بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنكمل في مادة تصميم الآلات واحد
هنبدأ بـ Chapter اثنين load and stress analysis
طبعا جزء من الـ Chapter مراجعة لمادة الـ mechanics
of material وهي شغلها طبعا تفاصيلات جديدة أكثر عمقا
من مادة الـ mechanics of material هنبدأ أولًا من
المراجعة اللي هي shear forces و bending moments in
beams أنا ببين عندي beam في عليه loads F1 F2 F3
طبعا الـ beam simply supported على الأطراف هيكون دي
reaction forces R1 وR2 في البداية المفروض أحسب الـ
reaction forces R1 وR2 يعني هروح أعمل مثلا وسميتها
نقطة A هادي B هاخد summation of moments حوالين B
بتساوي zero ومنها هوجد R واحد أظبط بعدين هاخد
summation of
forces في اتجاه الـ Y بتساوي zero
ومنها بحسب R2 بالطريقة
دي أنا حسبت R1 و R2 طب عشان نرسم shear و bending
moment diagram خلينا نتفق على الـ sign convention
ايش الموجب وايش السالب سواء في الشير أو في الـ
bending moment لو أخدت الـ section هنا على بعد
واخدت الـ free body diagram عندي
هنا R1 و
في عندي هنا F1 طبعا هذا هيكون متزن عشان أوزنه لازم
يكون فيه internal forces بتوزن عندي مثلا shear
force V و bending moment M
طبعا
المثال الثاني هيكون الـ free body diagram بتاعه بالشكل
هذا هذه المسافة ايش X النص
الثاني هيكون فندي هنا R2 و
F3 و
F2 هيكون
الـ shear هنا
معاكس والـ bending moment معاكس صح؟ لو أخدت
infinitesimal element أخدت element صغير كثير على
بعد DX
يعني V و M
واخدته طلعته برة هيكون
عندي هين V و
M هين
هيكون عندي V + DV وعندي M
plus DM لأ
هو أنا أخدت مسافة DX
طبعا ما فيش forces هنا بالحالة هذه بس بشكل عام أنا
بحكيه ممكن يكون في عند الـ DV أحد الاحتمالات أن الـ
DV تساوي صفر وأحد الاحتمالات أن الـ DM تساوي
صفر فبشكل عام في عندي small increment في الـ moment
و small increment في الشير على
فرض أنه أنا في المنطقة دي ما فيش forces هيكون عندي
الـ DV و دي ZERO حسيت لي زي عندي دي أنا ما بتقدرش
زيرو لأ دي أنا ما لاش مش زيرو صحيح خليها بشكل عام
احنا خليها بشكل عام الآن sign convention في حالة
الـ bending moment لحظة بأخد element حاولتني بشكل
هذا بيحاول بيحاول يعمل ايش سطح تقعر هين هين
compression هين tension هذا بيصير positive bending
moment هذا positive bending moment العكس
لو كان العكس بيصير
السطح له tension والسطح السفلي compression هذا
بسميه negative bending moment الحالة
هذه الـ
V على الشمال الأعلى والـ V على اليمين الأسفل بسم
positive shear إذا كان العكس ايش بيكون negative
shear أنا عشان أسهل الحالة احنا عرفنا ايش الـ
positive shear والـ positive bending moment إذا
أخدت الـ free body diagram والجزء اللي على الشمال
كان الـ shear اللي أسفله والـ bending moment بعكس
عقارب الساعة هذا هيكون ايش positive هيكون ايش
positive فإذا أخدت اللي هو الـ جزء اللي على اليسار كـ
