1
00:00:21,450 --> 00:00:27,950
Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخدنا الـ

2
00:00:27,950 --> 00:00:33,670
monotone convergence theorem وشوفنا

3
00:00:33,670 --> 00:00:38,970
أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence و ال

4
00:00:38,970 --> 00:00:42,710
sequence هذه monotone يعني increasing أو

5
00:00:42,710 --> 00:00:48,510
decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if

6
00:00:48,510 --> 00:00:53,060
it is boundedإذا الـ monotone sequence converges

7
00:00:53,060 --> 00:01:01,360
if and only if it is bounded طيب

8
00:01:01,360 --> 00:01:04,420
ال monotone sequence نوعين إما increasing أو

9
00:01:04,420 --> 00:01:07,360
decreasing فلو كانت ال sequence increasing و طبعا

10
00:01:07,360 --> 00:01:10,940
bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال

11
00:01:10,940 --> 00:01:14,040
statement الأول و ال limit تبعتها بساوي ال

12
00:01:14,040 --> 00:01:17,280
supremum اللي لها ك set و لو كانت ال sequence

13
00:01:17,280 --> 00:01:22,420
decreasing و بالطبع boundedفحسب ال statement الأول

14
00:01:22,420 --> 00:01:28,720
تطلع convergence ونهايتها هي ال infimum تبعها ك Z

15
00:01:28,720 --> 00:01:33,040
وشوفنا

16
00:01:33,040 --> 00:01:35,560
برهانة مغرية في المحاضرة السابقة

17
00:01:38,060 --> 00:01:43,060
الان بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain

18
00:01:43,060 --> 00:01:47,200
sequences are convergent أو divergent النظرية هذه

19
00:01:47,200 --> 00:01:51,180
بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone

20
00:01:51,180 --> 00:01:55,960
sequence معينة إما convergent أو divergent عشان

21
00:01:55,960 --> 00:01:59,120
أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone

22
00:01:59,120 --> 00:02:02,760
sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها

23
00:02:02,760 --> 00:02:08,980
bounded العكس لو في عنده monotone sequenceوبدي

24
00:02:08,980 --> 00:02:14,640
اثبت انها divergent يكفي ان اثبت انها unbounded

25
00:02:14,640 --> 00:02:21,840
not bounded فهي ان ال sequence xn بساوي واحد على n

26
00:02:21,840 --> 00:02:27,240
هاد ال sequence معروف انه ال limit انها convergent

27
00:02:27,240 --> 00:02:34,630
وits limit is zero زيها زي ال sequence واحد على nو

28
00:02:34,630 --> 00:02:38,270
ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergence و

29
00:02:38,270 --> 00:02:42,030
نهايتها بالساعة و سفر باستخدام تعريف epsilon

30
00:02:42,030 --> 00:02:49,070
capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال

31
00:02:49,070 --> 00:02:52,830
limit أن ال limit لل sequence واحد علي N بالساعة و

32
00:02:52,830 --> 00:02:57,810
سفر باستخدام الarchimedean property فهذا برهان

33
00:02:57,810 --> 00:03:04,810
ممكن أي واحدة فيكم تكتبهاللي هو باستخدام تعريف

34
00:03:04,810 --> 00:03:08,110
epsilon capital N زائد الـarchimedean property

35
00:03:08,110 --> 00:03:13,290
بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم

36
00:03:13,290 --> 00:03:16,550
هنشوف برهان تاني باستخدام الـ monotone convergence

37
00:03:16,550 --> 00:03:16,990
theorem

38
00:03:20,740 --> 00:03:25,460
السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one

39
00:03:25,460 --> 00:03:28,960
over square root of n طبعا square root of n أصغر

40
00:03:28,960 --> 00:03:32,720
من square root of z واحد لأي عدد طبيعي وبالتالي

41
00:03:32,720 --> 00:03:37,680
مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لكبير هذا xn زاد واحد

42
00:03:37,680 --> 00:03:44,240
وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زاد واحد

43
00:03:44,240 --> 00:03:48,560
أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing

44
00:03:49,820 --> 00:03:54,740
كذلك الـ sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد

45
00:03:54,740 --> 00:03:59,700
موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn

46
00:03:59,700 --> 00:04:04,780
أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence

47
00:04:04,780 --> 00:04:12,000
increasingdecreasing و bounded اذا by monotone

48
00:04:12,000 --> 00:04:16,620
convergence theorem ال sequence هذه هتكون

49
00:04:16,620 --> 00:04:23,220
convergent و ال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب

50
00:04:23,220 --> 00:04:27,740
ال infimum للمجموعة هذه بتساوي سفر

51
00:04:30,570 --> 00:04:35,710
وبرهان ذلك شبيه ببرهان الـ infimum للـ sequence 1

52
00:04:35,710 --> 00:04:40,310
على n بالساوي 0 باستخدام الـ Archimedean property

53
00:04:40,310 --> 00:04:44,350
راجعوا برهان أن الـ infimum للـ sequence 1 على n

54
00:04:44,350 --> 00:04:48,610
وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان

55
00:04:48,610 --> 00:04:54,800
وكتبوا برهان مشابه لهبنفس الطريقة نثبت ان الانثرام

56
00:04:54,800 --> 00:04:58,660
لسيكوانس هادى او الست هادى سفر اذا حسب الـ

57
00:04:58,660 --> 00:05:01,400
monotone convergence theorem ال sequence واحد على

58
00:05:01,400 --> 00:05:05,700
جذر M is convergent و ال limit تبعتها بساوي

59
00:05:05,700 --> 00:05:10,240
الانثرام تبعها اللى هو سفر اذا هى مثال على تطبيق

60
00:05:10,240 --> 00:05:15,570
الـ monotone convergence theoremكذلك ممكن برضه زي

61
00:05:15,570 --> 00:05:18,810
ما قلتلكم نستخدم الـ monotone convergence theorem

62
00:05:18,810 --> 00:05:26,750
في أثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف

63
00:05:26,750 --> 00:05:30,870
مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها

64
00:05:30,870 --> 00:05:37,490
xn هذا الint partial sum بالمناسبة هذا الint

65
00:05:37,490 --> 00:05:43,330
partial sum في ال harmonic seriesسيجما من K بساول

66
00:05:43,330 --> 00:05:50,210
واحد to infinity لواحد على K وهد

67
00:05:50,210 --> 00:05:53,110
ال harmonic series is divergent معروف في calculus

68
00:05:53,110 --> 00:06:00,190
بقى ال series هد is divergent وهد الحد العام في ال

69
00:06:00,190 --> 00:06:04,730
sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا

70
00:06:04,730 --> 00:06:10,330
إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجةمن الموضوع هذا انه a

71
00:06:10,330 --> 00:06:13,970
series converges if and only if ال sequence of

72
00:06:13,970 --> 00:06:18,130
partial sums is convergent فلو ال series is

73
00:06:18,130 --> 00:06:21,130
divergent ال sequence of partial sums is divergent

74
00:06:21,130 --> 00:06:24,830
هذه هي ال sequence of partial sums حدث بتنها

75
00:06:24,830 --> 00:06:31,150
divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال

76
00:06:31,150 --> 00:06:37,300
monotone convergence theoremطيب ال sequence هي

77
00:06:37,300 --> 00:06:43,920
الحد العام xn إذا الحد رقم n زياد واحد هي بنضيف

78
00:06:43,920 --> 00:06:49,400
زياد واحد على n زياد واحد للمجموع هذا اللي هو xn

79
00:06:49,400 --> 00:06:54,320
صح؟ وبالتالي زي ما أنتوا شايفين الحد xn زياد واحد

80
00:06:54,320 --> 00:07:00,560
هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn

81
00:07:02,310 --> 00:07:06,670
الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال

82
00:07:06,670 --> 00:07:14,690
sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في

83
00:07:14,690 --> 00:07:19,410
ندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، و ال

84
00:07:19,410 --> 00:07:25,600
sequence هذه increasing، monotone يعنيالان الـ

85
00:07:25,600 --> 00:07:30,700
monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال

86
00:07:30,700 --> 00:07:34,260
sequence هذي convergent لازم أثبت أنها bounded

87
00:07:34,260 --> 00:07:39,860
وعشان أثبت أنها divergent لازم أثبت أنها unbounded

88
00:07:39,860 --> 00:07:44,520
فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded

89
00:07:44,520 --> 00:07:48,640
بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون

90
00:07:48,640 --> 00:07:49,360
divergent

91
00:07:52,580 --> 00:07:57,960
تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال

92
00:07:57,960 --> 00:08:04,200
sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n

93
00:08:04,200 --> 00:08:09,640
هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال

94
00:08:09,640 --> 00:08:10,820
sequence x in

95
00:08:16,700 --> 00:08:21,480
يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x

96
00:08:21,480 --> 00:08:27,400
رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence

97
00:08:27,400 --> 00:08:32,620
هذه x اتنين لما n بساوة واحد بعدين اللي بعده x

98
00:08:32,620 --> 00:08:40,100
أربع بعدين x تمام يعني و هكذا طبعا هذه الحدود هذه

99
00:08:40,100 --> 00:08:44,980
كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال

100
00:08:44,980 --> 00:08:49,090
sequence الأصليالان انا بدي اخد الحد العام لل sub

101
00:08:49,090 --> 00:08:56,750
sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب

102
00:08:56,750 --> 00:09:01,170
انا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زاد نص زاد تلت

103
00:09:01,170 --> 00:09:06,290
اخر حد واحد على n طب لما بدي ال n ب 2 أس n هيطلع

104
00:09:06,290 --> 00:09:10,650
عند المجموعة واحد زاد نص زاد تلت الى اخر حد واحد

105
00:09:10,650 --> 00:09:16,620
على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequenceالان الحدود

106
00:09:16,620 --> 00:09:25,340
هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده

107
00:09:25,340 --> 00:09:31,320
في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،

108
00:09:31,320 --> 00:09:38,080
بعدين ال block الرابع هتكون خمس و سدس و سبعة و

109
00:09:38,080 --> 00:09:44,840
تمان، أربع حدود مع بعض، جمهم مع بعضو هكذا إلى ال

110
00:09:44,840 --> 00:09:51,220
block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زاد 1

111
00:09:51,220 --> 00:09:56,660
إلى 1 على 2 أس N طيب

112
00:09:56,660 --> 00:10:02,080
هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من

113
00:10:02,080 --> 00:10:06,820
ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت

114
00:10:06,820 --> 00:10:12,650
التلت بربع، والتلت أكبر من ربعفصار مجموع ربعين

115
00:10:12,650 --> 00:10:16,090
الان في ال block اللي بعديها في عندي خمس و سُدس و

116
00:10:16,090 --> 00:10:22,110
سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان

117
00:10:22,110 --> 00:10:27,450
يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي

118
00:10:27,450 --> 00:10:34,390
هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا

119
00:10:34,390 --> 00:10:39,910
هذا الحد اللي هنا هذاأكبر من واحد على اتنين أسئن

120
00:10:39,910 --> 00:10:44,450
لأنه اتنين أسئن أكبر من اتنين أسئن سالب واحد زائد

121
00:10:44,450 --> 00:10:49,050
واحد لكل ان إذاً هذا أكبر من واحد على اتنين أسئن

122
00:10:49,050 --> 00:10:53,410
والبعد أكبر من واحد على اتنين أسئن و هكذا إذاً هنا

123
00:10:53,410 --> 00:10:57,550
عندي واحد على اتنين أسئن مجموعة على نفسه اتنين

124
00:10:57,550 --> 00:11:03,890
أسئن سالب واحد من المراتفمجموهم بيساوي مجموها دول

125
00:11:03,890 --> 00:11:07,030
بيساوي اتنين اص ان سالب واحد في واحد على اتنين اص

