1
00:00:21,450 --> 00:00:27,950
Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخذنا الـ

2
00:00:27,950 --> 00:00:33,670
monotone convergence theorem وشوفنا

3
00:00:33,670 --> 00:00:38,970
أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence وال

4
00:00:38,970 --> 00:00:42,710
sequence هذه monotone يعني increasing أو 

5
00:00:42,710 --> 00:00:48,510
decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if

6
00:00:48,510 --> 00:00:53,060
it is bounded إذا الـ monotone sequence converges

7
00:00:53,060 --> 00:01:01,360
if and only if it is bounded طيب

8
00:01:01,360 --> 00:01:04,420
ال monotone sequence نوعين إما increasing أو

9
00:01:04,420 --> 00:01:07,360
decreasing فلو كانت ال sequence increasing وطبعا

10
00:01:07,360 --> 00:01:10,940
bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال

11
00:01:10,940 --> 00:01:14,040
statement الأول وال limit تبعتها بساوي ال

12
00:01:14,040 --> 00:01:17,280
supremum اللي لها كـ set ولو كانت ال sequence

13
00:01:17,280 --> 00:01:22,420
decreasing وبالطبع bounded فحسب ال statement الأول

14
00:01:22,420 --> 00:01:28,720
تطلع convergent ونهايتها هي ال infimum تبعها كـ set

15
00:01:28,720 --> 00:01:33,040
وشوفنا

16
00:01:33,040 --> 00:01:35,560
برهانها مغرية في المحاضرة السابقة

17
00:01:38,060 --> 00:01:43,060
الآن بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain

18
00:01:43,060 --> 00:01:47,200
sequences are convergent أو divergent النظرية هذه

19
00:01:47,200 --> 00:01:51,180
بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone

20
00:01:51,180 --> 00:01:55,960
sequence معينة إما convergent أو divergent عشان

21
00:01:55,960 --> 00:01:59,120
أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone

22
00:01:59,120 --> 00:02:02,760
sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها

23
00:02:02,760 --> 00:02:08,980
bounded العكس لو في عندي monotone sequence وبدي

24
00:02:08,980 --> 00:02:14,640
أثبت انها divergent يكفي أن أثبت انها unbounded

25
00:02:14,640 --> 00:02:21,840
not bounded فهي أن ال sequence xn بساوي واحد على n

26
00:02:21,840 --> 00:02:27,240
هاد ال sequence معروف إنه ال limit إن ها convergent

27
00:02:27,240 --> 00:02:34,630
و its limit is zero زيها زي ال sequence واحد على n و

28
00:02:34,630 --> 00:02:38,270
ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergent و

29
00:02:38,270 --> 00:02:42,030
نهايتها بالساعة وسفر باستخدام تعريف epsilon

30
00:02:42,030 --> 00:02:49,070
capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال

31
00:02:49,070 --> 00:02:52,830
limit أن ال limit لل sequence واحد على N بالساعة و

32
00:02:52,830 --> 00:02:57,810
سفر باستخدام ال archimedean property فهذا برهان

33
00:02:57,810 --> 00:03:04,810
ممكن أي واحدة فيكم تكتبه اللي هو باستخدام تعريف

34
00:03:04,810 --> 00:03:08,110
epsilon capital N زائد ال archimedean property

35
00:03:08,110 --> 00:03:13,290
بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم

36
00:03:13,290 --> 00:03:16,550
هنشوف برهان تاني باستخدام ال monotone convergence

37
00:03:16,550 --> 00:03:16,990
theorem

38
00:03:20,740 --> 00:03:25,460
السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one

39
00:03:25,460 --> 00:03:28,960
over square root of n طبعا square root of n أصغر

40
00:03:28,960 --> 00:03:32,720
من square root of n+1 لأي عدد طبيعي وبالتالي

41
00:03:32,720 --> 00:03:37,680
مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لصغير هذا xn زائد واحد

42
00:03:37,680 --> 00:03:44,240
وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زائد واحد

43
00:03:44,240 --> 00:03:48,560
أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing

44
00:03:49,820 --> 00:03:54,740
كذلك ال sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد

45
00:03:54,740 --> 00:03:59,700
موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn

46
00:03:59,700 --> 00:04:04,780
أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence

47
00:04:04,780 --> 00:04:12,000
increasing و bounded إذا by monotone

48
00:04:12,000 --> 00:04:16,620
convergence theorem ال sequence هذه هتكون

49
00:04:16,620 --> 00:04:23,220
convergent وال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب

50
00:04:23,220 --> 00:04:27,740
ال infimum للمجموعة هذه بتساوي صفر

51
00:04:30,570 --> 00:04:35,710
وبرهان ذلك شبيه ببرهان ال infimum لل sequence 1

52
00:04:35,710 --> 00:04:40,310
على n بالساوي 0 باستخدام ال Archimedean property

53
00:04:40,310 --> 00:04:44,350
راجعوا برهان أن ال infimum لل sequence 1 على n

54
00:04:44,350 --> 00:04:48,610
وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان

55
00:04:48,610 --> 00:04:54,800
وكتبوا برهان مشابه له بنفس الطريقة نثبت ان الانثرام

56
00:04:54,800 --> 00:04:58,660
لسيكوانس هادى أو الست هادى صفر إذا حسب ال

57
00:04:58,660 --> 00:05:01,400
monotone convergence theorem ال sequence واحد على

58
00:05:01,400 --> 00:05:05,700
جذر n is convergent وال limit تبعتها بساوي

59
00:05:05,700 --> 00:05:10,240
الانثرام تبعها اللي هو صفر إذا هي مثال على تطبيق

60
00:05:10,240 --> 00:05:15,570
ال monotone convergence theorem كذلك ممكن برضه زي

61
00:05:15,570 --> 00:05:18,810
ما قلتلكم نستخدم ال monotone convergence theorem

62
00:05:18,810 --> 00:05:26,750
في إثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف

63
00:05:26,750 --> 00:05:30,870
مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها

64
00:05:30,870 --> 00:05:37,490
xn هذا ال nth partial sum بالمناسبة هذا ال nth

65
00:05:37,490 --> 00:05:43,330
partial sum في ال harmonic series سيجما من K بساوي

66
00:05:43,330 --> 00:05:50,210
واحد to infinity لواحد على K وهدا

67
00:05:50,210 --> 00:05:53,110
ال harmonic series is divergent معروف في calculus

68
00:05:53,110 --> 00:06:00,190
بقى ال series هدا is divergent وهدا الحد العام في ال

69
00:06:00,190 --> 00:06:04,730
sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا

70
00:06:04,730 --> 00:06:10,330
إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجة من الموضوع هذا إنه a

71
00:06:10,330 --> 00:06:13,970
series converges if and only if ال sequence of

72
00:06:13,970 --> 00:06:18,130
partial sums is convergent فلو ال series is

73
00:06:18,130 --> 00:06:21,130
divergent ال sequence of partial sums is divergent

74
00:06:21,130 --> 00:06:24,830
هذه هي ال sequence of partial sums هدا بتنها

75
00:06:24,830 --> 00:06:31,150
divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال

76
00:06:31,150 --> 00:06:37,300
monotone convergence theorem طيب ال sequence هي

77
00:06:37,300 --> 00:06:43,920
الحد العام xn إذا الحد رقم n زائد واحد هي بنضيف

78
00:06:43,920 --> 00:06:49,400
زائد واحد على n زائد واحد للمجموع هذا اللي هو xn

79
00:06:49,400 --> 00:06:54,320
صح؟ وبالتالي زي ما أنتو شايفين الحد xn زائد واحد

80
00:06:54,320 --> 00:07:00,560
هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn

81
00:07:02,310 --> 00:07:06,670
الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال

82
00:07:06,670 --> 00:07:14,690
sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في

83
00:07:14,690 --> 00:07:19,410
عندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، وال

84
00:07:19,410 --> 00:07:25,600
sequence هذه increasing، monotone يعني الآن ال

85
00:07:25,600 --> 00:07:30,700
monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال

86
00:07:30,700 --> 00:07:34,260
sequence هذي convergent لازم أثبت إنها bounded

87
00:07:34,260 --> 00:07:39,860
وعشان أثبت إنها divergent لازم أثبت إنها unbounded

88
00:07:39,860 --> 00:07:44,520
فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded

89
00:07:44,520 --> 00:07:48,640
بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون

90
00:07:48,640 --> 00:07:49,360
divergent

91
00:07:52,580 --> 00:07:57,960
تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال

92
00:07:57,960 --> 00:08:04,200
sequence بدل x in  x اللي الحد العام تبعها two to n

93
00:08:04,200 --> 00:08:09,640
هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال

94
00:08:09,640 --> 00:08:10,820
sequence x in

95
00:08:16,700 --> 00:08:21,480
يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x

96
00:08:21,480 --> 00:08:27,400
رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence

97
00:08:27,400 --> 00:08:32,620
هذه x اتنين لما n بساوي واحد بعدين اللي بعده x

98
00:08:32,620 --> 00:08:40,100
أربع بعدين x تمام يعني وهكذا طبعا هذه الحدود هذه

99
00:08:40,100 --> 00:08:44,980
كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال

100
00:08:44,980 --> 00:08:49,090
sequence الأصلي الآن أنا بدي اخذ الحد العام لل sub

101
00:08:49,090 --> 00:08:56,750
sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب

102
00:08:56,750 --> 00:09:01,170
أنا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زائد نص زائد تلت

103
00:09:01,170 --> 00:09:06,290
آخر حد واحد على n طب لما بدي ال n بـ 2 أس n هيطلع

104
00:09:06,290 --> 00:09:10,650
عندي المجموعة واحد زائد نص زائد تلت إلى آخر حد واحد

105
00:09:10,650 --> 00:09:16,620
على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequence الآن الحدود

106
00:09:16,620 --> 00:09:25,340
هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده

107
00:09:25,340 --> 00:09:31,320
في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،

108
00:09:31,320 --> 00:09:38,080
بعدين ال block الرابع هتكون خمس وسدس وسبعة وثمان، أربع حدود مع بعض، اجمعهم مع بعض وهكذا إلى ال

109
00:09:38,080 --> 00:09:44,840
block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زائد 1

110
00:09:44,840 --> 00:09:51,220
إلى 1 على 2 أس N طيب

111
00:09:51,220 --> 00:09:56,660
هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من

112
00:09:56,660 --> 00:10:02,080
ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت

113
00:10:02,080 --> 00:10:06,820
التلت بربع، والتلت أكبر من ربع فصار مجموع ربعين

114
00:10:06,820 --> 00:10:12,650
الآن في ال block اللي بعديها في عندي خمس وسُدس و

115
00:10:12,650 --> 00:10:16,090
سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان

116
00:10:16,090 --> 00:10:22,110
يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي

117
00:10:22,110 --> 00:10:27,450
هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا

118
00:10:27,450 --> 00:10:34,390
هذا الحد اللي هنا هذا أكبر من واحد على اتنين أس n

119
00:10:34,390 --> 00:10:39,910
لأنه 2 أس n أكبر من 2 أس n سالب 1 زائد

120
00:10:39,910 --> 00:10:44,450
واحد لكل n إذاً هذا أكبر من واحد على 2 أس n

121
00:10:44,450 --> 00:10:49,050
والبعد أكبر من واحد على 2 أس n وهكذا إذاً هنا

122
00:10:49,050 --> 00:10:53,410
عندي واحد على 2 أس n مجموعة على نفسه 2

123
00:10:53,410 --> 00:10:57,550
أس n سالب 1 من المرات مجموعهم بيساوي مجموع دول

124
00:11:03,890 --> 00:11:07,030
بيساوي 2 أس n سالب 1 في 1 على 2 أس n

125
00:11:07,030 --> 00:11:11,650
بيطلع نص إذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده

126
00:11:11,650 --> 00:11:16,990
نص كلهم نصارى ما عدا أول حد إذا واحد وهي نص وهذا نص

