1
00:00:21,140 --> 00:00:25,840
احنا المرة اللي فاتت أخذنا موضوع الـ sub sequences و
2
00:00:25,840 --> 00:00:30,840
آخر نظرية أخذناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
3
00:00:30,840 --> 00:00:36,380
النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence
4
00:00:36,380 --> 00:00:41,340
of real numbers وكانت convergent فأي subsequence
5
00:00:41,340 --> 00:00:47,680
منها بتكون convergent و ليها نفس الـ limit تمام؟
6
00:00:53,530 --> 00:00:59,850
الآن بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
7
00:00:59,850 --> 00:01:06,250
فالمثال
8
00:01:06,250 --> 00:01:13,510
الأول لو كان 1 أصغر من أو لو كان صفر أصغر من B
9
00:01:13,510 --> 00:01:19,410
أصغر من 1 فبدنا نثبت أن هذا بيؤدي أن limit الـ
10
00:01:19,410 --> 00:01:30,240
sequence bn بساوي صفر برهان ذلك بنعرف
11
00:01:30,240 --> 00:01:34,680
الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أس
12
00:01:34,680 --> 00:01:42,220
N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
13
00:01:42,220 --> 00:01:50,360
من 1 هذا بيؤدي أن Xn اللي هي بساوي B أس N الـ B
14
00:01:50,360 --> 00:01:54,360
هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل
15
00:01:54,360 --> 00:01:59,670
ما بتصغر يعني هذا أكبر من B أس n زائد 1 اللي هو
16
00:01:59,670 --> 00:02:04,410
Xn زائد 1 الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
17
00:02:04,410 --> 00:02:11,350
n فهذا بيؤدي ان الـ sequence xn is decreasing
18
00:02:11,350 --> 00:02:25,510
متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما أنه الـ Xn
19
00:02:25,510 --> 00:02:31,790
تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
20
00:02:31,790 --> 00:02:36,410
أكبر من 0 أصغر من 1 فـ B أس N بيطلع أكبر من أو يساوي
21
00:02:36,410 --> 00:02:44,210
0 أصغر من أو يساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
22
00:02:44,210 --> 00:02:48,690
الصفر حد أدنى للـ sequence BN والواحد حد أعلى
23
00:02:49,370 --> 00:02:53,530
وبالتالي sequence bn is bounded من أسفل ومن أعلى
24
00:02:53,530 --> 00:02:59,450
وبالتالي bounded إذا الـ sequence xn is bounded
25
00:02:59,450 --> 00:03:03,170
الآن
26
00:03:03,170 --> 00:03:06,370
أنا في عندي sequence xn decreasing وبالتالي
27
00:03:06,370 --> 00:03:11,670
monotone و bounded إذا by monotone convergence تطلع
28
00:03:11,670 --> 00:03:12,170
convergent
29
00:03:15,900 --> 00:03:28,260
by monotone convergence theorem xn converges say
30
00:03:28,260 --> 00:03:39,320
دعنا خلّينا نسمي الـ limit تبعتها x say limit xn
31
00:03:39,320 --> 00:03:40,880
بساوي x
32
00:03:43,880 --> 00:03:50,460
الآن بدنا نثبت انها هيثبت لنا أن الـ sequence xn اللي
33
00:03:50,460 --> 00:03:55,320
الحد العام تبعها B أس N تطلع convergent إلى عدد x
34
00:03:55,320 --> 00:04:03,660
الآن بدنا نثبت ان الـ x هذا هو صفر أكلم الـ
35
00:04:03,660 --> 00:04:17,420
x بساوي صفر طيب by الـ theorem اثنين ستة عشر الـ
36
00:04:17,420 --> 00:04:25,240
subsequence لو أخدت الـ subsequence اللي حدودها
37
00:04:25,240 --> 00:04:31,280
زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من الـ sequence xn هذه
38
00:04:31,280 --> 00:04:38,620
فهذه subsequence من xn فهذه أيضا converges لـ x
39
00:04:41,360 --> 00:04:47,460
حسب نظرية 2.16 الـ sequence xn converge لـ x x2
40
00:04:47,460 --> 00:04:50,960
in subsequence من xn وبالتالي convergent by
41
00:04:50,960 --> 00:05:02,480
theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه
42
00:05:06,320 --> 00:05:13,660
x2n بيساوي B أس اتنين n x2n بدها باتنين n
43