126
00:11:07,030 --> 00:11:11,650
ان بيطلع نص اذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده

127
00:11:11,650 --> 00:11:16,990
نص كلهم نصارى ماعدا اول حد اذا واحد وهي نص وهذا نص

128
00:11:16,990 --> 00:11:23,670
اللي بعده نص واخر واحد نص طب كام حد في هنا هاي حد

129
00:11:23,670 --> 00:11:29,950
ودول عددهم nin من الحدود وهذا وعد هاي in زاد واحد

130
00:11:29,950 --> 00:11:34,870
من الحدود طب هدول عددهم in لما أجمع عدد على نفسه

131
00:11:34,870 --> 00:11:38,810
in من المرات بيطلع in في نص اللي هو in عتنين زاد

132
00:11:38,810 --> 00:11:42,770
واحد طيب لما in تقول ل infinity in عتنين يقول ل

133
00:11:42,770 --> 00:11:46,570
infinity وبالتالي واحد زاد in عتنين بيروح ل

134
00:11:46,570 --> 00:11:50,410
infinity تمام؟

135
00:11:50,410 --> 00:11:54,690
إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال

136
00:11:54,690 --> 00:12:02,730
subsequenceطولة أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو

137
00:12:02,730 --> 00:12:14,510
بالتالي إذا

138
00:12:14,510 --> 00:12:21,510
أنا عندي x to two to n tends to infinity as n

139
00:12:21,510 --> 00:12:29,270
tends to infinityوبالتالي هذا معناه أن X على 2 نص

140
00:12:29,270 --> 00:12:38,330
M أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit

141
00:12:38,330 --> 00:12:42,730
لحد

142
00:12:42,730 --> 00:12:47,650
هذا أو ال sequence X المؤشرات تبقية 2 نص M تقول

143
00:12:47,650 --> 00:12:52,750
infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد

144
00:12:52,750 --> 00:12:58,800
موجبوبالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد

145
00:12:58,800 --> 00:13:06,980
العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي

146
00:13:06,980 --> 00:13:15,560
فهذا بيقدي إن ال sequence XN نفسها is unbounded

147
00:13:15,560 --> 00:13:21,300
لأنه لو كانت ال sequence boundedفأي sub-sequence

148
00:13:21,300 --> 00:13:25,420
منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح هذا واضح

149
00:13:25,420 --> 00:13:30,740
تمام الان by monotone convergence theorem ال

150
00:13:30,740 --> 00:13:37,340
sequence x in unbounded وبالتالي it is divergent

151
00:13:37,340 --> 00:13:45,000
لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded okay إذا

152
00:13:45,000 --> 00:13:49,600
هاي استخدمنا ال monotone convergence theoremلإثبات

153
00:13:49,600 --> 00:13:52,140
أن سيكوانس معينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

154
00:13:52,140 --> 00:13:52,840
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

155
00:13:52,840 --> 00:13:56,680
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

156
00:13:56,680 --> 00:13:59,900
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

157
00:13:59,900 --> 00:14:00,660
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

158
00:14:00,660 --> 00:14:05,360
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة

159
00:14:05,360 --> 00:14:11,900
مُعينة مُعينة مُعينة

160
00:14:11,900 --> 00:14:12,220
مُعين

161
00:14:16,610 --> 00:14:21,230
المثال التالت برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو

162
00:14:21,230 --> 00:14:23,790
الـ monotone convergence theorem

163
00:14:34,440 --> 00:14:40,520
بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين الان انا

164
00:14:40,520 --> 00:14:44,820
بدي اعرف ال sequence x in inductively بطريقة

165
00:14:44,820 --> 00:14:52,860
استقرائية شوفنا

166
00:14:52,860 --> 00:14:56,460
احنا لما بدينا ال chapter هذا ان ال sequences can

167
00:14:56,460 --> 00:15:01,740
be defined in two waysاما explicitly زي مثلا ال

168
00:15:01,740 --> 00:15:06,900
sequence xn بالساوي واحد على n او recursively او

169
00:15:06,900 --> 00:15:11,520
inductively بطريقة استقرائية بان انا اخد قيمة للحد

170
00:15:11,520 --> 00:15:16,440
الاول او اول حدين اعطيهم قيم محددة و بعدين اعرف

171
00:15:16,440 --> 00:15:22,510
الحد العام بدالة الحدود اللي قبلهفهي اندي الحد

172
00:15:22,510 --> 00:15:28,110
الاول نفرض انه بساوي واحد الان بنعرف xn زياد واحد

173
00:15:28,110 --> 00:15:31,870
على انه square root لاتنين ضرب الحد اللي جابناه

174
00:15:31,870 --> 00:15:35,970
وهذا لكل n لان بالطريقة هذه ممكن اعرف ان هذا

175
00:15:35,970 --> 00:15:39,610
بيعطينا sequence الان هذه ال sequence عايزين نثبت

176
00:15:39,610 --> 00:15:44,610
انها convergent زائد ان ال limit تبقاتها بساوي

177
00:15:44,610 --> 00:15:45,350
لعدد اتنين

178
00:15:48,640 --> 00:15:52,540
لبرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence

179
00:15:52,540 --> 00:15:57,940
theorem عشان

180
00:15:57,940 --> 00:16:01,680
أقدر استخدام الـ monotone convergence theorem ففي

181
00:16:01,680 --> 00:16:07,300
عندي ال claim الأول يعني بدي أثبت في الإدعاء الأول

182
00:16:07,300 --> 00:16:14,260
هذا ان ال sequence xn is increasing and bounded by

183
00:16:14,260 --> 00:16:14,640
2

184
00:16:18,060 --> 00:16:24,180
فلبرهان ذلك بنلاحظ

185
00:16:24,180 --> 00:16:31,920
أن X1 من التعريف تبع ال sequence X1 بساوي 1 و X2