127
00:11:16,990 --> 00:11:23,670
اللي بعده نص وآخر واحد نص طب كم حد في هنا هاي حد

128
00:11:23,670 --> 00:11:29,950
ودول عددهم n من الحدود وهذا عدد هاي n زائد واحد

129
00:11:29,950 --> 00:11:34,870
من الحدود طب هدول عددهم n لما أجمع عدد على نفسه

130
00:11:34,870 --> 00:11:38,810
n من المرات بيطلع n في نص اللي هو n على 2 زائد

131
00:11:38,810 --> 00:11:42,770
واحد طيب لما n تقول لـ infinity n على 2 يقول لـ

132
00:11:42,770 --> 00:11:46,570
infinity وبالتالي 1 زائد n على 2 بيروح لـ

133
00:11:46,570 --> 00:11:50,410
infinity تمام؟

134
00:11:50,410 --> 00:11:54,690
إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال

135
00:11:54,690 --> 00:12:02,730
subsequence طولها أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو

136
00:12:02,730 --> 00:12:14,510
بالتالي إذا

137
00:12:14,510 --> 00:12:21,510
أنا عندي x to 2 to n tends to infinity as n

138
00:12:21,510 --> 00:12:29,270
tends to infinity وبالتالي هذا معناه أن x 2 to n

139
00:12:29,270 --> 00:12:38,330
أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit

141
00:12:38,330 --> 00:12:42,730
لحد

142
00:12:42,730 --> 00:12:47,650
هذا أو الـ sequence X المؤشرات تبقى 2 نص M تقول

143
00:12:47,650 --> 00:12:52,750
infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد

144
00:12:52,750 --> 00:12:58,800
موجب، بالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد

145
00:12:58,800 --> 00:13:06,980
العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي

146
00:13:06,980 --> 00:13:15,560
فهذا بيؤدي إن الـ sequence XN نفسها is unbounded

147
00:13:15,560 --> 00:13:21,300
لأنه لو كانت الـ sequence bounded فأي sub-sequence 

148
00:13:21,300 --> 00:13:25,420
منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح؟ هذا واضح

149
00:13:25,420 --> 00:13:30,740
تمام، الآن by monotone convergence theorem الـ

150
00:13:30,740 --> 00:13:37,340
sequence XN is unbounded وبالتالي it is divergent

151
00:13:37,340 --> 00:13:45,000
لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded، okay، إذا

152
00:13:45,000 --> 00:13:49,600
هاي استخدمنا الـ monotone convergence theorem لإثبات

153
00:13:49,600 --> 00:13:52,140
أن سيكوانس معينة 

154
00:13:52,140 --> 00:13:52,840
مُعينة

155
00:13:52,840 --> 00:13:56,680
مُعينة 

156
00:13:56,680 --> 00:13:59,900
مُعينة

157
00:13:59,900 --> 00:14:00,660
مُعينة

158
00:14:00,660 --> 00:14:05,360
مُعينة

159
00:14:05,360 --> 00:14:11,900
مُعينة

160
00:14:11,900 --> 00:14:12,220
مُعينة

161
00:14:16,610 --> 00:14:21,230
المثال الثالث برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو

162
00:14:21,230 --> 00:14:23,790
الـ monotone convergence theorem

163
00:14:34,440 --> 00:14:40,520
بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين، الآن أنا 

164
00:14:40,520 --> 00:14:44,820
بدي أعرف الـ sequence XN inductively بطريقة 

165
00:14:44,820 --> 00:14:52,860
استقرائية، شفنا

166
00:14:52,860 --> 00:14:56,460
إحنا لما بدينا الـ chapter هذا إن الـ sequences can

167
00:14:56,460 --> 00:15:01,740
be defined in two ways، إما explicitly زي مثلا الـ

168
00:15:01,740 --> 00:15:06,900
sequence XN بالساوي 1 على N أو recursively أو 

169
00:15:06,900 --> 00:15:11,520
inductively بطريقة استقرائية بأن أنا آخذ قيمة للحد

170
00:15:11,520 --> 00:15:16,440
الأول أو أول حدين أعطيهم قيم محددة، وبعدين أعرف

171
00:15:16,440 --> 00:15:22,510
الحد العام بدالة الحدود اللي قبله، فهي اندي الحد 

172
00:15:22,510 --> 00:15:28,110
الأول نفرض إنه بيساوي 1، الآن بنعرف XN زيادة 1

173
00:15:28,110 --> 00:15:31,870
عليه إنّه square root لـ 2 ضرب الحد اللي جبناه 

174
00:15:31,870 --> 00:15:35,970
وهذا لكل N، لأن بالطريقة هذه ممكن أعرف إن هذا

175
00:15:35,970 --> 00:15:39,610
بيعطينا sequence، الآن هذه الـ sequence عايزين نثبت

176
00:15:39,610 --> 00:15:44,610
إنها convergent بالإضافة إلى إن الـ limit تبعها بيساوي

177
00:15:44,610 --> 00:15:45,350
لعدد 2

178
00:15:48,640 --> 00:15:52,540
لبُرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence

179
00:15:52,540 --> 00:15:57,940
theorem عشان 

180
00:15:57,940 --> 00:16:01,680
أقدر أستخدم الـ monotone convergence theorem، ففي 

181
00:16:01,680 --> 00:16:07,300
عندي الـ claim الأول، يعني بدي أثبت في الادعاء الأول

182
00:16:07,300 --> 00:16:14,260
هذا إن الـ sequence XN is increasing and bounded by

183
00:16:14,260 --> 00:16:14,640
2

184
00:16:18,060 --> 00:16:24,180
فلبرهان ذلك بنلاحظ 

185
00:16:24,180 --> 00:16:31,920
إنّ X1 من التعريف تبع الـ sequence X1 بيساوي 1 و X2

186
00:16:31,920 --> 00:16:34,660
ممكن أجيبها من الـ recursive formula أو الـ 

187
00:16:34,660 --> 00:16:39,500
inductive formula إنّ أنا آخذ N بيساوي 1 فبيطلع X2

