1
00:00:22,080 --> 00:00:28,960
بسم الله الرحمن الرحيم ال .. هنواصل اليوم ان شاء

2
00:00:28,960 --> 00:00:39,080
الله ال .. ال .. الشئ اللي بدأناه بخصوص المقدمة عن

3
00:00:39,080 --> 00:00:46,520
ال infinite series بعتقد كانت أخر نظرية أخدناها هي

4
00:00:46,520 --> 00:00:47,700
Cauchy criterion

5
00:00:51,790 --> 00:00:56,710
كوشي كريتيريا for

6
00:00:56,710 --> 00:01:10,250
infinite series a

7
00:01:10,250 --> 00:01:10,810
series

8
00:01:22,490 --> 00:01:31,530
converges if and only if الشرط التالي بتحقق لكل

9
00:01:31,530 --> 00:01:38,430
epsilon أكبر من 0 يوجد capital N يعتمد على epsilon

10
00:01:38,430 --> 00:01:46,200
عدد طبيعي بحيث أنهلو كان M أكبر من N أكبر من أو

11
00:01:46,200 --> 00:01:56,560
ساوي capital M فهذا بيقدي أنه absolute SM minus SN

12
00:01:56,560 --> 00:02:05,840
بساوي absolute XN زاد واحد زاد XN زاد اتنين و هكذا

13
00:02:05,840 --> 00:02:07,300
إلى XM

14
00:02:11,640 --> 00:02:15,100
النظرية هذه تبعت كوشي أخدناها المرة اللي فاتت و

15
00:02:15,100 --> 00:02:22,080
برهناها مظبوط اليوم هناخد نظرية تانية و مهمة و

16
00:02:22,080 --> 00:02:31,660
النظرية هذه بتقول انه let x in be sequence of non

17
00:02:31,660 --> 00:02:39,620
-negative real numbers then

18
00:02:39,620 --> 00:02:40,420
series

19
00:02:43,080 --> 00:02:49,340
xn converges if

20
00:02:49,340 --> 00:02:55,680
and only if الsequence of partial sums its

21
00:02:55,680 --> 00:03:05,600
sequence of partial sums اللي

22
00:03:05,600 --> 00:03:07,540
هي sn is bounded

23
00:03:16,760 --> 00:03:24,080
proof we have sn

24
00:03:24,080 --> 00:03:36,020
بساوي او sn زايد واحد بساوي sn

25
00:03:36,020 --> 00:03:42,070
زايد xn زايد واحدالان زاد فرص partial sum بيساوي

26
00:03:42,070 --> 00:03:46,150
الانف partial sum وبنضيف عليه لحد رقم ان زاد واحد

27
00:03:58,050 --> 00:04:02,070
و طبعا ال Xn زاد واحد هذا احنا فرضين ان حدود ال

28
00:04:02,070 --> 00:04:08,530
sequence Xn كلها غير سالبة فهذا غير سالب وبالتالي

29
00:04:08,530 --> 00:04:14,790
المجموع هذا بالتأكيد اكبر من او سوى Sn لكل N في N

30
00:04:14,790 --> 00:04:17,870
فهذا

31
00:04:17,870 --> 00:04:24,530
معناه ان ال sequence Sn is increasing متزايدة

32
00:04:26,960 --> 00:04:30,480
بالتالي، من خلال الوضع الوضع الوضع الوضع الوضع

33
00:04:30,480 --> 00:04:36,420
الوضع الوضع

34
00:04:36,420 --> 00:04:40,960
الوضع

35
00:04:40,960 --> 00:04:48,560
الوضع الوضع

36
00:05:21,390 --> 00:05:23,410
وهو المطلوب

37
00:05:25,890 --> 00:05:29,190
أحنا أخدنا قبل هيك أن أي infinite series بتكون

38
00:05:29,190 --> 00:05:32,890
convergent if and only if the sequence of partial

39
00:05:32,890 --> 00:05:36,810
sums is convergent، صح؟ طيب، ال sequence of

40
00:05:36,810 --> 00:05:42,650
partial sums بمعنها increasing فهي convergent by

41
00:05:42,650 --> 00:05:48,050
monotone convergence theorem بتكون convergent if

42
00:05:48,050 --> 00:05:52,130
and only if it is boundedوبالتالي الـ series

43
00:05:52,130 --> 00:05:54,770
converges if and only if the sequence of partial

44
00:05:54,770 --> 00:06:02,210
sums is bounded وهذا يثبت النظرية تمام؟ إذن هذه

45
00:06:02,210 --> 00:06:09,410
النظرية أهميتها في أننا يعني تطبيقها زي ما هنشوف

46
00:06:09,410 --> 00:06:12,650
في

47
00:06:12,650 --> 00:06:14,590
لما هنا صغيرة لما

48
00:06:22,840 --> 00:06:28,020
إذا .. إذا

49
00:06:28,020 --> 00:06:35,460
Sn هي عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

50
00:06:35,460 --> 00:06:40,200
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

51
00:06:40,200 --> 00:06:41,360
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

52
00:06:41,360 --> 00:06:41,460
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

53
00:06:41,460 --> 00:06:41,480
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

54
00:06:41,480 --> 00:06:43,900
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