00:05:13,660 --> 00:05:18,700
بيساوي B أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة B
44
00:05:18,700 --> 00:05:28,700
أس n الكل تربيع وهذا عبارة عن xn تربيع الكلام هذا
45
00:05:28,700 --> 00:05:33,280
صحيح لكل n خدوا الـ limit للطرفين لما n تؤول لـ
46
00:05:33,280 --> 00:05:43,650
infinity إذا الـ limit لـ x2n لما n تؤول infinity
47
00:05:43,650 --> 00:05:52,630
بساوي limit xn تربيع لما n تؤول infinity وهذا
48
00:05:52,630 --> 00:06:00,730
بساوي limit xn الكل تربيع طيب limit .. أنا عندي
49
00:06:00,730 --> 00:06:04,270
limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
50
00:06:07,550 --> 00:06:13,890
و limit x2n بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x
51
00:06:13,890 --> 00:06:19,730
بساوي x تربيع حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
52
00:06:19,730 --> 00:06:29,830
صفر أو x بساوي 1 تمام؟
53
00:06:36,360 --> 00:06:41,500
طيب مين أخذ الصفر ولا الواحد؟
54
00:06:41,500 --> 00:06:46,620
أنا عندي الـ sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا
55
00:06:46,620 --> 00:06:53,480
عندي .. أنا عندي الـ X since
56
00:06:53,480 --> 00:07:00,200
Xn is decreasing متناقصة
57
00:07:04,980 --> 00:07:11,740
و الـ limit تبعتها و x اللي هي بساوي limit xn
58
00:07:11,740 --> 00:07:19,660
من هنا limit xn هتطلع أكبر من أو يساوي صفر أصغر
59
00:07:19,660 --> 00:07:24,900
من أو يساوي الواحد و الـ x إما بساوي صفر أو 1 و
60
00:07:24,900 --> 00:07:32,020
متناقصة فلازم الـ x الـ limit تبعتها x يساوي صفر
61
00:07:35,220 --> 00:07:40,360
لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا الـ X بساوي صفر
62
00:07:40,360 --> 00:07:44,120
برضه
63
00:07:44,120 --> 00:07:50,740
ممكن نحن نقول إن الـ sequence الـ X بساوي الـ infimum
64
00:07:50,740 --> 00:07:58,780
لـ XN حيث N ينتمي لـ N حسب الـ monotone convergence
65
00:07:58,780 --> 00:08:03,420
theorem وهي الـ XN bounded below by صفر والصفر هو
66
00:08:03,420 --> 00:08:12,190
الـ infimum لها إذاً هذا بيساوي الصفر لأن
67
00:08:12,190 --> 00:08:18,290
الصفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
68
00:08:18,290 --> 00:08:25,090
أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا
69
00:08:25,090 --> 00:08:31,170
نظرية 2.16 لإيجاد limit للـ convergent sequence لأن
70
00:08:31,170 --> 00:08:35,250
احنا أثبتنا إن الـ sequence convergent أخذنا sequence
71
00:08:35,250 --> 00:08:38,530
الحد اللي عام تبعها B أس n أثبتنا إنها
72
00:08:38,530 --> 00:08:42,990
convergent by monotone convergence theorem وجبنا
73
00:08:42,990 --> 00:08:48,650
قيمة الـ limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
74
00:08:48,650 --> 00:08:52,790
الـ monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
75
00:08:52,790 --> 00:08:53,250
تاني
76
00:09:04,470 --> 00:09:09,990
لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من 1 فهذا بيؤدي ان
77
00:09:09,990 --> 00:09:15,550
الـ limit لـ c أس 1 على n لما n تؤول infinity
78
00:09:15,550 --> 00:09:21,030
بيساوي 1 البرهان
79
00:09:21,030 --> 00:09:27,430
بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
80
00:09:27,430 --> 00:09:33,610
المرة هذه yn نعرّف sequence yn الـ nth term
81
00:09:33,610 --> 00:09:42,570
تبقى yn بساوي c أس 1 على n لكل n عدد طبيعي then
82
00:09:42,570 --> 00:09:49,230
واضح أن yn زائد 1 بساوي c أس 1 على n زائد
83
00:09:49,230 --> 00:09:58,530
1 و الـ c عدد أكبر من 1 وهذا الجذر رقم n زائد
84
00:09:58,530 --> 00:10:11,230
1 له هذا بيطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو
85
