data/json/2022/math_29_prob.txt

29. 두 연속확률변수 $( X )$와 $( Y )$가 갖는 값의 범위는 $( 0 \leq X \leq 6 )$, $( 0 \leq Y \leq 6 )$이고, $( X )$와 $( Y )$의 확률밀도함수는 각각 $( f(x), g(x) )$이다. 확률변수 $( X )$의 확률밀도함수 $( f(x) )$가 다음과 같이 정의되어 있다.

\[
f(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0, \\
\frac{1}{12}x, & 0 \leq x < 3, \\
\frac{1}{4}, & 3 \leq x \leq 5, \\
\frac{1}{4}(6-x), & 5 < x \leq 6, \\
0, & x > 6.
\end{cases}
\]


\[ 0 \leq x \leq 6\ \text{인 모든 } x \text{에 대하여} \]
\[ f(x) + g(x) = k \quad (k \text{는 상수}) \]
를 만족시킬 때, $( \mathrm{P}(6k \leq Y \leq 15k) = \frac{q}{p} )$이다. $( p + q )$의 값을 구하시오. (단, $( p )$와 $( q )$는 서로소인 자연수이다.) [4점]