55
00:06:43,900 --> 00:06:50,560
عملية

56
00:06:50,560 --> 00:07:06,360
عإذا كان هناك تجارب سكن

57
00:07:06,360 --> 00:07:15,180
من سن التي مرتبطة

58
00:07:15,180 --> 00:07:22,480
فالنتيجة

59
00:07:25,450 --> 00:07:34,870
ثم سيكوانس SN نفسها مرتبط يعني

60
00:07:34,870 --> 00:07:37,450
لو كان في عندي سيكوانس of non-negative real

61
00:07:37,450 --> 00:07:43,790
numbers و السيكوانس هذه حدودها غير سالبة و

62
00:07:43,790 --> 00:07:50,030
increase متزايدة و لو وجد subsequence من السيكوانس

63
00:07:50,030 --> 00:07:57,220
SN و السيكوانس مرتبطالسيكوانس الأم أو السيكوانس

64
00:07:57,220 --> 00:08:02,260
الأصلية بتكون أيضا bounded فالبرهان

65
00:08:02,260 --> 00:08:05,500
تبع النظرية اللي هسيبكم هي أن تتبرهنوا ك exercise

66
00:08:05,500 --> 00:08:09,980
for easy

67
00:08:09,980 --> 00:08:20,880
exercise اذا انا هنسيبكم اتبرهنوا كتمرين في عندي

68
00:08:20,880 --> 00:08:21,580
الآن

69
00:08:27,800 --> 00:08:44,940
firm ال P series test let

70
00:08:44,940 --> 00:08:51,480
P عدد موجب أصغر let P

71
00:08:55,440 --> 00:09:01,680
هي عدد موجب اي عدد موجب ده

72
00:09:01,680 --> 00:09:09,640
P series ده P series اللي هي سيجما from N equals

73
00:09:09,640 --> 00:09:17,100
zero to infinity لواحد على N أُس P ال series هذه

74
00:09:17,100 --> 00:09:23,160
بنسميها P series ال P series هذه ايش مالها؟ واحد

75
00:09:25,240 --> 00:09:37,540
converges if P أكبر من واحد and name by virges if

76
00:09:37,540 --> 00:09:45,620
P أصغر من أو يساوي واحد prove

77
00:09:45,620 --> 00:09:52,580
نثبت الجزء الأول assume

78
00:09:54,990 --> 00:10:02,570
إن P أكبر من 1 let

79
00:10:02,570 --> 00:10:07,510
R بيساوي

80
00:10:07,510 --> 00:10:14,490
واحد على اتنين أس P سالب واحد ال P أكبر من واحد

81
00:10:14,490 --> 00:10:21,330
فالأس هذا موجب واحد على اتنين أس موجب طبعا هذا

82
00:10:21,330 --> 00:10:21,950
بيطلع

83
00:10:24,540 --> 00:10:34,800
عدد موجب و أصغر من واحد then ال R العدد R هذا أكبر

84
00:10:34,800 --> 00:10:44,300
من سفر أصغر من واحد طيب four K بساوي اتنين اقصى

85
00:10:44,300 --> 00:10:52,860
واحد سالب واحد اللي هو واحد MDS

86
00:10:58,390 --> 00:11:04,950
عندي ال partial sum رقم

87
00:11:04,950 --> 00:11:10,130
K اللي

88
00:11:10,130 --> 00:11:18,970
هو بيساوي اتنين خليني اسمي هذا K واحد فال

89
00:11:18,970 --> 00:11:26,370
partial sum S رقم K واحدبساوي طبعا k1 بساوي واحد

90
00:11:26,370 --> 00:11:36,190
هنا هذا هو s1 بساوي واحد ال

91
00:11:36,190 --> 00:11:39,490
first partial sum اللي هو مجموعة الحد الأول الحد

92
00:11:39,490 --> 00:11:47,470
الأول هنا واحد صح طيب

93
00:11:47,470 --> 00:11:49,810
four لو أخدت k2

94
00:11:52,090 --> 00:11:57,230
لو أخدت K2 بيساوي اتنين اقصى اتنين سالب واحد هذا

95
00:11:57,230 --> 00:12:01,570
بيطلع تلاتة ففي

96
00:12:01,570 --> 00:12:09,290
الحالة هذه بيطلع عندي ال

97
00:12:09,290 --> 00:12:14,710
partial sum رقم K2 هو نفس ال partial sum رقم تلاتة

98
00:12:14,710 --> 00:12:18,950
فطبعا هذا هيساوي مجموع اول تلاتة حدود

99
00:12:22,250 --> 00:12:33,350
فعندي هنا هيطلع أول حد واحد، التاني واحد على اتنين

100
00:12:33,350 --> 00:12:36,530
أسقي

101
00:12:36,530 --> 00:12:42,670
و الحد التالت واحد على تلاتة أسبيل

102
00:12:54,470 --> 00:12:58,710
خلّينا هذه ال N مفروض تكون من واحد لان ات من واحد

103
00:12:58,710 --> 00:13:05,550
لان ات ف S K2 هو S تلاتة S تلاتة بساوي واحد على

104
00:13:05,550 --> 00:13:10,110
واحد أس P اللي هو واحد زائد واحد على اتنين أس P

105
00:13:10,110 --> 00:13:17,620
زائد واحد على تلاتة أس Pطيب أنا عندي هذا أصغر من

106
00:13:17,620 --> 00:13:23,360
واحد زايد واحد على اتنين أُس P زايد واحد على اتنين

107
00:13:23,360 --> 00:13:34,820
أُس P since لأنه اتنين أُس P أصغر من تلاتة أُس P

