data/json/2022/math.json

{"id":1,"name":"1","problem":"1. $\\left(2^{\\sqrt{3}} \\times 4\\right)^{\\sqrt{3} - 2}$ 의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{4} \\item[2] \\frac{1}{2} \\item[3] 1 \\item[4] 2 \\item[5] 4 \\end{itemize}","answer":2,"score":2,"review":null}
{"id":2,"name":"2","problem":"2. 함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 + x - 1$ 에 대하여 $f'(1)$의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":3,"name":"3","problem":"3. 등차수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ a_2 = 6, \\quad a_4 + a_6 = 36 \\] 일 때, $a_{10}$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":4,"name":"4","problem":"4. 함수 $( y = f(x) )$가 다음과 같이 정의되어 있다.\n\n\\[\nf(x) =\n\\begin{cases}\n-x+2, & x < -1, \\\\\n2, & x = -1, \\\\\n(3*x+3)/2, & -1 < x < 1, \\\\\n1, & 1 \\leq x < 2, \\\\\n3, & x = 2, \\\\\n1, & x \\geq 2.\n\\end{cases}\n\\]\n\n\\[ \\lim_{x \\to -1-} f(x) + \\lim_{x \\to 2} f(x) \\text{의 값은? [3점]} \\]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem, so we paraphrased the figure into text."}
{"id":5,"name":"5","problem":"5. 첫째항이 1인 수열 $\\{a_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 \\[ a_{n+1} = \\begin{cases} 2a_n & (a_n < 7) \\\\ a_n - 7 & (a_n \\geq 7) \\end{cases} \\] 일 때, $\\sum_{k=1}^{8} a_k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":6,"name":"6","problem":"6. 방정식 $( 2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0 )$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 20 \\item[2] 23 \\item[3] 26 \\item[4] 29 \\item[5] 32 \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":7,"name":"7","problem":"7. $( \\pi < \\theta < \\frac{3}{2}\\pi )$인 $\\theta$에 대하여 $\\tan \\theta - \\frac{6}{\\tan \\theta} = 1$일 때, $ \\sin \\theta + \\cos \\theta $의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\item[2] -\\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[3] 0 \\item[4] \\frac{\\sqrt{10}}{5} \\item[5] \\frac{2\\sqrt{10}}{5} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":8,"name":"8","problem":"8. 곡선 $( y = x^2 - 5x )$와 직선 $( y = x )$로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $( x = k )$가 이등분할 때, 상수 $k$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 3 \\item[2] \\frac{13}{4} \\item[3] \\frac{7}{2} \\item[4] \\frac{15}{4} \\item[5] 4 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":9,"name":"9","problem":"9. 직선 $( y = 2x + k )$ 가 두 함수 \\[ y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+3} + 1, \\quad y = \\left( \\frac{2}{3} \\right)^{x+1} + \\frac{8}{3} \\] 의 그래프와 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 하자. $\\overline{\\mathrm{PQ}} = \\sqrt{5}$일 때, 상수 $k$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{31}{6} \\item[2] \\frac{16}{3} \\item[3] \\frac{11}{2} \\item[4] \\frac{17}{3} \\item[5] \\frac{35}{6} \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":10,"name":"10","problem":"10. 삼차함수 $( f(x) )$에 대하여 곡선 $( y = f(x) )$ 위의 점 $( 0, 0 )$에서의 접선과 곡선 $( y = x f(x) )$ 위의 점 $( 1, 2 )$에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] -18 \\item[2] -17 \\item[3] -16 \\item[4] -15 \\item[5] -14 \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":null}
{"id":11,"name":"11","problem":"11. 양수 $a$에 대하여 집합 $\\left\\{ x \\ \\middle| \\ -\\frac{a}{2} < x \\leq a, \\ x \\neq \\frac{a}{2} \\right\\}$ 에서 정의된 함수 \\[ f(x) = \\tan \\frac{\\pi x}{a} \\] 가 있다. 그림과 같이 함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 세 점 $( \\mathrm{O, A, B} )$를 지나는 직선이 있다. 점 $( \\mathrm{A} )$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y = f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $( \\mathrm{A} )$가 아닌 점을 $( \\mathrm{C} )$라 하자. 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$가 정삼각형일 때, 삼각형 $( \\mathrm{ABC} )$의 넓이는? (단, $( \\mathrm{O} )$는 원점이다.) