1
00:00:21,330 --> 00:00:27,290
اليوم طبعا هنكمل الشرح

2
00:00:27,290 --> 00:00:30,650
أو

3
00:00:30,650 --> 00:00:35,610
بعض الملاحظات على النظرية اللي أخدناها في المحاضرة

4
00:00:35,610 --> 00:00:42,910
السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval

5
00:00:42,910 --> 00:00:48,620
property أو خاصية الفترات المتداخلةوشوفنا في

6
00:00:48,620 --> 00:00:54,720
النظرية هذه ان لو في عندي sequence of nested

7
00:00:54,720 --> 00:00:58,660
intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة

8
00:00:58,660 --> 00:01:05,820
تحتوي اللي بعدها مباشرة زائد ان الفترات هذه كلهم

9
00:01:05,820 --> 00:01:14,580
closed كلهم closed و bounded ففي

10
00:01:14,580 --> 00:01:20,210
الحالة هذه التقاطةتبع ال sequence of intervals لا

11
00:01:20,210 --> 00:01:24,310
يساوي في يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطة

12
00:01:24,310 --> 00:01:30,510
شوفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو

13
00:01:30,510 --> 00:01:35,570
لاحظوا أن هذه عبارة عن ساو بي ان فهذه sequence من

14
00:01:35,570 --> 00:01:42,690
العداد السالمة الغير سالمة و بالمناسبة السفر واضح

15
00:01:42,690 --> 00:01:48,940
أنه lower bound للمجموعة هذه صح؟لكن مش شرط أن

16
00:01:48,940 --> 00:01:54,780
السفر يكون هو ال infimum للمجموعة هذه فإذا كان ال

17
00:01:54,780 --> 00:01:57,960
infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو

18
00:01:57,960 --> 00:02:06,440
السفر فالتقاط واحدة في أنصر واحد okay تمام وشوفنا

19
00:02:06,440 --> 00:02:11,800
مرين على البرهان المرة اللي فاتت و أعتقد أن

20
00:02:11,800 --> 00:02:16,860
البرهان مكتوب بالتفصيلواضح ومرنا عليه جزء جزء

21
00:02:16,860 --> 00:02:22,000
فأرجعكم تكونوا قرأتهوا كمان مرة وفهمتهوا في حد

22
00:02:22,000 --> 00:02:27,860
عنده استفسار على المرهانة النظرية هذه طيب الآن

23
00:02:27,860 --> 00:02:35,820
النظرية هذه نرجع للنظرية كمان مرة الآن

24
00:02:35,820 --> 00:02:41,480
في ملاحظة بتقول انه لو انا في النظرية هذه الفترات

25
00:02:41,480 --> 00:02:49,780
هذهالفرض ان الفترات in مغلقة closed لو حذفت شيلت

26
00:02:49,780 --> 00:03:01,600
الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة فالنظرية

27
00:03:01,600 --> 00:03:05,000
هذه بتبطل تكون صحيحة وحنشوف counter example يوضح

28
00:03:05,000 --> 00:03:07,460
عدم صحتها كذلك

29
00:03:09,100 --> 00:03:13,220
طب افرضه ان هذا شرط متحقق في الفترات لكن اللي مش

30
00:03:13,220 --> 00:03:17,680
متحقق اللي هو ال boundedness يعني الفترات هذه ليست

31
00:03:17,680 --> 00:03:21,420
محدودة ليست bounded برضه في الحالة هذه المظهرية

32
00:03:21,420 --> 00:03:26,620
تفشل و في counter example يوضح فشلها okay اذا

33
00:03:26,620 --> 00:03:30,640
حنشوف two counter examples خليني نشوفهم مع بعض

34
00:03:36,610 --> 00:03:39,790
إذا هدى ال remark اللى انا اتحدث عنها قلت انه it

35
00:03:39,790 --> 00:03:44,090
should be noted يجب ملاحظة ان journal بصورة عامة

36
00:03:44,090 --> 00:03:48,030
instant sequence of intervals need not have a

37
00:03:48,030 --> 00:03:51,290
common point يعني لو فيه ending sequence من

38
00:03:51,290 --> 00:03:57,010
الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في في يعني

39
00:03:57,010 --> 00:04:02,650
اى نقطة او نقطة مشاركة يعني مش شرط ان التقاطع لها

40
00:04:02,650 --> 00:04:11,000
يساوي فيهفالأنثى لها دى هدا هى اللى حكينا عنها اول

41
00:04:11,000 --> 00:04:18,500
مثال هاى

42
00:04:18,500 --> 00:04:23,080
فى المثال الاول الفرض the hypothesis الفرض ان ال

43
00:04:23,080 --> 00:04:28,940
intervals I in فى نظرية 22 be closed cannot be

44
00:04:28,940 --> 00:04:34,800
dropped يعني لا يمكن حذفهلا يمكن الاستجناء عنه

45
00:04:34,800 --> 00:04:41,180
وتبقى النظرية نظرية صحيحة for example على سبيل

46
00:04:41,180 --> 00:04:49,120
المثال لو أخدت الفترات I N الفترة I N هي الفترة

47
00:04:49,120 --> 00:04:55,580
المفتوحة من 0 ل 1 على N حيث N عدد طبيعي فواضح ان