108
00:13:34,820 --> 00:13:42,400
فبتعني مقلوب تلاتة أُس P أصغر من مقلوب اتنين أُس P

109
00:13:42,400 --> 00:13:51,330
صح؟و هذا بيساوي واحد زائد واحد على اتنين اصفى زائد

110
00:13:51,330 --> 00:13:58,850
اتنين اتنين في واحد على اتنين اصفى هزبوت هدول حدين

111
00:13:58,850 --> 00:14:03,870
متشابهين وهذا بيطلع بيساوي واحد زائد واحد على

112
00:14:03,870 --> 00:14:12,590
اتنين اصفى سالب واحد وهذا بيساوي واحد زائد اربع

113
00:14:14,460 --> 00:14:20,460
معرف ال R على إنها 1 على 2 أُس P سالب واحد

114
00:14:20,460 --> 00:14:24,420
Similarly

115
00:14:24,420 --> 00:14:29,820
بالمثل لو

116
00:14:29,820 --> 00:14:39,060
كانت K تلاتة بساوي اتنين أس تلاتة سالب واحد يعني

117
00:14:39,060 --> 00:14:43,140
سبعة then

118
00:14:44,850 --> 00:14:53,850
هيكون SK3 هيطلع بساوي SK2

119
00:14:53,850 --> 00:14:58,350
زائد

120
00:14:58,350 --> 00:15:05,210
واحد على أربعة أس P زائد واحد على خمسة أس P زائد

121
00:15:05,210 --> 00:15:10,990
واحد على ستة أس P زائد واحد على سبعة أس P مظبوط

122
00:15:10,990 --> 00:15:11,990
هيك صح؟

123
00:15:14,290 --> 00:15:18,410
لأن S K 2 هو واحد زاد واحد على اتنين أسفل زاد واحد

124
00:15:18,410 --> 00:15:23,430
على تلاتة أسفل وهذا

125
00:15:23,430 --> 00:15:37,510
أصغر من .. طبعا S K 2 أصغر من واحد قلنا زائد R

126
00:15:41,610 --> 00:15:46,750
و بعدين الحدود هذه .. كل واحد من الحدود هذه أصغر

127
00:15:46,750 --> 00:15:52,250
من أو يساوي واحد على أربعة أس P واحد على أربعة أس

128
00:15:52,250 --> 00:15:57,570
P .. واحد على أربعة أس P .. واحد على أربعة أس P

129
00:15:57,570 --> 00:16:02,690
لأن كل واحد من المقامات هذه أكبر من أو يساوي أربعة

130
00:16:02,690 --> 00:16:09,870
أس Pطب أقول جديش عددهم أربعة هذا بيساوي واحد زايد

131
00:16:09,870 --> 00:16:17,730
R زايد أربعة على أربعة أس P هو يساوي واحد زايد R

132
00:16:17,730 --> 00:16:27,810
زايد واحد على أربعة أس P سالب واحد إذن بيطلع عندي

133
00:16:27,810 --> 00:16:38,880
أنا S K تلاتة أصغر من واحد زايد Rزائد واحد على

134
00:16:38,880 --> 00:16:43,480
اتنين اتنين

135
00:16:43,480 --> 00:16:49,820
قص اتنين في P سالب واحد وهذا

136
00:16:49,820 --> 00:16:58,520
هو R تربية هذا بيساوي واحد زائد R زائد R تربية لو

137
00:16:58,520 --> 00:17:04,120
سمرنا في العملية هذه continuing

138
00:17:07,150 --> 00:17:16,370
inductively بطريقة استقرائية continuing

139
00:17:16,370 --> 00:17:22,590
inductively يعني by induction باستخدام

140
00:17:22,590 --> 00:17:28,350
ال induction we

141
00:17:28,350 --> 00:17:32,570
get نحصل على التالي for

142
00:17:40,680 --> 00:17:50,100
for K J بيساوي اتنين اقصد J سالب واحد we

143
00:17:50,100 --> 00:17:55,340
have S

144
00:17:55,340 --> 00:18:08,260
K J هيطلع اصغر من واحد زائد R زائد R ترمية زائد

145
00:18:10,870 --> 00:18:22,010
R أُس J سالب واحد و

146
00:18:22,010 --> 00:18:27,830
هذا صحيح لكل J في N هزبط

147
00:18:27,830 --> 00:18:36,550
هيك صح هيتعالى نشوف لما J كانت بالسلب واحد فطلع

148
00:18:36,550 --> 00:18:43,660
عندي Sك واحد بيساوي واحد وأصغر من أو يساوي الواحد

149
00:18:43,660 --> 00:18:47,600
لما

150
00:18:47,600 --> 00:18:54,920
ك ج بيساوي اتنين لما

151
00:18:54,920 --> 00:19:02,980
ج بيساوي اتنينفطلع SK2 أصغر من واحد زائد R واحد

152
00:19:02,980 --> 00:19:09,660
زائد هاي اتنين سالب واحد الأسف لما J بساوية تلاتة

153
00:19:09,660 --> 00:19:15,800
عندي طلع ال SK تلاتة أصغر من واحد زائد R زائد R أس

154
00:19:15,800 --> 00:19:21,280
تلاتة سالب واحد إذا S sub KJ أصغر من واحد زائد R

155
00:19:21,280 --> 00:19:30,540
إلى R أس J minus واحدالان هذا المجموع أصغر من

156
00:19:30,540 --> 00:19:39,280
مجموع ال infinite series اللي هي summation من j

