1
00:00:20,890 --> 00:00:26,630
أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences

2
00:00:26,630 --> 00:00:31,690
اللي بدأناه المحاضرة السابقة، فشوفنا في المحاضرة

3
00:00:31,690 --> 00:00:36,530
السابقة تعريف ما معنى أنه limit لـ sequence xn 

4
00:00:36,530 --> 00:00:41,450
بساوي infinity وما معنى أنه limit لـ sequence xn

5
00:00:41,450 --> 00:00:46,490
بساوي negative infinity، طبعاً الـ sequence بتكون

6
00:00:46,490 --> 00:00:49,470
properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها

7
00:00:49,470 --> 00:00:54,030
بساوي infinity أو سالب infinity، في عندي 

8
00:00:54,030 --> 00:00:58,550
comparison test لـ .. لـ properly divergent

9
00:00:58,550 --> 00:01:01,790
sequences، هذا ال test بيقول لي لو في عندي two

10
00:01:01,790 --> 00:01:06,330
sequences xn و yn، two sequences of real numbers

11
00:01:06,330 --> 00:01:10,370
بيحققوا الشرط star، satisfy the condition star، وهو

12
00:01:10,370 --> 00:01:15,400
أن كل حد في xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في

13
00:01:15,400 --> 00:01:22,080
ال sequence التانية yn، هذا صحيح لكل n، فإذا كانت ال

14
00:01:22,080 --> 00:01:26,140
limit of the bigger sequence or the smaller

15
00:01:26,140 --> 00:01:30,240
sequence is infinity، then the limit of the bigger

16
00:01:30,240 --> 00:01:36,040
sequence is infinity، and if the limit of the big

17
00:01:36,040 --> 00:01:39,580
the bigger sequence is negative infinity، then the

18
00:01:39,580 --> 00:01:40,720
limit of the smaller

19
00:01:50,070 --> 00:01:55,680
الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط an

20
00:01:55,680 --> 00:01:58,620
application of the definition، طبقنا التعريف

21
00:01:58,620 --> 00:02:03,740
بالبرهان زي ما أنتم شايفينه، برهان الجزء A similar

22
00:02:03,740 --> 00:02:09,840
مشابه لجزء B، فحنسيبوا تمرين لكم، اتحاولوا يعني

23
00:02:09,840 --> 00:02:15,020
اتبرهنوا بنفس الطريقة، okay تمام، فلو سمحتوا حاولوا

24
00:02:15,020 --> 00:02:21,720
انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة، في عندنا شوية

25
00:02:21,720 --> 00:02:24,300
ملاحظات على النظرية

26
00:02:31,050 --> 00:02:36,390
نعطيلها رقم تسعة و ثلاثين، فالملاحظات 

27
00:02:36,390 --> 00:02:44,850
في عندي تلت ملاحظات، الملاحظة الأولى أنه theorem

28
00:02:44,850 --> 00:02:47,910
النظرية

29
00:02:47,910 --> 00:02:53,270
السابقة، أعتقد أن هذا الرقم المفروض يكون ثلاثين

30
00:02:59,480 --> 00:03:15,440
theorem 29 remains true، تبقى صحيحة، if condition if

31
00:03:15,440 --> 00:03:22,720
condition star is replaced، إذا بدلنا الشرط star by

32
00:03:22,720 --> 00:03:34,060
the weaker condition، by the weaker condition

33
00:03:34,060 --> 00:03:39,440
اللي 

34
00:03:39,440 --> 00:03:46,080
هو xn less than or equal yn، لكل

35
00:03:46,080 --> 00:03:55,540
n أكبر من أو ساوي m، for some n natural number

36
00:03:58,530 --> 00:04:05,110
يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان، لكل

37
00:04:05,110 --> 00:04:09,910
الأعداد الطبيعية N، فلنفرض أن يوجد M عدد طبيعي

38
00:04:09,910 --> 00:04:15,190
نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباينة هذه

39
00:04:15,190 --> 00:04:21,590
تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M، يعني مش شرط تتحقق

40
00:04:21,590 --> 00:04:26,270
للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M، فالنظرية برضه تبقى

41
00:04:26,270 --> 00:04:32,390
صحيحة، ولو بدنا نبرهن النظرية اللي فاتت تحت الشرط

42
00:04:32,390 --> 00:04:37,150
الأضعف، هذا الشرط أضعف من الشرط ال star، لكن برضه 

43
00:04:37,150 --> 00:04:44,970
بيعطيني نفس النظرية، فال ..