186
00:16:31,920 --> 00:16:34,660
ممكن أجيبها من ال recursive formula أو ال

187
00:16:34,660 --> 00:16:39,500
inductive formula إن أنا أاخد n بساوي 1 فبطلع X2

188
00:16:39,500 --> 00:16:49,840
بساوي جدر 2 ل X1 و X1 1 إذا X2 بطلع جدر 2وبالتالي

189
00:16:49,840 --> 00:16:54,160
من الحسابات هذه بيطلع اندي هاي X واحد X واحد

190
00:16:54,160 --> 00:16:59,080
بيساوي واحد وبالتالي اكبر منها بيساوي واحد واسغر

191
00:16:59,080 --> 00:17:04,420
من X اتنين لان X اتنين جدر اتنين الواحد اصغر من

192
00:17:04,420 --> 00:17:08,620
جدر اتنين و

193
00:17:08,620 --> 00:17:12,960
X اتنين اللي هو جدر اتنين اصغر من الاتنين لان كل

194
00:17:12,960 --> 00:17:13,760
هذا صحيح

195
00:17:19,580 --> 00:17:25,920
تمام؟ لسه ما خلصناهش لسه ما خلصناهش احنا ما فرضنا

196
00:17:25,920 --> 00:17:30,580
انه صحيح احنا أثبتناه لسه

197
00:17:30,580 --> 00:17:35,220
ما أثبتناش هذا ال claim لسه ما أثبتناه احنا لسه ده

198
00:17:35,220 --> 00:17:41,110
بداية البرهانةالبرهان لـ claim بدأنا بما راحظنا ان

199
00:17:41,110 --> 00:17:47,150
x1 من التعريف مقطع بساوي واحد و x2 حسبناها منها

200
00:17:47,150 --> 00:17:51,630
بساوي جدر اتنين ل x1 اللي هو جدر اتنين وبالتالي

201
00:17:51,630 --> 00:17:58,270
بطلع اندي هيك هاي x1 أكبر من أو ساوي واحد و أصغر

202
00:17:58,270 --> 00:18:03,850
من جدر اتنين اللي هو x2 و x2 اللي هي جدر اتنين

203
00:18:03,850 --> 00:18:09,210
أصغر من اتنينليش احنا عملنا هذا الكلام لان هيبين

204
00:18:09,210 --> 00:18:16,170
الان now الان بدي اثبت بدي استخدم ال induction we

205
00:18:16,170 --> 00:18:28,150
use induction لاثبات العبارة هذه وهي ان xn اصغر من

206
00:18:28,150 --> 00:18:32,970
xn زائد واحد وهذا اصغر من اتنين وهذا اكبر من أوسع

207
00:18:32,970 --> 00:18:41,020
الواحد لكلمن البرهن صحة العبارة هذه by induction

208
00:18:41,020 --> 00:18:47,240
طيب الحالة اللي فيها خد n بساوية واحد الحالة اللي

209
00:18:47,240 --> 00:18:53,300
فيها n بساوية واحد هي هاي x واحد أكبر من أو ساوية

210
00:18:53,300 --> 00:19:01,340
واحد هدا هي و أصغر من x اتنين هدا هيو X2 أصغر من 2

211
00:19:01,340 --> 00:19:05,280
إذا العبارة هذه صحيحة لما N بساوي 1 لأنه هنا

212
00:19:05,280 --> 00:19:10,280
أثبتناها الآن

213
00:19:10,280 --> 00:19:18,920
افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بساوي K يعني

214
00:19:18,920 --> 00:19:27,820
عندك هنا XKاكبر من او ساول واحد اصغر من X K زايد

215
00:19:27,820 --> 00:19:34,100
واحد اصغر من اتنين هنا فرضنا هذا ال induction high

216
00:19:34,100 --> 00:19:41,920
precision وعايزين نثبت ان هذا بيقدي ان القبارة

217
00:19:41,920 --> 00:19:48,980
صحيحة and N بيساوي K زايد واحد يعني بدي اثبت هذه

218
00:19:48,980 --> 00:19:50,660
المتباينة

219
00:19:55,390 --> 00:20:02,590
بدي أثبت المتباينة هذه طبعا فتعالى نشوف كيف نثبت

220
00:20:02,590 --> 00:20:21,690
المتباينة هذه طيب

221
00:20:21,690 --> 00:20:29,980
أنا عنديهي عندي المتباينة هذه احنا

222
00:20:29,980 --> 00:20:49,600
فرضين ان المتباينة هذه صحيحة احنا

223
00:20:49,600 --> 00:20:52,640
فرضين من induction hypothesis ان هذه المتباينة

224
00:20:52,640 --> 00:20:58,910
صحيحةأضرب المتباينة هذه في اتنين هي اضرب كل

225
00:20:58,910 --> 00:21:02,710
الأطراف في اتنين فبصير اتنين اصغر من اتنين XK اصغر

226
00:21:02,710 --> 00:21:09,290
من اتنين XK زائد واحد اصغر من اربع وهذا بيقدي ان

227
00:21:09,290 --> 00:21:11,570
واحد اصغر من جدر اتنين

228
00:21:15,730 --> 00:21:21,830
و اذا انا الان باخد الجذر التربيعى لكل الأطراف هذه

229
00:21:21,830 --> 00:21:26,750
اخد الجذر التربيعى فهي جذر اتنين طبعا اكبر من واحد

230
00:21:26,750 --> 00:21:34,350
اصغر منه يساوي جذر اتنين XK اللى هو XK زاد واحد

231
00:21:34,350 --> 00:21:37,770
هذا طبعا من التعريف تبع ال sequence من ال

232
00:21:37,770 --> 00:21:43,130
inductive formula جذر اتنين XK حسب التعريف بساوي

233
00:21:43,130 --> 00:21:50,440
XK زاد واحدوهذا أصغر من هنا جدر اتنين xk أصغر من

234
00:21:50,440 --> 00:21:56,840
جدر اتنين xk زائد واحد وهذا أصغر من جدر الأربع

235
00:21:56,840 --> 00:22:01,180
اللي هو الأتنين إذا هاي بيطلع عندي واحد أصغر من أو