free body diagram الشير اللي أسفله والـ bending
moment بعكس عقارب الساعة هذا positive bending
moment positive shear
عندي beam simply supported على الأطراف فيه بأثر
عليه load موزع load موزع يعني وحداته وحدات القوة
لكل وحدة طول يعني نيوتن لكل متر أو مثلا pound per
inch فالـ load موزع على الطول إذا
فاكرين من مادة الـ mechanics of material
كان عندي الـ shear الـ V بسهولة
DM by DX هذه مادة الـ mechanics material يعني الـ
DM بسهولة
V DX لو عملت integral بين نقطتين MA
هنا لأ من A لـ B هكون عند هنا الـ shear عند A معناته
الفرق أو في الـ moment بين نقطة B ونقطة A هو
المساحة تحت منحنى shear diagram بين A و B و
برضه من مادة mechanics الـ dV by dx لاحظوا هديتها dV
على dx بتساوي
الوحدات وحدات ايش force per length بتساوي ايش
الـ q الـ q احنا حاكيها على distributed load لاحظوا
يعني V DM على DX يعني نيوتن في متر على متر أعطتني
ايش force حسين عندي dV So Q DX من A لـ B يعني من XA
لـ
XB بس في عندي خطأ يعني هذه لأن
الـ differential DX من XA لـ XB يعني
لو كانت الـ V constant هتكون V في XB - XA
معناته
الفرق في الشير بين نقطتين B وA يمثل بالمساحة تحت
منحنى الـ distributed load من A لـ B
نشوف مثال find
a beam أمامي
عليه two loads واحد load قيمته 200 pound على بعد 4
انش والـ load الثاني قيمته 100 pound على بعد 10 انش و
الـ beam طوله 20 انش المطلوب derive the loading
shear force and bending moment diagrams for the
beam يعني أولًا هنحسب ايش الـ reactions خلينا نسمي
هذه A أو خلينا
ناخد الـ moment حوالين
O بالصفر هتساوي
ناقص 200 في 4 ناقص
100 في 10 زائد
20 في R 2 يعني
هيطلع عند R 2
يعني عندي 20 في 4 80 زائد 100 180
وعشرين 90 صح؟
يعني
R 2 90 pound
بعد أن اخذ summation of forces في اتجاه الـ Y بتساوي
0 هيكون عندي R1 - 200
- 100
زائد R2 اللي هي 90 تطلع عندي R1
130 pound لأن
وجدت الـ reactions بدي أعمل الـ shear diagram هادي
الـ beam هادي
نقطة O وهذا الـ X axis
وهذا الـ Y axis عند
هنا R
واحد اللي هي قيمته 130 عند هنا R
اثنين اللي
هي قيمتها 90 عند هنا force
200 pound عندي force 100
pound وكل
طول الـ beam الـ beam 20 انش هذه
المسافة 4 انش
و هادي 10
انش
هرسم الشير طبعا
واضح في الأول عندي هكون عندي 130 صح؟ صحيح
130
و 10
Pound من صفر لـ 4 بعدين هنزل 200 بيضل كم؟ بيضل
-70 هضله
-70 هنزل
100 بيصير -90
حضر لها سنة تسعين وبعدها حضر عليها تسعين لأن أنتم
هاي ال shear diagram عنده
المومنت دياجرام المومنت
في البداية هي أنا شغل متها صفر المومنت
عند النقطة هذه بس هو المومنت عند البداية زاد
المساحة تحت منحنى الشير يعني خليني أسميها دي a واحد
هذه
المساحة a اثنين هذه ايش a ثلاثة خليني
أحكي هذه النقطة أسميها هنا o هنا واحد هنا اثنين
هنا ثلاثة ال m o ايش بتساوي
صفر صح طيب
نحسب ال a واحد a واحد كم قيمتها اثنين و عشرة في
