data/json/2024/math_28_calc.txt

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \geq 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^2}$이다. 
모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 2이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t), h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 
\[ 2g(t) + h(t) = k \quad (k \text{는 상수}) \]
를 만족시킨다. $\int_0^7 f(x) \, dx = e^4 - 1$일 때, $\frac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] $\frac{3}{2} e^5$
    \item[2] $\frac{4}{3} e^7$
    \item[3] $\frac{5}{4} e^9$
    \item[4] $\frac{6}{5} e^{11}$
    \item[5] $\frac{7}{6} e^{13}$
\end{itemize}