188
00:16:39,500 --> 00:16:49,840
بيساوي جذر 2 لـ X1 و X1 = 1، إذاً X2 بيطلع جذر 2 وبالتالي

189
00:16:49,840 --> 00:16:54,160
من الحسابات هذه بيطلع إندي هاي X1 X1 

190
00:16:54,160 --> 00:16:59,080
بيساوي 1 وبالتالي أكبر منها بيساوي 1 وأصغر

191
00:16:59,080 --> 00:17:04,420
من X2 لأن X2 جذر 2، الواحد أصغر من 

192
00:17:04,420 --> 00:17:08,620
جذر 2، و

193
00:17:08,620 --> 00:17:12,960
X2 اللي هو جذر 2 أصغر من الـ 2، لأن كل

194
00:17:12,960 --> 00:17:13,760
هذا صحيح

195
00:17:19,580 --> 00:17:25,920
تمام؟ لسه ما خلصناهش، لسه ما خلصناهش، إحنا ما فرضنا

196
00:17:25,920 --> 00:17:30,580
إنّه صحيح، إحنا أثبتناه لسه

197
00:17:30,580 --> 00:17:35,220
ما أثبتناش هذا الـ claim، لسه ما أثبتناه، إحنا لسه ده 

198
00:17:35,220 --> 00:17:41,110
بداية البرهان، البرهان لـ claim بدأنا بما لاحظنا إنّ 

199
00:17:41,110 --> 00:17:47,150
X1 من التعريف طلع بيساوي 1 و X2 حسبناها منها 

200
00:17:47,150 --> 00:17:51,630
بيساوي جذر 2 لـ X1 اللي هو جذر 2 وبالتالي

201
00:17:51,630 --> 00:17:58,270
بيطلع إندي هيك هاي X1 أكبر من أو يساوي 1 وأصغر

202
00:17:58,270 --> 00:18:03,850
من جذر 2 اللي هو X2، و X2 اللي هي جذر 2

203
00:18:03,850 --> 00:18:09,210
أصغر من 2، ليش إحنا عملنا هذا الكلام؟ لأن هيبين

204
00:18:09,210 --> 00:18:16,170
الآن now الآن بدي أثبت، بدي أستخدم الـ induction we

205
00:18:16,170 --> 00:18:28,150
use induction لإثبات العبارة هذه، وهي إنّ XN أصغر من 

206
00:18:28,150 --> 00:18:32,970
XN زائد 1، وهذا أصغر من 2، وهذا أكبر من أو يساوي

207
00:18:32,970 --> 00:18:41,020
الـ 1 لكل N،  للبُرهان صحة العبارة هذه by induction 

208
00:18:41,020 --> 00:18:47,240
طيب الحالة اللي فيها آخذ N بيساوي 1، الحالة اللي

209
00:18:47,240 --> 00:18:53,300
فيها N بيساوي 1 هي هاي X1 أكبر من أو يساوي

210
00:18:53,300 --> 00:19:01,340
1 هذا هو، وأصغر من X2 هذا هو، X2 أصغر من 2

211
00:19:01,340 --> 00:19:05,280
إذاً العبارة هذه صحيحة لما N بيساوي 1، لأنه هنا

212
00:19:05,280 --> 00:19:10,280
أثبتناها الآن

213
00:19:10,280 --> 00:19:18,920
افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بيساوي K يعني 

214
00:19:18,920 --> 00:19:27,820
عندك هنا XK أكبر من أو يساوي 1 أصغر من X K زائد

215
00:19:27,820 --> 00:19:34,100
1 أصغر من 2، هنا فرضنا هذا الـ induction hypothesis

216
00:19:34,100 --> 00:19:41,920
وعايزين نثبت إن هذا بيؤدي إن العبارة

217
00:19:41,920 --> 00:19:48,980
صحيحة عند N بيساوي K زائد 1، يعني بدي أثبت هذه

218
00:19:48,980 --> 00:19:50,660
المتباينة

219
00:19:55,390 --> 00:20:02,590
بدي أثبت المتباينة هذه، طبعًا، فتعالوا نشوف كيف نثبت

220
00:20:02,590 --> 00:20:21,690
المتباينة هذه، طيب

221
00:20:21,690 --> 00:20:29,980
أنا عندي، هي عندي المتباينة هذه إحنا 

222
00:20:29,980 --> 00:20:49,600
فرضنا إن المتباينة هذه صحيحة، إحنا

223
00:20:49,600 --> 00:20:52,640
فرضنا من induction hypothesis إن هذه المتباينة

224
00:20:52,640 --> 00:20:58,910
صحيحة، أضرب المتباينة هذه في 2 هي أضرب كل 

225
00:20:58,910 --> 00:21:02,710
الأطراف في 2، فبيصير 2 أصغر من 2XK أصغر

226
00:21:02,710 --> 00:21:09,290
من 2XK زائد 1 أصغر من 4، وهذا بيؤدي إنّ

227
00:21:09,290 --> 00:21:11,570
1 أصغر من جذر 2

228
00:21:15,730 --> 00:21:21,830
وإذا أنا الآن بأخذ الجذر التربيعي لكل الأطراف هذه

229
00:21:21,830 --> 00:21:26,750
آخذ الجذر التربيعي، فهي جذر 2 طبعًا أكبر من 1

230
00:21:26,750 --> 00:21:34,350
أصغر منه يساوي جذر 2XK اللي هو XK زائد 1

231
00:21:34,350 --> 00:21:37,770
هذا طبعًا من التعريف تبع الـ sequence من الـ

232
00:21:37,770 --> 00:21:43,130
inductive formula، جذر 2XK حسب التعريف بيساوي

233
00:21:43,130 --> 00:21:50,440
XK زائد 1، وهذا أصغر من هنا، جذر 2XK أصغر من

234
00:21:50,440 --> 00:21:56,840
جذر 2XK زائد 1، وهذا أصغر من جذر الـ 4

235
00:21:56,840 --> 00:22:01,180
اللي هو الـ 2، إذاً هاي بيطلع عندي 1 أصغر من أو

