data/json/2023/math_27_calc.txt

27. 중심이 \( \mathrm{O} \), 반지름의 길이가 1이고, 중심각의 크기가 \( \frac{\pi}{2} \)인 부채꼴 \( \mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1 \)이 있다. 호 \( \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1 \) 위에 점 \( \mathrm{P}_1 \), 선분 \( \mathrm{O}\mathrm{A}_1 \) 위에 점 \( \mathrm{C}_1 \), 선분 \( \mathrm{O}\mathrm{B}_1 \) 위에 점 \( \mathrm{D}_1 \)을 사각형 \( \mathrm{O}\mathrm{C}_1\mathrm{P}_1\mathrm{D}_1 \)이 \( \overline{\mathrm{O}\mathrm{C}_1}:\overline{\mathrm{O}\mathrm{D}_1}=3:4 \)인 직사각형이 되도록 잡는다.

부채꼴 \( \mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1 \)의 내부에 점 \( \mathrm{Q}_1 \)을 \( \overline{\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1} = \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{Q}_1} \), \( \angle \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{A}_1 = \frac{\pi}{2} \)가 되도록 잡고, 이등변삼각형 \( \mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{A}_1 \)에 색칠하여 얻은 그림을 \( R_1 \)이라 하자.
그림 \( R_1 \)에서 선분 \( \mathrm{O}\mathrm{A}_1 \) 위의 점 \( \mathrm{A}_2 \)와 선분 \( \mathrm{O}\mathrm{B}_1 \) 위의 점 \( \mathrm{B}_2 \)를 \( \overline{\mathrm{O}\mathrm{Q}_1} = \overline{\mathrm{O}\mathrm{A}_2} = \overline{\mathrm{O}\mathrm{B}_2} \)가 되도록 잡고, 중심이 \( \mathrm{O} \), 반지름의 길이가 \( \overline{\mathrm{O}\mathrm{Q}_1} \), 중심각의 크기가 \( \frac{\pi}{2} \)인 부채꼴 \( \mathrm{O}\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2 \)를 그린다. 

그림 \( R_1 \)을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 \( \mathrm{P}_2, \mathrm{C}_2, \mathrm{D}_2, \mathrm{Q}_2 \)를 잡고, 이등변삼각형 \( \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\mathrm{A}_2 \)에 색칠하여 얻은 그림을 \( R_2 \)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \( n \)번째 얻은 그림 \( R_n \)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \( S_n \)이라 할 때,
\[
\lim_{n \to \infty} S_n \text{의 값은? [3점]}
\]

\begin{itemize}
    \item[1] \( \frac{9}{40} \)
    \item[2] \( \frac{1}{4} \)
    \item[3] \( \frac{11}{40} \)
    \item[4] \( \frac{3}{10} \)
    \item[5] \( \frac{13}{40} \)
\end{itemize}