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\item[2] \\frac{17\\sqrt{3}}{12} \\item[3] \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\item[4] \\frac{5\\sqrt{3}}{4} \\item[5] \\frac{7\\sqrt{3}}{6} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":12,"name":"12","problem":"12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ \\{f(x)\\}^3 - \\{f(x)\\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 \\] 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$의 최댓값이 1이고 최솟값이 0일 때, \\[ f\\left( -\\frac{4}{3} \\right) + f(0) + f\\left( \\frac{1}{2} \\right) \\] 의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] 1 \\item[3] \\frac{3}{2} \\item[4] 2 \\item[5] \\frac{5}{2} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
{"id":13,"name":"13","problem":"13. 두 상수 $( a, b \\ (1 < a < b) )$에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $(a, \\log_2 a), \\ (b, \\log_2 b)$를 지나는 직선의 $y$절편과 두 점 $(a, \\log_4 a), \\ (b, \\log_4 b)$를 지나는 직선의 $y$절편이 같다. 함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$에 대하여 $f(1) = 40$일 때, $f(2)$의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 760 \\item[2] 800 \\item[3] 840 \\item[4] 880 \\item[5] 920 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":14,"name":"14","problem":"14. 수직선 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a$, $b$에 대하여 \\[ x(t) = t(t - 1)(at + b) \\quad (a \\neq 0) \\] 이다. 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\\int_0^1 |v(t)| \\, dt = 2$를 만족시킬 때, 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[ㄱ.] $\\int_0^1 v(t) \\, dt = 0$ \\item[ㄴ.] $|x(t_1)| > 1$인 $t_1$이 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\item[ㄷ.] $0 \\leq t \\leq 1$인 모든 $t$에 대하여 $|x(t)| < 1$이면 $x(t_2) = 0$인 $t_2$가 열린구간 $(0, 1)$에 존재한다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] ㄱ \\item[2] ㄱ, ㄴ \\item[3] ㄱ, ㄷ \\item[4] ㄴ, ㄷ \\item[5] ㄱ, ㄴ, ㄷ \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":"<보기> changed to '아래 ㄱ,ㄴ,ㄷ, 중'."}
{"id":15,"name":"15","problem":"15. 두 점 $( \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $(\\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} )$인 두 원 $( C_1, C_2 )$가 있다. 그림과 같이 원 $( C_1 )$ 위의 서로 다른 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{B}, \\mathrm{C} )$와 원 $( C_2 )$ 위의 점 $( \\mathrm{D} )$가 주어져 있고, 세 점 $( \\mathrm{A}, \\mathrm{O}_1, \\mathrm{O}_2 )$와 세 점 $( \\mathrm{C}, \\mathrm{O}_2, \\mathrm{D} )$가 각각 한 직선 위에 있다.\n\n이때 $(\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_1\\mathrm{A} = \\theta_1)$, $(\\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{C} = \\theta_2)$, $(\\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\theta_3)$이라 하자.\n\n다음은 $( \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}} = 1 : 2\\sqrt{2} )$이고 $( \\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 )$일 때, 선분 $( \\mathrm{A}\\mathrm{B} )$와 선분 $( \\mathrm{C}\\mathrm{D} )$의 길이의 비를 구하는 과정이다.\n\n\\[ \\begin{aligned} &\\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1 + \\angle \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{D} = \\pi \\text{이므로 } \\theta_3 = \\frac{\\pi}{2} + \\frac{\\theta_2}{2} \\text{이고} \\\\ &\\theta_3 = \\theta_1 + \\theta_2 \\text{에서 } 2\\theta_1 + \\theta_2 = \\pi \\text{이므로 } \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 \\text{이다.} \\\\ &\\text{이때 } \\angle \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{B} = \\theta_1 + \\theta_2 = \\theta_3 \\text{이므로 삼각형 } \\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} \\text{와 삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{O}_1\\mathrm{D} \\text{는 합동이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} = k \\text{라 할 때} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{D}}= 2\\sqrt{2}k \\text{이므로 } \\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{O}_2} = \\text{(가)이고,} \\\\ &\\angle \\mathrm{B}\\mathrm{O}_2\\mathrm{A} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로 } \\cos \\frac{\\theta_1}{2} = \\text{(나) 이다.