أربعة اثنين
و عشرة في أربعة ثمانية و أربعين pound inch
معناته ال m عند واحد ال m عند واحد سواء ال m o زاد
ال a واحد صح اللي هي صفر زاد ثمانية و أربعين تطلع
ثمانية و أربعين pound inch
لأن هذه constant معناته هذه هتكون خطة طيب
a اثنين ايش متساوي a اثنين
ستة في عشرة
الـ m2 شو يساوي؟
بيساوي m1 زاد a اثنين يعني ثمانية و أربعين زاد ستين
تسعمئة pound inch واضح يعني ال slope أقل من ال
slope هذا صح؟ لأنه ما تكونش زي هيك
طب a ثلاثة إنش الساوية؟ تسعين سالب
تسعين في عشرة في عشرة سالب
تسعمية pound inch m ثلاثة إنش الساوية؟ بيساوي m
اثنين زاد a ثلاثة أما
اثنين اللي هي تسعة مائة زاد ناقص تسعمية صح؟ صفر
معناته حاجة لحد هنا طبعا
عندي
هذا ال bending moment و هذا ال shear diagram خذها
طيب
الآن في طرق ثانية عشان نحسب ال reactions
و نحسب ال shear diagram و ال moment diagram بس
يلا و نبدأ فيها لازم ناخذ بعض المفاهيم في
الرياضيات هنحكي على singularity functions طبعا هنا
في functions أول واحد بيسميه unit doublet أو
concentrated moment
concentrated moment هاي ال X axis و هاي x بالساوية
a و
ال function يكتب x minus a سالب 2 by definition x
minus a سالب 2
ال x minus a سالب
2 بيكون
يساوي صفر و المكان مقعدة عند x يعني بيستوي ايه at
x بتساويش a
و بالساوية infinity يعني
بيصير قفزة في القيمة عند at x بالساوية يعني عند x
ساوي a بالساوية infinity otherwise
بيكون ساوي صفر لو بدنا نعمل integral برضه by
definition x minus a سالب 2 dx
بيعطينا
function جديد اسمه x minus a سالب 1 ال
x minus a سالب 1
بساوي صفر at x بساويش a و
بساوي برضه what infinity at x بساوي a و
يرمز له بالرمز هذه
a هذا x هذا x minus a سالب واحد والانتجار
بتاعه by definition x minus a سالب واحد دي x هيكون
x minus a صفر
ال x minus a صفر عبارة
عن step function هاي
x بساوي a واحد
بساوي صفر when x أقل من a و بساوي واحد لما x
أكبر أو يساوي a switch التكامل
ل x minus a by definition صفر dx
بساوي x minus a واحد
و ال
x minus a واحد
بساوي
هي x هي a ramp طلع يعني بيساوي صفر وين x أقل من a
و بساوي x minus a لما
x أكبر أو يساوي a
والتكامل له ل
x minus a واحد
dx بساوي اللي هو x minus a اثنين على
اثنين هذه ال functions اللي هي x minus a سالب اثنين
و x minus a سالب واحد و x minus a صفر و x سالب اه
واحد بسميها Singularity Functions وهذه تعريفاتها
أول واحد x minus a سالب اثنين يمثل أن في عندي
moment مركزة عند نقطة a concentrated moment عند a
لكن عند مقاد ثاني مافيش معناه تقولها قيمة عند a ال
x minus a سالب واحد بيحكي لي في force مركزة
concentrated عند x بساوي a otherwise مافيش
force ال x سالب a صفر هذا step function أقول طالما
أن x أقل من a لا يوجد قيمة إذا x أكبر من a لا يوجد
قيمة إذا x أكبر من a لا يوجد قيمة إذا x أكبر من a
