بسم الله الرحمن الرحيم ننتقل الان إلى شبتر تسعة
شبتر تسعة بتحدث عن لبلاسي transforms تحويلات
لبلاسيليش التحويلات هذه؟ هذه أحياناً بيكون الدالة
صعبة التعامل معاها فبنحولها إلى صورة مكافئة لها
سهل التعامل معاها هذه التحويلة بنسميها تحويلة
Laplace لإن هو اللي اكتشف الشغل هذهبنأخد أول
section في هذا الشبتر اللي هو the place transform
هنعطي تعريف ومن ثم ناخد أمثلة مختلفة على كيفية
حساب the place transform للدوال المختلفة بيقول
افترض ان ال f of t بيه function معرفة على الفترة
من zero ل infinityLaplace transform the function f
of t denoted by يبقى Laplace transform لدالة f of
t يا بعطيله رمز L of f of t يعني Laplace ل F of T
ال L هذه الحرف الأول ما كلمت Laplace or capital F
of S يعني باعتبره function في من؟ function في S
ليش function في S؟ هذا مثلا نجيب عليه بعد قليل
بيقول للابلايسترانسون ال F of T او ال F of S is
defined by كابتال F of S يسوى تكامل من 0 لإنفينيتي
لل E نقص ST لل F of T دي T حيث S parameter او any
real number هذا الان واضح انه improper integral
بسبب وجود man
عن طريق الـ Limit بيبدأ تذهب إلى الـ Infinity لمن؟
لتكمل من Zero إلى B
بنخلّي P تروح ل Infinity وبالتالي اوجدنا لـ Placid
transform نتيجتي التكامل لازم تطلع function في S
ومن هنا قولنا F of S ضروري جدا لازم تطلع function
في S زي ما هنشوف الآنأول مثال قال لي خد لل F of T
و سوى E أس AT و T greater than or equal to zero
قال لي هاتي لأ plus لل E أس AT طبعا ال area number
و هاتي لأ plus لل واحد و لأ plus ل E أس ناقص AT و
لأ plus ل E أس ناقص خمسة T يعني تطبيق مباشر دي
تطبيق مباشر على Cإذا بدنا نحسب لبلاس ترانسفورم
لدالة الأولى يبقى هذا لبلاس ترانسفورم لل E أُس AT
بدي أرجع للتعريف يبقى هو تكامل من Zero إلى
Infinity لل E أُس ناقص ST ال F of T أنا ماخدها E
أُس AT كله في DT
يبقى هذا الكلام بده يساوي limit و هي تكامل من zero
إلى B لما B tends to infinity لل E أس ناقص S ناقص
A كله في T dtيبقى كتابت هذا التكامل على شكل limit
يعني بدي أكامل هذه الدالة ثم أروح أخدلها ال limit
هذا الكلام بده يساوي يبقى ال plus لل E أُس AT بده
يساوي هي ال limit وهذا ال B بدها تروح لل infinity
أظن يا بنات تكامل ال exponential بنفس ال
exponential itself مقسوما على تفاضل S إن كانت الـS
من الدرجة الأولى وزي ما انتوا شايفين هو من الدرجة
الأولى في T يبقى مقسوما على ناقص ال S ناقص ال A
والحكي هذا كله من Zero لوين؟ من Zero لغاية Bإذا
بدنا نعوض بحدود التكامل يبقى هذا الكلام بده يساوي
ال limit لما B tends to infinity لل E أس ناقص S
ناقص ال A في B على مين على ناقص ال S ناقص ال A
ناقص مع ناقص بالصير زائدبدي أشيل الـ T و أضع
مكانها Zero يبقى هذا الـ Plus يصبح E و ال Zero
يبقى داشر بواحد يبقى زائد واحد على S ناقص الـ A
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى أصبح لبلاس Transform
لدلة E أس A T بدي أساوي طبعا هذا الـ O السالبممكن
انازله تحت ايش بيصير؟ بيصير موجب يبقى بيصير limit
لما B tends to infinity لواحد على ناقص ال S ناقص
