data/json/2023/math.json

{"id":1,"name":"1","problem":"1. $\\left( \\frac{4}{2^{\\sqrt{2}}} \\right)^{2 + \\sqrt{2}}$ 의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] $\\frac{1}{4}$ \\item[2] $\\frac{1}{2}$ \\item[3] $1$ \\item[4] $2$ \\item[5] $4$ \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":2,"name":"2","problem":"2. $\\lim_{x \\to \\infty} \\frac{\\sqrt{x^2 - 2} + 3x}{x + 5}$ 의 값은? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":3,"name":"3","problem":"3. 공비가 양수인 등비수열$\\{a_n\\}$이 \\[ a_2 + a_4 = 30, \\quad a_4 + a_6 = \\frac{15}{2} \\] 를 만족시킬 때, $a_1$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 48 \\item[2] 56 \\item[3] 64 \\item[4] 72 \\item[5] 80 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":4,"name":"4","problem":"4. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$ 를 \\[ g(x) = x^2 f(x) \\] 라 하자. $f(2) = 1, \\ f'(2) = 3$ 일 때, $g'(2)$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 12 \\item[2] 14 \\item[3] 16 \\item[4] 18 \\item[5] 20 \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":5,"name":"5","problem":"5. $\\tan \\theta < 0$이고 $\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2} + \\theta\\right) = \\frac{\\sqrt{5}}{5}$일 때, $\\cos \\theta$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{2\\sqrt{5}}{5} \\item[2] -\\frac{\\sqrt{5}}{5} \\item[3] 0 \\item[4] \\frac{\\sqrt{5}}{5} \\item[5] \\frac{2\\sqrt{5}}{5} \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":6,"name":"6","problem":"6. 함수 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + ax + 5$ 는 $x=1$ 에서 극대이고, $x=b$ 에서 극소이다. $a + b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 12 \\item[2] 14 \\item[3] 16 \\item[4] 18 \\item[5] 20 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":7,"name":"7","problem":"7. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\\{a_n\\}$이 \\[ \\sum_{k=1}^{15} \\frac{1}{\\sqrt{a_k} + \\sqrt{a_{k+1}}} = 2 \\] 를 만족시킬 때, $a_4$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":8,"name":"8","problem":"8. 점 $(0, 4)$에서 곡선 $y = x^3 - x + 2$에 그은 접선의 $x$절편은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{1}{2} \\item[2] -1 \\item[3] -\\frac{3}{2} \\item[4] -2 \\item[5] -\\frac{5}{2} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":9,"name":"9","problem":"9. 함수 \\[ f(x) = a - \\sqrt{3} \\tan 2x \\] 가 닫힌구간 \\left[ -\\frac{\\pi}{6}, b \\right] 에서 최댓값 7, 최솟값 3을 가질 때, $a \\times b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{\\pi}{2} \\item[2] \\frac{5\\pi}{12} \\item[3] \\frac{\\pi}{3} \\item[4] \\frac{\\pi}{4} \\item[5] \\frac{\\pi}{6} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":10,"name":"10","problem":"10. 두 곡선 $y = x^3 + x^2$, $y = -x^2 + k$와 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y = x^3 + x^2$, $y = -x^2 + k$와 직선 $x = 2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $A = B$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $4 < k < 5$) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{25}{6} \\item[2] \\frac{13}{3} \\item[3] \\frac{9}{2} \\item[4] \\frac{14}{3} \\item[5] \\frac{29}{6} \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":null}