} \\\\ &\\text{삼각형 } \\mathrm{O}_2\\mathrm{B}\\mathrm{C} \\text{에서} \\\\ &\\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{C}} = k, \\overline{\\mathrm{B}\\mathrm{O}_2} = 2\\sqrt{2}k, \\angle \\mathrm{C}\\mathrm{O}_2\\mathrm{B} = \\frac{\\theta_1}{2} \\text{이므로} \\\\ &\\text{코사인법칙에 의하여 } \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\text{(다) 이다.} \\\\ &\\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{D}} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} = \\overline{\\mathrm{O}_1\\mathrm{O}_2} + \\overline{\\mathrm{O}_2\\mathrm{C}} \\text{이므로} \\\\ &\\overline{\\mathrm{A}\\mathrm{B}} : \\overline{\\mathrm{C}\\mathrm{D}} = k : \\left(\\frac{\\text{(가)}}{2} + \\text{(다)}\\right) \\text{이다.} \\end{aligned} \\]\n\n위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $( f(k), g(k) )$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $( p )$라 할 때, $( f(p) \\times g(p) )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{169}{27} \\item[2] \\frac{56}{9} \\item[3] \\frac{167}{27} \\item[4] \\frac{166}{27} \\item[5] \\frac{55}{9} \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":16,"name":"16","problem":"16. $\\log_2 120 - \\frac{1}{\\log_{15} 2}$ 의 값을 구하시오. [3점]","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":17,"name":"17","problem":"17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 3x^2 + 2x$이고 $f(0) = 2$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":18,"name":"18","problem":"18. 수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{k=1}^{10} a_k - \\sum_{k=1}^{7} \\frac{a_k}{2} = 56, \\quad \\sum_{k=1}^{10} 2a_k - \\sum_{k=1}^{8} a_k = 100 \\] 일 때, $a_8$의 값을 구하시오. [3점]","answer":12,"score":3,"review":null}
{"id":19,"name":"19","problem":"19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오. [3점]","answer":6,"score":3,"review":null}
{"id":20,"name":"20","problem":"20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $( f(x) )$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $f(x) = x$이다. \\item[(나)] 어떤 상수 $a, b$에 대하여 구간 $[0, \\infty)$에서 $f(x+1) - x f(x) = ax + b$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ 60 \\times \\int_1^2 f(x) \\, dx \\] 의 값을 구하시오. [4점]","answer":110,"score":4,"review":null}
{"id":21,"name":"21","problem":"21. 수열 $\\{a_n\\}$이 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $( |a_1| = 2 )$ \\item[(나)] 모든 자연수 $( n )$에 대하여 $( |a_{n+1}| = 2|a_n| )$이다. \\item[(다)] $\\sum_{n=1}^{10} a_n = -14$ \\end{itemize}\n\n$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$의 값을 구하시오. [4점]","answer":678,"score":4,"review":null}
{"id":22,"name":"22","problem":"22. 최고차항의 계수가 $\\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$이 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 모든 실수 $( a )$에 대하여 $( \\lim_{t \\to a+} g(t) + \\lim_{t \\to a-} g(t) \\leq 2 )$이다. \\item[(나)] $( g(f(1)) = g(f(4)) = 2, \\ g(f(0)) = 1 )$ \\end{itemize}\n\n$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]","answer":9,"score":4,"review":null}
{"id":23,"name":"23_prob","problem":"23. 다항식 $(x+2)^7$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 42 \\item[2] 56 \\item[3] 70 \\item[4] 84 \\item[5] 98 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":24,"name":"24_prob","problem":"24. 확률변수 $X$가 이항분포 $\\mathrm{B}\\left(n, \\frac{1}{3}\\right)$을 따르고 $\\mathrm{V}(2X) = 40$일 때, $n$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 35 \\item[3] 40 \\item[4] 45 \\item[5] 50 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":25,"name":"25_prob","problem":"25. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, \\ b, \\ c, \\ d, \\ e$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$의 개수는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $a + b + c + d + e = 12$ \\item[(나)] $\\left| a^2 - b^2 \\right| = 5$ \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 30 \\item[2] 32 \\item[3] 34 \\item[4] 36 \\item[5] 38 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":26,"name":"26_prob","problem":"26. $( 1 )$부터 $( 10 )$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $( 10 )$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $( 3 )$장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $( 4 )$ 이하이거나 $( 7 )$ 이상일 확률은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{4}{5} \\item[2] \\frac{5}{6} \\item[3] \\frac{13}{15} \\item[4] \\frac{9}{10} \\item[5] \\frac{14}{15} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":27,"name":"27_prob","problem":"27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 1회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 100대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_1}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 $a \\le m \\le b$이다.\n\n이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 400대를 임의추출하여 얻은 1회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\\overline{x_2}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 99\\%의 신뢰구간이 $c \\le m \\le d$이다.\n\n$\\overline{x_1} - \\overline{x_2} = 1.34$이고 $a = c$일 때, $b - a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 km이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $\\mathrm{P}(|Z| \\le 1.96) = 0.95$, $\\mathrm{P}(|Z| \\le 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5.88 \\item[2] 7.84 \\item[3] 9.80 \\item[4] 11.76 \\item[5] 13.72 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":28,"name":"28_prob","problem":"28. 두 집합 $X = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$, $Y = \\{1, 2, 3, 4\\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$에서 $Y$로의 함수 $f$의 개수는? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x) \\geq \\sqrt{x}$이다. \\item[(나)] 함수 $f$의 치역의 원소의 개수는 3이다. \\end{itemize}\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 128 \\item[2] 138 \\item[3] 148 \\item[4] 158 \\item[5] 168 \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":null}
{"id":29,"name":"29_prob","problem":"29. 두 연속확률변수 $( X )$와 $( Y )$가 갖는 값의 범위는 $( 0 \\leq X \\leq 6 )$, $( 0 \\leq Y \\leq 6 )$이고, $( X )$와 $( Y )$의 확률밀도함수는 각각 $( f(x), g(x) )$이다. 확률변수 $( X )$의 확률밀도함수 $( f(x) )$가 다음과 같이 정의되어 있다.\n\n\\[\nf(x) =\n\\begin{cases}\n0, & x < 0, \\\\\n\\frac{1}{12}x, & 0 \\leq x < 3, \\\\\n\\frac{1}{4}, & 3 \\leq x \\leq 5, \\\\\n\\frac{1}{4}(6-x), & 5 < x \\leq 6, \\\\\n0, & x > 6.\n\\end{cases}\n\\]\n\n\n\\[ 0 \\leq x \\leq 6\\ \\text{인 모든 } x \\text{에 대하여} \\]\n\\[ f(x) + g(x) = k \\quad (k \\text{는 상수}) \\]\n를 만족시킬 때, $( \\mathrm{P}(6k \\leq Y \\leq 15k) = \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $( p )$와 $( q )$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":31,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem, so we paraphrased the figure into text."}
{"id":30,"name":"30_prob","problem":"30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.\n\n\\[ \\begin{array}{|c|} \\hline \\text{주사위를 한 번 던져} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\\\ \\text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\\\ \\text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\\\ \\hline \\end{array} \\]\n\n위의 시행을 5번 반복할 때, $( n(1 \\leq n \\leq 5) )$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $( a_n )$, $( b_n )$이라 하자. $( a_5 + b_5 \\geq 7 )$일 때, $( a_k = b_k )$인 자연수 $( k(1 \\leq k \\leq 5) )$가 존재할 확률을 $( \\frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":191,"score":4,"review":null}