157
00:19:39,280 --> 00:19:48,980
بساوي سفر إلى ملا نهاية لR أس J صح؟

158
00:19:50,160 --> 00:19:56,760
هذا عبارة

159
00:19:56,760 --> 00:20:01,440
عن finite sum أصغر من مجموعة infinite series هذه

160
00:20:01,440 --> 00:20:10,700
عبارة عن geometric series with first term واحد وال

161
00:20:10,700 --> 00:20:18,140
ratio تبعها R والـ R أكبر من صفر أصغر من واحدإذا

162
00:20:18,140 --> 00:20:23,080
الـ geometric series هذه converges ومجموعة بساوي

163
00:20:23,080 --> 00:20:30,820
واحد على واحد minus R الكلام

164
00:20:30,820 --> 00:20:37,320
هذا صحيح for all j belong to M وطبعا ال SKJ هذا

165
00:20:37,320 --> 00:20:42,760
عبارة عن مجموعة partial sum partial sum لأعداد

166
00:20:42,760 --> 00:20:44,560
موجبة وبالتالي موجبة

167
00:20:47,700 --> 00:20:52,720
إذا أنا هيك أثبتت إن ال sub

168
00:20:52,720 --> 00:20:58,700
sequence SKJ bounded below by 0 و bounded above by

169
00:20:58,700 --> 00:21:05,420
العدد الموجب 1 على 1 minus R وبالتالي،

170
00:21:05,420 --> 00:21:10,160
إذا هيك نستنتج، therefore the subsequence

171
00:21:13,370 --> 00:21:18,210
ده sub-sequence اللي هي SKJ هاد ال sub-sequence من

172
00:21:18,210 --> 00:21:24,370
مين؟ من ال sequence of partial sums SN اشملها is

173
00:21:24,370 --> 00:21:31,490
bounded أثبتنا أنها ايه؟ bounded، مصدقوط؟ طلعنا

174
00:21:31,490 --> 00:21:35,090
احنا عملنا construction ل sub-sequenceمن الـ

175
00:21:35,090 --> 00:21:37,370
sequence of partial sums وهي طلعت bounded هي

176
00:21:37,370 --> 00:21:41,670
bounded below by 0 bounded above by 1 over 1 minus

177
00:21:41,670 --> 00:21:53,610
r لأن حسب اللمّة اللي فاتت so by above لمّة ال

178
00:21:53,610 --> 00:21:56,730
sequence of partial sums نفسها is bounded

179
00:22:02,950 --> 00:22:08,570
وبالتالي إذا by above theorem مدام ال sequence of

180
00:22:08,570 --> 00:22:11,910
partial sums is bounded إذا ال series converges

181
00:22:11,910 --> 00:22:15,710
okay

182
00:22:15,710 --> 00:22:23,790
إذا بعديكم نقول so

183
00:22:23,790 --> 00:22:29,930
by above theorem ال

184
00:22:29,930 --> 00:22:46,080
series sigma1 على N أكبر من 1 فهذا

185
00:22:46,080 --> 00:22:53,300
يثبت الجزء الأول من النظرية خلّينا

186
00:22:53,300 --> 00:22:54,640
نثبت الجزء التاني

187
00:23:10,080 --> 00:23:17,200
using induction you

188
00:23:17,200 --> 00:23:21,660
can show أنه

189
00:23:21,660 --> 00:23:26,800
for P

190
00:23:26,800 --> 00:23:29,140
أكبر من صفر أصغر من واحد

191
00:23:32,370 --> 00:23:37,970
لو كانت ال P طبعا أكبر من صفر وأصغر من أو ساوي

192
00:23:37,970 --> 00:23:46,110
الواحد ف N أوس P بطلع أصغر من أو ساوي N لكل N في N

193
00:23:46,110 --> 00:23:49,670
صح؟

194
00:23:49,670 --> 00:23:57,430
انا ممكن اثباته by inductionSo, 1 على n أصغر لو

195
00:23:57,430 --> 00:24:08,470
ساقى 1 على n أُس في for all n ينتمي إلى n فإن

196
00:24:08,470 --> 00:24:12,710
هذا بيقدّي هذا بيقدّي

197
00:24:30,450 --> 00:24:36,590
this implies أن ال summation from k بساوي واحد to

198
00:24:36,590 --> 00:24:44,150
n لواحد على k أصغر لو ساوي summation من k بساوي

199
00:24:44,150 --> 00:24:55,850
واحد إلى n لواحد على n على k أوس Pطب ما هذا عبارة

200
00:24:55,850 --> 00:25:02,270
عن ال partial sum لسمي S N لل harmonic series ..