236
00:22:01,180 --> 00:22:06,580
يساوي xk زائد واحد وهذا برضه من ال inductive

237
00:22:06,580 --> 00:22:15,940
formula الجدر التربيع هذا بيساوي xk زائد اتنينإذا

238
00:22:15,940 --> 00:22:21,620
هي 1 أصغر من أو ساوي xk زاد 1 أصغر من xk زاد 2

239
00:22:21,620 --> 00:22:28,100
أصغر من 2 وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه

240
00:22:28,100 --> 00:22:34,700
عن k زاد 1 وبالتالي هيك بنكون كملنا ال induction

241
00:22:34,700 --> 00:22:43,060
okay طبعا إذا ال claim تعالوا نشوف الآن ليش ال

242
00:22:43,060 --> 00:22:48,470
sequenceأه ليه ال sequence تبعتنا بتطلع bounded

243
00:22:48,470 --> 00:22:55,530
وincreasing فاكرين احنا أثبتنا by induction ان x

244
00:22:55,530 --> 00:23:01,810
in أصغر من x in زايد واحد أصغر من اتنين أكبر من

245
00:23:01,810 --> 00:23:10,150
أوي ساوي واحد لكل in من الجزء هذا نستنتج

246
00:23:10,150 --> 00:23:14,460
ان ال sequence is increasing صح؟لأن هى عندى xn

247
00:23:14,460 --> 00:23:21,640
أصغر من xn زاد واحد لكل n ومن المتباينة كلها يعني

248
00:23:21,640 --> 00:23:28,200
اللى هى xn أصغر من اتنين أكبر من أوسع واحد لكل n

249
00:23:28,200 --> 00:23:32,080
هذا معناته ال sequence bounded هى محصورة بين واحد

250
00:23:32,080 --> 00:23:37,160
واتنين و bounded above by اتنين لذلك هذا يكمل

251
00:23:37,160 --> 00:23:42,800
برهان ال claim الأول يعنيوهو انه sequence x in

252
00:23:42,800 --> 00:23:47,240
increasing و bounded الان by monotone convergence

253
00:23:47,240 --> 00:23:53,140
theorem ال sequence x in هتكون convergent دعينا

254
00:23:53,140 --> 00:23:56,840
نسمي ال limit تبعتها x وطبعا حسب ال monotone

255
00:23:56,840 --> 00:23:59,480
convergence theorem بما انه sequence increasing

256
00:23:59,480 --> 00:24:05,960
اذا ال limit تبعتها بساوي ال suprem لها ك set اذا

257
00:24:05,960 --> 00:24:09,600
انا في عندي الآن ال sequence تبعتي convergent هي

258
00:24:09,600 --> 00:24:17,620
عندي limitx in convergent بيساوي x اللي هي طبعا

259
00:24:17,620 --> 00:24:21,580
حسب النظرية بيساوي ال supremum الان بدي أجيب قيمة

260
00:24:21,580 --> 00:24:25,460
ال x هذا طبعا

261
00:24:25,460 --> 00:24:30,560
مش سهل أن أجيب ال supremum ل ال sequence فبجيبها

262
00:24:30,560 --> 00:24:35,600
بطريقة تانية إذا

263
00:24:35,600 --> 00:24:38,560
ال claim التاني بدي أثبت أن ال x ال limit ل ال

264
00:24:38,560 --> 00:24:40,720
sequence اللي هي x بيساوي 2

265
00:24:43,730 --> 00:24:47,450
طيب انا عندي من تعريف الـ sequence انا عندي xn زاد

266
00:24:47,450 --> 00:24:53,070
واحد بساوي جدر اتنين xn و هذا الكلام صحيح for

267
00:24:53,070 --> 00:24:57,870
every m ناخد ال limit لاتطرفين لما n تقول ل

268
00:24:57,870 --> 00:25:02,050
infinity بتطلع limit xn زاد واحد بساوي limit جدر

269
00:25:02,050 --> 00:25:08,390
اتنين ثابت في limit جدر ال xn مظبوط؟

270
00:25:09,940 --> 00:25:15,160
طيب احنا فرضين او احنا استنتجنا احنا لسه مستنتجين

271
00:25:15,160 --> 00:25:19,340
من ال monotone convergence ان limit xn بيساوي x

272
00:25:19,340 --> 00:25:25,400
وبالتالي limit xn زاد واحد برضه بتساوي x وهي

273
00:25:25,400 --> 00:25:31,220
بيساوي جذر اتنين و limit جذر xn بيساوي جذر ال x

274
00:25:31,220 --> 00:25:36,980
حسب نظرية سابقة اذا ال limit هذه اذا هي x و جذر

275
00:25:36,980 --> 00:25:40,820
اتنين في ال limit هذه بتطلع جذر ال xإذا أصبح أثيان

276
00:25:40,820 --> 00:25:46,380
دي معادلة في مجهول واحد x ممكن أحلها و ذلك بتربيع

277
00:25:46,380 --> 00:25:53,740
الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك وهذه في

278
00:25:53,740 --> 00:25:59,340
إلها حالين إما x بيطلع بساوي سفر أو x بساوي اتنين

279
00:25:59,340 --> 00:26:04,940
احنا عايزين ال x ناخد x بساوي اتنين و نرفض x بساوي

280
00:26:04,940 --> 00:26:10,700
سفر طب ليه نرفض x بساوي سفر؟لأن اثبتنا هنا by

281
00:26:10,700 --> 00:26:20,340
induction أن xn أكبر من أوسع واحد أصغر من الأتنين

282
00:26:20,340 --> 00:26:25,960
و أثبتنا أن ال sequence هذه convergent، إذا حسب

283
00:26:25,960 --> 00:26:27,200
نظرية سابقة

284
00:26:30,490 --> 00:26:38,230
إذن ال limit لل sequence xn هتطلع محصورة بين 2 و