ال A في E أس S ناقص ال A كله في B زائد واحد على S
ناقص ال Aالحين لما بيبدأ تروح ل zero هذا المقدار
كله بقداش؟ لما تروح ل مالة نهاية هذا المقدار كله
مالة نهاية في رقم
يبقى هذا كله راح بزيرو يبقى ضلة النتيجة واحد على S
نقص ال A بشرط ان ال S is greater than A يبقى بناء
عليه من الآن فا ساعدا Laplace transform لل
exponential function E أس AT هو عبارة عن واحد على
S ناقص ال A انتهينا منهاطيب ان المطلوب الأول
بيداجي للمطلوب الثاني نمرا بي نمرا بي ايوة اخر شرط
نقصنا اكتر من ايه؟ بدي مشان اضمن انه ماصلتش سالبة
دائما انا بدي نقص سجريتر ده نقصه طيب الان بيداجي
لنمرا بي نمرا بي بدي ل plus لل one هل بقدر اجرب ان
اتجيب الواحد الصحيح من ال E أس ET هذي
نقدر؟لو حطينا ال a بقدرش؟ Zero يبقى باجي بقوله هنا
F ال a تساوي zero then Laplace transform لل e او
ال zero هو Laplace transform لمن؟ لل واحد يعني هنا
هشيل ال a و أحط مكانها zero يبقى واحد على s ناقص
ال zero يبقى بهوله بقدرش1 على S إذا من الآن فصاعدا
ل plus transform للواحد الصحيح هي 1 على S طيب نمرى
C جال بيده ل plus transform لل E أس ناقص AT هذه
نمرى C شو بتفرج عن ال A؟بس الـ A بالسالب. إذا بدي
أخد الإجابة اللي حصلت عليها فوق و أحط الـ A
بالسالب. يبقى هذا الكلام دي سواء 1 على S ناقص بدل
الـ A اجانب ناقص A يبقى 1 على S زائد الـ A.نمر دي
جالي هتلي plus transform ل E أس ناقص خمسة T يبقى
واحد على S زائد خمسة لأن هذا هو حالة خاصة للي
عندنا هذا ايه بهي حسبنا plus transform لدوالين
مختلفة example two
بقول find نمرا
A لبلاس ترانسفورم لصين AT نمرا B لبلاس ترانسفورم
لكو صين ATنمر ال c ل plus transform ل cos cos 5t
خلي
بركتيبدّى اخد نمرة ايه بدي لبلاس ترانسفورم لصين اي
تي بدي ارجع للتعريف اللى عندنا يبقى هو تكامل من
zero ل infinity لل E أس ناقص ST لصين اي تي دي تي
طبعا يبقى هذا هو عبارة عن مين عبارة عن limitلما B
tends to infinity لتكمل من zero ل B ل E أس ناقص ST
cosine AT sin AT DT sin AT DT
طب
كيف بنكمل هذا يا مناسي؟ شو الطريقة؟ بن calculate B
بدي واحدة تحكي انا ماتديش الهمامات بدي واحدة ترفع
أيديها و تحكي اه integration by parts integration
by parts تمام؟ و هنا زي ما يقولوا ضرب العميان
الصيف ايش ما تاخد صح ان اخدت ال U تساوي ال
exponential و ال DV تساوي ال cosine ماشي ان اعملت
العملية العكسية اخدت ال U هي ال sine و ال DV هي ال
exponential ماعناش مشكلةيبقى كل ما تاخد الاتنين
صحيح يبقى انا بدي اخد ال U تساوي E أس ناقص ST و
بدي اخد ال DV Sin AT بدي ال DU يبقى ناقص S E أس
ناقص ST DT بدي ال V ناقص Cos AT على Aيبقى النتيجة
هذه بدها تساوي limit لما B tends to infinity لمن؟
ل ال U في ال V يبقى هي ال U و ال V اللي هو ناقص
واحد على A في A أس ناقص ST في cosine AT هذا ال U
في ال V ناقص تكامل V ده UV ناقص cosine AT على A
داليه ناقص S يوس ناقص ST كله بالنسبة الى DTطبعا
كوني كامل تبقى حدود التكامل هذه هتبقى من وين لوين؟
من zero لغاية B وهذا كمان تكامل من zero لغاية B و
limit للكل من هنا لما نكمل من هنا
بتعوض بالقيمة اللى فوق ناقص القيمة اللى اتاها يبقى
هنا ناقص cosine a b على a في a أس Sbنزلت ال