201
00:25:02,270 --> 00:25:09,410
لل .. لل harmonic series و هذا عبارة عن ال partial

202
00:25:09,410 --> 00:25:17,870
sum سمي S N star لل P series صح؟ إن أنا أصبح عندي

203
00:25:17,870 --> 00:25:21,850
أنا S N أصغر من أو ساوي S N star

204
00:25:24,550 --> 00:25:29,430
where لكل n where

205
00:25:29,430 --> 00:25:36,530
sn بساوي sigma واحد على k من k بساوي واحد إلى n و

206
00:25:36,530 --> 00:25:42,230
sn star بساوي sigma من k بساوي واحد إلى n لواحد

207
00:25:42,230 --> 00:25:51,630
على k أُس P طيب since أثبتنا احنا قبل هيك انه ال

208
00:25:51,630 --> 00:25:53,230
sequence of partial sums

209
00:25:56,310 --> 00:26:01,790
السيكوانس SN هذا عبارة عن السيكوانس of partial

210
00:26:01,790 --> 00:26:02,290
sums

211
00:26:12,510 --> 00:26:17,510
of the harmonic series sigma 1 على n ايش مالهم؟

212
00:26:17,510 --> 00:26:23,070
اثبتنا انهم unbounded ال sequence هذه is unbounded

213
00:26:23,070 --> 00:26:30,670
بنالنا ذلك في مثال سابق unbounded

214
00:26:30,670 --> 00:26:35,070
فلو سمينا المتباين

215
00:26:35,070 --> 00:26:39,530
هذا star then

216
00:26:39,530 --> 00:26:40,370
it follows

217
00:26:44,900 --> 00:26:50,900
from star ينتج من المتباينة star إذا كانت ال

218
00:26:50,900 --> 00:26:55,600
sequence هذه unbounded

219
00:26:55,600 --> 00:27:00,620
لصغيرة unbounded فالحدود أكبر is unbounded ال

220
00:27:00,620 --> 00:27:11,140
sequence SM star is unbounded وبالتالي

221
00:27:11,140 --> 00:27:13,600
حسب النظرية أعلى so by

222
00:27:20,890 --> 00:27:26,890
السيريز هي سيكوينس باشا سمسا بايتالي P Series

223
00:27:26,890 --> 00:27:32,930
سيجما من K بساوة واحد وإنفينيتي لواحد على K أوس P

224
00:27:32,930 --> 00:27:36,290
is divergent

225
00:27:41,610 --> 00:27:48,170
حسب النظرية اللى ذكرناها سابقًا، طيب، في عندي هاي

226
00:27:48,170 --> 00:27:51,750
series of positive numbers أو non-negative real

227
00:27:51,750 --> 00:27:55,890
numbers و ال sequence of partial sums أبعدتها

228
00:27:55,890 --> 00:28:00,250
unbounded، إذا حسب النظرية ال series is not

229
00:28:00,250 --> 00:28:05,260
convergent أو divergent، صح؟إذن هذا بتثبت الجزء

230
00:28:05,260 --> 00:28:09,880
التاني وبالتاني هيك بيكون بارهاننا اختبار ال P

231
00:28:09,880 --> 00:28:15,200
-series test او ال P-series test إذن

232
00:28:15,200 --> 00:28:20,960
أي P-series بتكون convergent إذا ال P أكبر من واحد

233
00:28:20,960 --> 00:28:25,620
و divergent إذا P أصغر من أول ساول واحد في أي

234
00:28:25,620 --> 00:28:26,220
سؤال؟

235
00:28:52,320 --> 00:28:55,800
زي ما أخرنا comparison و limit comparison test

236
00:28:55,800 --> 00:29:00,920
للsequences في comparison test لل series

237
00:29:00,920 --> 00:29:08,900
comparison

238
00:29:08,900 --> 00:29:13,960
test

239
00:29:13,960 --> 00:29:17,020
for series

240
00:29:33,680 --> 00:29:40,800
لت XIN و YIN بـ sequences of non-negative real

241
00:29:40,800 --> 00:29:41,380
numbers

242
00:29:49,780 --> 00:29:58,060
يكون such that xn أصغر من أو ساوي yn أكبر من أو

243
00:29:58,060 --> 00:30:06,540
ساوي سفر for all n أكبر من أو ساوي k for some k

244
00:30:06,540 --> 00:30:14,660
ينتمي إلى n أنا

245
00:30:14,660 --> 00:30:19,950
لدي two sequences of real numberالتنتين حدودهم غير

246
00:30:19,950 --> 00:30:26,790
سالبة من capital .. من capital K و انت طالع ممكن

247
00:30:26,790 --> 00:30:30,350
الحدود اللي جابل .. اللي رقمهم أصغر من K بتكون

248
00:30:30,350 --> 00:30:36,150
سالبة مش مشكلة أو مايكونش xn أصغر .. ممكن يكون xn

249
00:30:36,150 --> 00:30:41,830
أكبر من yn مش مشكلة لكن من عند capital Kلكل مؤشر

250
00:30:41,830 --> 00:30:45,810
لكل index because on an equal key أنا بدي xn أصغر

251
00:30:45,810 --> 00:30:51,990
من وسائر yn واتنين يكونوا غير سلبين الآن إذا كانت

252
00:30:51,990 --> 00:30:58,190
ال series sigma

253
00:30:58,190 --> 00:31:06,970
xn إذا كانت ال series الأولى convergent أو الكبيرة

254
00:31:09,920 --> 00:31:17,540
convergent بتقدي ان ال series الأصغر converge and

255
00:31:17,540 --> 00:31:29,520
لو كانت ال series الأكبر الأصغر diverge فبتقدي

256
00:31:29,520 --> 00:31:36,700
أن ال series الأكبر بالتأكيد diverge وهي

257
00:31:36,700 --> 00:31:45,380
البرهان البرهن الجزء الأولassume أنه ال series

258
00:31:45,380 --> 00:31:56,180
sigma yn converges then

259
00:31:56,180 --> 00:32:00,000
by cauchy

260
00:32:00,000 --> 00:32:10,000
criterion for series given

261
00:32:12,200 --> 00:32:18,900
epsilon أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على