{"id":11,"name":"11","problem":"11. 사각형 $\\mathrm{ABCD}$가 한 원에 내접하고 \\[ \\overline{\\mathrm{AB}} = 5, \\quad \\overline{\\mathrm{AC}} = 3\\sqrt{5}, \\quad \\overline{\\mathrm{AD}} = 7, \\quad \\angle \\mathrm{BAC} = \\angle \\mathrm{CAD} \\] 일 때, 이 원의 반지름의 길이는? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{5\\sqrt{2}}{2} \\item[2] \\frac{8\\sqrt{5}}{5} \\item[3] \\frac{5\\sqrt{5}}{3} \\item[4] \\frac{8\\sqrt{2}}{3} \\item[5] \\frac{9\\sqrt{3}}{4} \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":12,"name":"12","problem":"12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. \\[ n-1 \\leq x < n \\text{일 때}, \\ |f(x)| = |6(x-n+1)(x-n)| \\text{이다.} \\ (\\text{단}, \\ n \\text{은 자연수이다.}) \\] 열린구간 $(0, 4)$에서 정의된 함수 \\[ g(x) = \\int_0^x f(t) \\, dt - \\int_x^4 f(t) \\, dt \\] 가 $x = 2$에서 최솟값 0을 가질 때, $\\int_{\\frac{1}{2}}^{4} f(x) \\, dx$ 의 값은? [4점] \\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{3}{2} \\item[2] -\\frac{1}{2} \\item[3] \\frac{1}{2} \\item[4] \\frac{3}{2} \\item[5] \\frac{5}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":13,"name":"13","problem":"13. 자연수 $m(m \\geq 2)$에 대하여 $m^{12}$의 $n$제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 2 이상의 자연수 $n$의 개수를 $f(m)$이라 할 때, \\[ \\sum_{m=2}^{9} f(m) \\ \\text{의 값은? [4점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 37 \\item[2] 42 \\item[3] 47 \\item[4] 52 \\item[5] 57 \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
{"id":14,"name":"14","problem":"14. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다. \\[ g(x) = \\begin{cases} x & (x < -1 \\text{ 또는 } x > 1) \\\\ f(x) & (-1 \\leq x \\leq 1) \\end{cases} \\] 함수 $h(x) = \\lim_{t \\to 0+} g(x+t) \\times \\lim_{t \\to 2+} g(x+t)$ 에 대하여 아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] \\begin{itemize} \\item[ㄱ.] $h(1) = 3$ \\item[ㄴ.] 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. \\item[ㄷ.] 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 감소하고 $g(-1) = -2$이면 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다. \\end{itemize} \\begin{itemize} \\item[1] ㄱ \\item[2] ㄴ \\item[3] ㄱ, ㄴ \\item[4] ㄱ, ㄷ \\item[5] ㄴ, ㄷ \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":"<보기> changed to '아래 ㄱ, ㄴ, ㄷ 중'."}
{"id":15,"name":"15","problem":"15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 $a_9$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $M + m$의 값은? [4점] \\\\ (가) $a_7 = 40$ \\\\ (나) 모든 자연수 $n$에 대하여 \\[ a_{n+2} = \\begin{cases} a_{n+1} + a_n & (a_{n+1}\\text{이 3의 배수가 아닌 경우}) \\\\ \\frac{1}{3} a_{n+1} & (a_{n+1}\\text{이 3의 배수인 경우}) \\end{cases} \\] 이다. \\begin{itemize} \\item[1] 216 \\item[2] 218 \\item[3] 220 \\item[4] 222 \\item[5] 224 \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":null}
{"id":16,"name":"16","problem":"16. 방정식 \\[ \\log_2 (3x + 2) = 2 + \\log_2 (x - 2) \\] 를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]","answer":10,"score":3,"review":null}
{"id":17,"name":"17","problem":"17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x) = 4x^3 - 2x$이고 $f(0) = 3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]","answer":15,"score":3,"review":null}
{"id":18,"name":"18","problem":"18. 두 수열 $\\{a_n\\}$, $\\{b_n\\}$에 대하여 \\[ \\sum_{k=1}^{5} (3a_k + 5) = 55, \\quad \\sum_{k=1}^{5} (a_k + b_k) = 32 \\] 일 때, $\\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값을 구하시오. [3점]","answer":22,"score":3,"review":null}
{"id":19,"name":"19","problem":"19. 방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 2가 되도록 하는 정수 $k$ 의 개수를 구하시오. [3점]","answer":7,"score":3,"review":null}
{"id":20,"name":"20","problem":"20. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t \\geq 0)$에서의 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$가 다음 조건을 만족시킨다. \\[ \\text{(가)} \\ 0 \\leq t \\leq 2 \\ \\text{일 때}, \\ v(t) = 2t^3 - 8t \\text{이다.} \\] \\[ \\text{(나)} \\ t \\geq 2 \\ \\text{일 때}, \\ a(t) = 6t + 4 \\text{이다.} \\] 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [4점]","answer":17,"score":4,"review":null}