00:10:11,230 --> 00:10:17,690
الجذر النوني لـ c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
86
00:10:17,690 --> 00:10:23,720
بيصغر إذا كان العدد أكبر من 1 وهذا بساوي yn وهذا
87
00:10:23,720 --> 00:10:29,280
صحيح لكل n هذا معناه yn زائد 1 أصغر من yn
88
00:10:29,280 --> 00:10:39,160
معناته الـ sequence yn is decreasing متناقصة also
89
00:10:39,160 --> 00:10:48,180
أيضا أنا عندي في الـ sequence هذه y1 أكبر من أو
90
00:10:48,180 --> 00:10:56,200
يساوي yn لأن الـ sequence متناقصة صح؟
91
00:10:56,200 --> 00:11:03,900
و Yn من هنا Yn بساوي C أس N الـ C أكبر من 1 إذا
92
00:11:03,900 --> 00:11:07,580
الجذر النوني لـ C عدد أكبر من 1 بيبقى أكبر من
93
00:11:07,580 --> 00:11:16,040
1 إذا هذا أكبر من أو يساوي 1 تمام؟ وهذا
94
00:11:16,040 --> 00:11:22,810
الكلام صحيح لكل N؟ إذن هي الـ sequence تبعتي yn
95
00:11:22,810 --> 00:11:28,230
bounded below by one and bounded above by y1 y
96
00:11:28,230 --> 00:11:36,370
one عدد حقيقي موجب أكبر من 1 إذن
97
00:11:36,370 --> 00:11:43,550
هذا معناه أن الـ sequence yn is bounded صح is
98
00:11:43,550 --> 00:11:52,170
bounded so by monotone convergence theorem a
99
00:11:52,170 --> 00:12:04,010
sequence yn converges converge say الـ limit تبعتها
100
00:12:04,010 --> 00:12:11,970
بساوي عدد y افترضوا ان الـ limit تبعتها بساوي
101
00:12:11,970 --> 00:12:21,450
واحد الآن بنثبت ان الـ limit
102
00:12:21,450 --> 00:12:30,950
y بساوي واحد الـ claim ان الـ limit y بساوي
103
00:12:30,950 --> 00:12:34,550
واحد كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج
104
00:12:34,550 --> 00:12:41,680
اتنين ستة عشر الـ subsequence اللي هي متتالية الحدود
105
00:12:41,680 --> 00:12:51,880
الزوجية y2n هذي
106
00:12:51,880 --> 00:12:56,260
المفروض تكون convergent لنفس الـ limit تبعت الـ
107
00:12:56,260 --> 00:13:02,280
sequence yn اللي هي y تمام طيب
108
00:13:02,280 --> 00:13:02,400
but
109
00:13:08,660 --> 00:13:17,520
Y2N شو بيساوي؟ C أس 1 على اتنين N وهذا بيساوي C
110
00:13:17,520 --> 00:13:24,680
أس 1 على N الكل أس 1 على اتنين وهذا بيساوي C
111
00:13:24,680 --> 00:13:32,250
أس 1 على N عبارة عن Yn الكل أس نصف الكلام هذا
112
00:13:32,250 --> 00:13:37,270
صحيح لكل n إذا لو أخدت الـ limit للطرفين لما n تؤول
113
00:13:37,270 --> 00:13:43,950
infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
114
00:13:43,950 --> 00:13:48,330
بساوي limit yn
115
00:13:48,330 --> 00:13:56,210
لما n تؤول infinity الكل أس نصف وهذا بساوي limit الكل أس نصف
116
00:14:00,780 --> 00:14:08,440
طيب limit yn قلنا بتساوي y إذن هذا y أس نصف و
117
00:14:08,440 --> 00:14:14,920
limit y2n قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في
118
00:14:14,920 --> 00:14:20,700
عندي معادلة y بساوي y أس نصف لو حلينا المعادلة هذه
119
00:14:20,700 --> 00:14:28,660
في y فـ y تلبية بساوي 1 ومنها بطلع y بساوي صفر or y
120
00:14:28,660 --> 00:14:29,940
بساوي 1
121
00:14:32,490 --> 00:14:38,990
احنا عايزين الـ y تساوي المثال التاني 1 عايزين
122
00:14:38,990 --> 00:14:49,090
الـ y تساوي 1 تمام فأنا عندي since limit أنا
123
00:14:49,090 --> 00:14:49,930
عندي من هنا
124
00:14:53,290 --> 00:15:01,650
أنا عندي yn أكبر من أو يساوي 1 لكل n بيؤدي انه
125
00:15:01,650 --> 00:15:10,350
limit yn اللي هي y هي قاعدة نظرية بتقول لو y الـ
126
00:15:10,350 --> 00:15:15,350
sequence bounded below by a فـ limit yn تطلع أكبر
127
00:15:15,350 --> 00:15:19,350
من أو يساوي الواحد
128
00:15:24,190 --> 00:15:29,090
طيب y أكبر من أو يساوي الواحد واحنا قلنا انه
129
00:15:29,090 --> 00:15:33,430