262
00:32:18,900 --> 00:32:26,920
epsilon عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من small n

263
00:32:26,920 --> 00:32:31,620
أكبر من أو ساوي capital N هيطلع عندي absolute

264
00:32:39,200 --> 00:32:51,200
YNZ1Z YNZ2 و هكذا الى YM أصغر من إبسن هذا من Koshi

265
00:32:51,200 --> 00:32:51,760
criterion

266
00:33:15,050 --> 00:33:23,830
طيب انا عندي let

267
00:33:23,830 --> 00:33:34,730
M بساوي ال maximum الأكبر ب N العدد K هذا الطبيعي

268
00:33:34,730 --> 00:33:40,010
K و العدد الطبيعي capital N اللي بيعتمد على

269
00:33:40,010 --> 00:33:40,330
epsilon

270
00:33:43,140 --> 00:33:49,360
فاكيد طبعا هذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي فان ام

271
00:33:49,360 --> 00:33:54,200
هيطلع عدد طبيعي وام يعتمد على ابسلون لأن الام

272
00:33:54,200 --> 00:34:01,500
يعتمد على capital ان وcapital ان تعتمد على ابسلون

273
00:34:01,500 --> 00:34:09,900
اذا لو اخدت انا ان اكبر من ام او ام اكبر من ان وان

274
00:34:09,900 --> 00:34:18,560
اكبر من او ساوي capital انفهذا بالتأكيد هيقدّي انه

275
00:34:18,560 --> 00:34:23,480
ال ..

276
00:34:23,480 --> 00:34:29,520
ال .. من هنا من الفرض نسمي الفرض هذا star

277
00:34:34,930 --> 00:34:45,790
فمن star هيطلع عندي مفروض xn زائد واحد زائد xn

278
00:34:45,790 --> 00:34:51,130
زائد اتنين زائد و هكذا الى xm

279
00:35:01,640 --> 00:35:06,300
الـ absolute هذا الان كله موجب هذه كل حدود موجبة

280
00:35:06,300 --> 00:35:12,160
أو غير سالبة لأن ال N أكبر من أوي ساوي كابتل N

281
00:35:12,160 --> 00:35:17,380
وبالتالي هذا بيقدي ان N أكبر من أوي ساوي كابتل K

282
00:35:17,380 --> 00:35:25,520
صح؟ إذا باستخدام star كابتل

283
00:35:25,520 --> 00:35:28,260
عفوا ان هذه المفروضة تكون M

284
00:35:31,530 --> 00:35:36,470
الان لكل M أكبر من M أكبر من أو ساوي capital M

285
00:35:36,470 --> 00:35:41,110
capital M هذه أكبر من أو ساوي K وبالتالي M أكبر من

286
00:35:41,110 --> 00:35:46,030
أو ساوي K إذن الحدود هذه كلها موجبة أو غير سالبة

287
00:35:46,030 --> 00:35:58,830
صح من star و أصغر من أو ساوي اللي هو YM زاد واحد

288
00:35:58,830 --> 00:36:10,810
زاد YMزائد اتنين زائد و هكذا الى الى

289
00:36:10,810 --> 00:36:19,870
YM برضه هذه كلها حدود غير سالبة وبالتالي هذه هي

290
00:36:19,870 --> 00:36:25,370
نفس ال absolute YN زائد واحد زائد YN زائد اتنين

291
00:36:25,370 --> 00:36:25,910
زائد

292
00:36:29,190 --> 00:36:37,590
ym ومن هنا لاحظوا ال n أكبر من أو ساوي capital M و

293
00:36:37,590 --> 00:36:42,870
ال M أكبر من أو ساوي capital N فبطلع عندي كمان هنا

294
00:36:42,870 --> 00:36:50,630
ال N أكبر من أو ساوي capital M لأن ال M أكبر من أو

295
00:36:50,630 --> 00:36:56,650
ساوي capital N وبالتالي من ال implication هذههذا

296
00:36:56,650 --> 00:37:04,470
بيطلع أصغر من إبسلم إن أنا طلع عندي absolute xn

297
00:37:04,470 --> 00:37:11,050
زائد واحد زائد xn زائد اتنين زائد إلى آخرى إلى xn

298
00:37:11,050 --> 00:37:17,380
أصغر من إبسلمهذا عدد غير سالب المجموعة ده غير سالب

299
00:37:17,380 --> 00:37:20,800
لإن كل ال X غير سالب وبالتالي ال absolute value هي

300
00:37:20,800 --> 00:37:24,680
نفسها هذا هو ال absolute value العدد غير سالب نفسه

301
00:37:24,680 --> 00:37:31,060
لإن هنا أثبتنا الكلام هذا صحيح لكل M أكبر من N

302
00:37:31,060 --> 00:37:36,880
أكبر من أو يساوي capital M so بستخدم كوشي

303
00:37:36,880 --> 00:37:42,780
criterion كمان مرة by koshi criterion

304
00:37:45,130 --> 00:37:50,250
for series الـ

305
00:37:50,250 --> 00:37:57,310
series sigma xn converges لأن

306
00:37:57,310 --> 00:38:02,130
هاي شرط كوشي متحقق، صح؟

307
00:38:02,130 --> 00:38:07,390
هاي لأي إبسلون given إبسلون أكبر من السفر أثناء أن