{"id":21,"name":"21","problem":"21. 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$를 \\[ f(x) = \\begin{cases} | 3^{x + 2} - n | & (x < 0) \\\\ | \\log_2(x + 4) - n | & (x \\geq 0) \\end{cases} \\] 이라 하자. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$의 최댓값이 4가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]","answer":33,"score":4,"review":null}
{"id":22,"name":"22","problem":"22. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오. [4점] \\\\ (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(1) + (x-1)f'(g(x))$이다. \\\\ (나) 함수 $g(x)$의 최솟값은 $\\frac{5}{2}$이다. \\\\ (다) $f(0) = -3,\\ f(g(1)) = 6$","answer":13,"score":4,"review":null}
{"id":23,"name":"23_prob","problem":"23. \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\frac{5}{n} + \\frac{3}{n^2}}{\\frac{1}{n} - \\frac{2}{n^3}} \\text{의 값은? [2점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":3,"score":2,"review":null}
{"id":24,"name":"24_prob","problem":"24. 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 4000 이상인 홀수의 개수는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 125 \\item[2] 150 \\item[3] 175 \\item[4] 200 \\item[5] 225 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":25,"name":"25_prob","problem":"25. 흰색 마스크 5개, 검은색 마스크 9개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{8}{13} \\item[2] \\frac{17}{26} \\item[3] \\frac{9}{13} \\item[4] \\frac{19}{26} \\item[5] \\frac{10}{13} \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":26,"name":"26_prob","problem":"26. 주머니에 1이 적힌 흰 공 1개, 2가 적힌 흰 공 1개, 1이 적힌 검은 공 1개, 2가 적힌 검은 공 3개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 3개의 공 중에서 흰 공이 1개이고 검은 공이 2개인 사건을 $A$, 꺼낸 3개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 8인 사건을 $B$라 할 때, $\\mathrm{P}(A \\cup B)$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{11}{20} \\item[2] \\frac{3}{5} \\item[3] \\frac{13}{20} \\item[4] \\frac{7}{10} \\item[5] \\frac{3}{4} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":27,"name":"27_prob","problem":"27. 어느 회사에서 생산하는 샴푸 1개의 용량은 정규분포 $N(m, \\sigma^2)$을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 16개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 $746.1 \\leq m \\leq 755.9$이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$에 대한 신뢰도 99\\%의 신뢰구간이 $a \\leq m \\leq b$일 때, $b - a$의 값이 6 이하가 되기 위한 자연수 $n$의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 mL이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\\mathrm{P}(|Z| \\leq 1.96) = 0.95$, $\\mathrm{P}(|Z| \\leq 2.58) = 0.99$로 계산한다.) [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 70 \\item[2] 74 \\item[3] 78 \\item[4] 82 \\item[5] 86 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":28,"name":"28_prob","problem":"28. 연속확률변수 $X$가 갖는 값의 범위는 $0 \\leq X \\leq a$이고, $X$의 확률밀도함수 f(x)가 다음과 같이 정의되어 있다.\n\n\\[\nf(x) =\n\\begin{cases}\n0, & x < 0, \\\\\n\\frac{c}{b}x, & 0 \\leq x < b, \\\\\nc\\frac{(a-x)}{a-b}, & \\leq x < a, \\\\\n0, & a < x\n\\end{cases}\n\\]\n(단, $a>b$ 이다.)\n\n $\\mathrm{P}(X \\leq b) - \\mathrm{P}(X \\geq b) = \\frac{1}{4}, \\mathrm{P}(X \\leq \\sqrt{5}) = \\frac{1}{2}$ 일 때, $a + b + c$의 값은? (단, $a, b, c$는 상수이다.) [4점] \\begin{itemize} \\item[1] $\\frac{11}{2}$ \\item[2] $6$ \\item[3] $\\frac{13}{2}$ \\item[4] $7$ \\item[5] $\\frac{15}{2}$ \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure. The figure is needed to solve the problem, so we paraphrased the figure into text."}