لا يوجد قيمة إذا x أكبر من a لا يوجد قيمة إذا x أكبر
قيمة إذا x أكبر من a لا يوجد قيمة إذا x أكبر من a
لا يوجد قيمة إذا x أكبر من a لا يوجد قيمة إذا x أكبر
من a لاي
خلينا نحل المثال السابق هذا المثال باستخدام ال
singularity functions بس خلينا نرسمها على جهة أنا
عندي زي أنتم شايفين عند بيم عليه two forces 200
pound و 100 pound عندي reaction force r واحد و r
اثنين طبعا احنا في أول slide حكينا أن فينا ال q
صح؟ بعدين بعمل integral ل q dx بجيب ال v بعدين
بعمل integral ل v dx بجيب ال difference فيهاش في
ال moment
تذكروا السالب اثنين concentrated moment السالب
واحد concentrated force ال صفر step function ال
واحد رم ف أنا
أعبر ال q بشكل عام ال q الحالة هذه ال
r one concentrated force و المؤثرة عند x ستة و صفر
صح؟ يعني هتكون r واحد x
minus يعني كده بيزير عشان توضح سالب واحد بمثل r
واحد اللي لها قيمة فقط عند x ستة و صفر مظبوط؟
حد إلى التحت ماقص متين
هذه برضه concentrated force ايش كميتها شو يساوي؟
متين فقط قلت x يساوي أربعة x ناقص أربعة سالب واحد
صح؟ ناقص
مية x سالب كم؟ اللي هي قيمة عندك؟ عشرة
فقط زاد r2 عند
x شو يساوي؟ عشرين سالب واحد ال
.. ال .. ال dv أو ال v شو يساوي؟
تكامل q
dx، صح؟ يعني الـ v هتكون تساوي هتكون
r1 x
minus صفر، صفر، صح؟ عشان أقول أن تكاول x-a-1 by
definition هي x-a 0 minus 200 x-4 0 minus 100 x-10
0 زائد r1x minus عشرين صفر
نعم
r اثنين ال
moment هيكون تكامل v dx يعني ال moment هتكون تساوي
r واحد x minus صفر واحد ناقص متين x minus أربعة
واحد minus مية x
minus
عشرة واحد زائد r اثنين x minus عشرين واحد طيب
الآن
هذه ال x minus صفر ايش معناتها خلينا نرسمها
أول واحدة الـ x minus صفر يعني
نحكي x minus صفر ماهي x صفر
ال x minus صفر ال switch إذا x أقل من صفر
بيكون صفر هاي x
إذا أكبر أو يساوي صفر بتكون الكمية تعيش واحد طب
ال x ناقص أربعة صفر هاي
أربعة هذه
ال x ماينس أربعة صفر إذا x أقل من أربعة صفر أكبر
أو يساوي صفر
إلا بعد الأربعة قبل الأربعة ما يكون إيش مقفل ال
switch هذا بيشتغل بعد .. مباشرة بعد ال X بيساوي
Zero X بيساوي Zero الثالث اللي هو X ناقص عشرة X
ناقص عشرة هاي
عندي عشرة واحد
X ناقص عشرة Zero بيشتغلش
غير بعد X ستة و عشرة و قبل عشر ما يكونش طافة مفتاح
بيكون طافة ال X ناقص عشرين Zero
هذا قبل العشرين مشتغلش بيشتغل بعد العشرين نشوف
اللي هي x ناقص زيرو واحد هذا
ram بيبدأ يشتغل خط مستقيم،السلوب بتاعه واحد هذه x
واحد
المراتب الساوى x اذا x أكبر أو يساوى zero السلوب
بتاعه واحد الثاني
اللي x ناقص أربعة واحد
الرام تشتغل بعد الأربعة برضه ال slope إيش واحد هذا
x minus أربعة واحد ما قبل أربعة تكون الشغالة الثالث
اللي هو عند عشرة
هذه x minus عشرة واحد الرقم تشتغل بعد ال x
بالمساوي عشرة الرابع هعندي
عشرين والسلوب واحد هذه x minus عشرين واحد
طيب ما قبل عند x بالساوي zero minus يعني ما