285
00:26:38,230 --> 00:26:42,650
بين 1 خدمة نظرية بتقول لو كانت ال sequence xn

286
00:26:42,650 --> 00:26:48,610
convergent و xn أكبر من أو ساوي a أصغر من أو ساوي

287
00:26:48,610 --> 00:26:53,570
b لكل n فال limit لل sequence xn بتطلع أيضا محصورة

288
00:26:53,570 --> 00:26:59,560
بين a و bيعني طب هدى هى ال X فرضنا ان ال limit هدى

289
00:26:59,560 --> 00:27:04,060
X اذا بطلع انا عندي X اكبر من او ساوي واحد اصغر من

290
00:27:04,060 --> 00:27:07,920
الاتنين وبالتالي مش ممكن ال X اللى هى محصورة بين

291
00:27:07,920 --> 00:27:15,420
واحد واتنين مش ممكن تساوي سفر مش ممكن تساوي سفر

292
00:27:15,420 --> 00:27:19,820
اذا لازم الساوي .. وانا عندي سفر او اتنين اذا لازم

293
00:27:19,820 --> 00:27:25,570
الساوي اتنينOkay إذا هين هيك استخدمنا الـ monotone

294
00:27:25,570 --> 00:27:31,030
convergence بالمثل في أد التمرين زي هذه sequences

295
00:27:31,030 --> 00:27:36,290
معرفة inductively و هتثبتوا أنها convergent و

296
00:27:36,290 --> 00:27:40,750
تجيبوا قيمة ال limit بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب

297
00:27:40,750 --> 00:27:46,250
فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل

298
00:27:46,250 --> 00:27:52,770
هذه التمرين Okay تمام واضحإذن هنا أخدنا تطبيقات

299
00:27:52,770 --> 00:27:56,230
متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي

300
00:27:56,230 --> 00:28:03,570
التمرين ل section تلاتة تلاتة نبدأ

301
00:28:03,570 --> 00:28:09,230
section أربعة أو تلاتة أربعة نعم بيقول إنه ممكن

302
00:28:09,230 --> 00:28:13,790
نحل بحر ثاني و نثبت أنه الإثنان يصدرهم للإكسام

303
00:28:13,790 --> 00:28:17,770
مظبوط صحيح الإثنان يتحركون على طريق اللملة اللي هي

304
00:28:17,770 --> 00:28:18,610
الإكسام

305
00:28:21,690 --> 00:28:28,990
والله انت فاكر فيه و بعدين قولي ليه هي

306
00:28:28,990 --> 00:28:34,050
عندك sequence حدودها معروفة معرفة ممكن تكتب أول

307
00:28:34,050 --> 00:28:40,010
اربع خمس عدود و تحاول تستنتجي ايه هي قيمة ال

308
00:28:40,010 --> 00:28:44,930
supreme و تبرهنها طبعا فهذا متروك اليك

309
00:28:47,810 --> 00:28:52,030
هذا يعني حل آخر فانا قلت ان ال suprem مش سهل ان

310
00:28:52,030 --> 00:28:56,070
احنا نجيبه لمثل هذه ال sequences او ال sets

311
00:28:56,070 --> 00:28:59,230
وبالتالي ال monotone convergence في الفيلم كان

312
00:28:59,230 --> 00:29:03,390
ممكن يكون أسهل لأن هاي الكلام التاني هذا الأخير

313
00:29:03,390 --> 00:29:07,270
مااخدش وجهة يعني أخدنا ال formula ال inductive

314
00:29:07,270 --> 00:29:11,570
formula و أخدنا ال limit للطرفين و حلينا معادلة في

315
00:29:11,570 --> 00:29:16,800
Xو ادركنا ان ال X ليس لازم تساوي سفر من هنا لان X

316
00:29:16,800 --> 00:29:20,820
محصولة بين واحد و اتنين هذا أسهل من ان انا اجيب ال

317
00:29:20,820 --> 00:29:26,940
suprem لكن هذا ممنعش ان ممكن حد معين يثبت ان ال

318
00:29:26,940 --> 00:29:33,060
suprem هو اتنين اذا كان سهل فكان بيعني نستخدمه مش

319
00:29:33,060 --> 00:29:35,240
سهل نستخدم ال monotone convergence

320
00:29:49,630 --> 00:29:56,070
الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،

321
00:29:56,070 --> 00:29:59,350
ال sub-sequences شوفنا قبل شوية sub-sequence

322
00:30:11,180 --> 00:30:15,400
شوفنا قبل لحظات في المثال التاني انه في عنده

323
00:30:15,400 --> 00:30:26,540
sequence هي عنده sequence xn حدودها x1, x2, x3, x4

324
00:30:26,540 --> 00:30:34,160
و هكذا و في كانت sequence تانية لحد الآن تبعها 2

325
00:30:34,160 --> 00:30:52,420
أُس nالحدود هذي هتكون X2 X4 X8 و هكذا صح؟ لو سمنا

326
00:30:52,420 --> 00:31:01,340
الاتنين هذي R1 والاربعة هذي سمنها R2 والتمانية R3

327
00:31:04,820 --> 00:31:10,940
فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو ساوء واحد، عدد طبيعي أكبر

328
00:31:10,940 --> 00:31:19,320
من أو ساوء واحد وR2 أكبر من R1، اللي هو أربعة أكبر

329
00:31:19,320 --> 00:31:29,050
من اتنين وR3 اللي هو تمانية أكبر من R2و هكذا اذا

330
00:31:29,050 --> 00:31:34,810
ال sub sequence المؤشرات تبعتها او ال indices انا

331
00:31:34,810 --> 00:31:40,330
بسميه index مجموعة index indices ال indices او

332
00:31:40,330 --> 00:31:44,710
المؤشرات لل sub sequence هي عداد طبيعية هذا هي

333
00:31:44,710 --> 00:31:49,890
اتنين اربعة تمانية هي عداد طبيعية والعداد الطبيعية