44
00:04:44,970 --> 00:04:55,390
ففي الحالة هذه، in fact، في حقيقة الأمر، in fact، in

45
00:04:55,390 --> 00:05:07,220
the proofs، in the proofs of النظرية السابقة، take

46
00:05:07,220 --> 00:05:19,460
the required، the required in to be that

47
00:05:19,460 --> 00:05:26,660
corresponds، that corresponds

48
00:05:28,960 --> 00:05:34,420
that corresponds to the given to

49
00:05:34,420 --> 00:05:38,880
the given alpha or 

50
00:05:38,880 --> 00:05:45,360
given beta to

51
00:05:45,360 --> 00:05:59,160
be in عبارة عن ال maximum، the m و n of alpha أو n

52
00:05:59,160 --> 00:06:07,920
بساوي ال maximum، الأكبر بين العدد الطبيعي m و n 

53
00:06:07,920 --> 00:06:17,920
of beta، إذن

54
00:06:17,920 --> 00:06:22,480
في البرهان مثلاً، هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي

55
00:06:22,480 --> 00:06:29,810
نقلت الكلام هذا صحيح، ويوجد capital N هتعتمد على

56
00:06:29,810 --> 00:06:34,910
beta بحيث أن الكلام هذا يتحقق، الآن ال star ما قدرش

57
00:06:34,910 --> 00:06:38,850
أ say bye star، هذه هتكون double star بدل ال star

58
00:06:38,850 --> 00:06:45,070
فأنا سميها double star، فالآن

59
00:06:45,070 --> 00:06:51,590
بأخد بعرف n، ال n هذه بعرفها على أنها الأكبر بين m

60
00:06:51,590 --> 00:06:59,720
و n of beta، وبالتالي ال n هذه أكبر من أو ساوي M و

61
00:06:59,720 --> 00:07:05,920
أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي لما أجي أخد N

62
00:07:05,920 --> 00:07:10,640
أكبر من أو ساوي capital N، بأضمن أن ال N تبعتي هذه

63
00:07:10,640 --> 00:07:17,820
أكبر من أو ساوي M، وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN

64
00:07:17,820 --> 00:07:22,940
وكذلك

65
00:07:22,940 --> 00:07:28,120
ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي N، الـ N هذه

66
00:07:28,120 --> 00:07:33,020
فبأضمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي

67
00:07:33,020 --> 00:07:40,000
الكلام هذا بيتحقق، ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال

68
00:07:40,000 --> 00:07:44,960
.. باستخدام الشرط الأضعف double star، بالمثل طبعاً

69
00:07:44,960 --> 00:07:48,960
ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A

70
00:07:48,960 --> 00:07:53,540
فبأخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha

71
00:07:53,540 --> 00:08:00,680
في برهان A تحت شرط star، هذه أول ملاحظة، الملاحظة

72
00:08:00,680 --> 00:08:15,360
الثانية، الملاحظة 

73
00:08:15,360 --> 00:08:25,480
الثانية، if condition star holds، إذا كان الشرط star

74
00:08:25,480 --> 00:08:27,660
holds، then

75
00:08:37,130 --> 00:08:42,070
النتيجة أن y in tends to infinity does not 

76
00:08:42,070 --> 00:08:46,650
necessarily implies، أن x in tends to infinity

77
00:08:53,430 --> 00:09:00,270
وكان limit ال yn بساوي infinity، فليس من الضروري أن

78
00:09:00,270 --> 00:09:06,090
يكون limit xn بساوي infinity، وهي مثال يوضح ذلك، for

79
00:09:06,090 --> 00:09:13,550
example، على سبيل المثال، consider، consider

80
00:09:13,550 --> 00:09:20,230
ال sequence 1 على n، أصغر من أو بساوي n، لكل n في n