{"id":29,"name":"29_prob","problem":"29. 앞면에는 1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 있다. 이 6장의 카드가 6 이하의 자연수 $k$에 대하여 $k$번째 자리에 자연수 $k$가 보이도록 놓여 있다. 이 6장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. \\[ \\text{주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 } k \\text{이면 } k\\text{번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.} \\] 위의 시행을 3번 반복한 후 6장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 1의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":49,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":30,"name":"30_prob","problem":"30. 집합 $X=\\{x \\mid x\\text{는} \\ 10 \\ \\text{이하의 자연수}\\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \\to X$의 개수를 구하시오. [4점] \\begin{itemize} \\item[(가)] 9 이하의 모든 자연수 $x$에 대하여 $f(x) \\leq f(x+1)$이다. \\item[(나)] $1 \\leq x \\leq 5$일 때 $f(x) \\leq x$이고, 6 $\\leq x \\leq 10$일 때 $f(x) \\geq x$이다. \\item[(다)] $f(6) = f(5) + 6$ \\end{itemize}","answer":100,"score":4,"review":null}
{"id":31,"name":"23_calc","problem":"23. \\[ \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(x+1)}{\\sqrt{x+4} - 2} \\text{ 의 값은? [2점]} \\] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":32,"name":"24_calc","problem":"24. $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} \\sum_{k=1}^{n} \\sqrt{1 + \\frac{3k}{n}}$ 의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{4}{3} \\item[2] \\frac{13}{9} \\item[3] \\frac{14}{9} \\item[4] \\frac{5}{3} \\item[5] \\frac{16}{9} \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":33,"name":"25_calc","problem":"25. 등비수열 $\\{a_n\\}$에 대하여 \\[ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{n}+1}{3^n + 2^{2n-1}} = 3 \\] 일 때, $a_2$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 16 \\item[2] 18 \\item[3] 20 \\item[4] 22 \\item[5] 24 \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":34,"name":"26_calc","problem":"26. 곡선 $y = \\sqrt{\\sec^2 x + \\tan x} \\left( 0 \\leq x \\leq \\frac{\\pi}{3} \\right)$와 $x$축, $y$축 및 직선 $x = \\frac{\\pi}{3}$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{\\ln 2}{2} \\item[2] \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\ln 2 \\item[3] \\sqrt{3} + \\frac{\\ln 2}{2} \\item[4] \\sqrt{3} + \\ln 2 \\item[5] \\sqrt{3} + 2 \\ln 2 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":35,"name":"27_calc","problem":"27. 중심이 $\\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 1이고, 중심각의 크기가 $\\frac{\\pi}{2}$인 부채꼴 $\\mathrm{O}\\mathrm{A}_1\\mathrm{B}_1$이 있다. 호 $\\mathrm{A}_1\\mathrm{B}_1$ 위에 점 $\\mathrm{P}_1$, 선분 $\\mathrm{O}\\mathrm{A}_1$ 위에 점 $\\mathrm{C}_1$, 선분 $\\mathrm{O}\\mathrm{B}_1$ 위에 점 $\\mathrm{D}_1$을 사각형 $\\mathrm{O}\\mathrm{C}_1\\mathrm{P}_1\\mathrm{D}_1$이 $\\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{C}_1}:\\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{D}_1}=3:4$인 직사각형이 되도록 잡는다.\n\n부채꼴 $\\mathrm{O}\\mathrm{A}_1\\mathrm{B}_1$의 내부에 점 $\\mathrm{Q}_1$을 $\\overline{\\mathrm{P}_1\\mathrm{Q}_1} = \\overline{\\mathrm{A}_1\\mathrm{Q}_1}$, $\\angle \\mathrm{P}_1\\mathrm{Q}_1\\mathrm{A}_1 = \\frac{\\pi}{2}$가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\\mathrm{P}_1\\mathrm{Q}_1\\mathrm{A}_1$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 선분 $\\mathrm{O}\\mathrm{A}_1$ 위의 점 $\\mathrm{A}_2$와 선분 $\\mathrm{O}\\mathrm{B}_1$ 위의 점 $\\mathrm{B}_2$를 $\\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1} = \\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{A}_2} = \\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{B}_2}$가 되도록 잡고, 중심이 $\\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $\\overline{\\mathrm{O}\\mathrm{Q}_1}$, 중심각의 크기가 $\\frac{\\pi}{2}$인 부채꼴 $\\mathrm{O}\\mathrm{A}_2\\mathrm{B}_2$를 그린다.