236
00:22:01,180 --> 00:22:06,580
يساوي XK زائد 1، وهذا برضه من الـ inductive

237
00:22:06,580 --> 00:22:15,940
formula، الجذر التربيعي هذا بيساوي XK زائد 2، إذاً 

238
00:22:15,940 --> 00:22:21,620
هي 1 أصغر من أو يساوي XK زائد 1 أصغر من XK زائد 2

239
00:22:21,620 --> 00:22:28,100
أصغر من 2، وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه

240
00:22:28,100 --> 00:22:34,700
عن K زائد 1، وبالتالي هيك بنكون كملنا الـ induction

241
00:22:34,700 --> 00:22:43,060
okay، طبعًا إذا الـ claim تعالوا نشوف الآن ليش الـ

242
00:22:43,060 --> 00:22:48,470
sequence، اه ليه الـ sequence تبعنا بتطلع bounded

243
00:22:48,470 --> 00:22:55,530
و increasing، فاكرين إحنا أثبتنا by induction إنّ X

244
00:22:55,530 --> 00:23:01,810
N أصغر من XN زائد 1 أصغر من 2 أكبر من 

245
00:23:01,810 --> 00:23:10,150
أو يساوي 1 لكل N من الجزء هذا نستنتج

246
00:23:10,150 --> 00:23:14,460
إنّ الـ sequence is increasing صح؟ لأن هي عندي XN 

247
00:23:14,460 --> 00:23:21,640
أصغر من XN زائد 1 لكل N ومن المتباينة كلها يعني

248
00:23:21,640 --> 00:23:28,200
اللي هي XN أصغر من 2 أكبر من أو يساوي 1 لكل N 

249
00:23:28,200 --> 00:23:32,080
هذا معناه الـ sequence bounded هي محصورة بين 1

250
00:23:32,080 --> 00:23:37,160
و 2 و bounded above by 2، لذلك هذا يكمل

251
00:23:37,160 --> 00:23:42,800
برهان الـ claim الأول يعني، وهو إنّه sequence XN 

252
00:23:42,800 --> 00:23:47,240
increasing و bounded الآن، by monotone convergence 

253
00:23:47,240 --> 00:23:53,140
theorem الـ sequence XN هتكون convergent، دعينا

254
00:23:53,140 --> 00:23:56,840
نسمي الـ limit تبعها X وطبعًا حسب الـ monotone 

255
00:23:56,840 --> 00:23:59,480
convergence theorem بما إنّ sequence increasing

256
00:23:59,480 --> 00:24:05,960
إذاً الـ limit تبعها بيساوي الـ supremum لها كـ set، إذاً

257
00:24:05,960 --> 00:24:09,600
أنا في عندي الآن الـ sequence تبعيتي convergent هي

258
00:24:09,600 --> 00:24:17,620
عندي limit XN convergent بيساوي X اللي هي طبعًا 

259
00:24:17,620 --> 00:24:21,580
حسب النظرية بيساوي الـ supremum، الآن بدي أجيب قيمة 

260
00:24:21,580 --> 00:24:25,460
الـ X هذا طبعًا 

261
00:24:25,460 --> 00:24:30,560
مش سهل إنّ أجيب الـ supremum لـ الـ sequence فبجيبها 

262
00:24:30,560 --> 00:24:35,600
بطريقة ثانية، إذاً 

263
00:24:35,600 --> 00:24:38,560
الـ claim الثاني بدي أثبت إنّ الـ X الـ limit لـ الـ

264
00:24:38,560 --> 00:24:40,720
sequence اللي هي X بيساوي 2

265
00:24:43,730 --> 00:24:47,450
طيب أنا عندي من تعريف الـ sequence، أنا عندي XN زائد 

266
00:24:47,450 --> 00:24:53,070
1 بيساوي جذر 2XN، وهذا الكلام صحيح for 

267
00:24:53,070 --> 00:24:57,870
every N، نأخذ الـ limit للطرفين لما N تؤول لـ

268
00:24:57,870 --> 00:25:02,050
infinity، بتطلع limit XN زائد 1 بيساوي limit جذر 

269
00:25:02,050 --> 00:25:08,390
2 ثابت في limit جذر الـ XN، مظبوط؟ 

270
00:25:09,940 --> 00:25:15,160
طيب إحنا فرضنا أو إحنا استنتجنا، إحنا لسه مستنتجين

271
00:25:15,160 --> 00:25:19,340
من الـ monotone convergence إنّ limit XN بيساوي X

272
00:25:19,340 --> 00:25:25,400
وبالتالي limit XN زائد 1 برضه بتساوي X وهي 

273
00:25:25,400 --> 00:25:31,220
بيساوي جذر 2 و limit جذر XN بيساوي جذر الـ X

274
00:25:31,220 --> 00:25:36,980
حسب نظرية سابقة، إذا الـ limit هذه، إذا هي X وجذر

275
00:25:36,980 --> 00:25:40,820
2 في الـ limit هذه بتطلع جذر الـ X، إذاً أصبح عندي الآن

276
00:25:40,820 --> 00:25:46,380
دي معادلة في مجهول واحد X ممكن أحلها، وذلك بتربيع

277
00:25:46,380 --> 00:25:53,740
الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك، وهذه في 

278
00:25:53,740 --> 00:25:59,340
إلها حالين إما X بيطلع بيساوي 0 أو X بيساوي 2

279
00:25:59,340 --> 00:26:04,940
إحنا عايزين الـ X نأخذ X بيساوي 2 ونرفض X بيساوي

280
00:26:04,940 --> 00:26:10,700
0، طب ليه نرفض X بيساوي 0؟ لأن أثبتنا هنا by

281
00:26:10,700 --> 00:26:20,340
induction أن xn أكبر من أو يساوي واحد وأصغر من الاثنين

282
00:26:20,340 --> 00:26:25,960
وأثبتنا أن هذه المتتالية convergent، إذا حسب

283
00:26:25,960 --> 00:26:27,200
نظرية سابقة

284
00:26:30,490 --> 00:26:38,230
إذن حدّ المتتالية xn سيقع بين 2 و 1

285
00:26:38,230 --> 00:26:42,650
بين 1 و 2. خدمة نظرية بتقول لو كانت المتتالية xn 