81
00:09:21,990 --> 00:09:27,890
إذن هي، أنا عندي xn وهي عندي yn وهي xn أصغر من

82
00:09:27,890 --> 00:09:34,090
يساوي yn، الشرط الصغير متحقق، لكن أنا عندي ال limit

83
00:09:34,090 --> 00:09:39,330
لـ sequence yn، اللي الحد العام تبعها n، هذي بساوي

84
00:09:39,330 --> 00:09:51,440
infinity، but ال limit ل xn اللي هي واحد على n، بساوي

85
00:09:51,440 --> 00:09:59,860
صفر، لا تساوي infinity، الصفر لا يساوي infinity، okay

86
00:09:59,860 --> 00:10:06,440
تمام، إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x

87
00:10:06,440 --> 00:10:09,200
in بساوي infinity، عندما limit y in بساوي

88
00:10:09,200 --> 00:10:19,280
infinity، بالمثل، if condition star holds، إذا كان

89
00:10:19,280 --> 00:10:24,660
الشرط الـ start متحقق، then x

90
00:10:24,660 --> 00:10:30,840
in تقول إلى negative infinity، ليس بالضرورة بيؤدي

91
00:10:30,840 --> 00:10:36,620
مش شرط يؤدي أن ال sequence y in تقول لـ negative

92
00:10:36,620 --> 00:10:44,360
infinity، هذا مش شرط يكون صحيح، بنأ مثال على ذلك

93
00:10:44,360 --> 00:10:48,020
ممكن نفس المثال بس

94
00:10:51,510 --> 00:10:57,370
for example، بس نضرب في سالب، هي عندي negative n

95
00:10:57,370 --> 00:11:04,900
أصغر من أو ساوي negative واحد على n، لكل n في n، هل

96
00:11:04,900 --> 00:11:09,780
هذا كلام صح؟ أنا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n

97
00:11:09,780 --> 00:11:17,040
لكل n، هذا صح، اضرب في سالب واحد، تناقص هاه؟ هي عندك 

98
00:11:17,040 --> 00:11:24,990
xn بساوي سالب n، وهي عندنا yn بساوي negative واحد

99
00:11:24,990 --> 00:11:31,590
على n، الآن أنا عندي limit xn اللي هو سالب n لما

100
00:11:31,590 --> 00:11:37,170
طبعاً n تقول infinity بساوي negative infinity، but

101
00:11:37,170 --> 00:11:44,910
لكن limit ال yn اللي هو واحد على n، ايش بتساوي؟

102
00:11:44,910 --> 00:11:49,950
بساوي صفر، سالب واحد عفواً، سالب واحد على n، limit سالب

103
00:11:49,950 --> 00:11:56,630
واحد على n بساوي صفر، وليست سالب infinity، okay

104
00:11:56,630 --> 00:12:02,430
تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا

105
00:12:02,430 --> 00:12:07,010
يقبل التأويل زي ما بيقولوا، بس النتائج تبعتها كما

106
00:12:07,010 --> 00:12:13,310
هي في a و b، أي شيء آخر مش مظبوط، هو أمثلة بتوضح

107
00:12:13,310 --> 00:12:20,970
الأشياء الأخرى، تمام؟ في كمان اختبار آخر زي هذا

108
00:12:20,970 --> 00:12:25,550
بنسميه limit comparison

109
00:12:25,550 --> 00:12:34,250
test، فال

110
00:12:34,250 --> 00:12:35,350
.. نمسح

111
00:12:56,530 --> 00:13:11,090
limit comparison test، خلّيني

112
00:13:11,090 --> 00:13:19,550
آخد two sequences x in و y in، بـ sequences of 

113
00:13:19,550 --> 00:13:21,030
positive real numbers

114
00:13:24,560 --> 00:13:28,760
بالتالي سيكون الحدود

115
00:13:28,760 --> 00:13:33,660
الموجبة، لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة

116
00:13:33,660 --> 00:13:36,820
بي

117
00:13:36,820 --> 00:13:41,240
such that limit

118
00:13:41,240 --> 00:13:49,480
لـ xn over yn، as n tends to infinity بساوي L، عدد