لازم تطلع إما صفر أو 1 فمين الـ .. الـ .. الإجابة
130
00:15:33,430 --> 00:15:40,090
المنطقية إذا الـ y لازم يساوي 1 وبالتالي هيك
131
00:15:40,090 --> 00:15:44,130
ممكن اثبتنا ان الـ sequence اللي الـ instance تبعها
132
00:15:44,130 --> 00:15:48,850
c to one over n is convergent و الـ limit تبعتها
133
00:15:48,850 --> 00:15:51,430
بساوي 1 تمام واضح؟
134
00:15:54,740 --> 00:15:59,300
في أي سؤال؟ طيب
135
00:15:59,300 --> 00:16:01,360
النظرية اللي بعد النظرية هذه
136
00:16:23,610 --> 00:16:28,650
نظرية السبعة عشر divergence
137
00:16:28,650 --> 00:16:35,370
criterion
138
00:16:51,000 --> 00:16:58,100
let xn be sequence in R لو
139
00:16:58,100 --> 00:17:02,200
كانت xn sequence of real numbers then the
140
00:17:02,200 --> 00:17:07,700
following statements are equivalent العبارات
141
00:17:07,700 --> 00:17:13,960
التالية متكافئة xn does not converge to x ينتمي إلى
142
00:17:13,960 --> 00:17:14,400
R
143
00:17:18,590 --> 00:17:25,790
ثنين يوجد ε₀ أكبر من صفر بحيث أنه such
144
00:17:25,790 --> 00:17:36,290
that for any k عدد طبيعي يوجد
145
00:17:36,290 --> 00:17:44,790
عدد طبيعي rk ينتمي إلى N with
146
00:17:46,090 --> 00:17:54,350
rk أكبر من أو يساوي k and
147
00:17:54,350 --> 00:18:00,930
|xrk - x|
148
00:18:00,930 --> 00:18:07,550
أكبر من أو يساوي ε₀
149
00:18:07,550 --> 00:18:10,870
العبارة الثالثة
150
00:18:14,170 --> 00:18:21,010
يوجد ε₀ أكبر من الصفر and a subsequence
151
00:18:21,010 --> 00:18:34,660
... a subsequence xrk or xrn of the sequence x in
152
00:18:34,660 --> 00:18:42,080
such that |xrn|
153
00:18:42,080 --> 00:18:54,540
- x| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل n تمام؟
154
00:18:56,650 --> 00:19:05,210
لإثبات النظرية هذه عشان أثبت ثلاث عبارات متكافئة
155
00:19:05,210 --> 00:19:11,790
حسب الlogic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
156
00:19:11,790 --> 00:19:17,490
نثبت أن واحد بكافئ اثنين واثنين بكافئ ثلاثة وهذا
157
00:19:17,490 --> 00:19:22,330
ممكن إثباته بأن احنا نثبت واحد بيؤدي لاثنين واثنين
158
00:19:22,330 --> 00:19:26,530
بيؤدي لثلاثة وثلاثة بيؤدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
159
00:19:26,530 --> 00:19:32,490
فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول أن
160
00:19:32,490 --> 00:19:41,710
العبارة الأولى implies الثانية بتؤدي للثانية ف
161
00:19:41,710 --> 00:19:42,390
assume
162
00:19:45,130 --> 00:19:51,890
العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge to x
163
00:19:54,980 --> 00:20:00,680
طيب ارجعوا لتعريف ε N definition of
164
00:20:00,680 --> 00:20:04,200
convergence ما معناه أن ال sequence xn converge ل
165
00:20:04,200 --> 00:20:08,560
x معناه لكل ε أكبر من الصفر يوجد N
166
00:20:08,560 --> 00:20:12,280
يعتمد على ε بحيث لكل n أكبر من أو يساوي
167
00:20:12,280 --> 00:20:17,040
N المسافة بين xn و x أصغر من ε طب
168
00:20:17,040 --> 00:20:20,480
مايعني xn لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
169
00:20:20,480 --> 00:20:24,000
اللي حكيناه بيحصل بدل لكل ε أكبر من الصفر
170
00:20:24,000 --> 00:20:29,780
يوجد N بصير يوجد ε واحدة ε
171
00:20:29,780 --> 00:20:41,960
₀ عدد موجب بحيث such that بحيث أنه لكل
172
00:20:43,760 --> 00:20:50,280
k أو n عدد طبيعي the implication
173
00:20:57,890 --> 00:21:00,870
ال implication تبع التعريف ε N ال
174
00:21:00,870 --> 00:21:06,070
implication اللي هي لكل n أكبر من أو يساوي N
175
00:21:06,070 --> 00:21:13,970
لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من ε
176
00:21:13,970 --> 00:21:22,830