exponential تحت بإشارة موجبة هذا التعييل الأول
ناقص مع ناقص بصير زائد كسين صفر بواحد و E of zero
بواحد بظل عندى هنا بس كدهش واحد على ايهو أي limit
للكل نجي للي بعد هذه عندك هنا ناقص و هنا ناقص و
هنا ناقص يبقى تلاتة بالناقص عندك S و هنا A مقادير
ثابتة يبقى بقدر اخدها برا التكامل و بصير تكامل من
zero إلى B لل E أس ناقص ST ل cosine ATDT
خلّي بالك هنا طبعا هذا حالنا فيكال كلاصي بس أنا
بدكر تذكير يبقى أنا أخدت ال U هنا بال exponential
و أخدت ال DV بsin 80 اشتقت و هنا كامل يبقى هذه ال
U في ال Vماقص تكامل Vداليون بدي أعيد الترتيب و
أعوض بالقيمة اللي فوق ناقص القيمة اللي فوق هذه
السلة اللي بدي أنزلها تحت بصير مجبرة بيبقى Cos AB
على A في Sهنا ناقص مع ناقص زائد بدي أشيل ال T و
أضع مكانها Zero و ال cosine صفر بواحد E و ال Zero
بواحد بيضل بس كدهش واحد على A هنا عندنا S على A
برا عندك ناقص ناقص ناقص يبقى تلاتة بالناقص بيصير
عندنا ناقص S على A تكمل من Zero ل B لل E و ناقص ال
T cosine ATDTتعالى نحسب الحسبة اللى عندنا هذه هذا
الكلام يساوي لو أخدت limit لهذا المقدار يابانات
كدهش بطلع يلا ايه اشوف على السريع كدهش واحد على
ايه هذا term الاول term الاول كصينمه محصر من واحد
و سالب واحد و هذا بين بيروحما لا لا يبقى على جد
ياشف زيرو على طول الخط او بتقولوا ليه cos a b
محصور من واحد و سالب واحد و بدي اضرب الطرفين في
واحد على a في e أس s a b و اخد اللي ما بصير هنا
زيرو هنا زيرو و بيجيب ساندوشتين و اللي في النص
بيزيروإذا هذا ال limit اللي هو كله بـ0 واحد على
إيه مقدار ثابت، مالوش دعوة بال limit تمام، وانهيت
المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself يبقى واحد
على إيه ناقص S على إيه في limit لما B tends to
infinity لتكامل من zero إلى B لل E أس ناقص ST
cosine ATDT
الان برضه بنعمل هذه integration by parts تمام؟
برضه نفس التعويض اللي أخدت U هنا بدي أخدها U هنا
بالضبط لإن لو عملت العملية العكسية ماعرفش اللي
اشتغلت و خربت و رجعت و ماسويش شيء شيءيبقى بضالة
الماشي بنفس الاتجاه إذا بدي أخد ال U تساوي E أس
ناقص ST و DV ليه cosine ATDTيبقى الـ DU يكون ناقص
SE أُس ناقص ST في DT والـ V بـSin AT على A يبقى
أصبح عندي اللي هو من لبلاسر ترانسفورم اللي هي
الـSin AT بدي سوية واحد على A الثابت اللي عندنا
ناقصS على A في الـ limit لما B tends to infinity و
هذا الـ goose اللي عندنا بنروح نكتب U في V هذا الـ
U و هذا الـ V يبقى E أس ناقص ST في Sin AT كله على
جداش على A ناقص تكاملV التي هي الـSin AT على A W
التي هي ناقص SEOS ناقص ST كل هذا الكلام بالنسبة
إلى مين إلى DT وهيجفلنا الجوز بالشكل اللي عندناهذا
الكلام يبدو يساوي 1 على a نزلناها زي ما هي ناقص s
على a زي ما هي و جينا بدنا ناخد a بس هذه يا بنات
بنعود بحدود التكامل من zero إلى b وهذه من zero إلى
b كذلك يبقى هذه بدها الصيرة اللي ماتلما الـ B بدها
تروح إلى infinity للجوز، بتعوض بالقيمة اللى فوق
ناقص اللى تحتى بجا صين A B على A في E أس S Bنقص
نقص
نقص نقص
نقص
نقص نقص نقص
طيب هذا اللي ما تقزش بتعطيني ابنات كمان0 يبقى صارة