48
00:04:55,580 --> 00:05:00,460
الفترات هدي nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون

49
00:05:00,460 --> 00:05:04,820
الفترة مفتوحة من 0 ل 1الفترة التانية الفترة مفتوحة

50
00:05:04,820 --> 00:05:12,180
من سفر لنص وهذه محتوى في I واحد و I تلاتة الفترة

51
00:05:12,180 --> 00:05:16,540
مفتوحة من سفر لتلت محتوى داخل I اتنين و هكذا لذلك

52
00:05:16,540 --> 00:05:21,720
واضح ان ال sequence of open intervals IN is nested

53
00:05:21,720 --> 00:05:27,560
sequence كذلك عناصر ال sequence هذه bounded هذه

54
00:05:27,560 --> 00:05:33,710
فترات محصورةلكن الفترات هذه not closed مش closed

55
00:05:33,710 --> 00:05:38,630
يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط

56
00:05:38,630 --> 00:05:45,910
الإغلاق هنا انحذف وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط

57
00:05:45,910 --> 00:05:50,750
تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس ال sequence هذه

58
00:05:50,750 --> 00:05:54,410
بيطلع بساوي fine مافيش common point مافيش نقطة

59
00:05:54,410 --> 00:05:59,950
مشتركة في هذه الفترات طبعا هذا مش واضح

60
00:06:04,230 --> 00:06:08,470
هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بساوي في هذا مش

61
00:06:08,470 --> 00:06:14,310
واضح يحتاج إلى برهان هي البرهان بين جثين مربعين

62
00:06:14,310 --> 00:06:21,470
تعالوا نبره إن تقاطع الفترات هذه بساوي في to see

63
00:06:21,470 --> 00:06:27,670
this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك هذا

64
00:06:27,670 --> 00:06:34,040
تعبير مجازم استخدمه لبرهانالشيء العبارة اللي احنا

65
00:06:34,040 --> 00:06:38,400
عايزينها ف to see this suppose in the contrary

66
00:06:38,400 --> 00:06:43,320
بنفترض على النقيد انه التقاطع هذا بسويش في يعني في

67
00:06:43,320 --> 00:06:48,100
على الأقل عنصر X في التقاطع بنصل لتناقض طيب ال X

68
00:06:48,100 --> 00:06:53,360
موجود في التقاطع معناته X موجود في I N لكل N إذن X

69
00:06:53,360 --> 00:06:58,310
موجود في كل واحدة من الفترات I Nطيب X موجود في

70
00:06:58,310 --> 00:07:03,510
الفترة I N معناته X أكبر من سفر أصغر من واحد على N

71
00:07:03,510 --> 00:07:09,970
أصغر من واحد على N أصغر من واحد على N تمام

72
00:07:09,970 --> 00:07:13,970
وبالتالي

73
00:07:13,970 --> 00:07:20,430
حسب ال Archimedean property هذا عبارة عن أحد صور

74
00:07:20,430 --> 00:07:25,750
ال Archimedean property بتقول ليبما ان X هد عدد

75
00:07:25,750 --> 00:07:33,530
موجب، الـ X هد عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي N0

76
00:07:33,530 --> 00:07:39,150
مقلوب و أصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،

77
00:07:39,150 --> 00:07:47,370
هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون ال X أصغر من 1

78
00:07:47,370 --> 00:07:53,170
على N لكل Nيعني ال X هذه أصغر من 1 على N0 وهي في

79
00:07:53,170 --> 00:07:57,210
نفس الواجهة أكبر من 1 على N0 لأن هذا بتديني تناقض

80
00:07:57,210 --> 00:08:04,250
لأن التناقض هذا سبب ال assumption تبعنا أن يوجد X

81
00:08:04,250 --> 00:08:09,210
في التقاطة لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا

82
00:08:09,210 --> 00:08:16,140
أنصر يعني is the empty setإن هذا مثال بورجي أو

83
00:08:16,140 --> 00:08:21,900
بيوضح إنه لو حذفنا شرط إن الفترات في نظرية 22

84
00:08:21,900 --> 00:08:26,980
closed فبتطلع الشفرة، النظرية تفشل، بتبطل النظرية

85
00:08:26,980 --> 00:08:32,720
و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال التاني نفس

86
00:08:32,720 --> 00:08:38,480
الحاجة، الفرض إن الفترات في نظرية 22 be bounded

87
00:08:40,090 --> 00:08:43,690
بتكون محدودة cannot be dropped لايمكن إسخاطه

88
00:08:43,690 --> 00:08:48,250
لايمكن إهماله فعشان

89
00:08:48,250 --> 00:08:52,750
نوضح هذا الكلام ب counter example ف for example

90
00:08:52,750 --> 00:08:56,750
على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة I N فترة

91
00:08:56,750 --> 00:09:03,190
مغلقة من N إلى ملا نهاية حيث N عدد طبيعي هذه

92
00:09:03,190 --> 00:09:10,150
الفتراتكل هذه فترة مغلقة كل فترة على الصورة هذه

93
00:09:10,150 --> 00:09:17,010
مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق بعدين الفترات هذه نستد

94
00:09:17,010 --> 00:09:20,430
لحظة أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا

95
00:09:20,430 --> 00:09:24,450
نهاية التانية فترة مغلقة من اتنين لما لا نهاية

96
00:09:24,450 --> 00:09:30,110
وهذه محتوى في I واحد الفترة التالتة الفترة المغلقة

97
00:09:30,110 --> 00:09:33,410
من تلاتة لما لا نهاية وهذه محتوى في I اتنين وهكذا

98
00:09:33,410 --> 00:09:38,730
فالفترات هذه نستدand closed مغلقة لكن ماهياش

99
00:09:38,730 --> 00:09:42,190
bounded مش محصورة it's not bounded .. هذه كمجموعة

100
00:09:42,190 --> 00:09:48,870
is not bounded above، كمجموعة ليس لها supreme، is

101
00:09:48,870 --> 00:09:52,390
not bounded above، اذا شرط ال boundedness اختل

102
00:09:52,390 --> 00:09:57,970
وبالتالي نتيجة النظرية هتختلفإذا الفترات هذه

103
00:09:57,970 --> 00:10:03,410
closed but unbounded وإذا هنجد إنه تقاطع الفترات

104
00:10:03,410 --> 00:10:08,930
هذه مافيش فيه ولا نقطة تقاطع هذا بساوي five كمان

105
00:10:08,930 --> 00:10:15,350
مرة المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة فبدنا

106
00:10:15,350 --> 00:10:20,730
نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة نعمل برهان بالتناقض

107
00:10:20,730 --> 00:10:24,370
نعمل برهان بالتناقض

108
00:10:29,770 --> 00:10:34,830
فافرضي أن التقاطع هذا لا يساوي في I وبالتالي يوجد

109
00:10:34,830 --> 00:10:40,670
X في التقاطع إذا X موجود في الفترة I N لكل N هذا

110
00:10:40,670 --> 00:10:46,950
من تعريف التقاطع X موجودة في I N معناته X أكبر من

111
00:10:46,950 --> 00:10:53,870
أو يساوي N وهذا صحيح لكل Nهذا بتناقض مع الـ

112
00:10:53,870 --> 00:10:58,510
Archimedean property نظرية الأساسية نظرية خمستاشر

113
00:10:58,510 --> 00:11:05,450
في الشبطرة ده اللي بتقول لأي عدد حقيقي X ينتمي إلى

114
00:11:05,450 --> 00:11:16,530
R بتأدي ان يوجد N0 ينتمي إلى N بحيث ان X أصغر من

115
00:11:16,530 --> 00:11:17,330
N0

116
00:11:21,190 --> 00:11:27,210
هذه هي الـ Archimedean property الأساسية طيب أنا

117
00:11:27,210 --> 00:11:32,850
عندي الأن من ال Archimedean property عندي يوجد عدد

118
00:11:32,850 --> 00:11:42,060
طبيعي N0 لصد أكبر من X وعندي هناإن X أكبر من أو

119
00:11:42,060 --> 00:11:47,340
ساوي N لكل N في N وبالتالي X أكبر من أو ساوي N

120
00:11:47,340 --> 00:11:51,820
Zero لأن N Zero ينتمي إلى N فإذا عندي هنا X أكبر

121
00:11:51,820 --> 00:11:56,180
من أو ساوي N Zero و X أصغر من N Zero هذا بيديني

122
00:11:56,180 --> 00:12:02,840
تناطق إذا في عندي contradiction إذا هذا العنصر غير

123
00:12:02,840 --> 00:12:07,870
موجودsuch an x does not exist يعني التقاطة هذا

124
00:12:07,870 --> 00:12:13,550
بساوي في كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهن؟ إذن هذه

125
00:12:13,550 --> 00:12:17,690
مثال تاني بوضح أن شرط ال boundedness لا يمكن

126
00:12:17,690 --> 00:12:25,730
اسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟

127
00:12:25,730 --> 00:12:31,710
في نظرية تانيةيمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن

128
00:12:31,710 --> 00:12:37,170
اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على ال nested intervals

129
00:12:37,170 --> 00:12:40,610
theorem او nested intervals property برهان جديد

130
00:12:40,610 --> 00:12:48,730
غير اللي أخدته في مبادئ الرياضيات فالنظرية

131
00:12:48,730 --> 00:12:54,590
هذه 24 تتحدث عن ال uncountability of the real

132
00:12:54,590 --> 00:12:59,560
numbersفبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة

133
00:12:59,560 --> 00:13:04,340
العداد الحقيقية is uncountable the set R of all

134
00:13:04,340 --> 00:13:09,460
real numbers is uncountable طيب

135
00:13:09,460 --> 00:13:15,460
ما معنى أن ال set تكون countable؟ في حد فيكم

136
00:13:15,460 --> 00:13:21,380
بتعرف؟ ال set A أو S definition

137
00:13:24,240 --> 00:13:31,920
definition تعريف S is countable if

138
00:13:31,920 --> 00:13:46,700
and only if كتوف المبادئ either اما S is finite or

139
00:13:46,700 --> 00:13:50,040
او

140
00:13:50,040 --> 00:13:58,450
S is denomableأو في بيجيكشن one to one

141
00:13:58,450 --> 00:14:03,850
correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني

142
00:14:03,850 --> 00:14:16,970
هذا معناه is denumerable قابلة للترقيم طيب

143
00:14:16,970 --> 00:14:23,330
إذا كانت ال set ماهياش

144
00:14:23,330 --> 00:14:29,090
finiteوماهياش in one to one correspondence with

145
00:14:29,090 --> 00:14:33,550
the natural numbers او ماهياش denumerable فبنسميها

146
00:14:33,550 --> 00:14:38,410
uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد

147
00:14:38,410 --> 00:14:44,750
uncountable غير قابلة للعد طيب

148
00:14:44,750 --> 00:14:52,150
ال

149
00:14:52,150 --> 00:14:52,390
..