₀ ال implication هذه is false ليست
177
00:21:22,830 --> 00:21:27,430
صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
178
00:21:31,850 --> 00:21:41,490
this means هذا يعني this means أنه لكل K
179
00:21:41,490 --> 00:21:48,590
عدد طبيعي يوجد لكل
180
00:21:48,590 --> 00:21:54,630
K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلط معناه يوجد لكل K عدد
181
00:21:54,630 --> 00:21:59,250
طبيعي K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
182
00:21:59,250 --> 00:22:06,030
منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو يساوي يوجد عدد
183
00:22:06,030 --> 00:22:13,690
طبيعي سمه n أو rk يعتمد على K عدد
184
00:22:13,690 --> 00:22:17,750
طبيعي بحيث أنه
185
00:22:21,710 --> 00:22:27,850
بحيث أنه طبعا
186
00:22:27,850 --> 00:22:33,390
ال rk هذا هيكون
187
00:22:33,390 --> 00:22:41,190
أكبر من أو يساوي k and rk
188
00:22:41,190 --> 00:22:50,050
أكبر من أو يساوي k and |xrk| or xrk
189
00:22:50,050 --> 00:22:55,590
- x| أكبر من أو يساوي بدل أصغر من ε₀
190
00:22:55,590 --> 00:23:05,410
النفي تبعها أكبر من أو يساوي ε₀ now
191
00:23:05,410 --> 00:23:09,610
replace
192
00:23:09,610 --> 00:23:18,450
badly replace K by k
193
00:23:22,130 --> 00:23:25,970
to get العبارة
194
00:23:25,970 --> 00:23:32,250
اثنين صح؟
195
00:23:32,250 --> 00:23:38,950
هاي بدلنا K بـ k فهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
196
00:23:38,950 --> 00:23:46,350
ε₀ أكبر من صفر بحيث لكل k يوجد
197
00:23:46,350 --> 00:23:53,150
rk أكبر من أو يساوي k والمسافة بين xrk
198
00:23:53,150 --> 00:23:56,750
- x| أكبر من أو يساوي ε₀
199
00:24:04,730 --> 00:24:14,690
الآن نثبت اثنين بيؤدي لثلاثة إذا two implies
200
00:24:14,690 --> 00:24:18,530
three assume
201
00:24:18,530 --> 00:24:27,110
two holds افترض أن العبارة الثانية صحيحة بني
202
00:24:27,110 --> 00:24:30,690
نثبت أن العبارة الثالثة صحيحة طيب؟
203
00:24:37,940 --> 00:24:48,160
then for k يساوي واحد يعني ينتمي إلى N الآن احنا
204
00:24:48,160 --> 00:24:53,320
فترضين اثنين العبارة اثنين صحيحة إذا احنا فترضين أن
205
00:24:53,320 --> 00:24:58,840
يوجد ε₀ بحيث الكلام هذا بتحقق الآن لو
206
00:24:58,840 --> 00:25:04,420
أخذت k هذه يساوي واحد فيوجد
207
00:25:06,750 --> 00:25:15,070
r₁ عدد طبيعي وطبعا r₁ بالتأكيد أكبر من أو يساوي
208
00:25:15,070 --> 00:25:24,510
واحد such that |xr₁ - x| أكبر من أو
209
00:25:24,510 --> 00:25:33,250
يساوي ε₀ صح؟ next for
210
00:25:34,680 --> 00:25:45,900
k يساوي r₁ زائد واحد مش
211
00:25:45,900 --> 00:25:51,380
هذا عدد طبيعي لو أخذت k يساوي r₁ زائد واحد r
212
00:25:51,380 --> 00:25:58,020
واحد عدد طبيعي زائد واحد عدد طبيعي يوجد r₂ عدد
213
00:25:58,020 --> 00:26:08,800
طبيعي و r₂ أكبر من أو يساوي r
214
00:26:08,800 --> 00:26:16,480
واحد زائد واحد such that |xr₂ - x|
215
00:26:16,480 --> 00:26:24,960
أكبر من أو يساوي ε₀ صح طيب
216
00:26:24,960 --> 00:26:30,060
كمان برضه لو استمرينا في العملية هذه now
217
00:26:32,620 --> 00:26:40,620
for r₂ زائد واحد مش هذا عدد طبيعي لو أخذت k
218
00:26:40,620 --> 00:26:46,440
يساوي اه لو أخذت k يساوي r₂ زائد واحد هذا
219
00:26:46,440 --> 00:26:51,680
عدد طبيعي هنا اثنين اثنين لو أخذت k يساوي r₂
220
00:26:51,680 --> 00:27:01,160
زائد واحد إذا حسب اثنين يوجد r₃ عدد طبيعي و r
221
00:27:01,160 --> 00:27:06,280
₃ أكبر من أو يساوي ال k اللي هو r₂ زائد
222
00:27:06,280 --> 00:27:13,360
واحد بحيث أن المسافة بين xr₃ - x| أكبر
223
00:27:13,360 --> 00:27:18,400
من أو يساوي ε₀ طب لو استمرينا في العملية
224
00:27:18,400 --> 00:27:27,040
هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
225
00:27:27,040 --> 00:27:27,860
process
226
00:27:32,720 --> 00:27:35,460
this process اللي هو استمرينا في العملية دي اللي
227
00:27:35,460 --> 00:27:49,200
عملية تطبيق العبارة الثانية we obtain هنحصل على we
228
00:27:49,200 --> 00:27:54,960
obtain strictly increasing
229
00:27:54,960 --> 00:28:01,700
increasing sequence
230
00:28:06,220 --> 00:28:13,140
rk من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن sequence
231
00:28:13,140 --> 00:28:20,620
of natural numbers in N such
232
00:28:20,620 --> 00:28:28,940
that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
233
00:28:28,940 --> 00:28:33,600
subsequence xrk
234
00:28:34,700 --> 00:28:39,240
من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن
235
00:28:39,240 --> 00:28:45,980
subsequence من ال sequence xn بحيث such that
236
00:28:45,980 --> 00:28:55,680
|xrk - x| أكبر من أو يساوي ε₀
237
00:28:55,680 --> 00:29:01,160
والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى N
238
00:29:03,880 --> 00:29:10,500
هي في الخطوة الأولى حصلنا على r₁ وبالتالي على xr₁
239
00:29:10,500 --> 00:29:16,440
بحيث |xr₁ - x| أكبر من أو يساوي x نزيلة
240
00:29:16,440 --> 00:29:23,010
في الخطوة الثانية حصلنا على r₂ وبالتالي xr₂ لاحظوا
241
00:29:23,010 --> 00:29:30,030
r₂ أكبر من r₁ و r₃ أكبر من r₂، إذن هذه sequence of
242
00:29:30,030 --> 00:29:33,830
natural numbers strictly increasing، إذن ال
243
00:29:33,830 --> 00:29:39,030
sequence، المؤشرات تبعها هي الأعداد الطبيعية، هذه
244
00:29:39,030 --> 00:29:44,110
subsequence حسب التعريف من sequence x و بتحقق في
245
00:29:44,110 --> 00:29:49,510
الخطوة الثانية |xr₂ - x| أكبر من أو يساوي ε₀
246
00:29:49,510 --> 00:29:55,590
الخطوة الثالثة لما k يساوي ثلاثة هي |xr₃ - x|
247
00:29:55,590 --> 00:29:59,510
أكبر من أو يساوي ε₀ وهكذا إذن هنا عملنا
248
00:29:59,510 --> 00:30:04,470
construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
249
00:30:04,470 --> 00:30:09,650
subsequence هذه من ال sequence xn بطريقة استقرائية
250
00:30:10,920 --> 00:30:15,420
وهذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
251
00:30:15,420 --> 00:30:21,800
بالضبط العبارة ثلاثة إذا three العبارة الثالثة whole
252
00:30:21,800 --> 00:30:24,960
تمام؟
253
00:30:24,960 --> 00:30:30,460
إذا هيك أثبتنا أن اثنين تؤدي لثلاثة باقي إثبات
254
00:30:30,460 --> 00:30:36,400
أن العبارة الثالثة تعني واحدة
255
00:30:39,780 --> 00:30:48,460
ف assume .. assume العبارة الثالثة صحيحة يعني يوجد
256
00:30:48,460 --> 00:30:57,260
ε₀ أكبر من صفر and a subsequence xrk
257
00:30:57,260 --> 00:31:10,090
of the sequence x in such that |xrk - x|
258
00:31:10,090 --> 00:31:18,510
أكبر من أو يساوي ε₀ لكل k طيب
259
00:31:18,510 --> 00:31:29,170
هذا معناه أو هذا بيؤدي أن xrk
260
00:31:29,170 --> 00:31:43,760
أو xrn أو xrk لا تنتمي لـ (x - ε₀ , x + ε₀) x زائد ε₀ لا تنتمي
261
00:31:43,760 --> 00:31:45,220
للفترة المفتوحة هذه
262
00:31:49,030 --> 00:31:53,890
اللي هو هذه الفترة المفتوحة سميناها قبل هيك ε
263
00:31:53,890 --> 00:31:59,670
₀ neighborhood لـ x صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها x
264
00:31:59,670 --> 00:32:04,330
ونصف قطرها ε₀ المتباينة هذه بتقول إن هذا
265
00:32:04,330 --> 00:32:10,470
الكلام لكل k لكل k لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
266
00:32:10,470 --> 00:32:14,990
في x بيطلع في x لو حلت المتباينة هذه في xrk بيطلع
267
00:32:14,990 --> 00:32:23,320
xrk لا ينتمي للفترة المفتوحة وبالتالي
268
00:32:23,320 --> 00:32:27,460