119
00:13:49,480 --> 00:13:50,200
موجبة

120
00:13:55,720 --> 00:14:02,320
بنسمي المعادلة add star، then

121
00:14:02,320 --> 00:14:12,380
limit xn بساوي infinity، if and only if limit yn

122
00:14:12,380 --> 00:14:22,160
بساوي infinity، إذا

123
00:14:22,160 --> 00:14:26,190
هنا في عندي limit comparison test الذي يتم استخدامه

124
00:14:26,190 --> 00:14:28,110
للسيقونسات، واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من 

125
00:14:28,110 --> 00:14:29,250
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط

126
00:14:29,250 --> 00:14:33,210
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث

127
00:14:33,210 --> 00:14:35,150
فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث

128
00:14:35,150 --> 00:14:35,310
واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من

129
00:14:35,310 --> 00:14:37,070
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط

130
00:14:37,070 --> 00:14:43,510
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة

131
00:14:43,510 --> 00:14:51,010
فقط من حدوث واحدة فقط من

132
00:14:51,010 --> 00:14:52,090
حدوث واحدة، ف

133
00:14:59,920 --> 00:15:10,860
let assume، ال أكبر من الصفر، satisfies

134
00:15:10,860 --> 00:15:15,300
المعادلة

135
00:15:15,300 --> 00:15:21,390
لسه نفرض أن في عدد حقيقي L وهو بحقق star، يعني هو

136
00:15:21,390 --> 00:15:30,890
limit لـ ratio لـ xn على yn، تمام؟

137
00:15:30,890 --> 00:15:34,650
take epsilon

138
00:15:34,650 --> 00:15:38,930
بساوي

139
00:15:38,930 --> 00:15:46,920
L على 2، Since L is positive، L over 2 is positive

140
00:15:46,920 --> 00:15:57,360
لأن أنا جبت إبسلون which is positive، طيب since من



141
00:15:57,360 --> 00:16:08,300
الفرض since the sequence XN over YN converges to Lوهي

142
00:16:08,300 --> 00:16:10,980
عندي إبسلون أكبر من الصفر is given. إذا by

143
00:16:10,980 --> 00:16:15,400
definition of convergence by epsilon capital N

144
00:16:15,400 --> 00:16:22,400
definition لإبسلون هذه for this إبسلون, there exists

145
00:16:22,400 --> 00:16:29,600
capital N يعتمد على إبسلون يعتمد

146
00:16:29,600 --> 00:16:34,780
على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural

147
00:16:34,780 --> 00:16:41,620
number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع

148
00:16:41,620 --> 00:16:48,220
عندي absolute xn over yn negative L less than

149
00:16:48,220 --> 00:16:57,240
إبسلون. هتبوت هيك؟ طيب الـ Y بساوي L over 2 خلينا

150
00:16:57,240 --> 00:17:02,560
نشيل ال absolute value فبصير عندي Xn over Yn minus

151
00:17:02,560 --> 00:17:10,960
L less than L over two bigger than negative L over اتنين و

152
00:17:10,960 --> 00:17:16,900
هذا صحيح لكل N bigger than or equal N. اجمع L على 

153
00:17:16,900 --> 00:17:24,960
كل الأطراف. إن أنا بطلع عندي xn over yn less than

154
00:17:24,960 --> 00:17:31,920
three over two L bigger than L over two, and this

155
00:17:31,920 --> 00:17:36,620
is true for every n bigger than or equal n. نسمي

156
00:17:36,620 --> 00:17:46,680
المتباينة هذه double star now.

157
00:17:52,640 --> 00:18:02,400
by double star, أنا عندي xn على yn أصغر من تلاتة ع

158
00:18:02,400 --> 00:18:09,020
اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger

159
00:18:09,020 --> 00:18:15,820
than or equal to n. بيقدي انه xn

160
00:18:24,520 --> 00:18:34,680
في اتنين على التلاتة L less than YN وهذا صحيح لكل

161
00:18:34,680 --> 00:18:45,260
N bigger than or equal N. تصبوت هيك صح؟ هذه

162
00:18:45,260 --> 00:18:49,720
المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه

163
00:18:53,610 --> 00:19:05,290
so as limit. احنا فرضنا... now now

164
00:19:05,290 --> 00:19:10,690
أو .. أو so if 

165
00:19:12,930 --> 00:19:19,250
limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي

166
00:19:19,250 --> 00:19:23,490
infinity و هذا ثابت موجب. this is positive constant

167
00:19:23,490 --> 00:19:31,650
ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و

168
00:19:31,650 --> 00:19:39,450
بالتالي by comparison test then by comparison by

169
00:19:39,450 --> 00:19:40,170
comparison

170
00:19:42,940 --> 00:19:47,480
by comparison test. النظرية اللى فاتت مع الشرط

171
00:19:47,480 --> 00:19:51,640
المخفف مع الشرط المخفف لأن في النظرية اللى فاتت

172
00:19:51,640 --> 00:19:56,940
كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن

173
00:19:56,940 --> 00:20:01,200
هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو يسوى عدد طبيعي

174
00:20:01,200 --> 00:20:06,440
ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحة. فby

175
00:20:06,440 --> 00:20:12,620
comparison test and limit ال sequence هذه بساوي

176
00:20:12,620 --> 00:20:20,700
infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity.

177
00:20:20,700 --> 00:20:31,220
تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس. طيب

178
00:20:31,220 --> 00:20:32,380
conversely

179
00:20:40,740 --> 00:20:51,080
Conversely. Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي

180
00:20:51,080 --> 00:20:59,700
infinity. من double star من double star لو أخدت

181
00:20:59,700 --> 00:21:06,520
النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخر. عندي أنا

182
00:21:06,520 --> 00:21:13,120
L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N

183
00:21:13,120 --> 00:21:22,120
أكبر من أو ساوية capital N. طيب هذا بيقدي ان ال L

184
00:21:22,120 --> 00:21:29,400
over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal

185
00:21:29,400 --> 00:21:33,380
to capital N. طيب

186
00:21:33,380 --> 00:21:34,900
since

187
00:21:37,140 --> 00:21:44,200
limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب

188
00:21:44,200 --> 00:21:51,060
في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn

189
00:21:51,060 --> 00:21:57,760
بساوي infinity. so by comparison

190
00:21:57,760 --> 00:22:01,700
by comparison test

191
00:22:07,170 --> 00:22:11,210
أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا

192
00:22:11,210 --> 00:22:15,550
limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit

193
00:22:15,550 --> 00:22:28,070
xn equals infinity. وهذا بكمل البرهان، okay؟

194
00:22:28,070 --> 00:22:32,390
تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال

195
00:22:32,390 --> 00:22:36,780
limit comparison test. طبعا ال test هذا و ال test

196
00:22:36,780 --> 00:22:40,100
اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه

197
00:22:40,100 --> 00:22:44,160
بعض التمرين ممكن

198
00:22:44,160 --> 00:22:47,660
تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين

199
00:22:47,660 --> 00:22:53,560
فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن

200
00:22:53,560 --> 00:22:54,280
تطبيقهم

201
00:22:58,500 --> 00:23:05,220
باقي section واحد في ال chapter تلاتة

202
00:23:32,720 --> 00:23:37,660
السيكشن الأخير سيكشن

203
00:23:37,660 --> 00:23:43,820
تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة

204
00:23:43,820 --> 00:23:47,860
introduction to

205
00:23:47,860 --> 00:23:52,920
infinite series

206
00:23:57,560 --> 00:24:02,380
introduction to infinite series. مقدمة في

207
00:24:02,380 --> 00:24:06,940
المتسلسلات اللانهائية

208
00:24:06,940 --> 00:24:19,460
نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية. let xn

209
00:24:19,460 --> 00:24:27,330
contained in R be a sequence. sequence of real

210
00:24:27,330 --> 00:24:43,210
numbers. sum

211
00:24:43,210 --> 00:24:47,010
x1

212
00:24:47,010 --> 00:24:56,200
plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا

213
00:24:56,200 --> 00:25:03,400
و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم

214
00:25:03,400 --> 00:25:09,920
رمز sigma. ممكن هذا نسميه summation from n equals

