوي C المتباينة
التانية اللي هي |X - C| أصغر من Delta
هذه بتكافئ أن X - C < Delta > 0
Delta صح؟ وهذه بتكافئ أن X > C - Delta
< C + Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ
Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من
C - Delta ل C + Delta
إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي
لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة
من c - delta إلى c + delta كذلك
المتباينة also
الإي نكواليتي المتباينة
اللي هي |f of x - L| أصغر من إبسلون
means
لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x
فهي عندي f of x - L < إبسلون >
0 حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على
كل أطراف فبطلع f of x < L + إبسلون >
L - إبسلون فهذا معناه أن f of x belongs to
the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة
المفتوحة from L - إبسلون إلى L +
إبسلون مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى
المتيجة التالية
دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A
ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة
Limit f of x as x tends to c = عدد delta اللي
هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon
أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
موجد
Such that لو كان x ينتمي ل a و |x - c|
أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن
|f of x - L| أصغر من أصغر يعني معنى أخر
L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف
epsilon delta المتحفان هذا تعريف epsilon دلتا
بكاذب ال-neverhood definition ال
neverhood definition of limit وهو
أن for every
for every epsilon
neighborhood V
epsilon of L there exists delta neighborhood V
delta of C بحيث
إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة
أيضًا في الـDelta neighborhood لـC فلازم هذا يقدر إن
صورة X لازم تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL
و هذا بالظبط عملنا آخر remark، prove it
follows from
above remark write
it down
حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا
واضحناها من ال-remark خلينا نشوف خلينا
نرسم رسمها في المحور X نحو الـ y وهي ال-origin وخفض
أنه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y
بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة أو
حتى لو ما كانت موجودة c is the cluster point وهي
هذا عدد حقيقي
فده عدد حقيقي فمعنى
أن limit لل-F and X بالساوية C بالساوية L معناه
لأي أبسلون أكبر من الصفر أي لأي أبسلون أكبر من
الصفر ممكن أنا أقول epsilon neighborhood لأي
epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكون إبسلون نبرهود
بإبسلون
لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given
إبسلون neighborhood لإل بقدر أجيل
أرد عليه
الدلتا Delta neighborhood هذا عبارة عن Delta
neighborhood لـ C إذا أنا أخدت أعطتوني إبسلون بقدر
أكون إبسلون neighborhood لـ L فبقدر أرد عليه ال
Delta neighborhood لـ C في الفترة المفتوحة هذه
بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع
Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو
كانت الـX موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، طب X
موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، معناته X موجودة
في A ومختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta
neighborhood هذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC
و X موجودة في الـDelta neighborhood هذا الشرط هذا بيقدي
أن المتباينة هذه تتحقق المتباينة هذه تتحقق معناه أن
الـ F of X صورة X تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL فهو واضح أن
هذا التعريف بيقدي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال
remark والعكس طبعًا صحيح .. صحيح okay تمام؟ إذا هذا
بنسميه الـ .. هذا التعريف بنسميه الـ neighborhood
definition للـ limit of a function والتعريف دا أو
هذا بنسميه الـ epsilon delta definition
of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعًا زي ال
epsilon capital N definition للlimit of a sequence
وبعد هي فكرين عرفنا ال-neighborhood definition
للlimit of a sequence هذا يعني يكافئ الكلام اللي
هنا إذا الآن في عندي تعريفين لل-limit of a
function at a point أو at a cluster point الدارس
التعريف اللي هنستخدمه أكثر هو epsilon delta
definition of the limit أكثر من ال-neighborhood
definition لكن أنا ما منعش أن أنا في أوقات معينة
أستخدم ال-neighborhood definition طيب نأخذ بعض
الأمثلة على كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain
function is a certain number by
using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا
يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل-limits of
sequences فإذا هنا في الأمثلة في كل الأمثلة التالية
عايزين نستخدم ال-definition of أو epsilon delta
definition أو ال-neighborhood definition لل-limit
of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة
بساوي عدد محدد فمثلًا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت
B لما X تقول لها C بساوي B
فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوية
ثابت B لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي
ده اللي ثابتة وبالتالي إذا هنا لثبات إن ال-limit
تبعتها بالساوية B
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر
من الصفر
تعال نشوف ال-implication ال-Delta هذه works ولا
لأ ف أنا عندي إن لو كانت الـ X تنتمي لـ A طبعًا الـ A
مجال الدالة هنا هو كل الأعداد الحقيقية و absolute
X minus C أكبر من 0 أصغر من Delta هل هذا بيقدر
لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد
أنا عندي f of x بالساوية B سالب ال-limit اللي هي
B فهذا بيطلع أبسليوت الصفر بيطلع صفر والصفر هذا
أصغر من أي إبسلون موجبة إذا حصلت تعريف Epsilon Delta
يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works
تعمل تعطيل ال-implication وبالتالي by definition
limit F of X as X tends to C بساوي D طيب
نأخذ كمان مثال لو أخذت ال-identity function
بنثبت إن limit ده identity function لما x تقول إلى
أي عدد حقيقي c بساوي c نستخدم
تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من الصفر be
given المرة هذه بدي أرد على ال-epsilon هذه ال
Delta تعتمد عليها هأختار ال-Delta بساوي epsilon
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta هي عبارة عن ال
identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد
الحقيقية فلو كانت X تنتمي لـ A اللي هي R و Absolute
X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف
هل بيطلع Absolute F of X minus ال-L اللي هو C أصغر
من Epsilon هنشوف
طيب نعوض عن F of X بالساوية X minus C طب أنا عند ال
X هذه موجودة في R و المسافة بينها ومختلفة عن الـ C
والمسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها
بالساوية epsilon إذا ال-absolute X minus C من هنا أصغر من
Delta اللي هي epsilon وبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون
يوجد Delta اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا
كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من Delta
هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من
إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل
epsilon وبالتالي by definition بيطلع عندي limit ال
function f of x اللي هي ال-identity function لما x
تقوى لـ c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة
الجاية هنثبت إن limited ده لتربعية لما x أو لـ c
بساوي c تربيع وهذا موجود طبعًا في الكتاب وفي كمان
أمثلة أخرى فأرجو أنكم تقرأوا الأمثلة هذه من الكتاب
وتحضروها للمحاضرة الجاية وتشوفوا كيف تم استخدام
تعريف epsilon delta في إثبات إن ال-limit لدالة زهر
الدالة التربعية بساوي C تربيع عند أي نقطة C okay
تمام؟ في أي سؤال أو إيضاح؟ إذا نكتفي بهذا القدر
وإن شاء الله اللي أنا أكملّه في المحاضرة القادمة