308
00:38:07,390 --> 00:38:13,490
يوجد capital Mيعني يعتمد على إبسلون بحيث لكل M

309
00:38:13,490 --> 00:38:18,350
أكبر من N أكبر من أو ساوي كابتال N فلاندي أبسليوت

310
00:38:18,350 --> 00:38:23,150
XN زاد واحد زائد إلى XM أصغر من إبسلون إذا حسب

311
00:38:23,150 --> 00:38:27,050
كوشي criterion ال series Sigma XN converges هذا

312
00:38:27,050 --> 00:38:36,790
بكمل برهان الجزء الأول الجزء التاني بينتج

313
00:38:36,790 --> 00:38:37,890
من الجزء الأول

314
00:38:42,270 --> 00:38:52,390
this is the contrapositive .. the contrapositive

315
00:38:52,390 --> 00:39:00,330
أو the contraposition .. this is the

316
00:39:00,330 --> 00:39:04,930
contraposition of ال statement واحد

317
00:39:08,170 --> 00:39:12,270
أنا في عندي قانون في ال logic بيقول إذا كان P فأدي

318
00:39:12,270 --> 00:39:19,370
ل Q فال statement هذا بكافئ ال counter positive مش

319
00:39:19,370 --> 00:39:21,950
النفي تبعه ال counter positive معناه المعاكس

320
00:39:21,950 --> 00:39:30,550
الإيجابي فهذا بكافئ not Q implies not P فذا

321
00:39:30,550 --> 00:39:37,130
أثبتنا إن هذا true فهذا بيكون trueطب تعالى نشوف

322
00:39:37,130 --> 00:39:39,810
هذا هذا اللى انا اثبتنا انه true اللى هو الجزء ا

323
00:39:39,810 --> 00:39:43,590
او الجزء واحد الجزء التانى هو ال counter positive

324
00:39:44,960 --> 00:39:50,320
هل هذا صحيح تعالوا نقرأ الجزء التاني او تعالوا

325
00:39:50,320 --> 00:39:55,420
نجيب ال contrapositive للعبارة في الجزء الأول ال

326
00:39:55,420 --> 00:39:59,800
contrapositive للعبارة في الجزء الأول نفي هذا اللي

327
00:39:59,800 --> 00:40:04,160
هو ال series sigma x in by dirge بيقدي الى نفي هذا

328
00:40:04,160 --> 00:40:08,420
اللي هو ال series y in by dirgeوبالتالي هيك بنكون

329
00:40:08,420 --> 00:40:17,700
كملنا البرران تمام؟ واضح؟ في أي سؤال؟ أي استفسار؟

330
00:40:17,700 --> 00:40:25,180
أحيانا بيكون صعب أن احنا نعملمقارنة بين حدود ال

331
00:40:25,180 --> 00:40:32,500
series sigma xn و حدود ال series sigma yn بالطريقة

332
00:40:32,500 --> 00:40:37,480
المباشرة زي ما في ال star أحيانا مش سهل نعمل

333
00:40:37,480 --> 00:40:43,020
مقارنة زي هذه وبالتالي بنلجأ إلى اختبار اخر بنسميه

334
00:40:43,020 --> 00:40:49,320
limit comparison testفنكتب ال test هذا دكتور؟ نعم

335
00:40:49,320 --> 00:40:53,560
هلأ عبس النظرية برضه خطأ يعني نفس نحو اللي كنا

336
00:40:53,560 --> 00:40:58,360
نعمله بال sequence نعمله بال series هى الفترة

337
00:40:58,360 --> 00:41:01,940
التالية؟ اه طبعا يعني انت لو كان مثلا هذه الصحية

338
00:41:01,940 --> 00:41:08,160
كلامك بالظبط يعني لو كانت ال series ال series مثلا

339
00:41:08,160 --> 00:41:14,190
هذه ال sigma yn diverseهل هذا بيقعد ان sigma xn

340
00:41:14,190 --> 00:41:18,530
diverge؟ مش بالضرورة ممكن diverge و ممكن converge

341
00:41:18,530 --> 00:41:25,510
نفس الحاجة لو كانت ال series sigma xn converge هل

342
00:41:25,510 --> 00:41:31,030
sigma yn converge؟ ممكن او ممكن لأ اكيد و ممكن

343
00:41:31,030 --> 00:41:34,690
نجيب counter examples لازم تفكري في إيجاد counter

344
00:41:34,690 --> 00:41:36,850
examples و انت بتدرسيه

345
00:41:40,810 --> 00:41:53,630
نشوف ال limit comparison test limit

346
00:41:53,630 --> 00:42:02,030
comparison test

347
00:42:18,300 --> 00:42:27,120
لت Xn وYn بيكونوا سيكوانس من حدود حقيقية مفتوحة

348
00:42:27,120 --> 00:42:36,560
بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة

349
00:42:36,560 --> 00:42:38,340
بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة

350
00:42:38,340 --> 00:42:40,480
بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة

351
00:42:47,730 --> 00:42:56,850
و ال R هذا يعني عدد حقيقي طبعا ينتمي إلى R ففي

352
00:42:56,850 --> 00:43:04,670
عندي برضه نتيجتين النتيجة الأولى إذا كان ال R

353
00:43:04,670 --> 00:43:09,630
بسويش سفر then

354
00:43:09,630 --> 00:43:15,330
ال series sigma X M converges if and only if

355
00:43:24,150 --> 00:43:43,650
الجزء التاني من النظرية لو

356
00:43:43,650 --> 00:43:52,220
كان R بساوي سفربعد ذلك لو الار بيسوي سفر يعني ان