215
00:25:09,920 --> 00:25:17,280
one to infinity إلى xn. فالصورة

216
00:25:17,280 --> 00:25:25,190
المجموع هذاهذا expanded. هذا compact form of

217
00:25:25,190 --> 00:25:39,010
summation is called an infinite series generated

218
00:25:39,010 --> 00:25:42,970
by

219
00:25:46,320 --> 00:25:54,100
متولدة من .. by the sequence x in. إذن

220
00:25:54,100 --> 00:26:00,280
infinite series generated by the sequence x in. إذا

221
00:26:00,280 --> 00:26:04,680
هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ

222
00:26:04,680 --> 00:26:09,340
sequence x in. طيب for every

223
00:26:12,430 --> 00:26:23,290
for each n belong to N define خلينا نعرف S1 على

224
00:26:23,290 --> 00:26:37,950
أنه X1. S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2. S3

225
00:26:37,950 --> 00:26:50,000
بساوي S2 زاد X3. يساوي X1 زايد X2 زايد X3 and

226
00:26:50,000 --> 00:26:58,380
so on و هكذا. نعرف SN على انه SN negative one زايد

227
00:26:58,380 --> 00:27:07,060
XN وطبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن

228
00:27:07,060 --> 00:27:07,700
summation

229
00:27:10,600 --> 00:27:19,140
x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1. هذا عبارة

230
00:27:19,140 --> 00:27:25,620
عن ايه؟ هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn

231
00:27:25,620 --> 00:27:34,340
فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n

232
00:27:38,080 --> 00:27:43,700
to for xk. إذا

233
00:27:43,700 --> 00:27:49,840
sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا

234
00:27:49,840 --> 00:27:55,960
ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on. الآن أنا كوّنت

235
00:27:55,960 --> 00:28:00,360
sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن

236
00:28:00,360 --> 00:28:06,970
sequence. ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence

237
00:28:06,970 --> 00:28:12,210
مهمة of partial sums. مظبوط؟ قعدت نسميها اذا طرست

238
00:28:12,210 --> 00:28:18,790
تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال

239
00:28:18,790 --> 00:28:23,110
series قعدت نسميها the sequence of partial sums

240
00:28:23,110 --> 00:28:29,210
إذا the sequence

241
00:28:30,940 --> 00:28:37,980
SN from N equals one to infinity is called بنسميها

242
00:28:37,980 --> 00:28:51,180
the sequence the sequence of partial sums

243
00:28:51,180 --> 00:29:03,040
sequence of partial sums of the series اللي هي

244
00:29:03,040 --> 00:29:11,080
sigma xn أو sigma من n بساعة واحد لانفينيتي. okay

245
00:29:11,080 --> 00:29:18,660
الآن now if

246
00:29:18,660 --> 00:29:29,280
the sequence sn converges, say

247
00:29:31,110 --> 00:29:42,090
limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then

248
00:29:42,090 --> 00:29:51,390
we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي

249
00:29:51,390 --> 00:29:58,630
هي summation xn from n equals one to infinity

250
00:29:58,630 --> 00:30:00,270
converges

251
00:30:09,070 --> 00:30:18,290
and its sum is summation from n equals one to

252
00:30:18,290 --> 00:30:23,530
infinity ل x in. ال summation تبعها أو المجموعة

253
00:30:23,530 --> 00:30:28,450
تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums

254
00:30:28,450 --> 00:30:32,730
اللي هو العدد S.

255
00:30:37,160 --> 00:30:43,180
لو كانت ال sequence divergent

256
00:30:43,180 --> 00:30:50,740
if the sequence is in diverges, we

257
00:30:50,740 --> 00:31:00,120
say أنه ال series sigma

258
00:31:00,120 --> 00:31:05,880
x in diverges

259
00:31:09,090 --> 00:31:13,410
إذا ال convergence و ال divergence depends on the

260
00:31:13,410 --> 00:31:18,630
divergence أو convergence of the infinite series

261
00:31:18,630 --> 00:31:23,910
depends on the convergence or divergence of the

262
00:31:23,910 --> 00:31:30,690
sequence of partial sums. مرتبط بيها ال sequence of

263
00:31:30,690 --> 00:31:34,350
partial sums. convergent السيريز اللي تابع إليها