334
00:31:49,890 --> 00:31:55,170
هذه بتشكل sequence هذه عبارة عن sequence of

335
00:31:55,170 --> 00:32:01,880
natural numbersصح؟ و ال sequence هذه is strictly

336
00:32:01,880 --> 00:32:08,200
.. strictly increasing

337
00:32:08,200 --> 00:32:14,580
.. strictly increasing يعني متزايدة زيادة صحيحة

338
00:32:14,580 --> 00:32:18,860
يعني R واحد أصغر منه مش أصغر منه أو يساوي R اتنين

339
00:32:18,860 --> 00:32:23,280
و R اتنين أصغر منه و لا تساوي R تلاتة و هكذا

340
00:32:23,280 --> 00:32:25,780
مظبوط؟ صح؟

341
00:32:29,030 --> 00:32:33,430
إذا السب سيكوانس السب سيكوانس من أي سيكوانس هي

342
00:32:33,430 --> 00:32:39,350
مجموعة جزئية منها صح لأن حدودها هي حدود حدود السب

343
00:32:39,350 --> 00:32:46,130
سيكوانس هي عناصر أو حدود من السيكوانس العصلية لكن

344
00:32:46,130 --> 00:32:52,170
مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعتها

345
00:32:52,170 --> 00:32:56,890
اتشكل strictly increasing sequence of natural

346
00:32:56,890 --> 00:33:03,480
numbersتمام؟ زي هيك إذاً

347
00:33:03,480 --> 00:33:06,900
هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي

348
00:33:06,900 --> 00:33:12,060
sequence XN واخدت strictly increasing sequence of

349
00:33:12,060 --> 00:33:17,620
natural numbers فال sequence اللي المؤشرات تبعتها

350
00:33:17,620 --> 00:33:24,060
هي ال sequence RN اللي هي هذه عناصرها بنسميها

351
00:33:24,060 --> 00:33:30,640
subsequence من ال sequence XNو هاي أمثلة هتابر هذه

352
00:33:30,640 --> 00:33:33,900
الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers

353
00:33:33,900 --> 00:33:40,860
فهذه subsequence منها اتنين in الـ sequence of

354
00:33:40,860 --> 00:33:44,940
even numbers او even natural numbers ده هي على

355
00:33:44,940 --> 00:33:54,800
سرعة اتنين اربعة ستة و هكذا وهذه عبارة عن sequence

356
00:33:56,170 --> 00:34:03,930
of odd national numbers واحد تلاتة خمسة و هكذا

357
00:34:03,930 --> 00:34:11,550
وحدود ال sequence هذه هي X R واحد هذا X اتنين هذا

358
00:34:11,550 --> 00:34:18,430
رقمه هذا رقم اتنين يعني R واحد بساوة اتنين طيب X R

359
00:34:18,430 --> 00:34:25,450
اتنين اربع X R اتنينر2 هذا حد رقم أربعة، ر2 بيساوي

360
00:34:25,450 --> 00:34:31,610
أربعة و ر1 بيساوي اتنين، و اتنين أصغر من أربعة، XR

361
00:34:31,610 --> 00:34:39,130
تلاتة ستة، ر تلاتة ستة نفس الحاجة، يعني هذه

362
00:34:39,130 --> 00:34:44,020
subsequence وهذه subsequence من ال sequence Xلأن

363
00:34:44,020 --> 00:34:48,280
مأشراتهم كلهم بشكل strictly increasing sequences

364
00:34:48,280 --> 00:34:53,000
of natural numbers بالمثل ال sequence 1 على 2 n

365
00:34:53,000 --> 00:35:03,540
سالب 1 و ال sequence 1 على n factorial هدول

366
00:35:03,540 --> 00:35:07,840
برضه أيضا sub sequences من ال sequence 1 على n

367
00:35:11,850 --> 00:35:16,490
لكن الـ sequence اللي لحد الآن تبقى الحدودها واحد

368
00:35:16,490 --> 00:35:24,370
على واحد، سفر، تلت، سفر، خمس، سفر، و هكذا هذه ليست

369
00:35:24,370 --> 00:35:32,450
subsequence من الـ sequence واحد على انه لأن السفر

370
00:35:32,450 --> 00:35:37,150
هذا هايلها، مش موجودة، ليست ثلاثا تاني لل sequence

371
00:35:37,150 --> 00:35:43,480
هذه ومؤشرات الحدوديعني لا تشكل strictly increasing

372
00:35:43,480 --> 00:35:47,640
sequence طيب

373
00:35:47,640 --> 00:35:52,780
لو أخدت أي tail أي tail M tail حيث M fixed natural

374
00:35:52,780 --> 00:35:58,740
number ف X أي tail ده M tail of any sequence X in

375
00:35:58,740 --> 00:36:03,640
طبعا ال M tail ده حدوده عبارة عن sequence الحد

376
00:36:03,640 --> 00:36:10,190
الأول تبعهاx capital M زاد واحد الحد التاني x

377
00:36:10,190 --> 00:36:16,870
capital M زاد اتنين التالت x capital M زاد تلاتة و

378
00:36:16,870 --> 00:36:21,170
هكذا فطبعا

379
00:36:21,170 --> 00:36:26,510
هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence الام لأن

380
00:36:26,510 --> 00:36:32,430
كل أنصر في ال sub sequence هذه هي موجودة هنا صح؟

381
00:36:33,790 --> 00:36:39,710
والمؤشرات تبعات ال sub-sequence هي M زاد واحد اصغر

382
00:36:39,710 --> 00:36:45,830
من R اتنين اللي هو M زاد اتنين وR اتنين اصغر من R

383
00:36:45,830 --> 00:36:50,130
تلاتة اللي هو M زاد تلاتة وكده هذا sub-sequence

384
00:36:50,130 --> 00:36:54,950
ولا مش sub-sequence؟ لو أخدت أي sequence X in فأي

385
00:36:54,950 --> 00:37:02,220
M تل هو sub-sequence منهاكذلك لو أخدت أي sequence