286
00:26:42,650 --> 00:26:48,610
convergent و xn أكبر من أو يساوي a وأصغر من أو يساوي

287
00:26:48,610 --> 00:26:53,570
b لكل n فحدّ المتتالية xn سيقع أيضا بين

288
00:26:53,570 --> 00:26:59,560
a و b، يعني طب هيدي هي الـ X. فرضنا أن حدّ المتتالية هيدي

289
00:26:59,560 --> 00:27:04,060
X إذا بيطلع أنا عندي X أكبر من أو يساوي 1 وأصغر من 

290
00:27:04,060 --> 00:27:07,920
الاثنين وبالتالي مستحيل الـ X اللي هي محصورة بين

291
00:27:07,920 --> 00:27:15,420
1 و 2 مستحيل تساوي صفر، مش ممكن تساوي صفر

292
00:27:15,420 --> 00:27:19,820
إذا لازم تساوي 2، وأنا عندي صفر أو 2 إذا لازم

293
00:27:19,820 --> 00:27:25,570
تساوي 2، Okay. إذا هيني هيك استخدمنا الـ monotone

294
00:27:25,570 --> 00:27:31,030
convergence. بالمثل في عندك تمارين زي هيك المتتاليات

295
00:27:31,030 --> 00:27:36,290
بتُعرف inductively و هتثبتوا أنها convergent و

296
00:27:36,290 --> 00:27:40,750
بتجيبوا قيمة الحدّ بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب

297
00:27:40,750 --> 00:27:46,250
فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل

298
00:27:46,250 --> 00:27:52,770
هذه التمارين، Okay تمام. واضح؟ إذن هنا أخدنا تطبيقات

299
00:27:52,770 --> 00:27:56,230
متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي

300
00:27:56,230 --> 00:28:03,570
التمارين لـ section 3.3 نبدأ

301
00:28:03,570 --> 00:28:09,230
section 4 أو 3.4 نعم بيقول إنه ممكن

302
00:28:09,230 --> 00:28:13,790
نحلّ بطريقة ثانية ونثبت أن الاثنين يوصلوا لـ X

303
00:28:13,790 --> 00:28:17,770
مظبوط، صحيح، الاثنين بيتحركوا على طريق الـ limit اللي هي

304
00:28:17,770 --> 00:28:18,610
الـ X

305
00:28:21,690 --> 00:28:28,990
والله أنت فاكر فيه وبعدين قولي لي هي

306
00:28:28,990 --> 00:28:34,050
عندك المتتالية حدودها معروفة معرفة، ممكن تكتب أول

307
00:28:34,050 --> 00:28:40,010
أربع خمس حدود وتحاول تستنتجي إيه هي قيمة الـ

308
00:28:40,010 --> 00:28:44,930
supreme وتبرهنها طبعا، فهذا متروك إليك

309
00:28:47,810 --> 00:28:52,030
هذا يعني حل آخر، فأنا قلت أن الـ suprem مش سهل أن

310
00:28:52,030 --> 00:28:56,070
احنا نجيبه لمتتاليات زي هيك أو للمجموعات

311
00:28:56,070 --> 00:28:59,230
وبالتالي الـ monotone convergence في الفيلم كان

312
00:28:59,230 --> 00:29:03,390
ممكن يكون أسهل، لأن ها الكلام التاني هذا الأخير

313
00:29:03,390 --> 00:29:07,270
ماأخذش وقت، يعني أخذنا الـ inductive formula

314
00:29:07,270 --> 00:29:11,570
formula وأخذنا حدّ الطرفين وحلّينا معادلة في 

315
00:29:11,570 --> 00:29:16,800
X وادركنا أن الـ X مش لازم تساوي صفر من هنا لأن X

316
00:29:16,800 --> 00:29:20,820
محصورة بين 1 و 2. هذا أسهل من أن أنا أجيب الـ

317
00:29:20,820 --> 00:29:26,940
supreme لكن هذا ما يمنعش أن ممكن حد معين يثبت أن الـ

318
00:29:26,940 --> 00:29:33,060
supreme هو 2 إذا كان سهل فكان يعني نستخدمه، مش

319
00:29:33,060 --> 00:29:35,240
سهل نستخدم الـ monotone convergence

320
00:29:49,630 --> 00:29:56,070
الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،

321
00:29:56,070 --> 00:29:59,350
الـ sub-sequences شفنا قبل شوية sub-sequence

322
00:30:11,180 --> 00:30:15,400
شفنا قبل لحظات في المثال الثاني إنه في عنده

323
00:30:15,400 --> 00:30:26,540
متتالية هي، عنده متتالية xn حدودها x1, x2, x3, x4

324
00:30:26,540 --> 00:30:34,160
وهكذا وفي كانت متتالية ثانية، حدودها 2

325
00:30:34,160 --> 00:30:52,420
أُس n، الحدود هذي هتكون X2 X4 X8 وهكذا، صح؟ لو سمينا 

326
00:30:52,420 --> 00:31:01,340
الـ 2 هذي R1 والـ 4 هذي سميناها R2 والـ 8 R3

327
00:31:04,820 --> 00:31:10,940
فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو يساوي 1، عدد طبيعي أكبر

328
00:31:10,940 --> 00:31:19,320
من أو يساوي 1، وR2 أكبر من R1، اللي هو 4 أكبر

329
00:31:19,320 --> 00:31:29,050
من 2، وR3 اللي هو 8 أكبر من R2 وهكذا، إذا

330
00:31:29,050 --> 00:31:34,810
الـ sub sequence المؤشرات تبعها أو الـ indices أنا

331
00:31:34,810 --> 00:31:40,330
باسميه index، مجموعة index indices الـ indices أو

332
00:31:40,330 --> 00:31:44,710
المؤشرات للـ sub sequence هي أعداد طبيعية، هذا هي