150
00:14:55,180 --> 00:15:03,200
معروف في مبادئ رياضيات درسنا ان ال interval هذي و

151
00:15:03,200 --> 00:15:08,220
ال interval هذي كلا هما uncountable الفترة

152
00:15:08,220 --> 00:15:11,120
المفتوحة من سفر لواحد infinite set اول حاجة

153
00:15:11,120 --> 00:15:15,800
infinite set و

154
00:15:15,800 --> 00:15:18,900
طبعا ممكن تثبت انها uncountable

155
00:15:21,370 --> 00:15:26,370
و طبعا هذه الفترة المغلقة تحتوي ال six هذه الفترة

156
00:15:26,370 --> 00:15:29,110
المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه بتكون

157
00:15:29,110 --> 00:15:35,530
uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب

158
00:15:35,530 --> 00:15:42,010
المقرر textbook الكتاب المقرر

159
00:15:42,010 --> 00:15:47,110
طبعا

160
00:15:47,110 --> 00:15:50,410
طيب

161
00:15:57,430 --> 00:16:05,570
الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت ان ال set هذه ال R

162
00:16:05,570 --> 00:16:14,770
لاحظوا ان ال R is

163
00:16:14,770 --> 00:16:18,490
in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة او

164
00:16:18,490 --> 00:16:22,630
المغلقة حتى في

165
00:16:22,630 --> 00:16:28,250
byjection بينه وبين الفترةالمفتوحة المغلقة 01

166
00:16:28,250 --> 00:16:36,890
وبرضه المفتوحة الان لو أثبتنا ان الفترة هذه

167
00:16:36,890 --> 00:16:44,150
uncountable فهذه

168
00:16:44,150 --> 00:16:50,530
ال 6 in one to one correspondence معها فال 6 هذه R

169
00:16:50,530 --> 00:16:54,400
تطلع uncountableهذه نظرية موجودة في مبادئ

170
00:16:54,400 --> 00:16:58,080
الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين واثنتين

171
00:16:58,080 --> 00:17:02,860
equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا

172
00:17:02,860 --> 00:17:06,540
كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا

173
00:17:06,540 --> 00:17:10,380
كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا

174
00:17:10,380 --> 00:17:14,140
كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه

175
00:17:14,140 --> 00:17:19,440
infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في

176
00:17:19,440 --> 00:17:24,350
مبادئ الرياضياتإذا لو أثبتنا إن الفترة هادى

177
00:17:24,350 --> 00:17:31,010
uncountable فبطلع R uncountable طيب

178
00:17:31,010 --> 00:17:42,050
لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت إن الفترة هادى نثبت إن

179
00:17:42,050 --> 00:17:47,030
الفترة هادى uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان

180
00:17:47,030 --> 00:17:47,770
بالتناقض

181
00:17:57,100 --> 00:18:01,160
بنثبت ان الفترة المغلقة هذي uncountable نفرض

182
00:18:01,160 --> 00:18:04,940
المقيد

183
00:18:04,940 --> 00:18:08,780
ان الفترة هذي countable لاحظوا ان الفترة هذي

184
00:18:08,780 --> 00:18:14,500
infinite والان countable اذا بتطلع equipotent او

185
00:18:14,500 --> 00:18:17,640
in one to one correspondence with natural numbers

186
00:18:22,850 --> 00:18:26,550
الأن في الحالة هذه I in one to one correspondence

187
00:18:26,550 --> 00:18:31,570
within actual numbers أو بنسميها innumerable صح؟

188
00:18:33,280 --> 00:18:36,560
الان ال set I denominable يعني ممكن ترقيمها

189
00:18:36,560 --> 00:18:41,840
بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn-n عدد

190
00:18:41,840 --> 00:18:46,340
طبيعي اللي هي x1, x2, x3 الاخرى أي set denominable

191
00:18:46,340 --> 00:18:49,900
أو in one to one correspondence with natural

192
00:18:49,900 --> 00:18:55,140
numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural

193
00:18:55,140 --> 00:18:59,200
numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد

194
00:18:59,200 --> 00:18:59,800
الطبيعية

195
00:19:05,090 --> 00:19:08,350
لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن

196
00:19:08,350 --> 00:19:15,650
وفرضنا ال contrary هيو Assume ال contrary ان I is

197
00:19:15,650 --> 00:19:19,870
countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي

198
00:19:19,870 --> 00:19:26,890
الفترة I هي الفترة I هذه

199
00:19:26,890 --> 00:19:31,550
Iو في اندس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي

200
00:19:31,550 --> 00:19:37,390
مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ملا نهاية افرض ان اكس

201
00:19:37,390 --> 00:19:46,510
واحد موجود هان اول عنصر في الفترة موجود هان فممكن

202
00:19:46,510 --> 00:19:54,530
اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة

203
00:19:54,530 --> 00:20:03,260
مغلقةأسميها I1 بحيث ان ال X1 هذه لا تنتمي للفترة

204
00:20:03,260 --> 00:20:07,520
I1 وممكن

205
00:20:07,520 --> 00:20:13,100
اختار فترة مغلقة تانية طب افرضي ان X2 موجودة هنا

206
00:20:13,100 --> 00:20:19,680
العنصر التاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا او

207
00:20:19,680 --> 00:20:27,400
هنا او هنا فبقدر اختار فترة مغلقة تانيةنسميها I2

208
00:20:27,400 --> 00:20:36,120
اللي هي الفترة هذه بحيث ان X2 لا تنتمي ل I2 و

209
00:20:36,120 --> 00:20:42,400
الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض ان X3

210
00:20:42,400 --> 00:20:50,120
موجودة هنا او هنا او هنا او اي مكان تاني فبقدر

211
00:20:50,120 --> 00:20:58,310
اختار فترة مغلقة تسميها I3اللي هي الفترة هذه بحيث

212
00:20:58,310 --> 00:21:05,450
ان X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من

213
00:21:05,450 --> 00:21:12,490
الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على

214
00:21:12,490 --> 00:21:21,110
sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3

215
00:21:22,570 --> 00:21:27,550
و هكذا ممكن نستمر إلى ملا نهاية و كل الفترات هذول

216
00:21:27,550 --> 00:21:32,570
محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل الـ I و كل واحدة

217
00:21:32,570 --> 00:21:38,710
من الفترات هذه صممناها بحيث ان XN لا ينتمي إلى IN

218
00:21:38,710 --> 00:21:47,190
لكل N بساوي واحد اتنين إلى ملا نهاية صح؟ إذا لو

219
00:21:47,190 --> 00:21:53,130
استمرنا في العملية هذههنحصل على sequence of nested

220
00:21:53,130 --> 00:21:57,170
intervals و ال intervals هدولة كلهم closed و

221
00:21:57,170 --> 00:22:01,570
bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه

222
00:22:01,570 --> 00:22:07,190
محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال

223
00:22:07,190 --> 00:22:14,470
sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الان ممكن نطبق

224
00:22:14,470 --> 00:22:18,090
nested interval property theorem اللي هي theorem

225
00:22:20,050 --> 00:22:23,550
بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و

226
00:22:23,550 --> 00:22:29,030
كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I

227
00:22:29,030 --> 00:22:34,650
إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها

228
00:22:34,650 --> 00:22:43,030
ساي و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل

229
00:22:43,030 --> 00:22:47,390
الفترة I داخل الفترة I

230
00:22:53,490 --> 00:23:04,810
ماشي هنا اه

231
00:23:04,810 --> 00:23:07,630
ايش صار؟ هي فوق صار

232
00:23:12,680 --> 00:23:17,360
إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في

233
00:23:17,360 --> 00:23:22,080
تقاطة الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا

234
00:23:22,080 --> 00:23:29,540
تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه

235
00:23:29,540 --> 00:23:37,060
موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم

236
00:23:37,060 --> 00:23:43,850
كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل Nوالفترة

237
00:23:43,850 --> 00:23:52,690
I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N

238
00:23:52,690 --> 00:23:58,690
والان تحتوي ساي إذا ساي لا تساوي X N الكلام هذا

239
00:23:58,690 --> 00:24:04,430
صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس

240
00:24:04,430 --> 00:24:07,970
عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟

241
00:24:10,780 --> 00:24:19,120
الـ Psi قلنا هي تنتمي إلى I الـ Psi موجودة في I و

242
00:24:19,120 --> 00:24:27,620
الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا

243
00:24:27,620 --> 00:24:36,300
في اندي يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس

244
00:24:36,300 --> 00:24:42,430
الوجهة الفترة I هي كل عناصرهامُرقّمة بالعداد

245
00:24:42,430 --> 00:24:48,030
الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لنهائي و الأن في

246
00:24:48,030 --> 00:24:59,090
عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا

247
00:24:59,090 --> 00:25:04,510
بيدّي أن ال sequence أو ال set هذهis not a

248
00:25:04,510 --> 00:25:10,330
complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I

249
00:25:10,330 --> 00:25:15,750
وهذا تناقض يعني

250
00:25:15,750 --> 00:25:20,530
احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite

251
00:25:20,530 --> 00:25:26,830
اذا ممكن نرقم اذا denumerable يعني ممكن نرقم عن

252
00:25:26,830 --> 00:25:31,770
صرها كلها بالاعداد الطبيعي وبالتالي كل عن صرها X

253
00:25:33,730 --> 00:25:43,170
تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا ان في صي أنصر جديد

254
00:25:43,170 --> 00:25:49,310
في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست

255
00:25:49,310 --> 00:25:54,650
ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا

256
00:25:54,650 --> 00:25:59,950
تناقضلأن إحنا عندنا ال set I هذي countable و

257
00:25:59,950 --> 00:26:04,210
infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها

258
00:26:04,210 --> 00:26:11,230
فكيف طلع فيه أنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض

259
00:26:11,230 --> 00:26:18,140
إذن هذا التناقض بثبت أن فرضنا أن الفترة Iكانت

260
00:26:18,140 --> 00:26:22,140
countable كان فرض خاطر وبالتالي الفترة I تطلع

261
00:26:22,140 --> 00:26:27,520
uncountable اذا الان الفترة I uncountable وانا

262
00:26:27,520 --> 00:26:36,140
عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد

263
00:26:36,140 --> 00:26:40,860
bijection بينهم اذا ال R تطلع uncountable كما هو

264
00:26:40,860 --> 00:26:45,080
مطلوب اذا

265
00:26:45,080 --> 00:26:50,750
هذا هو برهانالنظرية اللي فادت هي طبعا برهان بيعتمد

266
00:26:50,750 --> 00:26:55,430
على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا

267
00:26:55,430 --> 00:26:58,510
برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ

268
00:26:58,510 --> 00:27:05,270
الرياضيات في برهان تاني برضه لنظرية هذه يعطى في

269
00:27:05,270 --> 00:27:10,710
مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal

270
00:27:10,710 --> 00:27:14,690
argument مشهور

271
00:27:14,690 --> 00:27:20,990
يعني البرهانيرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى

272
00:27:20,990 --> 00:27:24,750
Cantor دي اقنع ال argument بثبت ان الفترة المفتوحة

273
00:27:24,750 --> 00:27:29,330
من سفر لواحد is uncountable وبالتالي R is

274
00:27:29,330 --> 00:27:33,310
uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open

275
00:27:33,310 --> 00:27:37,670
interval من سفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية

276
00:27:37,670 --> 00:27:42,490
الأخيرة هذهالـ set هذه الـ R minus Q اللي هي الـ

277
00:27:42,490 --> 00:27:46,590
set of all irrationals أيضًا is uncountable

278
00:27:46,590 --> 00:27:50,690
والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ

279
00:27:50,690 --> 00:27:55,470
برهان by contradiction assume and contrary إن ال

280
00:27:55,470 --> 00:28:02,110
set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في

281
00:28:02,110 --> 00:28:07,640
المبادئ أخدنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وBوكل

282
00:28:07,640 --> 00:28:14,140
واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الان

283
00:28:14,140 --> 00:28:17,640
انا في عند Q countable معروف ان Q is countable

284
00:28:17,640 --> 00:28:24,160
والان احنا فرضين ان R-Q is countable اذا اتحاد

285
00:28:24,160 --> 00:28:28,420
المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا

286
00:28:28,420 --> 00:28:31,420
بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية

287
00:28:31,420 --> 00:28:36,240
السابقةOkay إذا في عندي contradiction إذا الفرض

288
00:28:36,240 --> 00:28:39,780
إنه الست هذي countable كان خاطئ إذا الصح إنه الست

289
00:28:39,780 --> 00:28:45,280
هذي اللي هي ال irrational number is is uncountable

290
00:28:45,280 --> 00:28:57,120
okay تمام إذا ال مع

291
00:28:57,120 --> 00:29:01,620
انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section اتنين

292
00:29:01,620 --> 00:29:08,660
خمسةو هاي التمرين المطلوب تهلوها مش عايز ابدأ

293
00:29:08,660 --> 00:29:14,020
section جديد عايز ان احنا نستغل الوقت المتبقى من

294
00:29:14,020 --> 00:29:19,160
المحاضرة في حل اسئلة discussion يعنيمناقشة فأي

295
00:29:19,160 --> 00:29:22,360
واحدة فيكم عندها مناقشة احنا انا عارف ان انتوا

296
00:29:22,360 --> 00:29:28,100
هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه اكيد

297
00:29:28,100 --> 00:29:32,040
يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في

298
00:29:32,040 --> 00:29:36,680
section اتنين تلاتة او اتنين اربعة او section

299
00:29:36,680 --> 00:29:41,160
اتنين اتنين او اتنين واحد فممكن نحاول نحلها في

300
00:29:41,160 --> 00:29:47,080
الوقت المتبقى من المحاضرةماشي الحال فإذا مين عندها

301
00:29:47,080 --> 00:29:53,540
أي سؤال في ال .. المحاضرات

302
00:29:53,540 --> 00:30:03,220
السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من

303
00:30:03,220 --> 00:30:08,540
لديها سؤال؟ في عندنا أسلة كتيرة في المحاضرات

304
00:30:08,540 --> 00:30:15,470
السابقة homework كتيرمين لديها سؤال؟ مين عندها

305
00:30:15,470 --> 00:30:23,170
سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا

306
00:30:23,170 --> 00:30:29,690
واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب

307
00:30:30,890 --> 00:30:35,570
طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية

308
00:30:35,570 --> 00:30:42,530
يعني لحد تلان أنتوا مش المادة مابتدرسهاش دراسة

309
00:30:42,530 --> 00:30:49,530
حقيقية و هذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني

310
00:30:49,530 --> 00:30:59,690
كما أجب و هذا دليل عليكم تحلوش مسألة فانا

311
00:30:59,690 --> 00:31:04,600
هسأل عنكمخليني أحللكم كام سؤال هاي section اتنين

312
00:31:04,600 --> 00:31:29,640
تلاتة هنا هاي

313
00:31:29,640 --> 00:31:31,000
مثلا سؤال أربعة

314
00:31:35,030 --> 00:31:43,690
هي السؤال أربعة سكشن اتنين تلاتة انا

315
00:31:43,690 --> 00:31:51,850
عندي set S أربعة بيساوي كل الأعداد واحد سالب سالب

316
00:31:51,850 --> 00:32:03,910
واحد رصد N على N حيث N عدد طبيعي والمطلوب

317
00:32:03,910 --> 00:32:04,490
find

318
00:32:07,290 --> 00:32:17,550
Find الـ Supremum أو الانفمم ل S4 و ايضا ال

319
00:32:17,550 --> 00:32:29,950
Supremum ل S4 طيب

320
00:32:29,950 --> 00:32:34,370
احنا أخدنا في مثال في ال section هذا

321
00:32:37,360 --> 00:32:39,940
خلنا نام هنا ولا لسه؟

322
00:33:14,820 --> 00:33:21,960
Solution اخدنا احنا مثال بيقول انه ال .. لو كان في

323
00:33:21,960 --> 00:33:25,320
.. في ال section اللي بعد و ممكن الحل باستخدام

324
00:33:25,320 --> 00:33:32,500
المثال رقم A يعني by example

325
00:33:42,050 --> 00:33:52,450
تنين اربع واحد الجزء A انا عندي ال supremum ل A

326
00:33:52,450 --> 00:33:58,990
زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R اثبتنا ان

327
00:33:58,990 --> 00:34:09,970
هذا بساوي A زاد supremum ال S فلو

328
00:34:09,970 --> 00:34:24,340
بدى احل الجزء Bف let S بساوي مجموعة ..

329
00:34:24,340 --> 00:34:29,740
let

330
00:34:29,740 --> 00:34:36,560
S بساوي مجموعة الأعداد سالب

331
00:34:36,560 --> 00:34:42,140
واحد أس N على N حيث N عدب طبيعي

332
00:34:48,030 --> 00:34:54,310
ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن سالب واحد ..

333
00:34:54,310 --> 00:35:05,610
سالب واحد و نص و سالب تلت و ربع و كده

334
00:35:17,860 --> 00:35:29,700
فممكن اثبات انه ال super mom تبع السيدتها دى

335
00:35:29,700 --> 00:35:33,820
أستاذ

336
00:35:33,820 --> 00:35:40,840
نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير سالب واحد

337
00:35:40,840 --> 00:35:45,980
plus one plus واحدعلى أنا ممكن اه ممكن ناخد سالب

338
00:35:45,980 --> 00:35:50,560
هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح

339
00:35:50,560 --> 00:35:56,620
برضه هذا ممكن فبصير عندى هنا واحد سالب اول أنصر

340
00:35:56,620 --> 00:36:03,960
واحد سالب نص فالصبر ممكن يكون واحد بعدين تلت سالب

341
00:36:03,960 --> 00:36:12,760
ربع و هكذافال supremum إذاً ال supremum ل S بساوي

342
00:36:12,760 --> 00:36:17,480
هاي اللي .. لاحظ ان الأكبر عدد في الست هذه هو

343
00:36:17,480 --> 00:36:23,840
الواحد واحد أكبر من أو ساوي كل الأعداد هذه وهو

344
00:36:23,840 --> 00:36:27,020
أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه

345
00:36:27,020 --> 00:36:32,400
هي أكبر من أو ساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound

346
00:36:32,400 --> 00:36:41,930
إذاً هذا بساوي واحدلأ س .. إيش بس يعني؟

347
00:36:41,930 --> 00:36:48,850
ما

348
00:36:48,850 --> 00:36:54,370
هو أصغر؟ طلع اتنين اتنين أستاذ ال super اتنين مش

349
00:36:54,370 --> 00:37:00,770
هي على حسب القاعدة نحن نحط اي واحد بيصير

350
00:37:00,770 --> 00:37:04,520
اتنين؟ لا لااحنا بنحكي عن ال 6 هذه اللي هانا مش

351
00:37:04,520 --> 00:37:11,020
اللي هناك هذه S و هذه S4 فبيختلفوا عن بعض ال 6 هذه

352
00:37:11,020 --> 00:37:15,760
هدا هي أنصرها فما

353
00:37:15,760 --> 00:37:21,700
هو بيناجيب lower bound او اكبر lower bound اكبر

354
00:37:21,700 --> 00:37:30,120
lower bound طب نلاحظ سالب نص اصغر من سالب ربع اصغر

355
00:37:30,120 --> 00:37:47,710
منبعد هيك سالب سادس اه فاعتقد

356
00:37:47,710 --> 00:37:52,010
ان هذا هيطلع سالب نص هذا اكبر lower bound

357
00:37:58,870 --> 00:38:04,470
طيب لو طبقنا المضارية هذه أنا أخدت S بساوي الكلام

