data/json/2022/math_29_calc.txt

29. 그림과 같이 길이가 2인 선분 \(\mathrm{AB}\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(\mathrm{AB}\) 위에 두 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)를 \(\angle \mathrm{PAB} = \theta\), \(\angle \mathrm{QBA} = 2\theta\)가 되도록 잡고, 두 선분 \(\mathrm{AP}\), \(\mathrm{BQ}\)의 교점을 \(\mathrm{R}\)라 하자. 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 점 \(\mathrm{S}\), 선분 \(\mathrm{BR}\) 위의 점 \(\mathrm{T}\), 선분 \(\mathrm{AR}\) 위의 점 \(\mathrm{U}\)를 선분 \(\mathrm{UT}\)가 선분 \(\mathrm{AB}\)에 평행하고 삼각형 \(\mathrm{STU}\)가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 \(\mathrm{AR}\), \(\mathrm{QR}\)와 호 \(\mathrm{AQ}\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(f(\theta)\), 삼각형 \(\mathrm{STU}\)의 넓이를 \(g(\theta)\)라 할 때,
\[
\lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)} = \frac{q}{p} \sqrt{3}
\]
이다. \(p + q\)의 값을 구하시오.

(단, \(0 < \theta < \frac{\pi}{6}\)이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]