333
00:31:44,710 --> 00:31:49,890
2، 4، 8، هي أعداد طبيعية، والاعداد الطبيعية

334
00:31:49,890 --> 00:31:55,170
هذه بتشكل متتالية، هذه عبارة عن متتالية من

335
00:31:55,170 --> 00:32:01,880
الأعداد الطبيعية، صح؟ والمتتالية هذه is strictly

336
00:32:01,880 --> 00:32:08,200
.. strictly increasing

337
00:32:08,200 --> 00:32:14,580
.. strictly increasing، يعني متزايدة زيادة صحيحة

338
00:32:14,580 --> 00:32:18,860
يعني R1 أصغر من R2 مش أصغر من أو يساوي R2

339
00:32:18,860 --> 00:32:23,280
وR2 أصغر من R3 ولا تساوي R3 وهكذا

340
00:32:23,280 --> 00:32:25,780
مظبوط؟ صح؟

341
00:32:29,030 --> 00:32:33,430
إذا الـ subsequence الـ subsequence من أي متتالية هي

342
00:32:33,430 --> 00:32:39,350
مجموعة جزئية منها، صح؟ لأن حدودها هي حدود حدود الـ

343
00:32:39,350 --> 00:32:46,130
subsequence هي عناصر أو حدود من المتتالية الأصلية لكن

344
00:32:46,130 --> 00:32:52,170
مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعها

345
00:32:52,170 --> 00:32:56,890
بتشكل strictly increasing sequence of natural

346
00:32:56,890 --> 00:33:03,480
numbers، تمام؟ زي هيك إذاً

347
00:33:03,480 --> 00:33:06,900
هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي

348
00:33:06,900 --> 00:33:12,060
متتالية XN وأخذت strictly increasing sequence of

349
00:33:12,060 --> 00:33:17,620
natural numbers فالـ sequence اللي المؤشرات تبعها

350
00:33:17,620 --> 00:33:24,060
هي الـ sequence RN اللي هي هذه، عناصرها بنسميها

351
00:33:24,060 --> 00:33:30,640
subsequence من الـ sequence XN، وها أمثلة هتبين هذه

352
00:33:30,640 --> 00:33:33,900
الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers

353
00:33:33,900 --> 00:33:40,860
فهذه subsequence منها، 2 in الـ sequence of

354
00:33:40,860 --> 00:33:44,940
even numbers أو even natural numbers ده هي على

355
00:33:44,940 --> 00:33:54,800
سرعة 2، 4، 6 وهكذا وهذه عبارة عن متتالية

356
00:33:56,170 --> 00:34:03,930
من الأعداد الفردية، 1، 3، 5 وهكذا

357
00:34:03,930 --> 00:34:11,550
 وحدود المتتالية هذه هي XR1 هذا X2 هذا

358
00:34:11,550 --> 00:34:18,430
رقمه هذا رقم 2، يعني R1 بيساوي 2 طيب XR

359
00:34:18,430 --> 00:34:25,450
2، 4، XR2، R2 هذا حد رقم 4، R2 بيساوي

360
00:34:25,450 --> 00:34:31,610
4 وR1 بيساوي 2 و2 أصغر من 4، XR

361
00:34:31,610 --> 00:34:39,130
3، 6، R3 بيساوي 6 نفس الحاجة يعني هذه

362
00:34:39,130 --> 00:34:44,020
subsequence وهذه subsequence من المتتالية X لأن

363
00:34:44,020 --> 00:34:48,280
مؤشراتها كلها بشكل strictly increasing sequences

364
00:34:48,280 --> 00:34:53,000
of natural numbers. بالمثل المتتالية 1 على 2 n

365
00:34:53,000 --> 00:35:03,540
سالب 1 والمتتالية 1 على n factorial هدول

366
00:35:03,540 --> 00:35:07,840
برضه أيضا sub sequences من المتتالية 1 على n

367
00:35:11,850 --> 00:35:16,490
لكن المتتالية اللي حدودها 1

368
00:35:16,490 --> 00:35:24,370
على 1، 0، 3، 0، 5، 0 وهكذا هذه ليست 

369
00:35:24,370 --> 00:35:32,450
subsequence من المتتالية 1 على n لأن الصفر

370
00:35:32,450 --> 00:35:37,150
هذا هي اللي، مش موجودة، ليست 3 اللي للـ sequence

371
00:35:37,150 --> 00:35:43,480
هذه ومؤشرات الحدود، يعني لا تشكل strictly increasing

372
00:35:43,480 --> 00:35:47,640
sequence. طيب

373
00:35:47,640 --> 00:35:52,780
لو أخذت أي tail، أي M tail حيث M عدد طبيعي ثابت 

374
00:35:52,780 --> 00:35:58,740
number فـ XM tail ده، M tail of any sequence Xn 

375
00:35:58,740 --> 00:36:03,640
طبعا الـ M tail ده حدوده عبارة عن متتالية، الحد

376
00:36:03,640 --> 00:36:10,190
الأول تبعها x capital M زائد 1، الحد الثاني x

377
00:36:10,190 --> 00:36:16,870
capital M زائد 2، الثالث x capital M زائد 3 وهكذا، فطبعا

378
00:36:16,870 --> 00:36:21,170
هذه عبارة عن sub sequence من المتتالية الأم لأن 

379
00:36:21,170 --> 00:36:26,510
كل عنصر في الـ sub sequence هذه هي موجودة هنا، صح؟

380
00:36:26,510 --> 00:36:32,430
والمؤشرات تبعات الـ sub-sequence هي M زائد 1 أصغر

381
00:36:33,790 --> 00:36:39,710
من R2 اللي هو M زائد 2، وR2 أصغر من R

382
00:36:39,710 --> 00:36:45,830
3 اللي هو M زائد 3 وكده، هذا sub-sequence 

383
00:36:45,830 --> 00:36:50,130
ولا مش sub-sequence؟ لو أخذت أي متتالية Xn فأي

384
00:36:50,130 --> 00:36:54,950
M tail هو sub-sequence منها. كذلك لو أخدت أي متتالية

385
00:36:54,950 --> 00:37:02,220
xn فالـ sequence x اللي حدّها اللي مؤشر

386
00:37:02,220 --> 00:37:09,400
تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شفنا، وx2n