\n\n그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $\\mathrm{P}_2, \\mathrm{C}_2, \\mathrm{D}_2, \\mathrm{Q}_2$를 잡고, 이등변삼각형 $\\mathrm{P}_2\\mathrm{Q}_2\\mathrm{A}_2$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, \\[ \\lim_{n \\to \\infty} S_n \\text{의 값은? [3점]} \\]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{9}{40} \\item[2] \\frac{1}{4} \\item[3] \\frac{11}{40} \\item[4] \\frac{3}{10} \\item[5] \\frac{13}{40} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":36,"name":"28_calc","problem":"28. 중심이 $(\\mathrm{O})$이고 길이가 2인 선분 $(\\mathrm{AB})$를 지름으로 하는 반원 위에 $(\\angle \\mathrm{AOC} = \\frac{\\pi}{2})$인 점 $(\\mathrm{C})$가 있다. 호 $(\\mathrm{BC})$ 위에 점 $(\\mathrm{P})$와 호 $(\\mathrm{CA})$ 위에 점 $(\\mathrm{Q})$를 $(\\overline{\\mathrm{PB}} = \\overline{\\mathrm{QC}})$가 되도록 잡고, 선분 $(\\mathrm{AP})$ 위에 점 $(\\mathrm{R})$를 $(\\angle \\mathrm{CQR} = \\frac{\\pi}{2})$가 되도록 잡는다. 선분 $(\\mathrm{AP})$와 선분 $(\\mathrm{CO})$의 교점을 $(\\mathrm{S})$라 하자. $(\\angle \\mathrm{PAB} = \\theta)$일 때, 삼각형 $(\\mathrm{POB})$의 넓이를 $(f(\\theta))$, 사각형 $(\\mathrm{CQRS})$의 넓이를 $(g(\\theta))$라 하자.\n\n\\[ \\lim_{\\theta \\to 0+} \\frac{3f(\\theta) - 2g(\\theta)}{\\theta^2} \\] 의 값은? (단, $0 < \\theta < \\frac{\\pi}{4}$) [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":37,"name":"29_calc","problem":"29. 세 상수 $(a)$, $(b)$, $(c)$에 대하여 함수 $f(x) = ae^{2x} + be^x + c$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\[ \\begin{aligned} &\\text{(가)} \\quad \\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{f(x) + 6}{e^x} = 1 \\\\ &\\text{(나)} \\quad f(\\ln 2) = 0 \\end{aligned} \\]\n\n함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때,\n\n\\[ \\int_0^{14} g(x) \\ dx = p + q \\ln 2 \\ \\text{이다}. \\ p+q \\ \\text{의 값을 구하시오.} \\]\n\n$(\\text{단, } p, q \\text{는 유리수이고, } \\ln 2 \\text{는 무리수이다.)}$ [4점]","answer":26,"score":4,"review":null}
{"id":38,"name":"30_calc","problem":"30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x) = e^{\\sin{\\pi x}} - 1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x) = g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] 함수 $( h(x) )$는 $( x = 0 )$에서 극댓값 $0$을 갖는다. \\item[(나)] 열린구간 $( 0,3 )$에서 방정식 $( h(x) = 1 )$의 서로 다른 실근의 개수는 7이다. \\end{itemize}\n\n$f(3) = \\frac{1}{2}, \\ f'(3) = 0$일 때, $f(2) = \\frac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]","answer":31,"score":4,"review":null}
{"id":39,"name":"23_geom","problem":"23. 좌표공간의 점 $\\mathrm{A}(2, 2, -1)$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\\mathrm{B}$라 하자. 점 $\\mathrm{C}(-2, 1, 1)$에 대하여 선분 $\\mathrm{BC}$의 길이는? [2점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":5,"score":2,"review":null}