358
00:38:04,470 --> 00:38:12,830
هذا و A بساوي واحد اذا

359
00:38:12,830 --> 00:38:24,470
ال supremum ل S أربعة بساوي A زائد ال supremum ل S

360
00:38:24,470 --> 00:38:34,260
صح؟و ال a بساوي واحد و ال suprem ل s بساوي واحد

361
00:38:34,260 --> 00:38:43,460
فبطلع ال suprem ل s أربعة بساوي اتنين تمام؟ الان

362
00:38:43,460 --> 00:38:53,660
بنجيب ال infimum ل s أربعة بنفس الطريقة ممكن

363
00:38:53,660 --> 00:38:54,340
اثبات

364
00:39:00,490 --> 00:39:10,070
إذا هنا similar

365
00:39:10,070 --> 00:39:17,590
example

366
00:39:17,590 --> 00:39:24,090
similar

367
00:39:24,090 --> 00:39:32,030
example اتنين اربعة واحد ايهممكن من خلاله نثبت ان

368
00:39:32,030 --> 00:39:38,330
الانفمام ان

369
00:39:38,330 --> 00:39:44,490
الانفمام لست a زياد s بيساوي a زياد الانفمام ل s

370
00:39:44,490 --> 00:39:49,310
وبالتالي

371
00:39:49,310 --> 00:39:53,390
ان

372
00:39:53,390 --> 00:40:00,480
انا لو بدي اجرب على جزء aف ال infimum ل S أربعة

373
00:40:00,480 --> 00:40:13,780
بيساوي ال infimum ل A زائد S اللي هو ال infimum ل

374
00:40:13,780 --> 00:40:22,630
واحد زائد S و هذا بيساوي واحد زائد infimum ل Sو

375
00:40:22,630 --> 00:40:28,770
هذا بيساوي واحد زائد in from ال S سالب نص فبطلع نص

376
00:40:28,770 --> 00:40:36,210
okay ان ال in from لست S أربعة بيطلع سالب بيطلع نص

377
00:40:36,210 --> 00:40:41,910
هذا حل حل تاني ان انا يعني احاول

378
00:40:47,360 --> 00:40:54,460
أه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرفتها و أحاول

379
00:40:54,460 --> 00:40:59,600
أشوف وين أصغر عنصر و وين أكبر عنصر و وين هيكون في

380
00:40:59,600 --> 00:41:04,640
عندي upper bounds و lower bounds و نحاول نثبت أنه

381
00:41:04,640 --> 00:41:12,060
ال .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الاسئلة

382
00:41:12,060 --> 00:41:20,320
بطريقة تانيةفهذا حلو يعني

383
00:41:20,320 --> 00:41:25,900
هذا ال set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما n

384
00:41:25,900 --> 00:41:33,680
بساوي واحد واحد سالب سالب

385
00:41:33,680 --> 00:41:44,350
سالب واحد يعني اتنين الانصر اللي بعدهواحد سالب نص

386
00:41:44,350 --> 00:41:56,450
بيطلع نص اللي بعده بيطلع واحد سالب سالب تلت يعني

387
00:41:56,450 --> 00:42:03,270
واحد تلت يعني جديش اربعة على تلاتة اللي بعده واحد

388
00:42:03,270 --> 00:42:07,210
موجب ربع بيطلع جديش

389
00:42:09,700 --> 00:42:17,520
خمس اربع و هكذا فهنلاحظ

390
00:42:17,520 --> 00:42:24,700
ان الاتنين اتنين upper bound لان هو هيكون اكبر

391
00:42:24,700 --> 00:42:31,100
عنصر و ينتبه للست لو في اي upper bound تاني لو في

392
00:42:31,100 --> 00:42:33,320
any upper bound

393
00:42:37,830 --> 00:42:45,630
of S4 فهذا بيقدي انه اتنين اصغر من او ساوي ال V

394
00:42:45,630 --> 00:42:50,890
لانه اتنين عنصر في الست S4 صح؟ اذا اتنين upper

395
00:42:50,890 --> 00:42:54,810
bound واضح انه اتنين اكبر من او ساوي كل عناصر S4

396
00:42:54,810 --> 00:43:04,320
صح؟ولو أخدت أي upper bound ل S4 فبما أن V هو upper

397
00:43:04,320 --> 00:43:09,200
bound ل S4 واتنين عنصر في S4 إذن اتنين أصغر من أو

398
00:43:09,200 --> 00:43:14,640
يساوي V إذن هنا أثبتنا أن اتنين upper bound ل S4

399
00:43:14,640 --> 00:43:19,500
واتنين أصغر من أو يساوي أي upper bound ل S4 إذن

400
00:43:19,500 --> 00:43:23,440
اتنين هو ال supreme بالمثل ممكن نثبت أن النص هو

401
00:43:23,440 --> 00:43:28,140
الانفع إذن هذا برهان تانيانا اتعمد تعطيكم البرهان

402
00:43:28,140 --> 00:43:32,260
هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا

403
00:43:32,260 --> 00:43:38,520
برهان صعيب ناجح الحل؟ okay؟

404
00:43:38,520 --> 00:43:42,080
في اي سؤال او استفسار؟ اذا احنا هنكتفي بهذا القدر