دخلناش في ال zero بيكون فين ال shear force؟ نتأكد
يعني احنا حكينا هي هذا احنا بنحكي عند x بالساوي
zero minus هذا هيشتغل؟ zero هذا اصلا بيشتغل غير إن
بعد أربعة برضه Zero وهذا بيشتغل بعد عشرة برضه Zero
وهذا بيشتغل بعد عشرين Zero برضه صحيح الكلام طيب ال
Moment عند X يستوي Zero minus في Moment؟ لأ جربه
هذا برضه بيشتغل بعد احنا لك ZX minus ما اشتغلش Zero
هذا لسه بيبدأ يشتغل بعد الأربعة Zero Zero Zero
معناته صحيح الكلام طيب ال B ال B ما هدا هي لأن
هنيجي عند X at X
يساوي عشرين plus هتكون
ال V بتساوي Zero ما فيش shear أساسا بعد العشرين أكيد
الآن هذا بيشتغل .. بيكون شغال يعني R واحد في واحد
صح؟
و
برضه هذا شغال لأن أنا حكيت
and at x المساوي عشرين plus يعني هو بيبدأ يشغل بعد
الأربعة معناته برضه شغال معناته هتكون ناقص متين
وهذا
أساسا شغال من عشرة ناقص مية واحنا عشرين plus برضه
هتكون شغال زاد R اثنين يعني هكون دي R1 زاد R2 يساوي
ثلاث مية طيب برضه عند X بالساوي عشرين plus المهم
ما نشوف بالساوي Zero هتكون
هذه R1 في X X إيش قيمتها عشرين يعني هتكون هذه
عشرين عشرين R واحد ناقص
متين
في
عشرين ناقص أربعة ناقص
مئة في عشرين ناقص عشرة زائد R2 في عشرين ماينص
عشرين صح؟
يعني هيكون عند هذة هتروح ومنها بحسب ال R1 تطلع تن
و عشرة pound وبعدين ال R2 من المعادلة السابق
هتكونش
تسعين pound خليني
ارسم ال shear والمهم ال diagram هاي
ال shear
الشير هيكون بالساوي من صفر لأربعة ولا واحد بيكون
شغال هذا طافة طافة طفين يعني هتكون كام؟ R واحد في
كام؟ ال X كام؟
X كام في متر؟ بضرب في واحد صحيح اللي هو كام متين
وعشرة متين
وعشرة بين الأربعة والعشرة بدخل على الخط مين هذا
بيصير on لسه هذا off off هيكون معناته R واحد اللي
هو متين وعشرة ناقص متين في واحد اللي هي إيش يصير
عشرة بعد
ال X عشرة بيشتغل
الثالث صح switch يعني أنا هكون عشرة ناقص مية سالب
و تسعين لحد
من الصين عند X plus عشرين X plus عشرين plus بيشتغل
الأخر واحد هضيف عليه R اثنين اللي هي تسعين يعني
هذا عند
هي رسمنا الـshear الـshear diagram شوف
ال moment ال
moment هي
من صفر لأربعة من صفر لأربعة X
صفر قبل الأربعة moment إنتش هتكون استرعبه R واحد
في X هذا ما اشتغلش عند
أربعة لأن X صار أربعة اللي هو تمامية وأربعين
X أصغر من عشرة الآن بيستوي R واحد في X بدخل الثاني
ناقص متين في X ناقص أربعة يعني لو حط X يساوي عشرة
هتكون ال moment هتكون متين و عشرة في عشرة ناقص متين
في اللي هو عشرة ناقص أربعة يعني ثمانية و أربعين
الفين
و مية ناقص
ألف و متين اللي هي كام تسع مائة بين
ال X عشر او عشرين بيشتغل
الثالث هذا هيكون عندي ال moment بالساوي
R واحد في X
-200x-4-100x
-10 يعني هتكون لو حكيت x وستة و عشرين هتكون عشرين
متين و عشرة في عشرين ناقص متين عشرين ناقص أربعة
ستة عشر ناقص تلاتة و متين صح؟
ناقص ألف عندكوا هنا أربعة آلاف و متين، ناقص تلات
ألف و متين، ألف، ناقص ألف، صفر مش
هيك أكون خلصت، أعطيكوا العافية