hence by
269
00:32:27,460 --> 00:32:37,860
definition by ال neighborhood definition of
270
00:32:37,860 --> 00:32:41,740
limit
271
00:32:44,750 --> 00:32:49,850
فاكرين احنا اخذنا تعريف ال limit لل sequence اول
272
00:32:49,850 --> 00:32:53,190
تعريف كان neighborhood definition وبعدين اثبتنا
273
00:32:53,190 --> 00:32:58,470
انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال ε
274
00:32:58,470 --> 00:33:01,010
N definition لل limit
275
00:33:10,150 --> 00:33:15,910
xn converge to x معناه لأي
276
00:33:15,910 --> 00:33:21,390
neighborhood لـ x زي هذا لازم
277
00:33:21,390 --> 00:33:29,210
عشان
278
00:33:29,210 --> 00:33:32,550
ال subsequence هذه converge لـ x لازم أي
279
00:33:32,550 --> 00:33:37,180
neighborhood لـ x يحتوي كل حدود ال sequence من
280
00:33:37,180 --> 00:33:41,660
N وانت طالع أو من K وانت طالع لكل
281
00:33:41,660 --> 00:33:46,920
small k أكبر من أو يساوي capital K هذا لازم يكون صحيح
282
00:33:46,920 --> 00:33:50,260
لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
283
00:33:50,260 --> 00:33:55,740
exists epsilon zero neighborhood لـ X وكل حدود الـ
284
00:33:55,740 --> 00:34:02,770
subsequence مش موجودة فيه، هذا بالظبط نفي تعريف الـ
285
00:34:02,770 --> 00:34:05,230
neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
286
00:34:05,230 --> 00:34:09,350
هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
287
00:34:09,350 --> 00:34:15,550
الـ subsequence هذه does not converge لـ X، طب احنا
288
00:34:15,550 --> 00:34:19,970
عايزين نثبت، عشان نثبت أن العبارة واحد صحيحة، عايزين
289
00:34:19,970 --> 00:34:23,810
نثبت أن الـ sequence نفسها، مش الـ subsequence، الـ
290
00:34:23,810 --> 00:34:27,650
sequence نفسها does not converge لـ X، إذا أنا بدي
291
00:34:27,650 --> 00:34:38,290
أكتب هنا claim لبرهان
292
00:34:38,290 --> 00:34:46,830
العبارة الأولى، باقي اثبات الـ claim، وهو أن الـ
293
00:34:46,830 --> 00:34:55,150
sequence x n نفسها does not converge لـ x، فنشوف
294
00:34:55,150 --> 00:35:01,370
مع بعض، assume ببرهان بالتناقض، assume on the contrary
295
00:35:01,370 --> 00:35:05,230
أن
296
00:35:05,230 --> 00:35:10,990
الـ sequence x n converge لـ x، okay، برهان بالتناقض
297
00:35:10,990 --> 00:35:22,050
افرض أن الـ sequence converge لـ x، by a theorem اثنين
298
00:35:22,050 --> 00:35:32,850
بيقول the subsequence، the subsequence اللي هي X n k
299
00:35:32,850 --> 00:35:37,490
الـ subsequence مش هاد الـ subsequence، هاد المفروض
300
00:35:37,490 --> 00:35:44,020
تطلع convergent لـ X، وهدا ده ديني contradiction، لأن
301
00:35:44,020 --> 00:35:47,260
أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
302
00:35:47,260 --> 00:35:53,060
converge لـ X، إذا في عندي تناقض، التناقض هذا سببه أن
303
00:35:53,060 --> 00:35:58,680
احنا فرضنا أن X n converge لـ X، إذا بطلع عندي X n
304
00:35:58,680 --> 00:36:04,200
does not converge لـ X، وبالتالي إذا one holds، إذا
305
00:36:04,200 --> 00:36:10,120
one holds، وبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
306
00:36:10,120 --> 00:36:15,580
okay، تمام، إذا هيك اثبتنا أن التلاتة بيعد لواحد
307
00:36:15,580 --> 00:36:20,560
وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة، احنا بهمنا
308
00:36:20,560 --> 00:36:26,140
في التطبيق اللي هو الجزء الأخير، يعني عشان أنا اثبت
309
00:36:27,620 --> 00:36:32,400
إنه sequence معينة does not converge to any real
310
00:36:32,400 --> 00:36:36,360
number X، يكفي
311
00:36:36,360 --> 00:36:42,920
إثبات أن يوجد Y0، يوجد subsequence بحيث أن المسافة