{"id":31,"name":"23_calc","problem":"23. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{5}{n} + \\frac{3}{n^2}}{\\frac{1}{n} - \\frac{2}{n^3}} \\text{의 값은? [2점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":32,"name":"24_calc","problem":"24. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 \\[ f(x^3 + x) = e^x \\] 을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] e \\item[2] \\frac{e}{2} \\item[3] \\frac{e}{3} \\item[4] \\frac{e}{4} \\item[5] \\frac{e}{5} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":33,"name":"25_calc","problem":"25. 등비수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \\quad \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n^2 = 6 \\] 일 때, $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":34,"name":"26_calc","problem":"26. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\sum_{k=1}^{n} \\frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2 n + n^3} \\text{의 값은?} \\quad [3 \\text{점}] \\] \\begin{itemize} \\item[1] \\ln 5 \\item[2] \\frac{\\ln 5}{2} \\item[3] \\frac{\\ln 5}{3} \\item[4] \\frac{\\ln 5}{4} \\item[5] \\frac{\\ln 5}{5} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":35,"name":"27_calc","problem":"27. 좌표평면 위를 움직이는 점 $\\mathrm{P}$의 시각 $t \\ (t>0)$에서의 위치가 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = t^2 x - \\frac{\\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 $\\mathrm{P}$가 움직인 거리는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{8} \\item[2] \\frac{e^4}{2} - \\frac{5}{16} \\item[3] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{4} \\item[4] \\frac{e^4}{2} - \\frac{3}{16} \\item[5] \\frac{e^4}{2} - \\frac{1}{8} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":36,"name":"28_calc","problem":"28. 함수 $( f(x) = 6\\pi (x - 1)^2 )$에 대하여 함수 $( g(x) )$를 \\[ g(x) = 3f(x) + 4\\cos f(x) \\] 라 하자. $( 0 < x < 2 )$에서 함수 $( g(x) )$가 극소가 되는 $( x )$의 개수는? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":37,"name":"29_calc","problem":"29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 $(\\mathrm{AB})$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $(\\mathrm{AB})$ 위에 두 점 $(\\mathrm{P})$, $(\\mathrm{Q})$를 $(\\angle \\mathrm{PAB} = \\theta)$, $(\\angle \\mathrm{QBA} = 2\\theta)$가 되도록 잡고, 두 선분 $(\\mathrm{AP})$, $(\\mathrm{BQ})$의 교점을 $(\\mathrm{R})$라 하자. 선분 $(\\mathrm{AB})$ 위의 점 $(\\mathrm{S})$, 선분 $(\\mathrm{BR})$ 위의 점 $(\\mathrm{T})$, 선분 $(\\mathrm{AR})$ 위의 점 $(\\mathrm{U})$를 선분 $(\\mathrm{UT})$가 선분 $(\\mathrm{AB})$에 평행하고 삼각형 $(\\mathrm{STU})$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $(\\mathrm{AR})$, $(\\mathrm{QR})$와 호 $(\\mathrm{AQ})$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $(f(\\theta))$, 삼각형 $(\\mathrm{STU})$의 넓이를 $(g(\\theta))$라 할 때,\n\\[ \\lim_{\\theta \\to 0+} \\frac{g(\\theta)}{\\theta \\times f(\\theta)} = \\frac{q}{p} \\sqrt{3} \\]\n이다. $(p + q)$의 값을 구하시오.\n\n(단, $(0 < \\theta < \\frac{\\pi}{6})$이고, $(p)$와 $(q)$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":11,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":38,"name":"30_calc","problem":"30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $f(1) = 1$, \\quad $\\int_{1}^{2} f(x) \\, dx = \\frac{5}{4}$ \\item[(나)] 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $x \\geq 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다. \\end{itemize}\n\n\\[ \\int_{1}^{8} x f'(x) \\, dx = \\frac{q}{p} \\text{일 때, } p+q \\text{의 값을 구하시오.} \\]\n(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":143,"score":4,"review":null}
{"id":39,"name":"23_geom","problem":"23. 좌표공간의 점 $\\mathrm{A}(2, 1, 3)$을 $xy$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{P}$라 하고, 점 $\\mathrm{A}$를 $yz$ 평면에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{Q}$라 할 때, 선분 $\\mathrm{PQ}$의 길이는? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 5 \\sqrt{2} \\item[2] 2 \\sqrt{13} \\item[3] 3 \\sqrt{6} \\item[4] 2 \\sqrt{14} \\item[5] 2 \\sqrt{15} \\end{itemize}","answer":2,"score":2,"review":null}