264
00:31:34,350 --> 00:31:38,360
convergent. والعكس إذا كانت ال sequence of partial

265
00:31:38,360 --> 00:31:40,780
sums divergent, ال series ال infinite series

266
00:31:40,780 --> 00:31:51,840
التابعة إلى divergent. طيب

267
00:31:51,840 --> 00:31:58,180
ناخد بعض الأمثلة طبعا

268
00:31:58,180 --> 00:32:01,720
ال Sn هذا ال Sn

269
00:32:04,610 --> 00:32:15,810
هذا بنسميه الانث partial sum. الانث partial sum

270
00:32:15,810 --> 00:32:25,690
انث partial sum المجموع الجزئي أنوني. okay هو

271
00:32:25,690 --> 00:32:30,760
الحد العام لل sequence و partial sums. إذا لما بدي

272
00:32:30,760 --> 00:32:34,760
نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال

273
00:32:34,760 --> 00:32:38,380
sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل

274
00:32:38,380 --> 00:32:41,780
sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي

275
00:32:41,780 --> 00:32:47,680
convergent ولا divergent. ناخد

276
00:32:47,680 --> 00:32:48,620
بعض الأمثلة

277
00:33:02,760 --> 00:33:14,560
المثال الأول consider

278
00:33:14,560 --> 00:33:17,780
sequence

279
00:33:17,780 --> 00:33:25,480
R to N from N equals 0 to infinity. طبعا هذه

280
00:33:25,480 --> 00:33:33,650
sequence of real numbers. Where R is a real number

281
00:33:33,650 --> 00:33:38,210
which

282
00:33:38,210 --> 00:33:49,150
generates هذه الsequence generates the geometric

283
00:33:49,150 --> 00:33:53,010
.. the so-called geometric series .. geometric

284
00:33:53,010 --> 00:33:54,330
series

285
00:33:57,050 --> 00:34:02,610
اللي هي summation from n equals zero to infinity

286
00:34:02,610 --> 00:34:10,210
from r to n okay إذا هي هذه الsequence of real

287
00:34:10,210 --> 00:34:15,650
numbers بتولد infinite series أو generates this

288
00:34:15,650 --> 00:34:21,210
infinite series اللي هي حدودها أول حد لما n بساوي

289
00:34:21,210 --> 00:34:33,620
صفر واحد بعدين r بعدين r تربيعو R أس N و

290
00:34:33,620 --> 00:34:41,120
هكذا ف such series is called geometric series هذه

291
00:34:41,120 --> 00:34:44,300
الseries اللي على الصورة هذه بنسميها geometric

292
00:34:44,300 --> 00:34:49,820
series الآن هذه الseries

293
00:34:58,170 --> 00:35:08,530
this series واحد converges and

294
00:35:08,530 --> 00:35:15,910
its sum اللي هو sigma from n equals zero to

295
00:35:15,910 --> 00:35:22,470
infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان

296
00:35:22,470 --> 00:35:35,210
absolute R أصغر من واحد and diverges and

297
00:35:35,210 --> 00:35:41,350
اثنين diverges if

298
00:35:41,350 --> 00:35:48,830
absolute R أكبر من أو يساوي واحد خلّينا

299
00:35:48,830 --> 00:35:50,050
نثبت الجزء الأول

300
00:35:58,010 --> 00:36:04,110
to prove one أنا

301
00:36:04,110 --> 00:36:12,410
عندي ال SN بساوي سيجما

302
00:36:12,410 --> 00:36:21,050
من K بساوي صفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R

303
00:36:21,050 --> 00:36:34,640
زائد R تربيع زائد R أس N وفي عندي .. في عندي ..