312
00:36:42,920 --> 00:36:47,780
دي أكبر من أو يساوي Y0 لكل M، هنشوف الكلام هذا في
313
00:36:47,780 --> 00:36:58,230
أمثلة لاحقة، لكن خلينا بس ناخد مثالا على النظرية هذه
314
00:36:58,230 --> 00:37:15,210
إذا
315
00:37:15,210 --> 00:37:23,470
ناخد examples هاي
316
00:37:23,470 --> 00:37:24,410
مثال واحد
317
00:37:28,440 --> 00:37:32,300
الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
318
00:37:32,300 --> 00:37:40,560
n is divergent، طبعا
319
00:37:40,560 --> 00:37:43,620
احنا اثبتنا قبل هيك أن الـ sequence هي divergent
320
00:37:43,620 --> 00:37:47,640
عملنا proof by contradiction، فرضنا أن أنا
321
00:37:47,640 --> 00:37:55,040
convergent ووصلنا إلى تناقض، صح؟ اليوم هناخد برهان
322
00:37:55,040 --> 00:38:04,780
ثاني، باستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية، يعني نشوف
323
00:38:04,780 --> 00:38:12,820
مع بعض، prove if
324
00:38:12,820 --> 00:38:25,060
it were convergent، say
325
00:38:30,030 --> 00:38:38,350
-1-N converges to X ينتمي إلى R، لو فرضنا إن
326
00:38:38,350 --> 00:38:44,970
سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent ببرهان
327
00:38:44,970 --> 00:38:51,350
بالتناقض، لو فرضنا إنها convergent to some X، إذا
328
00:38:51,350 --> 00:38:56,570
كانت convergent، إن اسمها لمات، then
329
00:39:00,730 --> 00:39:07,130
الـ sub sequences اللي
330
00:39:07,130 --> 00:39:18,390
هم سالب واحد أس اثنين n and سالب واحد أس اثنين n plus واحد
331
00:39:18,390 --> 00:39:25,470
سالب واحد، هذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
332
00:39:25,470 --> 00:39:31,150
هنا، وهذه الحدود الفردية، إذا كانت الـ sequence
333
00:39:31,150 --> 00:39:36,430
نفسها converged لـ X، فالتنتين هذول both converged لـ
334
00:39:36,430 --> 00:39:45,110
X، و
335
00:39:45,110 --> 00:39:48,670
بالتالي، so X
336
00:39:51,100 --> 00:40:00,080
بتساوي limit سالب واحد قو اثنين n، صح؟ وهذه بتساوي
337
00:40:00,080 --> 00:40:06,400
limit سالب واحد قو اثنين n زائد واحد، الـ sequence هذه
338
00:40:06,400 --> 00:40:15,620
ثابت واحد بتساوي واحد، صح؟ and برضه احنا قلنا أن الـ
339
00:40:15,620 --> 00:40:23,400
X بتساوي limit الـ subsequence للحدود الفردية اللي
340
00:40:23,400 --> 00:40:28,580
هي هذه، طيب
341
00:40:28,580 --> 00:40:36,140
سالب واحد قو عدد فردي بطلع سالب واحد، إذن هذه الـ
342
00:40:36,140 --> 00:40:41,760
sequence حدودها فردية، إذن هي عبارة عن sequence
343
00:40:41,760 --> 00:40:50,260
ثابت سالب واحد، وبالتالي limit لثابت بطلع ثابت، إذا
344
00:40:50,260 --> 00:40:56,180
أنا أطلع عندي واحد بتساوي x من المعادلة الأولى
345
00:40:56,180 --> 00:41:01,120
وكذلك الـ x بتساوي سالب واحد، يعني معناه واحد بتساوي
346
00:41:01,120 --> 00:41:10,130
سالب واحد، وهذا contradiction، تمام؟ إذا مستحيل أن الـ
347
00:41:10,130 --> 00:41:13,510
sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
348
00:41:13,510 --> 00:41:21,050
divergent، okay، تمام؟ إذا هنا كلمة were الدلالة
349
00:41:21,050 --> 00:41:26,470
على الاستحالة، كان ممكن اسمها الـ sequence هذه مفرد
350
00:41:26,470 --> 00:41:32,400
واحدة، مفروض أقول if it was convergent لكن أنا عارف
351
00:41:32,400 --> 00:41:35,400
أنه مستحيل أنها تكون convergent فلدلالة على
352
00:41:35,400 --> 00:41:41,880
استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
353
00:41:41,880 --> 00:41:47,140
was a king، لكن أنا مش king، okay، تمام؟ إذا بنوقف
354
00:41:47,140 --> 00:41:50,880
عند هذا المثال، المحاضرة هي انتهت، وبنكمل إن شاء
355
00:41:50,880 --> 00:41:51,720
الله، سبوع جديد