إن النتيجة 1 على a ناقص s على a ب a في s على a s
تربيع على a تربيع تمام؟ في limit لمن؟ لما ال b
tends to infinity لتكامل من 0 إلى b لل e أس ناقص
st في sin a t في dtأو ان شئتنا فقولنا واحد على إيه
ناقص S تربيع على إيه تربيع مش هذه هي التعريف
الأساسي اللي موجود عندنا اللي هو هذا يعني هذه بقدر
أقول هي تكامل من zero إلى infinity لل E أس ناقص ST
ل sign ATDT
مصبوط؟ هذه ليلا plus لهذه إذا بده أرجعها يعني صار
هذا عندنا كالتالي صار عندنا بالشكل التالي هذه هو
اللي هي S تربيع على A تربيع وهي الناقص وهي واحد
على A تساوي تساوي اللي هي تكامل من Zero إلى
Infinity لل E أُس ناقص ST لـSin ATDT هي اللي بدأت
فيها مش هي التعريف هذا لإن كتبته زي ما هو طب إيش
رأيك ال term هذا مش هو ال term هذايبقى خليني أنقله
عنده بيجيني بشرط مين؟ موجة يبقى بصير عنا هنا واحد
زائد اللي هو S تربيع على A تربيع كله هدفي لابلاس
ترانسفورم لصين AT بده يسوي قداش1 على a يبقى هذا
معناه ان a تربيع زائد s تربيع على a تربيع كل هذا
الكلام في لابلاسي ترانس فورم لصين at سوى 1 على a
يبقى بناء أن علي أصبح لبلاس ال transform ل sign AT
أضرب A بصير ال A على S تربيع زائد A تربيع مين اللي
بدها تسأل؟ اه ايوة لماذا؟
طب انا بجزر و لسه بتناقش انا وياك و انا باشرع
التكامل هذاتكامل هذا كالكلصبية بنت الحلال و اصولك
تبقى عرفاة و اصول حفظك النتيجة وامشي لكن انا بحصلك
اتفصيل و بذكر تذكير لان العقل مش دايما موجود
عبدالله بيجي بيعدرطيب يبقى مرة تانية بقول احنا
خلصنا الحل شو اللي عملناه و اين توصلنا احنا بدنا
لبلاس ترانسفورم لصين اتي انا ماعنديش الا التعريف
يبقى بدي اضرب هدف E والسالم ST وكمل من Zero الى
Infinity الشكل اللي عندهاالان هذا الـ improper
integral يبقى خاتل و limit integration by parts
بدي اعملها مرتين إذا عملتها مرتين بتبقى مسألة T
خلصت وهذا كان معنا سؤال في calculus B إذا مذاكرين
موجود كان معنا في calculus B في ال integration by
parts بس ده مجنون integration by parts مع ال
improper integralيبقى هذا التكامل بدي أخد هذه U و
هذه DV وبالتالي سلمت U في V ناقص تكامل V داليو
الان بدي أعيد الترتيب هذه بدي أعوض بالقيم اللي فوق
ناقص اللي تحتي بدي أشيل كل T و أحط مكانها
نقص نقص نقص يبقى تلاتة بالسالب بصير عندنا سالب S
على A ثابت بدي أخده برا بضال تكابل من Zero إلى B
لإيه؟ و اذا ناقص ST Cos ATDTبعد ذلك بدي نزل هذه زي
ما هي هذه زي ما هي وهي ال limit ال exponential
اللي عندنا يعني انتقلنا من E أس سالب ST ل sine AT
إلى تكامل لل E أس نقل ST cosine AT يبقى لو كملت
كمان مرة برجع لراسي المسألة اللي فوق إذا بدي أروح
كامل كمان مرة بدي أخد هذه U وهذه DV
هذه تكاملها بـsin at عليها بنقسم على تفاضل الزاوية
إن كانت الزاوية من الدرجة الأولىطيب بدنا نبدأ نعوض
يبقى 1 على a ناقص s على a في limit اللي هي موجودة
عندنا هنا بالضغط تماما الان بداجي اقوله ال U في ال
V أيها من a من zero ل b ناقص تكمل من zero ل b لل V
ده ال U هذا ال V وهذه ده ال U كتبتها زي مانيطيب 1
على a نزلت سالب s a على a نزلت ال limit كما هي هذه
لما تنزل بي تحت بصير sin a بي على a في ال s بي
طبعا هذه ال limit اللي هبزير وانما بي تروح لما لا