304
00:36:34,640 --> 00:36:37,780
لو

305
00:36:37,780 --> 00:36:48,440
ضربت SN في R فبضرب الطرف اليمين في R فبطلع R زائد R

306
00:36:48,440 --> 00:36:56,380
تربيع زائد و هكذا زائد R أس N و آخر حد هيكون R أس N

307
00:36:56,380 --> 00:37:00,940
زائد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract

308
00:37:05,370 --> 00:37:10,850
subtract نطرح المعادلة اللي تحت من اللي فوق فبطلع عندي

309
00:37:10,850 --> 00:37:18,590
SN في واحد minus R أخدت عامل مشترك SN ولمّا أطرح

310
00:37:18,590 --> 00:37:23,330
هذا بروح مع هذا كل الحدود بتروح مع بعضها بظل عندي

311
00:37:23,330 --> 00:37:33,130
واحد سالب R أس N زائد 1 تمام؟ ومن هنا إذا SN

312
00:37:36,050 --> 00:37:44,310
بساوي واحد على واحد سالب R سالب R أس N زائد 1

313
00:37:44,310 --> 00:37:52,990
على واحد سالب R ممكن

314
00:37:52,990 --> 00:37:59,070
هذا نوديه على ناحية الثانية فبصير عندي هذا سالب

315
00:37:59,070 --> 00:38:01,350
هذا بساوي

316
00:38:03,070 --> 00:38:08,930
سالب R أس N زائد 1 على واحد سالب R الآن إذا

317
00:38:08,930 --> 00:38:13,590
ناخد ال absolute value للطرفين SN سالب واحد على

318
00:38:13,590 --> 00:38:21,030
واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من

319
00:38:21,030 --> 00:38:27,830
أو يساوي absolute R أس N زائد 1 على absolute واحد

320
00:38:27,830 --> 00:38:30,870
minus R تمام؟

321
00:38:34,940 --> 00:38:41,200
إذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب

322
00:38:41,200 --> 00:38:51,360
absolute R أس N زائد 1 الآن if absolute R أصغر

323
00:38:51,360 --> 00:39:00,870
من واحد فهذا بيؤدي أن ال limit ل absolute R أس N زي

324
00:39:00,870 --> 00:39:05,790
1 لما N تؤول ل infinity هذا بيساوي صفر أخذناها قبل

325
00:39:05,790 --> 00:39:10,430
هيك وبالتالي

326
00:39:10,430 --> 00:39:14,950
إذا ال ..

327
00:39:14,950 --> 00:39:18,290
إذا أنا عندي ال absolute value هذه أكبر من أو يساوي

328
00:39:18,290 --> 00:39:24,270
صفر و أصغر من أو يساوي ثابت موجب في هذه الsequence

329
00:39:24,270 --> 00:39:28,610
هذه الsequence تؤول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة

330
00:39:28,610 --> 00:39:32,330
تؤول لـ 0 إذا by sandwich theorem

331
00:39:40,720 --> 00:39:47,760
بتطلع عندي ال limit ل absolute SN سالب 1 على 1

332
00:39:47,760 --> 00:39:52,820
minus R لما N تؤول ل infinity بساوي صفر وممكن

333
00:39:52,820 --> 00:39:58,600
ندخل ال limit جوا فهذا بقدر أنه limit 1 على SN

334
00:39:58,600 --> 00:40:05,040
عفوا limit SN لما N تؤول ل infinity بساوي 1 على 1

335
00:40:05,040 --> 00:40:11,560
سالب R وبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0

336
00:40:11,560 --> 00:40:17,240
to infinity لR أس N مجموعتها تطلع convergent

337
00:40:17,240 --> 00:40:23,180
ومجموعها بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R

338
00:40:24,110 --> 00:40:28,950
إذن هذا بيثبت الجزء الأول الجزء الثاني ممكن إثباته

339
00:40:28,950 --> 00:40:34,190
لو R بساوي واحد فبطلع عندي بجمع واحد على واحد عدد

340
00:40:34,190 --> 00:40:37,730
لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial

341
00:40:37,730 --> 00:40:40,170
sums ممكن إثبات أنها unbounded وبالتالي not

342
00:40:40,170 --> 00:40:44,330
convergent إذن الseries not convergent نفس الحاجة

343
00:40:44,330 --> 00:40:47,210
لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن إثبات أن ال

344
00:40:47,210 --> 00:40:50,550
sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال

345
00:40:50,550 --> 00:40:57,170
series is divergent تمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا

346
00:40:57,170 --> 00:41:02,830
و بنكمل إن شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة

347
00:41:02,830 --> 00:41:04,630
القادمة يوم السبت