{"id":40,"name":"24_geom","problem":"24. 한 초점의 좌표가 $\\left( 3\\sqrt{2}, 0 \\right)$ 인 쌍곡선 $\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{6} = 1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 3\\sqrt{3} \\item[2] \\frac{7\\sqrt{3}}{2} \\item[3] 4\\sqrt{3} \\item[4] \\frac{9\\sqrt{3}}{2} \\item[5] 5\\sqrt{3} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":41,"name":"25_geom","problem":"25. 좌표평면에서 두 직선 \\[ \\frac{x+1}{2} = y - 3, \\quad x - 2 = \\frac{y - 5}{3} \\] 가 이루는 예각의 크기를 $\\theta$라 할 때, $\\cos \\theta$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{2} \\item[2] \\frac{\\sqrt{5}}{4} \\item[3] \\frac{\\sqrt{6}}{4} \\item[4] \\frac{\\sqrt{7}}{4} \\item[5] \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":42,"name":"26_geom","problem":"26. 두 초점이 $( \\mathrm{F}, \\mathrm{F'} )$인 타원 $\\frac{x^2}{64} + \\frac{y^2}{16} = 1$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $( \\mathrm{A} )$가 있다. 두 직선 $( \\mathrm{AF}, \\mathrm{AF'} )$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $( C )$라 하자. 원 $( C )$의 중심을 $( \\mathrm{B} )$라 할 때 사각형 $( \\mathrm{AFBF'} )$의 넓이가 72이다. 원 $( C )$의 반지름의 길이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{17}{2} \\item[2] 9 \\item[3] \\frac{19}{2} \\item[4] 10 \\item[5] \\frac{21}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":43,"name":"27_geom","problem":"27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 $\\mathrm{ABCD - EFGH}$ 가 있다. 선분 $\\mathrm{AD}$ 의 중점을 $\\mathrm{M}$이라 할 때, 삼각형 $\\mathrm{MEG}$ 의 넓이는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{21}{2} \\item[2] 11 \\item[3] \\frac{23}{2} \\item[4] 12 \\item[5] \\frac{25}{2} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":44,"name":"28_geom","problem":"28. 두 양수 $( a )$, $( p )$에 대하여 포물선 $( (y - a)^2 = 4px )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_1 )$이라 하고, 포물선 $( y^2 = -4x )$의 초점을 $( \\mathrm{F}_2 )$라 하자. 선분 $( \\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2 )$가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $( \\mathrm{P} )$, $( \\mathrm{Q} )$라 할 때, $( \\overline{\\mathrm{F}_1 \\mathrm{F}_2} = 3 )$, $( \\overline{\\mathrm{P}\\mathrm{Q}} = 1 )$이다. $( a^2 + p^2 )$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] \\frac{25}{4} \\item[3] \\frac{13}{2} \\item[4] \\frac{27}{4} \\item[5] 7 \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":45,"name":"29_geom","problem":"29. 좌표평면에서 $\\overline{\\mathrm{OA}} = \\sqrt{2}$, $\\overline{\\mathrm{OB}} = 2\\sqrt{2}$이고\n\\[ \\cos(\\angle \\mathrm{AOB}) = \\frac{1}{4} \\]\n인 평행사변형 $\\mathrm{OACB}$에 대하여 점 $\\mathrm{P}$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} = s \\overrightarrow{\\mathrm{OA}} + t \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} \\quad (0 \\leq s \\leq 1, \\ 0 \\leq t \\leq 1)$ \\item[(나)] $\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{OB}} + \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BC}} = 2$ \\end{itemize}\n\n점 $\\mathrm{O}$를 중심으로 하고 점 $\\mathrm{A}$를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{X}$에 대하여 $|3\\overrightarrow{\\mathrm{OP}} - \\overrightarrow{\\mathrm{OX}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M \\times m = a\\sqrt{6} + b$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]","answer":100,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":46,"name":"30_geom","problem":"30. 좌표공간에 중심이 $\\mathrm{C}(2, \\sqrt{5}, 5)$이고 점 $\\mathrm{P}(0, 0, 1)$을 지나는 구 \\[ S: (x - 2)^2 + (y - \\sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25 \\] 가 있다. 구 $S$가 평면 $\\mathrm{OPC}$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\\mathrm{Q}$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\\mathrm{R}$에 대하여 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$이라 하자.\n\n삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\\mathrm{Q}, \\mathrm{R}$에 대하여 삼각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1\\mathrm{R}_1$의 평면 $\\mathrm{PQR}$ 위로의 정사영의 넓이는 $\\frac{q}{p} \\sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.\n\n(단, $\\mathrm{O}$는 원점이고 세 점 $\\mathrm{O}, \\mathrm{Q}_1, \\mathrm{R}_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":23,"score":4,"review":"Removed figure."}