نهاية ليش انو ال sin a بي محصور من واحد وسالب واحد
ضربنا في واحد على ال exponential وخلت بي تروح لما
لا نهاية بصير عدد على ما لا نهاية لهوبزيرو يبقى
هذه zero دائما و أبدا الان ناقص بدي أضع هنا zero
وهنا zero هذه واحد وهذه زيرو على أي عدد بقدر بزيرو
وصلنا لهذه ال S على A برة وناقص مع ناقص بصير زاد
وE أقص ناقص ST sin ATDT هي كما هيإذا انصرت المسألة
التكامل الأساسي elemental والـsin AT هذا بدي أساوي
مين؟ بدي أساوي واحد على إيه؟ ناقص، فعندك هنا S
عليّ وهنا S علي إيه؟ S تربيع علي تربيع limit لما
الـP بدأ تروح لل infinity للتكامل اللي عندنا هذا
التكامل لأن هذا هو نفس التكامل هذا تمام بس بده
أرجع هذا إلى أصله قبل ال limit يبقى رجعته إلى أصله
بدل ما هو limit شيلته و كتبت تكامل من zero إلى
infinity لل EOS ناقص STDD هذا هو الطرف الشمال يبقى
بده أديه عنده و أجمع بدل ما كانت شرطه سلمة بصيري
شرطه موجبة يبقى بظل هنا واحدوهنا بيظل S تربيع على
A تربيع كله في التكامل هذا اللي هو Laplace
transform لsin A T بيظل الطرف اليمين فقط اللي هو
جداش 1 على Aالأن وحدنا المقامات لهذه صورة a تربية
زائد s تربية على a تربية بده يساوي واحد على a الان
بدنا نجسم على هذي بيصير a تربية على s تربية زائد a
تربية في a تربية بتروح ال a مع ال a بيظهر أن a في
s تربية عال زائد a تربية هذا ل plus transform ل
sign atلذلك كملنا مرتين و توصلنا إلى تيت التكامل و
قبل شوية لما دي انا اعطينا تعريف لبلايسترانسونه
اقول لك يا بقول L of F of T يا اما F of S لحظة من
حد ما انكمل بطلع عندي دالة في مين؟دالة في S و هنا
دالة في S و هنا دالة في S و هنا دالة في S و كله
دالة في S و سألتك هذا السؤال ليش ال F of S يبقى
النتيجة بعد ما نكمل و نعوض كلها بتطلع function في
S فقط مضالش عند من T و بالتالي جيب دالة كافة من
الدالة الأصلية طب احنا الأن جيبنا
بتعملي الخطوات اللي عملتها بس بدل الصين بتحط معها
كوصين
هذه نمر بيه Similarly اللي هو Laplace transform La
cosine AT بديه ساوية بنات S على S تربيع زائد A
تربيعهذه الـSin بدل الـConstant بيجيني S وليس
Constant، بس هنا كانت إعادة الـSin Constant وهنا S
وهذه تشك براحتك، روح أعملها في الدار، شيك عليهاطيب
من B بده أروح أجيب C يبقى بدي C بدي ل plus
transform ل cosine 5T اللي عبارة عن S على S تربيع
زائد خمسة لكل تربيع يعني S على S تربيع زائد خمسة
وعشرين حد فيكم بتحب تسأل أسئلة هنا؟خلاص؟ ها يا بنت
الحلال انت لعبتي تقصبي ولا لا؟ خلاص يعني؟ فرجت
وكنت وقنوها تفرجوا؟
ما بعد الضيقة بنات إلا الوسعة، وما بعد العسر إلا
اليسر، ولهذا قال الله تعالى فإن مع العسر يسرا، وإن
مع العسر يسرا، ولن يغلب عسرا يسرين أو كما قال صلى
الله عليه وسلم.يعني قدش بتدايق في لحظة تمام و بعد
شوية بتتوسع و هذه طبيعة الدنيا بضلش الواحد عنده
عصر على طول ولا بضل عنده انفراجة على طول الله يخفض
القصة و يرفعها و هذه طبعا من بدهيات اللي هو عمل
الله سبحانه و تعالى طيب نرجع الآن و نكمل في عندنا
نظرية بتقول ما يأتي theorem
لابلاس تحويل لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس
لابلاس
لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس
لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس
لو لابلاس ترانسفورم لل F1 and لابلاس ترانسفورم لل
F2 are both exist لو كانوا exist for لل S اللي
أكبر من S node then
أو بقدر أقول C1 F1
of Sزائد C2 capital F2 of S example نمرة
A find Laplace transform ل تمانية هذا نمرة A نمرة
Bنبدأ بالـ Plastic Transform لـ 3 Cos 2T 3 Cos 2T
ناقص خمسة E أس ناقص تلاتة T نمرى C Find
Laplace transform La cosine تربيع AT Cosine تربيع
اتنين T نمرة D find Laplace transform Lagosh AT
خلّي بالك هنا، اللي بتحكي هناك، خلّي بالك هنا يبقى
باجي و بقول بدنا الآن نجلع نظرية هذه و نحاول نطبق
هذه النظرية، هذه النظرية بتقول لي أن الـplacid
transform عبارة عن مؤثر خطي، شو يعني مؤثر خطي؟ هذا
اللي بدنا نعرفبيقول هنا لأ بلاس ترانسفورم is a
linear operator مؤثر خطي ذاتي an لو كان لابلاس
ترانسفورم لداله f1 و لابلاس ترانسفورم لداله f2
اتنين معرفين يبقى في هذه الحالة بدي لابلاس ل c1 f1
زاد c2 f2 لما اقول مؤثر خطي معناته لابلاس بدي يدخل
على كل term من هذين الtermينيبقى بصير Laplace
للأول زي Laplace للثانى ال constant بنقدر نطلعه
برا Laplace يبقى C1 Laplace لل F1 زي C2 Laplace لل
F2 Laplace لل F1 لو عديتها رمز capital F1 of S
يبقى بصير C1 F1 of S والتانية C2 F2 of Sبنروح
نستخدم هذا الكلام في إيجاد Laplace ال transform
للدوالي المختلفة و كذلك باستخدام المثالين السابقين
اللي أخذناهم قبل قليل يبقى بدايجي لنمرة A بيقول
لها Laplace ل تمانيةبقول مش بعرفني ال place أنا
بعرف ال place للواحد صح بقدر أقول له هذه ال place
ل تمانية في واحد مظبوطالتمانية هي المقدار الثابت
بقدر اطلعه برا ياش برا Laplace يبقى هذه تمانية في
Laplace للواحد تمانية قداش Laplace للواحد واحد على
اس فقط لغير يبقى تمانية على اس هذا Laplace لتمانية
طب Laplace Laplace لمية منهامية ليس حط الرقم اللي
بدك اياه بس انا كنت باعلي اسمك و جبت ال plus ايه
اللي؟ هذا بالنسبالي ايه؟ بدنا نمرأ بيه نمرأ بيه
قلي ال plus ايوة هذه اللي هي ال plus لمين؟ اللي
تلاتة cosine اتنين T ناقص خمسة E أس ناقص تلاتة T
وتساوي هذه هي هذه بالضبط صح؟مظبوط؟ يبقى بدأ أقول
الـconstant في Laplace للدالة الأولى، ناقص
الـconstant في Laplace للدالة الثانية، يبقى هذا
عبارة عن تلاتة Laplace لمين؟ ليه؟ Cos 2T ناقص خمسة
في Laplace للإيقوس ناقص تلاتة Tهذا الكلام يسوى
تلاتة فيه بديلا بلاسلا كوصين اتنين T اللي هي عبارة
عن S على S تربيع زائد كم؟ اتنين تربيع حسبناها قبل
قليل، مظبوط؟ وقلنا لك تشكها يعنيمظبوط؟ يبقى شيلنا
ال a وحطينا اللي هو الرقم اللي مضروه في الزاوية
اللي هو الأثنين هذه الأولى، التانية ناقص خمسة في
نيجي لهذه ال exponential اللي هو واحد على Sإذا
صارت المسألة هي تلاتة S على S ترابيع زائد أربعة
ناقص خمسة على S زائد تلاتةأظن أن هذا هو المضاعف
المشترك كله S تربيع زائد أربعة في S زائد تلاتة هذي
بيصير تلاتة S في S زائد تلاتة ناقص خمسة في S تربيع
زائد أربعةالنتيجة على الشكل التالي تساوي هذه تلاتة
أس تربيع زائد تسعة أسالـ term التاني ناقص خمسة
استربيع ناقص عشرين كله على المقام اللي هو استربيع