386
00:37:02,220 --> 00:37:09,400
xn فالـ sequence x اللي الحد اللي عم تبعها المؤشر

387
00:37:09,400 --> 00:37:16,020
تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شوفنا و x2n

388
00:37:16,020 --> 00:37:21,340
الحدود الزوجية لو أخدت الحدود الزوجية فقط فهذا

389
00:37:21,340 --> 00:37:25,840
بعطيني subsequence و لو أخدت الحدود الفردية تعطيني

390
00:37:25,840 --> 00:37:38,470
subsequence ثانية و لا كدهالان سؤال

391
00:37:38,470 --> 00:37:42,190
اللى بهمنا احنا ما هي علاقة ال sequence بال

392
00:37:42,190 --> 00:37:46,990
subsequence من حيث ال convergence و ال divergence؟

393
00:37:54,410 --> 00:37:56,950
يعني لو كانت ال sequence convergent لو في اندي

394
00:37:56,950 --> 00:38:01,250
سيكوانس xn convergent ل x واخدت أي sub sequence

395
00:38:01,250 --> 00:38:07,490
منها هل هذه ال sequence لازم تكون convergent زيها

396
00:38:07,490 --> 00:38:11,890
ولا divergent لازم تكون convergent و ال limit

397
00:38:11,890 --> 00:38:22,770
تبعتها نفس ال limit و لها نفس ال limit ماشي

398
00:38:22,770 --> 00:38:23,170
لحظة

399
00:38:29,060 --> 00:38:29,860
كثير من الناس

400
00:38:39,930 --> 00:38:46,370
إذا كمان مرة بهمني أنا أنه لو في عندي sequence

401
00:38:46,370 --> 00:38:51,030
نظرية هذه بتقول لو في عندي sequence xn of real

402
00:38:51,030 --> 00:38:56,350
numbers وكانت ال sequence هذه convergent ل x فأي

403
00:38:56,350 --> 00:39:00,170
subsequence منها بتكون convergent و ال limit

404
00:39:00,170 --> 00:39:05,330
تبعتها هي نفس ال limit لل sequence xn

405
00:39:08,450 --> 00:39:15,870
وهذا يعني ممكن ان احنا نثبته بسهولة عشان اثبت ان

406
00:39:15,870 --> 00:39:22,590
ال subsequence XRN converge ل X فبستخدم تعريف Y

407
00:39:22,590 --> 00:39:27,930
capital N فلو أخدت أي Y أكبر من السفر أنا عندي ال

408
00:39:27,930 --> 00:39:32,560
sequence الأصلية هي convergent ل Xوبالتالي من

409
00:39:32,560 --> 00:39:36,720
تعريف ال convergence لما أن XM converged ل X إذا

410
00:39:36,720 --> 00:39:39,940
يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة

411
00:39:39,940 --> 00:39:45,700
بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي

412
00:39:45,700 --> 00:39:52,980
capital M طيب أنا عندي المؤشرات

413
00:39:52,980 --> 00:39:58,160
تبع السب سيكوينس بتشكل increasing

414
00:39:58,160 --> 00:40:03,420
sequenceوأول واحد .. أول عدد فيها طبعا هذا عدد

415
00:40:03,420 --> 00:40:09,800
طبيعي وبالتالي أكبر من أو ساوي الواحد فبالتالي ال

416
00:40:09,800 --> 00:40:15,160
Rn هدولة ال Rn ممكن اثبات باستخدام ال induction أن

417
00:40:15,160 --> 00:40:22,220
Rn أكبر من أو ساوي N لكل N وبالتالي

418
00:40:22,220 --> 00:40:28,970
لو أخدت N أكبر من أو ساوي capital N فعندي أنا Rnمن

419
00:40:28,970 --> 00:40:34,590
هنا أكبر من أو ساوي small n و ال n أنا ماخده أكبر

420
00:40:34,590 --> 00:40:38,750
من أو ساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع

421
00:40:38,750 --> 00:40:43,150
عندي RN أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي من ال

422
00:40:43,150 --> 00:40:48,810
implication 13 ال implication 13 بتقوللي لأي عدد

423
00:40:49,980 --> 00:40:55,300
أكبر من أو ساوية capital N المسافة بين X للعدد هذا

424
00:40:55,300 --> 00:41:02,090
للمؤشر هذا سالب X أصغر من Yإذا أنا هيك أثبتت ..

425
00:41:02,090 --> 00:41:07,550
أنا هيك أثبتت أنه ال .. لأي epsilon أكبر من السفر

426
00:41:07,550 --> 00:41:12,190
في capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه

427
00:41:12,190 --> 00:41:16,830
ساوي capital N المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon

428
00:41:16,830 --> 00:41:21,320
وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهايةأنا هيك

429
00:41:21,320 --> 00:41:27,640
بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تقول ل infinity

430
00:41:27,640 --> 00:41:35,720
بساوي x وهذا هو المطلوب طبعا

431
00:41:35,720 --> 00:41:40,780
في هنا أمثلة باقي شوية أمثلةفهذه الأمثلة يعني

432
00:41:40,780 --> 00:41:46,000
حاولوا أنكم تقرؤوها في مثلين كيف نطبق النظرية هذه

433
00:41:46,000 --> 00:41:50,660
أو نوجد العلاقة بين كيف نثبت ال convergence لل

434
00:41:50,660 --> 00:41:55,900
sequence من خلال إثبات

435
00:41:55,900 --> 00:42:00,290
ال convergence لل subsequences أو العكسفحاولوا

436
00:42:00,290 --> 00:42:04,490
تقرؤوها و هيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل ان شاء

437
00:42:04,490 --> 00:42:10,290
الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام ال

438
00:42:10,290 --> 00:42:14,290
powerpoint ابتداء من المحاضرة الجاية و هنشره على

439
00:42:14,290 --> 00:42:19,850
اللغة okay انتهت المحاضرة نشوفكم ان شاء الله يوم

440
00:42:19,850 --> 00:42:20,250
اتنين