357
00:43:52,220 --> 00:44:01,220
الار بيسويش سفر then ال series sigma y in دي درجز

358
00:44:01,220 --> 00:44:07,840
بيقدي ان ال series sigma x in دي درجز

359
00:44:11,380 --> 00:44:19,300
او لأ convergence افضل لو كانت series sigma yn

360
00:44:19,300 --> 00:44:24,480
convergence بيقدي ان series sigma xn ايبان

361
00:44:24,480 --> 00:44:27,620
convergence فقط اتجاه واحد لكن الاكس مش شرط تكون

362
00:44:27,620 --> 00:44:37,460
صحيح okay تمام هو البرهان

363
00:44:37,460 --> 00:44:38,520
يعني كتير سهل

364
00:44:49,520 --> 00:45:02,300
بنسمي الشرط هذا star الجزء

365
00:45:02,300 --> 00:45:12,940
الأول assume ان R لا يساوي سفر طبعا

366
00:45:12,940 --> 00:45:21,670
في الحالة هذه ال R بطلع موجدلأن لحظة انتوا ان xn

367
00:45:21,670 --> 00:45:27,810
على yn هذه كلها أعداد موجبة و ال limit ل sequence

368
00:45:27,810 --> 00:45:31,930
أعداء كل حدودها موجبة بيطلع المفروض يطلع ال limit

369
00:45:31,930 --> 00:45:37,970
تبعتها موجبة إذا كانت ال limit موجودة واضح؟ إذن

370
00:45:37,970 --> 00:45:42,090
هذا من نظرية سابقة لما أن حدود ال sequence xn على

371
00:45:42,090 --> 00:45:45,930
yn هذه ال sequence حدودها كلها موجبة إذا نهايتها

372
00:45:45,930 --> 00:45:58,820
تطلع أيضا موجبةطيب وبالتالي take epsilon بساوي R ع

373
00:45:58,820 --> 00:46:09,180
2 طبعا هذا بالتأكيد عدد موجب الان by star since

374
00:46:09,180 --> 00:46:18,240
XN على YN converges to R as N tends to infinity

375
00:46:20,590 --> 00:46:26,850
بقدر نلاقي capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي

376
00:46:26,850 --> 00:46:32,830
بحيث أنه absolute لكل N أكبر من أو يساوي capital N

377
00:46:32,830 --> 00:46:39,730
بيطلع absolute xn على yn minus r أصغر من إبسلون

378
00:46:39,730 --> 00:46:49,430
اللي هي بيساوي R ع 2 وهذا بيقديلو فكنا وعملنا ال

379
00:46:49,430 --> 00:46:56,730
absolute value هيطلع عندي xn

380
00:46:56,730 --> 00:47:03,910
على yn أكبر من أو ساوي R ع 2 أصغر من أو ساوي 3R ع

381
00:47:03,910 --> 00:47:11,530
2 وبما أنه هذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي capital

382
00:47:11,530 --> 00:47:21,570
Nالان اضرب في YN YN طبعا عدد موجب فبطلع XN أصغر من

383
00:47:21,570 --> 00:47:27,370
أو ساوي تلاتة R ع اتنين في YN أكبر من أو ساوي R ع

384
00:47:27,370 --> 00:47:33,510
اتنين في YN وهذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي

385
00:47:33,510 --> 00:47:37,330
capital N تمام الان now

386
00:47:45,120 --> 00:47:53,940
نسمي هذه double star فالان

387
00:47:53,940 --> 00:48:03,820
if sigma x and converge then

388
00:48:03,820 --> 00:48:12,540
by double star and comparison test and comparison

389
00:48:12,540 --> 00:48:22,450
testواختبار المقارنة إذا كانت هذه convergent فبطلع

390
00:48:22,450 --> 00:48:31,810
هذه ال series convergent صح وبالتالي بطلع sigma yn

391
00:48:31,810 --> 00:48:38,370
convergence هذا ثابت موجة ممكن نضرب في مقلوب و

392
00:48:38,370 --> 00:48:42,490
نتخلص منه إذا كانت هذه convergent فهذه convergent

393
00:48:46,950 --> 00:48:55,330
Also إذا كانت ال series sigma y in converge then

394
00:48:55,330 --> 00:49:00,810
برضه by المتباينة double star and ال comparison

395
00:49:00,810 --> 00:49:04,890
test إذا

396
00:49:04,890 --> 00:49:06,070
ناخد الجزء هذا

397
00:49:09,440 --> 00:49:12,720
إذا كانت ال series هذي convergent و الكبيرة هذي

398
00:49:12,720 --> 00:49:17,840
convergent ففي ثابت موجب convergent فهذه تطلع

399
00:49:19,770 --> 00:49:25,650
بطلع sigma xn conversion وبالتالي هذا بكمل برهان

400
00:49:25,650 --> 00:49:30,110
الجزء الأول طبعا برهان الجزء التاني هيكون يعني

401
00:49:30,110 --> 00:49:36,530
مشابه فلأن الواجهة انتهى هنوقف و هسيبكم تقرؤ برهان

402
00:49:36,530 --> 00:49:41,890
الجزء الأول من الكتاب فنكتفي بهذا القدر و ان شاء

403
00:49:41,890 --> 00:49:43,730
الله نكمل المحاضرة الجاية