زائد أربعة في S زائد تلاتة يبقى النتيجة على الوجه
التالي ناقص اتنين استربيعوهنا زائد تسعة S وهنا
ناقص عشرين كله مقسوما على S تربيع زائد أربع في مين
في S زائد تلاتة يبقى هذا ل plus transform للدالة
هذه طب هذه يا بنات لو عملتلها partial fraction
كسور جزء يمين بطلع بطلع هذاصح؟ مش هذا وحدنا
المقامات، يبقى لو بدى أعمل كسورز بتكون عندي هذه
بالدرجة على الأصل تبعها، يبقى هذا هو الأصل تبعها
طبعا ليش هو بيقولك كده الكلام أنه سيلزمنا بعد شوية
ان شاء الله نضطر نعمل كسور جزئية لمقدار مثل هذا
المقدار مش هنقدر نوجد Laplace transform له أو نوجد
معكوس Laplace transform
هذا نمرة بيبدأ يجي لنمرة C نمرة C بيقول اللي بده
لبلاس ترانس ويراهد C لبلاس لكوسين تربيع بدنا لبلاس
لكوسين تربيع اتنين T يبقى هذه لبلاس ترانس فورم لمص
في واحد زائد كوسين كده شابنات؟أربعة T من حساب
المثلثات يبقى هذه كأنها Laplace transform لنص زائد
نص كوساين أربعة Tهذا الكلام بدي يسوي نص ل plus
transform للواحد زائد نص ل plus transform ل cosine
أربعة T ويسوي هذا نص و ل plus transform للواحد
اللي هو بقداش بواحد على S تهيئنا منه زائد كمان نص
هذه كوصينة أربعة ت اللي باس على اس تربية زائد
أربعة تربية اللي بقداش بستاشةلو حبيت احطها في
الصيغة النهائية يبقى نص عامل مشترك بيظل المقام S
في S تربيع زائد 16 يبقى هنا S تربيع زائد 16 زائد
اللي هو من S تربيع الشكل اللي عندنايبقى هذا يصير
نصف اتنين استربيع زائد ستاش على اس في استربيع زائد
ستاش ويساوي
هذا لبلاس ترانسورم للقوساين تيرفيا نمرأ دين نمرأ
دي كان لبلاس للقوش AT بدي لبلاس للقوش AT طبعا
إذا بدي أبدأ زي ما جيب لبلاس للصين صح؟يعني بدي
أقول EOS نقص ST في جوش AT وكامل مرتين integration
by parts لكن اللي عارف النظرية في عندها طريقة أسهل
من ذلك وهو كتابة الجوش بدلالةExponential تمام يبقى
بتقدر تقولي هذا الكلام بده يساوي Laplace transform
لل E أس AT زائد ال E أس ناقص AT كله على اتنين او
تقول لي هذا الكلام نص برا وهي نص برا وبظل انمين
لبلاس ترانسفورم لل E أس AT زائد لبلاس ترانسفورم لل
E أس ناقص AT وهي قفلنا الجزءهذا الكلام يساوي هي نص
برا مالوش دعوة ل plus لل E أس AT له من واحد على S
ناقص ال A زائد واحد على S زائد ال Aيبقى هذا الكلام
مُص واحد المقامات S ناقص الـA S زائد الـA لو جيت
جمعت بصير الـS زائد الـA زائد الـS ناقص الـA
ويساوي اظن زائد A وناقص A مع السلامةبيظل نصف اتنين
اس عالمين مش هذا فرق بين المربعين يا بناتيبقى S
تربيع ناقص ال A تربيع نص مع اتنين الله سهل عليها
يبقى النتيجة S على S تربيع ناقص A تربيع اظن زي ال
cosine بس الإشارة في المقام بالسالب وليس بالموجة
كيف
كيف؟
لا تحفظيش و هنصورها لك ان شاء الله كل ال aplasia
transform بدل الدالة عشرين دالة و نعطيك يا فيلم
تعالى اتفضلي هيها معاكي استخدميها متى لازم الأمر
يعني الصفحة الأخيرة في ورقة الأسئلة بتكون ال
aplasia transform للدوال كلها اللي بتلزمك و زيادة
شويةبس بدي تعرفي لو قلتلك use the definition to
find Laplace transform لدلة فلانية و أعطيتك دلة
يبقى بدك تروح تشتغلي الشغل هذا، تمام؟ لكن إذا ما