387
00:37:09,400 --> 00:37:16,020
الحدود الزوجية، لو أخذت الحدود الزوجية فقط فهذا

388
00:37:16,020 --> 00:37:21,340
بعطيني subsequence ولو أخذت الحدود الفردية تعطيني

389
00:37:21,340 --> 00:37:25,840
subsequence ثانية، ولا كده؟ الآن سؤال

390
00:37:25,840 --> 00:37:38,470
اللي بهمنا احنا ما هي العلاقة بين المتتالية بالـ

391
00:37:38,470 --> 00:37:42,190
subsequence من حيث الـ convergence و الـ divergence؟

392
00:37:42,190 --> 00:37:46,990
يعني لو كانت المتتالية convergent لو في عندي

393
00:37:54,410 --> 00:37:56,950
يعني لو كانت المتتالية convergent، لو في عندي 

394
00:37:56,950 --> 00:38:01,250
متتالية xn convergent لـ x وأخذت أي sub sequence

395
00:38:01,250 --> 00:38:07,490
منها هل هذه المتتالية لازم تكون convergent زيها

396
00:38:07,490 --> 00:38:11,890
ولا divergent؟ لازم تكون convergent وحدّها

397
00:38:11,890 --> 00:38:22,770
نفس حدّ المتتالية الأصلية، وله نفس الـ limit ماشي

398
00:38:22,770 --> 00:38:23,170
لحظة

399
00:38:29,060 --> 00:38:29,860
كثير من الناس

400
00:38:39,930 --> 00:38:46,370
إذا كمان مرة بهمنا أنا أنه لو في عندي متتالية

401
00:38:46,370 --> 00:38:51,030
نظرية هذه بتقول لو في عندي متتالية xn of real

402
00:38:51,030 --> 00:38:56,350
numbers وكانت هذه المتتالية convergent لـ x فأي

403
00:38:56,350 --> 00:39:00,170
subsequence منها بتكون convergent وحدّها

404
00:39:00,170 --> 00:39:05,330
هو نفس حدّ المتتالية xn

405
00:39:08,450 --> 00:39:15,870
وهذا يعني ممكن أن احنا نثبته بسهولة، عشان اثبت أن

406
00:39:15,870 --> 00:39:22,590
الـ subsequence XRN converge لـ X فبستخدم تعريف الـ

407
00:39:22,590 --> 00:39:27,930
capital N، فلو أخذت أي Y أكبر من الصفر أنا عندي المتتالية

408
00:39:27,930 --> 00:39:32,560
الأصلية هي convergent لـ X، وبالتالي من

409
00:39:32,560 --> 00:39:36,720
تعريف الـ convergence لما XM converged لـ X إذا

410
00:39:36,720 --> 00:39:39,940
يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة

411
00:39:39,940 --> 00:39:45,700
بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي

412
00:39:45,700 --> 00:39:52,980
capital M طيب أنا عندي المؤشرات 

413
00:39:52,980 --> 00:39:58,160
تبع الـ subsequence بتشكل increasing

414
00:39:58,160 --> 00:40:03,420
sequence، وأول واحد.. أول عدد فيها طبعا هذا عدد

415
00:40:03,420 --> 00:40:09,800
طبيعي وبالتالي أكبر من أو يساوي 1 فبالتالي الـ 

416
00:40:09,800 --> 00:40:15,160
Rn، هدول الـ Rn ممكن إثبات باستخدام الـ induction أن

417
00:40:15,160 --> 00:40:22,220
Rn أكبر من أو يساوي n لكل n وبالتالي

418
00:40:22,220 --> 00:40:28,970
لو أخدت n أكبر من أو يساوي capital N فعندي أنا Rn من

419
00:40:28,970 --> 00:40:34,590
هنا أكبر من أو يساوي n، والـ n أنا ماخده أكبر

420
00:40:34,590 --> 00:40:38,750
من أو يساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع 

421
00:40:38,750 --> 00:40:43,150
عندي RN أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي من ال

422
00:40:43,150 --> 00:40:48,810
implication 13، ال implication 13 بتقول لي لأي عدد 

423
00:40:49,980 --> 00:40:55,300
أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X للعدد هذا

424
00:40:55,300 --> 00:41:02,090
للمؤشر هذا، سالب X أصغر من Y، إذا أنا هيك أثبتت ..

425
00:41:02,090 --> 00:41:07,550
أنا هيك أثبتت أنه الـ .. لأي epsilon أكبر من الصفر

426
00:41:07,550 --> 00:41:12,190
في capital N يعتمد على epsilon، بحيث لكل N أكبر منه

427
00:41:12,190 --> 00:41:16,830
أو يساوي capital N، المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon

428
00:41:16,830 --> 00:41:21,320
وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهاية، أنا هيك

429
00:41:21,320 --> 00:41:27,640
بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تؤول لـ infinity

430
00:41:27,640 --> 00:41:35,720
بيساوى x، وهذا هو المطلوب طبعًا

431
00:41:35,720 --> 00:41:40,780
في هنا أمثلة، باقي شوية أمثلة، فهذه الأمثلة يعني

432
00:41:40,780 --> 00:41:46,000
حاولوا أنكم تقرؤوها، في مثلن كيف نطبق النظرية هذه

433
00:41:46,000 --> 00:41:50,660
أو نوجد العلاقة بين، كيف نثبت ال convergence للـ

434
00:41:50,660 --> 00:41:55,900
sequence من خلال إثبات

435
00:41:55,900 --> 00:42:00,290
ال convergence للـ subsequences أو العكس، فحاولوا

436
00:42:00,290 --> 00:42:04,490
تقرؤوها، وهيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل إن شاء

437
00:42:04,490 --> 00:42:10,290
الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام الـ

438
00:42:10,290 --> 00:42:14,290
powerpoint ابتداءً من المحاضرة الجاية، وهنشره على 

439
00:42:14,290 --> 00:42:19,850
النت okay، انتهت المحاضرة نشوفكم إن شاء الله يوم

440
00:42:19,850 --> 00:42:20,250
اثنين