data/json/2022/math_30_prob.txt

30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{주사위를 한 번 던져} \\
\text{나온 눈의 수가 5 이상이면} \\
\text{바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,} \\
\text{나온 눈의 수가 4 이하이면} \\
\text{바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.} \\
\hline
\end{array}
\]

위의 시행을 5번 반복할 때, \( n(1 \leq n \leq 5) \)번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 \( a_n \), \( b_n \)이라 하자. \( a_5 + b_5 \geq 7 \)일 때, \( a_k = b_k \)인 자연수 \( k(1 \leq k \leq 5) \)가 존재할 확률을 \( \frac{q}{p} \)이다. \( p + q \)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]