قلتش هذا الكلام و لزمن Laplace لاي دلة بجيبها من
الجدول دوري، الجدول هذا هنعطيكوا يومي ذلكالمرة
القادمة دا من المرة القادمة دي كل واحد أفيكوا يكون
اكتبها معاها لإنه في جدول بدي أقولك يالا عشان
تتعودي تفتشي و تعرفي كيف تقولي من الجدول ل place
transform لدالة ما كل واحد المرة الجاية يكون
اكتبها معاها دي ربالكم
طيب فينا كمان نظرية بنات بتجيب لبلاس ترانسفورم
للمشتقات يعني لو اشتقنا ده اللي بدي لبلاس للمشتقة
هذه النظرية تنص على ما يقيل
طب ليش بدنا Laplace transform لهذه المشتقد؟ لإن
موضوعنا موضوع معادلات تفاضلية بدنا نجيب حل
المعادلة التفاضلية باستخدام Laplace transform يبقى
النظرية بتقول ما ياتي theorem f
f of tis a function such that بحيث ان both Laplace
transform both Laplace transform لل F of T and
Laplace transformللـ F' of T exists then
بدنا
Laplace transform لل F' of T بنعرف على إنها S في
Laplace transform لل F of Tناقص ال F of Zero هذه
لها صيغة تانية كمان وهي S في مين؟ في capital X as
a function of S ناقص ال F of Zero هذه لو كانت
المشتقة الأولى لو جينا للمشتقة الثانية Similarly
لبلاس ترانسفورم للمشتقة الثانية as a function of T
بدي ساوي S squared لبلاس لل F of T ناقص ال S في ال
F of Zero ناقص ال F prime of Zero in general
على وجه العموم لابلاس ترانسفورم للتفاضل النوني as
a function of T
ناقص SN ناقص واحد في ال F of Zero ناقص SN ناقص
اتنين في ال F prime of Zero ناقص ناقص اللي هو ال S
فى ال F to the derivative of N minus two عند ال
zero ناقص F to the derivative of N minus one عند
ال zero
الحسابات اللي فاتت كانت كلها حسابات لبلاس للدوال
لكن هنا بيجي حسابات لبلاس لمشتقات الدوال هناخد
لبلاس المشتقة الأولى لبلاس المشتقة الثانية ومن ثم
انعمم لبلاس المشتقة النونية لو جينا الجدول هذا
فتحت فيه في الكتاب بتلاقي هذهها أخر لبلاس في
الجدول أسفله أخر واحدةأيش بيقول النظرية؟ بيقول لي
ما يأتي f of t هي ال function بحيث لابلسة ل f of t
و لابلسة المشتقة exist ان حدث ذلك يعني ايه بقدر
اجيب لابلسة للمشتقة بدلالة لابلسة للدالة كيف؟
كالتالي بقول s في لابلسة ل f of t ناقص ال f of
zeroأو ال F of T ل plus اللي هبقى عبّره عنه بصيغة
X of S يعني هذه أمانات function كلها في S capital
X of S و هنا ناقص ال F of Zero لو عندي المشتقة
الثانية و بدي أجيبلها ل plus يبقى بابدأ ال S الأس
تابعه هنا كده كانلأن المشتقة واحد هنا مشتقة تانية
بدأت ب S تربيع S بعدها تعدى من ال S بصير S of Zero
يبقى S تربيع ل plus F of T ناقص ال S في F of Zero
ناقص F prime of Zeroوهكذا الان لو جينا نعممها يبقى
ال plus المشتق قانونية ل F هو S to the power N هذا
derivative وهذا أس في X to the power S ك function
ناقص ال S بده ينجس الأس تبعها واحد في ال F of Zero
ناقص ال S ال N بده ينجس واحد هنا عن اللي جابلهفى
ال F prime of 0 نظل ماشي لغاية ما نوصل S و S واحد
المشتقة N نقص اتنين نقص ال F N minus ال one عند Z
المرة القادمة ان شاء الله بدنا ناخد امثلة على كيف
نحيل معادلة تفاضلية بواسطة Laplace transform
وباستخدام هذه النظرية ان شاء الله تعالى اعطيكوا
العفو