{"id":40,"name":"24_geom","problem":"24. 초점이 $\\mathrm{F}\\left( \\frac{1}{3}, 0 \\right)$이고 준선이 $x = -\\frac{1}{3}$인 포물선이 점 $(a, 2)$를 지날 때, $a$의 값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":41,"name":"25_geom","problem":"25. 타원 $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(2, 1)$에서의 접선의 기울기가 $-\\frac{1}{2}$일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a, b$는 양수이다.) [3점] \\begin{itemize} \\item[1] 2\\sqrt{3} \\item[2] 4 \\item[3] 2\\sqrt{5} \\item[4] 2\\sqrt{6} \\item[5] 2\\sqrt{7} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":42,"name":"26_geom","problem":"26. 좌표평면에서 세 벡터 \\[ \\vec{a} = (2, 4), \\quad \\vec{b} = (2, 8), \\quad \\vec{c} = (1, 0) \\] 에 대하여 두 벡터 $\\vec{p}, \\vec{q}$ 가 \\[ (\\vec{p} - \\vec{a}) \\cdot (\\vec{p} - \\vec{b}) = 0, \\quad \\vec{q} = \\frac{1}{2} \\vec{a} + t \\vec{c} \\quad (t \\text{는 실수}) \\] 를 만족시킬 때, $\\left| \\vec{p} - \\vec{q} \\right|$ 의 최솟값은? [3점] \\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3}{2} \\item[2] 2 \\item[3] \\frac{5}{2} \\item[4] 3 \\item[5] \\frac{7}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":43,"name":"27_geom","problem":"27. 좌표공간에 직선 $( \\mathrm{AB} )$를 포함하는 평면 $( \\alpha )$가 있다. 평면 $( \\alpha )$ 위에 있지 않은 점 $( \\mathrm{C} )$에 대하여 직선 $( \\mathrm{AB} )$와 직선 $( \\mathrm{AC} )$가 이루는 예각의 크기를 $( \\theta_1 )$이라 할 때 $\\sin \\theta_1 = \\frac{4}{5}$이고, 직선 $( \\mathrm{AC} )$와 평면 $( \\alpha )$가 이루는 예각의 크기는 $( \\frac{\\pi}{2} - \\theta_1 )$이다. 평면 $( \\mathrm{ABC} )$와 평면 $( \\alpha )$가 이루는 예각의 크기를 $( \\theta_2 )$라 할 때, $\\cos \\theta_2$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{\\sqrt{7}}{4} \\item[2] \\frac{\\sqrt{7}}{5} \\item[3] \\frac{\\sqrt{7}}{6} \\item[4] \\frac{\\sqrt{7}}{7} \\item[5] \\frac{\\sqrt{7}}{8} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":44,"name":"28_geom","problem":"28. 두 초점이 $( \\mathrm{F}(c, 0) )$, $( \\mathrm{F'}(-c, 0) \\ (c > 0) )$인 쌍곡선 $( C )$와 $( y )$축 위의 점 $( \\mathrm{A} )$가 있다. 쌍곡선 $( C )$가 선분 $( \\mathrm{AF} )$와 만나는 점을 $( \\mathrm{P} )$, 선분 $( \\mathrm{AF'} )$와 만나는 점을 $( \\mathrm{P'} )$이라 하자. 직선 $( \\mathrm{AF} )$는 쌍곡선 $( C )$의 한 점근선과 평행하고\n\n\\[ \\overline{\\mathrm{AP}}:\\overline{\\mathrm{PP'}} = 5:6, \\quad \\overline{\\mathrm{PF}} = 1 \\]\n\n일 때, 쌍곡선 $( C )$의 주축의 길이는? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{13}{6} \\item[2] \\frac{9}{4} \\item[3] \\frac{7}{3} \\item[4] \\frac{29}{12} \\item[5] \\frac{5}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":45,"name":"29_geom","problem":"29. 평면 $\\alpha$ 위에 $\\overline{\\mathrm{AB}} = \\overline{\\mathrm{CD}} = \\overline{\\mathrm{AD}} = 2$, $\\angle \\mathrm{ABC} = \\angle \\mathrm{BCD} = \\frac{\\pi}{3}$ 인 사다리꼴 $\\mathrm{ABCD}$가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\\alpha$ 위의 두 점 $\\mathrm{P}$, $\\mathrm{Q}$에 대하여 $\\overrightarrow{\\mathrm{CP}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{DQ}}$의 값을 구하시오. [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[(가)] $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} = 2 \\left( \\overrightarrow{\\mathrm{AD}} + \\overrightarrow{\\mathrm{BP}} \\right)$ \\item[(나)] $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{PQ}} = 6$ \\item[(다)] $2 \\times \\angle \\mathrm{BQA} = \\angle \\mathrm{PBQ} < \\frac{\\pi}{2}$ \\end{itemize}","answer":12,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":46,"name":"30_geom","problem":"30. 좌표공간에 정사면체 $\\mathrm{ABCD}$가 있다. 정삼각형 $\\mathrm{BCD}$의 외심을 중심으로 하고 점 $\\mathrm{B}$를 지나는 구를 $S$라 하자.\n\n구 $S$와 선분 $\\mathrm{AB}$가 만나는 점 중 $\\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\\mathrm{P}$, 구 $S$와 선분 $\\mathrm{AC}$가 만나는 점 중 $\\mathrm{C}$가 아닌 점을 $\\mathrm{Q}$, 구 $S$와 선분 $\\mathrm{AD}$가 만나는 점 중 $\\mathrm{D}$가 아닌 점을 $\\mathrm{R}$라 하고, 점 $\\mathrm{P}$에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\\alpha$라 하자.\n\n구 $S$의 반지름의 길이가 $6$일 때, 삼각형 $\\mathrm{PQR}$의 평면 $\\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]","answer":24,"score":4,"review":"Removed figure."}